（测试计量技术及仪器专业论文）阵列方位侧向测井响应数值计算研究.pdf

论文题目： 专业： 硕士生： 指导教师： 阵列方位侧向测井响应数值计算研究 测试计量技术及仪器 陈睿( 签名) 弧叁 仵杰( 签名) ! 玺垂： 摘要 阵列方位侧向测井仪器是种全新的测井仪器，它同时具有阵列侧向多探测深度曲 线和方位侧向测量方位电阻率的优点。本文研究了研究了有限元法在阵列方位侧向测井 响应数值计算中的应用。第一部分，根据电磁场理论建立电法测井的物理和数学模型， 将数学模型的求解转化为泛函极值问题，并证明了变分原理。第二部分，详细研究了高 分辨率方位侧向测井响应数值计算中的三维有限元方法，将电位计算归结为求解复杂边 值问题数学模型，推导三维有限元计算格式，编程实现测井响应计算程序。第三部分， 用软件计算分析高分辨率方位侧向测井的响应特性。首先与标准双侧向测井比较，验证 了编制程序的有效性，然后计算了高分辨率方位侧向测井的仪器常数，井眼影响，围岩 影响和侵入影响给出了其特性分析。 关键词：有限元方法，阵列侧向，方位侧向，数值模拟 论文类型：应用基础 s u b j e c t ：n u m e r i c a lm o d e l i n go f a r r a y a z i m u t h a ll a t e r o l o g s p e c i a l i t y ：t e c h n o l o g y i n s t r u m e n t so f t e s ta n dm e a s u r e m e n t n a m e ：c h e n r u i ( s i g n a t u r e ) 盘h 隧 i n s t r u c t o r ：w 。j i e ( s i g n a t u r e ) 堂丛互! 垒 a b s t r a c t t h e a r r a y a z i m u t h a ll a t e r o l o gi s an e wt o o l ，i tc a ny i e l dan u m b e ro ft h e c u r v e so f a r r a y l a t e r o l o ge x p l o r a t i o nd e p t h a n d a z i m u t h a l l a t e r o l o ga p p e r e n t r e s i s t i v i t y t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e st h ea p p l i c a t i o no f t h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i n a r r a y a z i m u t h a ll a t e r o l o g a n dt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o no f r e s p o n d s o f a r r a y a z i m u t h a ll a t e r o l o g i nt h ef i r s tp a r t ，p h y s i c a lm o d e la n dn u m e r i c a lm o d e lo f e l e c t r i c a l l o g g i n g i s g i v e n ，t h e nr e s u l t i n g o fn u m e r i c a lm o d e li st r a n s f o r m e dt o e x t r e m u mp r o b l e mo ff u n c t i o no ff u n c t i o n ，a n dv a r i a t i o np r i n c i p l ei sp r o v e d i nt h e s e c o n dp a r t ，3 一df i n i t e e l e m e n tm e t h o do f n u m e r i c a lm o d e l i n go f t h ea r r a y a z i m u t h a l l a t e r o l o gi ss t u d i e dd e t a i l e d l y v o l t a g ei sc o n c l u d e dt on u m e r i c a lm o d e l o f e v a l u a t i n g t h e c o m p l e xb o u n d a r yp r o b l e m 3 一d f i n i t e e l e m e n tm e t h o d c a l c u l a t i n g f o r m a ti s r e a s o n e da n dc a l c u l a t i n g p r o g r a mo fl o g g i n gr e s p o n d s i sa r r i v e da ti nt