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格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为 格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为 摘要 格点系统和带变号位势的二阶微分方程是两类重要的微分方程模型本文讨论耦 合格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为，主要考虑t 带阻尼的次线 性耦合受迫格点系统的周期解；二阶超线性变号位势方程的周期解和周期碰撞解；二 阶超线性变号位势碰撞方程的全局定义解以及混沌行为 在第一章，阐述了课题的背景以及意义，介绍了格点系统和变号位势二阶微分方 程解的动力行为的研究情况与本文的主要研究成果。 在第二章，考虑类粒子间相邻耦合的非保守受迫格点系统，其中粒子间的耦合 力关于粒子间的距离是次线性增长的当系统是有限维时，我们通过寻找同伦方程组 的周期解的先验界和运用拓扑度的方法证明了周期解存在的充分必要条件；当系统是 无穷维时，我们在有限维结果的基础之上运用一些极限讨论得到了无穷多个周期解的 存在性 在第三章，考虑一类非保守超线性变号位势方程的周期解首先，我们对所谓“拉 伸一扭转映射”给出一个新的拓扑不动点定理其次，针对权函数取负值和非负值两 种情况对解的动力行为分别进行分析我们得出，当权函数取负值时解表现出快速拉 伸性和部分解的不可延拓性等特点，当权函数取非负值时解具有弹性性质并且大范数 解具有快速扭转性最后，利用上述解在相平面上的定性性质，我们构造一系列适当 的拓扑四边形使得在这些四边形上p o i n c s r 6 映射是拉伸扭转映射，从而运用拉伸 扭转不动点定理可以证明无穷多个周期解的存在性 在第四章，运用相平面定性分析的方法，我们考虑类超线性受迫变号位势方程 的碰撞周期解的存在性和多解性首先，通过使用个截断函数来构造一个新碰撞方 程，使得新方程在原点附近的动力行为是简单的这样，在原点附近，我们可以避免 讨论由于强迫项的出现而导致的异常复杂的解的动态行为同时，在适当大的圆周外 面，新方程与原方程是等价的其次，通过引进新的坐标变换我们把右半平面上的碰 撞问题转化到整个平面上，且将碰撞系统转化为与之等价的新的系统，通过证明新的 系统连续周期解的存在性来得出碰撞问题周期解的存在性最后，运用第三章中的方 法，通过对新系统的解在新的相平面上的定性分析，我们构造一系列适当的拓扑四边 形并且运用拉伸扭转不动点定理证明了无穷多个2 丌一周期解的存在性，从而得到原 格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为 摘要 系统的无穷多个2 丌一周期碰撞解的存在性 在第五章，考虑了一类超线性变号位势弹性碰撞振子的全局解和混沌动力行为， 其中它的权函数在定义区间上可以无穷次变号首先，利用第四章的坐标变换，我们 将碰撞问题转化到全平面上进行讨论其次，运用相平面定性分析方法，对权函数有限 次变号的情况进行讨论，得到了在q 有限次变号区间上的解的存在性，并且这些解在 q 不同符号的区间上有相应的碰撞次数，这个结论在后面全局定义解的讨论中是重要 的随后，通过对解在权函数取不同符号的区间上的动力行为的细致分析，同时运用 了一些简单拓扑知识，我们证明了：对于任意一个事先适当选取的无穷维向量，都存 在个全局定义的碰撞解，使得在每一个权函数取非负数或取负数的区间上，解发生 碰撞的次数都与这个向量对应位置上的分量相同最后，当碰撞系统是周期系统时， 利用前面所得到的全局定义解的结果，我们还证明了系统具有混沌动力行为的特征 关键词：格点系统；变号位势的二阶方程；碰撞振子；拓扑度；不动点定理；周期解； 混沌动力行为 i i 作者：王超 指导教师。钱定边 格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为 a b s t r a c t p e r i o d i cs o l u t i o n sa n d s e c o n do r d e r r e l a te dd y n a m i c so fi n e q u a t i o n sw i t hi n d e f i n i a b s t r a c t f i n i t el a t t i c e sa n d t ew e i g h t l a t t i c e sa n ds e c o n do r d e re q u a t i o n sw i t hi n d e f i n i t ew e i g h ta r et w oi m p o r t a n tm o d e l so f d y n a m i c a ls y s t e m sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep e r i o d i cs o l u t i o n s a n dr e l a t e dd y n a m i c so ft h es o l u t i o n so fl a t t i c e sa n ds e c o n do r d e re q u a t i o n sw i t hi n d e f i n i t e w e i g h t w ew i l ls t u d yt h e mi nt h ef o l l o w i n gp a r t s ：t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fac