（基础数学专业论文）几类微分算子的特征值问题.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 常微分算子理论给微分方程、经典物理学、现代物理学及其它工 程技术学科提供了统一的理论框架，是常微分方程、泛函分析、空间 理论及算子理论等理论，方法于一体的综合性，边缘性的数学分支其 研究领域主要包括微分算子的亏指数理论、自伴扩张、谱分析、按特 征函数展开、数值方法，以及反问题等许多重要分支，内容丰富 本文围绕微分算子领域中的一个重要问题，谱分析中的特征值问 题开展研究首先在文献 7 ， 1 0 的基础上考虑了一类带周期边界条 件的右定s l 问题，利用函数论的方法解决了其特征值的存在与分布 问题，证明了特征值集合与z 的一整函数的零点集合重合，特征值的 秩与零点重数一致并得出其特征值与特征函数的渐近表示 文章接着研究了一类四阶微分算子的特征值对边界点的依赖性 得出在自伴分离边条件下特征值对端点的一阶微分方程，并讨论了当 区间收缩为零时，作为端点函数的特征值的一些性质 文章还利用s l 问题的特征值对边界条件的单调依赖关系，建立 了左定与右定s l 问题问的特征值不等式最后，本文研究了一类正 则的s t u r m l i o u v 订1 e 问题的特征值不等式 全文共分为四个部分：一、本文所研究问题的背景与主要结果； 二、一个周期边条件下的右定s t u r m l i o u v i l l e 问题：三、一类四阶 微分算子的特征值对边界点的依赖性：四、特征值不等式 关键词：微分算子，特征值，特征函数 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t o r d i n a 巧 d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r st h e o 拶 c a n s u p p l y d i f - f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，c l a s s i c a lp h y s i c s ，m o d e mp h y s i c sa n do t h e rt e c h n i q u ef i e l d s t h et h e o wb a s i s ，w h i c hi sac o m p o s i t i v ea n de d g i n gm a t h e m a t i c sb r a n c h o fo r d i n a 眄d i 骶r e n t i a le q u a t i o n s ，如n c t i o n a la n a l y s i s ，s p a c et h e o 巧， o p e r a t o r st h e o we t c i tc o n t a i n s ag r e a t i m p o r t a n tp r o b l e m s ，s u c ha s d e f i c i e n c y i n d e x t h e o 巧，a d j o i n te x t e n t i o n ，s p e c t r a la n a l y s i s ，p r e s s e i g e n 如n c t i o nt os p r e a d ，n u m e r i c a lm e t h o d ，i n v e r s eq u e s t i o n s ，a n ds oo n i nt h i s p a p e r ，w es m d ya ni m p o r t a n tp r o b l e m i nt h ef i e l do f d i f - f e r e n t i a lo p e r a t o r s b a s e do nb o o k 7 a n d 1o ，w ef i r s ta n a l y z eac l a s s o fr i g h t d e f i n i t es t u n n - l i o u v i l l e o p e r a t o r s w i t h p e n o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n s w i t ht h em e t h o do f 如n c t i o nt h e o 巧，w es o l v et h ep r o b l e mo f e x i s t