（基础数学专业论文）对量子逻辑若干问题的研究.pdf

摘要 量子理论是2 0 世纪最伟大的科学成就之一伴随着量子理论公 理化问题而发展起来的量子逻辑理论，有悠久历史和丰富内容本 文研究了近十年来发展起来的用于描述不可精确测量量子现象的效 应代数理论及相关问题，主要结果是： 1 效应代数描述的是具有交换性的量子系统，我们借助于差运 算的思想研究了不可交换的量子逻辑结构，建立了左差、右差、伪 差偏序集、双差集等概念，证明了伪差偏序集与伪效应代数等价， 并得到了双差集的幺半群表示定理 2 理想和滤子是量子逻辑中的两个重要概念，由于量子逻辑有 自身的代数结构和序结构，因此有多种意义下的理想和滤子概念 我们界定了这些概念间的联系和差别，并给出其刻划我们的结果 是：伪效应代数的理想、广义理想、局部理想等价，滤子、局部滤子 等价 3 由于格效应代数既有格结构，又有效应代数结构，一个自然 问题是：格意义下的理想和滤子与效应代数意义下的理想和滤子一 致吗? 我们部分解答了这个问题，即格滤子真强于效应代数滤子； 每个格理想都是效应代数理想当且仅当格效应代数是正交模格 4 为了建立效应代数上的s t o n e 理论，我们研究了理想的扩张 问题和理想的单点扩张之间的关系问题 5 建立量子逻辑的内蕴拓扑是一个困难而重要问题，我们以效 应代数的理想为工具，借助于一致结构理论，得到了效应代数上的 理想拓扑最近研究表明，这是效应代数上的一个具有良好性质的 拓扑结构 6 测度论，特别是量子测度论是量子理论的重要研究课题，我 们给出了o - 一代数的一个表示定理，并在一类效应代数上改进了著名 的b r o o k s j e w e t t 收敛定理 a b s t r a c t q u a n t u mt h e o r yi so n eo ft h eg r e a t e s ta c h i e v e m e n t si nt w e n t i e t h c e n t u r y a n da ni m p o r t a n tt a s ki nq u a n t u mt h e o r yi st of i n dt h ea x i o m so fq u a n t u m t h e o r y t od ot h i s t h e8 0c a l l e dq u a n t u ml o g i ct h e o r yw 龉c o n s t r u c t e d q u a n t u m l o g i ch a sal o n gh i s t o r y ，a n dt h e r ew e r em a n yr e s u l t so fq u a n t u ml o g i c e f f e c ta l g e b r aw o ni n t r o d u c e db e f o r ea b o u tt e ny e a r s i td e s c r i b e st h e u n s h a r pq u a n t u r am e a s u r e m e n t ，a n dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nq u a n t u ml o g i c t h e o r y i nt h i sp a p e r jw ed i s c u s se f f e c ta l g e b r aa n dr e l a t e dt o p i c s t h em a i n r e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： 1 e f f e c ta l g e b r ai sac o m m u t a t i v ea l g e b r a i cs t r u c t u r e t og e tan o n c o m m u t a t i v ea l g e b r a i cs t r u c t u r e ，w ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fl e f td i f f e r e n c e a n dr i g h td i f f e r e n c e a n dw ea l s oi n t r o d u c e dt h ec o n c e p to ft h eb i - d i f f e r e n c e s e t s ，t h ec o n c e - p to fp s e u d o - d i f f e r e n c ep o s e r ，a n dp r o v e dt h a tp s e u d o - d i f f e r e n c e p o s e ti se q u i v a l e n tt op s e u d o - e f f e c ta l g e b r