（应用数学专业论文）cartan型模李超代数的二阶上同调群.pdf

东北师范大学博士学位论文 摘要 本文主要研究几类c a r t a n 型模李超代数的二阶上同调群我们知道，模李代数 和特征零域上的李超代数的相关理论已经非常丰富例如，特征大于3 的域上的有限 维单模李代数和特征零域上的有限维单的李超代数的分类问题已经被解决而作为 李代数的一个自然推广，李超代数成为研究物理体系性质的重要工具在过去的十多 年里，李超代数的理论已经有了很大发展，但是有限维单的模李超代数的分类仍然是 一个重要的公开问题上同调群在研究分类问题中具有重要的作用c a r t a n 型模李 代数的二阶上同调群已经被f a r n s t e i n e r 和邱森所确定设f 是一个特征p 2 的代 数封闭域我们知道一个李代数三的中心扩张，即二阶上同调群日2 ( 厶砸1 ) 可以由导 子妒：l 一口刻画，这里l + 表示l 的对偶空间f a r n s t e i n e r 利用导子和斜导子对素 特征域上的李代数二的中心扩张日2 ( l ，) 进行了经典的描述而邱森提出了一种统一 处理此问题的新方法，即直接计算日( 厶l + ) 。而在模李超代数的上同调相关理论方面， 一些具有非退化结合型的单的模李超代数的二阶上同调群也已经被确定例如，有限 维h a m i l t o n 模李超代数h ( m ，n ，t ) 以及n 一仇一5 三0 ( r o o dp ) 时有限维c o n t a c t 模 李超代数k ( m ，佗，t ) 的二阶上同调群已被确定若一个模李超代数l 是单的且没有非 退化结合型，则有日2 ( 厶f ) 和h i ( l ，l + ) 是同构的因而一些c a f t a n 型模李超代数的 二阶上同调群可以通过计算日1 ( 厶三+ ) 来得到在本文中我们将计算三类有限维c a r t a n 型模李超代数w ：= ( m ，n ，查) ，s ：= s ( m ，n ，量) 和k ：= g ( m ，佗，查) 的二阶上同调群 本文结构如下： 在第一章，我们首先简要介绍模李代数，特征零域上的李超代数以及特征p 0 域 上的李超代数的相关背景和公开问题 在第二章我们将研究有限维压阶化模李超代数的对偶空间导子的性质，并且给出 对偶空间导子是内导子的一些充分条件 在第三章和第四章，我们将分别证明两类有限维c a r t a n 型模李超代数和s 的 二阶上同调群是平凡的 在第五章我们将计算特征大于3 的代数封闭域上的有限维c a r t a n 型模李超代 i 东北师范大学博士学位论文 数k 的二阶上同调群的维数 关键词：c a r t a n 型模李超代数；导子；斜导子；上同调群 i i 东北师范大学博士学位论文 a b s t r a c t t h ep r e s e n tt h e s i si sd e v o t e dt os t u d y i n gt h es e c o n dc o h o m o l o g yg r o u p so fm o d u l a r l i es u p e r a l g e b r a so fc a r t a nt y p e a si sw e l lk n o w n ，t h et h e o r i e so fm o d u l a rl i ea l g e b r a s a n dl i es u p e r a l g e b r a so v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r oh a v eo b t a i n e dp l e n t i f u lf r u i t s ；f o r e x a m p l e ，t h ec l a s s i f i c a t i o n sh a v eb e e ns e t t l e df o rf i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i ea l g e b r a s o v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cp 3 a n df o rf i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i es u p e r a l g e b r a s o v e raf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ，r e s p e c t i v e l y a san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fl i ea l g e b r a s ， l i es u p e r a l g e b r a sb e c o m ee f f i c i e n tt o o l sf o ra n a l y