e n c ea n dd i s t r i b u t i o no ft h ee i g e n v a l u e ，p r o v et h a tt h ee i g e n v a l u es e t a n dz e r os e to faw h o l e 如n c t i o no f 旯a r es a m e ，t h er a n ko fe i g e n v a l u e a n dz e r om u l t i p l en u m b e ra r ec o n i n c i d e n ta n dt h e g r a d u a l l y n e a u r e x p r e s s i o no fe i g e n v a l u ea n de i g e n 允n c t i o n t h e nt h e p a p e r s t u d i e st h et o t a l r e l i a b i l i t yo fs o r t o ff o r t h d e r i v a t i o n s e i g e n v a l u e o nt h eb o u n d a up o i n t g e t s h ef i r s to r d e r d i f 五翻? e n t i a l e q u a t i o n o fe i g e n v a l u et ot h eb o u n d a r yp o i n tu n d e rt h e c o n d i t i o no f s e l f a d j o i n ts e p a r a t e d b o r d e r a n dd i s c u s s e ss o m e e i g e n v a l u e sn a t u r eo fb o u n d a 拶p o i n t 如n c t i o nw h e ni n t e n ，a l i ss h r i n k e d t oz e r 0 t h i sp a p e ra l s ou s e st h er e l i a b l er e l a t i o no ft h ee i g e n v a l u eo fs l p r o b l e mo nb o u n d a 拶c o n d i t i o n st oe s t a b l i s ht h ee i g e n v a l u ei n e q u a l i t yo f 内蒙古师范大学硕士学位论文 1 e ra n dr i g h tr u l e ss lp r o b l e m a tl a s t ，t h ep a p e rr e s e a r c h e st h e e i g e i a l u ei n e q u a l i t yo fr e g u l a rs t u r m l i o u w i l l e p r o b l e m t h i sp 印e rc o n t a i n sf o u rp a n s t 1 1 ef i r s tp a n ：a ni n t r o d u c t i o no ft h e b a c k g r o u n do fm ep r o b l e m sw ei n v e s t i g a t ea n dm a i nr e s u l t sw e o b t a i ni n t h i sp a p e r t h es e c o n dp a r t ：ad g h t d e f i n i t es t l l m l i o u v 订l ep i o b l e mw i t h p e r i o d i cb o u n d a 哆c o n d i t i o n s t h et h i r dp a r t ：t h ed e p e n d e n c eo ft h e e i g e n v a l u eo fac l a s so ff o r t hd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so nb o u n ( 1 a 巧p o i n t t 1 1 ef o u n h p a i t ：e i g e n v a l u e si n e q u a l i t i e s k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，e i g e n v a l u e ，e i g e n 向n c t i o n ， 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名： 蔓塞銎日期：如。