a w e a l s og e tar e p r e s e n t a t i o n t h e o r e mf o rb i d i f f e r e n c es e t s 2 i d e a la n df i l t e ra r et w oi m p o r t a n tc o n c e p t si nq u a n t u ml o g i c f r o m t h eo r d e rs t r u c t u r ea n da l g e b r a i cs t r u c t u r e so fe f f e c ta l g e b r a ，t h e r ea r em a n y d e f i n i t i o n so fi d e a l sa n df i l t e r s w eg i v et h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h e s ec o n - c e p t s w ep r o v e dt h a ti np s e u d o - e f f e c ta l g e b r a ：t h ef i l t e r sa n dl o c a lf i l t e r sa r e e q u i v a l e n t ，i d e a l sa n dl o c a li d e a l sa n dg e n e r a l i z e di d e a l sa r ee q u i v a l e n t 3 i fe f f e c ta l g e b r ai sa l s oal a t t i c e ，w ec a l li tt ob el a t t i c ee f f e c ta l g e b r a s i n c el a t t i c ee f f e c ta l g e b r ah a sa ne f f e c ta l g e b r as t r u c t u r ea n da l s oal a t t i c e s t r u c t u r et h e r ea r ed e f i n i t i o n so fi d e a la n df i l t e ri nt h es e n s eo fl a t t i c ea n d i d e a la n df i l t e ri nt h es e n s eo fe r i e c ta l g e b r a s oaq u e s t i o na r i s e s ：a r et h e s e d e f i n i t i o n sc o i n c i d i n g ? w ep a r t i a l l ys o l v e dt h i sp r o b l e m ，w eg e tt h a t ，f o rl a t t i c e e f f e c ta l g e b r a ，t h el a t t i c ef i l t e ri sr e a l l ys t r o n g e rt h a ne f f e c ta l g e b r af i l t e r w e a l s op r o v e dt h a t t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ral a t t i c ei d e a lt ob e e f f e c ta l g e b r ai d e a li st h a tt h el a t t i c ee f f e c ta l g e b r ab e c o m e sa no r t h o m o d u l a r 1 a t t i c e 4 ，t ob u i l dt h es t o n et h e o r yi ne f f e c ta l g e b r a w en e e dt os t u d yt h ei d e a l e x t e n dp r o b l e m w ed i s c u s st h eo n ep o i n te x t e n dp r o b l e mo fi d e a l s ，a n dg e t s o m er e s u l t s 3 5 t h et o p o l o g yo fe f f e c ta l g e b r ai sv e r yi m p o r t a n t ，b u ti t i sd i f f i c u l tt o s t u d y w ei n t r o d u c e dt h et o p o l o g yi n d u c e db yi d e a l so fe f f e c ta l g e b r a ，n a m e d i d