（基础数学专业论文）关于弱g函数和广义度量空间的刻画.pdf

关于弱夕函数和广义度量空问的刻画 中文提要 中文提要 在本文的第一部分，我们用弱9 函数给出了两个度量化定理，我们的结 果是高智民教授和a m m o h a m a d 等人相应结果的共同推广在本文的第二 部分，我们分别用弱g 函数，弱基g 函数和u 结构刻画了某些广义度量空间 关键词：g 函数，弱9 函数，弱基9 函数，u 结构 作者：徐薇 指导教师：恽自求教授 o nw e a kg - f u n c t i o n sa n dc h a r a c t e r i z a t i o n so fs o m cg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e sa b s t r a c t a b s t r a c t i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w eg i v et w om e t r i z a t i o nt h e o r e m sb ym e a n so fw e a kg - f u n c t i o n s o u rr e s u l t sg e n e r a l i z e dt h er e s u l t so b t a i n e db yp r o f g a oz h i m i n ，a m m o h a m a d a n do t h e rt o p o l o g i e s t s i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w ec h a r a c t e r i z es o m eg e n e r a l i z e d m e t r i cs p a c e si nt e r m so fw e a kg - f u n c t i o n s w e a kb a s eg f u n c t i o n sa n du s t r u c t r u e sr e s p e c - t i v e l y k e y w o r d s ：g f u n c t i o n ，w e a kg - f u n c t i o n ，w e a kb a s eg f u n c t i o n ，u s t r u c t r u e i i w r i t t e n b y x uw e i s u p e r v i s e db y p r o f y u nz i q i u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：忿邀日期：2 丝拿垒猫j 阍 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名： 捻越日期：趔垒殂旧 喀戤日期：迎l 车胡f ( 图 关于弱g 函数和广义度量空间的刻画 引言 引言 1 9 6 2 年，r h e a t h 建立了一种映射，用其刻画可展空间与分层空间，并 利用这些刻画得到了分层空间是口空间等结果，初步显示了这种映射的功 力上世纪7 0 年代，r h e a t h 与其他拓扑学家系统地开展了对这种映射的研 究，得到了许多广义度量空间性质间的联系，并发现了许多新的广义度量空 间，进一步显示了这种映射的作用8 0 年代，j n a g a t a 把这种映射称为g 函 数他和一些拓扑学家进一步利用g 函数刻画了度量空间与另外一些重要的 广义度量空间，如n 空间，l a g n e v 空间等对这些空间的研究可以参考文献 1 4 】 1 7 】【1 9 】【2 3 【2 4 】高智民教授在【9 】中提出了弱基g 函数这个概念，并用弱基 g 函数研究了度量空间弱基g 函数也是研究空间度量化性质的强有力的工 具文献【2 6 统一推广了弱基g 函数和g 函数的概念，定义了弱9 函数，并 用递减的弱9 函数给出可度量化空间的刻画在本文的第一部分，我们继续 这种讨论，利用弱g 函数给出度量空间的一些新的刻画我们的结果是高智 民教授和a m m o h a m a d 等人相应结果的共同推广在本文的第二部分，我 们将利用弱基g 函数，弱g 函数和u 结构刻画某些广义度量空间 关于弱g 函数和广义度量空间的刻画 第一章预备知识 第一章预备知识帚一早d ! 