（应用数学专业论文）时间序列varfima模型研究与应用.pdf

摘要 近年来，时间序列分析方法的研究和应用飞速发展，特别在经济领域，越来 越多的实际工作者开始了解并运用时间序列分析方法随着改革的深入和经济的 飞速发展，我国经济领域中存在着大量数据资料需要进行分析处理然而在实际 应用中，由于经济领域的特殊性，利用传统的频率统计方法进行经济时间序列模 型分析时往往会碰到很多困难因此，本文引入一种新的经济时间序列模型分析 方法一贝叶斯分析方法贝叶斯分析方法提供了一个更合理的经济时间序列模型 分析框架 本文主要研究了向量自回归移动平均模型( v a r m a ) 和向量分整自回归移动 平均模型( v a r f i m a ) 的贝叶斯推断理论及其应用 首先，进行了时间序列v a r m a 模型的贝叶斯分析，分析了时间序列 v a r m a ( p ，g ) 模型的统计结构及其条件似然函数，根据似然函数构造了模型参数 的先验分布研究了正态g a m m a 先验分布情况下模型的贝叶斯推断理论，从统计 方法上推导出预测的预报分布利用一组用m a t l a b 软件模拟的二维时间序列， 并利用w i n b u g s 进行v a r m a 模型仿真分析 其次，进行了多变量长记忆时间序列v a r f i m a 模型的贝叶斯分析从分析 v a r f i m a ( p ，d ，g ) 模型的统计结构开始，构建了模型的似然函数和参数的先验分 布，严密地推导了模型参数的条件后验分布密度函数；利用一组用m a t l a b 软件 模拟的二维长记忆时间序列，通过w i n b u g s 进行仿真分析 关键词：时间序列；贝叶斯推断；m c m c 方法；gib b s 抽样；w in b u g s a b s 仃a c t r e c e n ty e a r sh a v ew i t n e s s e dw i d ea p p l i c a t i o n so ft i m es e r i e sa n a l y s i si nm a n y f i e l d s p a r t i c u l a r l yi nt h ee c o n o m i cf i e l d , m o r ea n dm o r ep r a c t i t i o n e r sh a v eg i v e n i n t e n s i v er e s e a r c ht ot i m es e r i e sa n a l y s i sm e t h o d st om a k ef u l lu s eo ft h e m w i t ht h e d e e p e n i n go fr e f o r ma n dt h er a p i dd e v e l o p m e n to fe c o n o m y , t h e r ei sal a r g en e e df o r d a t aa n a l y s i sa n dp r o c e s s i n gi nt h ee c o n o m i cf i e l do fc h i n a h o w e v e r , i np r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s ，d u et ot h ep a r t i c u l a r i t yo ft h ee c o n o m i cf i e l d ，t h eu s eo ff r e q u e n c yo f t e n e n c o u n t e rm a n yd i f f i c u l t i e si nt r a d i t i o n a ls t a t i s t i c a lm e t h o d sf o re c o n o m i ct i m es e r i e s m o d e la n a l y s i s t h e r e f o r e ，t h i st h e s i si n t r o d u c e san e wm o d e lf o re c o n o m i ct i m es e r i e s a n a l y s i so fab a y e s i a na n a l y s i s b a y e s i a na n a l y s i sm e t h o d sp r o v i d eam o r er a t i o n a l a n a l y t i c a lf r a m e w o r kf o re c o n o m i ct i m es e r i e sm o d e