（基础数学专业论文）风险模型与倒按揭模型中的markov链方法应用.pdf

风险模型与倒按揭模型中的m a r k o v 链方法应用 摘要 m a r k o v 过程是以俄国数学家a a m a r k o v 的名字命名的一种随机过 程，它的应用范围极其广泛不仅在数学其它分支和工程技术中有着广 泛的应用，在社会科学中，如经济学、保险学、金融风险、风险管理理论 与技术中也有广泛应用本文研究风险模型与倒按揭模型中的m a r k o v 链 方法应用 关于风险模型 对于经典风险模型的理论已经发展成了一个较为完善的体系对于 连续时间模型的研究，常用g e r b e r s h i u 期望贴现罚金函数方法，且相当 有效；对于离散时间模型的研究，和连续时间模型比，有其特殊的难度， 但很少看到此法的应用本文用m a r k o v 链方法研究两个风险模型： 1 带常利率的双p o i s s o n 模型( 第二章) ，即盈余过程中保费的收取和 理赔都为复合p o i s s o n 过程，并且盈余产生利息，其利率强度为6 0 2 具有随机利率的离散时间风险模型( 第三章) 基于盈余过程具有m a r k o v 性特点，故风险理论研究中，可以应用 m a r k o v 链方法，利用m a r k o v 链转移矩阵法来分别表达本文第二、三章 中常见的风险量，并且其结果都是显示形式；还得到了这些模型的破产 概率的近似计算公式及误差估计式，也得到了破产概率的一个上界和一 个下界只是运用这种方法得到的公式计算风险量时，计算量一般比较 大，并且随着计算精度要求的提高计算量将急剧增长，这也许是以前的 研究很少涉足此法的原因但随着现代计算机技术的迅速发展，计算量 大的问题可以得到解决我们认为用m a r k o v 转移概率矩阵来表达风险量 这一方法具有广阔的应用前景，它是目前处理离散时间模型较为理想的 方法 关于倒按揭模型 随着经济的发展，人民生活水平的提高，医疗技术的进步，人们思想 观念的逐步开放，我国人均寿命有了明显的提高，正逐步进入老龄化社 会，倒按揭这种采用财务金融手段来配置生命一时间资源的社会保障市 场化运作的方式成为当下议论的热点问题之一倒按揭使住房固定资产 硕士学位论文 转化为现金流动资产成为现实在第一章中阐述了倒按揭概念、目前国 内外研究的现状以及在中国实施的必要性在第四章中从严格的数学角 度，运用概率论的理论和方法研究倒按揭的“月支付额”问题，即倒按 揭的定价问题研究利率服从m a r k o v 链的倒按揭模型，建立了利率服从 m a r k o v 链的倒按揭一般模型，得到了倒按揭模型的定价方程式；在几种 特殊情形下，给出了定价的精确公式 文中的数据是使用s - p l u s 统计软件编程计算得到的 关键词：风险模型；p o i s s o n 过程；破产概率；随机利率；倒按揭模 型；定价公式；m a r k o v 链；转移概率： 风险模型与倒按揭模型中的m a r k o v 链方法应用 a b s t r a c t t h em a r k o vp r o c e s s ，w h i c hn a m e da f t e rr u s s i am a t h e m a t i c i a na a m a k o v ， i sas t o c h a s t i cp r o c e s s i th a sb e e nw i d e l yu s e dn o to n l yi no t h e rb r a n c h e so f m a t h e m a t i c ，e n g i n e e r i n gt e c h n i q u e ，b u ta l s o i nt h es o c i a ls c i e n c e ，f o re x a m p l e ： e c o n o m i c s ，i n s u r a n c e ，f i n a n c i a lr i s k ，r i s km a n a g et h e o r ya n dt e c h n i q u e i nt h i s p a p e r ，id i ds o m er e s e a r c h e si nt h ea p p l i c a t i o no ft h em a r k o vc h a i nm e t h o do fr i s k t h e o r ym o d e la n dr e v e r s em o r t g a g em o d e l t h er i s km o d e l t h ec l a s s i c a lr i s km o d e lh a sa l m o s tb e e np e r f e c t e d i nt h ec o n t i n u o u st i m e m o d e l ，w ea l w a y su s et h eg e r b e r s h i