z i n gt h ep r o p e r t i e so fp a y s i c a ls y s t e m s i nt h el a s tt e ny e a r s ，m a n yi m p o r t a n tr e s u l t so fl i es u p e r a l g e b r a sh a v eb e e no b t a i n e d ， b u tt h ec l a s s i f i c a t i o np r o b l e mi ss t i l lo p e nf o rt h ef i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l em o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a s c o h o m o l o g yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h er e s e a r c ho ft h ec l a s s i f i c a t i o n p r o b l e m t h es e c o n dc o h o m o l o g yg r o u p so fm o d u l a rl i ea l g e b r a so fc a r t a nt y p eh a v eb e e n d e t e r m i n e db yf a r n s t e i n e ra n dc h i u l e t b ea na l g e b r a c i a l l yd o s e df i e l da n dc h a r f = p 2 w ek n o wt h a tc e n t r a le x t e n s i o n so fag i v e nl i ea l g e b r al o re q u i v a l e n t l y , i t ss e c o n d c o h o m o l o g yg r o u ph 2 ( l ，砸) ，c a nb ec o n v e n i e n t l yd e s c r i b e db ym e a n so fd e r i v a t i o n s 妒： l l + ，w h e r el d e n o t e st h ed u a ls p a c eo fl f a r n s t e i n e rg a v eac l a s s i c a ld e s c r i p t i o n o fc e n t r a le x t e n s i o n sh 2 ( 厶f ) o fl i ea l g e b r alo v e rp r i m ec h a r a c t e r i s t i cf i e l db ym e a n so f d e r i v a t i o n sa n ds k e wd e r i v a t i o n s w h i l ec h i up r o p o s e dan e wu n i f y i n ga p p r o a c h ，w h i c h w a sm a i n l yb a s e do nt h ec o m p u t a t i o no fh 1 ( 厶l ) o nt h ec o h o m o l o g yo fm o d u l a rl i e s u p e r a l g e b r a s ，t h es e c o n dc o h o m o l o g yg r o u p so fs o m es i m p l em o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a s p o s s e s s i n gn o n d e g e n e r a t ea s s o c i a t i v ef o r m sw e r ed e t e r m i n e d f o re x a m p l e ，t h es e c o n d c o h o m o l o g yg r o u p so ft h ef i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns u p e r a l g e b r a 日( 粥，绍，量) a n d t h ec o n t a c ts u p e r a l g e b r ag ( m ，礼，蓟f o r 孔一m 一5 兰0 ( m o dp ) h a v eb e e ns u f f i c i e n t l y s t u d i e d w h i l ei fam o d u l a rl i es u p e r a l g e b r