（基础数学专业论文）若干反应扩散方程（组）的分离变量与精确解.pdf

参考文献 1 4 3 1s y l o u ，o nt h ec o h e r e n t8 t r u c t u r e s t h en i z h n i k n o v i k o v 舱【o e q u a _ t i o n ，p h y s l e t t a2 7 7 ( 2 0 0 0 ) 9 4 一1 0 0 4 4 1s yl o ua n dj ，z l u ，s p e c i a ls o l u t i o n s 矗o mt h ev a r i a b l es e p 缸8 t i o a p p r o 卸h ： t h ed a v e y s t e w a r t 8 0 ne q u a t i o n ，j p h y s a ：m a t h g e n 2 9 ( 1 9 9 6 ) 4 2 0 9 - 4 2 1 5 ， 【4 5 j l i n ，x _ yt a n g ，s yl o ua n dk 1w a n g ，an e wg e n e r a l i z a t i o no ft h e ( 2 + 1 ) 一 d i m e n s i o n a ld a e y s t e w a r t s o ne q u a t i o n ，z n a t u r f o r s c l l 5 6 a ( 2 0 0 1 ) 6 1 3 - 6 1 8 4 6 1s y l o u ，d r o m i o n s ，d r o m i o n 8l a t t i c e ，b r e a t h e r sa n di n s t a n t o i i so ft h ed a v e y s t e w w t s o ne q u a t i o n ，p h y s i c as c r l p t a 6 5 ( 2 0 0 2 ) 7 1 2 4 7 ls y l o u ，x y 工1 姐g ，x m q i a n ，c l c h e n ，j l i na n ds l z h a n g ，n e w l o c m i z e de x c i t a t i o n si n ( 2 + 1 ) d i m e n 8 i o n a l i n t e r g r a b 】es y s t e m s ，sm o d p h y s i e t t b 1 62 0 0 21 0 7 5 【4 8 】s l z h a n ga n ds l l o u ，v a r i a b l es 印a r a t i o na n dd e r i 、砒i v e - d e p e d e n tf u n c t i o n a ls e p a r a b l e8 0 l u t i o n st og e n e r a l i z e dk d ve q u 砒i o n 8 ，c o m m u n t h e o r p h y s ( b e j j i n g ，c h i n a ) 4 0 ( 2 0 0 3 ) 4 0 l 一4 0 6 【4 9 】s l z h a n g ，s l ，l o u8 n dc z q u ，f h n c t i o n a lv a r i a b l e8 e p a r a t i o nf o re x t e n d e d ( 1 + 2 ) 一d i m e n 8 i o n a ln o i l l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，c h i n p l l y s l e t t 1 9 ( 2 0 0 2 ) 1 7 4 1 一 1 7 4 4 【5 0 ls l z h a n 舀p h d t h e s i 8 ，s h a h a ij i a o t o n gu n i v e r 8 i 饥2 0 0 5 f 5 1 1v a g a l a k t i o n o v ，o nn e we x a c tb l a w u ps o l u t i o n sf o rn o n l i n e 甜h e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n sw i t hs o u r c ea n d 印p l i c a t i o n s ，d i f f h l t e g r e q u 8 t i o n s ，3 ( 1 9 9 0 ) 第一章绪论 显然，当w ( ) o 时，我们是找不到一对( ”( z ) ，w ( ) ) 满足( 13 ) ，所以在给定的坐 标 z ，t ) 下，方程( 1 1 ) 没有分离变量解。