u ( e x p e c t e dd i s c o u n t e d ) p e n a l t yf u n c t i o n w i t he x c e l l e n tb e h a v e s c o m p a r e dw i t ht h ec o n t i n u o u st i m em o d e l ，t h ed i s c r e t e t i m em o d e lh a ss o m ec h a r a c t e r e si t s e l f ，s ot h em e t h o da b o v es e l d o mb e e nu s e di n t h i sc a s e i nt h i sp a p e r ，w er e s e a r c h e dt w or i s kt h e o r ym o d e l sw i t hm a r k o vc h a i n m e t h o d ： 1 d u a lp o i s s o nm o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tr a t e ( c h a p t e r 2 ) ，n a m e l yb o t ht h e c h a r g ea n dc l a i mo fp r e m i u mi nt h es u r p l u sp r o c e s sa r ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e s ， a n dt h es u r p l u sp r o d u c ei n t e r e s t ，巧( 0 ) i st h ei n t e r e s tr a t ed e n s i t y 2 t h ed i s c r e t et i m er i s km o d e lw i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ( c h a p t e r 3 ) b a s e do nt h es u r p l u sp r o c e s sh a st h em a r k o vp r o p e r t y , w ec a nu s et h em e t h o d o fm a r k o vc h a i ni nt h er e s e a r c ho fr i s kt h e o r y w eg e ts o m ec o m m o nr i s kq u a n t i t i e s w i t he x p l i c i tf o r mb yu s i n gt h em a r k o vt r a n s i t i o nm a t r i x f u r t h e r m o r e ，w eg e tt h e a p p r o x i m a t ec a l c u l a t ef o r m u l a ，t h ee r r o re s t i m a t ee x p r e s s i o n ，a nu p p e rb o u n da n d al o w e rb o u n do ft h er u i np r o b a b i l i t y j u s tm a k eu s eo ft h i sk i n dt o g e tf o r m u l a t oc o m p u t e rr i s kq u a n t i t i e s ，t h em o u n to fc a l c u l a t i o ni sv e r yg r e a t ，a n da l o n gw i t h i n c r e a s i n go ft h ec a l c u l a t ep r e c i s i o n ，t h eq u a n t i t yw i l lb em o r e ，m a y b et h i si so n e o ft h er e a s o n st h a ts e l d o mt o u c ho nt h i sm e t h o di nt h ef o r m e rr e s e a r c h w en o w c a ns o l v et h eq u e s t i o na l o n gw i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n i q u e b e c a u s eo ft h em a r k o vt r a n s i t i o nm a t r i xi st h ep e r f e c tm e t h o dt od e a lw i t ht h e d i s c r