ali ss i m p l ea n dd o e sn o tp o s s e s sa n y n o n d e g e n e r a t ea s s o c i a t i v ef o r m ，t h e nh 2 ( l ，f ) a n dh 1 ( l ，l + ) a r ei s o m o r p h i c ，t h u st h e s e c o n dc o h o m o l o g yg r o u p so fs o m em o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a so fc a r t a nt y p ec o u l db e t t t 东北师范大学博士学位论文 d e t e r m i n e db yt h ec o m p u t a t i o no fh 1 ( l ，l + ) i nt h i sp a p e rw es h a l ld e t e r m i n et h es e c o n d c o h o m o l o g yg r o u p so ft h ef i n i t ed i m e n s i o n a lm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r a so fc a r t a nt y p e w ：= w ( m ，佗，量) ，s ：= s ( m ，n ，蓟a n dk ：= g ( m ，佗，互) t h ep a p e ri so r g a n i z e da 8f o l l o w s i nc h a p t e r1 w ef i r s tr e v i e wb r i e f l yt h eb a c k - g r o u n di n f o r m a t i o n sa n d s o m eo p e np r o b l e m so nm o d u l a rl i ea l g e b r a s ，l i es u p e r a l g e b r a s o fc h a r a c t e r i s t i cz e r oa n dc h a r a c t e r i s t i cp 0 ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r2 ，w es h a l ls t u d y t h ep r o p e r t i e so fd u a ls p a c ed e r i v a t i o n so ff i n i t ed i m e n s i o n a lz - g r a d e dm o d u l a rl i es u p e r - a l g e b r a sa n dg i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fd u a ls p a c ed e r i v a t i o n sb e i n gi n n e r i nc h a p t e r3 a n d4 ，w es h a l lp r o v et h a tt h es e c o n dc o h o m o l o g yg r o u p so ft h ef i n i t ed i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e dw i t tl i es u p e r a l g e b r awa n ds p e c i a ll i es u p e r a l g e b r asa r et r i v i a l i nc h a p t e r5 ， w es h a l lc o m p u t et h ed i m e n s i o no ft h es e c o n dc o h o m o l o g yg r o u po ft h ef i n i t ed i m e n s i o n a l c o n t a c ts u p e r a l g e b r ako v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cp 3 k e y w o r d s ：m o d u l a rl i es u p e r a l g e b r ao fc a r t a nt y p e ；d e r i v a t i o n ；s k e wd e r i v a t i o n ； c o h o m o l o g yg r o u p 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 羔豸盘爿 日期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学 位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文 数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行 和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：翌匿爿 指导教师签名： 日 期：出垒z 。