（工程力学专业论文）具有立方非线性机翼极限环颤振的研究.pdf

中文摘要 在飞机设计中，结构非线性是不可避免的。结构非线性源于控制其表面的l 曰 铰链，松散的控制器联动装置，材料性能和其它的来源。在本文中，我们研究在 1 i 可压缩流中的一个有俯仰立方非线性刚度的二元机翼颤振系统。机翼的运动方 程可以写成四维一阶常微分方程，取广义气流速度q 和线性俯仰刚度k 。作为分岔 参数。通过分析发现系统中存在超临界( 亚临界) h o p f 分岔，即系统会发生稳定( 不 稳定) 的极限环颤振运动。当系统受到微小的扰动时，发现系统有丰富的动力学 分岔特性。本文从理论和应用上对二元机翼颤振系统进行了较为全面的深入探 讨，揭示出一些定性和定量的规律，对机翼的设计和动力学分析有一定的指导意 义。 当线性俯仰刚度k 。取不同值时，借助于谐波平衡法，得到了广义气流速度q 与稳定极限环颤振幅值a 的关系曲线图。 深入研究了k 。= 0 5 的系统分岔特性，应用中心流形理论并借助于 m a t h e m a t i c a 程序把原四维系统降维得到了中一t l , 流形约化方程，采用后继函数法 对降维后所求得的系统分岔点类别进行定性分析，发现分岔点为稳定f 不稳定) 的 焦点，并以此来判定平衡点的稳定性和类型。 应用规范形理论并借助于m a t h e m a t i c a 程序，对分岔点处中心流形约化方程 进行化简得到霍普分岔的4 规范形，研究了系统物理参数对线性近似系统的临界 颤振速度和稳定极限环颤振幅值的影响。 建立了该类立方非线性系统受到微小的扰动时的拓扑分岔解与系统各参数 之间的联系，得到了系统的普适开折分岔图，初步分析了各类保持分岔图，可根 据需要的运动模式，选择合理的系统参数。 关键词：分岔极限环颤振 中心流形理论后继函数规范形理论普适开折 a b s t r a c t i n a i r p l a n ed e s i g n ，s t r u c t u r a l n o n l i n e a r i t i e sc a n n o tb ea v o i d e d t h es t r u c t u r a l n o n l i n e a r i t i e sa r i s ef r o mw o r nh i n g e so fc o n t r o ls u r f a c e s ，l o o s ec o n t r o l l i n k a g e s ， m a t e r i a lb e h a v i o ra n dv a r i o u so t h e rs o u r c e s i nt h i sp a p e r , l i m i tc y c l eo s c i l l a t i o no fa t w o d e g r e e - o f - f r e e d o m a i r f o i lw i t hc u b i cn o n l i n e a r i t ys t i f f n e s sf l u t t e r s y s t e m i n i n c o m p r e s s i b l ef l o wi si n v e s t i g a t e d t h em o n i t i o ne q u a t i o n so f a i r f o i la r ew r i t t e na s t h ef o u rd i m e n s i o n a lf i r s to r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t a k i n ga i r s p e e d oa n dt h e l i n e a rp a r to f p i t c h i n gs t i f l n e s sk o a st h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r s t h es u p e r c r i t i c a lo r s u b c r i t i c a lh o p fb i f u r c a t i o n sa r ef o u n d e di nt h ea i r f o i lf l u t t e rs y s t e m ，i e t h es y s t e m h a ss t a b l eo ru n s t a b l el i m i tc y c l eo s c i l l a t i o n sm o t i o n ，t h es y s t e mh a st h ea b u n d a n t d y n a m i c s c h a r a c t e r i s t i cw h e ni t s u b j e c t t o p e r t u r b a t i o n f u r t h e r a n dd e t a i l e d i n v e s t i g a t i o n sa r eg i v e nf r o mt h e o r y , m e t h o