l s t h eb a y e s i a ni n f e r e n c et h e o r ya n da p p l i c a t i o n so ft h ev e c t o ra u t o r e g r e s s i v e m o v i n ga v e r a g em o d e lf v a r m a ) a n dt h ew h o l es u b - v e c t o ra u t o r e g r e s s i v em o v i n g a v e r a g em o d e l ( v a r f i m a ) a r em a i n l ys t u d i e d f i r s t l y , at i m es e r i e sv a r m am o d e l 、析t l lb a y e s i a nm e t h o d si ss t u d i e d t h e nt h e s t a t i s t i c a ls t r u c t u r eo ft h em o d e la n di t sl i k e l i h o o df u n c t i o na r ea n a l y z e d ，a c c o r d i n gt o t h el i k e l i h o o df u n c t i o nt h ep r i o rd i s t r i b u t i o no fm o d e lp a r a m e t e r si sc o n s t r u c t e d n l e n o r m a l g a m m ap r i o rd i s t r i b u t i o no fb a y e s i a ni n f e r e n c ei ss t u d i e d o nt h eb a s i so ft h e t h e o r yd e r i v e df r o ms t a t i s t i c a lm e t h o d st h ed i s t r i b u t i o no f t h ef o r e c a s ti sp r e d i c t e d as e t o ft w o - d i m e n s i o n a lt i m es e r i e ss i m u l a t e db ym a t l a bi su l t i l i z e d ，a n dt h ew i n b u g s i su s e dt ot h es i m u l a t i o na n a l y s i so fv a r m am o d e l s e c o n d l y , am u l t i v a r i a b l em o d e lo fl o n gm e m o r yt i m es e r i e sv a r f i m ab a y e s i a n a n a l y s i si ss t u d i e d o nt h eb a s i so ft h ea n a l y s i so fv a r f i m a0 ，也q ) m o d e lo ft h e s t a t i s t i c a ls t r u c t u r e ，t h em o d e ll i k e l i h o o df u n c t i o na n dp a r a m e t e r so ft h ep r i o r d i s t r i b u t i o n a r ec o n s t r u c t e d ，a n dt h e nt h ec o n d i t i o n sp o s t e r i o rd i s t r i b u t i o nd e n s i t y f u n c t i o no ft h em o d e l p a r a m e t e r sa r e d e r i v e d 谢ml l i g hp r e c i s i o n as e to f t w o - d i m e n s i o n a lt i m es e r i e ss i m u l a t e db ym a t l a bi su t i l i z e d , a n dt h ew i n b u g si s u s e dt ot h es i m u l a t i o na n a l y s i so fv a r f i m am o d e l k e yw o r d ：t i m es e d e s ；b