l a s s o fs u b - l i n e a rl a t t i c e sw i t hn e a r e s tn e i g h b o u ri n t e r a c t i o n ；t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n s a n dp e r i o d i ci m p a c ts o l u t i o n sf o rs o m ec l a s so fs u p e r - l i n e a re q u a t i o n sw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t ； t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fg l o b a l - d e f i n e db o u n c i n gs o l u t i o n sa n dc h a o t i cd y n a m i c so f ac l a s so fs u p e r - l i n e a ro s c i l l a t o rw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dt h er e c e n tr e s e r c h e so ft h e s et o p i c s t h e ns t a t et h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo ft p e r i o d i cs o l u t i o n so fs o m en o n - c o n s e r v a t i v es y s t e m so fc l a s s i cp a r t i c a l sp e r i o d i c a l l yp e r t u r e dw i t hn e a r e s tn e i g h b o rc o u p l i n g a n dt h er e s t o r i n gf o r c e sa r es u b - l i n e a ra b o u tt h ed i s t a n c eb e t w e e np a r t i c l e s b yu s i n ga p r i o r ib o u n d sa n dt o p o l o g i c a ld e g r e e ，o v e rt h em e a nv a l u e so ft h ee x t e r n a lf o r c e s ，w ef i n da n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n si nt h ec a s eo ff i n i t e s y s t e m sa n da tt h es a i n et i m e ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t ep e r i o d i cs o l u t i o n si nt h ec a s e o fi n f i n i t es y s t e m s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n st o 、ac l a s so fs e c o n do r d e r n o n - c o n s e r v a t i v es u p e r - l i n e a re q u a t i o n sw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t f i r s to fa l l ，w ep r e s e n ta n e ws oc a l l e db e n d - t w i s t 丘x e dp o i n tt h e o r e m s e c o n d l y , w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c so ft h e s o l u t i o n so nt h ep h a s ep l a n ea n dw ef i n dt h a t ，t h es o l u t i o n sw i t hb i gn o r i n sh a v eas t r o n g o s c i l l a t i o n si nt h ei n t e r v a l sw h e r et h ew e i g h ti sp o s i t i v ea sw e l la st h eb l o w - u pp h e n o m e n e a r ea p p e a ri nt h ei n t e r v a l sw h e r et h ew e i g h ti sn e g a t i v e f i n a l l y , b a s e do nt h eq u a l i t a t i v e p r o p e r t i e so fs o l u t i o n s ，w ea p p l yt h eb e n d t w i s tt h e o r e mo nas e r i e so ft o p o l