如果对( 1 】) 做变换 札【”卜丽， 则( 1 2 1 变为 也( z ，t ) t = ( 1 + 豇2 ) 豇。一面面： 假设( 14 1 具有分离变量解 矗( z ，t ) = ( z ) t u ( t ) 则( 1 5 ) 是( 1 4 ) 的解，当且仪当 w 币) = 朵呻) 小( 咖弋旷”k ) 2 ) 叫) 3 可以看到 是三阶常微分方程 的不变量( 首次积分) 。如果u 是( 1 8 ) 的解 关于“小) 的一阶常微分方程 f 1 4 1 f 15 1 f 1 6 1 ( 1 7 ) 掣 ( 1 8 ) 则a 和为常数，并且( 1 7 ) 可以变为一个 7 = a w + 弘叫3 ( 1 9 ) 可以看到( 18 ) 和( 1 9 ) 决定了方程( 14 ) 具有类似( 15 ) 的分离变量解。利用逆变换 ”( 矗) 2 击杀， ( 1 1 0 ) 我们就可以得到方程( 13 ) 的解，它们在新坐标下具有分离变量解并且解满足 u ( z t ) ! 竺! 竺塑 棚了可矛面矿 其中u 和“，分别满足( 18 ) 和( 19 ) ，a 和肛由( 1 7 ) 给出。 在研究变系数的线性偏微分方程的分离变量解时，众所周知，l i e 的点对 称2 j 5 l 起到了很大的作用。随着对l i e 群的认识加深个很自然的问题就 是足否非线性偏微方程也有分离变量的解。存求解种线性偏微方程分离变量 解的过程中，产生了一些很有效的方法理论、其中主要包括微分s t j c k e l 矩阵 几何法【1 1 1 【1 2 】，直接方法假没法一例，非经典对称刚一吲，广义条件对 称f 2 8 m ，形式分离变量法和多线性分离变量解一【4 7 1 等。下面我们将分别 2 2 一 。口一u洲 = | | ， o ，6 2 o d = g l e 6 1 ”+ ( 乃e 6 2 “ q 一半“一警 其中 耻兰竽， ( i i ) ，盘；一4 b 2 o ，6 2 = o d = q + q e l 2 “ q e 6 2 “+ 岛 n 。一撕瓢 2 0 ：一堕鱼兰堂! 二! ! ! 堕： n 2 ( i i i ) 碹一4 6 2 = o ，0 2 o + 仍 d = ( q + q ) e 一 “， q ：( q + q 。) 垄l 竺丝。一 n z u + 伤尝。一m ”+ 岛 口20 ； ( i v ) n 2 = 6 2 = 0 d = q + q ， q = 一；( 2 6 l a u + 2 n ，q u + b 。g u 2 ) + 岛 ( v ) o l 一4 b 0 ， “( ，o ) = u o ( z ) r a ， 可以得到下面的性质： o ( z ) o ( o ) 在r 中= ( 。) 0 ( o ) 在r 中， 当f o 时， ( 解“( z ，) 关于时间符号不变) m ( 。，0 ) o ( o ) 存r 中= 号让t ( z ，z ) 0 ( o ) 在r 中， 当 0 时 ( 导数毗( z ，t ) 关于时间符号不变) g a l a k t i 。n o v 等人将这个性质进行提炼这就形成求解非线性偏微分方程精确解 的新方法符号不变量。下面我们以单个拟线性抛物方程 ( ，) f )毗= 曲( u ) u 。+ m ( u ) ( 。) 2 + f ( “)( 3 1 ) 为例，其中西( ) o ，介绍这种方法的主要思想p “。首先我们假设方程( p e ) 的光 滑解的集合u ( z ，) a f 空，其次，我们引入一个一般的h a m i l t o n j a c o b i 算子 ( ，j )“( “) = “一( “) 兰u t 一【7 ，l ( “) ( “。) 2 + s ( ) u 。+ m ( n ) 】，( 32 ) 其中系数，n ，s 和依赖于( p e ) 的系数。注意到我们存引入( h j ) 算子刚 令( “( ) ) 2 的系数与( p e ) 中( h 扛) ) 2 的系数梢同，这是为了便于以后我们的计算。 2 9 第三章非线性扩散方程组的分离变量解 定义3 1 ： 我们说算子( h j ) 是抛物方程( p e ) 的符号不变量，如果它保持( p e ) 中 的解“( z ，t ) 关于符号o 和o 不变。也就是说 爿( ) 0 ( 0 ) 在r 中当 t = o 时 亭h ( “) 0 ( o ) 在r 中当 o 时， ( 3 3 ) 显然我们可以得到( 3 1 ) 的一个等价命题，称之为零不变量( z e r 0 _ i v 卵i a n t ) 。 