h et h i r d p a r t ，m a k i n g u s eo fs o f t w a r e ，t h er e s p o n d so fh i g hr e s o l u t i o na z i m u t h a ll a t e r o l o g s o n d ei sc a l c u l a t e dm a da n a l y z e d f i r s t l y , t h r o u g hc o m p a r i n gw i t ht h er e s p o n d so f d u a l l a t e r o l o g ，v a l i d i t yo fp r o g r a mi sv a l i d a t e d ，t h e nt o o lc o n s t a n t ，h o l ec o r r e c t i o n ，s h o u d e r c o r r e c t i o na n di n v a s i o nc o r r e c t i o no fh i g hr e s o l u t i o na z i m u t h a ll a t e r o l o gs o n d ei s c a l c u l a t e d ，e v e ns p e c i a l i t ya n a l y s i si sg i v e n k e y w o r d s ：f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ( f e m ) , a r r a yl a t e r o l o g ，a z i m u t h a ll a t e r o l o g ， n u m e r i c a l m o d e l i n g t h e s i s ：f u n d a m e n ts t u d y 学位论文创新性声明 本人声明所呈交的学位沦文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特另d ) j d 以标注和致谢中所罗列的内容以外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安石油大学 或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：盎壑 日期：垫进墼垒5 鱼 学位论文使用授权的说明 本人完全了解西安石油大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在 校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安石油大学。学校享有以任何方法 发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校后发表或使用学位 论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为西安石油大学。 论文作者签名：鲢 导师签名：i 圣盘： 日期：避垦5 整蚋 l q 期：z 塑士釜蟠必 第一章绪论 第一章绪论 1 1 阵列方位侧向测井仪器研究现状 普通电阻率测井仪器的电极系属于非聚焦电极系，受井眼和邻层的影响 很大，当测量薄层、低电阻率地层以及侵入较严重的地层时，精度会受到影 响。尤其在高矿化度的盐水泥浆井中，供电电极发出的电流大部分被井内高 导电性的泥浆分流，测量结果难以反映地层真电阻率。为了减少这种影响， 道尔 i l ( 1 9 5 1 ) 提出利用聚焦电流控制测量电流路径的聚焦型电阻率测井仪 器，也称为聚焦电极测井。聚焦电极测井包括球形聚焦测井和侧向测井。侧 向测井从三侧向、七侧向、八侧向发展到双侧向，已成为电阻率测井的基本 仪器。 道尔在1 9 5 1 年提出侧向测井，2 1 年后出现了双侧向测井，双侧向是深 侧向与浅侧向的组合。发展双侧向的目的，一是要使深侧向探测深度更大， 而浅侧向探测深度适中；二是在实现这些要求时，深、浅侧向的其它特性又 相同或相近【2 l 。仅从仪器和解释技术的角度，有了很大的改进。它与双感应 测井一样，为地层评价提供了重要的信息，已发展成为常规的电阻率测井仪 器。但是双侧向的测量原理一直没有大的改变。从2 0 世纪9 0 年代开始，感 应测井仪器有了重大的发展，也促进了侧向测井仪器的进步和更新。新的高 速采集、高数据传输、高分辨率的侧向测井仪器不断出现，和新型阵列感应 仪器一起，构成了新一代测井仪器的雏形。 进入2 0 世纪9 0 年代以来，感应测井仪器有了重大的发展。但是，就双 侧向测井的某些局限性来说，几乎没有什么明显改进， 从早期开始使用侧向测井以来，如何减少参考电极的影响就一直是研究 人员致力解决的问题，但是，该问题一直未能得到满意的解决，当低电阻层 上覆盖有高电阻厚地层时，对低电阻层深侧向测井读数会明显增大。 双侧向测井仪器的纵向响应的分辨率是另一个人们普遍关心的重要问 题。它的分辨率受井眼大小和侵入的影响，因而不是恒定的。在侵入较浅、 井眼较小的条件下，双侧向的纵向分辨率主要由仪器本身决定。