畲t 大u 识 本文中所有的空间至少是孔的，表示全体正自然数的集合 首先让我们先回忆一些相关的定义 x 的子集族 r ：q a ) 称为遗传闭包保持的，若对任意的& cf a ， & ：q a ) 是闭包保持的，即对每一a 7ca ，c l ( u s n ：q a 7 ) ) = u c t s a ：a a 7 ) 可数个遗传闭包保持集族的并称为盯遗传闭包保持的空间x 的子集族丁 称为c f 集族，若对x 中的每一紧集k ，i knf ：f q l u x 的子集族 r ：a a 称为局部有限的( l f 集族) ，若对于每一z x ，存在z 在x 中的 邻域u ，使得u n r 0 ，仅对有限个q a 成立( 使得l un r ：a a i n o ，有z g ( n k o ，w n 蛔) 但z 譬g ( n o ，w 。) ，矛盾 因对每n n ，u n h k ( n ，w n ) =z ：w n g k ( n ，z ) ) ， u 扩一1 ( n ，t ) ：t g ( n ，) ) 广由( s t ) ，可证得 ：礼) 一z 故w 。g k ( n , v n ) = 否则，存在。的开邻域y ，使对每一托n ，存在i 。n ，i 。诧，陇。 由( s t ) ，军在礼。n ，使z u 9 ( n 。，可) ：y x y ) 】一因 饥。：n ) f qv = 0 ， 置= u n g ( n 。，v i 。) 】。，则是z 的开邻域由( s t ) ，存在仇1 n ，使 z 岳 u 夕( m ，y ) ：y 瓯石而：i i ) ) 】_ 取n 2 n ，使凡2 m a z ( m 1 ，n 工) 因夕( 扎，x ) 是 置= - j 万而翮。，则是z 的开邻域由( s t ) ，存在m 2 n ，使 z 隹【u 夕( m 2 ，可) ：y u n e h 9 2 ( n 2 , v i , 。) 一取7 1 3 n ，使佗3 t a z ( m 2 ，n 2 ) 因g ( n ，z ) 是 继续上述取法，最后我们可取n - 一c 一，n ，使z 隹u n l v g 七一1 ( n k l ，v i 。) 置k 一1 = u e n g k - l ( n k _ l , v i ) c 由( s t ) ，存在m 七一1 n ，使 z 岳【u 9 ( l 一1 ，y ) ：y u n e n g k - 1 ( 竹缸一1 ，u t 。) ) 】一因w 。一z ，故存在 z ，伽。：n m o n 【u g ( m k 一1 ，y ) ：y u 。夕一1 ( n k 一1 ，v i 。) 】 = 0 n 七 m a x ( t o o ，m k 一1 ，几知一1 ) 因9 ( n ，z ) 礼n ，w n 矛盾 g k ( n ，v n ) ， 取 是递减的，故w 。垡药瓦而 m o n ， n 七n ， 但对每 矛盾因此， u 。：竹n ) 一z 这与对每一佗n ，口。譬u 再证 s t 2 ( z ，吼) ：礼n ，z x ) 是x 的弱基 首先，若u 满足，对任意的。u ，存在铊，使s t 2 ( x ，炙) cu ，则k ( n ，z ) cu 因k ( n ，z )是z 的弱邻域，故存在v r ，使vck ( n ，z ) ，从而vcu 又由 于p 是x 的弱基，所以u 为开集其次，设u 是开的且z u 下证 7 矿故 使使 一 关于弱g 函数和广义度量空问的刻画第二章度量空间的弱g 函数刻画 存在凡，使s t 2 ( z ，9 。) cu 否则，对每一凡n ，取y n s t 2 ( x ，鲰) u ，则存在 ，w n x ，使y n k ( n ，) ，k ( n ，) n 七( n ，w 。) o 且z k ( 4 ，w 。) 