（基础数学专业论文）带有梯度项和吸收项的非线性退化扩散方程整体解的存在性和熄灭.pdf

中文弦要 摘要 本文在区域q = f ix ( 0 ，o o ) 上研究了类带有梯度项和吸收项的非线性退化扩 散方程吨= t l 饥一a 矿+ i v u d i q 的初边值问题解的1 生尻其中m l ，p 0 ，a 0 ，1 q 警，qcr j r 是有界区域，初值牡( z ，o ) = u o ( z ) l ( q ) 且 t o ( z ) 0 我f f 丁证明了在m ，p ，q ，a ，u o 某些假设下e 述问题整体弱解的存在性和熄 灭 英文摘要 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ei n i t i a lb o u n d a r yp r o b l e mf o ra c l a s sd e g e n e r a t en o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hg r a d i e n tt e r ma n da b s o r p t i o n o ft h ef o r mu t = t m a u p + l v 铲l 曩o nq = q ( 0 ，o o ) ，w h e r em l ，p o ，a 0 ，1s 口 零，qcr i sab o u n d e dd o m a i n t h ei n i t i a ld a t a t ( z ，0 ) = t o ( z ) ( q ) w i t h 珏o ( z ) 0 w eo b t a i ne x i s t e n c ea n de x t i n c t i o n i nf i n i t et i m eo fg l o b a lw e a ks o l u t i o n sf o ra b o v e - m e n t i o n e dp r o b l e mo ns o m e a s s u m p t i o nf o rm ，p ，g ，a ，u o k e yw o r d sld e g e n e r a t ed i f f u s i o n ；e x i s t e n c e ；e x t i n c t i o n 厦门大学学位论文原刨性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任 声明人( 签名) 1 年 迅钨。 歹月琴日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打 ，) 广、，、 月月 ，-l。 年年 秒 历 期期 d 匕j ，似基 备备登鍪者师作导 蒂有梯度暖和暖载磺磅 线蠖逶讫驴袭旁寝整臻解考辱存在挂和熄必l 第节引言 许多非线性扩散现象可以归结为下面的拟线性抛物型方程 钕= a u 辩+ 斌+ | v 矿 其中m o ，p o ，g o ，馥 o ，天是常数。方程申l v 铲| 孽描述扩靛过程中的对 流干扰现非线性填a 矿描述扩散过程中的非线性源，当a 0 时称为燃源”， 入 0 时称为。冷源”，也称为吸收项，芷如扩散过程所表现的那样，非线性源的出现 将对解的性质产生一系列的影响例如当存在。热源时，方程的解可能出现b l o w - 印现氛器f 解在有限时闻内可能无界此时为使方程存在广义解，簧对初值u o 在 m = o o 处的增长阶比a = 0 的情形附加更强的条件当存在。冷源”时，对初值 u o 的增长阶的限制比天= 0 的情形更宽，在某些情形下对任意u o 嗣( 尉v ) 黼 解 上面的方程鹣明确的物理背景s 假设有种歹阿压流体在均匀、各惠两挂的蹦 性多孔介质中流动由质量守恒定律，有 蓑+ 搬矿= o ， 捧薹) 其中矿表示渗流速度，毋为介质的孔隙攀d a r c y 定律给毖 v = - k ( e ) v , i , ， ( 1 2 ) 其中k ( 0 ) 为液导系数，委为总位势，参觅【王】，阁 假设吸附作用、化学作用、渗透效应和热效应都可忽略，则圣可液成 圣一霍+ 石 ( 1 3 ) 右端舞卜域雯是毒予毛缨管俸霄产生的吸力蔫弓 起的静力学位势，第二琨渤位 势，这里我们取坐标( 而s ，名) ，使名轴垂直向上 带有梯度项和吸收项的非线性退化扩散方程整体解的存在性和熄灭 2 赛= d i v ( k c o ) w ) + 百0 k ( 0 ) ( 1 4 ) 变量0 与皿之间的关系可根据经验确定，由于滞后效应它可能很复杂 对许多介质，雪是0 的函数，且k ( 口) 学与k ( 9 ) 有种合理的选择。 k ( 口) 苦= 玩俨，k ( 口) = 硒俨， 其中d o ，k o ，m ，n 均为正常数，且1 m n 此时，在适当改换变量后，就变成 筹= 俨+ 等 ( 1 5 ) 参见f 1 】，【2 】，【3 1 如果所考虑的是流体在水平柱中的运动。