（基础数学专业论文）关于g函数和ω结构.pdf

关于g 函数和u 结构 中文提要 中文提要 在本文中，我们给出强0 维度量空间，度量空间和广义度量空间的g 函 数或u 结构刻画我们不但推广了有关文献中的相应结果，并且回答了一个 关于度量化定理的公开问题我们还用反例指出在一些刻画定理中，g 函数 不能减弱为印结构 关键词：g 函数，u 结构，强0 维度量空间，度量空间，广义度量空间 作者：吕瑞霞 指导教师：恽自求 o ng - f u n c t i o n sa n du s t r u c t u r e sa b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eg i v ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs t r o n g l cz e r o - d i m e n s i o n a lm e t r i z a b l es p a c e s ， m e t r i z a b l es p a c e sa n ds o m eg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e si nt e r m so fg f u n c t i o n so ru s t r u c t u r e s w en o to n l yg e n e r a l i z e ds e v e r a lt h e o r e m si ns o m ep u b l i s h e dp a p e r s ，b u ta l s oa n s w e ra l lo p e n q u e s t i o na b o u tm e t r i z a t i o nt h e o r e m w eg i v ea ne x a m p l et os h o wt h a ti nc h a r a c t e r i z a t i o n t h e o r e m ，g - f u n c t i o n sc a nn o ta l w a y sb ew e a k e nt ou s t r u c t u r e s k e y w o r d s ：g - f u n c t i o n ，u s t r u c t u r e ，s t r o n g i ez e r o - d i m e n s i o n a lm e t r i z a b l es p a c e ，m e t r i z - a b l es p a c e ，g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e i i w r i t t e n b y l i ir u i x i a s u p e r v i s e db yp r o f y u nz i q i u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：朔彝日期：丝衄l l 图 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 撇啉 龇嘲 理隘绸1 1 闪 a 旦! 鲇只【( 目 关于g 函数和u 结构 引言 可度量化空间与广义度量空间是可以用多种方法来刻画的可度量化空 间可以用基( b i n g - n a g a t a - s m i r n o v 度量化定理) 和覆盖序列( a l e x a n d r o f f - u r y s o h n 定理) 来刻画盯空间可以用网来刻画，l a $ n e v 空间和r 空间是用k 网刻画 或定义的这些空间也可以统一用某种邻域序列来刻画，此邻域序列称为g 函数 g 函数在1 9 6 2 年为h e a l t h 引入后，立即在研究广义度量空间的性质及相 互关系问题中发挥了巨大的作用例如在1 9 5 5 年w i s c o n s i n 集论拓扑会议上， m c a u l e y 提出问题：寻求半度量空间的纯拓扑性质? b r o w n 也问，半度量空间 成为可展空间应附加怎样的拓扑性质? h e a l t h 利用g 函数给上述问题以满意 的回答，并且h e a l t h 使用g 函数在解决m c a u l e y 问题以及b r o w n 问题之后，又 用g 函数刻画了分层空间和盯空间，进而证明了分层空间是盯空间，解决了 a r h a n g e l s k i i 提出的问题，显示了g 