由条件( s t ) ，序 列 w n ：n ) ，z 对每一n n ，取口。七( 凡，) nk ( n ，w 。) 因u 。h k ( 他，叫。) = 【z ：w 。厕) ，故w 。歹丽= u 矿一1 ( 礼，) ：t g ( 4 ，) 犷上面我们已经证 得：序列 u 。：州；) 一z 因对每一n n ，七，锄) c 夕( 死，) 且 ：n l v - - - - - - 4z ，由( s t ) ，序列 ：礼n ) 一另一方面， y n k ( n ，z n ) ch k ( n ，) = tex ：厕) ，故对 每一n n ，g k ( n , y n ) 再利用上面的证明方法，易证序列 y n ：4 n ) 一x 这与对每一n n ，y n u 矛盾。 因此，由m a r t i n 定理知，x 可以度量化 口 推论2 1 ( 2 6 】定理2 8 ) 拓扑空间x 可度量化当且仅当x 具有递减的弱g 函数满足条件( s t ) 和( 1 ) 证明：必要性证明同定理2 1 下证充分性 设g 为x 上满足条件( s t ) 和( 1 ) 的递减的弱g 函数，要证明g 满足条件 ( 3 ) ，即证h ( 凡，z ) 为x 的弱邻域若证得( 几，x ) 为z 的邻域，则( n ，z ) 就为 z 的弱邻域事实上，若饥( n ，x ) 不是z 的邻域，则x x h k ( n , x ) ，由( 1 ) 得， 丽瓦面习cu 而：y x h _ i c ( 佗，z ) ) ，于是存在y x h 七( 佗，z ) ，使z 丽而 由y x h k ( n ，z ) 得z g k ( 4 , u ) ，与条件矛盾 口 推论2 2 ( 1 1 】定理6 ) 拓扑空间x 可度量化当且仅当x 具有弱基g 函数满 足条件( s t ) 和( 1 ) 推论z a ( 2 5 定理3 ) 拓扑空间x 可度量化当且仅当x 具有递减的9 函数 满足条件( s t ) 和( 1 ) 8 关于弱g 函数和广义度量空间的刻画 第二章度量空间的弱g 函数刻画 定理2 2 拓扑空间x 可度量化当且仅当x 具有弱g 函数满足条件( k s ) 和下列条件( 4 ) ： ( 4 ) 存在k n ，使 ( 仃，z ) ：z x ，n n ) 为x 上的弱g 函数，其中h k ( n ，z ) = 可x ：z g k ( n ，可) ) 证明：必要性是显然的下证充分性 设x 具有弱g 函数满足条件( k s ) 和( 4 ) ，p = u 死是x 的弱基对每一 ( n ，z ) n x ，令 七( n ，z ) = g ( n ，z ) n h k ( n ，z ) ，吼= 七( 几，z ) ：n ，z ) n x ) ， 则k ( n ，z ) 是z 的弱邻域令 s t ( z ，吼) = u k ( n ，可) 9 n ：z k ( n ，可) ) ， s t 2 ( z ，9 。) = u k ( n ，可) e f 9 儿：k ( n ，9 ) n s t ( x ，9 。) o ) 由m a r t i n 定理，我们只需证恤2 ( z ，) ：n n ，z x 是x 的弱基 一方面，若u 满足，对任意的z u ，存在几n ，使s t 2 ( z ，吼) cu ，则 k ( n ，z ) cu 因k ( n ，z ) 是z 的弱邻域，故存在p 死，使pck ( n ，z ) ，从而pc u 又由于p 是x 的弱基，所以u 为开集另一方面，设u 是开集且z u 下 证：存在礼，使s t 2 ( z ，吼) cu 否则，对每一几n ，取y n s t 2 ( z ，吼) u ，则存在，w n x ，使y n 尼( 仡，z n ) ，k ( n ，) i - l k ( n ，u h ) 0 且z k ( n ，w 。) 取u n k ( n ，z n ) a k ( n ，加。) 由z k ( n ，叫n ) g ( n ，) 及条件( k s ) 得，w 。