彦年6 月j r 夕日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 攀纛爹触鼬篙鬈。如 签名： 蔼眷琴 导师签名：夕刁口 日期：2 细占年舌月穸日 第一章问题提出的背景和本文的主要结果 第一章问题提出的背景和本文的主要结果 微分算子是线性算子中最基本也是应用最广泛的一类无界线性算子，在数学物理 及其它工程技术学科中，有许多问题都可以归结为确定的微分算子问题，其研究领域 包括微分算子的亏指数理论、自共轭扩张、谱分析、数值方法以及反问题等许多重要 分支，内容浩瀚本文仅就特征值即点谱问题进行探讨 1 1 问题提出的背景 微分算子的谱分析无论从理论上还是应用上都是十分重要的，它为微分方程众多 问题提供了统一的解决模式和理论框架常微分算子谱理论的研究主要围绕谱的定 性、定量分析、特征值的数值计算等方面而进行，研究方法大体分为分析法和算子法 这两种方法的起源可追溯到经典的有限区间上s l 问题的研究：即l i o u v 订1 e 的渐近 估计方法和c o u r a n t 的变分方法 分析方法是根据解析函数理论分析预解式，g r e e n 函数和微分方程解的渐近性质 来判断微分算子谱的性质这方面工作以e c t i t c h m a r s h 和b m l e v it a i n 为代表， 在他们的经典著作中可以看到对于高阶的微分算子，分析方法也是很奏效的上世纪 四、五十年代，前苏联数学家m a n a i m a r k ，i m g 1 a z m a n ，v b l i d s k i i 和 b m l e v i t a n 等人，采用分析方法得到许多重要的结论 用算子理论的方法研究微分算子的谱是近几十年来广泛采用的方法，在 m a n a i m a r k ，i m g l a z m a n ，e m u l l e r p f e i f f e r 关于微分算子谱分析的专著里使用 的都是线性算子的方法乜h 引，这种方法的理论基础是h i l b e r t 空间中闭线性算子的谱 理论和全连续摄动的相关理论眵1 ，其主要出发点有两个，一是分解的方法，另一是二次 型比较的方法，这些目前为人熟知的方法是近几十年来由r c o u r a n t ，f r e l li c h ，k o f r i e d r i c h s ，i m g 1 a z m a n 等创立并在以后逐步完善起来的：d e e d m u n d s 和 w d e v a n s 在其专著1 中利用算子的近似数、s 一数及空问嵌入算子连续性、紧性来 研究微分算子的谱也是一种行之有效的办法( 以上综述部分的材料来源于文献n 1 ) 近些年来，国内外许多数学工作者从不同角度，利用分析、算子、嵌入数估计等方 法对微分算子的谱问题进行了大量研究，取得了很多重要的成果，如w e i d m a n n 砸9 。， h i n t o n 1 0 卜n 引，k a u f f m a n n 制，孙炯与d e e d m u n d s ，a k u f u e r ，e m u l1 e r p f e if f e r 合 作的 1 5 一 1 9 及 2 0 卜 2 2 等 第一章问题提出的背景和本文的主要结果 所谓s t u r m l i o u v i l l e 问题，就是研究s l 算子特征值与特征函数展开的问题， 经典的s l 算子是自伴算子，所有特征值( 若存在) 均为实数，并且对应于不同特征值 的特征函数互相正交因而关于自共轭微分算子的讨论一直受到格外重视，特征值的 存在与分布的研究在常微分算子理论的研究中有着特殊的地位本文谱分析的重点就 放在s t u r m l i o u v i l l e 算子特征值的渐近分析，单调性与不等式上 1 9 8 7 年，曹之江在其专著常微分算子中利用e c t i t c h m a r s h 所引进的函数 论的方法给出了经典s l 问题特征值的存在与分布，得到了第，z 个特征值力。