（固体力学专业论文）多相介质的力学特性分析.pdf

摘要 本文主要研究多相介质的力学行为，包括流固耦合系统的动力学分析和粘弹 性复合材料的本构关系研究。 管束流固耦合问题既有着重要的学术价值，也有着鲜明的工程背景，在反应 堆堆芯、热交换器等的设计中有重要的应用。为了分析管束流固耦合系统的动力 学行为，国际上先后提出过多个管束动力学模型，张若京借助渐近均匀化方法提 出了三维管束流固耦合均匀化模型，这些模型都仅适用于无粘流体。在此基础上， 本文做了以下工作： ( 1 ) 要利用均匀化方程，必须先求解局部问题。无论对无粘流体管束模型还是 对有粘流体管束模型，局部问题都是相同的。本文利用差分法，求解了两 种工业中常用的管梁形式下局部问题的数值解，为以后的研究奠定了基 础。 ( 2 ) 以前的流固耦合模型都是在假设流体无粘的情况下得出的，这显然同工业 上的要求有一定的差距。本文在假设流体有粘的情况下，在导师前期工作 的基础上，通过渐近均匀化方法，得到了管束流固耦合系统的动力学控制 方程。若将流体的粘性系数置为零，则该方程蜕化为无粘方程。 ( 3 ) 在流体有粘的假设下，本文为随后的数值分析做了一些基础性的工作，在 有粘流体相应的边界条件下，得到了粘性流体下管束流固耦合系统的变分 方程。由于流体粘性的影响，流场有旋，没有速度势，所以系统质量阵、 刚度阵以及一阶项的系数矩阵的对称性被破坏，从而使得系统的模态分析 变得很复杂。由于时间有限，本文没能提供有关算例。 同样作为多相介质，复合材料的力学特性也一直为学者们所关注。尤其是为 了研究复合材料的整体本构关系，前人提出了很多种不同的均匀化方法。本文在 导师前期工作的基础上，在研究粘弹性复合材料的本构关系方面，做了以下工作： ( 1 ) 利用分数阶导数模型描述复合材料基体的粘弹性行为，通过渐近均匀化方 法，获得了解析形式的整体本构关系。其弹性部分来自纤维弹性和基体弹 性的两方面的贡献。粘性部分同样可以表示成分数阶导数的形式。这一部 分来自基体粘性的贡献。 ( 2 ) 利用有限元法，求出了有关局部问题的数值解。 最后对本文的研究工作进行了总结，指出了本文的工作重点及不足之处。 关键词：管束，流固耦合，渐近均匀化，粘性，粘弹性，复合材料，本构关系 2 a bs t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e a l sw i t ht h em e c h a n i c a lb e h a v i o r so fm u l t i p h a s e sm e d i u m h e r e i tr e f e r st ot h ed y n a m i ca n a l y s i so ff l u i d s o l i dc o u p l i n gs y s t e ma n dt h er e s e a r c ho nt h e c o n s t i t u t i v er e l a t i o n so fv i s c o e l a s t i cc o m p o s i t em a t e r i a l s t h er e s e a r c hr e l a t e dt ob e a mb u n d l ef l u i d s o l i dc o u p l i n gs y s t e mn o to n l yh a s i m p o r t a n ta c a d e m i cv a l u e ，b u ta l s oh a se v i d e n te n g i n e e r i n gb a c k g r o u n d i th a sb e e n w i d e l ya p p l i e dt ot h ed e s i g no fs o m es t r u c t u r e ss u c ha sn u c l e a rr e a c t o rc o r e sa n d s t e a mg e n e r a t o r i no r d e rt oa n a l y z et h ed y n a m i cb e h a v i o r so fb e a mb u n d l ef l u i d s o l i d c o u p l i n gs y s t e m ，s e v e r a ld y n a m i cm o d e l so fb e a mb u n d l ew e r ep r e s e n t e d z h a n g r u o j i n gd e v e l o p e dat h r e e d i m e n s i o n a lb e a mb u n d l e f l u i d s o l i d c o u p l i n g h o m o g i n i z e dm o d e l w h i c hi so n l ya p p l i c a b l et on o n v i s c o u sf l u i d o nt h eb a s i so fh i s w o r k , t h em a i n w o r ko ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： ( i ) b e f o r