da n da p p l i c a t i o n s o m eq u a l i t a t i v ea n d q u a n t i t a t i v er u l e sa r eo b t a i n e d ，w h i c h b e n e f i ta i r f o i ld e s i g na n d d y n a m i c sa n a l y s i s b ym e a n so fh a r m o n i cb a l a n c em e t h o d ，t a k i n gd i f f e r e n tk ov a l u e s ，t h ef i g u r e so f t h ea m p l i t u d e sao fl i m i tc y c l eo s c i l l a t i o n sv e r s u st h ea i r s p e e d oa r eo b t a i n e d t a k i n g l i n e a r p i t c h i n g s t i f f n e s s k o = 0 5 ，t h e f l u t t e r s y s t e m i s i n v e s t i g a t e d f u r t h e ra t w o d e g r e e o f - f r e e d o md y n a m i c a ls y s t e mi sr e d u c e dt oat w od i m e n s i o n a l f i r s to r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb a s e du p o nt h ec e n t e rm a n i f o l dt h e o r e ma n d m a t h e m a t i c a p r o g r a m t h eb e h a v i o r so f b i f u r c a t i o np o i n t si sd e t e r m i n e db y u s i n gt h e m e t h o do fs u c c e s s o rf u n c t i o n ，w h i c hc a l lb eu s e dt od e t e r m i n et h e s t a b i l i t yo ft h e e q u i l i b r i u mp o i n t s t h en o r m a lf o r mm e t h o da n dm a t h e m a t i c ap r o g r a ma r ea p p l i e dt o s i m p l i f yt h e t w o d i m e n s i o n a l e q u a t i o n s f u r t h e r m o r e ，t h ee f f e c t so ft h es y s t e mp a r a m e t e r so n f l u t t e rb o u n d a r i e so ft h el i n e a ra p p r o x i m a t es y s t e ma n da m p l i t u d e so f t h es t a b l el i m i t c y c l eo s c i l l a t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d b ym e a n so fc o n s t r u c t i n gt h er e l a t i o n so ft o p o l o g yb i f u r c a t i o ns o l u t i o no ft h i s t y p es y s t e mw i t hc u b i cs t i f f n e s sa n dt h ep h y s i c a lp a r a m e t e r so f s y s t e m ，u n i v e r s a l u n f o l d i n gb i f u r c a t i o nf i g u r e sa r eo b t a i n e d ，w h i c he x h i b i tt h em o t i o nm o d e l sa r e p l e n t i f u l - i ti sc o n v e n i e n tt oc h o i c er e a s o n a b l es y s t e m p a r a m e t e r sa c c o r d i n gt or e q u i r e m o t i o nm o d e l s k e y w o r d s ：b i f u r c a t i o n ；l i m i tc y c l eo s c i l l a t i o n ；c