（基础数学专业论文）齐次群上的hardy不等式、振荡理论、pohozaev恒等式及其应用.pdf

两北工业人学坝【论史 摘要 本文是在我导师钮鹏程教授的悉心指导下完成的。通过讨论齐次群上的一些 。陀j 贞，从j f ：i 得到本文的结果。首先我们利用g a r o f a l o 和l a n c o n e l l i 证明h a r d y 型 1 i 等式的方法，得到了齐次群上的一类h a r d y 型不等式和不确定原理，然后作为 应用证明了一类具有不确定权的次椭圆偏微分方程的特征值问题的存在性。在第 二章我们沿用a l l e g r e t t o 和h u a n g 以及后来由钮鹏程、张慧清和王勇发展到 h e i s e n b e r g 群上的思路，建立了齐次群上的p i c o n e 型恒等式，然后通过构造不同 的辅助函数，证明了欧氏空间和h e i s e n b e r g 群上球域内外的一些h a r d y 型不等式。 在第二章首先建立了齐次群上的一类更为广泛的p i c o n e 型恒等式，然后建立齐 次群上的一类半线性方程组的s t u r m i a n 型比较定理。作为应用给出了一类振荡 定j l l l , f t j h e i s e n b e r g 群上的一类广义h a r d y 型不等式。这里的h a r d y 型不等式包括 了已有结果。在第四章我们首先建立齐次群上的p o h o z a e v 型恒等式，然后通过 对特征集的讨论我们建立了齐次群上的一类不存在问题。 西北工业大学硕十论文 a b s t r a c t f h i st h e s i si sf i n i s h e du n d e rt h eg u i d i n go fm yt u t o rp r o f e s s o rn i up e n g c h e n g f h r o u g hd i s c u s s i n gs o m en a t u r e so fh o m o g e n e o u sg r o u p ，w eo b t a i n e dt h er e s u l t so f t h i st h e s i sa tf i r s t u s i n gt h eo a r o f a l oa n dl a n c o n e l l i sm e t h o dt h a ti st ou s ef u n c t i o n f o r m u l at op r o v eh a r d yt y p ei n e q u a l i t y ，w eh a v eg o tac l a s so f h a r d yt y p ei n e q u a l i t y a n du n c e r t a i n l yp r i c i p l eo nt h eh o m o g e n e o u sg r o u p t h e nw ed i s c u s st h eq u e s t i o no f e i g e n v a l u e s e x i s t e n c eo f as u b - l a p l a c i a np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi n d e f i n i t e p o t e n t i a lo n t h eh o m o g e n e o u s g r o u p i nc h a p t e rt w o ，a l o n g t h et h o u g h to f a l l e g r e t t o a n dh u a n g ，w eg i v eap i c o n e t y p ei d e n t i t yo n t h eh o m o g e n e o u s g r o u p ，a n dt h e na sa l l a p p l i c a t i o nw ep r o v es o m eh a r d yt y p ei n e q u a l i t i e si n s i d ea n do u t s i d eo f b a l ld o m a i n o nt h er ”a n dh e i s e n b e r gg r o u pi nc h a p t e rt h r e e ，u s i n gt h em e t h o do f e s t a b