定义3 2 ： 我们说算子( h j ) 是抛物方程( p e ) 的零不变量，如果它保持( p e ) 中的 解“( z ，) 关于符号0 和0 不变。也就是说 h ( ) = 0 在r 中当 = o 时 = = 争咒( ) = o 在r 中当 0 时， ( 3 4 ) 显然，对于一个合适的符号不变量方程( h j ) ，我们有可能构造出更多的满 足( 3 1 ) 的解，这种想法和我们所知道的微分约束是有一定的内在联系的【4 l 。具体 的操作过程可以参考文献【6 4 】一【6 6 】o 在本章中，我们主要是把符号不变量应用到 非线性偏微分方程组中去，构造方程组得精确解。 类似的，对于非线性方程组，我们也可以引入符号不变量组 来求解它的精确解。 h l ( u ， ) = u t 一毋( u ，”) h 2 ( “， ) = 仇一玩( u ， ) 3 2 非线性方程组的符号不变量 在本节中，我们主要考虑非线性偏微方程组 ( 3 5 ) u t = ( ，( u ， ) 弘。k + 9 ( u ， ) ， 仇= 0 ( “， ) ) 。+ g ( u ，u ) ，( 3 6 ) 的符号不变量以及它的分离变量解，其中u = “( ，) ， = ( z ，) ，函数的下 标t 和z 分别表示函数对其分量求相应的偏导数，( u ， ) ，9 ( “，口) ，p ( u ， ) 和q ( ，”) 为 光滑的未知函数。在过去的很多年中，这个方程组是对于自然界现象的很自然 得演化【6 7 】一【7 2 】，有很多的文章去考虑这个方程组解的存在性，唯一性，以及解的 渐进形态【7 2 】【7 3 】和他们中参考文献卜但是另一方面，对于方程组的精确解的研 究却不是很成熟，只有少量的文章来考虑方程组得精确解，在这些文章中主要有 下面的一些工作：l i e 对称【7 4 】一【7 引，a n 8 苴t z - b a s e d 方法【7 8 】【7 9 】，g a l i l e i i n v 口i a n t 法， p a i n l e 垤分析法【8 1 】以及代数方法f 8 2 。在这些文章里，主要考虑了两类方 x 第三章非缌| 生扩散方程组的分离变量解 v - a g a l a k t i o n o v 和s a p 0 8 a 8 h k o v 在6 5 1 中，对含有梯度扩散项的拟线性抛物方 程 u = m i v u i ) “+ ，( u ) ，( 3 7 ) 利用其符号不变量 h ( ) = 毗一驴( ) 、 得到了关于( 37 ) 的最大符号不变量的集合。在本节中我们类似得引入如下的符 号不变量方程组： 州1 ( “， ) “2 ( “，u ) 啦一f ( u ，u ) 毗一叩( u )( 3 8 ) 利用( 3 6 ) 和( 3 8 ) 我们可以得到下面的定理： 定理3 1 ：方程组( 3 8 ) 为非线性反应扩散方程组( 36 ) 的符号不变量，如果系 数，( u ，”) ，g ( u ，”) ，p ( u w ) ，g ( u ，”) ，f ( u ，”) 和_ ( “，”) 满足下面的偏微分方程组： “li 厂u 。+ q ，u 。+ 矗厶+ q 。 一譬q 生当+ 已。，：o 忙2 删i m m 毗一q 芋一f 学域小已等姐 a 3 三矗 + 。，一矗巫= o ， p 4 4 三掣+ 叼掣+ 矗丛删一矗g + 乳+ 叩舶一矗q = 9 ) ，口 a 5 三岛p 。+ 翱删+ ”m 。+ 吼p 。一业一里堡+ m 。p = o ， “6 ；轧。+ 托时2 帆等+ 2 m 一半= 0 ， 1 4 7 5 钆m + 吼。p 一卵u 掣= o ， a 8 兰f 璺型+ 叼旦丛删+ 吼掣一吼q + 轧+ 卵一吼9 = o 矸明：我们令 = 何1 如= 爿2 对( 3 1 0 ) 中方程分别关于t 求偏导、我们得到 f 3 1 0 1 j n = 九n = t 。m 一岛i t “( ， 如 = 秆甜= 一，h 一( 3 1 1 ) 3 l 0 “ u ，l，l f h 一 一 毗 心 第三章非线性扩散方程组的分离变量解 在【7 4 【7 8 】中，作者考虑了它的l i e 对称和精确解并且得到了一些很好的结果。由 定理3 2 可以得到，此时( “，”) 和q ( “， ) 满足 ( ， ) = n 1 “+ n 2 t ，+ 靠3 ， 叩( “， ) = b 1 札+ b 2 掣+ 幻( 3 1 5 ) 不是一般性，我们可以令0 3 = 6 3 = 0 ，如果n 3 0 和6 3 o 我们可以做一个平移 变换 “= 面+ 0 1 u = 0 + c 2 ， 从而得到n 3 = b = o ，则决定方程组为： ( 札，u ) 一n 1 乱+ 2 u ， 叩( ，u ) = 6 1 u + b 2 ， 乳+ q 蛳一f 。