e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m ： s u c c e s s o rf u n c t i o n ；n o r m a lf o r m t h e o r e m ；u n i v s e r a lu n f o l d i n g l i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得鑫洼盘鲎或其他教育机构的学位或证 二 s 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：刘衙睫签字同期：z 卯斗年f 月同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁盗盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 【句国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：嘉1 琦荧 签字日期：知4 年月f j 日 锄签名：触为 签字日期：午年 月歹曰 墨堡奎堂堡主兰堡笙苎 塑二兰一堕堕 第一章绪论 颤振是由弹性力，惯性力，阻尼力以及自激气动力相互作用形成的气动弹性 失稳现象。本文主要研究的内容是具有立方非线性二元机翼的极限环颤振，假设 空气动力稳定，考虑有立方俯仰结构非线性并引入阻尼项的机翼颤振系统作为研 究的数学模型。文中研究了系统物理参数对极限环颤振幅值的影响、极限环颤振 规律，系统参数对线性近似系统临界颤振速度和非线性系统稳定极限环颤振幅 值的影响。研究发现，改变系统分岔参数线性俯仰刚度和广义气流速度q ，颤 振系统有丰富的动力学特性。通过分析计算，得到了一些定性和定量的结果，对 飞机设计和机翼颤振动力学分析有一定指导意义。 1 i 空气弹性变形中的结构非线性 i i 1 结构非线性类型 空气弹性变形是一门解决惯性力，结构力和空气动力间相互作用的多规律 研究领域。在经典理论中假设空气动力学和结构是线性的，并且把问题简化为方 便于计算机编程的求一系列线性方程的解。几十年来，经典方法被成功地用于机 翼对飓风，湍流和外激励响应的近似估计。当与飞行测试结果相比时，机翼的临 界颤振速度经常能被很准确地预测出来。然而，当广义气流速度高于亚音速或接 近音速马赫值时，线性空气动力学通常不能给出足够精确的结果，线性空气动力 学没能发现接近音速急降就是一个例子。流分离和冲击振荡也能引入一些现象， 例如经典空气弹性变形不能解决的极限环振荡。非线性空气动力学的影响难于分 析，因为在该处流的运动控制方程的解析解实际上并不存在。通常，我们必须求 助于数值方法解空气动力学方程。采用一个数值时问进程表可以把计算和结构运 动相耦合，一般来说，数值计算工作相当棘手且非常耗时。通常，我们只分析具 体机翼构型或特定的飞行情况。 结构非线性源于操纵表面旧铰链，松散的控制器联接，材料性能以及其它来 源。老化飞行器和携有多外挂的战斗机更易遭受与其相联接的非线性结构的影 晌。这种非线性被看作一种集中非线性，通常可以用三种经典结构非线性中的一 种来近似表示：即立方非线性、双线性非线性和滞后效应非线性。在本文中主要 研究结构非线性中的立方非线性情况，因为有现成的理论使得在非线性动力系统 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 中分析更方便。稳定性，分岔和混沌是非线性空气弹性变形中最常遇到的问题。 为了限制具有结构非线性空气弹性变形系统的复杂性，我们考虑一个有俯仰和上 下平移两个自由度的机翼颤振情形，且应用亚音速空气动力学可以得到在该处关 于力和力矩的近似表达式。当研究边界颤振时，我们对一个二自由度系统特别感 兴趣，关于不稳定性问题它能提供令人满意的解释。多于两个模态的分析并不难， 但实现代数运算相当复杂。我们是在定常空气动力的假设条件下，研究具有俯仰 立方非线性二元机翼颤振系统的h o p f 分岔和极限环颤振。 1 1 2 非线性系统的分岔 非线性系统是指这样的动力系统，它们通常由常微分方程，偏微分方程、差 分方程、甚至简单的迭代方程以及随机微分方程所描述的动态过程，一般情况 下，这些系统的方程都是确定的。非线性振动系统的复杂动力学行为是目前非线 性动力学研究中的前沿课题，非线性振动是非线性动力学十分重要的分支，非线 性因素是任何振动系统中都存在的，它来自系统的物理的、几何的、结构的、耗 散的、以及运动的等因素。动力系统的确定运动，和从一种确定运动向另一种 确定运动的过渡过程称为振动。确定运动是指具有重复性和一定稳定性的运动， 过渡过程是向确定运动趋近的整个过程。某个确定运动过渡过程的集合构成它的 吸引域。在所研究的系统当某个物理参数变化至议定数值时，确定运动的定性改 变称为分岔。假若这种确定运动的改变进向的足够快( 即跳越式的) 称为硬式产 生的，相反微软式的，在这样的系统中产生的振动现象称为非线性振动。 分岔问题的研究具有较长的历史，它起源于1 8 世纪对于力学失稳现象的研 究。分岔的概念首先由雅可比( cgjj a e o b i ) 于1 8 3 4 年在研究天体平衡时提出 的。到2 0 世纪6 0 年代以前，科学家们已经发现了大量而重要的分岔现象。