l i s h i n g c l a s s i cs t u r m i a nc o m p a r i s o nt h e o r e m ，w es e tu pam o r ee x t e n s i v ep i c o n et y p ei d e n t i t y a n das t u r m i a nt y p ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o ras e m i l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y s t e mo nt h eh o m o g e n e o u sg r o u p a sa na p p l i c a t i o n w eg i v ea no s c i l l a t i o nt h e o r e m o nt h e h o m o g e n e o u sg r o u p a n dam o r ee x t e n s i v e h a r d yt y p ei n e q u a l i t y o nt h e h e i s e n b e r gg r o u p i nc h a p t e rf o u r , t h r o u g hd i s c u s s i n gt h ep a p e r si nw h i c hg a r o f a l o a n dl a n c o n e l l ih a de s t a b l i s h e ds o m en o n e x i s t e n c er e s u l t so nt h eh e i s e n b e r gg r o u p ，w e g i v eap o h o z a e vt y p ei d e n t i t ya n da n o n e x i s t e n c er e s u l tb yd i s c u s s i n gt h eq u e s t i o no f c h a r a c t e r i s t i cs e to nt h eh o m o g e n e o u sg r o u p i na b o v e ，w es t a t eo u rm a i nr e s u l t si n t h i sp a p e r 西北工业大学硕 一论文 引言 扯2 0 世纪5 0 6 0 年代，h 6 r m a n d e r 等人对于常系数偏微分算子作了较充分 的研究，使这个领域的研究( 即古典的偏微分研究) 得到长足的发展。 在1 9 6 7 年，h 6 r m a n d e r 发表了他的经典文章“h y p o e i l i p t i c s e c o n do r d e r d i f f , e n t i a le q u a t i o n s ”( 蛇【h o ) 后，由非交换向量场构成的线性及拟线性偏微分 方程的研究引起了国际数学界广泛的关注，并取得了巨大的发展。t r e v e s 和 n i r e n b e r g 等人以拟微分算子为主要工具，对于变系数具有单特征的偏微分算子 进行研究，得到了包括亚椭圆性和可解性等一套理论。1 9 7 0 年，e m s t e i n 在 n i c e 国际数学家大会上提出了一系列的关于偏微分算子研究的思想( 见i s l ) 。使 这个领域中的大部分研究与齐次群分析的发展联系了起来( 见 g 、 f s 、 g l l 、 g l 2 、 b o 】、 g v l 】、 g v 2 】、【u 2 等) 。其中h e i s e n b e r g 群是典型的齐次群，且 最简单。大家通过研究h e i s e n b e r g 群上的性质，然后推广至般齐次群，迄今已 得到了人量的关于h e i s e n b e r g 群上的重要性质，包括k o h n - - l a p l a c i a n 的基本解 及其、l f 舶剀性( 见 f 1 】) 、d i r i c h l e t 问题( 见 j ) 以及一些不存在性结果( 见 g l l l 、 g l 2 、 l u l 】、 l u 2 、【u 2 ) ，等等，目前仍不断取得进展。 本文通过研究前人的结果，吸取前人的方法和技巧，在齐次群上也得到了若 干结果。我们在第一章致力于建立一类h a r d y 型不等式。