e a lt o p o l o g y , a n dw es h o wt h a tt h eo p e r a t i o n sa r ec o n t i n u o u sw i t hr e s p e c t t ot h ei d e a lt o p o l o g y w ef i n dt h a ti d e a lt o p o l o g yh a sm a n yg o o dp r o p e r t m s 6 m e a s u r e m e n tt h e o r y , e s p e c i a l l yq u a l l t u l am e a s u r e m e n tt h e o r y , i si m p o r t a n ts u b j e c to fq u a n t u mt h e o r y w eg i v ear e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo f 0 - a l g e b r a ，a n di m p r o v et h eb r o o k s - j e w e t tt h e o r yo ne f f e c ta k e b r a 4 第一章绪论 量子逻辑的发展有三个重要阶段：1 9 3 6 年，b i r k h o f f 和v o nn e u m a n n 在美国数学年刊上发表了这方面第一篇重要论文； 1 9 5 7 年， g l e a s o n 证明了h i l b e r t 空间的闭子空间格上的概率表示定理； 1 9 9 4 年，f o u f i s 和b e n n e t t 提出了能描述不可精确测量量子现象的效应代 数概念现在，我们对量子逻辑的历史和发展予以简单概述 1 1 量子逻辑的历史 1 _ 1 1 有关概念和符号 设( e ，墨) 为一偏序集对于任意的a ，b e ，如果它们的下确界 。ab 存在，那么称e 为一个a 半格；对偶地，可以定义v 半格若 ( e s ) 既是a 半格又是v 半格，则称( e ，茎) 为格 设( e ，v ， ) 为一个格，对于任意o ，b ，c e ，如果满足下列分配 律： a a ( b vc ) 一( a ab ) v ( a ac ) ，a v ( b ac ) = ( a vb ) a ( a vc ) 那么称( e ，v ，a ) 为一个分配格 设( e ，v ，a ) 为一个有最大元1 和最小元0 的格，对于d e ，若存 在唯一的b e ，使得o vb = l ：a ab = 0 ，则称b 为a 的补，记为b = 。， 如果( e ，v ，a ) 中任意a 都有补a ，那么称( e v ，a ) 是一个有补格显 然每个有补格( e ，v ：a ) 可以定义一个一元运算：e + e 每个有补 运算的分配格称为是一个布尔代数 如果e 是一个偏序集，并且下面的正交模律成立：当a b ，有 b = o v ( b an ) 那么称e 是一个正交模偏序集 若( e ，v ，a ) 是一个格且是正交模偏序集，那么( e ，v ，a ) 称为是 一个正交模格 设“是一个h i l b e r t 空间，p ) 是m 上的正交投影算子全体 那么p ) 是一个正交模格，这是一类最重要的量子逻辑 1 1 2 量子逻辑 量子逻辑有近8 0 年的研究历史在1 9 0 0 年国际数学家大会上， h i l b e r t 所提出著名2 3 个问题中的第六个问题说的是： 能否象几何一样，用为数不多的几条公理来完全描述整个物理 体系 1 9 3 3 年，k o k n o g o r o v 给出了概率论的公理化定义，即 设q 为一个集合，a 是n 上的布尔代数，若4 上集函数 p ：4 一 0 ，1 满足 1 p ( 0 ) = 0 2 p ( n ) = 1 3 对于互不相交的 a 。a ，如果u 。a 。a 我们有 p ( u 。a ，) = t p ( a i ) 那么称p 是a 上的一个概率 这是一个非常重要的公理化模型，但是k o l m o g o r o v 的概率论却不 能描述象h e i s e n b e r g 测不准原理等量子物理特征1 9 3 6 年，b i r k h o f f 和v o i ) n e u m a n n 发表了影响深远的著名论文”t h el o g i co fq u a n t u m m e c h a n i c s ”( 该文将每个量子力学系统看作h i l b e r t 空间爿上的正 交模格p ( 州) ：而量子力学的中心任务是描述p ( h ) 中元素间的逻辑 关系及其统计行为，即确定下列意义下的量子测度： 设h 为一h i l b e r t 空间，p ：p ) 一 0 ，1 】满足 1 7 p ( o ) = 0 2 p ( n 、= 1 3 对于两两正交的 厶) 。