一o o 速度 的一个估计，渐近值仅与刀有关文 2 3 给出兄对于区间端点、边界条件、方程系数、 权函数的微分表达式，说明这些参数对五都有影响文 2 0 获得了特征值对于边条件 的单调依赖性文 3 0 依据特征值的单调性给出了不定与定型s t u r m l i o u v i l l e 问题 间特征值不等式我们则综合考虑以上情况，推广了文 7 ， 1 0 ， 2 0 ， 3 0 ， 3 2 的部 分结论 本章的创新之处在于：1 利用函数论的方法给出了一类带周期边界条件的右定 s l 问题特征的分析结果，使文 7 和 1 0 的部分结论适用范围更广2 利用分析的方 法讨论了在特殊的自伴分离边界条件下，一类四阶微分算子的特征值对边界点的单调 依赖关系从而给出了文 3 0 的特殊情况3 利用谱曲线的方法，给出了一类正则的 s l 算子的特征值不等式使文 3 2 的主要结论适用范围更广 1 2 本文的主要结果 本文主要围绕微分算子领域中的谱分析问题中特征值的渐近展开研究全文分为 四个部分，第一章给出了问题提出的主要背景与本文的主要结果：第二章解决了一类 带周期边条件的右定s l 问题的特征值问题：第三章研究了一类具有分离边界条件的 四阶微分算子的特征值对边界点的依赖性；第四章依据特征值的单调性，给出了左定 与右定s t u r m l i o u v i l l e 问题间的特征值不等式最后考虑了一类左定的 s t u 珈一l i o u v i l l e 问题的特征值不等式 本文的主要结果： ( 一) 研究了一类带有周期边条件的右定s l 问题，利用函数论的方法解决了其 特征值的存在与分布问题，证明了特征值集合与旯的一整函数的零点集合重合，特征 值的秩与零点重数一致并得出其特征值与特征函数的渐近表示 ( 二) 研究了一类带有分离边条件的四阶微分算子的特征值对边界点的依赖性 得出在一类特殊的自伴分离边条件下特征值对端点的一阶微分方程，并讨论了当区间 2 第一章问题提出的背景和本文的主要结果 收缩为零时，作为端点函数的特征值的一些性质 ( 三) 应用左定s t u r m l i o u v i l l e ( s l ) 问题在直和空间上的等价刻画，及特征 值对边界及边值条件的单调依赖关系，建立了左定s l 问题与两个相关的右定s l 问 题之间的特征值不等式 ( 四) 利用谱曲线的方法研究了一类正则的s t u r 旷l i o u v i l l e 问题的特征值不 等式 第一章问题提的背景和本文的主要结果 第二章一个周期边条件下的右定s t l l r i l l l i o u v i l l e 问题 在本章里，我们考虑【0 ，刀】上一类带周期边条件的右定s t u r m l i o u v i l l e 问题，利 用函数论的方法解决其特征值的存在与分布问题，证明了特征值集合与旯的一整函数 的零点集合重合，特征值的秩与零点重数一致并得出其特征值与特征函数的渐近表 示 记周期边条件下的右定s t u r m l i o u v i l l e 问题为 f 二) ，( x ) 暑一y ”( 工) + g ( 功y ( x ) = 力w ( x ) j ，( 石) ， x 【o ，万】， y ( o ) = y ( 万) ， ( 2 1 ) 【 y ( o ) = y ( 7 r ) ， 五为其特征值其中w ( 工) 0 ，且以x ) ，g ( 功c 2 ( o ，万) 文献 1 0 解决了w 莹l 时问题 ( 2 1 ) 的特征值与五的整函数缈( 允) 的关系 本章在文献 1 0 的基础上讨论了w l 时问题的特征值与五的整函数缈( 名) 的关系，并 推导出了其特征值与特征函数的渐近表示 2 1 对c a u c h y 问题解的估计 考虑c a u c h y 问题： ( c 1 ) ：l 妒= 力w ( x ) 缈，缈( o ，兄) = 1 ，缈( 0 ，五) = 0 及 ( c 2 ) ：l 少= 力以x ) y ，y ( o ，允) = 0 ，少( 0 ，名) = 1 的解可得如下命题 命题2 1 1c a u c h y 问题( c ，) ，( c ：) 的解存在且唯一，对x ，五二元连续，是兄的整函 数且有 伊( 旯) = 缈( x ，五) ，( x ，五) = ( x ，见) 证明( g ) 和下面的积分方程等价 妒( 力= 1 + f ( x 一孝) g ( 孝) 一五以f ) 】缈( 孝) 蟛 令( x ) = 1 ，构造迭代列 4 第二章一个周期边条件下的右定s t u m l i o u v i l l e 问题 纯( x ) = ( 石) + f o 一善) g ( 孝) 一训孝) 】纯一。( f ) d 孝 ( 2 1 1 ) 用数学归纳法有 ， 1 吼c 力一纯一。( x ) l ! 气妄 g 尹二x ”+ 1 ( 2 1 2 ) 其中q ，p 分别为i g ( x ) l ，l 以x ) l 的上确界故+ ：；， 吼( 力一一。