a y e s i a ni n f e r e n c e ；m c m cs i m u l a t i o n ；g i b b s s a m p l i n g ；w i n b u g s 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 日期趁丝三：拿 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在_ 年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期丝! ：羔： 日期丝! ! ：主之 第一章绪论 第一章绪论 1 1 时间序列分析 随着科学技术的进步和社会经济的发展，在经济，商业，工程，自然科学( 特 别是地球物理学和气象学) 等领域，人们日益重视对该类现象的定量观测和有关 数据的收集和分析，这些数据一般按时间顺序排列由于这些现象往往受到很多 偶然因素的影响，往往表现出某种随机性，且这些因素之间存在着错综复杂的联 系，因而，运用结构式的因果模型进行分析与预测往往比较困难，而根据其自身 的变动规律建立动态模型( 即时间序列分析) 则是一种行之有效的方法 不论是经济领域中每年的产值，国民收入，某一商品在某一市场上的销量， 价格变动等；或者是社会领域中某一地区的人口数，医院患者人数，铁路客流量 等，还是自然领域的太阳黑子数，月降水量，河流流量等等，都形成了一个时间 序列所有这些序列的基本点就是每一个序列包含了产生该序列的系统的历史行 为的全部信息问题在于怎样才能根据这些时间序列分析，较精确地找出相应系 统的内在统计特性和发展规律性，尽可能多地从中提取出我们所需要的准确信 息用来实现上述目的的整个方法称为时间序列分析它是一种根据动态数据揭 示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学科的一个分支其基本思想是根据 系统的有限长度的运行记录( 观察数据) ，建立能够比较精确地反映时间序列中所 包含的动态依存关系的数学模型，并借以对系统的未来行为进行预报 随着科学技术的不断发展，人们在实践中认识到时间序列的变动，主要是由 长期趋势( 随着时间的变化，按照某种规则稳步地增长、下降或保持在某一水平 上) 、季节变动( 在一个年度内依一定周期规则性变化) 、循环波动( 以若干年为 周期的波动变化) 和随机型变动( 许多不可控的偶然因素共同作用的结果) 而形 成的前三种变动的一个共同特点，就是依一定的规则而变化，随机变动在综合 种可以消除基于这种认识，时间序列分析就是设法消除随机型波动，拟合确定 型趋势，因而形成了长期趋势分析、季节变动分析和循环波动测定等一系列确定 型时间序列分析方法 时间序列模型其实是由回归模型发展而来回归模型使我们建立了解释变量 与被解释变量之间的随机关系模型，而当我们对某一行业不很了解，而又想知道 其某一指标的未来变化趋势，在解释变量不好选取的情况下，我们可以由这一指 2 时间序列v a r f i m a 模型研究与应用 标的历史数据，即时间序列数据本身来寻求其变化规律，达到掌握和预测的目 的另外，经济分析中的三大类重要数据中，时间序列数据是其中最常见，也是 最重要的一类数据，因此，对时间序列数据的分析也就成了计量经济分析最为重 要的内容之一正是由于这些原因，使得人们对它的研究孜孜不倦应用时间序 列模型分析和预测证券市场上的未来变化无论在理论还是经验方面都已成为金融 市场研究中不可分割的组成部分 虽然确定型趋势控制着时间序列变动的基本样式，但毕竟不是时间序列变动 模式的全貌另一方面，用随机理论来考察，许多偶然因素共同作用的随机性波 动，其实也并非完全杂乱无章，而有一定的规律性人们根据随机理论，对随机 时间序列进行分析，就叫作随机时间序列分析，其相应的方法，称之为随机时间 序列分析方法自从本世纪2 0 年代问世以来，随机时间序列分析的理论和方法， 引起了广大理论研究和实际工作者的极大重视，其理论和方法不断发展且得到了 广泛的应用【l j 时间序列分析属概率统计学科的一个分支，它是运用概率统计的理论和方法 来分析随机数据序列，井对其建立数学模型，进行参数估计，对模型定阶，以及 进一步应用于预报、预测、自适应控制等诸多方面，尤其在时间序列的短期预测 方面准确率较高 研究平稳经济时间序列时，如果是要寻找序列变量之间或者序列变量前后之 间的联系，就考虑建立自回归模型( a u t or e g r e s s i v em o d e l ，a r 模型) ；如果是要 寻找序列变量与白噪声之间的联系，就考虑建立移动平均模型( m o v i n ga v e r a g e m o d e l ，m a 模型) ；如果既要序列变量前后之间的联系又要寻找序列变量与白噪声 