9 一岛q = o ， g u + q 一钆g 一仉q = 0 ( 31 6 ) 注：由决定方程组我们可以看到，此时口( u ， ) 和q ( u ，”) 有一个= ：= 二维的系统 决定，我们很容易从和”解出和 ，但足此时得到的解依赖于两个任意函 数曲1 ( z ) 和击2 ( o ) 。我们为了构造解就必须确定曲1 ( ) 和曲2 ( z ) 。确定的方法就是 从二维系统中解出9 ( “，u ) 和q ( u ， ) ，然后利用柏容性条件来决定砂l ( 。) 和曲2 ( z ) 。存 本文中所指的相容性条件意思是，t ，9 ( “，u 1 和口( u ，u ) 满足所给的方程组，即就是 我们要把得到的“，u ，9 ( “，u ) 和q ( u ，”) 代回原方程组中，从而决定毋1 ( z ) 和如( z ) 。 显然，由于任意常数的存在，我们可以得到给定方程组大量的精确解，我们主 要罗列m 由定理32 和定理3 3 所决定的精确解。 s u b c a s e1 1 n 1 o ，2 = 0 此时e = n l ，”= b l u + 幻u 。直接计算可以得到 9 ( “， ) = g 1 ( o ) m ， q ( t ，) ：。鲁g 1 ( 。) 一堕g 2 ( n ) n l u 山1 u “2 u 。i i 了( n l 一6 2 ) u 苟 f z u f 。 ) = e 州砂l ( ) ， ) ：；坚鱼黑。t 。( 。) + 咖：( 。) 。z t n 1 一0 2 如果。1 6 2 刚，这里朝( 。) ，咖2 ( z ) 是光滑函数，并且击1 ( z ) 曲2 ( z ) g l ( “) 和g 2 ( 。) 满足下面的约束条件： f o r “1 0 f o rn 1 0 ( z ，) = 咖1 ( 茁) e 6 i + 毋2 ( 茁) e 6 2 。， 出，t ) 一去( 州彬，毋2 + 似z ) 如拶) 其中6 1 = ( 幻+ 抠) 2 ，如= ( 6 2 一v 五) 2 。 吼= 6 l + 4 0 2 6 l = o 札( z ，t ) = ( 1 ( 嚣) + 咖2 ( z ) t ) e 6 。， “州) = 恚( 哪，( z ) + 似z ) + 似班j ) 其中j = 6 2 2 。 虮= 6 ；+ 4 n 2 6 1 0 时，f = n 2 ，”= 6 1 u ，我们得到 咖，”) = ( g 。( 。) 一掣) ( 何“咱咄 g ( 州) ：( g ，( n ) + 掣) ( 厕山，“) ， o ： 2 一生“2 u ( z ，) = e 何咖l ( z ) + e 一 而2 ( 。) ， ”( z ，) = 笔( e 瓣西，( z ) 一e 一伍而。加( z ) ) ， 其中曲1 ( 。) ，咖2 ( 。) ，g l ( n ) 和g 2 ( a ) 满足 卅一俪咖1 = o ，咖：一2 g 1 瓜曲2 = o ，g 2 = ；n ； 例如当9 ( u ，u ) = 。和g ( u ， ) = u 口时，我们可以得到半线性的抛物方程组 毗= “口+ 泸， 仇= 。+ ( 3 1 7 ) 根据( 3 2 ) ，通过直接计算可以得到 ( u ， ) = 0 1 + n 2 ， q ( ， ) = 6 1 u + 6 2 ，( 3 1 8 ) 是方程组( 3 ，1 7 ) 的符号不变量当且仅当 a 口= 1 ，2 = b 1 = 0 当。= 卢= 1 时，我们得到方程组的解为当o l 0 时 u ( 州) 列l l ( 击e 一廊( ( 1 + 2 厄z ) 岛+ 4 n - q ) 3 6 第三章非线性扩散方程组的分离变量解 咖l ( z ) ，加( z ) 和f ) 满足恒等式 磁+ 昂( 学+ 去) 纠虻。， 制+ 昂( 学+ 去) 一，沪旺 s u b c a s e2 2 0 1 = 0 ，啦0 此时= 她 ，q = 6 1 “+ 6 2 u ，方程组的解为： i 1 0 u ( z ，t ) = 母1 ( z ) e 6 1 。+ 屯( z ) 一”， 出，归恚( 州郴“+ 姒帕毋飞 ，( u ， ) = f ( o ) ， 一扣皂+ 等一孙去圳，+ 菇 其中j 1 ：( 6 2 + 伍) 2 ，如一( 6 2 一、否) 2 。 i i ) = 缱+ 4 n 2 b 1 = o “( z ，t ) = ( 1 ( z ) + 屯( z ) ) e 乱， “叫) = 壶( 聊，( 。) + 似卅似珈6 ) ，( 钍，钉) = f ( a ) ， n = 菇乩i i 一差， 其中6 = 6 2 2 a i i i ) = b ! + 4 口2 6 1 o 乱扣，t ) = ( 如( z ) c o s 如t + 母2 忸) s i n 如t ) “， u ( z ，t ) ：土 ( d 1 1 ( z + 如庐2 ( z ) ) c 。