一z 由v n k ( n ，) 七( n ，) 及h 的 定义得，叫n g k ( n ，) 下证：u n z 对k 用归纳法对七= 1 ，由条件( k s ) ，结论显然成立设对k 1 ，结论成 立且对任意的n n ，加。g k + 1 ( n ，u 。) ，则存在序列 ) ，使对任意的礼n ，u n 9 ( n ，) ，w 。g k ( 几，) 由归纳法得，u n z 再由条件( k s ) 得，一z 同 理，由v n k ( n ，) g ( n ，) 得，一z 由y n k ( n ，z n ) h k ，) 得，y n z 9 关于弱9 函数和广义度量空问的刻画第二章度量空间的弱g 函数刻画 这与对每一州；n ，y 。隹u 矛盾 口 推论2 4 ( 2 6 】定理2 7 ) 拓扑空间x 可度量化当且仅当x 具有弱g 函数满 足下列条件( 5 ) 和( 6 ) ： ( 5 ) 存在k n ，使对任意的ycx 及每一n en ，歹cu 矿( n ，y ) ：y y ) ； ( 6 ) 存在k n ，使对每一n n ，z g k + l ( n ，x 馆) ，则z 。+ z 证明：必要性证明同定理2 2 下证充分性 设g 为x 上满足条件( 5 ) 和( 6 ) 的弱g 函数如果g 不是递减的，令 9 伽，。) = g ( n ，z ) ，凡n ，z x ，则弱9 函数9 7 是递减的且仍满足条件( 5 ) 和 ( 6 ) 因此，我们总可设g 是递减的下面只需证明g 满足条件( k s ) 与( 4 ) 先证g 满足条件( 1 【s ) 设z 。一z 且对每一礼n ，z 。g ( n ，) ，则对每一 m n ，z c l x 。：扎n ) u ( g 七( m ，x 。) ：n ) 于是我们可取( z n ：礼n ) 的子 序列 z 。：m 】，使对每一m n ，z g k ( m ，z 。) 又g 是递减的，故对每一 m n ，z g k + 1 ( m ，y n 。) 由条件( 6 ) ，y 。一z 事实上，上面证明了【) 的任意 子序列包含一收敛于z 的子序列因此，y n z 类似推论2 1 的证明，我们可证得g 满足条件( 4 ) 口 推论2 5 ( 【8 】定理1 3 ) 拓扑空间x 可度量化当且仅当x 具有g 函数满足条 件( 5 ) 和( 6 ) 推论2 6 ( 1 7 1 定理5 8 ) 拓扑空间x 可度量化当且仅当x 具有弱基g 函数 满足条件( k s ) 和( 2 ) 证明：必要性证明同定理2 2 下证充分性 设g 为x 上满足条件( k s ) 和( 2 ) 的弱基9 函数类似推论2 1 的证明，我 们可证得g 满足条件( 4 ) 故结论成立 口 1 0 关于弱g 函数和广义度量空问的刻画 第二章度量空间的弱夕函数刻画 推论2 7 拓扑空间x 可度量化当且仅当x 具有弱基g 函数满足条件( k s ) 和( 4 ) 1 1 关于弱9 函数和广义度量空间的刻画 第三章某些广义度量空间的刻画 第三章某些广义度量空间的刻画 本章我们用弱基g 函数，弱g 函数与u 结构给出广义度量空间的一些刻 画首先，作为重要的广义度量空间g 可度量空间，至今还没有g 函数刻画， 那么能否用9 函数来刻画g 可度量空间呢? 下面我们给出g 可度量空间的弱 基g 函数刻画我们先给出证明所需要的引理 引理3 1 ( 1 5 定理2 1 ) 正则空间x 是9 可度量空间当且仅当x 是具有口 遗传闭包保持k 网的g 第一可数空间 引理3 2 ( 2 1 】定理1 1 3 ) 拓扑空间x 可度量化当且仅当x 是f r c h e t 的g 可度量空间 定理3 1 正则空间x 是g 可度量空间，若x 具有弱基g 函数满足条件 ( k s ) 且对每一亿n ， 9 ( n ，z ) ：z x ) 是l f 集族 证明：叉寸每n n 及z x ，令危( 佗，z ) = ( n g ( n ，y ) ：z g ( n ，3 ，) ) ) n ( n x 夕( n ，y ) ： z 车g ( n ，耖) ) 对每一n n ，置= h ( n ，z ) ：z x ) ，“= u 。