et h o s eh o m o g e n i z e de q u a t i o n sc a l lb eu s e d ，l o c a lp r o b l e m sh a v et ob e s e t t l e di na d v a n c ea n dt h e yk e e pu n c h a n g e dn om a t t e rw h e t h e rt h ef l u i di sv i s c o u s o rn o t i nt h i sp a p e r , d i f f e r e n c em e t h o di se m p l o y e dt on u m e r i c a l l ys o l v et w o k i n d so fl o c a lp r o b l e m st h a ta r er e l a t e dt ot h ed i f f e r e n tb e a mb u n d l ei ni n d u s t r y t h i sw o r kp r o v i d e st h ef o u n d a t i o nf o rs u c c e s s i v er e s e a r c h ( 2 ) p r e v i o u sm o d e l so ff l u i d s o l i dc o u p l i n gs y s t e mw e r er e a c h e do nt h ea s s u m p t i o n t h a tt h ef l u i dh e r ei sn o n - v i s c o u s o b v i o u s l y , t h i sd o e sn o tm a t c ht h ep r a c t i c a l s i t u a t i o nv e r yw e l l b a s e do n 也ep r e v i o u sw o r ko fm ya d v i s o r , t h i sp a p e rd e v e l o p s t h ed y n a m i ce q u a t i o n so fb e a mb u n d l ef l u i d s o l i dc o u p l i n gs y s t e mu s i n g a s y m p t o t i ch o m o g e n i z a t i o nm e t h o do nt h ea s s u m p t i o nt l l a tt h ef l u i dh e r ei s v i s c o u s i ft h ev i s c o u sp a r a m e t e rw e r es e tt oz e r o ，t h ee q u a t i o n st h e nw o u l d d e g e n e r a t ei n t op r e v i o u se q u a t i o n s ( 3 ) o nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ef l u i dh e r ei sv i s c o u s ，s o m ef u n d a m e n t a lw o r kf o rl a t e r n u m e r i c a la n a l y s i si sd o n ei nt l l ep a p e r u n d e rt h en e wb o u n d a r yc o n d i t i o n s r e l a t e dt ov i s c o u sf l u i d ，t h ev a r i a t i o n a l e q u a t i o no fb e a mb u n d l ef l u i d s o l i d c o u p l i n gs y s t e mr e l a t e dt ov i s c o u sf l u i di sr e a c h e d b e c a u s eo ft h ev i s c o s i t yo f f l u i da n dn o n - e x i s t e n c eo fv e l o c i t y p o t e n t i a l ，t h es y m m e t r yo fm a s sm a t r i x ， s t i f f i a e s sm a u i xa n dt h ec o e 伍c i e n tm a t r i xo ft h ef i r s to r d e ro fs y s t e mn ol o n g e r e x i s t s ，s ot h em o d a la n a l y s i so fs y s t e mb e c o m e sv e r yc o m p l i c a t e d r e l e v a n t n u m e r i c a ls a m p l e sw e r en o tp r e s e n t e df o rl i m i t e dt i m e 3 c o m p c s i t em a t e