：山 日 期： i 移永巴 叟皇2 。皇：皇旦 工作单位： 睑器e 塞! 旺堇型萱 电话：丝l 圭彰；d d 通讯地址：培；上良啦日誊苤三缸豁龇 邮编：上鱼坚l 东北师范大学博士学位论文 第1 章引言 李代数是挪威数学家m s l i e 在1 9 世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学 概念，它与李群的研究密切相关李代数和李群理论在建立之初，就表现出在理论和应用 上的重要价值尤其在2 0 世纪2 0 年代，e c a f t a n 的r i e m a n n 对称空间理论出现后，指 出了李群理论，特别是半单李群和微分几何学的重要内在联系e c a r t a n 的工作在近 代数学中有着很大影响，引起各种推广和应用r i e m a n n 对称空间的研究在一定意义上， 归结为半单李群的研究，而半单李群的研究又归结为半单李代数的研究随着时间的推 移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升到2 0 世纪8 0 年代，李 代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重 要问题的来源李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论 物理的许多领域李超代数是在李代数基础上发展起来的一个代数学的分支上世纪七 十年代理论物理中的超对称问题引发数学上对李超代数的研究李超代数理论与组合数 学、顶点算子代数、微分流形、微分几何、拓扑学等重要的数学分支有深刻联系，因而 该方面的研究工作十分活跃李超代数首先在美国、俄国、德国和法国迅速发展在我 国，受k a c 于1 9 8 6 在中国讲学的影响，特别是他在2 0 0 2 年国际数学家大会的一小时报 告，李代数与李超代数的研究水平有了长足的提高，科研队伍不断壮大我们知道，李超 代数的偶部分恰为李代数，其奇部分为偶部分的自然模因此李超代数的研究往往要借 鉴李代数的结果与方法，与李代数的研究密不可分根据基域的特征，李超代数分为非 模李超代数与模李超代数，即特征零域上的李超代数和素特征域上的李超代数关于非 模李超代数，具有开创意义的研究结果当属v g k a c 的分类工作在1 9 7 7 年，k a c 对 特征零域上的有限维单李超代数进行了完全分类 1 1 1 9 9 8 年，k a c 又完成了特征零代数 闭域上无限维单的线性紧致李超代数的分类【2 】近年来，李超代数及其相关理论在更多 方面取得了实质性结果例如，典型李超代数表示及特征标理论、上同调群、李超群、 例外李超代数的结构与表示等等【3 ，4 一 东北师范大学博士学位论文 1 1 模李超代数发展概况 特征零李超代数的理论已经比较完善【6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 , 圳，而模李超代数尚有许多 重要的研究课题但由于早期模李代数表示理论发展的限制以及有限特征带来的困难等 原因，直到1 9 9 2 年对模李超代数才有了专门研究【1 5 ，1 6 i 模李超代数与特征零李超代数 既有密切联系，又有本质不同例如，许多有限维单模李超代数没有非退化的k i l l i n g 型， 甚至没有非退化的结合型，因此有限维单模李超代数的二次上同调群或中心扩张有丰富 的研究内容又如，李定理对模李超代数不成立，这导致可解模李超代数的有限维不可约 表示未必是1 维的素特征基域和超结构使得模李超代数的研究难度加大，特征零代数 的许多研究方法对模李超代数不再奏效，然而特征零李超代数与模李代数的研究结果和 思想还是为模李超代数研究提供参考和可行性 研究模李超代数的另一个有效途径是借鉴模李代数的理论和方法模李代数的研究 也已经有了比较丰富的结果上世纪八十年代r e b l o c k 和r l w i l s o n 1 7 】合作完成 了特征大于7 的有限维单限制李代数的分类，九十年代末h s t r a d e 1 8 】完成一般有限维 单模李代数的分类( 特征大于7 ) ，2 0 0 6 年p r e m e t 和s t r a d e 宣布了特征大于3 的分类 结果在表示方面，张禾瑞先生【1 9 1 给出的w i t t 代数不可约模的完全分类一直是最经典 的上世纪八、九十年代，沈光宇先生等 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 】在c a r t a n 型模李代数的不可 