，则是x 的 分划 否则，存在z 1 ，z 2 x ，使忽( 佗，z 1 ) n h ( n ，x 2 ) 0 且h ( n ，z 1 ) 九( n ，。2 ) ，则存 在y x ，使z 1 g ( n ，夕) ，z 2g9 ( n ，y ) 司z 1 垡夕( n ，可) ，z 2 g ( n ，) ，于是h ( n ，z 1 ) g ( n ，秒) ，h ( n ，z 2 ) x 9 ( n ，y ) 蜀h ( n ，z 1 ) x 9 ( 几，可) ，危( 孔，z 2 ) g ( n ，秒) 因止i 二， h ( n 阳) dh ( n m ) = 0 ，与条件矛盾 下证：咒是仃局部有限w e 8 网 先证：对每一州! n ，? - 。是局部有限 1 2 关于弱9 函数和广义度量空间的刻画 第三章某些广义度量空间的刻画 设z x ，u 为z 的邻域u n h ( n ，z ) = u n ( n ( g ( n ，y ) ：z 9 ( 几，可) ) n ( n ( 义夕( 凡，y ) ： z 隹g ( n ，可) ) ) ) = ( un ( n g ( n ，夕) ：z 9 ( 仃，秒) ) ) ) n ( un ( n x g ( n ，y ) ：z 隹g ( n ，妙) ) ) ) 因 9 ( n ，z ) ：z x ) 是l f 集族，故j vn 夕( n ，z ) ：z z ) l u ，于是i u n ( a g ( n ，掣) ： z 9 魄磐) ) ) ) i u 又因为 烈圆( n ，z ) ：z x ) 是l f 集族，所以i ( v n ( n ( x g ( n ，y ) ： z 岳9 ( n ，可) ) ) ) i i d ，z l ( 佗o ，z 。) n x g ( n o ，y ) ：y x u ) u 因 是局部有限覆盖，故。是紧有限的，于是亿：i i o ) 仅与爿。的有限 个元素相交取h ( n o ，观。) ，危( n o ，z 如) 冗加，其中协i ，i k ) 0 n ：i i o ) ，使 x i ：i i o ) u ( n o ，x i ) ：歹= 1 ，后】- 泸 从而由【2 0 】引理1 1 3 知，咒是x 的f 遗传闭包保持竞网 因 g ( n ，z ) ：n n ，z x ) 是x 的弱基且对每一z x ， 夕( 佗，z ) ：n n ) 是可 数的，故x 是g 第一可数空间 因此，由引理3 1 知，x 是g 可度量空间 口 推论3 1 正则的f r d c h e t 空间x 是可度量化的当且仅当x 具有弱基g 函 数满足条件( k s ) 且对每一n n ， 9 ( n ，z ) ：z x ) 是l f 集族 证明：必要性显然充分性由定理3 1 和引理3 2 可得 口 定理3 2 正则空间x 是g 可度量空间，若x 具有弱基g 函数满足条件 ( k s ) 且对每一r t , n ，覆盖o 。有遗传闭包保持加细，其中瓯= d ( 住，z ) ：z 1 3 关于弱9 函数和广义度量空间的刻画 第三章某些广义度量空间的刻画 x ) ，o ( n ，2 ) = 可x ：y g ( n ，z ) 上王z 9 ( 几，) ) 证明：对每一凡n ，磊是仇的遗传闭包保持加细置，= u 凡：凡) ， 则芦是伊遗传闭包保持的 设z x ，u 为z 的邻域且z 。一z 先证：存在i o n ，使对每一 i i o ，s t ( z i ，0 。) u 其中s t ( x i ，) = u o ( n o ，y ) ：x i o ( n o ，) ) 否则，对每一 死n ，存在磊 死，使& ( ，侥) 矽谚取y n s t ( x t 。，o 。) u ，则对每一死n ，存 在x ，使z 。，o ( n ，) 因z h 一z 及z t 。o ( n ，锄) 冬9 ，) ，故z 但由y n o ( n ，) 得锄g ( n ，y 。) ，因此，y 。，z 与对每一n n ，y n 岳u 矛盾 因是x 的遗传闭包保持覆盖，故存在有限个日，最，使k ： i i o ) u 乃：j = 1 ，k ) 且对每一j ，乃n 协：i i o 】d 否则，设协：i i o ) 与无限个厶。