p ( “) ，有p ( u l f ) 一；p ( l i ) 1 9 5 7 年，哈佛大学g l e a s o n 教授成功地给出了上述量子测度的数 学表示，这是一个有广泛应用的深刻结果： 定理1 1 1 阻若爿是一个维数不小于3 的可分h i l b e r t 空间，p 为p ( m ) 上的概率测度，那么存在一个迹类算子t b ) ，使得对每 个p p ( h ) ，肛( p ) = t r ( t p ) 量子逻辑理论以b i r k h o f f 和v o nn e u m a a n 的论文为开始，而g l e a - s o n 定理和1 9 6 8 年v a r a d a r a j a n 发表的专著g e o m e t r yo fq u a n t u mt h e o r y ( 3 5 ) 则极大地刺激了这一理论的发展，随后各种不同目的和特征的 量子逻辑结构，象正交代数、以及描述多值逻辑的m y 代数等相继 产生( ( ； ) 量子逻辑理论发展的第二个繁荣期是上世纪9 0 年代1 9 9 4 年， k o p k a 和c h o v a n e c 引入了一种被称为差偏序集的代数结构( ，该 6 结构第一次将不可精确测量的量子现象引入到量子逻辑理论的研究 中几乎同时f o u h s 和b e n n e t t 独立地给出了一个与差偏序集等价的 被他们称为效应代数的量子逻辑结构( 【8 1 ) 效应代数的特征是其互 相排斥事件的和正交模偏序集、正交代数、m y 代数等经典的量 子逻辑结构都是效应代数效应代数的代表性例子是h i l b e r t 空间咒 上所有小于等于恒等算子的非负有界线性算子全体，简称标准算子 效应代数自从差偏序集与效应代数问世以来，有关它们的推广象 部分a b e l i a n 半群、差集、伪效应代数、伪差偏序集、双差集等也得 到了相应发展( 9 - 3 1 ) 量子逻辑在算子代数、概率论、群论、模糊数学、数理逻辑等 数学的多个分支都有广泛应用，比如，1 9 9 9 年，p u l m a n n o v a 证明了 a fc + 一代数与一类效应代数范畴等价( 【3 2 】) 特别地，量子逻辑对量 子概率论、逻辑代数、量子物理、量子计算机和量子信息有重要应 用( 3 3 5 9 1 ) 1 2 1 基本定义 1 2 效应代数 布尔代数是最重要的经典逻辑按照布尔的原始思想，布尔代 数是一个仅有部分运算的代数系统，即 定理1 2 1 8 设( e ：o ，0 1 ) 为一代数系统，其中e 为一集合， 0 和1 是l 中的两个特殊元，o 是e 上的一个部分二元运算，那么 ( e ，o0 ，1 ) 是布尔代数的充要条件为下列条件成立： 1 交换律：若p q 有定义，则q o p 有定义，并且p o q = q p 2 结合律：若q o r 与p o ( q or ) 有定义，则p oq 与oq ) or 有定义，且p o ( q or ) = ( p oq ) o r 3 正交补律：对每个p e ，存在唯一的q e ，使得p oq 有定 义，且p oq = 1 40 1 律：若1o p 有定义，则p = 0 5 凝聚律：若p oq ，p or ，及q or 都有定义，则( p oq ) o r 有 定义 6 相容律：对所有的p ，q e ，存在a ，b ，c e ，使得b oe 与 a o ( b 0c ) 有定义，且p = a 国c ，q = b oc 7 所谓的效应代数是仅仅满足上述定理前四条性质的代数结构， 即 一 定义阶设( e ，o ，0 ，1 ) 为一代数系统，其中日为一集合，0 和1 是e 中的两个特殊元，o 是e 上的一个部分二元运算，满足： 1 交换律：若p q 有定义，则q p 有定义，并且p q = q o p 2 结合律：若q o r 与p o ( q or ) 有定义，则p oq 与0 0 q ) o r 有定义，且p o ( q or ) = o q ) o r 3 正交补律：对每个p l ，存在唯一的q l ，使得p oq 有定 义，且p oq = i 4 0 1 律：若lo p 有定义，则p = 0 下面我们将介绍效应代数的一些基本性质 设( e ，o ，0 ，1 ) 是一效应代数，p ，qee ( a ) 若p oq 有定义，我们称p 与q 正交且记为p 上q ( b ) 若p 0 且p 上p ，则p 称为e 的一个迷向元 ( c ) 若q 是满足p _ _ q 且p o q 一1 成立的唯一元，那么称q 为 p 的正交 补，记为p 7 我们说效应代数的元a 。，a ：，是可和的或正交的，如果d ：一 a l o 一o n 有定义，并且d o 有定义，记a 1 a 2 ，a 。的和为0 啦 交换律和结合律表明上述和与顺序无关 效应代数的序结构和差运算 下面说明效应代数的部分运算。