国内外的测 井仪器公司多年来进行了很多改进双侧向仪器的设计以提高它的纵向分辨 些窒尘垫叁堂堕主堂垡堡壅 率工作。一般来说，双侧向仪器的纵向响应的分辨率为o 6 0 9 m ，其测量 电流束的宽度大约为o 7 m ，无法满足对薄层( 0 0 5 0 6 m ) 的探测要求。而 薄层作为一种潜在的储集层，其重要性日益增加，深、浅侧向纵向分辨率的 改进，还不能满足正确评价这类地层的要求。 另外，与感应测井相比，倾斜地层对侧向测井的影响要小得多，但双侧 向测井穿越倾斜地层边界时，对视电阻率仍有显著影响。 围绕井轴的定向电阻率测量能对地层倾角进行校正，但是，其纵向分辨 率低。因此，研究者们把高分辨率的成像仪器和定量测量电阻率的方法结合 在起，形成了方位电阻率成像仪。 1 9 9 2 年，斯仑贝谢公司的戴维斯【l 】等由常规双侧向测井仪器演变出新一 代侧向测井仪器一方位电阻率成像仪( a z i m u t h a lr e s i s t i v i t yi m a g e t o o l ，a r i ) ，在双侧向卡屏蔽电极的中部增加一个方位电极阵列，以测量井 周围1 2 个方位的定向电阻率值，同时保留了双侧向测量。a r i 采用硬件聚 焦、有源测量方式，改善了仪器的纵向分辨率，实现了电阻率的三维测量。 在实际测井应用中，电阻率测量仪器很少单独运用，都是进行组合测井， 包括自然电位、不同探测深度的电阻率测量、孔隙度测量等。更完整和更复 杂的组合导致下井仪器变长2 0 m ，甚至接近3 0 m 。把仪器这样组合的优点是 可以通过减少测井次数来提高测井效率，但是安装或拆卸如此长的仪器，会 降低测井速度。 高分辨率方位侧向测井( h i g hr e s o l u t i o na z i m u t h a ll a t e r o l o gs o n d e ， h a l s ) 仪器就是为了克服上述缺点而设计的。其电极系仍基于双侧向测井仪 器，中心增加方位电极阵列，仪器工作是基于许多独立的和同时的测量方式， 由软件合成输出较高分辨率的具有不同探测深度的标准深、浅侧向测井曲 线。在仪器中心的无源方位阵列同时提供深和浅模式的地层电阻率成像。 无论是方位侧向还是高分辨率方位侧向，虽然提高了纵向分辨率，但是 在径向对侵入特性的描述仍显不够，与双侧向相比，并没有显著的改进。斯 仑贝谢公司自2 0 世纪9 0 年代初设计出阵列感应测井仪器以后，感应测井仪 器目前己逐步进入实用阶段。1 9 9 8 年c h e n 【3 】等报道了一种阵列侧向仪器的 曲安石油大学硕士学位论文 设计和数值模拟结果( c h e n ，1 9 9 8 ) ，设计了一个主电极、三对屏蔽电极和两 对监督电极，仅比双侧向多了一对屏蔽电极，它是靠通过改变两对监督电极 电位的比值获得不同响应特征的测井曲线。而斯仑贝谢公司1 9 9 8 年推出的 阵列侧向( h i g h r e s o l u t i o nl a t e r o l o ga r r a y ，h r l a ) 类似于阵列感应，采用 多个聚焦线圈系组合，由一个主电极、六对屏蔽电极和六对监督电极。并设 计出试验仪器用于现场测井，加快了阵列侧向的实用进程。研究和应用结果 表明阵列侧向能够同时给出5 6 条不同探测深度的测井啦线，与双侧向测 井响应相比，阵列侧向具有纵向分辨率高、径向探测信息丰富等优点，可以 给出更加丰富的侵入带信息和地层真电阻率，除浅探测深度的响应以外，视 电阻率受井眼的影响较小，尤其适用于薄层测井和测量井周围非均匀地层的 性质，明显改善了双侧向测井的响应特性。 目前，国内在侧向测井的研究有了新的发展。最近，西安石油仪器总厂 提出了一种全新的侧向测井仪器阵列方位侧向测井仪器，由多个有限长 电极构成阵列侧向，使其具有多条不同探测深度曲线。中间增加贴井壁的四 个方位侧向测井电极，以解决井眼影响问题。该仪器在工艺上可能比较难于 实现，所以四个贴井壁的方位侧向电极仍要位于仪器中心。 1 2 阵列方位侧向测井数值计算 1 2 1 数值计算的方法 随着测井技术的不断发展，测井仪器的设计和测井解释都离不开测井过 程的数值模拟技术。对于轴对称地层，静电场电位作为径向和轴向坐标的函 数，满足拉普拉斯方程。当径向上存在井眼、侵入带等边界，在纵向上存在 水平地层边界时，方程无解析解。迄今为止，解决这类问题的常用数值计算 方法是有限差分法、有限元素法、积分方程法或混合法( 用数值方法处理径 向方向的变化，用解析方法处理轴向方向的变化) 。 有限差分法【4 1 ( f d m ，f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ) 的基础是对求解区域 内每一个节点上偏微分方程的泰勒级数近似。将连续的场域离散成一些以节 点为核心的小区域，对偏微分方程的微分格式进行近似处理，并考虑边界条 件和交界条件的约束，获得一组以节点变量为未知数的代数方程，进行求解。 西安石油大学硕士学位论文 一般地这些小区域为长方形。对于场域内变量变化急剧的边值问题，要求网 格划分比较密集，这便限制了有限差分法的应用范围。此外，有限差分法必 须对所有的边界条件和交界条件进行算法处理，特别是对复杂的边界和场域 内各种介质的交界的处理有一定的困难，也难于实现自动处理方式。 