如 1 8 8 3 年( or e y n o l d s ) 发现流体在临界雷诺数时出现了分岔，上世纪3 0 年代，范 德波( b v a i ld e r p 0 1 ) 和安德罗诺夫( a a a h 皿poho b ) 在研究非线性振动 时发现了大量的分岔现象。但对分岔的研究主要是集中在各个应用领域中单独进 行，没有形成系统的分岔理论。直到上世纪7 0 年代，微分动力系统理论、突变 理论、奇异性理论等现代非线性分析数学理论的建立，才形成了研究分岔现象的 分支学科，有效地促进了分岔理论及其在自然科学、社会科学和工程技术的各个 领域的应用研究的发展。到目前为止，尽管分岔理论的各个分支学科仍在发展之 中，但分岔理论基本上已经形成了一门完善的学科。l s 约化方法或中心流形定 理是将高维非线性微分动力系统转化为低维系统的实用理论 2 】；规范形理论则是 将非线性常微分方程简化的基本工具【3 ，4 1 ；将微分动力系统和l s 约化方法或中心 流形定理结合起来，可以解决非线性系统的动态分岔问题f 2 ，4 】；再和规范形理论 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 结合，就可以形成研究h o p f 分岔的有效工具【2 ，5 1 。奇异性理论解决了分岔系统在 小扰动下分岔性态的保持性问题【2 一i 。 1 1 3 空气弹性变形中结构非线性的发展进程 b l k l e e 7 1 等人在他们的文章中揭示了非线性空气弹性变形理论的发展进 程。关于解析解的讨论，把重点放在结构非线性上，因为关于这方面的研究已经 有了相当多成熟的理论和成果，而且发表在公开发行的刊物上。在文中讨论了经 常被用于表现飞行器结构的结构非线性类型，并引入立方非线性，双线性非线性 和滞后效应非线性弹簧；在文中提及了与接近音速马赫值，流分离和滞后效应相 联系的空气动力学非线性类型；得到了具有结构非线性恢复力的二元机翼运动方 程，为了方便于数值模拟和研究解析解，把这些方程简化为一组普通常微分方程； 关于接近音速的全势流，讨论了在非线性空气动力学中的运动方程，简单地讨论 了e u l a r 和n a v i e r - s t o k e s 表达式；方法学被用于分析在空气动力失速中的分离流： 给出了在亚音速流中机翼运动的求解方法，并给出了一个详细的有限差分表；在 文中概述了r u n g e k u t t a 法，而描述函数法，关于谐波运动可以得到如何用一个 等价的线性弹簧代替非线性弹簧：应用解析法得到机翼运动是周期的；完成了稳 定性和分岔分析，而关于立方非线性、双线性非线性和滞后效应非线性弹簧的极 限环振荡、分岔和混沌的例子办分别被讨论：还有强迫振荡的例子，而在文献中 我们所能找到的唯一例子就是具有立方恢复力的情况；文中还分别给出了在接近 音速流和动力失速情形下，非线性机翼在空气动力作用下的运动分贫和混沌的例 子；考虑了纵向大气湍流对。个具有硬立方结构非线性机翼的影响，发现颤振速 度超前于存在的飓风而h o p f 分岔是滞后的；最后，在文献 7 】还得到了一些关于 非线性空气弹性变形和分析方法的总结。 1 2 机翼非线性颤振 1 2 1 国内外的研究成果 在飞行器设计中结构非线性不可避免，非线性效应常会使系统产生很复杂的 运动现象，因此研究此类问题很有意义。国内外的许多学者在此领域做了大量的 研究工作。w o o l s t o n 【8 j 和s h e n l 9 采用计算机模拟和谐波平衡法讨论了机翼颤振问 题a b r e i t b a c h t l o l 在这个领域的贡献众所周知，在文献【1 0 中精辟地论述了应用实 验和理论分析的方法分析了具有结构非线性机翼的颤振运动。e s h a h r z a d 和 m m a h z o o n i u 应用稳定线性和非线性模型以及不稳定空气动力学模型研究飞机 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 颤振系统，并把谐波平衡法、中心流形理论和规范形理论得到的结果与数值积分 结果进行比较。y a n g 和z h a o 1 2 1 用等效线性化法研究了机翼颤振的混沌问题并找 到了混沌带，y a n g ”悃k b m 法研究了带外挂机翼的颤振问题。y a n g 和z h a o 借助于谐波平衡法系统地研究了机翼在不可压缩流中的极限环颤振，他们【l5 】也通 过数值积分发现了在不可压缩流中具有非线性刚度机翼的复周期倍化和混沌运 动。y a n g 和z h a o 1 6 1 还用近似法研究了在结合处有分段线性刚度的一个机翼一一 外挂系统的亚谐分岔问题。在二元机翼颤振系统中存在着结构非线性刚度，结构 非线性会使系统的动力学特性变得很丰富。 机翼结构很复杂，因此想从材料自身性质和制造机身上的部件知道任何关于 非线性的特性实际上根本不可能。b r i e t b a c h 0 0 1 作过一篇精辟的综述，他总结了一 些可能的结构非线性以及它们对由于空气弹性变形所导致的振动的影响。可以把 结构非线性分成分布结构非线性和集中结构非线性两种：一般情况下，分布结构 非线性是由影响整个结构的弹性动力变形来控制；另一方面，集中结构非线性局 部地作用，一般能在操纵机械或机翼、塔门，发动机以及外挂的联接处发现。