r i a l sa r em u l t i p h a s e s m e d i at o o t h em e c h a n i c a lp r o p e r t i e so f c o m p o s i t em a t e r i a l sa r ea l w a y so n t h ef o c u so fs c h o l a r s e s p e c i a l l y , i no r d e rt os t u d y t h eg l o b a lc o n s t i t u t i v er e l a t i o n so fc o m p o s i t em a t e r i a l s ，m a n yd i f f e r e n th o m o g e n i z e d m e t h o d sw e r ep r e s e n t e d t l l i sp 印e rd o e ss o m ef o l l o w i n gw o r kt os t u d y t h e c o n s t i t u t i v er e l a t i o n so fv i s c o s e l a s t i cc o m p o s h em a t e r i a l so nt h eb a s i so fp r e v l o u s w o r ko fm ya d v i s o r ： f 1 ) f r a c t i o n a ld e r i v a t i v em o d e li su s e dt od e s c r i b e 也ev i s c o s e l a s t i cb e h a v i o r so f m a t r i xo fc o m p o s i t em a t e r i a l s 。拍ea n a l y t i c a lg l o b a lc o n s t i t u t i v er e l a t i o n sa r e r e a c h e dw i t ht h eh e l po fa s y m p t o t i ch o m o g e n i z a t i o nm e t h o d t h e r e i n t o ，t h eg l o b a l e l a s t i cp a r ti sm a d eu po fe l a s t i c i t yo f b o t hf i b e r sa n dm a t r i x ，w h i l eg l o b a lv i s c o u s p a r ts o l e l yc o m e sf r o mm a t r i x ，w h i c hc a nb ee x p r e s s e db ym e a n so ff r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ( 2 ) t h en u m e r i c a ls o l u t i o n st or e l a t e dl o c a lp r o b l e m sa r e r e a c h e du s i n gf i n i t ee l e m e n t m e t h o d f i n a l l y , t h e r e s e a r c hw o r ki n t h i s p a p e ri s c o n c l u d e da n dt h ee m p h a s e sa n d s h o r t c o m i n g sa r ei n d i c a t e dr e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：b e a mb u n d l e ，f l u i d s o l i dc o u p l i n g ，a s y m p t o t i ch o m o g e n i z a t i o n ，v i s c o u s ， v i s c o s e l a s t i c ，c o m p o s i t em a t e r i a l s ，c o n s t i t u t i v er e l a t i o n s 4 第一章绪论 第一章绪论 流固耦合问题研究辐射到许多研究工程技术领域，如采矿工程、石油工程、 土木工程、环境工程、地下工程、水利、水力电力工程等。该问题是2 0 世纪 8 0 年代以后，特别是8 0 年代中期后迅速发展起来的一门新兴学科。 