理学chapterppt课件

设刚体绕固定轴Oz以角速度转动,各体元的质量分别为m1,m2,mn,各体元到转轴Oz的距离依次是r1,r2,rn，各体元的速度分别为v1,v2,vn,n个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为：,一、刚体的转动动能(Rotationalkineticenergy),5-2刚体动力学,单个体元的动能：,注意：ri,1,式中称为刚体对转轴的转动惯量。,代入动能公式中,得到刚体转动动能的一般表达式,刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。所有点做圆周运动时的动能总和。,用J表示：,平动惯性,转动惯性,2,二、刚体的转动惯量(Momentofinertia),刚体的转动惯量J与质点的质量m相对应。在质点运动中,质点的质量是质点惯性的量度。在刚体转动中,刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。,若刚体的质量连续分布,转动惯量中的求和号用积分号代替,与转动惯量有关的因素：,刚体的质量大小和分布、转轴的位置、刚体的形状。,3,1.转动惯量的计算,（1）均匀细棒（对中点和端点轴的转动惯量）,将棒的中点取为坐标原点,建立坐标系Oxy,取y轴为转轴。在距离转轴为x处取棒元dx,其质量为,4,将棒的端点取为坐标原点,建立坐标系Oxy,取y轴为转轴。在距离转轴为x处取棒元dx,其质量为,5,（2）均匀圆环与圆盘对过质心的垂直轴的转动惯量,均匀圆环:,6,圆盘:,盘的质量面密度为,取半径为r、宽为dr的圆环如图所示，其质量为,圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为,与圆环比较,7,（3）球体对通过球心的轴的转动惯量,球的质量体密度为,8,结论：,（1）与质量有关；（2）与转轴有关；（3）与质量分布有关；（4）与形状有关,9,几种常见形状的刚体的转动惯量,10,11,2.两个定理,（1）平行轴定理,式中JC为刚体对通过质心的轴的转动惯量,m是刚体的质量，d是两平行轴之间的距离。,证明：,刚体上任意质量元，整个刚体对OZ轴的转动惯量为,12,根据余弦定理：,C为原点，CO为x轴，则：,13,因为我们选质心为原点，所以,刚体对于某轴的转动惯量等于刚体对通过其质心且与该轴平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积平行轴定理,刚体对于通过质心轴的转达惯量最小,14,(2)垂直轴定理,若z轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面,xy平面与板面重合,则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系,证明：设薄板平面分布在xy平面内，则薄板对各轴的转动惯量为：,15,例1：一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m的均匀细棒,绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度=63rads-1旋转,求转动动能。,解：细棒对转轴的转动惯量为J,求转动动能Ek,棒的转动动能为：,16,解：两平行轴的距离,代入平行轴定理，得,17,例3：求质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。,解：,圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为,垂直轴定理,由于对称性,所以,18,三、力矩作的功,在刚体转动中,如果力矩的作用使刚体发生了角位移,那么该力矩也作了功。,因为dsi=rid,并且cosi=sini,所以,在刚体转动中,外力所作的元功为,mi,19,式中Mzi是外力Fi对转轴Oz的力矩。,在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的总功为,式中是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力矩的代数和,也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩Mz。,20,如果刚体在力矩Mz的作用下绕固定轴从位置1转到2,在此过程中力矩所作的功为,力矩的瞬时功率可以表示为,式中是刚体绕转轴的角速度。,若(常数)，则,21,质点：力是运动状态变化的原因,刚体：力矩是转动状态变化的原因,功能原理：,A外+A非保内=E(Q)E(P)=E,对于刚体，质点间距不变，内力成对出现。对定轴转动刚体，机械能就是转动动能。,外力对刚体所做的功等于其转动动能的增量。,因为,四、转动定理,22,用dt同除等式两边，得：,上式就是转动定理的数学表达式。,在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。,23,注意：,1.