之间的联系，就考虑建立自回归移动平均模型( a u t or e g r e s s i v em o v i n ga v e r a g e m o d e l ，a r m a 模型) 由于被研究对象本身受各种偶然非正常因素的影响，选取 的金融时间序列中会出现极少数观测值远离序列的一般水平的异常点，这些异常 点会严重影响建模过程中模型的识别和参数的估计，从而影响到模型的拟合精度， 对时间序列的预测分析造成一定的影响针对异常点对a r m a 模型参数估计的影 响，很多学者提出了不同的解决方法其中一种基于频率统计理论检验时间序列 中的异常点并对其进行处理的方法是首先利用时间序列建立模型，然后通过不断 迭代来识别异常点的位置和类型目前这类方法中使用最广泛的是c h u n gt h e n 和 l o n m ul i u 提出的联合估计法【2 】实际上，在这种方法中，首先进行的模型选择和 参数的估计受到还没有辨别出来的异常点的影响；接下来用受到异常点影响的参 数估计值去确认和辨别异常点，这在一定程度上会影响确认和辨别异常点的灵敏 度 作为传统经济时间序列分析的建模工具的a r 模型、m a 模型、a r m a 模型 以及a r i m a 模型都是建立在时间序列中相距较远的两个观测值间完全独立或几 第一章绪论3 乎独立的基础上的这一类的时间序列具有自相关函数呈指数率迅速衰减性质的 短记忆时间序列但是，近年来，人们从失业率、汇率等多种数据的研究中发现， 经济时间序列中普遍存在着这样的一种现象：远距离的观测值之间的相依性尽管 很小，但是不能被忽视这类的时间序列的自相关函数呈负幂指数率衰减，具有 这种性质的时间序列被称为长记忆性时间序列 3 1 因此传统的时间序列分析中的建 模工具已经不能满足研究需要a r m a 模型( a u t o r e g r e s s i v ei n t e g r a t e dm o v i n g a v e r a g e ) 是先将非平稳时间序列平稳化，然后对得到的平稳时间序列利用自回归过 程( a r ( p ) ) 和滑动平均过程( m a ( q ) ) ，以及样本自相关系数( s a c f ) 、样本偏自相关 系数( s p a c f ) 和样本逆自相关系数( s i a c f ) 等数据，对模型进行辨识，估计和预报， 形成迄今为止最通用的时间序列预测方法而对分析长记忆时间序列的a r f i m a 模型的参数估计首先要估计长记忆参数d ，然后再用a r m a 模型区拟合消除长记 忆性的时间序列然而在许多实际问题中，涉及到多个相关变量的动态特征，此 时仅利用一个变量难以刻画所描述的现象，这就需要应用向量分整自回归移动平 均模型( v e c t o ra u t or e g r e s s i v ef r a c t i o n a l i n t e g r a t e dm o v i n ga v e r a g em o d e l ， v a r f i m a 模型) 对其进行分析研究 1 2 贝叶斯统计学 统计学有贝叶斯统计和经典统计两大学派，这两个学派之间长期存在争论， 至今仍没有定论无论如何，这场争论对现代数理统计学的发展起到了积极的促 进作用 贝叶斯统计起源于英国学者t h o m a sb a y e s 死后由其朋友于1 7 6 3 年在皇家学会 上发表t h o m a sb a y e s 的一篇“论有关机遇问题的求解 的论文【4 】在此论文中， t h o m i l t sb a y e s 提出了从二项分布的观测值出发对其参数进行概率推断的方法，后 称之为贝叶斯定理，并被推广到二项分布以外的应用之中以及任何的统计分布贝 叶斯定理的现代形式实际上归功于l a p l a c e ，他不仅重新发现了贝叶斯定理且推广 到二项分布以外的应用及任何统计分布，解决了天体力学、医学统计甚至法学问 题但是在之后的一百多年中，贝叶斯学派几乎没有令人信服的东西，可以说此 间基本上是经典统计学的天下直到第二次世界大战后，w a l d a 【5 】提出统计决策理 论、函数论，把统计推断与经济上的得失联系起来，引起很多人对贝叶斯方法研 究的兴趣因为在这个理论中贝叶斯解被认为是一种最优决策函数信息论的发 展也对贝叶斯学派作出了新的贡献；更重要的是在一些实际应用的领域中，尤其是 社会科学，经济商业活动中，贝叶斯方法取得了成功，贝叶斯学派己成为了一股 不容忽视的力量1 9 5 8 年英国历史最悠久的统计杂志b i o m e t r i k a 全文重新刊登贝 4时间序列v a r f i m a 模型研究与应用 叶斯的全文，这就是一个明证2 0 世纪5 0 年代以后，f i s h 提出的似然原理使贝叶 斯统计找到了基点和支柱，使统计推断、估计理论和方法得以系统论述英国学 