e t et i m em o d e l ，w et h i n kt h i sm e t h o dh a sw i d e l ya p p l i c a t i o n a lf o r e g r o u n dt o e x p r e s st h er u i nq u a n t i t y i l l 硕士学位论文 r e v e r s em o r t g a g em o d e l w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ee c o n o m i c ，t h ei n c r e a s eo ft h ep e o p l e sl i v el e v e l ， t h ep r o g r e s s e so ft h em e d i c a lt e c h n i q u ea n dt h eo p e n i n go ft h ep e o p l e si d e a ，t h e i n c r e a s eo fo b v i o u sa v e r a g ep e o p l el i f e ，o l d i z es o c i e t yi sc o m i n g s ot h er e v e r s e m o r t g a g e ，ao p e r a t i o n a lw a yt h a tc a nm a k et h es o c i a ls e c u r i t ym a r k e t i z e ，w h i c h a d o p t st h ef i n a n c i a li n s t r u m e n tt oc o l l o c a t el i f e t i m es o u r c e ，h a sb c o m eo n eo f t h ep o p u l a r i t yh o tp r o b l e m t h er e v e r s em o r t g a g ec a nm a k ei tf a c tt h a tt u r nt h e h o u s i n gf i x e da s s e t si n t oc a s hf l o w i nc h a p t e r l ，w ee x p a t i a t e dt h ec o n c e p to ft h e r e v e r s em o r t g a g e ，t h ed o m e s t i ca n do v e r s e a sr e s e a r c h f u la c t u a l i t ya n dt h en e c e s s a r y t oc h i n a i nc h a p t e r4 ，w es t u d i e dt h ep a y i n gi nm o n t hp r o b l e mo ft h er e v e r s e m o r t g a g eb yu s i n gt h et h e o r ya n dm e t h o do fp r o b a b i l i t yi nt h es t r i c t m a t h e m a t i c s a n g l e ，t h i si ss o c a l l e dt h er e v e r s em o r t g a g ep r i c i n gp r o b l e m i n t h i sc h a p t e r ，w ea l s o s t u d i e dt h er e v e r s em o r t g a g em o d e l t h a tt h ei n t e r e s tr a t eo b e y i n gt ot h em a r k o v c h a i n ，f o u n d e dac o m m o n l yr e v e r s em o r t g a g em o d e l - w h i c hi n t e r e s tr a t eo b e yt h e m a r k o vc h a i n ，g e tt h ep r i c i n ge q u a t i o no ft h er e v e r s em o r t g a g em o d e la n do b t a i n e d s o m ee x p l i c i tf o r m u l a si ns p e c i a ls i t u a t i o n s t h o s ed a t e si nt h i sp a p e ra r eg e tf r o mp r o g r a m m i n ga n dc o m p u t e r i n gb ys - p l u s s t