基于伽辽金或变分原理的有限元法( f e m ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ) 将 由偏微分方程表征的连续函数所在的封闭场域划分为有限个小区域，每一个 小区域用一个选定的近似函数来代替，于是整个场域上的函数被离散化，由 此获得一组近似的代数方程，并联立求解，以获得该场域中函数的近似解。 有限元法最主要的特点是根据该方法编制的软件系统具有较强的适应性，通 过前处理过程能有效地形成方程并求解，它能方便地处理非线性介质特性。 其主要缺点是对于形状和分布复杂的三维问题，由于其变量多和剖分要求 细，往往因变量内存而受限制，特别是包含开域自由空间的计算问题，其建 模及求解比较困难。 有限差分法和有限元法是基于边值问题的微分形式方程的离散化数值 处理，而积分方程法及边界元法则是在边值问题的积分形式方程的基础上建 立起来的。由于积分方程表征形式仅与产生电磁分布场域中的场源有关，因 此在做数值化处理过程中，只需考虑场源区域的离散。 积分方程法( v i e m ，v o l u m ei n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d s ) 的基础是麦克 斯韦方程的积分形式，通过对场中源区的离散，便可获得对应的代数方程、 并数值求解。然后，在根据毕奥萨伐定律求解场域中每个点场量的数值。 由于该方法本身的特点，积分方程法对于线性问题具有较高的精确度。特别 适合于开域情况。并且由于仅需对场源及非线性区进行剖分，因此，工作量 也较小。但是，对于非线性问题，其计算量较大。 混合法( h y b r i dm e t h o d s ) ，即是在包含非线性介质和复杂区域边界及交 界的场域内采用有限元法求解，在其余区域，特别如开域部分采用边界元法 求解。它综合了这两种方法的优点，也使有限元法的应用范围得以进一步扩 大，即适应了开域问题的求解。 i 2 2 侧向测并数值计算研究现状 西安石油大学硕士学位论文 除了均匀或简单地层中的电位电极或梯度电极直流井有解析解外，聚焦 形成的侧向测井没有严格的解析解。因而必须求解稳恒电流场的m a x w e l l 方程，通常化为l a p l a c e 偏微分方程。求解这类方程，除差分法外，最有效 的就是有限元法。当不考虑地层电阻率的方向特性时，通常将地层看作水平 多层和径向多层组成且关于井眼旋转对称，这是一个2 5 维数值计算问题。 已有众多学者对双侧向测井，球形聚焦测井等响应进行了研究。1 9 8 6 年， z h a n g 应用有限元模拟了侧向测井仪器：1 9 9 2 年，l i 和s h e n 模拟了球形聚 焦测井；1 9 9 3 年，l o v e l l 更加深入地研究了有限元在测井模拟上的应用。 当考虑方位侧向测井时，是一个三维有限元问题。到目前为止，应用有 限元方法对三维问题的求解涉及的比较少。虽然微球形聚焦测井响应的数值 计算是利用有限元方法解决三维问题，但是其地层电阻率仅仅在径向上有变 化，在水平和角度上未有变化。本文研究的是阵列方位侧向测井响应数值计 算，它应用有限元方法计算三维测井响应，其地层电阻率在径向、水平和角 度上均有变化。 1 3 本文的主要研究工作 阵列方位侧向测井仪器是一种全新的测井仪器，它同时具有阵列侧向多 探测深度曲线和方位侧向测量方位电阻率的优点。 本课题研究阵列方位侧向测井响应的数值计算技术，完成数值计算软 件，它将用于分析侧向工作方式和方位侧向工作方式时的测井响应，同时可 计算仪器常数，分析井眼影响，制作井眼、围岩、侵入等校正图版，分析仪 器的性能特点。本课题的完成将从理论上提供仪器参数设计的正确性和将来 仪器实际测井的性能特点的预测，同时为仪器实际测井分析提供强有力的工 具。主要将完成以下几项内容： ( 1 ) 建立阵列方位侧向测井数学模型； ( 2 ) 推导阵列方位侧向测井三维有限元计算公式； ( 3 ) 编程实现旋转对称地层时的三维有限元计算程序； ( 4 ) 分析阵列方位测井中仪器的响应特性。 1 4 课题来源与背景 萌安币i 油大学硕士学位论文 珏安石油勘探仪器总厂研究所( 现为中国石油集团测井有限公司) 承 担中国石油天然气集团公司项目“阵列方位侧向仪器研究”，需要对阵列方 位侧向仪器响应进行计算，以便分析该仪器的性能特点。为此，委托我们 设计阵列方向侧向测井响应数值计算程序。 第二章有限元方法在电法测井中的应用 第二章有限元方法在电法测井中的应用 有限元方法是在结构问题矩阵分析方法的基础上迅速发展起来的一种 有效的数值计算方法。它在建筑、航空、造船、机械等部门中得到了广泛的 应用，现在的应用范围已遍及电磁场及流体力学等各个领域。在不少情况下， 它比有限差分法有许多明显的优点。本章主要介绍有限元方法在电法测井中 的应用。 2 1 测井环境 对于裸眼井，测井结果受测井仪器所处的井眼附近测井环境的影响。当 钻井穿过地层时，钻井泥浆在井眼和原状地层之间压力差的作用下，会向地 层深处渗透。当泥浆滤液侵入孔隙性和渗透性地层时，井眼周围岩石孔隙中 的流体会被侵入的钻井泥浆滤液所取代，形成侵入带，而同时在井壁上附着 一层泥浆过滤后的沉淀物即泥饼。