( 工) 】= 吼( x ，在 o ，万】舭i r ) 上绝对一致收敛设其极限为妒( x ，五) ，对( 2 1 1 ) 取，l 专o o 时的极限， 得缈( x ，咒) 是( c 1 ) 的解由( x ，a ) 的一致收敛性知，伊( x ，兄) 在 o ，万 川r ) 上连续 由归纳法可知，纯( x ，允) 是旯的，1 次多项式又吼( 石，兄) 在h 尺上一致收敛，所以 伊( x ，旯) 作为旯的整函数是解析的由于吼( ) c ，页) = 瓦石丽，故9 ( x ，页) = 丽 类似可证( g ) 的解存在且唯一，对x ，五二元连续，是五的整函数，且有 沙( 工，万) = 厕 命题2 1 2 记五= s 2 ，s = 仃+ 矗( 盯，r j r ) 则当h 寸o o 时，下面的渐近式在 0 x 万e 一致成立 吣，五) ：巡啤c 。s ( 娟弘d ( 旷p l r l 以) ；认埘) ：- w ( o ) 丢【w ( 瑚；幽n ( 媚，) + i r l 以) w ( x ) 】4 5 f ，( x ，五) = r + d ( 阿2 s 【w ( 0 ) 】4 【w ( x ) 】4 其中hx = 戛丽d 1 1 扩x ) ；y ，( x ，名) ：丛娑c 。s ( 讲，) + d ( 旷炒，) 【w ( 0 ) 】4 证明首先利用g r e e n l i o u v i l l e 变换将齐次万槿 y + 兄w ( x ) y = 0 ( 2 1 3 ) 化为 堡+ 五1 ，：西 + 九1 ，= 却 比 其中万= 号一券 第二章一个周期边条件下的右定s t u m l i o u v i l l e 问题 由于w ( x ) 不为零，且两次连续可微，5 与五相比是小量，因此可得( 2 1 3 ) 式的渐近解 为 ll 1 y2 口 w ( 工) 1c 。s ( 泌，) + 优w ( z ) 】_ - s i n ( 压日x ) + o 唬) ，兄寸o o 其中口，6 是不同时为零的两实数取两个特解 掣倒去) ：掣 【以x ) 】i 九 历 以x ) i 应用常数变易法，则知( c 。) ，( c 2 ) 的解分别满足积分方程 妒( x ，五) ：万+ 士r 兰兰堕二兰掣( 孝) 缈( ) d f 旯【以x ) 4【w ( x ) 4 删去) r 孵w 埘蟛 ( 2 1 4 ) 其中 ( x ，五) ：痧+ - f 兰坚堕型2 辎( 孝) ( f ) d f 五【w ( x ) 4 w ( x ) 】4 咧去) f 孵妒( 鲥) 蟛 ( 2 1 5 ) = 杰c o s ( 励，删+ d ( 痧= w ( x ) 】4 。 口：踟- c t a n 罢圣一，： 五c l 压【w ( o ) n 以力】i ，c 。： w ( o ) c ：一型婴，c l = w ( o ) 】4 ，c 2 = 一鼍 砸似o ) 】4 由文 1 易得缈( x ，五) = d ( p 。) ，将其带入( 2 1 4 ) 中得 三 伊( x ，兄) ：巡雩c 。s ( s h ，) + d ( 旷，) ( 2 1 6 ) 【w ( 工) i 对( 2 1 4 ) 式两端求导有 缈，( 五名) ：一c l 【w ( 工) 】；s s i n ( s 胃，) 一盥s ( s 日，) + 4 f “x ) 1 i ) 】壁罕孵蟛+ d ( ， 【w ( x ) 】4 将( 2 1 6 ) 式带入上式，即得 ll 够7 ( 工，a ) ：【w ( 0 ) 】i 【w ( x ) 】iss i n ( 讲，) + 0 忙 | 胃。) 由上面的推导过程可知，关于伊( x ，力) ，伊7 ( x ，旯) 的渐近式对x 0 ，刀】一致成立 对c 2 ，由s i n ( 洄，) g i f | 以，s i n ( 万( 日，一日f ) ) p 隙j 一心及熟知的b e l l m a n n g r o w a l l 引理，得到杪( x ，允) = d ( 去e ) ，将其带入( 2 1 5 ) 式有 y 瓴允) = 对( 2 1 5 ) 式两端求导得 垫磐o + 唰妙，)1l一、i _ i 。 7 s w ( o ) 】4 【以x ) 】4 三 沙u 卅：型些攀丛 【w ( o ) 】4 w ( x ) s i n ( 讲，) 一广1 十 4 s 【似o ) 4 【w ( 功】4 ( 2 1 7 ) 【w ( 石) 】；f ! ! 型! 主攀( 孝) y ( 孝，a ) d 善+ 。( 喜) w ( x ) 】4 将( 2 1 7 ) 式带入上式得 三 ，( 石，五) ：丛娑c 。