诱导了两个新的重要概念：序 结构和差运算 设( 刀，o ，0 ，1 ) 是效应代数我们定义偏序为： p sq 当且仅当存在re e ，使得p j _ r 且p or = q 可以证明这个偏序对所有pee ：有0 ps1 若上述偏序是格序， 那么称( e ，o ，0 ，1 ) 是格效应代数；若是全序，则称( e ，o ，0 ，1 ) 是标度 效应代数( | 8 ) 若g 是a b e l i a n 群，g 的子集c 称为是g 的一个锥，如果c + c c 且c n c = f o g 中的锥c 可诱导出g 上的一个偏序，使得x y 当且仅当存在ze c 且z + z = y ，此偏序是平移不变的反之亦然 称a b e l i a n 群g 是偏序的，如果g 上有一个平移不变的偏序关于 偏序a b e l i a n 群与效应代数间的关系，我们有 定理1 2 2 8 1 设g 为一偏序a b e l i a n 群，0 u g ，且l ：= 8 g + 0 ，叫= 幻g0 g 茎札 则可以通过如下定义使( e ，o ，0 ，j ) 成 为一个效应代数： 对任何p ，q e ：p oq 有定义当且仅当p + q l 且p o q ：= p + q 在效应代数e 中，我们有p7 = t , 一p ，且e 上的效应代数偏序与g 上 的偏序在e 上的限制是一致的 定义1 2 3 s 1 具有g + 0 ，“】形式的效应代数称为区间效应代 数 定义1 2 4 【8 】若将r 看作是一个全序的a b e l i a n 群，其上的正 锥就是通常的r + ，则区间代数r + 【o ，1 称为是标准尺度代数 其次，我们引进差运算e 如下： 设( e ，o ，0 ，1 ) 是效应代数，p ，q e ，且p q ，则定义差q e p 为 l 中使得p o ( q e p ) 一q 的唯一元素由效应代数的消去律，差运算 定义合理进一步可以证明差运算e 满足： d lb e a b d 2 b e ( b en ) = a d 3 ( c eb ) ( c o ) d 4 ( c e a ) e ( c eb ) = b e a 上述四条性质正是k o p k a 和c h o v a n e c s u o 所定义差偏序集的特 征，即 定义1 2 5 f 7 】设( d ，) 是一个有最大元1 和最小元0 的偏序 集，e 是定义在( d ，) 上的一个部分二元运算，使得b o a 有定义当 且仅当a b 并且满足上述性质( d 1 d 4 ) ，那么( d ，：e ) 被称为是一个 差偏序集 今后，如果我们写。9b ，那么已经蕴涵了a eb 有意义 关于差偏序集，我们将在下一章予以详细讨论 1 2 3 正交代数 如果将效应代数中的0 1 律被下面更强的条件所代替： 相容律a ：对任何p l ：p 上p 蕴含p = 0 那么此时称它为正交代数这里我们用相容律a 以便区别于定理1 2 1 中的相容律 一个效应代数是正交代数当且仅当它不包含任何迷向元在标 准尺度代数r + 0 ：1 中，区间r ，+ 0 ，t 2 中的每个非零元都是迷向 元，故r ，+ f0 ，1j 是效应代数而不是正交代数 9 关于效应代数与正交代数之间的联系，我们有如下的定理： 定理1 2 6 障对于效应代数( e ，o ，0 ，1 ) ，下列条件等价： 1 ( e ，o ，0 ，1 ) 是正交代数 2 对每个p e ，有p a p 7 = 0 上面的式子p p ，= 0 反映了p 与它自身的补不交，而效应代数 不满足这个性质，所以从正交代数到效应代数，对应的是精确测量 到不可精确测量 h i l b e r t 空间州的闭子空间格p ( 7 - ) 是正交代数，因而b i r k h o f f 和 v o nn e u m m m 的量子逻辑模型仅仅描述了可精确测量的量子理论一 般地，我们有下列真包含关系： 布尔代数c 正交模格c 正交模偏序集c 正交代数c 效应代数 1 0 第二章伪差集和双差集 效应代数描述的是具有交换性的量子系统现在，我们借助差 运算的思想来研究不可交换的量子逻辑结构，我们建立了左差、右 差、伪差偏序集、双差集等概念，证明了伪差偏序集与伪效应代数 等价，并得到了双差集的幺半群表示定理 2 1 伪差集 2 0 0 1 年，d v l l r e v c e n s k i j 和v e t t e r l e i a 引进了一个被他们称为伪效 应代数的代数结构来描述非交换量子系统： 定义2 1 1 【1 4 】设( p e ，o ，0 ，1 ) 为一代数系统，其中p e 为一集 合，0 和l 是p e 中的两个特殊元，o 是p e 上的一个部分二元运 算，( p e ，o ，0 ，1 ) 称为是伪效应代数，如果下列条件成立： p e l a ob ，f a o6 ) oc 有定义当且仅当b oc ? n o ( b oc ) 有定义， 此时( a ob ) oc = o o ( b oc ) p e 2 对于p e 中任意一个元a ，存在p e 中唯一元d 和p e 中唯 一元e 使得a o d = e o a 一1 p e 3 如果a ob 有定义，那么存在p e 中的元d ，e 使得 a ob = d o a = b o e p e 4 如果1oo 或0 0 1 有定义，那么a = 0 在绪沦中我们已经知道，效应代数与差偏序集等价，一个自然 问题是作为效应代数推广的伪效应代数与哪类差偏序集等价? 