在水平方向上，泥浆滤液形成的侵入带又 可细分为冲洗带和过渡带，过渡带以外的未受侵入的地层为原状地层。图 2 - i 示意出井眼附近的地层剖面图。 阏冒 !嚣i ii i 阌地层 冲洗带过渡带 图2 1 井眼附近的地层摸翌 在紧靠井眼的部分，原始地层水的大部分和一部分烃将被泥浆滤液冲洗 掉，这个区域称为冲洗带。如果冲洗彻底，它仅包括泥浆滤液；若地层原来 饱含烃，则仅包含残余的烃和泥浆滤液。靠近井眼的冲洗带中原来的地层水 都会被泥浆滤液置换掉，因此，过渡带和原状地层相比，冲洗带的油气饱和 度最小。 在冲洗带和原状地层之间是过渡带，是由于泥浆滤液侵入形成的。在过 渡带内，地层流体被泥浆滤液的替代越来越不彻底，其含水饱和度可能会变 些窒生! 垫盔堂堕主! ! 垡笙壅 化。对于水层，含水饱和度没有变化，只有水的电阻率或含盐量有变化。对 于含油气层，含油气饱和度在冲洗带内减少，而在过渡带内要增加，直到变 成原状地层的原始饱和度。含水饱和度沿水平径向方向的变化与充满孔隙的 流体电阻率变化结合起来，就形成了电阻率侵入剖面。 冲洗带与过渡带的范围和深度取决于许多参数，如钻井泥浆的类型和特 性、地层孔隙度、地层渗透率、井眼和原状地层之间压力差、地层钻开后被 泥浆浸泡的时间等。 在沿井轴方向上，目的层上下端可能存在围岩，它们和井眼、侵入带一 样，也会对测井产生影响。 一般可以通过合理设计测井仪器来减少井眼及围岩的影响，而通过使用 几种具有不同探测深度的测井仪器来消除泥浆侵入的影响。 此外，仪器偏心、地层非均匀性、各向同性、斜井、水平井等等因素， 都会影响测井结果。所以，测井仪器所处的环境是很复杂的，为了适应各种 不同的现场情况，测井仪器的研制和计算方法都经历了一个不断发展和进步 的过程。 2 2 侧向测井原理 与非聚焦的普通电阻率测井电极系结构不同，侧向测井是将电流侧向注 入地层，采用聚焦电极系，在中央的主测量电极两侧加上两个聚焦电极，强 迫测量电流在垂直于仪器轴线的方向上流动；同时，在电极系上增加屏蔽电 极，保持电流分布有恒定的形状。 聚焦电极测井仪器包括球形聚焦测井和侧向测井仪器。侧向测井又包括 三、七、八、双、邻近侧向等，其中以双侧向测井应用最广泛。下面以双侧 向为例，来说明侧向测井的原理。 双侧向测井电极系由镶嵌在圆柱棒上的9 个电极组成：一个主电极4 。， 两对监督电极m 。，m ；和m ：，m ；，两对屏蔽电极a ，“i 和a ：，a ：。以主电 极为中心，每一对电极相对4 电极对称地排列，并且每一对电极之间相互短 路相连( 图2 2 ) 。 双侧向测井分深侧向和浅侧向。在进行深侧向测井时，主电极a 。发出 8 萌安石油大学硕士学位论文 的电流为j 。屏蔽电极4 。和名：发出的总电流小屏蔽电极a ：和彳；发出的总电 流为，：。其中，。是给定的常数，。和，：是待定的，要通过仪器的自动调节， 使得满足下列两个条件来确定 u ( a i ) = r u ( a 2 ) u ( m 】) = u ( m 2 ) ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) 图2 2 双侧向电极系及电流搋向图 式中，u ( a 。) 和u ( a ：) 分别为屏蔽电极a 和一：的电位，y 为常数，u ( m 。) 和u ( m ：) 分别是监督电极m ，和m ：的电位。在进行浅侧向测井时，主电极凡的电流为 ，。，屏蔽电极a 。和a ：发出的总电流为厶，电极：和彳：变成回路电极，总电流 为j ：= 一厶一，。其中。是给定的常数，厶是待定的，要通过仪器的自动调节， 由( 2 2 ) 式的条件来确定。电流流向图见图2 2 。无论深侧向还是浅侧向， 需要测量的都只是任一监督电极上的电位值，记为u 。，视电阻率r 。由下式 确定 耻k 等( 2 - 3 ) r 。是井周围介质电阻率数值的综合反映，式中的k 为电极系系数，用来反映 仪器的结构、形状及尺寸对r 。的影响。 2 3 侧向测并的电磁场理论基础 堕窒互垫奎堂堕主堂堡笙茎 求解侧向测井的数值响应问题是一个电磁场求解问题。电磁分析问题实 际上是求解给定边界条件下的麦克斯韦川( m a x w e l l ) 方程组问题。 麦克斯韦方程组是支配所有宏观电磁现象的一组基本方程。 a 积分形式 护扯p 争舔( 2 - 4 ) 西一舞蕊( 2 - 5 ) 和心= 0( 2 6 ) 西蕊= l p d 矿 s r ( 2 - 7 ) 式中： 豆= 电场强度( 纠m ，伏特米) 西= 电通量密度( c m 2 ，库仑米2 ) 疗= 磁场强度( a m ，安培米) 雪= 磁通量密度( 肋肺2 ，韦伯米2 ) 7 = 电流密度( a i m 2 ，安培米2 ) p = 电荷密度( c m 3 ，库仑米3 ) 这四个方程就称为麦克斯韦方程组的积分形式，常常将它们按顺序地称 为麦克斯韦第一、第二、第三和第四方程。第一方程称为全电流定律，第二 方程称为电磁感应定律，第三方程称为磁通量连续性原理，第四方程称为高 斯定律。 b 微分形式 利用矢量分析中的高斯定理和斯托克斯公式，可以写出对于一般的时变 场，微分形式的麦克斯韦方程组 v 。厅：7 + 丝( 2 8 ) 西安斫油大学硕士学位论文 v 。