s ( 媚，) + d ( 旷妙x ) 【w ( 0 ) i 同样( x ，旯) ，y ( x ，旯) 的渐近式对x 【o ，万 一致成立 命题2 1 3 记 螂寸万笼窘叭万袋蕊力，卜删m 卿亿瑚， 则问题( 2 1 ) 的解可表示为y = m 。缈( x ，a ) + m ：吵( x ，a ) ( ，l 。，m ：不同时为零) 当且仅当 缈( 旯) = 0 证明必要性若问题( 2 1 ) 的解可表示为】，= m i 缈( 石，五) + 聊2 ( x ，名) ( ，l l ，z 2 不同时 为零) ，则有 7 第二章一个周期边条件下的右定s t i l m l i o u v i l l e 问题 i 所l 伊( o ，名) + 删2 少( o ，旯) 一，l l 缈( 万，旯) 一，1 2 沙( 万，兄) = o 【m l 矽( o ，五) + 历2 ( o ，五) 一小l 妒( 7 ，五) 一，竹2 沙( 万，旯) = o 得到 l 小l ( 伊( 万，兑) 一妒( o ，见) ) + m 2 杪( 万，允) = o 【，伊7 ( 万，见) + 聊2 ( y 7 ( 刀，五) 一y ( o ，五) ) = o 由于上捌燃一故r 亥嚣删叭万袋，| = o 充分性若彩( 五) = 0 ，则 i 掰l 妒( 万，名) + 朋2 沙( 万，五) 一聊l 缈( o ，兄) 一所2 少( o ，五) = o 【，托l 缈( 万，五) + 柳2 y ( 万，五) 一聊l 缈( o ，名) 一聊2 7 ( o ，兄) = o 有非零解沏l ，朋：) 记y = 耽。缈( z ，名) + 历：( z ，五) ，显然它为问题( 2 1 ) 的解又 i9 ( o ，力) = l ，缈( o ，五) = o 【妙( o ，五) = o ，沙7 ( o ，五) = 1 故伊( 工，名) ，( 五名) 线性无关所以问题( 2 1 ) 的解可表示为】厂= 胁l 缈( 五五) + 聊2 ( x ，名) 若y = 肌，妒( 工，五) + 脚：( x ，z ) 为问题( 2 1 ) 的解，则五是特征值，】，是特征函数反之， 当力是特征值，】，是特征函数时，即y 是问题( 2 1 ) 的解故命题2 1 3 又可有以下的 叙述形式 命题2 1 4 五是问题( 2 1 ) 的特征值当且仅当缈( 兄) = 0 将命题( 2 1 2 ) 中的渐近式带入( 2 1 8 ) ，可有如下命题 命题2 1 5 当川j 时，一致地有 ! 国( 五) ：2 一( 世畔+ 坐唑) c 。s ( 励) + 喇抄) ， 【w ( 0 ) 】4 w ( 万) 】4 其中日= j c r 顾硇( 下i 司) 2 2 特征值与特征函数的性质 在这一节中，我们讨论问题( 2 1 ) 的特征值与特征函数的性质首先给出下面的引 珲 8 第二章一个周期边条件下的右定s t l l n t l l i o u v i l l e 问题 l a 妄r a n g e 引理【1 0 1 设m ) ，贴) c l ，l = 等+ g ( 堋i j 口。 i ( 彬一他) 出= ，g 】： 命题2 2 1 问题( 2 1 ) 的特征值为实数，特征函数为实函数，且对应不同特征值 的特征函数正交 证明( 1 ) 设a 是问题( 2 1 ) 的一个特征值，厂为相应的特征函数，则厂( x ，万) = 而 由l a r a n g e 引理：视g = 7 ，则有r ( 再一弘7 ) 出= ，7 】；即 名rw 2 ( 石) 劢( x ) 出一万rw 2 劢( x ) 出= ( a 一万) jw 2 ( x ) i 厂( x ) 1 2 出= o 所以名= 万，故兄为实数 ( 2 ) 设五名：，且五，如都是问题( 2 1 ) 的特征值，对应特征函数分别为厂( x ， ) ， 厂( x ，如) ，则有： r 厂( x ，兄：) 矽( x ，丑) 出一r ( 石， 阿( x ，如) 出= 矿【厂( x ， ) ，厂( z ，如) 】； 即 ( 一五) r w 2 ( x ) ( z ， ) ，( x ，以) 出= o 所以 r 厂( x ，a ) ，厂( 石，五) = o 故结论成立 命题2 2 2 问题( 2 1 ) 的特征值集合为下有界的无穷集，且无有限的聚点 证明由( 2 1 8 ) 式知，国( 兄) = 2 一缈( 万，兄) 一( 万，旯) 为五的整函数若特征值无下 界，不妨取缈( 五) 的一列零点 以) 专删( 七一十) ，设以 o w 4 ( x ) i ( 妒，y ) ( y ，y ) l 。 