函数的功力经过h o d e l ，f l e t c h e r ，l i n d g r e n 和 n a g a t a 等人的一系列工作，表明了g 函数是研究广义度量空间的有力工具 在1 9 9 8 年，作为g 函数的推广，h o d e l 提出了u 结构的定义，并且利用 u 结构给出了度量空间与广义度量空间的一些刻画 在本文中，我们给出强0 维度量空间，度量空间和广义度量空间的g 函 数或u 结构刻画我们不但推广了有关文献中的相应结果，并且回答了一个 关于度量化定理的公开问题我们还用反例指出在一些刻画定理中，g 函数 不能减弱为u 结构 关于g 函数和u 结构 第一章预备知识 第一章预备知识 文章中的所有拓扑空间都是丑的，n 代表所有的自然数集 设x 为拓扑空间 x 的子集族，称为网，若对任意的z u 且u 是开的，存在f 歹，使得 x f u ；x 的子集族厂称为k 网，若对满足k u 的任意紧集k 和任意的 开集u ，存在有限子集族广，使得k u ，u ；厂称为w e 8 网，若对任意 的z x ，z 的邻域u 和任意序列戤_ z ，存在有限子集族，及n n ，使 得( z ，z 。+ 1 ，z 刑一2 ，) u 夕且u 广u x 的子集族 r ：o t a ) 称为局部有限的，若对任意的x x ，存在z 的邻 域u ，使un 尾0 仅对有限个q a 成立；歹是空间x 的子集族，芦称为 l f 族，若对每一z x ，存在x 的邻域u ，使得i ( unf ：f 7 1 i o ，s t ( x ，p 加) cu 否则，对每一他n ，都可以找到i 。 n ，使s t ( x 锄魄) u 国。令y 。 s t ( x 溉仇) u 则对每一佗n ，存在使3 7 溉y n d ( n ，z n ) 因x i n _ z ，x i n o ( 他) 9 ( n ，z n ) ，所以锄_ z 。又因为y n o ( n ，) ，所以2 站9 ( n ，y n ) 故y 扎_ z 与y n 隹u 矛盾 因为磊。为x 的遗传闭包保持覆盖，所以存在有限个蜀，f 2 最矗。， 使协：i i o ) u 乃：j = l ，2 ”且对每一j ，f jn 协：i i o d 否则，设 x 。：i i o ) 与无限个中的元素相交取 x d 的子列 啊) ，使 z 巧弓兀。且j j 7 时，乃f j ，由于磊。是遗传闭包保持的，则 x i j ：j n ) 是闭集与z x 玎矛盾 由上面条件知， u f j ：j = 1 ，2 七) 恤( 观，磊。) ：i i o u s t ( x i ，o 。) ： i i o u 因此厂是x 的w c 8 一网由 1 9 】引理2 ，x 是l a $ n e v 空间 口 定理6 设乃正则f r 芭c h e t 空间x 是杖空间当且仅当存在x 上的u 结构 满足( k s ) 且瓯有局部有限加细 证明必要性显然，下面证明充分性 设对每一n n ，兀为瓯局部有限加细；令厂= u 兀：佗n ) 则厂是盯 局部有限的 ，是x 的w c 8 网的证明类似上面的定理5 的证明 口 文献【7 】给出下面定理： 定理7 ( 【7 】定理6 ) 空间x 是可度量化空间当且仅当x 具有满足条件( 2 ) 9 关于g 函数和u 结构 第二章相关问题及本文工作 和下列条件( d ) 的g 函数： ( d ) 若z n z x ，对每一n n ，z 。而，则_ z 下面我们证明在定理7 中，( 2 ) 可以减弱为( 4 ) 事实上，我们有下列更 强的结果： 定理8 空间x 是可度量化空间当且仅当x 具有满足( d ) 和( 4 ) 的u 结 构 证明必要性显然下面证明充分性： 设 夕( 馆，z ) ：讫n ，z x 是x 上满足( d ) 和( 4 ) 的。结构对每一z x ，扎n ，令u k ( z ) = x 可：z 隹g k ( 仃，可) 】l 一 首先证明每个( z ) 是z 的邻域因为( z ) 是开的，所以只需要证明 z u 矗( z ) 且p 可 令y ： 秒x ：z 隹g k ( n ，可) ) 假设z 岳( z ) ，则z y 一由( 4 ) 知， z u g k ( n ，剪) ：y y 故存在y y ，使z g k ( 佗，可) 而由y y 知，zi g k ( 佗，秒) 矛盾 其次证明( z ) 是z 的局部基 否则，存在包含x 的开集y ，使对每一佗n ，巩( z ) y d 取y 。巩( z ) y ， 因为y 。