五：一塑 ( 2 9 ) a t 7 v 云= 0 ( 2 - i 0 ) v b = p( 2 一i 1 ) 这四个方程就称为麦克斯韦方程组的微分形式。上列微分形式的麦克斯 韦第一、第二、第三和第四方程亦分别称为全电流定律、电磁感应定律、磁 通连续性原理和高斯定律的微分形式。 当媒质为各向同性的线性媒质时，麦克斯韦方程组中的诸矢量满足下列 构成关系式 西= 堙( 2 - 1 2 ) 西= 旃( 2 1 3 ) 7 = 葫( 2 一1 4 ) 式中，占，和盯分别表示媒质的介质常数、磁导率和电导率，统称为媒质的 特性参数。 在时变电磁场中，除了麦克斯韦的四个方程外，电流连续性方程也是 个十分重要的基本方程。人们常常将麦克斯韦方程组加上电流连续性方程一 起视为时变场的基本规律。这条定律的积分形式如下 j 了衣一詹d 矿 ( 2 利用高斯散度定理，可以得到电流连续性方程的微分形式 v 歹：一o p( 2 - 1 6 ) 甜 c 电磁场边界条件 ( i ) 不同媒质分界面的边界条件 在实际电磁问题中，场域空间往往存在多种媒质( 例如真空、介质、导 体等) ，即存在不同媒质的交界面。在这些交界面上，特性参数“盯发生突 变，导致某些场量也跟着发生突变。因而微分形式麦克斯韦方程在这些交界 面上不便于使用。必须应用麦克斯韦方程组的积分形式来寻找场量在不同媒 _ 曲安石油大学硕士学位论文 质交界面上满足的边界条件。麦克斯韦方程组共有四个方程，一个方程可以 导出一个边界条件。 设a 为两种不同媒质的分界面，这两种介质的特性参数分别为毛，“和 “肛，；z 上的单位法线矢量方向设定为由媒质2 指向媒质l 。在界面。4 附 近取一个很小的矩形回路，它的两个长为f 的边与a 平行，另两个长为a h 的边与a 垂直，其环绕方向如图2 3 所式。 7 e l ，q i 日，i7a il a h ，、 |， g ：，鸬e 2 ，皿么二 i 在回路，上应用麦克斯韦第一方程并令 趋于零，得 咖旧, a i - h 2 t a i ，= 咖b 。出厅+ i ( 刮。叫 式中下标。表示矩形回路所构成小面积的法线方向的单位矢量a 由于场量 为时间的连续函数，吲为有限值，若界面a 上没有传导面电流，则有 h 一h 2 f = 0 或 h ，= h 2 。 ( 2 1 7 ) 当丰0 时，若在界面a 上存在传导面电流，其密度为了。，则式( 2 1 7 ) 需改写成为 h i ，一h 2 。= ，s ( 2 一z 8 ) 根据类似的分析，可得场量豆满足的边界条件为 西安石油大学硕士学位论文 e l ，= e ：，( 2 - 1 9 ) 这里，下标“t ”代表相应场矢量在分界面a 上的切向分量。 为了推导出画和西的边界条件，在界面一附近取一个小圆柱s ，它的两 个底面与4 平行，面积均为a s ；它的侧面与4 垂直，高度为a h ，如图2 4 所示。 彳j ，b ， 0 鬈、墨么：k 、 蕊i 髟匕。彳。t ：一 图2 4b 和d 的边界条件 在圆柱面s 上应用麦克斯韦的第三方程并令a h 趋于零，得 b 。= b ：。 ( 2 2 0 ) 根据类似的分析，若界面4 上不存在自由面电荷，可得场量西满足的边 界条件为 d l 。= 皿。 ( 2 2 1 ) 这里，下标“n ”代表相应场矢量在分界面a 上的法线分量。 当 斗0 时，若在界面a 上存在自由面电荷，其密度为风时，式( 2 2 1 ) 应改写为 d 1 。一d 2 。= p 。 ( 2 2 2 ) 由电流连续性定理有 ，。= ，2 。 ( 2 2 3 ) 在最一般的情况下，不同媒质分界面上的电磁场边界条件可以用矢量形 式表示为 疗( 雷。h ：) = 五 ( 2 2 4 ) h x ( e 4 。一豆：) = 0 ( 2 2 5 ) 西安石油大学硕士学位论文 卉( e b 2 ) = 0( 2 - 2 6 ) ( d i d ：) = p s( 2 - 2 7 ) 自( ，l j ：) = 0( 2 - 2 8 ) 式中，是表示分界面法线单位矢量，方向由媒质2 指向媒质i 。 ( 2 ) 理想导体表面的边界条件 设a 为理想导体( 盯= o o ) 和理想介质( 口= 0 ) 的分界面。在理想导体内部， 电导率盯= m ，时变电场e 必然处处为零。另外，在理想导体内部，时变磁 场和时变传导电流也处处为零。 在实际的金属导体中，时变的传导电流和自由电荷将趋向导体的表面。 在理想导体的假定下，可以认为导体表面存在时变的面电流和面电荷。设它 们的密度分别为五和风，则由式( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 7 ) 所示不同媒质分界面上的 边界条件变为下列形式 i 厅：1 7 。( 2 2 9 ) 矗营：0( 2 - 3 0 ) 矗画：0( 2 - 3 1 ) i 5 = p s ( 2 - 3 2 ) 2 4 稳定电流电场的微分方程及边界条件 在侧向测井中，发射电流的频率小于i k h z ，相对于地层电导率测量范 围1 0 。1 0 s m 可近似作为稳定电流来处理。 2 4 1 稳定电流电场的基本方程 如果导体中每一点的电荷移动状况都不随时间而变，这种电流称稳定电 流。