中的元素相交取协) 的子序列协，) ，使 z o 弓且j j 7 时，乃弓，由于厶。是遗传闭包保持的，则缸，：j ) 是闭集与z ，矛盾于是 u 乃：j = 1 ，七) u ( ，) ：i t o ) 垦u ( 戤，) ：i i o ) u 因此，丁是x 的w c 8 网由 2 0 】引理1 1 3 ，正则空间x 的仃遗传闭包保持w c 8 网，是x 的盯遗传闭包保持k 网 因d ( n ，z ) ：扎n ，z x ) 是x 的弱基且对每一2 x ， g ( 凡，z ) ：礼n ) 是可 数的，故x 是9 第一可数空间 因此，由引理3 1 知，x 是9 可度量空间 口 推论3 2 正则的f r d c h e t 空间x 是可度量化的当且仅当x 具有弱基g 函 数满足条件( k s ) 且对每一n n ，覆盖o n 有遗传闭包保持加细，其中吼： o ( n ，z ) ：z x ) ，o ( 亿，z ) = y x ：y 夕( 礼，z ) 上l z 夕( 礼，可) ) 证明：必要性显然充分性由定理3 2 和引理3 2 可得 口 1 4 关于弱g 函数和广义度量空间的刻画 第三章某些广义度量空间的刻画 定理3 , 3 正则的k ，空间x 是口空间当且仅当x 具有弱9 函数满足条件 ( s s ) 且对每一凡n ， g ( n ，z ) ：z x ) 是c f 集族 证明：必要性：设x 为正则的南7 空间和矿空间，歹= u 磊：铊n ) 是x 的盯局部有限闭网，其中每一凡是局部有限的对每一钆n 及z x ，置 g ( n ，z ) = x ( u f 兀：z 萑f ) ) 不难验证g 为弱g 函数且满足定理中的条件 充分性：设x 具有弱g 函数满足条件( s s ) 且对每一礼n ，匆( 礼，。) ：z x 是 c f 集族对每一礼n 及z x ，令o ( n ，z ) = ( n , q c n ，y ) ：z 9 ( 礼，可) ) ) n ( n x g ( n ，y ) ： z 岳g ( n ，秒) ) ) 设k 为x 中的任意紧集，那么由于 g ( n ，z ) ：z x ) 是c f 集 族，则i ( kn g ( n ，z ) ：z x l u 又 x g ( n ，z ) ：z x 也为c f 集族，则 i k n ( x 9 ( 礼，z ) ) ：z x ) i u ，于是i k n o ( n ，z ) ：z x l = i k n ( n , q ( n ，可) ： z 9 ( n ，剪) ) n ( n x g ( n ，y ) ：z 岳夕( 凡，秒) ) ) ) ：z x ) i = i ( k n ( n 9 ( 佗，9 ) ：z g ( n ，可) ) ) ) n ( k n ( n x g ( n ，g ) ：z 譬g ( n ，可) ) ) ：z x ) i u 从而对每他n ，( d ( 凡，z ) ：z x ) 是c f 集族 由 1 8 】中命题3 , 3 ，在k 7 空间中，每一c f 集族是闭包保持的所以，对每 一7 t n ， o ( n ，z ) ：z x ) 是闭包保持的 下证： o ( n ，z ) ：n n ，z x 】是x 的网 设z u ，u 为开集，由条件( s s ) ，存在n n ，使z 隹u 9 ( 凡，y ) ：可x v ) 否 则，对每一州；n ，存在序列 z 。) x u ，使z g ( n ，z 。) ，则由条件( s s ) ，z 。