约表示上发表系列重要文章，h o m l e s l 2 6 等人进一步发展了限制c a r t a n 型李代数的表示 理论典型模李代数和代数群表示也已经获得很多重要进展 而对模李超代数的研究，最早当属限制李超代数概念的引入，即对偶于限制李代数 的( p ，2 p ) 结构【”，1 6 i 1 9 9 6 年，f a r n s t e i n e r 2 7 1 对限制李超代数及f r o b e n i u s 扩张做了进 一步研究小特征模李超代数的研究结果在一定程度上蕴涵着模李超代数的特殊性引 入模李超代数限制结构的意义在于，一方面，每个模李超代数均可以嵌入一个限制李超 代数中，从而可以利用( p ，2 p ) 映射研究结构问题如同模李代数和特征p 结合代数，限 制结构和f r o b e n i u s 映射是特征p 代数体系特有的重要概念和工具另一方面，容易 证明模李超代数的任何有限维不可约表示均具有唯一的矿特征标，这使得我们可以像 模李代数情形一样对表示问题进行深入研究1 9 9 7 年，张永正教授 2 s l 利用除幂代数 与外代数的张量积上的微分算子构造出c a f t a n 型模李超代数2 0 0 6 年d l e i t e s 和i s h c h e p o c h k i n a 4 提出关于有限维单模李超代数分类的猜想，它大致上说，有限维单模李 超代数可以通过下面三种方法得到：取有限维单的复李超代数的压形式( 例如利用整 基) 再与特征p 的域做张量积并取其所有单子商；取复向量场李超代数的除幂对偶( 即 2 东北师范大学博士学位论文 用除幂代数代替多项式代数) 并取其所有单子商；取上述方法所得代数的可能的非平凡 形变解决这一公开问题，即给出有限维单模李超代数的完全分类，是极富挑战性的近 年来关于模李超代数的研究主要在于以下几个方面：模李超代数的限制结构或0 ，助) 结构，p 包络代数，p 特征标及简约泛包络代数f 1 6 j ；c a r t a n 型模李超代数的结构性质和 单性、限制性1 2 9 ，孤3 1 ，3 2 ，3 3 ，鸪a s ；某些c a r t a n 型李超代数阶化模的实现，不可约表示 分类【3 6 ，3 7 】；某些深度1 的阶化单李超代数的实现；某些c a r t a n 型模李超代数的上 同调群【3 9 】；小特征模李超代数构造等等【如】 1 2 公开的问题 尽管模李超代数的研究已经取得了许多重要结果，但许多重要问题尚未解决下面 列出其中的一些 问题1 分类问题 有限维单模李超代数的分类是模李超代数的一个重要和基本问题张永正教授【2 8 】 给出了关于分类问题的一个如下猜想：当域f 的特征大于7 时，除李代数外( 李代数是 具有平凡z 2 一阶化的李超代数) ，在同构的意义下，砸上任一有限维单李超代数或为典型 的，或为严格c a r t a n 型的，或为广义c a r t a n 型的分类问题是一个很困难的问题，但构 造单模李超代数并研究其结构和表示，围绕有限维单模李超代数的分类做阶段性工作也 是有深刻意义的 问题2 模李超代数的表示理论 八十年代，沈光宇【2 0 2 1 ，冽成功地构造了从一般线性李代数的表示到交换结合代数 的导子李代数的表示的一类函子，并把这种构造法用于决定c a r t a n 型李代数限制表示 的分类典型模李代数和代数群表示也已经获得很多重要进展，例如，有限维模李代数 的不可约表示已被证明必是有限维的，而一般线性模李代数的不可约表示的分类也已完 成对于典型模李超代数及相应代数群的表示以及限制c a r t a n 型模李超代数的表示还 有着非常大的研究空间 问题3c a f t a n 型模李超代数的自同构群 关于c a f t a n 型模李代数的自同构群，目前已经有较完整的结果【4 1 ，4 2 ，删，限 制c a r t a n 型模李超代数的自同构群也有了结果，而非限制c a f t a n 型模李超代数的 自同构群与底代数自同构群目前结果尚少 问题4c a r t a n 型模李超代数的上同调群 四类c a r t a n 型模李代数以及具有非退化结合型的c a x t a n 型模李超代数在平凡模 3 东北师范大学博士学位论文 上的二阶上同调群已经确定【3 9 ，4 5 ，4 6 ，4 7 1 ，而对没有非退化结合型的c a r t a n 型模李超代 数在平凡模上的二阶上同调群还有很多问题没有解决 1 3 本文的结构 本文的主要内容就是研究前面所说的问题4 群的上同调是上个世纪二、三十年代 发展起来的，它已经成为联系代数研究和拓扑研究的重要桥梁，并且创造了数学中重要 的新领域如同调代数及代数k - 理论等上同调概念最初来源于拓扑学，通俗地说，上同 调理论提供了一种方法将拓扑对象分割成一些比较容易研究的片，上同调群则包含了如 何将这些基本片装配成原来对象的信息广义的上同调论提取关于拓扑对象的性质的信 息，并将这些信息翻译成群论语言上同调理论是广为人们关注的一个重要课题，代数 的一阶上同调群归结为内外导子的研究，二阶上同调群的研究等价于代数的中心扩张的 