o g i c a lq u a d r a n g l e s s u i t a b l ec o n s t r u c t e da n dw ep r o v et h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ee q u a t i o n s i nc h a p t e r4 ，b yu s i n gt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i si np h a s e - p l a n e ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c e a n dt h em u l t i p l i c i t yo fp e r i o d i cb o u n c i n gs o l u t i o n st oaf o r c e ds u p e r - l i n e a ro s c i l l a t o r sw i t h i i i 格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为 a b s t r a c t i n d e f i n i t ew e i g h t f i r s t l y , b yu s i n gat r u n c a t i o nf u n c t i o n ，w ed e f i n ean e wi m p a c te q u a t i o n s s u c ht h a tt h ed y n a m i c so ft h es o l u t i o n si ss i m p l ei nan e i g h b o u r h o o do ft h eo r i g i ns ot h a tw e c a na v o i dt h ea r g u m e n t sf o rc o m p l i c a t e dd y n a m i c a lb e l m v i o u ro ft h es o l u t i o n sp r o d u c e db y t h ef o r c e dt e r mn e a r b yt h eo r i g i n s e c o n d l y , w ew i l li n t r o d u c ean e w c o o r d i n a t et r a n s f o r m a - t i o n ，t r a n s f o r mt h ei m p a c tp h a s e - p l a n ef r o mr i g h th a l fp l a n et ot h ew h o l ep l a n e t h u sw e c a nu s et h es i m i l a ra r g u m e n t si ni nc h a p t e r3t oc o n s t r u c tas e i e so ft o p o l o g i c a lq u a d r a n - g l e sa n da p p l yt h eb e n d - t w i s tt h e o r mt oo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t ep e r i o d i cs o l u t i o n s t h e s ep e r i o d i cs o l u t i o n sh a sl a r g en o r m ，t h e r e f o r ew ep r o v et h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t ep e r i o d i c b o u n c i n gs o l u t i o n sf o rt h eo r i g i n a li m p a c to s c i l l a t o r s i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a ld e f i n e ds o l u t i o n sa n dc h a o t i cd y - n a m i c so fs o l u t i o n st oac l a s so fs u p e r - l i n e a ri m p a c to s c i u a t o r sw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t a t 缸8 t ，d o i n g 嬲i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c ean e wc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nt ot r a n s l a t et h e i m p a c ts y s t e m si n t oan e we q u a ls y s t e m sw h i c hd e f i n e di nt h ew h o l ep h a s e - p l a n e s e c o n d ，b y u s i n gt h eq u a l i t a t i v em e t h o d ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st h a td e f i n e di nt h ei n t e r v a l s i nw h i c ht h ew e i g h tc h a n g es i g nf o rf i n i t et i m e s a n di nt h i sc a s e ，t h es o l u t i o n sh a v ed i f f e r e n t i m p 跗tt i m e sg i v e nb e f o r e h a n di nt h ei n t e r v a lw h e r et h ew e i g h tt a k ep o s i t i v en u m b e ro r n e g a t i v en u m b e r t h i sf a c th e i pt oo b t a i nt h ee x i s t e n c eo f9 1 0 b 出d e f i n e ds o l u t i o n s l a t t e r ， b ys o m ed e l i c a t ea n a l y s i sf o rt h ed y n a m i c so fs o l u t i o n si nt h ep h a s ep l a n e ，w ep r o v et h a t ，f o r e a c hi n f i n i t ed i m e n t i o n a ln o n - n e g a t i v ei n t e g e rv e c t o rt h e r ei sag l o b a ld e f i n e di m p a c ts o l u t i o n s u c ht h a tt h ei m p a c tt i m e so ft h es o l u t i o ni ne a c hp o s i t i v ew e i g h ti n t e r v a lo rn e g a t i v ew e i g h t i n t e r v a l a r et h es a m e 凹t h en u m b e ri nt h ec o r r e s p o n d i n gc o m p o n e n t w h e nt h ew e i g h ti s p e r i o d i c ，a b o v er e s u l t si m p l yt h a tt h ei m p a c to s c i l l a t o re x h i b i t sc h a o t i c - l i k ed y n a m i c s k e y w o r d s ：l a t t i c e s ；s e c o n do r d e re q u a t i o nw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t ；i m p a c to s c i u a t o r ；t o p o - l o g i c a ld e g r e e ；缸e dp o i n tt h e o r e m ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；c h a o t i cd y n a m i c s w r i t t e nb yw a n g - c h a o ； s u p e r v i s e db yp r o f q i a n - d i n g b i a n i v 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：强晰 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名；一是2 鳃日期： 2 童! 丝圭生 导师签名：獬日期：，。导牡 格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为 第一章 一引言 本论文由两类重要的常微分方程模型一耦合格点系统和二阶变号位势方程的研究 组成，下面分两节陈述相应问题的研究背景、意义和本文的主要结果 1 1 格点系统 格点动力系统是由无穷个或有限多个常微分方程耦合的系统 1 j ，是一类重要的微 分方程模型，也是近年来微分方程和动力系统研究的热点之一格点系统在许多实际 领域中都有所应用，如力学【2 1 、化学反应理论 3 ，4 】、图象处理和模式识别【5 ，6 1 、材料 科学【7 ，8 1 、生物学 9 】- 【1 1 1 、电子工程【1 2 】、激光系统【1 3 】等近年来，在非线性项的不 同条件下对格点动力系统解的各种性质的研究取得了许多成果，包括数值结果例如 行波解【1 4 ，1 5 1 、孤立波解【1 6 ，17 】、格点系统解的混沌性质【1 8 ，1 9 、同步现象【2 0 】等 最近，有关h a m i l t o n 格点系统等保守格点系统的周期解、周期呼吸子和拟周期呼吸子 等的研究也有不少的结果，如【2 2 j - f 2 5 j 、 2 8 j 一 3 1 j 以及它们的参考文献 我们的论文研究一类非自治无穷维格点系统 彰+ c z ：= 9 一1 ( x i z 一1 ) 一9 1 ( z i + 1 一z ) + 7 k ( 亡) ，i z( i i ) 周期解的存在性和多解性，其中g ( z ) ：r _ r 连续，p ( t ) ：f 0 ，卅_ r 是t 一周期连续 函数 这个系统描述了一个一维单位质子链的运动，每一个质子在受到一个周期外力作 用的同时还与两边相邻的质子之间相互作用，其作用力是两个质子间距离的一个非线 性函数，质子在运动的时存在摩擦力当9 。