在1 9 9 0 年，n g a r o f a l o 嗣iel a n c o n e l l i 在文献 g l l 】中建立了h e i s e n b e r g 群上的函数表示公式 赢l ，v ( z , t ) 燕孥z 。刮0 ，o ) + l l ，v ) r ( z 每卜 利剧这个定理得到了h e i s e n b e r g 群上的h a r d y 型不等式和不确定原理，最后用于 研究h e i s e n b e r g 群上的唯一延拓性。后来，在1 9 9 3 年gc i t t i ，n g a r o f a l o 和e l a n c o n e l l i 在 c g l l 中建立了一般齐次群上的函数表示定理 m ) = b 铲d h , 。“f r _ 岳p 我们利用此公式，结合余面积公式( 见 l y 】) ，建立了一般齐次群上的一类h a r d y 型不等式 阿北丁业人学坝： ：论义 ，知机( 壶 2 坍印妙 进而得到了不确定原理，这使g a r o f a l o 和l a n c o n e l l i g l l 中的结果成为这罩的特 殊情形。然后利用这个结果讨论了齐次群上类具有不确定权的次椭圆偏微分方 程 一“= a g u i n g ，甜专0a s h 。 的特征值的存在性问题。 存1 9 9 8 年，wa l l e g r e t t o 和y x h u a n g 在【a h 】中证得了欧氏空阳jr ”上的 p i c o n e 亘等式 v u i ”+ ( p - 1 ) 善，- i v vp 。u ，p 一- i v “i v v i 一一2 v v yv 。 = v u 卜可( 箦) - i v v l 川v v , 并利用此恒等式作7f 芘的j 匝用a 其中h a r d y 型不等式酐3 e 明方法极为简洁明 了，且不需考虑区域边界形状问题，而难点只在于辅助函数的选择。在2 0 0 0 年， 我的导师钮鹏程教授等人在 n z w 仲将此恒等式推广到h e i s e n b e r g 群上，也得到 了相应的p i c o n e 型恒等式 i v h u l + ( 川) 等h v 卜p 筹v h v r v 札“卜虬( 等) 川坤v ， 然后也证得了相应的h a r d y 型不等式。同时将此恒等式推广到高阶椭圆算子情形 得到了r e l l i c h 型不等式。我们在本文的第二章沿用这种思路、方法，证得了齐 次群上的一类p i c o n e 型恒等式 m ”+ o 1 ) 等m p p 万p - i v t 1 4 1 v 。v rd l v = i v ；u ” f 剐v 川一v 小 然后利用此恒等式证明了齐次群上一类具有不确定权的次椭圆偏微分方稃 西北工业大学硕 j 论文 一l u = 砖“i ng ，“寸0 a s h _ c 0 的t 特征值的单一性。利用前述恒等式，经过选取各种辅助函数从而证得了欧氏 。h = 1 1 h e i s e n b e r g 群上的球域内外的些h a r d y 型不等式。 仃1 9 0 9 年，p i c o n e ( 见( p ) 研究了常微分方程组 ，陟】= o ( ，沙9 + 冒“涉= 0 l z = ( 只o k f y + q ( f k = 0 ， 其中，q ，r ，q 均为区问j cr 上的实值连续函数。p i c o n e 基于以下较第二 章中更为一般的恒等式 ay(zrydt。皿) 。 7 l = 卜驯2 + ( q 一+ 尺( 产纠2 + 孝翻”删 1 ， 在条件r ( t ) 月( ，) ，g ( f ) g ( ，) 下证明了古典的s t u r m i a n 比较定理。最近，j a r o 和k u s a n o ( 见【j k l 、 j k 2 】) 沿用同样的思路，将p i c o n e 型恒等式和s t u r m i a n 比较定理均推广到半线性常微分算子组 f 。陟】_ 托杪i “1 y j + g ( f w y 。c z 】_ k ( ，捌”z l j + q ( r 栉一z ， ( 其中口 0 ) 上。然后t k u s a n o ，j j a r o 和n y o s h i d a 在 k j y 】中又将这些结果 推广到”维欧氏空间r ”的一般半线性偏微分算子组 以m = v b ( x l v “i “v “) + c g 淞i ”。“ g o v ：v 0 ( z l v v i ”v v ) + c g 栉。， ( 其中口 0 ，“，c ，a ，c 均为区域q c r ”上的实值函数或连续可微函数) 上，得到了相应的恒等式，且作为应用得到了一类振荡定理。