分类c a f t a n 型模李代数的二阶上同调群的结果主要由r o l ff a r n s t e i n e r 4 5 ，4 6 1 和邱森得 到【绷f a r n s t e i n e r 得出了四类c a r t a n 型模李代数的二阶上同调群日2 ( l ， ) 的维数，这 里l = w ( n ，回；s ( 3 ，盟) ；h ( n ，盟) 或k ( n ，盟) ，f 是特征p 3 的代数封闭域而邱森 提出了统一解决c a r t a n 型模李代数的二阶上同调群的办法，得到了以下几类c a r t a n 型 模李代数在特征p 的代数封闭域上二阶上同调群的结构： ( i ) w ( n ，回 o ) ( i i ) s ( n ，盟) ( 礼3 ，p 2 ) ( i i i ) h ( n ，盟) 2 ) ( i v ) k ( 佗，盟) 2 ，佗+ 3 0 ( r o o dp ) ) 而模李超代数的上同调群也已经有了一些结果对于有非退化结合型的单模李 超代数，如有限维h a m i l t o n 模李超代数h ( m ，佗，t ) 和c o n t a c t 模李超代数g ( m ，n ，至) ( 扎一m 一5 三0 ( r o o dp ) 时) 的二阶上同调群已经有了相应结果【3 9 j 若一个李超代数l 是单的且没有非退化结合型，则我们知道h 2 ( l ，砸 ) 和日1 ( 厶己+ ) 是同构的f 3 9 1 在本文中 我们将通过计算日1 ( 厶) 来研究c a r t a n 型模李超代数w ( m ，n ，量) ，s ( m ，扎，查) p 2 ) 和k ( m ，n ，圭) ( p 3 ) 的二阶上同调群在第二章我们首先研究有限维z 一阶化模李超代 数的对偶空间导子的性质在第三章和第四章，我们将证明有限维c a r t a n 型模李超代 数w 和s 的二阶上同调群是平凡的，在第五章我们将计算特征大于3 的代数封闭域上 的有限维c a f t a n 型模李超代数k 的二阶上调群的维数 4 东北师范大学博士学位论文 1 4 预备知识 为了后面引用的方便，本节集中叙述了以后各章常用到的模李超代数的有关概念与 结论记z ，n 和分别为整数集，正整数集和非负整数集z 2 = 石，t ) 表示整数模2 的剩余类环设a 是域上的代数，并且a 还是z 2 一阶化线性空间，即a 可分解为子空 问的直和：a ；岛oa r 如果a o a pca o + 对任意秽，z 2 ，则称a 是f 上的超代数 若z a o ，其中秽z 2 ，则称z 是次数为目的z 2 齐次元素，并记p ( x ) = p 因为非齐 次元素可表为齐次元素的和，故不失一般性，本文中超代数中的元素均指z 2 齐次元素。 定义1 4 1 设l = 岛。研是f 上的超代数，它的乘法运算用【，】表示如果 p ，引= 一( 一1 ) p ( 。) p ( b ，z 】，v z ，y l ； ( 一1 ) p ( z ) p ( z p ，陌，名】+ ( 一1 ) p ( ) p ( 可陌，防，z 】+ ( 一1 ) p ( ) p ( 名k ，k ，引】= 0 ，v x ，y ，z l ， 则称己是砸上的李超代数 若a = o a r 是结合超代数( 即运算满足结合律) ，在a 上定义运算： k ，y 】= x y 一( 一1 ) p ) p ( u ) y x ，v z ，y l 直接验证知a 关于此运算是一个李超代数，称它为与结合代数关联的李超代数，记 为a 一若v = o 嵋是域上的z 2 一阶化空间，则显然y 的所有线性变换构成的线 性空间e n d ( v ) 关于线性变换的乘法构成一个结合超代数，故e n d ( v ) 一是李超代数，我 们简记为g t ( v ) ，称为y 的一般线性李超代数 定义1 4 2 若李超代数己只有平凡理想 o 和厶并且陋，l 】0 ，则称l 是单李 超代数 定义1 4 3 设l = 岛0 断是上的李超代数。若l = ol i ，其中厶是l 的z 2 一 阶化子空间，并且厶l jc 厶州，v i ，歹z ，则称l 是压阶化李超代数 设a = 知。生与a 7 = 磊。鹆是超代数，：a a 是线性映射若( 山) c 4 基w z 2 ，则称妒是偶线性映射若偶线性映射咖还满足 ( z 秒) = ( z ) ( 秒) ，v x ，y a ， 则称西是a 到4 7 的同态映射以上同态的概念同样适用于李超代数 定义1 4 4 设l = o 研是砸i 上的李超代数，u ( d 是域f 上的结合超代数， 设i ：l u 亿) 一是李超代数的同态若对上任意结合超代数a 与任意李超代数的 5 东北师范大学博士学位论文 同态厂：l 一4 一，都存在唯一的结合超代数的同态7 ：u ( l ) 一a ，使得厂= 一f i ，那么 我们称( u ( 上，) ，i ) 为李超代数l 的泛包络代数，通常简称u ( l ) 为l 的泛包络代数 定理1 4 5 ( p b w 定理【4 8 】) 设l = 岛ol y 是f 上的李超代数，x l ，z m 是b 的f - 基底，y 1 ，y - 是断的n 基底设u ( l ) 为l 的泛包络代数，则所有形如 z ：1 z m k m 犰1 玑t 的元素构成了u ( l ) 的f - 基底，其中0 ，i = 1 ，m ，1 i 1 2 的代数封闭域在本章中设l = 切。