而 在b h k l e e 【7j 的文章中，只考虑集中结构非线性，并研究它对飞机表面上空气 弹性变形的影响。 一个被扭曲的薄机翼或螺旋推进器叶片更可能像一个立方硬弹簧那样，随着 扭转角度增大而变得更硬。如果发生屈曲，它的效应更像一个软弹簧，随着位移 增大它的刚度减小。对于平面颤振，这也许很重要。在高马赫值时，动力加热可 以使结构刚度大大减小。依赖于温度和初始条件，非线性可能是一个硬化或软化 的弹簧类型。有立方非线性的一个自由度机电系统通常用一个d u f f i n g 方程来表 示，关于这个课题研究了多年。关于d u f f i n g 方程的特性，在由s t o k e r ”1 和 h a y a s h i 18 】编写的两本经典著作中给出了精辟解释。u e d a 1 9 1 在他的文章中研究了 d u f f i n g 方程混沌特性。关于一个自由度的硬立方弹簧，用实验的方法就可以很 容易地进行示范，方法是在室内把一个小钢条一端固定而另一端用一个小磁线圈 激励使其振动。在正确的激励振动条件下，d u f f i n g 方程中的跳跃现象也能被模 拟出来。 近年来，国内外学者重视研究系统中存在分岔现象的原因之一在于分岔有可 能导致复杂的运动混沌【2 0 ，”】。1 9 6 3 年美国麻省理工学院的l o r e n z 在用计算 机研究大气对流模型时，发现在计算时间足够长之后，方程组的解出现了非周期 的无规律现象，类似于随机现象，它的发现意味着混沌理论的产生。过去的几十 年内，数学中一些新的拓扑方法揭示出，在确定性的动力系统中怎样发生似随机 的运动。数学分析表明，有许多物理系统没有随机输入时也会出现无规律的动态 行为，同时实验测量和数值模拟也能证实这些结果。“混沌”这一词通常就用来 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 说明这类动态以区别于真正的随机过程，因此混沌 2 2 , 2 3 1 运动是指确定性非线性振 动系统中出现的一种有限范围的运动，这种运动的规律在宏观上观察，呈现一种 混乱，貌似随机运动，对初值极端敏感( 即初值有微小变化，经过一段时间后， 运动可能相差很远，这意味着l i a p u n o v 意义下的不稳定，这就是通常所说的蝴 蝶效应) ，也就是混沌运动具有长期的不可预见性，它是不稳定的有限定常运动。 近几年兴起的主动控制技术【2 4 j 为颤振控制提供了一个有效的手段，美国 n a s a 的“解耦挂架”技术即可认为是半主动控制的成功应用。1 9 8 4 年m o r i n o 根据其对结构非线性颤振稳定性的研究，提出了利用结构非线性颤振的极限环特 性对颤振系统进行控制，即对颤振系统进行“驯化”的方法。根据对结构非线性 颤振的研究发现，在极限环颤振状态下，速度超出临界风速，翼面振动并不发散， 而是维持一个有限的等幅振动。研究中还发现，结构的非线性刚度参数直接影响 着极限环颤振的稳定性和其振动幅值的大小。从而有可能采用主动半主动控制技 术来控制极限环的幅值和稳定性，达到抑制或减缓颤振的目的。 1 2 2 本文的研究成果 在不可压缩流中有立方非线性刚度的二元机翼颤振系统的局部分龠研究是 比较多的。通常所作的结构线性假设，可得到用于确定空气动力学表面的分岔和 颤振特性的标准计算方法。当运动变得不稳定且随着时间指数地增长，线性理论 能预测到所考虑的系统上的动压力大小或飞行速度。然而，飞行器的结构经常显 示出非线性，这不仅影响颤振速度而且也影响本身的运动特性。直到二十世纪五 十年代，w o o l s t o n 【2 52 6 1 等人和s h e n 2 7 1 才开始采用模拟和数值的方法研究这个课 题。而在这之前，很少有人致力于非线性影响的研究，关于这个课题的研究相对 来说是比较落后的，而对系统非线性特性的理解是机翼和操纵表面有效和安全设 计的关键。 在本文中，我们研究的在不可压缩流中的二元机翼就是一个典型的自激振动 的例子，它有上下平移和俯仰两个自由度。在该系统中的俯仰方向上，存在立方 结构非线性项( 看作硬立方非线性弹簧) ，另外在系统中还存在着阻尼项。选取 线性俯仰刚度和广义气流速度q 作为系统的分岔参数，当分彷参数变化时，系 统会产生诸如h o p f 分岔，极限环颤振，周期倍化及混沌等现象。 在本文中主要研究的是系统的h o p f 分岔，当线性俯仰刚度k 。取不同值时， 随着广义气流速度q 增大，系统所经历的分岔性态是不同的，动力学特性也不同。 取线性俯仰刚度k 。= 0 5 ，对含立方非线性俯仰刚度( 刚度系数p = 2 0 ) 的 机翼颤振系统进行了深入研究。经分析，系统的平衡点有零平衡点。