而欧氏空间r 一作 为一个特殊的齐次群( 即为一步幂零群) 具有这些性质，那么对一般的齐次群如 何呢? 我们的第三章t f 是在这样一些启发下考虑了齐次群上的半线性偏微分算 f 组 两北t 业夫学i o j i ：l 论史 p 。缸】= v 厂仁g l v “r 。v ，“) + c g ) ” ”“ 只卜】- v 0 g l v i “v f v ) + c 0 1 v r _ v 得到了相廊的广义p i c o n e 犁恒等式 v 。岛旷l 吣籼i , y - i v t u _ h “以广1 v 。q = ( 4 2 ) 一爿b 朔v ，“r 。+ ( c ( x ) 一c b 删“。 + 爿g ) r f v ，“c 。+ l + 口l 詈可，v l 。+ 一c 口+ t 1 詈v ，v f “一1 v 。“( 詈v 。v ) + 南m k 阱伊o ) 。， 然后利用此恒等式证得了齐次群上的s t u r m i a n 比较定理，且得到了一类振荡定 埋。在本章的最后我们取口= c = c = 0 ，a 0 ，得到了类似于第二章中的p i c o n e 型恒等式 以巾吖十( p 叫等m ”一p 万2 , p - iv m 阳即 嘶巾吖却，( 纠v ，v r v ， 月4 g ) = l 时，上式与第二章中结果重合。然后我们把文献 n z w o eh a r d y 型 不等式推广到更一般的情形。 1 9 9 2 年，g a r o f a l o 和l a n c o n e l l i 在文献 g l 2 】中通过建立积分恒等式，即著 名的p o h o z a e v 型恒等式，讨论了h e i s e n b e r g 群上一些关于d i r i c h l e t 问题的不存 在性问题。在2 0 0 1 年，张慧清的硕士论文中通过考虑相应于广义g r e i n e r 算子和 广义b a o u e n d i o r u s h i n s 算子的p - 次退化次椭圆算子，得到了p - 次的p o h o z a e v 型 恒等式，然后讨论了p - 次退化次椭圆算子的d i r i c h l e t 问题的不存在性问题。但 这些算子都具有很明确的显式表示，而对于齐次群上的平移不变算子则无此显式 表q “一- o ) 定义如下： f i , ：r “一r ” 8 r ( x ) = 扣z ( ”，m x 2 ) 即巧映射r n 到自己，其中x ( ”，= l ，p 为点。在欧氏空问r ”上的投影。 记数9 ：= 口，n ，为齐次群g 关于伸缩4 的齐次维数。 j = 、 勒贝格测度父rg 的群运算的左平移、右平移均不变，且对任意可测集 e c r “下面等式 m e a s ( 艿，) ) = r o m e a s 也) 6 两北工业大学硕士论文 厅霓可。 我们舰定齐次群g 卜的一个齐次范数”0 是一个函数，并且满足以下四个条 件： 1 ) c ”( r “、l o t ) n c ( r “) ； 二j 】i d ，( 芏r i x 1 ： 3 ) i f ：| | x 0 ； 4 ) = 0 当且仅当工= 0 实际上，在g 上存在这样的齐次范数0 ( 见 f 2 】) ，且我们规定齐次群上 f i 意l j j j jx ，v g 的距离定义为 d ( x ，y ) = f 。y 0 ，= l ，p 关于伸缩瓯为一次齐次，且x ，+ = 一x ，我们取次l a p l a c i a n 符了为 = ； ( 1 12 ) 则l = r ，且工是一个散度型算子。且 r g ，y ) = c 口。y 俨( 1 1 3 ) 乃l 的丛小解，其p 巳足个适当的常数，见文献【g 】a 为了简洁，在不致引起 混淆时，我们有时把齐次范数d g ，y ) 简记为d 算子l 满足著名的h 6 r m a n d e r 有限秩条件，从而具有亚椭圆性( 贝j h o 】) 。 其 i o u v i l l e 定珲和h a r n a c k 不等式由b o n f i g l i o l i 和l a n c o n e l l i 在【b l 】中发现，对 更为一般的结果参见文献 c g l 。 我们取g 上的广义梯度算子为v 。= h 一，x 。) ，且对g 上任一个光滑函 数“，其广义梯度为v l “= ”- ，x 。“) ，范数为 刚：杰阶i 2 ， ( 1 l - 4 ) 阿北丁业人学硕l j 论文 其中| 1 为通常意义下的范数和绝对值符号。 