研是域砸上的一个有限 维李超代数，它有z - 阶化：l ：o ql i 则l 木：h o m f ( l ，f ) ：6 ( ) i 是一个z - 阶 i = - ri = - - q 化l 模，它的模结构由下面的式子定义： ( z ，) ( 秒) = 一( - - 1 ) p ) p ( ，( p ，秒】) ，v z ，y l ，l + 设hcl onl o 是l o 的一个幂零子代数l = o 三( a ) 和l + = o ( l ) ( p ) 分另l j a0er 为己和三关于日的权空间分解由于hcl onl 石，则存在子集tca ，dcf 使得 l 严o l in l ( a ) ，( l 事) 歹= o ( l + ) jn ( 巩国 a i p r j 进而l 有zxm a p ( h , f ) 一阶化结构，这里m a p ( h ， ) 表示由h 到i 的映射群l - 模扩也是zxm a p ( h ，f ) 一阶化的，它由 ( l 4 ) ( i ，a ) = ，l + i 厂( 岛nl ( p ) ) = 0 ，v ( j ，p ) 一 ，q ) ) 所定义因此我们有 ( ) ( ，口) = ( l ) n ( f ) ( a ) 命题2 1 1 脚】设l + = o ( l + ) ( p ) 是l 宰i ( 5 - h 的权空间分解则以下结论成立： l ( 1 ) f = 一且对任意p f 有皿模同构( l + ) ( p ) 笺( l ( 一p ) ) 事 ( 2 ) r t = - a 而- q i r 定义2 1 2 若一个线性映射( 1 9 ：l 斗满足对任意z ，y l 有 妒( k ，引) = ( 一1 ) p ( 妒) p o ) z 妒( 可) 一( 一1 ) p ( i p ( ) ) p 白可妒( z ) ， ( 2 1 1 ) 则称妒是己到其对偶空间口上的一个导子 q 东北师范大学博士学位论文 定义2 1 3 一个导子妒：l l 4 称为内导子是指对所有z l ，存在，l + 使得 妒( z ) = ( 一1 ) p ( m ( 卫) z ， ( 2 1 2 ) 令d e r f ( l ，工，+ ) 表示由l 到己4 的导子空间，i n n f ( l ，l + ) 表示由l 到l + 的内导子 空间 d e r f ( l ，l ) 从己和l + 继承了z m a p ( h ， ) 阶化结构一个次数为( i o ，q o ) 的齐 次导子妒d e r f ( l ，l + ) 由下面式子所定义： 妒( 己tnl ( q ) ) c ( l + ) t + 薯on ( l + ) ( q + 咖) ，v ( i ，q ) zxm a p ( h ，) 令s ：u ( l ) 一u ( l ) 表示u ( l ) 的反同态，即满足 s ( 1 ) = 1 ，s ( x ) = 一z ，v x 厶 s ( u v ) = ( 一1 ) p ( ) p ( 口) s ( 可) s ( 让) ， v u ，秽u ( l ) 观察扩的u ( l ) 一模结构，它由l 到9 1 ( l + ) 的表示所诱导，对任意让u ( l ) ， l 宰，z l 满足 ( u ，) ( z ) = ( 一1 ) p ( 钍) p ( ，( s ( 钆) z ) ( 2 1 3 ) 命题2 1 4 设l = u ( l 一) l q ，妒：l 叫己是一个次数z 2 r 一口的齐次线性映 射设l 一可由l 的子集a 所生成若对任意z a ，y l ，有 妒( 囟，引) = ( 一1 ) p ( 妒) p o ) z 妒( 可) 一( 一1 ) p ( 妒( $ ) ) p ( 可秒妒( z ) ， 则妒是一个导子 证明：容易证明 n ：= z ll 妒( 陋，秒】) = ( 一1 ) p ( 妒) p ) z 妒 ) 一( 一1 ) p ( 妒 ) ) p c y ) y 妒( z ) ，v y l ) 是己的一个子代数由假设知acn ，故有己一c 因而是l 的一个u ( l 一) 一子 模由l = u ( l 一) l 口，故我们只需证l 口cn 设z 是厶中的一个元素则有 p ，引厶，v y l i q - r 由z 2 r 一口，可得妒( k 秒 ) = 0 容易验证妒( z ) = 0 设y l j ，则 z 妒( 可) ( l + ) q + j + 由g + 歹- 1 - z r ，我们有z 妒( 秒) = 0 进而有z n ，命题得证 口 1 n 东北师范大学博士学位论文 定义2 1 5 一个导子妒：l 呻口称为斜导子是指对任意z ，y l ，满足 妒( z ) ( 秒) m 一- - 1 ) p ) p ) 妒( 可) ( z ) (