命题得证 命题2 2 5 记问题( 2 1 ) 的特征值 对应的特征子空间为y ( 以) ，特征值的秩为 ，( 以) ( 即为d i m y ( 丸) ) ，则 ( 1 ) r ( 以) 2 ， ( 2 ) ，( 以) = l 当且仅当缈( 以) = 0 ，西( 九) o ， ( 3 ) r ( 以) = 2 当且仅当缈( 以) = o ，面( 以) = o 证明( 1 ) 的结论由命题2 2 4 易得证 ( 2 ) 充分性，由国( 九) = o 得，( 五。) 1 若，( 五。) = 2 ，则必有缈( x ，a ) ，y ( x ，a ) y ( 九) 所以 悱l 裳磊沙嚣州僦1 嬲矬。 与已知矛盾，故厂( 五。) = 1 必要性，若厂( 五。) = 1 ，则以必为特征值所以缈( 九) = o 设y ( 以) = s p a n 碱伊( x ，以) + 足：y ( x ，九) ) ，下面分三种情况讨论 ( a ) 若尼，= o ，矿( 以) = s p a n 舻( x ，以) ) ，故( 妒( 万，五。) ，5 f ，( 7 r ，以) ) = ( o ，1 ) 叫纛磊嬲辫咖圳乩妒协川地 又 矽( 万，以) = w 2 ( 石) 缈( 万，五。) ( ( 石，五。) ，( 石，以，) ) = w 2 ( x ) f 眵( 石，丸) 8 2 ， 所以 内蒙古师范大学硕：i ：学位论文 则 所以 西( 九) = 一w 2 ( x ) 妒( 万，九) 8 妙( z ， ) 1 1 2 o ( b ) 若忌2 = o ，y ( 丸) = s p a n 妒( x ，以) ) ，故( 妒( 万，九) ，( 万，五。) ) = ( 1 ，0 ) 叫蹇磊嬲拌蜘州小。帕以h 又 痧( 万，以) = 一w 2 ( x ) 矿( 万，无) ( 够( x ，旯。) ，缈( 工，九) ) = 一w 2 ( x ) 0 伊( 工，乃) 8 2 ， 所以 西( 五。) = w 2 ( x ) | | f ，( 万，以) 0 缈( x ，以) | 1 2 o ( c ) 若岛也o ，记 】，：= 毛p ( x ，五。) + 七2 妙( x ，兄。) = ( 万，名。) 缈( 石，a 。) + 【沙( 万，五。) 一1 】沙( 刀，a 。) 矿( 五。) = s p a n 匕) ( 缈( 万，以) o ， 沙( 万，以) 一1 o ) ， 西( 丸) = 一痧( 万，兄一) 一缈( 刀，以) = 一万i 三( 了。匕( x ，九) 0 2 o ( 3 ) 由以上讨论易得证 2 3 特征值与特征函数的渐近表示 命题2 3 1 彩( 五) 有且仅有可数个零点 证明由( 2 1 8 ) 式可得国( 名) = 国( 名) + 口( 名) 勰 缈v ) - 2 嚣+ 嚣灿s ( 痂州舻d ( 妒、 缈( 0 ) 】4 缈( 万) 】4 h 在五平面上作封闭曲线l = i 7 ( 甩) ur 。( ，1 ) ( ，l = l ，2 ，) ，其中 在e 上可有估计式 c 邓= ( 川阱( 川) 号 o 等： 在上可有估计式 从而得 l c o s ( 娟蝴婀p 即4 | - 身“v ”l 譬 于是，当胛充分大时，有 k 名) l 啬少旧 l 国( 五) i l i 口( 五) l l 由函数论中熟悉的r o u c h 6 定理知，在l 内部，国( 名) 与国。( a ) 具有相同个数的零点然 而在l 内部，缈( 五) 的零点为 c t + 争2 亭犯+ 争2 亭，如+ 争2 亭 其个数为( ，z + 1 ) ，因此在l 内部，或更确切地说，在 h 肘1 ) 2 等砌“) 2 静 内部，缈( 兄) 有且仅有( ，l + 1 ) 个零点这就说明了国( 五) 有且仅有可数个孤立的零点另 一方面，若令s = f f ，即a = 一f 2 时，同样易证，当h 充分大时，有p + ( 五) l p ( 五) 1 从而知 国( 一f 2 ) 0 这就说明了缈( 五) 负零点的个数是有限的 命题2 3 2s l 问题( 2 1 ) 的特征值兄。及相应的特征函数丸( x ) 的渐近式为 历：字砷 ( ，z 一) 柑， c o s = 一 ， 丸( x ) = 华二一+ d ( ! ) ( 聆专) ( 2 3 1 ) 二_ 厂_疗 w ( x ) 】4 k 其j r 而啷：譬冬 内蒙古师范大学硕士学位论文 证明由命题2 3 1 的证明知，当胛充分大时，九在闭路五川与九一：之间，或更确切 地说，。 ”1 ) 2 亭 以。亭 令历：擘帆舢亿m 艄 ll 彩( 五) ；2 一( 墅丝辈+ 坚塑雩) c 。s ( ( 刀一1 ) 万+ 尾日) + 口( ) ：o 缈( o ) 】4 国( 万) 4 由于历为一实数，故口( 以) 为一有界量，此外注意到l 尾l 豪，从而得 c 。