令q 为齐次群g 巾的个区域，础2 ) 类似于空问w o 一，是关于向两场 ，：1 ，一，p 的空问，即爿2 ( q ) 是c ：( q ) 在以下范数： i i 甜0 ：。：( 。) = 量| v “i2 + i “1 2 ( 11 5 ) 的闭包。 在本章我们将建立一类h a r d y 型不等式，作为应用我们讨论了以下具有不确 定权的次椭圆偏微分方程 一l u = 硇“在g 中，u o0 当h j o o 时( 1 i 6 ) 的特征值的存在性问题。以上方程的特征值五被称为主特征值，是指相应于旯的 特征函数是一个正函数。 1 2 一类h a r d y 型不等式 众所周知，对r “上任意光滑函数“，下列的表示定理成立 删一c o ，鸳- 2 ) k ，卜魄。山乒“( r _ 矧砂z ( 详见文献 c g l 】中命题2 1 ) ，其中8 g ，r ) = 侈r n , p 。j ，i o ， 使得。，i d d i m 成立。运用文献【f s 】中的极坐标公式，我们可以得到当p o 时， ( 1 2 5 ) 式的右边趋丁零。从而( 12 4 ) 式化为 k 弘印护坻，“2 臀帆l + _ ：f 捌h 2 饼训和 ( 1 2 6 ) 住【1 2 2 ) 巾；t j “2 代替“，我们有 f 矧“2 饼训咖 = p d 帅( p q - ”f , 舻( r _ 嘉) 咖2 ( o ) = ( q _ 1 ) i 古【l “2 _ 1 i v 呵d 1 2 粥。 和 + 南胪丢啦( r - 嘉p 咖z 9 两北t 业犬学坝卜论文 历d l 。! ( f _ 导h = 参陋l 蚓t v d lh 别吼i 加降番h 矧眠一j _ | l ，氧番专心，矧魄 ( 。【q 口u心j 螺眠 = 岳肛0 2 协 ：学k 斗铲虮。r 节矿一棚n 一，业二型 一 口u l 把( 127 ) 和( 1 2 8 ) 代入( 1 2 6 ) ，我们有 k 等刚2 咖= 一，“2 雨 v l d v 撕。 ( 1 2 8 ) + ( q 1 ) 等i v c d l 咖+ 2 【詈t “v c d ) 砂 也就是 ( q z ) i ( r ) 参i v 。d f 咖= ；“2 下 v l 可d 2 掘。一z 【( ，) d ( t l u 、t l d 协 ( 1 。2 9 ) 戍刚s c h w a r z 刁；等式我们有 一2 ) k u 2m 2 咖，“2 v 可l d 2 扔。 + 笋m 2 砂+ ，m 2 砂 对任意的) ，o 成立。我们取= 垒兰，就可以得到 0 峨 型卅坐阿 k 陌北_ = i _ ：业人学硕士论文 知盯砂( 壶h 孚“2 饼帆“胂阿) 令，。o o ，我们刈以得到t 12 3 ) 式，本定理证毕。 推论1 2 2 ( g 上的不确定原理) 对任意的“c o ( g e ) ，我们有 ia v l v f 2 妙l f v “i2 砂f 望) 2l “2 i v ，d 1 2 砂 ( 1 2 1 0 ) 注1 2 3 如果g 是h e i s e n b e r g 群，则定理1 2 1 和推论1 2 2 的结果已被 g a r o f a l o 和l a n c o n e l l i 在文献g l l l 中所证得。 1 3 不确定权的特征值问题 这节我们主要考虑具有不确定权的次椭圆偏微分方程( 1 1 6 ) 的特征值的 存在性问题。 a 定理1 3 i 假设g + l2 ( g ) ，则方程( 1 16 ) 存在无穷多个特征值 f ) z 1 h 无瓢是卞糈自r 值。 定理i3 1 的证明需要以下五个引理来完成。不失一般性，我们令 g = 9 1 一9 2 ，其中9 1 ，9 2 0 且9 1 ，9 2 r 对任意的五 0 ，把取作空间 c 孑( p ) 关于以下范数 t u l ：= 舯硝+ m a x ( 2 9 ：，- 2 ( 1 3 1 ) 下栅包，其协掰，扛h 心为刊慨数。 应用第二节所得到的h a r d y 型不等式，我们可以知道范数”n 和范数”忆 等价，其中范数”i 作如下定义 i = 阻“1 2 + 钕“2 ， ( 1 3 2 ) 我们把此等价记为”k 8 弘 容易看到t 对任意正数 ，五有忆卜u ，从而我们在下文用e ，0 来表示。，”忆我们用圪表示具有权国的r 空间，且用( ，) ，( ，l ，( ，) o 西北工业大学硕士论文 分别表示对应于范数”0 和空间f ( g ) 的内积。 令n 为齐次群g 的一个有界域，且令e ( a ) ：= ek 容易得到e ( n ) se , 2 ) ， 弛f ! i d ，“i 2 引理1 3 2 如果“g2 ) 是方程 一l u = 厂b - ( 1 3 3 ) 的 个弱解，i x 中，1 ( x ) = g ( q ) n r 心) ，则“e c 孑( q ) 证明：容易得到屈剐2 ( q ) 利用l 的正则性( 见【f 2 】) ，我们可以知道 “e 岛! 