稳定电流电磁场是场量不随时间变化的场，其各场量仅仅是空间坐标 ( r ，只；) 的函数，而与时间，无关。就得到稳定电流电磁场的基本方程，其分 为三组，即静电场，稳定电场，稳定磁场，其微分形式为 v 雪：0 v 西= 口 v 。曰：了 v 百：0 1 4 两安石油大学硕士学位论文 v j = o 西= 越 吾= 虚 7 ：面 其中只有占，可认为是均匀，线性的，而盯非均匀地层位置的函数。 对于侧向测井，电流在地层中流动，属于恒定电场问题，即求解稳定电场 方程 v x 云= 0 ( 2 - 3 3 ) v 了= 0 ( 2 - 3 4 ) t 7 = o 秀( 2 3 5 ) 而- ( 丘一e 一2 ) = 0 ( 2 - 3 6 ) 而( 工一j 一2 ) = 0 ( 2 - 3 7 ) 2 4 2 电位的微分方程式 在侧向测井问题中，为了计算各种地层参数，制作测井图版，重要的是 确定电场中的电位分布。为此，我们现在来推导电位函数u ( x ，y ，z ) 所应满足 的微分方程。 由v 盂：0 可引入蠢；一v u ( “是电位) ，将它代入了= 面，进一步代入 ( 2 - 4 2 ) 式，得 v ( 田“) = 0 即 昙( 盯，+ 导( 盯雾) + 鲁( 伊0 出5 = 。( 2 - 3 8 ) 其中仃是z ，y ，：的函数。又因为o - = 上，则 昙c 吉罢，+ 导咕考，+ 鲁咕参= 。( 2 - 3 9 ) 这就是稳定电流电场中的电位函数“= ”( x ，y ，力所满足的微分方程式。在电法 测井中，为了简化地层模型，通常将地层电阻率在不同的区域中取不同的常 堕至兰! 些查堂堡主堂篁堡苎 数值，亦即p 是分块常数的函数。因此，在每一电阻率取常数值的区域( 例 如侵入带、围岩等等) 中，由于相应的电阻率p ：常数，由( 2 3 9 ) 式，电位 函数群所满足的微分方程化为 “= 窘+ 窘+ 鲁：( 2 - 4 0 ) 0 “= _ + _ + - 2 缸2西2勿2 这个方程不仅在电法测井中，而且在很多数学物理问题中都有极为重要的意 义，通常称为拉普拉斯方程。 2 4 3 交界面条件 必须指出，方程( 2 3 8 ) 或( 2 3 9 ) 只在每一个电阻率为常数的区域内部 成立，而在电阻率取不同数值的两个区域的交界面( 例如侵入带与围岩的交 界面，泥饼与侵入带的交界面等等) 应有交界面条件，使交界面两侧的电场联 系起来成为一个整体。 与一般电磁场相同，在稳定电流形成的电场中，不同媒质的分界面上满 足e ，= e ：，所以沿着边界有 l e u d l = 豇d l 即 “f = “2 式( 2 - 4 1 ) 表明，在不同媒质的分界面上， 了= 面= 田“代入 。= j ：。得 锄i 一 抛2 0 1 蔷2 0 i 蔷 ( 2 - 4 1 ) 电位分布总是连续的。另方面将 ( 2 - 4 2 ) 式( 2 4 1 ) 和( 2 - 4 2 ) 构成稳定电场电位的交界面条件。进一步与方程 v f 毋“) ：0 构成用电位描述的稳定电场满足的方程组。 2 4 4 边界条件 仅仅有偏微分方程( 2 - 3 8 ) 或( 2 3 9 ) 还不足以完全确定电场中的电位分 布，因为满足方程( 2 - 3 8 ) 或( 2 3 9 ) 的函数可以很多。所以，为了确定电流电 场中的电位分布，除了微分方程( 2 3 8 ) 或( 2 3 9 ) 外，还须有边界条件来补充， 由电磁场的边界条件，可以推导出在侧向测井中遇到的边界条件，通常有以 1 6 一 堕窒至垫查堂堡主堂垡堡墨 下几种： ( 1 ) 第类边值问题。给定待求位函数在整个场域边界面上的值 1 , 1 = 0 )( 2 - 4 3 ) ，( s ) 为边界点s 的函数。这类问题也称为狄里赫利问题。 ( 2 ) 第二类边值问题。给定待求位函数在场域边界面上的法向导数的线 性组合，即 婴：厂( s ) 册 这类问题也称为纽曼问题。 ( 2 - 4 4 ) ( 3 ) 第三类边值问题。给定待求位函数在场域边界面上的函数值及其法 向导数的线性组合，即 “+ z ( s ) 学= 厶( j )( 2 4 5 ) 这一类问题又称为混合边值问题。 2 4 5 等位面边界条件 在区域的某一部分边界r f 是由金属导体( 例如电极) 构成时，具有这种形 式的边界条件。这时金属导体表面的电位值虽然在求得电位分布前是未知 的，但导体各点的电位应该相等，根据电磁场的边界条件即有 甜l 。= c o n m ( 常数)( 2 - 4 6 ) 此外，通过电极所发射的电流j 是已知的。在等位面r 上除了条件( 2 4 6 ) 外， 尚有如下的补充条件： 卜f f 7 峦2 黠嚣由( 2 - 4 7 ) 我们通常把( 2 4 6 ) 、( 2 - 4 7 ) 式称为等位面边界条件。 2 5 变分原理 上节我们讨论了稳定电流电场的微分方程及边界条件，在这一节中推 导三维有限元的一般性变分公式及证明第三章将要用到的变分原理。 2 5 1 边值问题 堕窒至塑盔堂堡主堂笪堡苎 电位边值问题可以抽象为下列二阶微分方程所定义的边值问题 一妄( 敛罢 一导( 号 一昙( 哎暑) + 肋= 厂 c t y 力qc 2 4 8 ， 相应的边界条件为 = p在r 上 ( 2 4 9 ) 以及 f 吼熹i + 口，豢多+ 吒i o u 1 疗+ 川：q 在r 2 上( 2 5 0 5 0 ) i 吼面h 口，面1 y + 吒i 2 p + 川2 q 征r 2 上( 2 一 式中，r ( = r l + r 2 ) 表示包围体积q 的面，五是该面的外法向单位矢量。