则得到方程 豢：俨 ( 1 6 ) 一= z 1 仃 1 ih l 现 、“”， 如果所考虑的是流体在铅垂柱中的运动，则得到方程 塞= 竺o z 2 + 塑o z ( 1 7 ) 一= 一+ 一 fl 7 l 夙 。 、“， 在等离子体物理中也提出形如的方程，但其中m 满足0 0 ，l q 等； 0 u o 俨( q ) 当m = a 一1 时文献【4 】， 5 】的作者给出了在p ，口，和q 某些假设 下问题( p ) 的非负解的存旌性和熄灭性另外，文献【6 】，i t 的作者分别研究了方程 u t = a u m + l v u a | 口和t t = 俨+ u p i v u a i 叮在p ，q ，n ，q 和初值的某些假设 下解的爆硒郝整体存| 在性 在这篇文章里我们研究问题( p ) 在某些假设下整体弱解的存在性和熄灭性 蒂有梯度唾和暖获磺妨菲线拣退纯扩散方程整臻謦盼存在畦争熄哭童 第二节主要结果 定义2 1 设。曼u o 豆( q ) ，函数让l ( o ，r ) ) 称为问题( p ) 的弱 解，如果铭镌l 2 ( 0 ，霉瑶) ) ，铲毫弘( o ，瓦嚼譬哟) ，并墨对任意的检验蘸数 妒l 2 ( o ，r ；硪( q ) ) nw i 2 ( 0 ，t ；l 2 ( q ) ) ol ( 锄) 且妒( r ) 盘0 ，1 咱撇成立 厶一u 仇十v u m v 妒+ a 咖一i v 卅碍妒盘上嘶) ，。) 妇 如果黯靳有酶tg ( 0 ，o o ) ，珏为闻题( p ) 在囊上豹弱解，刚弦嚣为闷遂( p ) 的 整体弱觫 定义2 2 设铭( 茹，亡) 是问题( 聊的弱解，若存在( 0 ，o o ) ，使得 j 器o ，馘螃q 溉蹴 iu ( z ，毒) 蒹o ，( 嚣，t ) q ( t o ，o o ) 刚称解t | ( 为幻在有限时阕内熄灭 定理2 1 若0 u o 三p ( q ) ，则问题俨? 存在整雉弱解铭多争且有 i 俨( n ) g ( 0 0 炉( n ) ) 定理2 2 设毯( z ，t ) 是问题( 科的弱解，又设 p 缎扎a - m i ，q 缎l ， a ， o( m + 后) 2、仇+ 七7 。7 ” 利用( 3 1 ) ，( 3 5 ) 和( 3 6 ) ，我们可以得到( 3 2 ) 估计式( 3 3 ) 和( 3 4 ) 是( 3 1 ) 和 性质3 3 若t ，i 是( r ) 在q t 上的解则存常数c = c ( 正8 0 p ( n ) ) ，使得 8 ( t ，1 ) t 0 sc ，( 3 7 ) 其中 w = l 2 ( o ，t ；皤( q ) ) n l ( ；y ( nx ( o ，t ) ) ，：l 2 ( 0 ，t ；h 一1 ( q ) ) + 己；( q ( o ，t ) ) 证明取f w 并且有i i l l w51 因为( ) t l 2 ( o ，正h 一1 ( q ) ) ，利用( 3 1 ) ，( 3 3 ) 和( 3 4 ) ，我们得到 i z r ( t ，1 ) 矧= - v 螺v 乏+ i v 牡卵专一入( 噱一( 丢尸) 专l j q f h s ( 厶 w , 7 1 2 ) 5 ( 厶附) i v u 删1 1 1 1 j q t 朋) ，( nx ( o t 力) ，q ，q ， l 1 哪o ，2 w 蒂有梯度项和吸收项的非线性退化扩散方程整体解的存在性和熄灭7 “) t ( t l e 2 + v 嵋f ：v 鼍1 ( - 4 玳2 1 ( 3 1 1 ) = l j q ， l l v 略v 【嵋_ 1 ( 缸：一牡) e 2 】一v t t ? v u l - 1 ( u ：一t ) ( 2 】) i j q ，t( 3 1 2 ) d 1 6 l + l v t 正n o t i q 。n s - - 1 + l k ， 7 n 。o 知a l i q o 。o 詹s - 1 ，l 一t 喽l e _ 0 j q r l v 嵋一v 堙) 1 2 d x d t _ 0 ，n ，k _ , l o t 蒂有梯度项和暖我曦蟹 线拣退纯扩散旁程整铼舞酶存在毪和熄灭 8 现礁征阴 | v 鼋_ | v 矿 霉 a e 在q t ( 3 1 3 ) 如果8 瓣，更4 根据( 3 8 ) 和( 3 1 0 ) 缀容易得到( 3 1 3 ) 如果警 其中| l u l l 。嚣8 t ( ，t ) l l 占啦 由条件2 1 ) 知0 0 ，使 0 拶矿 0 ，应用y o u n g 不镣式可得 黝茅i)1t等蚓砚嘲多itc(ial)ltull 嚣# 掣学黝三f ：r 鬟g | | 砚警嚣# 竺彤甲 鬟川v t 学瞻+ 仍艿一知k 圳+ p 渤 獬 砷 妨 力 托传 洚 其中8 = e , r ( 2 一鼢) 0 ，伤一g ( p ，七，p ，q ，q ，l ，m ，l q l ) 0 由5 的任意性，对 任意固定的+ e 0 0 ，我们可选择j ，使得( 勖+ a ) 6 = 岛设, x o = ( 勖+ a ) 岛6 一， 则对任意的a ，有 竹- t - 量， ( 印+ c d t l u l l 云了一( e o - i - q ) 万0 v _ 苎j 够i 瑗+ ( e o + c , ) c 2 6 一。