s 如t + ( 6 1 咖2 ( z ) 一如妒1 ( 。) ) s i n 如】e 6 - ，( 1 上，1 ，) = f ( q ) ， n = 一扣笔+ 篆一势去删a n 茅托 其中6 l = 6 2 2 ，如= 二碣丽。 在上述情形中咖1 ( 茁) ，庐2 ( z ) 和n 满足相容性条件。 特别的当0 1 = 6 l = o ，n 曲2 0 此时f ( ，u ) = n 2 u ，q ( ，u ) = b 2 那么我们 可以得到 。 巾”) 21 ( 。) ，一盂一鼋， u ( 。，) ：= 警e 6 2 驴1 ( z ) ，u ( z ，t ) = e 6 2 咖2 ( z ) ， 第四章总结 第四章总结 本文绪论部分简述了非线性方程分离变量解的分类以及几种主要的研究方 法以及它们在处理各种问题时的优越性。 本文第二、第三章就一般的非线性扩散方程( 2 4 ) 和非线性扩散方程 组( 3 6 ) 分别利用群分支的方法和符号不变量的方法讨论了它们的分离变量 解。对于非线性扩散方程( 2 4 ) ，我们得到了它的泛函分离变量解，在特殊的情 形下我们得到了它的显式解，对于非线性扩散方程组( 3 6 ) ，我们虽然得到了一 些结果，但是还有许多的问题需要我们继续去努力探索。总的来说本文还有一 些地方需要以后继续完善： 1 在第二章中我们们得到了方程( 2 4 ) 泛函分离变量的形式解，但是在确定 未知函数a ( o ) ，b ( o ) 和9 ( ) 时，我们需要去求解一个常微分方程组，但是这些 方程组我们目前还没有办法求出它的解，因此要构造精确解我们还有一些困 难，所以首先的一个问题就是这些常微分方程如何去求解； 2 我们是否可以将第二章的方法应用到其他的方程中去，或者将它直接应 用到方程组的情形中去； 3 第二章我们是把群分支的方法应用到不显含时间t 的方程中去，对于显含 时问的方程的方程我们的假设( 2 2 0 ) 的正确性还有待于验证； 4 对于方程组的研究，我们知道大部分讨论精确解的文章都是利用l i e 的 方法还有就是假设法，本文我们利用的符号不变量方法，只是对几类比较特 殊的方程组给出了结果，对于一般的我们还没有一个很好的结果，还有许多的 问题需要我们去探索。例如当，( ”) p ( “， ) 时，我们考虑，( ，”) = n 1 ( 牡) + 风( ) 和p ( u ，u ) = n 2 ( “) + 疡( ) 方程组的精确解。 参考文献 参考文献 1 】nh i b r a 舀m o v ，t r a n s f o r m a t i o ng r o u p 8a p p l i e dt o m 砒h e m a t i c a lp h y 8 i c s ， r e i d e d b 0 s t o n ，1 9 8 2 r 2 1lv o v s i a i l n i k o v ，g r o u pa n 柚y s i 80 fd j 硒m 代i a le q u 幽皿s ，a c a d e m i cp t e b s ， n e w1 r k 1 9 8 2 f 3 l p jo v l e r ，a p p l j p 毗i o n so f l 如g m l l t od i f f e r e n t i a je q u 砒i o n s ，s p r i n g e r ，n c w y j r k 1 9 8 6 f 4 1p j o m e r ，d i r e c tr e d u c t l o n 阻d 出f r e r e l l t i a lc o 8 t r 出n t 8 ，p r d c r o 矿s o c l 【p d o na4 4 4 ( 1 9 9 4 ) 5 0 9 - 5 2 3 f 5 1g w b 1 u m a l la n dsk u m e i ，s y m m e t r i e sa n dd i 髓r e m i a lb q u 8 t i o l l is p r l n g e r n e w ) r k 1 9 8 9 6 】gw b l u m 8 na n dj d a o l e ，t h e 日e i l e r a ls i m i l a r i t ys o i u t i o n o ft h eh e a t e q u 幽。n ，j m a t h m e c h 1 8 ( 1 9 6 9 ) 1 0 2 5 - 1 0 4 2 【7 w ，m i l l e r ，s y m m e t r ya n ds 印a r a t i o no fv 枷曲1 e s ，a d d i s o n 。