和非零平衡 点) c + ；为了对该二元机翼模型进行更深入的理论分析，可利用中心流形理论并 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 借助于m a t h e m a t i c a 程序对给定系统进行降维，该二维系统的近似线性系统的分 岔点恰好是中心；应用后继函数法【2 s 】判断出原非线性系统的分岔点不是中心，而 是稳定或不稳定焦点；通过变换可知，分禽点的性质也代表了平衡点的性质；运 用规范形理论和m a t h e m a t i c a 程序把在分岔点处中心流形的约化方程化成在极坐 标下的最简单形式，对在分岔点附近的极限环颤振现象进行分析，并研究了系统 的各个物理参数对近似线性系统的临界颤振速度和稳定极限环颤振幅值大小的 影响，通过改变系统参数来抑制极限环颤振的发生：针对前文中得到的系统发生 h o p f 分岔时的直到五阶的近似分岔方程，建立该类立方非线性系统受到微小的 扰动时的拓扑分佾解与系统各参数之问的联系，得到了系统的普适丌折分岔图， 初步分析了各类保持分岔图，发现此系统有比较丰富的动力学特性，可根据需要 的运动模式，选择合理的系统参数。 在本文中，对于给定线性俯仰剐度k 。= o 5 的系统，通过借助于计算中心流 形的m a t h e m a t i c a 程序简化系统得到中心流行上的约化方程，以及计算规范形的 m a t h e m a t i c a 程序f 2 2 ”】得到约化方程的在极坐标下的直到五阶的h o p f 分岔a 规 范形。对于得到的这些定性和定量的结果，可以相应地进行分岔点类型的分析、 极限环颤振、系统参数的影响、以及系统对微小扰动的分析，对机翼的设计和动 力学分析是有定指导意义的。而当k 。取其它值时，也可以进行类似的分析。 1 2 3 非线性颤振在其它领域研究的成果展望 非线性颤振与工程实际问题有着紧密的联系，在其它的工程领域中也取得了 一定的进展。 机械加工卧”1 ： 金属切削加工，在工件和刀具之间常常发生强烈的相对振动，称为颤振。振 动现象普遍存在于工程结构和生产过程中，金属切削机床加工中出现的切削颤 振，就是其中之一。且削颤振不仅影响工件的表面粗糙度和加工精度，而且对刀 具寿命也有不利的影响，甚至使切削加工无法进行，这就是直接影响生产效率的 提高。切削颤振一直是机床动力学研究中的一个重要内容，由于传统的线性颤振 理论方法解释一些重要的颤振现象，例如振幅稳定性等。鉴于线性颤振理论在工 程应用中存在的问题及机械加工对产品质量的高要求，许多研究工作者对机床切 削颤振存在的非线性因素展开了探索性研究，现在非线性颤振理论受到极大的重 视，并得到越来越多的应用。随着国内外非线性科学的发展，运用非线性动力学 现代分析方法( 如分岔，混沌理论) 来研究非线性颤振问题不仅是有效的，而且 也是十分重要的途径。对于切削加工过程中减少和避免颤振的发生，提高加工质 量有重要的指导意义。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 桥梁设计1 ”，”： 在临界风速附近，桥梁结构将以发散的方式振动。当振幅达到一定的程度时， 将导致结构的破坏。在大跨度桥梁，尤其是超大跨度桥梁的抗风设计中，颤振往 往是控制设计的重要因素。对颤振问题进行研究的主要目的是确定出结构的临界 状态以及揭示颤振发生的机理，为抗风设计过程中桥梁断面的气动选型提供依 据。桥梁结构的颤振特性是随着其断面形状核动力特性而变化的。迄今为止，许 多学者在频域或时域内对桥梁颤振问题进行过研究，并提出了针对具体断面形状 或结构类型颤振发生的一些机理和规律。在目前的研究中一般将颤振划分为古典 耦合颤振、单自由颤振和多振型耦合颤振等三种形态。 输液管”“： 输液管问题对于大型水压机压力管道的振动、列车过桥引起的失稳、机械 传送带和传送链运动不均匀性的机理、热交换装置中管束河流的相互作用以及 海底输油管道的动力分析等内容的研究都有重要的作用。另外，由于输液管运动 方程含有流体作用的陀螺力项，这是的它具有非保守系统的性质，即使对于梁式 输液管模型，其简单形式的运动方程也蕴含着丰富的动力学内容。正是这两方面 的原因，2 0 多年来，输液管振动一直是研究的热点，发表的文章不亚于当年关 于结构稳定性的研究。 m e p a i d o u s s i s 在这方面贡献最突出，1 9 8 7 年他以“流引起柱形结构的不稳 定性”为题，围绕输液管振动作了精辟的综述，用十分翔实的内容深入介绍了各 种输液管得分岔行为何以取得的研究成果。近十多年来，随着科学技术的飞跃发 展和认识的不断变化，人们在输液管的非线性振动与分岔研究方面作了不少卓有 成效的研究，发现了以往从线性范围内从未有过的一些重要现象。 1 3 论文内容安排 在不呵压缩流中对具有立方非线性机翼的极限环颤振进行了研究，得到一些 定性和定量的结果，对于机翼动力学设计有指导性的意义。 第一章中阐述了机翼非线性颤振一一国内外研究发展状况，列举了在应用领 域的研究成果。 第二章中 空气动力稳定的假设条件下，建立了二元机翼颤振系统的数学模 型，并应用谐波平衡法的到了极限环颤振的幅值和线性俯仰刚度的关系图。 第三章对线性俯仰刚度k 。= o 5 的情况进行深入的分析，应用中心流形理 论并借助于m a t h e m a t i c a 程序把系统降维，采用后继函数法可以降维后所求得的 系统分岔点类别进行定性分析，应用规范形理论并借助于m a t h e m a t i c a 程序对分 天津火学硕十学位论文第一章绪论 俞点处中心流形约化方程进行化简得到霍普夫分岔的a 规范形。 第四章中研究了系统各个物理参数对颤振系统的近似线性系统的临界颤振 速度以及该系统稳定极限环颤振幅值的影响，从而可以通过改变系统物理参数来 抑制极限环颤振。 