a t i s t i c a ls o f t w a r e k e y w o r d s ：r i s km o d e l ；p o i s s o np r o c e s s ；r u i np r o b a b i l i t y ；r a n d o mi n t e r e s t r a t e ；r e v e r s em o r t g a g em o d e l ；t h ep r i c i n gf o r m u l a ；m a r k o vc h a i n ；t r a n s i t i o np r o b a - b i l i t y i v 硕士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： c ，栅 坤年l f 月f r 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密酣 ( 请在以上相应方框内打“、 ) 作者签名：绷 导师答名：端囱彳 5 6 日期：碲，1 月日 日期节l 月啪 风险模型与倒按揭模型中的 m a r k o v 链方法应用 第一章绪论 1 1引言 m a r k o v 链，是俄国数学家a a m a r k o v ( 1 8 5 6 1 9 2 2 ) 于1 9 0 7 年提出 的一种随机过程【- 】：在已知目前状态( 现在) 的条件下，它未来的演变( 将 来) 不依赖于它以往的演变( 过去) 这种已知“现在”的条件下， “将 来 与“过去 独立的特性称为m a r k o v 性，具有这种性质的随机过程叫 做m a r k o v 过程 在实际问题中，许多随机过程【z 】都是或可近似地视为是m a r k o v 过 程例如，研究中国人口数量的随机过程，为了预测将来( 例如2 0 2 0 年) 中国人口的数量，现在的人口数( 1 3 亿) 是重要的，已知现在的人口1 3 亿，过去时代的人口数，如秦皇汉武时代、解放前等的人口数，都不起 作用又例如，在风险理论中，如果已知保险公司“现在”的盈余，那么 公司“将来”的盈余与“过去”的盈余独立，即盈余过程具有m a r k o v 性 【3 】【3 引再例如，银行利率的变化中也可以近似看作具有m a r k o v 性【4 l - 这就 是本文研究风险模型与倒按揭模型及其m a r k o v 链方法在其中应用的思 想背景 1 2 风险理论概述 风险理论 8 1 是对保险业所面临的各种风险进行数理分析的理论，是 保险精算学1 5 1 t 3 1 1 3 5 1 的重要组成部分，是保险公司进行保险产品的合理定 价、责任准备金的正确计提、再保险的适当安排、偿付能力的有效管理等 工作的理论基础其核心内容是破产概率【引它的发展与研究从2 0 世纪 初l u n d b e r g 的工作直到今天从未间断过风险理论( 或者说破产理论) 主要从定量的角度研究保险公司经营的安全性：保险公司最终破产或在 一定时期内破产的概率有多大；如果破产，破产的严重程度有多大等问 题其研究方法主要有：f e l l e r 的更新理论方法和g e r b e r 的鞅方法，这是 研究风险理论的重要方法本文使用m a r k o v 链方法 硕士学位论文 经典风险模型是破产理论中最基础的模型：给定保险公司一定的初 始资本，允许它承保具有某种统计分布的风险，并允许它根据风险的特 点连续地或离散地收取相应的保费风险模型按保费收取方式的不同可 分为连续模型和离散模型两种连续模型采取连续收费的原则，即以时 间为连续变化的量连续地收取保费离散模型采取离散收费的原则，即 以一定时间长度为收费的单位区间，在每一单位区间内只收取一次固定 的保费对于连续时间模型，讨论最多的是复合p o i s s o n 模型对于离散 时间模型，讨论最多的是复合二项模型，复合二项模型假定在每一单位 时间区间内索赔或者不发生，或者只发生一次，发生多次可合并地视为 一次 经典风险模型及其推广的一些模型的盈余过程通常具有m a r k o v 性， 所以可运用m a r k o v 链研究破产概率不失为一有效方法本文用m a r k o v 链转移概率矩阵来表达常见的风险量，并且都是显示形式的只不过运 用这种方法得到的公式计算风险量时计算量一般比较大，这也许是以前 的研究者很少涉足这一方面的原因但是随着现代计算机技术的高速发 展，计算量大已不成为问题了本文第二、三章都是用了这一方法来解 决问题我们还研究了盈余产生利息的情形我们认为用转移概率矩阵 来表达风险量这一方法具有广阔的应用前景我们还将这一方法用在具 有m a r k o v 性的金融投资中，如本文第四章 1 2 1 风险模型 1 2 1 1 连续时间风险模型 ( i ) 经典风险模型 保险公司在时刻t ( 0 ) 的( 资产) 盈余为： ( t ) u ( t ) = 仳+ c t 一k ， ( 1 1 ) 其中i t = 矿( o ) ( 0 ) 是公司的初始资产，或初始盈余常数c ( 0 ) 是保 费收取率n = ( t ) ，t 0 ) 是p o i s s o n 过程，赔付( 或叫索赔) 计数过程 n ( t ) 为表示在( 0 , t 】时段内的理赔次数，随机变量x i ( i = 1 ，2 ，) 是第i 次 理赔量，独立同分布，且x = k ，i = 1 ，2 ，) 与独立 2 风险模型与倒按揭模型中的m a r k o v 链方法应用 模型( 1 1 ) 又称为( 复合) p o i s s o n 风险模型 ( i i ) 双p o i s s o n 风险模型 对经典风险模型( 1 1 ) 已有很深刻的研究根据实际情况，许多学者 对模型( 1 1 ) 作了各种类型的推广，并进行了很好的研究双p o i s s o n 风险 模型( 1 2 ) 就是一种类型的推广： m ( )( ) ( ) = u + 一x ， ( 1 2 ) i = l1 = 1 其中 ( i ) u = u ( o ) ( o ) 是公司的初始资产，或初始盈余 ( i i ) m 三 m ( t ) ，t o ) 和n 三 ( ) ，t o ) 是两个p o i s s o n 过程，m 和 参数可能不同m 是保单计数过程，m ( t ) 表示公司在( 0 , t 】时间内收 取的保单数是赔付( 或叫索赔) 计数过程，l v ( t ) 表示公司在( 0 , t 时 间内理赔次数 ： ( i i i ) 随机变量k ( 江1 ，2 ，) 表示第i 份保单的保费收取量，它们独立 同分布；x ( 江1 ，2 ，) 表示第i 次理赔量，它们同样独立同分布，x 和 k 的分布可以不同 ( i v ) x = 咒，i = 1 ，2 ，) ，y = ，i = 1 ，2 ，) ，m 独立 ( i i i ) 更一般的风险模型更一般的风险模型是 u ( t ) = u + c ( t ) 一s ( t ) ， ( 1 3 ) 其中u = u ( 0 ) 同上；c = c ( ) ，t 0 ) 是保费收入随机过程，c ( t ) 表示公 司在( 0 ，t 】中的保费收入累计量，s = s ( t ) ，t o ) 是赔付随机过程，s ( ) 表示公司在( 0 ，t 】中的赔付累计量；c 和s 独立 模型( 1 3 ) 过于一般，不便研究显然，经典风险模型和双p o i s s o n 风 险模型，都是( 1 3 ) 的特殊情形而模型 n ( t ) u ( t ) = u + c m ( t ) 一k ， ( 1 4 ) t = 1 是双p o i s s o n 风险模型的特殊情形 3 硕士学位论文 本文中，我们研究双p o i s s o n 风险模型( 1 2 ) 1 2 1 2 离散时间风险模型 i 复合二项模型 保险公司在时段( 0 ，礼】( 礼= 0 ，1 ，2 ，) 的盈余为 ( 1 5 ) 其中u = u ( o ) ( 0 ) 是公司的初始资产，或初始盈余常数c ( 0 ) 是单位 时段( i 一1 ，i 】内的保费收取率赔付( 或叫索赔) 计数过程n = ( n ) ，几= 0 ，1 ，2 ，) 是二项过程，n ( n ) 表示在时段( 0 , n 】中的理赔次数，随机变量 x i ( i = 1 ，2 ，) 是第i 次理赔量，独立同分布，且x = 托( i = 1 ，2 ，) 与 独立 称模型( 1 5 ) 为复合二项风险过程如果假定c 和五，i = 1 ，2 ，均只 取正整数值，称( 1 5 ) 为完全离散的复合二项风险过程 i i 双二项风险模型 双p o i s s o n 过程在离散时间情形的对应模型是双二项风险过程 m ( n )( n ) u ( n ) = u + m 一咒， ( 1 6 ) i - - - - 1i = 1 其中，钆，x = ( k ，i = 1 ，2 ，) 和n = ( 钆) ，钆= 0 ，1 ，2 ，) 同( i ) ，而 m = m ( 死) ，扎一0 ，1 ，2 ，) 是保单计数过程，m 也是二项模型，m ( n ) 表 示公司在( 0 ，n 中的保单数，m 和的参数可以不同 = 1 ，2 ，) 是 第i 份保单的保费收取量，y = k ，i = l ，2 ， 独立同分布x ，y ，m 独立 i i i 更一般的离散时间风险模型 此时， u ( n ) = u + c ( n ) 一s ( h ) ，n = 0 ，1 ，2 ，( 1 7 ) 其中c = c ( n ) ，佗= 0 ，1 ，2 ) 是保费收入过程，c ( n ) 表示公司在( 0 ，t 】 中的保费收入累积量；s = s ( 竹) ，佗= 0 ，1 ，2 ) 是赔付累积过程，s ( n ) 表 示公司在( 0 ，叫中赔付量的总额，c 和s 独立 4 托 汹 一nc+u i l nv 风险模型与倒按揭模型中的m a r k o v 链方法应用 i v 双二项风险模型的等价形式 模型( 1 5 ) 中，在每个单位时段- ( n 一1 ，礼】均有保费收入c ，而公司只在 出现事故的时段末才赔付，但这个赔付量是正值的也可以这样理解： 