者j e f r e y ( 1 9 6 1 提出的j e f f r e y 准则【6 j 解决了贝叶斯假设的矛盾，g o o d ( 1 9 5 0 ) 对主观 概率的研究，s a v a g e 7 1 【8 1 对于效用函数、主观概率的研究、l i i l d l e y ( 1 9 6 1 ) 【9 】【1 川给出 经典统计学派成果的贝叶斯推导和解释都有力的推动了贝叶斯统计发展在 s a v a g e j e f f r e y , l i n d l e y 等学者努力下，贝叶斯统计在观点、方法和理论上得到了 完善和迅速发展在这段时期贝叶斯统计在工业、经济、管理等领域获得一些成 功应用贝叶斯统计的研究论文与著作愈来愈多，贝叶斯统计的国际会议经常举 行如今贝叶斯统计己趋成熟，贝叶斯学派已经发展成为一个有影响的统计学派， 开始打破经典统计学一统天下的局面对此，我国的陈希孺，茹诗松等学者也指 出，贝叶斯学派已经成为统计学中一个很有影响、不可忽视的学派 经典统计，即频率学派，在进行统计推断时，依据两类信息，一是模型信息， 即总体分布或总体所属分布族给我们的信息，这是制定统计方法的基础，譬如，“总 体是正态分布 这一句话就给我们带来很多信息：它的密度函数是一条钟形曲线； 它的一切阶矩都存在；有关正态变量( 服从正态分布的随机变量) 的一些事件的 概率可以计算；由正态分布可以导出z 2 分布、，分布、f 分布等重要分布；还有 许多成熟的点估计、区间估计和假设检验方法可供我们选用另一个是样本信息， 即从总体抽取的样本给我们提供的信息这是最“新鲜”的信息，并且越多越好基 于上述两种信息进行的统计推断被称为经典统计学，它的基本观点是把数据( 样 本) 看成是来自具有一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不局限于 数据本身据现有资料看，这方面最早的工作是g a u s s 和l e g e n d r e 的误差分析、 正态分布和最d , - - 乘法从十九世纪末期到二十世纪上半叶，经p e a r s o n 、f i s h e r 、 n e y m a n 等人杰出的工作创立了经典统计学二十世纪下半叶，经典统计学在工业、 农业、医学、经济、管理等领域里获得广泛的应用这些领域中又不断提出新的 统计问题，这又促进了经典统计学的发展，随着经典统计学的持续发展与广泛应 用，它本身的缺陷也逐渐暴露出来了 贝叶斯统计除了运用以上两类信息外；还需利用另外一类信息，即总体分布 中未知参数的分布信息由于这类信息是在进行试验以前就有的，故一般称为先 验信息贝叶斯学派的最基本的观点就是：任一个未知量都可以看作一个随机变 量，应用一个概率分布去描述它的未知状况这个概率分布是在抽样前就有的关 于该随机变量的先验信息的概率陈述这个概率分布被称为先验分布所以贝叶 斯统计在做统计推断时，既考虑客观信息，也考虑主观信息 两个学派在具体的推断理念也有差异统计学奠基人f i s h e r 1 1 】把统计学的任务 概括为三个问题，即选定模型，确定统计量和决定统计量的分布根据f i s h e r 的观 第一章绪论5 点，信息包含在样本中，但样本为数众多，因此需用少数几个统计量把信息集中 起来，而抽样分布则决定了统计量的全部性质，频率派基本上是按照这种思路来 处理统计推断问题的 贝叶斯学派则认为，先验分布反映了在做试验前我们关于未知参数的知识， 在获得样本带来的信息后，人们对这个认识有了改变，其结果就反映在后验分布 中，或者说，后验分布综合了先验分布的信息和样本的信息由此可以看出，频 率学派的统计推断是“从无到有”的过程，在试验前，关于未知参数的情形是一 无所知，而试验后则有所了解，但对了解多少并无普遍地表述方法，在实践中有 赖于所使用的统计量的针对性；贝叶斯推断则不然，它是一个“从有到有的过程， 根据所获得的信息修正以前的看法，因此，贝叶斯推断方法更类似于人的学习过 程 经典统计使用一系列的准则评估统计方法( 如无偏性，不变性和在所有考虑类 中的最优性) 只要可能，就要找到最优的方法各种准则并没有给出一个统一系统 的印象：贝叶斯统计没有明显的评价方法的准则通过后验分布分析 与基于频率统计理论的时间序列建模方法相比用贝叶斯方法进行时间序列模 型分析有其独到的特点：首先，它的方法更为普遍，能运用到更加广泛的统计领 域中其次，它能够合理的利用先验信息，因此更为准确地分析具体问题最后， 它相对于传统的统计方法能更明确合理地处理一些不确定因素问题 1 3 国内外研究现状 贝叶斯时间序列建模分析是统计学中具有重要理论意义和实用价值的国际前 沿性课题在国外，尤其是欧美国家，学者对贝叶斯时间序列建模研究起步较早二 十世纪七十年代，著名的美国统计学家、芝加哥大学的z e l l n e r t l 