= e “时，即质子间的回复力是距离的二 个指数递减的非线性函数时。系统( i i ) 就是经典的t o d a 链 2 1 1 当c = 0 且鬼( ) 三0 时，a r i o l i 和g a z z o l a 等人利用保守系统的变分结构用山路引 理等变分方法证明了周期解的存在性 2 2 一f 2 5 】与这些自治保守系统相比较，我们的情 形稍难处理一些一方面，由于阻尼项的存在，变分的方法无法使用；另一方面，周 期外力的出现使得解的动力行为变得更加复杂 最近，在文 2 6 ，2 7 1 中，t o r r e s 定义了两种不同类型的( 1 1 ) ，即当连续函数g i ：r _ r + 满足 粤夕( z ) = + 魄。9 i ( z ) = 0 时称( 1 1 ) 为t o d a 型以及当连续函数g i ：r + _ r + 满足 l i m9 i ( x ) = - b o o ，l i r a 9 i ( x ) = 0 1 格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为第一章 时称( 1 1 ) 为排斥奇异型针对t o d a 型和排斥奇异型方程两种情况，t o r r e s 运用拓扑 度的方法以及极限讨论得到了无穷多个周期解的存在性他的证明过程分为两步：第 一步，用拓扑度的方法研究与( 1 1 ) 相应的有限格点系统 ia 也。+ c z 。= 一g - n ( z 一。+ l z 。) + 一。( t ) + k 彰+ c z ：= g i 一1 ( z i z i 1 ) 一g i ( z i + x 一戤) + k ( t ) ，i = 一住+ 1 ，礼一1 ， ( 1 2 ) i + c z 二= g n 一1 ( x 。一x n - 1 ) + k ( t ) 一k ， 其中k r 、瓦= 0 ，通过寻找先验界来得到方程( 1 2 ) 至少存在一个周期解第二步， 使用在第一步得到的先验界对( 1 2 ) 进行简单的极限讨论可以得到( 1 1 ) 存在一个周期 解并且满足 吼( z 件1 0 ) 一z i ( t ) ) d = k t ，i z ( 1 3 ) 由k 的的任意性可知( 1 1 ) 存在无穷多个周期解 在【2 7 】中，作者推广了【2 6 】中的结果并且通过外力的平均值条件给出了周期解存 在的充分必要条件对于有限维系统 iz z + i = - - f f l ( x 2 2 ：1 ) + h x ( t ) ， z ，+ ：= g i 一1 ( 一z 一1 ) 一g i ( x i + i 一以) + 丸( t ) ，i = 2 ，n 一1 ， ( 1 4 ) i z ：+ c 矗= g n - l ( x n z 。一1 ) + h n ( t ) ， 其中c20 且是连续的t 一周期函数，至少存在个t 一周期解的充分必要条件是 瓦= 0 ， ( 1 5 ) 七 磁 0 ，k = 1 ，佗一1 ( 1 6 ) i = 1 对于无穷维系统( 1 1 ) ，至少存在一个t 一周期解的充分必要条件是存在一个正数j 白， 使得 k o s u p 一k ，孙 heni。=一1 i = 0 并且，在这种情况下，对每一个k k o 都存在( 1 1 ) 的一个丁一周期解z 满足 ，t 9 0 ( x l ( t ) 一z o ( t ) ) d t = k t ：( 1 7 ) 显然，对于有限维格点系统和无穷维格点系统两种情况，文【2 7 】中得到了两个明 显不同甚至相反的结论 在论文的第二章里，我们考虑在条件 2 格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为 第一章 ( g o ) 1 i r a 吼( z ) s 口( x ) = + c o ， i z l t o ( 9 1 ) 1 i m 掣= 0 ，i z i z l 1 _ “ 下系统( 1 1 ) 和( 1 4 ) 的t 一周期解存在的条件问题就像在【2 7 】中一样，我们希望能够 得到在有限维和无穷维两种情况下的类似的充分必要条件然而，有趣的是，在我们 的条件下，对于有限维的情况，我们可以通过外力的平均值条件给出周期解存在的充 分必要条件；而与此同时，对于无穷维的情况，周期解的存在无须通过外力的平均值 条件来给出了必要条件这个结果与【2 7 1 中的结论有所不同 类似于【2 6 】，对于有限维系统，我们首先通过一个变量代换将原系统约化为一个简 单的子系统；对于这个子系统。我们可以得到它的同伦方程周期解的先验界，这样， 运用拓扑度的方法就可以得到有限维系统周期解存在的充要条件其次，在有限维系 统的结果之上，利用所得先验界与维数无关的事实，运用 2 6 】中的极限讨论，我们证 明了无穷维系统存在无穷多个周期解但是，对于我们的系统。证明先验界的存在性 是有一定困难的受到文 3 2 j 的启发并且运用递推的方法我们解决了这一困难 定义构形空间 ，t = z = ( 钆 ) c 2 ( r ) “：x o ( t ) a t = 0 ) - ，u 和 ，t 7 - t = z = t z 】- t z c 2 ( r ) z ：z o ( t ) a t = o ) ，0 我们的主要结果是： 定理1 1 假设( 9 0 ) ，( 9 1 ) ，则( 1 4 ) 至少存在一个t 一周期解z 7 - 1 。