在每个时段( n 一1 ，n 中均有保费收入c ，而在每个时段( n 一1 ，礼】中均有赔 付瓦，但瓦取非负数值；当瓦为0 时视为没有赔付，瓦 0 时视为有 事故发生且赔付了瓦这两种理解应是一致的，即模型( 1 5 ) 等价于 u ( n ) = u + c n 一趸， ( 1 8 ) i = l ( 当然 趸) 与 x d 有一定的关系) 上述想法得到了证实柳向东4 4 】证明了模型( 1 5 ) 等价于模型( 1 8 ) ， 其中，x i 是公司在( n 一1 ，礼】时段的赔付量，取非负数值，且爻= 趸，i = 1 ，2 ，) 独立同分布 类似的，双二项风险模型等价于下述模型 u ( n ) = u + 或一趸， ( 1 9 ) i = 1 t = 1 其中趸同上，而或是在i 一1 时刻即0 1 ，司时段的保费收入量，取非负 数值，y = 需，i = 1 ，2 ，) 独立同分布，而且又和矿独立 v 具有随机利率的离散时间风险模型 对于模型( 1 9 ) ，我们有 = 以一l + k 一， ( 1 1 0 ) 显然，这是未考虑n 一1 时的盈余一。在( 礼一1 ，n 】时段产生的利息， 假定在( 仃一1 ，n 】时段有利率r ，而且r 是随机的，则 = ( 巩一l + 碥) ( 1 + 心) 一k ，( 1 1 1 ) 不失一般性，可写瓦为k ，琢为k ，于是 = ( 巩一1 十k ) ( 1 + r ) 一k ； 5 硕士学位论文 称模型( 1 1 2 ) 为具有随机利率的离散时间风险模型 本文中我们将研究这种模型( 1 1 2 ) 注上述约定的碥实质上是把时段( n 一1 ，钆】中的所有保费收入看作是 公司在几一1 时刻的一次性保费收入，而实质上是把时段( n 一1 ，礼 中 的所有赔付看作是在几时刻的_ 次性赔付 1 2 2 研究现状简述 对于模型( 1 1 ) 及许多推广模型，国内外已有不少的研究成果戚懿、 王静龙、汪荣明【o 】在模型( 1 1 ) 基础上，讨论了保险公司先按保费率c 收 取保费，当公司盈余超过某个上限时，则适当的减少保费率，若公司盈 余低于某个下限时，则适当的增加保费率引入了破产前夕盈余，破产 时盈余及破产时刻的联合密度函数，并进行讨论王黎明、金衍【7 】利用 鞅的方法，得到了在调节系数存在和赔付服从指数分布时破产概率公式 显示表达式 对于模型( 1 4 ) ，王黎明【引，龚日朝，李凤军f 加】等给出了最终破产概率 公式和l u n d b e r g 不等式，孙立娟，顾岚也】对破产概率及相关量做了随 机数值模拟和数值分析得到了破产概率的上界估计，也进行了随机模 拟；戚懿【h 】研究了广义复合p o i s s o n 风险模型，即在充分小的时间内发生 故事的次数至多一次但在同一事故发生时刻可能发生多起赔付的情况， 得到了其破产概率的一个表达式；龚日朝、杨向群【坫】在戚懿 1 4 1 的基础 上，得到了破产概率的上下界估计式特别，对于双p o i s s o n 模型( 1 2 ) ， 邹辉，朱勇华【1 6 】在个别理赔量x 和每张保单收取费y 指数分布时证明 了破产概率的l u n d b e r g 不等式 对于离散时间风险模型，研究较多的是复合二项风险模型：目前主要 是在完全离散情形下进行研究如文献g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 1 7 1 在初始盈余 为零的情况下，运用鞅方法，给出了最终破产概率、破产前一时刻的盈 余和破产时赤字的概率规律的显示解；龚日朝、杨向群【竭】运用鞅方法， 在调节系数存在的条件下，得到了破产概率的一个表达式j i y a n gt a n & x i a n g q u ny a n g ( 2 0 0 6 ) p 9 在具有随机决策红利的条件下，研究了破产概 率以及g e r b e r s h i u 折现惩罚函数的渐近关系g e r b e r ( 1 9 7 3 ) 2 0 1 运用鞅方 法获得了一些关于破产概率的结论；b j o r k g r u n d e l l 2 】在一种叫c o x 点 6 风险模型与倒按揭模型中的m a r k o v 链方法应用 过程的基础上，推广了g e r b e r 的方法并获得了经典l u n d b e r g 不等式的推 广谭激扬，杨善朝【3 6 】在离散复合p o i s s o n 风险模型的基础上，研究保费 的收取也为一个p o i s s o n 过程的模型，在保费收取量和理赔量都离散取整 数值时，运用转移概率推导了保险公司在有限时间内破产的概率以及最 终破产概率的级数表达式和矩阵表达式 本文在此基础上，考虑盈余产生利息，且利率是随机的离散时间风险 型( 1 1 2 ) ，运用转移概率矩阵法得到了破产概率与其它相关风险量以及破 产概率的上、下界估计的矩阵表达式 1 3 倒按揭模型 1 3 1倒按揭概念及其特点 “倒按揭是“住房反向抵押贷款”的简称，又称为“反按揭”，俗 