第五章根据系统发生h o p f 分岔时直到五阶的近似分岔方程，建立该类立 方非线性系统受到微小扰动时的拓扑分岔解与各系统参数之间的联系，初步分析 了各类保持分岔图，发现此系统有比较丰富的动力学特性，可根据需要的运动模 式，选择合理的系统参数。 第六章总结全文，并对进一步的研究提出一些建议。 天津大学硕士学位论文第二章系统的h o p f 分岔研究 第二章系统的h o p f 分岔研究 本章在空气动力稳定的假设条件下，对具有俯仰和上下平移两个自由度的机 翼颤振系统进行了研究，用立方非线性来表示俯仰弹簧的非线性。机翼的运动方 程可以写成匹= 1 个一阶的常微分方程组。取广义气流速度q 和俯仰刚度的线性部分 k 。作为系统的分岔参数。通过分析，得到了系统的动力学特性平衡点( 其中包括 有零平衡点d 和非零平衡点x + ) 。并应用谐波平衡法研究了颤振系统发生2 重半 稳极限环颤振的临界值。 2 1 前言 用d u f f i n g 方程描述具有立方非线性的一个自由度机电系统，关于这个课题 已经研究了许多年。w o n g 3 7 1 等人解析和数值地研究了一个二自由度有立方非线 性的耦合系统的动力响应，他得到了比个自用度复杂得多的幅频响应曲线。 g o n g l 3 s 等人深入研究了耦合的d u f f i n g 方程，对于普遍使用的用于分析飞机结构 的相应的系统参数，他发现系统存在谐波解，准周期和混沌运动。w o o l s t o n t ：2 5 , 2 6 1 等人运用计算机模拟的方法，最先试着研究立方结构非线性在空气弹性力学中的 效应，他们分析一个在扭转自由度上分别有软和硬弹簧的上下平移和俯仰两个自 由度的系统。l e e 和l e b l a n c 3 9 j 数值地分析了在俯仰自由度上有立方非线性的一 个二自由度机翼运动，他们研究了俯仰位移初值分别对软和硬弹簧临界颤振速度 的影响，以及各种系统参数对极限环颤振俯仰和上下平移运动幅值的影响。 在本文中，我们主要研究的是卜在不可压缩流中的有立方非线性俯仰髑q 度 和粘性阻尼的二元机翼颤振系统的动力学模型。在二维参数平面内取俯仰剐度的 线性部分和广义气流速度q 作为系统的分岔参数，通过应用谐波平衡法，得 到了广义气流速度q 和极限环颤振幅值a 的关系曲线图。 2 2 数学模型 在不可压缩流中的具有上下平移和俯仰两个自由度的二元机翼颤振系统的 模型示意图，如图2 一l 所示： 根据无量纲时间t = c o 。r ( f 是实数，它的单位是秒) ，在空气动力稳定的 茎塑查兰堡主兰垡笙壅 笙三兰至竺塑呈! 堕坌苎塑壅 f j h + 0 2 5 蠢+ 0 1 h + 0 2 h + 0 1 q a = 0 1 0 2 5 磊+ o 5 西+ o 1 d + 七0 口+ p 口3 一o 0 4 q a ：o ( 2 2 2 3 平衡点分岔 令_ = d ，x ，= h ，方程( 2 2 ) 可以写成一阶微分方程 x t 2 x 2 4 童2 = 吾( ( 4 七o + 0 2 6 q ) x l + 0 4 x 2 0 2 x 3 一o 1 x 4 + 8 0 x ? ) 主3=戈。(2-3) 主。= 导( ( 一o 2 4 q ) 石。一o 1 x ：+ o 4 两+ o 2 z 。一2 0 羔? ) 显然，点o ( o ，0 ，0 ，0 ) 是系统的平衡点，在平衡点0 的j a c o b i 矩阵是 天津大学硕士学位论文第二章系统的h o p f 分岔研究 0 4 ( o 。+ o 2 6 q ) 7 o 4 ( k 。一o 2 4 q ) 7 1oo 1 6 7o 8 70 4 7 0o1 o 4 7 1 6 7 一o8 7 它的特征多项式为d e t ( a 一村) = 0 ，可以写成如下方程： + 6 0 + c o + d o 五+ p o = 0( 2 - 4 ) 舯”丽1 0 5 ，铲0 7 7 + 矿7 k o - 0 4 5 5 q ，氐= 坐学， 风= 1 4 k l o - 0 , 0 5 6 q 。 在e 面的方程中，当p 。= 0 时，在直线q 。= 2 5 k 。上，方程( 2 4 ) 的- - 个特征值 为零，此时系统会发生叉形分岔。当q q 。时，系统存在唯一的平衡点o ( o ，0 ，0 ，o ) ； 当q o 。时，系统还存在另外两个非零的平衡点x ：， 即为 ( j 旦等之q 坚等( v - 1 1 2 - g q _ g u l 4 - 0 刊1 、1 腼q 矿- 1 4 ，o ) 在这两个平 衡点的j a c o b i 矩阵为： a = o ( 一0 8 8 q + 3 2 k 。) 7 o ( 一o 4 8 q 一8 k o ) 7 1 1 6 7 o o 4 7 o o - 8 7 o 一1 6 7 0 0 4 7 l 0 8 7 它的特征多项式为： 刀+ 6 l + c l + d j a + p l = 0( 2 - 5 ) 其中：6】=丽105，c1=077-14而ko+广03855q，d1=014-1而4ko广+0056q17 5 ，1 2 1 1 7 5 2 。 1 】7 5 2 胪型铲。 本文中取线性俯仰刚度k 。