2 】教授研究了计量 经济学中的贝叶斯理论，包括回归模型、完全递归模型和分布滞后模型的贝叶斯 方法研究：二十世纪八十年代，美国学者l i t t e r m a n j 利用贝叶斯方法，对m i n n e s o t a 州的生产总值等七个指标进行预测，并取得了很好的效果：此后，贝叶斯方法在商 业经济预测和政府宏观经济预测的研究逐年增多，如w e s t 1 4 j 研究了动态经济计量 模型的贝叶斯理论，b e w l e y i ”j 和g r i f i t h s 研究了对数扩散模型的贝叶斯预测方法； k a s u y a t l 6 j 和t a n e r n r u a 利用后验信息准则和m o n t ec a r l o 方法研制了一个小型的贝 叶斯日本经济预测模型，p h i l l i p s 1 。7 】运用贝叶斯方法对澳大利亚宏观经济时间序列 进行了模型构建和预测在利用贝叶斯理论处理有异常点时间序列的各种方法中， 最早提出异常点诊断贝叶斯方法的是b o x 1 s j 和t i a o ；a b r a n h a m 【1 9 】和c h u a n g 对其进 行了拓展，并针对a o 和i o 两种类型的异常点将其应用于时间序列方法中随着 m c m c 方法在贝叶斯分析上的应用，许多学者开始利用m c m c 方法解决a r m a 6时间序列v a r f i m a 模型研究与应用 模型参数的估计问题m c u l l o c h l 2 0 和b a r n e t t l 2 1 】用基于g i b b s 抽样的贝叶斯方法分 别估计了同时考虑异常点的a r 模型和a r m a 模型中的参数，但是由于它们复杂 的理论推导和缺乏容易操作的软件支持，这种方法一直没有得到广泛的使用 h u r s t i 捌对潮汐数据的研究中发现了水利时间序列中存在的长记忆性，由此引 发人们对长记忆分析的关注近年来，对长记忆性的研究已经取得了很大的进展： 1 9 6 8 年m a n d e l b r o t 2 3 】在他开创性的工作中首次引进了分数布朗运动及分形的定 义，奠定了长记忆分析的坚实的数学基础；1 9 8 0 年g r a n g e r 针对长记忆时间序列 的特点提出分数差分噪声( f r a c t i o n a ld i f e r e n c e dn o i s e ，f d n ) 模型f d n 模型只考 虑了时间序列的长记忆性，忽略了时间序列的短记忆性，为了弥补f d n 模型的不 足，g r a n g e r 矧和h o s k i n g 2 5 】分别提出了应用性更广泛的a r f i m a 模型在a r f i m a 模型的参数估计方面，g e w e k e 2 6 j 用半参数的方法估计了估计了长记忆时间序列模 型的参数，并用消费价格数据进行了实证分析；b r o c k w e l l 2 r l 和d a v i s ，h o s k i n g 2 引， s o w e l l t 2 9 分别用极大似然法估计模型中的参数在向量长记忆时间序列建模分析的 方法中，h e y d e 3 0 】和g a y ，h o s o y a 3 l 】介绍了在非高斯状态下利用w l l i t t l e 准极大似 然法，s e t h u r a m a n 3 2 1 用渐近极大似然估计法，r a v i s h a n k e r t 3 3 】用贝叶斯方法分别估 计v a r f i m a 模型的参数 在国内，我国学者对贝叶斯统计推断理论与方法的研究相对较晚，并取得了 一系列的成果但是，从总的情况来看，尤其是与西方国家相比较，贝叶斯统计 在我国的应用与发展尚属于起步阶段这主要有以下几个方面的原因：首先在国 内，目前绝大多数的统计专著或学术论文大多采用频率学派的观点，严密系统地 论述贝叶斯方法的文献很少，贝叶斯方法还不为大家所熟悉；其次，计算复杂，特 别是在高维数据分析问题中尤其如此，缺乏相应的软件支撑，这妨碍了贝叶斯方 法在实际问题中的应用 1 4 本文内容与结构 第一章：绪论主要论述了时间序列分析与贝叶斯理论的背景知识以及应用 的实际意义；国内外研究现状；最后介绍本文的内容安排 第二章：介绍了简单时间序列模型( 自回归模型；移动平均模型；自回归移 动平均模型) 的理论知识以及模型定阶方法，也给出了经验贝叶斯方法的理论综 述；介绍了一种重要的贝叶斯计算方法：马尔科夫链蒙特卡洛方法 第三章：时间序列v a r m a 模型的贝叶斯分析，从分析v a r m a ( p ，g ) 模型的 数学结构开始，构建了模型的条件似然函数和参数的先验分布，推导出参数的条 件后验密度核边缘后验密度；在数据仿真分析中，借助一组m a t l a b 软件仿真的 第一章绪论7 