称“以房养老”，它是指房产所有者以房屋产权作为抵押，按月从金融机 构( 如：银行、保险公司) 处领取现金直至身故或永久搬离这相当于该 金融机构通过分期( 按月、年或合约规定的时间单位) 付款的形式，收购 原房产所有人拥有的房屋产权它与住房按揭成逆向行为在美国也被 称为“住房现金计划目的是把老人手中的房屋变为可以流动和消费的 货币，“以房养老”其特点是：分期放贷，一次归还，贷款本金随着分 期放贷而上升，负债也相应增加，自有资产则逐渐减少房屋业主无需 即时出售房产或放弃产权，即可获得稳定的收入，从而改善老人的消费 能力，满足生活需要，住房作为担保获得资金的手段，金融机构的目标 是获得住房上的利益并最终实现盈利 1 3 2倒按揭在中国施行的意义 中国正逐步进入老龄化社会，有资料显示【z 2 】：我国人均寿命有了明 显的提高，目前我国6 0 岁以上的老年人人口已达到1 4 5 亿，预计到2 0 5 0 年，我国老年人口将达到4 2 亿，占，e j , 人口的2 5 ；一对中年夫妇由过去 只需赡养一对老人，到本世纪中叶，将要赡养四位老人! 这不仅加重了年 轻一代的生活负担，同时也将加大政府财政的负担因此倒按揭，【4 到 7 硕士学位论文 在中国实施有其市场，有其社会意义：倒按揭这种采用财务金融手段来 配置生命一时间资源的社会保障市场化运作方式，使住房固定资产转化 为现金流动资产成为现实，有效地提高拥有住房的老人的收入水平，有 效地改善、提高老年人生活质量，减轻家庭、社会养老问题，拉动内需， 刺激消费，使得人们的财富在一生中能得到合理配置，财富总效用达到 最大化从而受到人们的关注，特别是老年人，尤其是孤寡老人、空巢老 人、突发事件家庭 1 3 3倒按揭在我国实施面临的困难、成因与对策分析 “倒按揭这种看起来新鲜、实用的养老方式，在我国实施目前不容 乐观究其原因 4 3 1 ：一方面国人“但存方寸地，留予子孙耕”，“养儿 防老 、“赡养父母”的传统观念影响较深；另一方面由于借款人寿命随 机，借款人的债务总量随机；贷款期限随机，抵押资产价值的变化，利率 的不稳定、预付款的风险、房屋维修以及不可抗力致房屋毁损等方面的 影响，存在着一定的市场风险 因此我们要加强风险管理，加强风险理论的基础研究如果银行和保 险公司合作，利用双方的优势，加强宣传力度，巧妙地管理其风险，结合 中国国情，制定合理的倒按揭定价模式，完善、建立建全倒按揭的相关 法律制度我们相信：经过多方努力，倒按揭业务在我国开展将获得长 足发展，成为一个能带来多赢效果的新的金融产品 1 3 4 研究现状简述 倒按揭起源于荷兰，在英国、美国、加拿大、俄罗斯等国家相继有着 积极的研究上世纪8 0 年代美国国会推出了住房价值转换抵押贷款示范 项目，并推动了倒按揭市场的发展、理论研究的深入，2 0 0 5 年1 1 月1 5 日美国倒按揭借贷协会宣布，从2 0 0 6 年开始，美国拥有住房的老年人在 办理倒按揭业务时可以得到房产评估价值更大比例的贷款这将极大促 进该项业务的发展如今，这种方式在美国以及欧洲的一些发达国家已 经被证明是一种成熟的融资方式 在我国，不少学者引入并对此也做了一些研究工作：曹振良、高晓慧 等f z 3 】认为在中国老龄化的背景下，开展倒按揭有一定的现实意义张凌 8 风险模型与倒按揭模型中的m a r k o v 链方法应用 燕、赵京彦 2 4 1 认为这种方式在发达国家是一种成熟的房屋融资模式，在 我国房地产、保险、社会保障等快速发展下，实行倒按揭模式来实现“以 房养老”具有一定的市场条件和可行性；陆荣功1 2 5 】认为通过倒按揭可以 促进老年人消费，增加社会总需求；曹祥瑞、胡江涛f z e 】( 1 9 9 5 ) 对该产品 的特征、市场概况、主要风险进行了初步的研究，孟晓苏 2 7 1 ( 2 0 0 2 ) 提 出建立该产品的寿险服务的观点，建议我国保险公司积极推出该产品； 刘经纶【2 8 】指出：在严格控制风险的前提下，保单贷款和反向抵押贷款将 成为现有保险投资渠道的有益补充；柴效武【2 。】【3 0 】【3 - 】提出“售房养老 模 式，认为“借用住宅价值的自然增值的特性，通过老人对住房产权的转 移出让来筹措养老费用，用住宅的余值来养度该老人的余生”；最近，一 家名为“幸福人寿”保险公司正“待字闺中”，欲主营“倒按揭以上的 论文主要是从宏观的、定性的角度来研究倒按揭从定量的、严格的数 学角度来研究倒按揭非常迫切本文正是从数学的定量角度来研究倒按 揭 我国倒按揭尚属起步阶段由于人的寿命是随机的f 3 剐，倒按揭的“月 支付额”即倒按揭的定价，是一个关键问题本文第四章在寿命随机以 及利率服从m a r k o v 链【4 】的假设下，从严格的数学角度，建立倒按揭的数 学模型，运用概率论的理论和方法研究这个问题 1 4m a r k o v 链简介 设状态空间s 是有限集或可数无限集，不妨设s = 0 ，1 ，m ) 或s = o ，1 ，2 ，) 设( q ，只尸) 是概率空间，在其上定义一列取值于s 的随机变量 ，n = 0 ，1 ，2 ，称x = ，佗0 ) 