一z ， 与 z 。) x u 矛盾于是z o ( n ，z ) n x g ( n ，可) ：y x u 】u 因此， d ( 佗，z ) ：n n ，z x ) 是x 的盯闭包保持网由【4 】中定理7 3 5 知， x 是叮空间 i 1 注记：注意到在上述定理3 3 充分性的证明中，我们实际上并没有用到 “ 夕( n ，z ) ：z x ) 是z 的弱邻域”因此，定理中的“弱g 函数”可以减弱为 “u 结构”即我们有 1 5 关于弱夕函数和广义度量空间的刻画 第三章 某些广义度量空间的刻画 定理3 4 正则的k 7 空间x 是口空间当且仅当x 具有u 结构满足条件( s s ) 且叉寸每n n ， 9 ( n ，z ) ：z x ) 是c f 集族 恽自求教授等人在【2 4 1 中给出下面的定理： 定理3 5 ( 2 4 】定理1 ) 正则的f r d c h e t 空间x 是l a 善n e v 空间当且仅当x 具 有g 函数满足条件( k s ) 且对每一t t n ，0 ( 扎，z ) ：z x ) 是c f 集族 定理3 6 ( 2 4 】定理2 ) 正则空间x 是k 空间当且仅当x 具有g 函数满足条 件( k s ) 且对每一仃n ， 9 ( n ，z ) ：z x ) 是l f 集族 上述两个定理中的“g 函数”也可减弱为“u 结构” 定理3 7 正则的f r 芭c h e t 空间x 是l a g n e v 空间当且仅当x 具有u 结构满 足条件( k s ) 且对每一礼n ，j ( 9 ( n ，z ) ：z x ) 是c f 集族 证明：必要性：由定理3 5 立得 充分性：对每一n n 及x x ，令r ( z ) = ( n _ 【9 ( n ，y ) ：z g ( - ，可) ) ) n ( n x b ( 几，y ) ： z 譬g ( n ，! ，) ) ) 对每一n n ，置兀= 【r ( z ) ：z 义) ，丁= u 他厶在定理3 1 中， 我们已经证明磊是x 的一个分划类似定理3 3 的证明，我们可以证明凡 是c f 集族所以，对每一n n ，矗是紧有限集族众所周知，在f r d c h e t 空 间中，紧有限集族是遗传闭包保持的因此，厂是盯遗传闭包保持的 注意到在定理3 1 证明“7 l f 是x 的w a s 网时，我们实际只用到“每个 m 。是紧有限”的条件因此，套用定理3 1 的证明，我们可以证明，是x 的 t j j c 8 网，于是歹是x 的盯遗传闭包保持叫c s 网。 因此，由【2 3 】中引理2 知，x 是l a g n e u 空间 口 定理3 8 对正则空间x ，下列论断是等价的： ( a ) x 是n 空间； 1 6 关于弱g 函数和广义度量空间的刻画 第三章 某些广义度量空问的刻画 ( b 具有9 函数满足条件( k s ) 且对每一训；n ，【夕( 礼，z ) ：z x ) 是l f 集族； ( c ) x 具有弱g 函数满足条件( k s ) 且对每一仃n ，( g ( n ，z ) ：z x ) 是l f 集族； ( d ) x 具有u 结构满足条件( k s ) 且对每一佗n ， 9 ( 几，z ) ：z x ) 是l f 集族 证明：由于9 函数是弱g 函数，弱g 函数是u 结构，因此，根据定理3 6 的证明，( a ) 哥( b ) j ( c ) 哥( d ) 显然成立下证：( d ) 考( a ) 天于每死n 及z x ，令2 乙( z ) = ( n 夕( 访，y ) ：z g ( n ，分) ) n ( n x 9 ( 礼，秒) ：z 9 ( 礼，夕) ) ) 对每一礼，置凡= r ( z ) ：z x ) ，丁= 执矗 类似定理3 1 的证明，我们可以证明芦是x 的盯局部有限w e 8 网 因此，由【2 0 】定理1 4 知，x 是n 空间 口 1 7 关于弱9 函数和广义度量空间的刻画 结论 结论 本文用弱9 函数给出了两个度量化定理以及分别用弱g 函数，弱基9 函 数和u 结构刻画了某些广义度量空间 1 8 关于弱g 函数和广义度量空间的刻画参考文献 参考文献 【1 】1a a r h a n g e l s k i i ，b i c o m p a c ts e t sa n dt o p o l o g yo fs p a c e s ，s o v i e tm a t h d o k l ，1 9 6 3 ，4 ， 5 6 1 5 6 4 【2 】g c r e e d e ，c o n c e r n i n gs e m i s t r a t i f i a b l es p a c e s ，p a c i f i cj m a