为了回答这个问题首先我们需要引进下面的左差运算e z 和右 差运算e ，： 设( p eo ，0 ，1 ) 是一个伪效应代数，o ，6 ，c p e 如果n b 并且 c o a = b ，那么我们称c 为b 和。的左差，记为c = b o f 口；如呆a 兰6 并 且a od = b ，那么我们称d 为6 和的右差，记为d = b e ，a 关于左差和右差运算，我们有下列基本定理： 定理2 12 设( p e ，o 0 ，1 ) 是一个伪效应代数，a 茎b c ，那么有 p d i ( b e la ) 6 ，( b e ，) 茎b ， p d 2 b e z ( b e ，a ) = a ：b e ，( b e n ) = o p d 3 c e fb c e zo c e ，b sc e ，a p d 4 ( c e ca ) e ，( c e 2 b ) = b e la ，( c e ，a ) e i ( c e ，b ) = b e ，a p d 5 如果1 e ，( 1 e f6 e n ) 有定义，那么我们可以找到d ，e p e 使得l e ，( 1 e zb e za ) = l e ，( 1 e l n e fd ) = 1 岛( 1 e ze e l6 ) ； 如果1 e l ( 1 e ，6 e ，a ) 有定义，那么我们可以找到 g p e 使得1 e f ( 1 e ，b o ，a ) = 1 e f ( 1 e ，n 岛，) = 1 0 z ( 1 e ，9 e ，6 ) 证p d l 由e ：和e ，的定义，立刻可以得到p d l p d 2 由e f 和e ，的定义，我们知道p 岛功。口= 抚a e ( b o 川) = b ， 所以o = 6 e ，( b e fo ) ，o = b e z ( b e ，) p d 3 令ce zb = d ，ce z = e ，所以dob = c ，eoa = c ，并且 d ob = c e o 。由n b 我们可以找到9 p e 使得b = 9 0 a ，因此 d o ( g o o ) = e a 注意到d o ( g o n ) = ( d 9 ) o o ，我们有d 9 = e ，所以 d e ，也就是说，c e 26 c e ! a 对偶地，我们可以证明c 岛b 茎c o 皿 p d 4 令ce2b ：d ，c e ! o = e ，由定义，dob = c ，eon = e 由 于。茎b ，我们可以找到g p e 使得b = go n 因此，9 = b e m 由 于d ob = c = eon = d o ( g o a ) = ( d o g ) o a ，我们得到e = ( dog ) ， 所以( co 2a ) e ，( c e2b ) = e e ，d = 9 = be fa 对偶地，我们可以证明 ( c 9 ，o ) e ( c e ，b ) = b e ，m p d 5 如果1 e ，( 1 e zb e z n ) 有定义，那么o ob 有定义从伪效应 代数的性质我们可以找到d ：e p e 使得o ob = d o a = b oe ，所以， 我们有： l e ，( 1 e fb e ca ) = l e ，( 1 e zo e fd ) = 1 e ，( 1 e fe e l6 ) 对偶地，如果1o f ( 1e ，6 e ，n ) 有定义，那么一定存在 9 p e 使得 1 e f ( 1 e ，b e ，o ) ：1 e f ( 1 e ，n e ，) = = 1 ec ( 1 e ，9 9 rb ) 若左差与右差一致，那么伪效应代数退化到效应代数，即 定理2 13 设( p e ，o ，0 ，1 ) 是伪效应代数，那么下列等价： 1 p e 是效应代数 2 如果。b ，那么be f n ： 3 如果c e fo e lb 有定义， b e ，口 那么c e b e ! d 有定义，并且 c e zo e zb = c e2b e2a 4 如果c 岛o e ，b 有定义，那么c e ，b o ，a 有定义，并且 c e ，a e ，b = c e ，6 e ，a 1 2 现在，我们可以用左差运算e z 和右差运算岛来定义伪差偏序 集： 定义2 1 4 设p d 是一个有最大元1 和最小元0 的偏序集，p d 称作是伪差偏序集，如果在p d 上定义了两个部分二元运算e z 和 e ，使得b e zo 有定义当且仅当be rn 有定义，当且仅当a b ，并且 满足 p d l ( b e 2a ) b ，( b e ，) b p d 2 b e2 ( b e ，口) = a ，be r ( b e f o ) = a p d 3 c e fb sc e lo ，c e ，b 茎c e ，o p d 4 ( c e fo ) e ，( c e 2b ) = b e a ，( c e ，) e z ( c e ，b ) 一b