( $ ) ，所以对每一礼n ，z g k ( 佗，) 下用归纳法证明鲰一z 当k ：2 时，z 9 2 ( n ，y n ) 故存在e ( n ，y n ) ，使z 9 ( 礼，z n ) c 而由( d ) 知，_ z 又因为g ( n ，y n ) c 而函忑，由( d ) 知，y n z 假设当k ：挖时，如果对每一扎n ，有x g n ( n ，y 札) 则y 。_ z 设当k = n + l 时，z 9 n + 1 ( n ，y n ) ，贝0 存在9 n ( 几，鲰) ，使z 夕( 几，) 由( d ) 知，u 。_ z 由归 纳假设知，孙_ 茁 但由于y n 隹v ，这不可能 1 0 关于g 函数和u 结构 第二章相关问题及本文工作 再证u 结构g 满足条件( s t ) 否则，存在z x ，z 的邻域u ，对每一几n ，z 【u g ( n ，秒) ：y x u 犷 则( z ) n ( u g ( n ，y ) ：y x u ) ) 0 于是存在y n x u ，使( z ) n g ( n ，y n ) 0 取巩( z ) n a ( n ，) 因为( z ) 是x 的局部基，所以名。_ z 又因为 a ( n ，y 。) c 而函五，所以由( d ) 知，y n _ z 与y n 隹u 矛盾 由 2 2 定理3 知，一个空间可度量化当且仅当该空间具有满足条件( s t ) ，( 4 ) 的g 函数，并且注意到在该定理的证明中，作者没有用到夕( n ，z ) 是x 的邻域 这一条件，因此该定理中的g 函数完全可以换为u 结构这样，我们证明了 x 是可度量化的 口 数 推论9 空间x 是可度量化空间当且仅当x 具有满足( d ) 和( 4 ) 的g 函 关于g 函数和口结构第二章相关问题及本文工作 2 3 关于度量化定理的一个问题 下面的定理是在【2 0 】中证明的： 定理1 0 ( 2 0 】定理3 ) 正则f r & h e t 空间x 是可度量化空间当且仅当存在x 上的g 函数满足条件( s t ) ，( 7 ) 文献 2 0 】的作者在证明上述定理后提出公开问题： 定理1 0 条件中“f r d c h e t ”能不能去掉( 2 0 】问题1 ) ? 我们给出这问题肯定的回答下面的引理是显然的 引理1 1 拓扑空间x 上的g 函数结构) 如果满足( 7 ) ，则一定满足( 6 ) 定理1 2 正则k 空间x 是可度量化空间当且仅当存在x 上的g 函数满 足条件的( s t ) ，( 7 ) 证明必要性显然，只需要证明充分性 设g 是x 上满足条件( s t ) ，( 7 ) 的g 函数 由定理1 0 ，我们只要证明x 是f r c h e t 空间而因为g 满足条件( s t ) ，所以 x 是分层空间从而x 具有侥对角线( 【1 1 】命题1 4 1 1 ) 又因为x 是正则k 空间，所以x 是序列式空间( ( 1 6 】命题1 5 ) 要证x 是f r c h e t 空间，只需要证明x 不包含岛的闭拷贝( 1 6 】命题1 6 ) 先证明在岛上不存在g 函数满足条件( s t ) ，( 7 ) 实际上由引理1 l ，只需要 证明在岛上不存在g 函数满足条件( 6 ) ，( s t ) 即可 记岛= p ) u x t ：i n ) u ( u l l ：i n 】) ，其中l t = z 巧：j n ) ，只寸每i n ， 当j _ o 。时，z 玎_ x t 当i 0 0 时，甄一p 令g 为& 上满足条件( 6 ) ，( s t ) 的g 函数对每一对礼，i n ，因为g 满足条 1 2 关于g 函数和u 结构 第二章相关问题及本文工作 件( 6 ) ，所以对任意的佗，i n ，存在j ( n ，i ) n ，当j j ( n ，i ) 时，9 ( 几，z 巧) 包含厶 的一个子列 否则，可以找到厶的一个子列 z 饥：k n ) ，使得x i j 。譬g ( n ，x i j 。) 或者 z 譬夕( 佗，x i j k ) ，k m 由( 6 ) ，【z 犰：k n ) 在& 中离散与【z 巧：j n ) 收敛矛 盾令u = p ) u x t ：i n 】u u z 玎：j j ( i ，t ) + 1 ，t n ) 则u 是p 的开邻域， 对每一佗n ，p c u 夕( 礼，y ) ：y & u 】，与满足条件( s t ) 矛盾 再证x 不包含& 的闭拷贝 否则，若x 包含岛的闭拷贝，则对每一n n ，z 岛，令夕( 礼，z ) = 9 ( 几，z ) n 易证9 7 是上满足条件( s t ) ( 7 ) 的g 函数与& 上不具有满足( s t ) ( 7 ) 的g 函 数矛盾从而x 是f r d c h e t 空间由定理1 0 知，x 是可度量化空间d 推论1 3 正则序列式空间x 是可度量化空间当且仅当存在x 上的g 函 数满足( s t ) ，( 7 ) 文献 2 0 还证明了下面定理： 定理1 4 ( 【2 0 定理4 ) 正则f r d c h e t 空间x 是可度量化空间当且仅当存在 x 上的u 结构满足( s t ) ，( 7 ) 并且提出，上述定理中的“f r d c h e t ”条件能否去掉? 