t h ，1 9 7 0 ，3 2 ，4 7 5 4 【3 】3l f o g e d ，ac h a r a c t e r i z a t i o no fc l o s e di m a g e so fm e t r i cs p a c e s ，p r o c a m e r m a t h s o c ， 1 9 8 5 ，9 5 ，4 8 7 4 9 0 【4 】高国士，拓扑空间论，科学出版社，1 9 9 9 【5 】z g a o ，o ng - f u n c t i o ns e p a r a t i o n ，q a n da i ng e n e r a lt o p o l o g y , 1 9 8 6 ，4 ，4 7 5 7 【6 z g a o ，t h ec l o s e di m a g e so fm e t r i cs p a c e sa n df r c h e t ks p a c e s ，q a n da i ng e n e r a l t o p o l o g y , 1 9 8 7 ，5 ，2 8 1 2 9 1 【7 】z g a oa n dy y a s u i ，ad e c o m p o s i t i o no fk - s e m i - s t r a t i f i a b l es p a c e s ，m a t h j a p o n i c a ， 1 9 9 8 ，4 7 ，1 9 9 - 2 0 2 8 z g a oa n dy y a s u i ，s o m er e m a r k so n9 一f u n c t i o n s ，t o p o l o g yp r o c e e d i n g s ，1 9 9 9 ，2 4 ， 1 6 5 - 1 7 1 9 】z g a o ，m e t r i z a b i l i t yo fs p a c e sa n dw e a kb a s eg - f u n c t i o n s ，t o p o l o g ya p p l ，2 0 0 5 ，1 4 6 - 1 4 7 ， 2 7 9 2 8 8 高智民，g 函数，弱基g 函数和空间的度量化，数学物理学报，2 0 0 5 ，2 5 a ， 4 5 1 6 - 5 2 1 【1 1 】z g a o ，m e t r i z a b i l i t yo fs p a c e sa n dj n a g a t a sp r o b l e m ，a c t am a t h e m a t i c as c i e n t i a ， 2 0 0 6 ，2 6 b ，1 ，2 5 3 0 【1 2 】r e h e a t h ，s t r a t i f i a b l es p a c e sa x e 盯s p a c e ，n o t i c e sa m e r m a t h s o c ，1 9 6 9 ，1 6 ，7 6 1 【1 3 】r e h o d e l ，m e t r i z a b i l i t yo fs p a c e ss a t i s f y i n gn a g a t a sc o n d i t i o n ，m a t h j a p o n i c a ，1 9 9 8 ， 2 ，4 7 ，2 8 7 - 2 9 3 1 4 】h h h u n g ，e n m e s h m e n to fs t r u c t u r e sa n dc h a r a c t e r i z a t i o n so fg e n e r a l i z a t i o n s o f m e t r i cs p a c e s ，q a n da i ng e n e r a lt o p o l o g y ，2 0 0 3 ，2 1 ，1 9 7 2 0 2 【1 5 】林寿，关于g 可度量空间，数学年刊，1 9 9 2 ，1 3 a ，3 ，4 0 3 - 4