和广义气流速度q 作为系统的分岔参数，分岔参数 变化时系统有很丰富的动力学特性，前面的工作已经证明了在该系统中存在 h o p f 分岔a 我们会在后面的部分较深入地研究当线性俯仰刚度k 。取不同的值时， 该颤振系统的超临界( 亚临界) h o p f 分岔的情况。 2 4 应用谐波平衡法研究2 重半稳极限环分岔 2 4 1 谐波平衡法 谐波平衡法也是求解非线性振动问题常用的一种近似解析法。根据一阶谐波 平衡法的概念，在方程( 2 2 ) 中的刚度项( 口+ 口口3 ) 由一个线性刚度项女。口代替， 垄堂_ 人堂堡主堂垡笙苎 蔓三量墨簦塑坚! 堕坌垒堕壅 其颤振行列式为： i 一2 + o l i c o + 0 2 一o 2 5 脚2 + o 1 q ：o( 2 6 ) l o 2 5 0 9 2 一o 5 0 ) 2 + o 1 i c o + k 。一o 0 4 q l 这旱是颤振频率，i ：j 。 分别令方程( 2 6 ) 的实部和虚部为零，得到下面的结果： o 3 2 q 2 一( 1 2 2 5 k 。- t - o 1 1 ) q + ( 1 0 6 2 5 k ：一1 6 k 。+ 1 5 5 ) = o 国2 = ( 。+ 0 2 一o 0 4 q ) l ，5 由前面知，e = 2 0 ，p 口3 的等价线性刚度项是( 3 1 4 ) e a2 口：即。结果为 k 。= k o + 1 5 a 2 或 a = ( 女。一k o ) 1 5 把式( 2 7 ) 代入方程( 2 8 ) ，得到如下的a 与q 的隐函数关系式： 1 5 5 2 4 0 a 2 + 2 3 9 0 6 3 a 4 1 6 k o + 3 1 8 7 5 a 2 o + 1 0 6 2 5 七j o 1 1 q 一1 8 3 7 5 a 2 q 1 2 2 5 k 。q + o ，3 2 q 2 = o 其中爿是系统稳定极限环颤振的幅值。 2 4 2 分岔图和2 一重半稳极限环分岔 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 关于平衡点o ( 0 ，0 ，0 ，0 ) ，当分岔参数k 。，q 取不同的值时，系统的q k 。 k 。一a 和a - q 曲线图如图2 - 2 ( 。= 0 5 ) 、图2 - 3 ( 盘。= 0 0 8 1 6 ) 所示。 。 一卓一、。 幽j ： 慕“q10。8j r 图2 - 2 k o = 0 5 ：q k 、k 。a 、a q 分岔图袭 天津大学硕士学位论文第二章系统的h o p f 分岔研究 、 _ c 厂 ，；、 1 车 ： q = 。 。 o ：2 l 1 一a 1 01 2 6 7 3 9 5 二一_ 。o t l 图2 - 3 k 。= o0 8 1 6 ：q k 。、k a 、a q 分岔图表 下面，我们首先来研究系统的极限环颤振的情况。在以广义气流速度和线性 俯仰刚度为系统分岔的参数平面k 。一q 上有两个点如下： e ( 0 0 8 li ，1 7 2 3 4 ) ，f ( 0 ，1 2 6 7 ，o 8 9 1 9 ) 是平衡点o ( o ，0 ，0 ，0 ) 发生h o p f 分岔和发生 超临界( 亚临界) h o p f 的分界点。k 。由e 和f 分成三个区间： k o 0 1 2 6 7 ，0 0 8 1 1 sk 0 o 1 2 6 7 和k 。 o o ：时会出现个不 稳定的极限环。在图2 3 中，当o 0 8 1 1 k 。 o 1 2 6 7 ，在两个分岔点b ，( o ：p 。，) 和口z ( q = 骁：) 处都发生了亚临界h o p f 分岔。因此当9 q o ：时，会出 现一个不稳定的极限环。当k 0 o 0 8 1 1 ，没有h o p f 分岔发生。因此，当颤 0 1 2 6 7 时，没有稳定的极限环来自于h o p f 分岔。当o q ，时， 半稳极限环会变成两个极限环( 一个稳定的极限环和一个不稳定的极限环) ，这 种分岔叫作2 - 重半稳极限环分岔。因此，当k o o 1 2 6 7 时，在级上会发生2 - 重 半稳极限环分岔，并且随着q 值增大到超过q o 。时，颤振幅值突然经历一个跳跃， 并且颤振幅值很大( 这种从一个稳定平衡点到大幅周期轨道的跳跃被叫作稳定性 的硬损失或极限环的硬产生) 。 为了证明谐波平衡法的正确性，让我们取发生半稳极限环分岔的临界值为 例。通过谐波平衡法和数值模拟计算出的发生2 重半稳极限环分岔的i 临界值在表 2 1 中给出，表明谐波平衡法能给出关于2 - 重半稳极限环分岔临界值的正确信息。 天津大学硕士学位论文 第二二章系统的h o p f 分岔研究 表2 - 1 谐波平衡法和数值模拟法的比较 l 盘。 0 1 20 1 00 0 80 0 60 0 40 ，0 20 l9 口( 谐波平衡法) 0 8 9 2 408 9 2 40 ，8 9 2 408 9 2 408 9 2 4 08 9 2 40 8 9 2 4 iq 。( 数值积分法) 08 9 2 608 9 2 60 8 9 2 40 8 9 6 70 9 0 0 90 9 2 2 509 3 9 9 j误差( ) 0 0 2o 0 200 204 80 9 53 3 753 2 上述的情况是针对平衡点o