0 t 1 0 詹k + + p p c o l l w ? 笋1 1 2 2 + 刈u 0 七k + ，+ p 把( 4 8 ) 式代入( 4 3 ) 式得 南扣阱k + 。x 舴。+ c , ) l l 也i 茅刚1 鼎 记 由于 挈掣：七+ 2 q ( 2 0 t m ) 2 一口 南圳di i k + 一x 一e o l l 牡o ：1 掣 j = 七+ ，q ( 2 2 0 l 一- 口m ) ，1 七石1 詹 七+ 百q ( 2 a - r n ) 詹+ l ， 剖d 钍1 k 十+ 1 一 ，口 0 和0 0 满足( 4 5 ) ，( 4 6 ) 和( 4 9 ) ，则当a 知时，问题( p ) 的解必在矗 时间内熄灭从( 2 1 ) 和口( 0 ，1 ) 。我f f 丁很容易得到詹 o ，0 0 0 2 因此 ( 4 6 ) 和( 4 9 ) 成立定理2 2 得证 带有梯度项和吸收项的非线性退化扩散方程整体解的存在性和熄灭 1 2 参考文献 【l 】1 b e a rj d y n a m i c so f 丑u 池i np o r o u sm e d i a n e wy o r k ，a m e r i c a ne l s e v i e r p u b l i s h i n gc o m p a n yi n c 1 9 7 2 【2 】s w a r t z e n d r u b e rd t h ef l o wo fw a t e ri nu n s a t u r a t e ds o i l s f l o wt h r o u g h p o r o u sm e d i a ，e d i t e db yr j m d e v i e t 2 1 5 - 2 9 2 n e wy o r k a c a d e m i cp r e s s 1 9 6 9 f 3 】i m m ys o nt h eh y d r a u l i cc o n d u c t i v i t yo fu n s a t u r a t e ds o i l s ，t r a m a m e r g e o p h y su n i o n ，3 5 ( 1 9 7 2 ) ，4 6 3 - 4 6 7 【4 1m a h m o u dh e s a a r k ia n da b b a sm o a m e n i b l o w - u po fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r af a m i l yo fn o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n si ng e n e r a l - d o m a i ni nr n m i c h i - g a nm a t h j 5 2 ( 2 0 0 4 ) ，3 7 5 - 3 8 9 f 5 】杨世钦带梯度项半线性热方程解的熄灭【j 】厦门大学学报( 自然科学版) 1 9 9 6 ， 3 5 ( 5 ) ：6 7 2 - 6 7 6 【6 】d a n d r e u c c i ，d e g e n e r a t e p a r a b o l i c e q u a t i o n s w i t hi n i t i a ld a t am e a - 8 u r e s ，t r a m ，a m e r m a t h s o c 3 4 9 ( 1 9 9 7 ) ，3 9 1 1 3 9 2 3 【7 jf a n d r e u ，j m m a z 6 n ，f s i m o n d o na n dj t o l e d o ，g l o b a le x i s t e n c ea n de x t i n c - t i o nf o ra d e g e n e r a t en o n l i n e a rd i f f u s i o np r o b l e mw i t hn o n l i n e a rg r a d i e n t t e r ma n da b s o r p t i o n ，m a t h a n n 3 1 4 ( 1 9 9 7 ) ，7 0 3 - 7 2 8 f 8 】z h a oj u n n i n ga n dl i uh u i z h a o ，t h ec a u c h yp r o b l e mo ft h ep o r o u sm e d i m n e q u a t i o nw i t ha b s o r p t i o n ，j p a r t i a ld i f f e q s 7 ( 1 9 9 4 ) ，2 3 1 2 4 7 蒂有梯度项和吸收项的非线性退化扩散方程整体解的存在性和熄灭1 3 【9 】伍卓群，赵俊宁，尹景学，李辉来非线性扩散方程【m