心) 重复以上步骤，我们得到“e c g ( n ) 3 i n 1 3 3 假设在e 中斗“，则对任意球占似) cg ，在空间s 1 2 ( 口即) ) 上 有“。，斗“成立。 证明：引理结果可以直接由0 ) ) s 1 2 p ) ) 推出。 三堡 引理1 3 4 e l 叶一，e 一吃 证明：应用s o b l e v 型不等式( 参见【c d g ) ( i i u l 枷咖) 币c ( 肥“1 9 咖) i ( 1 3 舢 ( 其i ：扣“e 剐，l 女王旦o - p ) ，对任意的“c 孑( g ) ，我们有 怯i i2 0 c l i p 。“8 ：q l u l l 。 0 - 2 其中c 仅依赖于q 通过稠密性讨论，我们可以知道对任意“e 也有相同的估 型 计，从而可得e 一蚪第二个嵌入定理可以运用第二节的h a r d y 型不等式推 得，对任意“e g ( g ) ，有 枷2 钆胁| 引理1 3 5 假设9 1 l 2 算子a ：e 哼e + - e 定义为：a u = g u ，即对 v e ，有0 “，v ) l 。= q 。“，v ) o ，则算子爿是紧的且为自伴算子。 两北工业大学硕卜论文 证明：如果虬1 ，e 同g l l y ( o ) ，我们应用h o l d e r 不等式和嵌入e - 一一2 ”r 以得到 f ；g l u v t s i i g l 掣“i i 墨l l v 峪 测此算子a 的定义有意义且a u e 首先假设g ，具有紧支集。由于对任意球b ( e ) ，s 旧紧嵌入到空间 ( 2 p 西2 q 卜蚓凯，婀知4 “是紧的。对卜般情形例慨函 数g ，为：当h 0 ，以下式子 阳北丁业人学坝i 论义 晰础警 e ，。 “| | j 以被某个相应于算于a 的最大特征值的特征函数1 , 1 e 所达到，也就是说，我 们行a u = k 以) “从而对任意函数“( 孑( g ) ，有 b “，v ) 。= 足( a ) 。( “，v 1 或 ( 髟( 五k “，v ) 0 = ( - 工“+ 趣：“，v ) 。 也就是既甜是方程一l u + 船：“= k ( 2 ) g ，“的一个解，从而引理3 6 的结论成立。 注意到g ： 0 ，我们有 m 埋 基h 矗 如果“e ，则酣，“也属十e ，我们小妨假设“0 ，否则我们可以用h 代 替“由于“的非平凡性，可知在某个子域u ( u 的测度不为零) 上“ 0 因 为 0 m “) 0 - ，毛另一方面，我们注意到 删一蒜气意 且在某个子集中g 0 ，从而对一个大的五有k 以) 0 有 k ( 五+ 一) = 。i 。n f i ! 二二! ! 二i 掣 ( 半) 尝气意竽= ( t + 批 由定义可以知道世以+ ) k 0 ) ，从而对o 0 使得k 0 ) = 五，我 们得到了丑的存在性。对别的丑，可以类似于上面的方法来证，只需要依次找到 算子a 的从大到小的特征值及其相应的特征函数，我们就可以得到依次上升的 五i = 2 - 3 西北工业大学硕j 1 论文 第二章齐次群上的p i c o n e 型 恒等式及其应用 2 1 引言 评本蕈我们建市骰齐次磬羊e 的p i c o n e 型恒等式。然后证明r 具有不确定 权的次椭圆偏微分方程 一l u = 堙“在g 中，甜_ 0 当h o o 时 ( 2 11 ) 的主特征值的单一性问题。作为应用，由于般齐次群上距离函数抽象的问题， 我们只证明了欧氏空间和h e i s e n b e r g 群上球域内外的一些h a r d y 型不等式。 首先我们引入一些记号和定义。对于齐次群g = q ”，。) 上的记号和定义我 们仍然采用第一章中的记号，下面我们主要引入h e i s e n b e r g 群上相应的记号和定 义。h e i s e n b e r g 群( 有时简已为h ”) 为以r 2 ”r 为底空间，群运算如下的 ，y ，) ox ，y ) ) = g + 一，y + y ，t + t i + 2 ( ( 一，y ) 一x ，y 。) ) ) 的齐次群，其中g ，y ，f ) e r ”r ”r ，有时记做g ，) = g ，y ，f ) ，( ) 表示一般的 内积。 ”卜一组光滑的向量场给定如下： x i 2 苦国j 扣2 挑- 2 x j 否0 ，j = 1 , - - - , n , 昙t t i ! i l 它们关于h e i s e n b e r g 群上的群运算是左平移不变的，且构成h ”上一组基底。 