s ( 九日) ：d ( 三) 咒 由此得九：d ( ! ) 于是 历：宰 再利用命题2 1 2 中的渐近式，即得 贴栌黑c o s c 字倒扣堋挣舞c o s 宰坝 w ( x ) 】4 。” 【w ( x ) 】4 若将特征函数缈( 五五。) 归一化，并将归一化的特征函数记为。( x ) ，则 驴惫 将妒( x ，以) 的渐近式带入，即得( 2 3 1 ) 式 1 4 第三章一类四阶微分算子的特征值对边界点的依赖性 第三章一类四阶微分算子的特征值对边界点的依赖性 在本章里，我们考虑一类四阶微分算子的特征值问题我们把研究重点放在此类 算子特征值的单调性上 文献 2 0 研究了一类二阶微分方程一( ) + 秒= 细的特征值对边界点的依赖 性问题得出了特征值在不同边条件下对端点的一阶微分方程，并讨论了当区间收缩 为零时，作为端点函数的特征值的变化趋势本章在文献 2 0 的基础上考虑一类带如 下分离边条件的四阶微分算子的特征值的单调性问题 在区间，= ( 爿，b ) 上我们考虑由微分方程 一y 4 ( x ) + g ( 功y ( 曲= 力以x ) y ( 功， ( 3 1 ) 其中 一s4 oa 巴 ( 3 2 ) 令 ，= 口，6 】，彳 口 6 艿 和如下自伴分离边条件 c o s 哕( 口) 一s i n 缈”( 口) = o ， ( 3 3 ) c o s 缈( 口) 一s i n 缈”( 口) = 0 ，0 口 万 ( 3 4 ) c o s 缈( 6 ) 一s i n 彦”( 6 ) = o ( 3 5 ) c o s 励( 6 ) 一s i n 缈”( 6 ) = 0 ，0 万 ( 3 6 ) 所形成的微分算子的特征值对边界点的依赖性问题 我们给出下面的记号 无。= 以( o ，万；口，6 ) ， 以= 九( 三，三；以，6 ) ，z 。= o ，1 ，2 ，) ( 3 7 ) 引理3 1 当口，门固定，6 ( 口，b ) 变化时，令九= 一( 6 ) ，则有 1 五。( 6 ) 是6 的连续函数 2 如果以( 功对某个6 是单的，则对每个6 ( 6 ，b ) ，以( 6 ) 都是单的 3 存在五。( 6 ) 的f 规化特征函数“= m 。( ，6 ) ，使得当j i l 寸0 时， “。( ，6 + 矗) 争甜。( ，6 ) ，：( ，6 + 厅) “：( ，6 ) ， ( 3 8 ) 1 5 内蒙古师范大学硕士学位论文 “：( ，6 + ) 材：( 。，功，“：( ，6 + ) 争“：( ，6 ) ， ( 3 9 ) 且( 3 8 ) 和( 3 9 ) 两式在( 口，b ) 的任一紧子区间上一致成立这里正规化特征函数“指 满足乒2 w = 1 的函数 类似文献 2 0 定理3 1 的证明，易证如上引理 引理3 2 2 0 1 设实值函数三k ( 么，b ) ，则有 舰打6 厂川吼 ( 3 1 0 ) 3 1 特征值的微分方程 下面我们给出作为端点函数的特征值的三个微分方程 定理3 1 1 当o 口 万，= 万时，令兄= 以，“= ”。，我们有下面的微分方程： 名7 ( 6 ) = 一( 甜”) 2 ( 6 ，6 ) ( 3 1 1 ) 证明对于充分小的j i l ，取= 五( 6 ) ，= ( 6 + 五) 及相应的特征函数甜= 甜( ，6 ) ， 1 ，= “( ，6 + 五) 由边条件即知 ( 甜”矿一“矿+ “矿一“矿”) ( 口) = o ，“( 6 ，6 ) = 0 ，“( 6 ，6 ) = o ， 固有 见( 6 + 五) 一无( 6 ) f “( j ，五) “o ，6 + ) ，似s ) 出= “”( 6 ，6 ) “( 6 ，6 + ) 一“”( 6 ，6 ) “( 6 ，6 + j l z ) 又由引理3 1 得 “( 6 ，6 + 矗) = “( 6 ，6 + ) 一“( 6 + ，6 + 厅) = 一厂“( 啪+ 厅灿 西+ 西+ = 一点“7 ( s ，6 + j l z 灿+ 上叭s ，6 ) 一“7 ( s ，6 + 办) 】西( 一o ) = 一r “( s ，6 灿 于是 ! i 珥塑掣：一“，( 6 ，6 ) ( 3 1 2 ) _ o 矗 同珲可得 1 6 第三章一类四阶微分算予的特征值对边界点的依赖性 l i m 掣：一“一( 6 ，6 ) ( n3 ) _ o 办 又 r “( j ，6 ) “( s ，6 + ) w ( s ) 凼专f “2 ( s ，6 ) w ( s ) 凼= 1 ， 从而有 兄( 6 ) = 一( “”) 2 ( 6 ，6 ) 定理3 1 2 当o 口 万，= 詈时，令兄= 以，“= “。，我们有下面的微分方程： 五( 6 ) = “2 ( 6 ，6 ) 鸟( 6 ) 一a ( 6