我们给出这个问题 部分回答事实上，利用文献 1 6 】的命题1 2 0 ，仿照定理1 2 的证明，我们可证 如下结果： 定理1 5 正则序列式空间x 如果具有点g s 性质或者是遗传正规的，则 x 是可度量化空间当且仅当存在x 上的u 结构满足( s t ) ，( 7 ) 1 3 关于g 函数和u 结构 第二章相关问题及本文工作 2 4 反例 上面我们看到，很多用g 函数刻画度量空间与广义度量空间的定理中的 g 函数都能换为u 结构因此，人们自然想到，是否所有的g 函数刻画定理 中的g 函数都能换为u 结构? 情况并非如此下面我们举例说明 首先我们需要下面的结果： 引理1 6 ( 2 1 】引理1 ) 设厂是l f 族，则_ x f ：f 刀， u f ：广斗和 n ：g 月也是l f 族 引理1 7 ( 2 1 引理2 ) 每一l f 族是闭包保持的 先证明下列定理： 定理1 8 若x 是可度量化空间，则存在x 的u 结构满足( k s ) ( 1 ) ( 5 ) 证明设p 为x 上的一个度量令厂= u 凡：几n ) 为x 的盯局部有限 开覆盖，每一磊是局部有限的，且d i a m f ：f 凡) 击 令g ( n ，。) = x u f ：f 矗，。岳f ) 显然g ( n ，z ) 是u 结构且是闭的对每 z x ，礼n ，d i a m g ( n ，。) ) 罢 下面验证9 ( n ，茹) 满足( k s ) ( 1 ) ( 5 ) 若z n _ z x ，对每n n ，z 。9 ( n ，) 由z 。_ x x 知，p ( x 。，z ) _ 0 由z 。g ( n ，鼽) 知，p ( z 。，) 元2 故由三角不等式知，p ( y n ，z ) 一0 即y n z 因此g ( n ，z ) 满足条件( k s ) 由厂局部有限的知，歹是l f 族，由引理l 知，g ( n ，。) 是l f 族；由引理 2 ，夕( n ，z ) 是闭包保持的从而对任意的y x ，y 砚而i f 了手珂u 丽： z y ) = u _ 9 ( n ，z ) ：x y ) ，故g ( n ，z ) 满足条件( 1 ) 若y g ( n ，z ) ，由g 的构造知，y 隹u f ：f 磊，z 隹f ) 因此对任意的 1 4 关于g 函数和u 结构第二章相关问题及本文工作 f 矗，z 隹f ，都有y 隹f 故u f ：f 兀，z 隹f ) u f ：f 凡，y 隹f ) 从而 x u f ：f 矗，z 岳f ) 2x u f ：f 兀，y 隹f ) ，即g ( n ，。) 9 ( 佗，秒) 因此条件 ( 5 ) 成立 口 反例定理2 中的条件g 函数不能换为u 结构： 因为实直线r 是可度量化的，因此，由定理1 8 知，实直线r 上存在满 足条件( k s ) ，( 1 ) ，( 5 ) 的u 结构，但是实直线r 不是强0 维的因此定理2 中的 g 函数不能换为u 结构 1 5 关于g 函数和u 结构结论 构 结论 本文研究了g 函数以及u 结构，主要结果如下： ( 一) 用g 函数给出了强0 维可度量化空间的一个新刻画； ( 二) 用u 结构给出了度量空间与广义度量空间新的刻画 ( 三) 回答了关于度量化定理的一个问题 ( 四) 举例说明并非在所有的9 函数刻画定理中，9 函数都能减弱为u 结 1 6 关于g 函数和结构参考文献 参考文献 【1 】r e n g e l k i n g ，g e n e r a lt o p o l o g y , w a r s z a w a ，1 9 7 7 【2 】高国士，拓扑空间论，科学出版社，1 9 9 9 3 】3c g o o d ，d j e n n i n g sa n da m m o h a m a d ，s y m m e t r i cg - f u n c t i o n s ，t o p o l o g ya n di t s a p p l i c a t i o n s ，1 3 4 ( 2 0 0 3 ) ，1 1 1 1 2 2 4 】g c r e e d e ，c o n c e r n i n gs e m i s t r a t i f i a b l es p a c e s ，p a c i f i cj m a t h ，3 2 ( 1 9 7 0 ) ，4 7 5 9 【5 