w s k y ，r e 础n g ， 1 9 7 7 | 8 】e g k 如i n sa n d w 2 6 ( 1 9 8 5 ) 1 5 6 0 一1 5 6 5 【。】e g k a l n i i i sa n d w 2 6 ( 1 9 8 5 ) 2 1 6 8 - 2 1 7 3 j m i l l e r d i 艉r 鼬t i 小s t 邕c k e lm a t r i c e s ，jm a t hp h p jm i h e r g e n 跗a 肛z e ds t 茜c l 商m a t r i c e s ，jm a t hp h y s 1 0 p ，s t 诎e 1 u b e rd j ei n t e 酽a t i 0 d e rh 锄i l t o nj a c o b i s c h e nd m r e r t j a l g e l e - i 吐l u n gi n l t t e l ss e p a r 砒i o nd e r r i a b l e n ，h b b i l i l a t i d n s 8 c h r 汛( t h e s i s ) ，h a l k ， 1 8 9 1 1 1 ip wd o 螗蚴dpj v a g s i l i o n ，s e p 艇a t i o no fv a i 曲l 衄f o r 恤e1 一d i r t e n t i o n a l n o n 1 i n e a rd i 仃h 8 i o ne q u b 士】o n ，i u tjn o n i i n e a rm e c h3 3 ( 1 9 9 8 ) 3 1 5 3 2 6 1 2 lp wd o l y e ，s e p a r a t i o no f v a r i a b l e 日f o rs c a l a re v o l u t i o ne q l l 舭i o n si n0 n e 印a c e d i m e n 8 i o n ，jp 蛳a ：m a t hg e n2 9 ( 1 9 9 6 ) 7 5 8 1 7 5 9 5 1 1 3 lp aa a r k s 彻眦d et m 卸而e 乩s y m m c t 珂r n d u p t i o n s 粕de x a 8 0 1 1 们帅8 o fac l 船so fn o n l i n e a rh e 眦e q u 砒i o 衄，p 1 1 s d 1 剐p a c 1 8 r k s o ua n dm dk r u s u ，n f w8 i m l i a r i t yr e d u c t i o n s 。f 协eb o u s s i n e 8 q 14 1pac 1 a r k s o na n dm - dk r u s l c a l ，n e w8 i m i i a r 时r e d u c t i o n so f 如eb o u s s i n e s q e q u a t b n ，jm a t hp h y s3 0 ( 1 9 8 9 ) 2 2 0 1 - 2 2 1 3 参考文献 1 5 】s l l o u 蛐dh c m a ，n o n l i es y m m e t r yg r o u p so f ( 2 + 1 ) 一d i m e n 8 i o n 出n o n i i n e 盯s y s t e m 8o b t a i n e df r o mas i m p l ed i r e c tm e t h o d ，j p h y s a ：m a t h g e n 3 8 ( 2 0 0 5 ) 1 1 2 9 - 1 1 3 7 【1 6 】a m g r u n d l a n da n de i n f e l d ，af 眦i l yo fn o n l i n e a rk 1 e i n g o r d o ne q u a _ t i o 璐a l l dt h e i rs o l u t i o n s ，j m a t h p h y 8 。