另一方面它们的l i e 括弧表现如下： k ，以1 = p ，1 = x ，磊0 = y ，昙 = 。， h 球枷m 0 ，亿 则它们满足著名的h b r m a n d e r 有限秩条件，目为二步幂零群。从而由它们所产生 6 两北工业人学颂，卜论义 的l i e 代数为二层的，且x ，y 。，= 1 ，n 构成第一层的基底a h + 4 【的的伸缩群j r 0 ) 定义如下： 占：r2 ”r jr “r 4 ( x 出f ) = b ，r y ，f 2 f ) 数q ：= 2 n + 2 为h ”关于伸缩占，的齐次维数。月“上的距离函数定义如下： d ( g ，) ，o t ，f ) ) ： z - - z ) 1 4 + l 一，一2 ( ( x ，y ) 一( x ，y ) ) 】j ， ；易知道具；曲址征第章l i ，所述的条件，我们把离原点的距离简电为d ( z ，f ) 勒贝格测度关于g 的群运算的左平移、右平移均不变，且对任意可测集 ech ”f 面等式 m e a s ( 艿, ”= r q m e a s 但) 成立。 我们取k o h n l a p l a c i a n 算子为 。，= x j + r , 2 ( 2 1 2 ) r “z ，4 ( z ) ) = d 心，f 凇，f ) ) 2 ( 2 1 3 ) 为l 的基奉解，其中c o 是一个适当的常数，见文献 f 1 】。我们取g 上的广义梯 度算予为v 。= ( x i , - - , x 。，k ，匕) 为了本章的运用，我们首先列出在文献 a h 】和【n z w 】中得到的关于p i c o n e 型恒等式的一些结论。其中前两个为文献【a h 】中结论，后两个为 n z w 】中的结论。 引理2 1 1 ( 关t 二p l a p l a c e 算子的p i c o n e 型恒等式) 设v o ，“0 为q 中 的j j + 微函数，q 为r ”中的有界域或无界域，令 砌，v ) = v u 卜( 川) 等i v 一p 参v 川v 吖v v 地v ) = f v u i 一v ( 万u p ) i v v i 坤v v , 两北t 业大学硕i 论文 l ( u ，v ) = r ( u ，v ) 0 ( 2 14 ) 引理2 1 2 没有：q 中可微函数v 0 满足一a i , v 细川， 其中 ，v = v ( i v v i ”2v v ) ，五为某个正数，则对“x 及“0 有 i v “r - , t g i “i ” ( 2 i 5 ) 其中x ，为c ；( q ) 在范数l = ( l v “f + g h ”) i 下的完备化，g 为非负函数。 引理2 1 3 对q c h 。中的可微函数v 0 ，“0 ，有 l ( u ，v ) = r 0 ，v ) 0 ，( 2 1 6 ) c ( “，v ) = h “h 川) 等h v 卜pp 万1 4 p - i v 虬_ | v h i i v 矿， 如v ) 札“卜儿( 等卜v 卜 引理2 1 4 设对某个常数五 0 ，函数v c 孑( q l v o 满足- a ，v 细川 其中= v “( v nv i p - 2 v hv ) ，则对“e h ，q l “2 0 有 h “卜五“f ” ( 2 1 7 ) j l ；l h ，) 表示c 苫( q ) 在范数恻= ( 剧v 虬“p + g l “i ”) i 下的完备化。 2 2p i c o n e 型恒等式和特征值单一性 令q 为齐次群g 的个了域，可以为有界域，也可以为无界域。我们有 定理2 2 1 取v 0 和“0 为两个可微函数，令 = 刚+ o 1 ) 等阳p “万p - i v l l g l v l v 坤v 。v 两北t 业人学坝l 论史 帅) 钒i 矿吧f 等卜巾。审，v 其l 扣p 1 则我们有 l ( u ，v ) = r ( “，v ) ( 2 21 ) 进一步t ( 地v ) 。，且。，v ) = 。a e q 当且仅当v 。 詈) = 。a e q ，也就是 在q 的每个连通分支上，存在某个常数k 使“= k v 成立。 证明：利用 和 v ，f 等1 = p 告v p ) 等v v v ( 等) 即= p 等v l u v l v - ) 知v f ( 2 2 1 ) 可以容易验证。我们取口= f v 。“i ，= ( 詈i v 。v ) ( 其中上p + 吉= 1 ) 出y 。