为随机序列设七，n 1 ，i o ，i ”，i 后，i 南+ 1 s ，且简记为i k = i ，i 后+ n = 歹，若x = ，礼o ) 具有m a r k o v 性【3 引，即有 p r ( 托韧= jl 托= i o ，x 1 = i l ，托一1 = i k 一1 ，x k = i ) = p r ( x 七十n = 歹ix k = i ) ( 1 1 3 ) 只要上式左方的条件概率有意义，称x = _ ，几0 ) 为m a r k o v 链( 1 1 3 ) 表示链在已知“现在”的条件下，“将来 与“过去”独立 9 硕士学位论文 记p ( 克) = p r ( x k + n = ji 托= i ) t 3 3 1 ，称前( 尼) 为m a r k o v 链x 在七时刻 处于状态i ，经过礼步后转移到状态j 的概率，即n 步转移概率，它的值 依赖于k ，n ，i ，歹当n = 1 时，p 乳是) 称为于时的一步转移概率，简称转 移概率，记p 乳尼) 为鼽，( 七) 如果p ( 后) 只与状态i ，歹有关，而与k 无关， 称链x 为齐次的，记p i j ( 后) 为p 盼可以证明：对于齐次的m a r k o v 链，对 任意礼1 , p 1 2 ( 后) 都与k 无关，故可简记为p 黔 矩阵p ( n ) = ( p 乳t ，j s ) 和p = ( p 班i ，j s ) 分别称为齐次m a r k o v 链 的n 步转移矩阵和一步转移矩阵由c h a p m a n k o l m o g o r o v 方程 3 4 1 可 知，钆步转移矩阵p ( ) 是一步转移矩阵p 的n 次幂，即 尸( 竹) = p 竹，礼= 1 ，2 ( 1 1 4 ) 记q i = p r ( x o = i ) ，并称q = ( q i ，i s ) 为链x 的初始分布简记条件 概率p r ( a x o = i ) 为只( a ) ，相应于概率p 或条件概率只而取的数学期 望分别记为e 或忍 对于m a r k o v 链x ，人们最关心的是链x 的转移规律，即链x 的转 移矩阵尸( 一，由于上式( 1 1 4 ) ，只研究一步转移矩阵p 即可因此，人们 有时把一步转移矩阵p = ( p z ，j s ) 也称为m a r k o v 链n 步转移矩阵 p ( n ) = ( 磷，t ，j s ) ，显然满足0 磺1 且蛔砖= 1 一步转移矩阵 p = ，i ，j s ) ，显然满足0 p i j 1 且细p i j = 1 如果p 乱= 1 ，称i 为吸收状态因为链x 一旦在某个时刻到达状态 i ，链x 的下一步必定在状态i ，再下一步仍然停留在状态i ，从而永远 地停留在状态i ，即被i 吸收 对i ，j s ，如果存在n 芝1 使砖) 0 ，称链x 自状态i 可到达状态 j ，记为i 兮j 约定i i 如果i 令j ，j 兮i ，称i 和j 互通 设c 是状态空间s 的非空子集如对任意i c 和任意k s c ， 链x 都不可能自i 到达k ，称c 为闭集；如果闭集c 中的任意两个状态 互通，称c 为不可分闭集 对于链x = k ，n o ) 及指定的集合gcs ，令 7 - ( g ) = m i n n 1 ：x n g ) ， 1 0 风险模型与倒按揭模型中的m a r k o v 链方法应用 约定对于空集仍，m i n o = + 称丁( g ) 为链x 经有限( 1 ) 步后首次 到达集合g 的时刻如果g = d ) ，称丁( 歹) 为链x 经有限( 1 ) 步后首次 到达j 的时刻特别地，如果x 0 = j ，称丁( 歹) 为链x 经有限i 1 ) 步后 首次回到j 的时刻记 臂三只( 丁( 歹) = 礼) ，礼= 1 ，2 ， 称搿为链x 自t 出发经佗步首达j 的概率记 0 0 向三只( 丁( 歹) 0 如果厶兰只( 丁( z ) + o o ) ，称状态i 是常返的；否则，称i 是非常返的 或暂态的设i 常返，如果岛丁( z ) + o o ，称i 是正常返的；否则，i 称为 零常返的i 常返表明：链x 从i 出发，经有限( 1 ) 步后经常地回到状 态i i 正常返表明：链x 从i 出发，经有限( 21 ) 步后回到i 的平均步数 是有限的 命题2 设c 是不可分闭集，则其中的状态具有共性：或者都常返， 或者都暂留，或者都正常返，或者都零常返 命题3 对于有限m a r k o v 链x ，至少存在一个正常返状态 记 k i j = 几臂= 忍| 丁( 歹) 厶丁 + 。毋 ( 1 i s ) n = 1 其中五r o ) + 。) 是集合( t ( j ) + ) 的示性函数，称k i j 为链x 自i 出发， 经有限( 1 ) 步首达j 的平均步数 0 v 1ls +r 脚 1 1 4题 命 硕士学位论文 我们还引进一个记号岛( j z ，j f 1 ) ，它是链x 从i 出发沿路径( j i l j 一，扎。) 于第f 步芦达j 的概率，即 硝( 歹1 i 一，及一1 ) = 只( x