如果口，、 a ，和吒在q 内不连续，并假设在不连续界面上没有任何类型的面源，则“满 足连续性条件 ”+ = “一 在n 上( 2 - 5 1 ) 以及 卜等量叫等多q 警；卜 ：f 口；- 乩e - 量+ 口i i a i , i - 多+ 口；誓；1 自 在l 上。5 2 ) ( 2 - 5 2 2 卜h q 百”吼i 2 p 仕一上 式中，l 表示不连续界面；上标“+ ”表示观察点从“+ ”侧趋向于r d ；而 上标“一”表示观察点从“一”侧趋向于l ；庙表示& 的单位法向矢量。 2 5 2 变分公式 e 面定义的边值问题等价于下列变分问题 勋( “) = o在r l 上 l “2p 式中 吣，= 丢嫩势蚓2 也( 罢) 2 卜 + 。k u 2 - q u ) d s f u d v ( 2 5 3 ) 些塑型型些塑笙奎 注意：若存在不连续界面，则必须用连续条件( 2 5 1 ) 补充( 2 5 3 ) 。但是，这种 警续性条件在有限元展开中总是事先得到满足，因此，在( 2 5 3 ) 式中通常忽 略( 2 - 5 1 ) 式。 首先，取中( “) 对“的第一变分，得到 硒c “，2 研口。( 罢) ( 警 + 盘， 雾) ( 警) + 甜： 詈 ( 剖+ 肛赢卜 + l 灿一q ) 涮s 一妣胁d v眨一5 5 ) s r 然后，引入恒等式 ( 教警) = * 罢面) 一* 。罢) 卜 睁5 6 ， a ，( 考愕 = 如考面 阱，钟 吲 口： 詈) ( 警) = 如詈寸曙( q 詈) 函 5 8 ， 以及高斯定理( 假设哎、口，和a ：在整个区域上连续) 甄豢+ 詈+ 警p = 舒碾+ 醪+ 腑m 凼 ( 2 咖， 则( 2 - 5 5 ) 式可写成 勋c “，= 甜一昙( q 昙) 一昙( q 考 一去( 吒老) + 伽一，卜咖 + 孰 吒詈“q 万o u 多埘：面o u ；) 瞄出 + 妙州一a ，鼬 c 2 6 。， 因为“在s 上的值固定，国沿s 。为零，所以，在s 。上的相应积分为零。因此， ( 2 - 6 0 ) 式可写成 徘，= 哑一* 昙) 一如考 一* 詈) + 伽一卜 1 9 豳安石油大学硕= _ = 学位论文 + 虹卜，罢量+ q 雾多+ 口：暑； 二+ 一。卜凼 c 2 6 - ， 最后，强加驻点条件得到 班一昙( 吣罢 一号( q 嚣 一亳( a ；老) + 肛一厂卜咖 + 虹( 哎瓦o u t + q 雾多+ 暑；) 晡+ 烨一g 卜出= 。 c 2 6 2 ， 为了使( 2 - 6 2 ) 式对所有容许的变分痂均成立，则体积分和面积分必须分别为 零。结果得到 砸一昙( 吼罢) 一参( q 雾) 一鲁( 口：暑) + 肛一，卜咖= 。 c 2 6 3 ， 躲- aq 吼纠h + y u - q a i u 在s ：上 ( 2 6 4 ) 显然，它们分别是( 2 - 4 8 ) 式和( 2 - 5 0 ) 式。在这个问题中，( 2 - 4 9 ) 是必要边界 条件，它必须用显式方法强加上；而( 2 - 5 0 ) 式自然边界条件，它能自动且隐 含地满足。 在应用高斯定理( 2 5 9 ) 式时，己假设吒、吼和口：在整个区域上连续。 但是，如果q 、吼和哎存在不连续或突变，我们首先可将整个区域分成数 个子区域，使、q 和哎在每个子区域中连续，然后再对每个子区域应用 散度定理。更具体一些说，让我们考虑由界面l 分开的二个子区域的情形。 按照上面列出的步骤，我们得到( 2 - 6 2 ) 式，其在左边具有下列两个附加积分： 颤口：等“n ；等多枷；警。 石甜出 双口：等“口；等萝懈；等；j 哺矿出 q _ 6 酌 式中，i + 表示r d 的法向单位矢量，其方向从“+ ”侧指向“一”侧；h - 表示 与h + 蜃向的单位矢量。因为( 2 - 3 2 ) 式要求中在l 两侧连续，面+ ：函一，因此， 陌安石油大学硕士学位论文 ( 2 - 4 6 ) 式可写成 舡( 口：等量叫等多嵋等；卜 + 卜等“口j 等多协；等；h 统出= 。+ 卜i h q i i 。瓣划 ( 2 - 6 6 ) 因为面是任意变分，所以，除了( 2 6 3 ) 式和( 2 - 6 4 ) 式以外，我们还可得到另 一自然条件 ( 口：等量q 等萝q 等；弘+ ( 口：等量坞等多垣等。卜= 。 ( 2 - 6 7 ) 上式在变分过程中自动满足，它也就是连续性条件( 2 - 5 2 ) 式。在这种情况下， ( 2 - 5 1 ) 式必须显式强加的必要条件。 我们最后指出：无论吒、口，、口：、和y 是复数还是实数，上式均成立。 如果这些参数都是实数，那么可以用另一泛函 ，= 圭驯口；f 剖2 + a ，1 割2 + 口：1 割2 + 卢川2i 咖 + 吾j f ( y h 2 一q “一q + 甜) 凼一i 1f f f ( ，+ “+ a ) 咖( 2 - 6 8 ) 2 5 3 变分原理 从2 1 节可知，为了决定电位函数“= “( t 弘z ) ，需要在某一求解区