】z g a o ，t h ec l o s e di m a g e so fm e t r i cs p a c e sa n df r d c h e tr - s p a c e s ，q a n da i ng e n e r a l t o p o l o g y , 5 ( 1 9 8 7 ) ，2 8 1 2 9 1 【6 】z g a o ，m e t r i z a b i l i t yo fs o m eg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e si nt e r m so fg - f u n c t i o n s ，q a n d a i ng e n e r a lt o p o l o g y , 1 6 ( 1 9 9 8 ) 1 1 5 1 2 5 7 】z g a oa n dy y a s u i ，s o m er e m a r k so ng - f u n c t i o n s ，t o p o l o g yp r o c e e d i n g s ，2 4 ( 1 9 9 9 ) ， 1 6 5 1 7 1 【8 】z g a o ，m e t r i z a b i l i t yo fs p a c e sa n dw e a kb a s eg - f u n c t i o n s ，t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n s ， 1 4 6 - 1 4 7 ( 2 0 0 5 ) ，2 7 9 2 8 8 【9 】r w h e a l t h ，s t r a t i f i a b l es p a c e sa r ea - s p a c e s ，n o t i c e sa m e r m a t h s o c ，1 6 ( 1 9 6 9 ) ，7 6 1 1 0 】r e h o d e l ，m e t r i z a b i l i t yo fs p a c e ss a t i s f y i n gn a g a t a sc o n d i t i o n ，m a t h j a p o n i c a e ， 4 7 ( n o 2 ) ( 1 9 9 8 ) ，2 8 7 - 2 9 3 1 1 】c l i ua n dm d a i ，g - m e t r i z a b i l i t yo f 瓯，t o p o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n s ，6 0 ( 1 9 9 0 ) ，1 8 5 1 8 9 【1 2 】林寿，广义度量空间与映射( 第二版) ，科学出版社，2 0 0 6 【1 3 】j n a g a t a ，c h a r a c t e r i z a t i o no fm e t r i z a b l ea n dl a s n e vs p a c e si nt e r m so fg - f u n c t i o n s ， q a n da i ng e n e r a lt o p o l o g y , 4 ( 1 9 8 6 8 7 ) ，1 2 9 1 3 9 【1 4 】j n a g a t a ，m e t r i z a b i l i t y , g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa n dg - f u n c t i o n s ，c o m m e n t m a t h u n i v c a r o l i n a e ，2 9 ( 1 9 9 8 ) ，7 1 5 7 2 2 【1 5 】j n a g a t a ，r e m a r k so nm e t r i z a b i l i t ya n dg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s ，t o p o l o g ya n di t s a p p l i c a t i o n s ，9 1 ( 1 9 9 9 ) ，7 1 7 7 1 7 关于g 函数和u 结构参考文献 【1 6 】y t a n a k a ，m e t r i z a t i o ni i ，t o p i c si ng e n e r a lt o p o l o g y , n o r t h h o l l a n d ，( 1 9 8 9