的充分必要条件是 ( 1 5 ) 成立 定理1 2 假设( 9 0 ) ，( 9 1 ) 则对任意的k 丑，系统( 1 1 ) 都存在一个t 一周期解z 7 - 1 满足 ，t g o ( x l ( t ) 一z o ( t ) ) a t = k t ( 1 8 ) - ，0 这一部分的结果已发表在j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n 上( v 0 1 3 4 0 ， n o 1 ，2 0 0 8 ，p 4 4 - p 5 2 ) 3 格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为第一章 1 2二阶变号位势方程的动力行为 本文从第三章到第五章研究二阶微分方程 z + f ( x ) x 7 + g ( t ) g ( z ) = p ( ) ，( 1 9 ) 及其碰撞问题，其中： 1 ) ，：r _ r 连续且满足j c 0 ，i ，( z ) g ； 2 ) 9 ：r _ r 是局部l i p s c h i t z 连续函数且满足v s 0 ，g ( 8 ) s o ； 3 )权函数g ：r _ r 是连续的2 丌周期函数，口可以改变符号； 4 ) 外力p ：r _ r 是连续的2 丌周期函数 ( 1 9 ) 是一类重要的时变位势方程的模型，当权函数q 可以改变符号时，我们称之 为变号位势方程 对于变号位势方程，一个根本的事实是t 一方面，当函数g 满足某些超线性条件 时，在g 0 的区间上，解的可延拓性不成立其实，即使g 为正函数，仅有g 的连 续性也不能保证解的可延拓性，但c o f f m a n 和u u r i c h 指出，如果对口增加个弱正则 性条件汨4 如g 是连续的有界变差函数) ，则解的可延拓性是可以得到保证的 4 5 】但在 口 0 的区间上，解的可延拓性与口的正则性无关事实上，b u r t o n 和g r i m m e r 4 6 】给 出了当g 0 时解的全局可延拓性不成立的充分必要条件条件是 佃俐- l 如 慨或者仁一如 帆 其中g ( z ) ：= 后g ( s ) d s 另一方面，当p ( t ) 兰0 且函数g 满足某些次线性条件时，在 g 0( 1 1 0 ) h = 1 时就是经典的h i l l 方程) 由于非线性h i l l 型方程具有实际的应用背景，因此对 于它的周期解及相关动态行为的研究，一直被广为关注 1 9 6 5 年，w a l t m a n 首先在g 允许变号的条件下研究了方程 z ，+ q 0 ) z 2 n + 1 = 0 ，竹n 的振动解【3 4 】此后，对于一般的方程 + q ( t ) g ( x ) = 0 ( 1 1 1 ) 4 格点系统和二阶变号位势方程的周期解和相关动力行为 第一章 还有许多类似的工作 3 5 一【4 4 】 对于一大类( 包含( 1 1 0 ) ) 方程的周期解的存在性的研究， 的工作在超线性条件 l i m 趔：+ o o x - 4 = t = o oz b u t l e r 做了一些开创性 ( 1 1 2 ) 和条件 ，：考裔+o。(113t ) 。万丽 0 的区间上大范数解的快速振 动性与在q 0 v p r 2 同时，当a 是旋转映射时，p a p i n i 证明了至少存在个解在区间 o ，u 】上具有任意充 分大数量的零点而且特别指出，通过个变量代换可以将带阻尼的方程 z + c z 7 + 9 0 ) 夕( z ) = 0 ( 1 1 6 ) 的周期解问题转化为( 1 ) 的个f l o q u e t 型边值问题加以解决因此，对方程( 1 】6 ) ， 已经得到那些在一个周期内具有充分大数量的零点的周期解的存在性以及任意阶的无 穷多的次调和解的存在性 在文【6 4 1 中，p a p i n i 和z a n o l i n 研究超线性方程( 1 1 1 ) 的两点边值问题z ( o ) = z p ) = 0 他们的结论推广了【7 4 1 中的结果，在【7 4 】中夕( z ) = z 3 这个问题的主要意 义在于，一方面，超线性方程缺乏先验界，另一方面，由于口( t ) 变号而导致解的不可 延拓现象的出现，因此研究是否有全局解以及有多少是有意义的文【6 4 】中再次运用 b u l t e r 在【4 7 】中的方法证明了当g 满足 l i m l 夕( s ) l = + o o ( 1 1 7 ) - - 4 土 和 l i m7 - 十( c 1 = 0 l i r a 丁一( c ) = 0 c _ + o o 、7 c - - * - b o o 、 时边值问题无穷多个解的存在性，这些解在q 0 的区间上具有任意事先给定的大数 量的零点且在q 0 的区间上至多有一个零点在证明中，个主要的困难是：如何通 过个q 0 的区间( b ，c ) 将在q 0 的区间( a ，b ) 上有n 1 个零点的解与另一个在q 0 的区间( c ，d ) 上有n 2 个零点的解连接起来最后，为了克服这个困难，他们找到了一 个连续统，使得那些在a 时刻从连续统上的点出发的解可以延拓到时刻d 并且这些解 在( a ，b ) 内恰好有n 1 个零点，在( c ，d ) 内恰好有n 2 个零点同时，他们还可以规定或 者是z 或者是一在q 0 的区间上有一个零点重复使用上述讨论就可以证明结论 随后，c a p i e t t o 、d a m b r o s i o 和p a p i n i 6 5 】考虑方程 z + c z + g ( ) 9 ( z ) = 0 ，t ( a ，6 ) ，( 1 1 8 ) 的全局解的存在性和多解性问题，其中一o o 口 0 当c 0 时，由于可以通过 一个