3 3 ( 1 9 9 2 ) 2 4 9 2 5 0 3 【1 7 】r z z h d a n o v ，s e p 8 r a t i o no fv a r i a b l e si nt h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ，j p h y 8 a ：m a t h g e n 2 7 ( 1 9 9 4 ) l 2 9 1 一l 2 9 7 ， 【1 8 】r z ，z h d a n o v ，0 r t h 0 9 0 n 址a n dn o n o r t h 0 9 0 n a ls e p a r a t i o no fv a r i a b l e 8i nt h e w a v ee q u a t i o nu t 一u z z + y ( z ) u = 0 ，j p l l y s a ：m a t h g e n 2 6 ( 1 9 9 3 ) 5 9 5 9 _ 5 9 7 2 1 9 】r z z h d a n o v ，i v 舶v e n k 0a n dw i 五b h c h ”h ，o nt h en e w8 p p r o a c 薹量 x 参考文献 【5 7 】y n u t k u ，m b s h e f t e la n dp w i n t e r i t z ，g r o u pf o l i a t i o na n dn o n i n v a r i a n t s o l u t i o n so ft h eh e 帆n l ye q u a t i o n ，j p h y s a ：m a t h g e n 3 1 ( 2 0 0 1 ) 9 2 4 3 9 2 6 3 5 8 】sl i e ，u b e rd i 丘b r e n t i a li n v a r i a n t e n ，m a t h a n n2 4 ( 1 8 8 4 ) 5 2 - 8 9 5 9 】e v e s s i o t ，s u rl i n t e g r a t i o nd e ss i s t e md i f f e r e n t i e l sq u ia d m i t t e n td e sf o u p e s c o n t i n u sd et r a n s f o r m a t i o n s ，a c t a m a t h 2 8 ( 1 9 0 4 ) 3 0 7 3 1 9 6 0 】s c a n c oa ds l 沁e x a c t8 0 i u t i o n so fs e m i l i n e 盯r a d i a lw a e q u a t i o n si n nd i m e n s i o n s ，j m a t h a n a l a p p l 2 9 7 ( 2 0 0 4 ) 3 1 7 - 3 4 2 6 1 】r o p o p o w y c h ，s y m r n e t r yr e d u c t i o na n de x a c ts 0 1 u t i o no ft h en a v i e r - s t o k e 8 e q u a t i o n s ，p h dt h e 8 i s ，a c a d s c i u k r a 垃e ，i n 8 t i t u t eo fm a t h e m a t i c 8 ，k i e v ， 1 9 9 2 6 2 v v p u k h n a c h e v ，g r o u pp r o p e r t i e so ft h ee q u a t i o n so fn a v i e r s t o k e 8i nt h e p l a n 盯c a 8 e ，p m t fj a p p l m e d l t e c h p h y s ，( 1 9 6 0 ) ，n1 ，8 3 9 0 【6 3 】v v p u k h n a c h e v ，i n v a r i 8 n ts o l u t i o n 8o ft h en a v i e r s t o k e se q u a t i o n sd e s c r i b _ i n gm o t i o nw i t h8f r e eb o u n d a r y 7d o k l a c a d s c i u s s r ，2 0 2 ( 1 9 7 2 ) 3 0 2 3 0 5 【6 4 】v ag a l a k t i o n o v ，q u 舾i l n e 舯h e a te q u a t i o n s 耐t h 矗r s t o r d e rs i g n i n 、w i a n t s a dn e we x p l i c i ts o l u t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l 2 3 ( 1 9 9 4 ) 1 5 9 5 1 6 2 1 【6 5 】v a g a l a k t i o n o v 舭l ds a p 0 s 够h k o v ，n e we x p l i c i t8 0 l u t i o n so fq u a s i l i n e a r h e a