序列，通过w i n b u g s 软件包进行其模拟分析 第四章：时间序列v a r f i m a 模型的贝叶斯分析，本章以前一章所做的 v a r m a 模型的贝叶斯分析为基础进行了时间序列v a r f i m a 模型的贝叶斯分析； 在数据仿真分析中，借助一组m a t l a b 软件仿真的序列，通过w i n b u g s 软件包 进行其模拟分析 第五章：全文的总结与展望本章将对学位论文的研究内容、创新之处做一 个概括性的总结并且对将来贝叶斯领域内研究工作的发展做出了一些的展望 第二章时间序列模型与贝叶斯统计9 第二章时间序列模型与贝叶斯统计 2 1 时间序列分析模型 从统计意义上讲，所谓时间序列就是将某一个指标在不同时间上的不同数值， 按照时间的先后顺序排列而成的数列这种数列由于受到各种偶然因素的影响， 往往表现出某种随机性，彼此之间存在着统计上的依赖关系 值得注意的是：时间顺序中的“时间”也可以具有不同的物理意义，例如长 度、温度、速度等等 在数学意义上讲，如果我们对某一过程中的某一个变量或一组变量x ( f ) 进行 观察测量，在一系列时刻，t 2 ，( f 为自变量，且 t 2 口，应有成= o ，此时度渐进于正态分 布： & 一 。，专c + 2 喜彳) q 固 可由此来检验& 是否显著得等于零由( 2 8 ) 式可知 p 畔击”2 = 6 8 3 尸畔嘉 2 = 9 5 5 对于每个七 o ，分别检验成“，p k 州( 通常m = 或m = n i o 】) 中满足 l 刍“，l 专c - + 2 喜刍，2 ，j 1 ，z = ，2 m 的比例是否达到6 8 3 ，若k = 1 ，q - 1 都未达到，而后= g 达到了，我们说凤在g 步截尾 ( 2 ) 若 ) 序列在p 步截尾，并且成序列被负指数函数控制收敛到零，则 可判断时间序列五为a r ( p ) 序列，具体作法是： 若七 q ，应有= o 此时却睹) 的分布渐进于( o ，1 n ) ，n 为样本序列长 度，于是有 尸叫 击 = 3 1 7 1 4时间序列v a r f i m a 模型研究与应用 p ( 卧专) = 4 5 对于每一个七，检验妒am川，仇a州j埘中满足l参船i丽10 的个数所占的 对于每一个七 ，检验妒m 川，仇州j 埘中满足l 妒船l 7 嚣的个数所占的 百分比是否超过3 1 7 ，若k = 1 ，p l 时都超过了，而k = p 时没有超过，则可 认为妒殷在p 步截尾 ( 3 ) 若 成 与 ) 皆不截尾，但都被负指数函数控制收敛到零，则置很可 能是a r m a 序列【l 】 2 3 2 最佳准则函数定阶法1 1 l 最佳准则函数法，即确定出一个准则函数，该函数既要考虑用某一模型拟合 时对原始数据的接近程度，同时又要考虑模型中所含待定参数的个数建模时按 照准则函数的取值确定模型的优劣，以决定取舍，使准则函数达到极小的最佳模 型 准则函数方法首先由日本学者赤池( a k a i k e ) 提出的1 9 7 1 年他提出了一种 识别a r 模型阶数的准则，称为最小最终预报误差准则，简称为最小f p e ( f i n a l p r e d i c t i o ne r r o r ) 准则1 9 7 3 年赤池又将此方法推广到辨识a r m a 模型阶数，称 为最小信息准则或a i c ( a i n f o r m a t i o nc d t e r i o n ) 准则近年来a i c 准则得到了广 泛应用，进而又推广为b i c 准则等等 ( 1 ) a i c 准则 设置，l r n 为一随机序列，我们用a r ( p ) 模型来描述它，仃p 是拟合残差方 差，我们是认为它是模型阶数n 的函数，定义a i c 准则函数如下： 彳i t ( p 0 ) = 。s 珊) a i c ( p ) i n 甜p ) + 焉i n n ( 2 - 9 ) 当阶数p 增高时，( 2 9 ) 式中的第一项拟合残差方差仃p ( p ) 是下降的式中 l n 表示取自然对数，它是单调函数，因此整个第一项是单调下降的；对给定的观 察数据个数，( 2 9 ) 式中的第一i 项随p 而增长可以想象，从p = l 开始，逐次 增加模型阶数对数据进行自回归模型拟合时，a i c ( p ) 的值是有下降趋势的，因为 这时起决定性作用的是模型残差方差当达到某一阶数风时，a i c ( p o ) 的值达到 第二章时间序列模型与贝叶斯统计 1 5 极小随后，随着模型阶数继续增高，残差方差改进甚微，于是模型阶数起关键 性作用，a i c ( p ) 的值随p 而增长，对事先给定的最高阶数m ( 忉，若 a i c ( p o ) = l s ，l m 鲋i n ( ) a i c ( p ) 我们便取风为最佳自回归模型阶数 将a i