g 不等式筇鲢+ 蹬，我们有 pq 即uv 州v ) 川si v t p uj , , p + 唑u , 、( p - q u ：i v l p i _ l + 掣u p ( 2 2 2 ) 不等式中等号成立当且仅当i v c “i = 詈 v c v j 时。结合s c h w a r z 不等式，从而我们可 以得到 o ，v ) = i v l u 卜一1 ) 等i v l v l p p 万, p - ii v l u l l v l v 川 + p 万, p - im 肚帅卧 - v l u , v l v ) 1 9 i j t i i l ：t 业人学坝卜沦文 阮“1 ” p 万u p - i | v , 4 v , v l ”一 + p 万l 。p - i l v , v l ”2 慨“叫- v ，u vl v ) p 等i v , v l ”10 v ，“慨v l - v l u - v ，v ) o 如果“= k v ，则容易得到l ( u ，v ) = 0 反过来，如果l ( u ，v ) b 。) = o 且“g 。) 0 ， 我们一定有 v ，“i i v t v i = v ，“v ，v ，i v c “i = ；i v c v i ，这意味着v 。( 詈 ) = 。如果 “g 。) = 。，贝j j 我 有v ，“= 。a es 2x q i “b ) = 。 ，所以有v 。( 詈) = 。a e s 实际上，由于v ，“= o a e s 且在s 中u ( x ) = 0 ，我们有 v ( 宇等号v 舻o a e s 这也就是晚v ( 詈 = 。a e q ，且对某个常数k 使“= “成立。 我们继续第一章中第三节的讨论，对方程( 2 1 1 ) 的主特征值的单一性进行 讨沦。设矿 0 是方程( 21 1 ) 的一个主特征值，且其相应的特征函数为 “le 剐2 ( g ) 定理2 2 2 如果v c 2 满足一l v 枷且在g 上v 0 ，其中五 0 ，则对 剐。2 ( g ) 中函数“0 ，有 f 卧i2 五埘“1 2 ( 2 2 4 ) 在( 224 ) 中等号成立当且仅当对常数k ，c ，有五= 舛，“= k v 和v = c u ，成立。 特别，主特征值石是单一的。 一 阿百 k 一 + 西北t 业大学硕士论文 址j ：似改q 。c g 足任意个紧集。取妒c o ( g l 缈0 ，则我们有 。曼沁，v ) l l ( ) = f r = 胍妒卜h ( 等卜v 肺妒i2 + ，等山s 脾硝一丑f g 妒2 ( 22 5 ) 注意到妒g ( g ) ，所以不需要考虑a q 的形状，而函数生的积分总是有意义的。 v 现在我们在懿2 中，令p 。“，我们可以得到( 2 2 4 ) 式。 假没对某个o “。，一：2 ，有i d ，1 2 = 五g i “。l 由( 2 2 5 ) 式我们可以知 道有，v ) = 0 t 即在q 。中存在常数k 使“。= k v 成立。由q o 的任意性，从 而在q 的每个连通分支上均存在常数k 使“。= k v 成立。如果q 是连通的，则“。 的非平凡性可以推出k 0 ，所以v 酬一， 0 另外，我们注意到如果q 是 连通的，则存在常数c ，使v = c u 成立。 实际上，通过选择h = l ，从( 2 2 4 ) 可以知道由于v s ：一，我们通过用 “和v 分别替换v 和“l 来重复以上的讨论，从而我们有v = k u ，舛的单一性则 是一个直接的推论。证明完成。 注2 2 3 ：在定理2 2 2 中( 2 2 4 ) 式我们可以对任意的p 1 得到相应的结 果，即有 t i v “卜五埘“i ” ( 2 2 6 ) 这样的结果。而定理2 2 1 和式( 2 2 6 ) 中当齐次群为欧氏空间时，即为引理2 1 1 和日i 理21 2 ；当齐次群为h e i s e n b e r g 群时，即为引理2 1 3 和引理2 1 4 2 3 欧氏空间r ”中球域内外的h a r d y 型不等式 i ：奉符我们将给出球域和域出_ 毋 ) 上的一类h a r d y 型不等式。 仙北i 业人学坝l + 论立 定理2 3 1 设b 。= k r ”i l x t - 1 ，有 则 f , i v u f ”等n 警 ( 2 3 1 ) 硼环觥勘乩牝矿= 哇p 由于一r 一( 静 i ， 薯：一，。删v ：t = 一，l2 1 一n 1d i2 l o _ rr 喜：一掣，f = l ， j n - 1 爵一产刮，川，蚴一了 一，v = 一v ”2 v v ) = 一v ( i 占p 。v 万”一2p 占b - + v 占) 纠纠”2v p 川胁) v 占) = 一纠旷2 p 圳r j j