e ，a p d 5 如果l e ，f 1 9 6 e i a ) 有定义，那么我们可以找到d ，e 尸e 使得1e ，( 19 jbe i ) = 1e ，( 1e 2ae d ) = 1e r ( 1 a ee 26 ) ； 如果1 e f ( 1 e ，b o ，n ) 有定义，那么我们可以找到，9 p e 使得l e z ( 1 e ，b e ，n ) = 1 e l ( 1 e ，a e ，) ：1 e f ( 1e r 9 e 如) 为了应用方便，我们需要p d 4 的等价定义： 定理2 1 5 设p d 是一个有最大元1 和最小元0 以及两个部分 二元运算e f 和e ，的偏序集，使得6 e o 有定义当且仅当b o ，a 有定 义，当且仅当o b 并且e z 和e ，满足条件p d 2 那么p d 4 等价于下 列条件中的任意一个： p d 6 c e f a 岛b = c e ，b e z a p d 7 ( c e ia ) e z ( 6 e la ) = c e b ，( c e ，a ) e r ( b e ，o ) = c 岛b 证p d 4 兮p d 6 由p d 2 我们有a = c 岛( c e l 。) ，所以( c e ，b ) e ! a = ( c o ，b ) ec ( c g ，( c e 。) ) 从p d 4 又得到( c e ，b ) oz a = ( c o ，6 ) e f ( c o ，( c e z o ) ) = f c e za ) e ，b p d 6 = p d 4 由p d 6 我们得到( c e z a ) e ，( c e ；b ) = ( c 岛( c o z6 ) ) e 2a 从p d 2 又得到( c e fa ) 9 ，( c e cb ) ：( c e ，( c e 曲) ) e 。= b e f a 对偶地， 我们可以证明( c e ，a ) e ! ( c e ，b ) = ( c e f ( c e r 6 ) ) e ，a = 6 e ，a p d 4 = p d 7 由p d 4 和p d 2 得到( c e2 a ) e l ( 6 e fo ) = ( e e l a ) e ! ( ( c e z o ) e ，( c e2 b ) ) = c o z b ( c e ，o ) e ，( b e ，a ) = ( c g r a ) e ，( ( c e ，a ) e z ( c e ，6 ) ) = c e r b p d 7 号p d 4 由p d 7 和p d 2 得到f c e z a ) e ，( c e i6 ) = ( c a a ) e ，( ( ce j a ) e2 ( 6 e2 0 ) ) 一b o a ( c e r a ) e z ( c e ，b ) = ( c e ，a ) e z ( ( c e ，a ) e ，( b e ，d ) ) = b o r o 证毕 下面我们证明本节主要定理： 定理2 1 6 伪差偏序集与伪效应代数等价 证我们仅需要证咀从伪差偏序集可以得到一个伪效应代数 1 3 设p d 是一个伪差偏序集，我们称b a 有定义当且仅当a 1 0 ，b 并且定义。如下： b o a ：= 1 0 l ( 1 e ，b 岛a ) 下面，我们将证明。满足p e l 一p e 4 如果1 0 a 有定义，那么我们得到1 0 a = l e z ( 1 0 ，1 e ，o ) ，所以 1 0 ，1 岛有定义，所以，0 0 ，a 也有定义从岛的定义我们有a 0 ， 所以a 一0 类似地，如果o o1 有定义，我们有a = 0 所以p e 4 成 立 设b o 有定义，即1 9 ( 1 bb e ，n ) 有定义由p d 5 得知存在 ，ge p d 使得l e f ( 1 e ，be r a ) = 1 0 f ( ie r a e ，) = 1 e f ( 1 0 ，g e 如) 所 以b o a = n o f = g ob p e 3 成立 对于任意的n p d ，1o ，a 存在并且唯一，记为d 注意到1e ， ao ，d = 0 ，1e l ( 1o , - o o ，d ) = l ，由。的定义我们得到a od 一1 对偶 地，我们可以证明存在唯一元e 使得e o a = 1 所以p e 2 成立 令= a b ，那么。一( a b ) o c 存在由p d 4 和。的定义，我们有 ( z o ，a ) e j o o ，y ) = 岛o ：y = ( a b ) = i e l ( 1 岛o ，6 ) 所以由p d 6 和p d 2 立刻得到 e ，a = 1 02 ( 1 0 ，a o ，b ) e ，a = 1 0 ，n e lo e ，n e r 6 ) = b 这样我们有 y = a b = l o ，( 1 e l b e l a ) ，可e c 6 = 1 0 ，( 1 e f 6 e z n ) e 加= l e t h e ，( 1 e 曲e z n ) = o 也就是说，a ob o2b = a 设w 0 # b a ，注意到a b o2b = 。