在相同外力矩作用下，转动惯量大的刚体，获得的角加速度小，转动状态不易改变，则称其转动惯性较大；转动惯量较小的刚体，获得的角加速度大，转动状态容易改变，则称其转动惯性较小。,2.转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似的,合外力矩与合外力相对应,转动惯量与质量相对应,角加速度与加速度相对应。,24,在定理中，当Mz0时，则0，是恒量。这说明刚体受合外力矩为0时，若刚体最初静止，则保持其静止状态；如果最初匀速转动，则保持匀速转动状态第一转动定理。,25,五、动能定理(theoremofkineticenergy),积分：,定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。,26,六、转动定理的应用,1、已知刚体的运动情况和转动惯量，根据转动定理通过求出运动学和动力学的联系角加速度，从而求出合外力矩或某一外力。,27,例4：质量为m1的物体置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸长的细绳拉着,细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为m2的物体,如图所示。已知滑轮是一个质量为M,半径为r的圆盘,轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与m1之间的绳子的张力、滑轮与m2之间的绳子的张力以及物体运动的加速度。,M,28,解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。,解以上四个联立方程式,可得,29,30,例题5：一根长度为L、质量为m的均匀棒放置在水平桌面上，其一端固定，在外力矩作用下此棒可绕此固定点沿桌面转动。在某时刻将外力矩撤去，此时棒的角速度为0，由于棒与桌面之间存在摩擦，经过一段时间棒停止运动。若棒与桌面之间的摩擦系数为，试求从外力矩撤去到棒停止转动，棒转过的转数和摩擦力矩所作的功。,解：由于摩擦力矩的作用，棒的转动状态不断改变，最后停止，因此，此题的关键是求摩擦力矩。求得摩擦力矩后，根据转动定理求角加速度，然后根据力矩作功求摩擦力矩所作的功。,31,（1）求摩擦力矩,摩擦力矩是由桌面对棒的摩擦力引起的。由于棒上各处到固定点的距离不同，产生的力矩不同。将棒分成若干棒元，棒元长度为dl,质量为：,在距固定端l处的棒元所受桌面的摩擦力,此摩擦力对棒提供的力矩为,32,若取z轴垂直桌面向上，棒的角速度沿z轴向上，为正值，而摩擦力矩的方向必定沿轴的负方向，故取负值。则摩擦力矩为：,（2）求角加速度,根据转动定律,其中，棒相对一端的转动惯量,角加速度为负值，表示为减速转动,33,（3）求外力矩撤去后棒转过的转数,先求转过的总角度。根据匀变速定轴转动规律,将代入上式：,转动的转数为：,（4）求摩擦力矩所作的功,34,另外，还有另外一种求解方法。根据动能定理,将转动惯量代入上式即可,2、已知转动惯量和力矩，求刚体运动情况,35,解：（1）要求转动动能Ek，必须求出均匀细棒相对于通过过端点轴的转动惯量J。,例题7：长度为l、质量为m的均匀棒悬挂在通过其顶端的水平轴上，并可绕此轴在竖直平面内作无摩擦的摆动。如果棒自由摆动通过平衡位置时，底端的速率为v，试求：（1）棒通过平衡位置时的转动动能;（2）棒摆动的最大偏角m；（3）在从平衡位置到达最大偏角m的过程中，在任一位置时棒的角加速度。,36,棒通过平衡位置时底端的线速度为v，则棒此时角速度为,此时棒的转动动能为,（2）假设棒处于平衡位置的重力势能为零，当它摆动到最大偏角时，质心位置升高了h，则,37,根据机械能守恒定律，当棒达到最大偏角时应有,将J和h代入上式，可以得最大偏角：,（3）在从平衡位置达到最大偏角的过程中，棒受到由自身重力引起的力矩的作用，此力矩与棒的偏角有关，可表示为,38,棒的角加速度就是由该力矩引起的。所以，根据转动定理有,解得棒的角加速度为,角加速度的方向与力矩的方向同向，他们都与角速度的方向相反。,39,3、已知运动情况和力矩，求刚体的转动惯量,例9:将待测车轮悬挂起来，它可绕自己的中心轴转动，用一根轻绳缠绕若干圈后，另一端系一质量为m的物体。若测出轮子的半径R，让物体m从静止开始下落h，测出所需时间t，便可测出车轮的转动惯量。,方法一,m作初速为0的匀加速直线运动,车轮作初速为0的匀加速转动,40,(1)以m为研究对象,(2)以车轮为研究对象,联解上述四个方程，得：,41,方法二,(1)以m为研究对象,联解上述四个方程，得：,42,5-1刚体的运动,小结,刚体:在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体。或者说物体上任意两点的相对位置保持不变。,平动在刚体运动过程中,如果刚体上的任意一条直线始终保持平行,这种运动就称为平动,转动在刚体运动过程中,如果刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴,43,刚体的定轴转动,1.描述刚体转动的物理量,2.匀变速转动公式（=恒量）,3.刚体运动学中角量和线量的关系,刚体作定轴