= we lb ，易 知w = a o b 类似地，如果h 岛a = 6 ，那么h = o ob 由于z = ”o c ，同 样可以证明z o f c = f 由条件p d 6 ，我们得到z e ，a o l c = = e z c o ，a = b 另一方面，容易得到c 曼1 0 r b ，所以b c 存在注意到2 e ，a o z c b 以及b o c o2c = b ：我们有。0 ，n = 6 0cep d 同理可以证明a o ( b o c ) 存在，并且。= a o ( b oc ) 所以p e l 成立证毕 2 2 双差集及幺半群表示 在本节，我们将伪差偏序集的条件减弱，得到一类新的量子逻 辑，即双差集，并证明在一定条件下这类量子逻辑可用幺半群来表 示我们的结果推广和改进了n a n a s i o v a 的工作 定义2 2 1 设l 上定义了两个部分二元运算e l 和e ，若满足 b d l 对于任意的o l ，a o la 有定义，a e ，a 有定义，并且 满足a o ，a a o z a = 0 。 1 4 b d 2 如果g e 曲有定义，那么o e ，扣e lb ) 有定义，并且 满足o e ，f n e l 6 ) = 6 如果o e 舶有定义，那么o e l e ，6 ) 有定义，并且 满足o e 陋e ，6 ) = b b d 3 如果e fb 有定义，6 e fc 有定义，那么e lc 有定义， 并且满足( o e lc ) 岛( o e 6 ) 一b e fc 如果n e ，b 有定义，b e ，c 有定义，那么a e ，c 有定义， 并且满足( o e ，c ) e 沁e ，砷一6 岛巴 则我们称( 工，e f ，e ，) 是一个双差集 定理2 2 2 设( l ，e f ，e ，) 是一个双差集，我们有 b d 4 c e z n e ，b = c 岛6 e l o c e ，n e 曲= c e zb e ，口 b d 5 ( c e ! ) e ! ( 6 e cn ) = c e l6 ( c b ) e ，( b e ，。) = c 9 r b 现在我们给出双差集的一些基本性质 定理2 2 3 设( l ，e z ，e ，) 是一个双差集，那么 1 对于任意的口工，n e z0 。= o ，d e ，0 。= o ， 26 e ! n = 0 6 当且仅当o = b ，b e ，= 0 b 当且仅当o = b 3 b e zo = b 当且仅当n = 0 6 ，be r o = b 当且仅当口= 0 b 4 若c e 2o l ：则0 。一0 。一o 。成立 若c 岛o l ，则0 。= 0 。= o c 。，。成立 5 若c e zn = c e 2b 则n = b 成立 若c e ，o = c 岛b ，则n = 6 成立 6 ，若o e 2c = b o zc ，则o = b 成立 若o e ，c = 6 e ，c 则= b 成立 7 如果c e ，b c e 知o i 口l ，那么c e o c e z e 加上，并且 c e zo e ，b = c e ，6 e l 如果c e zb ，c e b e ，n l ，那么c e ，o ，c e ，e 曲l ，并且 c e ，o e f 6 = c e fb e ro 8 士口果c e2o = d 那么c e ，d 一 如果c e ，d = d ：那么c e 2d = o 证我们只证明每个结论的第一部分，另外部分的证明可以对偶 地得到 1 注意到o e f ( o 岛o ) = n ，所以n e z 吼= o 2 如果口：b ，那么b e o 一0 6 如果b e lo = 0 b ，从b d 2 和结论1 我们得到。= b e ，( b e ! n ) = b 9 ，0 b 一6 1 5 3 如果b e la = b ，那么a = b e ，( b 国n ) = b e ，b = 0 6 反之由结沦1 容易得到 4 如果ce ja l ，那么( co fa ) e r ( ce l ) l ，并且o c e ：。= ( c e 2 ) e ，( c e # o ) 一a e za = 0 。另一方面，注意到c e fo ，c e lc l ，由 b d 3 我们得到( c e la ) 岛0 c = ( c e lo ) e ，( c e fc ) = c e o ，从结论3 立刻 得到o ，。= 0 c 5 由( c e l a ) e ，( c e 6 ) 一6 e lc t = o c 。曲= o b 和结论2 容易证明一b 6 由结论4 我们得到e lc ) e f ( b e zc ) 一a e ! b = 0 。，所以= b 7 由b d 4 直接得到 8 如果c e ：a l 并且c e jo = d ，那么a = c e ，( c e n ) 一c e ，d 定理证毕 下面，如果我们进一步弱化双差集的条件，那么我们将得到一 类不同于双差