流固耦合力学问题是牵涉到流体力学和固体力学两个专业领域的一类特 殊问题它研究的是变形固体在流场作用下的各种行为以及固体位形对流场影 响这二者交互作用的一门科学这类问题的重要特征是两相介质之间的交互作 用( f l u i d s o l i di n t e r a c t i o n ) ：变形固体在流体载荷作用下会产生变形或运动，而 变形或运动又反过来影响流场从而改变载荷的分布和大小正是这种相互作 用将在不同条件下产生形形色色的流固耦合现象 第一类流固耦合问题可由其耦合方程来定义，这组方程的定义域同时有 流体域与固体域，而未知变量含有描述流体现象的变量及描述固体现象的变 量，一般而言，具有以下两点特征： a ) 流体域或固体域均不可能单独地求解； b ) 无法显式地消去描述流体运动的独立变量或描述固体运动的独立变量 第二类问题的特征是耦合作用仅仅发生在两相交界面上，在方程上耦合是 由两相耦合面的平衡及协调关系引入的本文中，我们主要讨论这一类问题 通过耦合界面流体动力影响固体运动，而固体的运动又影响流场在流固 耦合界面上，流体动力及固体的运动事先都不知道，只有在系统地求解了整个 流固耦合系统后，才可给出它们的解答，这正是相互作用的特征所在若没有 这一特征，其问题将失去耦合作用的性质例如，若给定流固交界面上的流体 动力或交界面上固体结构的运动规律，耦合机理将会消失，原来的耦合系统将 被解耦而成为单一固体在给定表面力下的动力问题及单一流体在给定边界条 件下的流体力学边值或初边值问题 在最一般情况下，流体与固体通过两相交界面的相互作用同时受流体及固 体各自的弹性力和惯性力影响随着研究问题的目的不同，可将着眼点放在流 场或固体结构上进行研究。流体力学工作者多着眼于流场，而固体力学工作者 则注重结构在工程实际问题中，可针对不同性质的问题，作相应的简化，从 第一章绪论 而使有简化后的耦合问题例如，研究水同结构相互作用的非短期问题时，水 的可压性可以不计，这就构成不可压流体同固体的耦合问题类似地，若忽略 结构的弹性变形，就有刚体同流体的相互作用问题在航空中，独成一个学科 的刚体飞机飞行力学问题就是重要的例子也可以在某些问题中忽略流体或固 体的惯性效应，从而有忽略流体惯性的耦合问题及忽略固体惯性的耦合问 题在空气弹性力学中的静力发散，舵面效率等问题即是重要的忽略结构惯性 的流固耦合问题至于忽略流体惯性时的耦合问题，其本质就是将流体( 通常 为气体) 视为一弹簧，如空气弹簧，这在工程中也常常见到于是，每种流固耦 合问题可以按该问题中诸力所处的相互关系而进行直观的区分 管束流固耦合问题有着鲜明的工程背景许多重要的结构物，如核反应堆 堆芯、热交换器等，是由大量浸没在流体中的有着周期规则排列的管梁组成的， 通常称之为管束。由于流体的耦合作用，管束中任何一根管梁的运动都会激励 其它管梁，因此在外力作用下，管束是作为一个整体而产生响应。管束中流体 与固体之间的耦合作用是影响这类结构的动力特性的重要因素，因此，研究管 束结构中的流固耦合作用对了解此类结构的动力行为是十分必要的【2 1 1 3 1 图1 1 管束排列结构 管梁布置图 装置 放大的单胞 通常，这些管柬系统是由具有周期结构的管梁浸泡在流体中所形成的它 整体上可以被当作是一纤维增强复合材料或具有微结构的材料p l a n c h a r d 采用 渐近均匀化方法建立了适合研究管束结构动力特性的流固耦合模型1 4 h 7 1 管束 排列结构如图1 所示，假设所有的管梁都是相同的( 质量、半径、刚度相同) ， 6 第一章绪论 具有周期规则排列，相临管梁之间的间隔为占，由分隔装置连接，缃对于整个 管束为一小量。流体无粘不可压缩，处于静止状态。利用势流原理，可以建立 以流体速度势和管梁位移为基本变量的方程，由于沩一小量，利用渐近均匀 化方法对基本方程作渐近展开，得到一套渐近耦合方程。新的方程比原基本方 程要易于求解，它将管束区域皿近似成一种均匀介质，在进行有限元离散时 要比原问题容易得多，当管梁数目越大时越能显示出这种方法的优越性，尤其 适合于分析核反应堆堆心、热交换器这类结构的动力特性问题。模型中还可考 虑流体为可压缩、粘性情形，并可分析轴向流下的稳定性闻题，管梁之间的碰 撞等非线性现象。s c h u m a n n 、b e n n e r 、b r o c h a r d 和h a m m a m i 等人也采用了类 似的方法建立了管束的流固耦合均匀化模型，分析表明了这种方法的有效性 g - - j 1 4 口 利用渐近均匀化的方法，张若京于1 9 9 8 年提出了管束三维连续介质模型i l 习 2 1 1 ，并使前面的两种模型得n t 统一在此模型的基础上，王伟桥通过自己 编制的有限元程序模拟了管束系统在地震作用下的动力响应，并与无限流域中 单根管梁的动力响应进行了比较他还对管束动力学系统进行了模态分析，通 过模态展开，获得了系统对外界激励的响应并对管束系统进行了线性不稳定 性分析，计算了不同管梁端部条件下的系统临界流速f 2 2 卜f ”1 与管束流固耦合问题有类似之处，复合材料同属多相介质，特别是单向纤 维增强复合材料，同管柬流固耦合系统一样，具有周期性的结构特征。 复合材料作为先进材料有许多传统材料所无法比拟的优越性它的研究和 应用得到了迅速发展从航空航天、国防推广到民用产业，从主要是结构材料 转到既是结构又兼有某种功能的综合性材料，是材料、工程和力学工作者十分 感兴趣的研究领域。 复合材料是由两种或两种以上组分材料所组成的新材料。根据不同的工程 需要，人们可以方便地选取不同的组分材料，采用最适合的复合材料细观结构， 优化材料的性能。复合后的材料性能，取决于原材料种类、形态、比例、配置 及复合工艺条件等因素。通过人工调节和控制这些因素，可获得不同性能的材 料。因而复合材料是一类性能可设计的新颖材料，能够在广阔范围内调节其性 能以满足使用要求。由于复合材料一般具有高比强、高比模等许多优越于传统 7 第一章绪论 金属材料的性能，在航空航天、建筑、交通、机械、化工设备等许多领域都得 到了愈来愈广泛的应用，甚至已成为许多高科技领域的支撑材料。作为力学研 究人员，其核心任务是建立复合材料宏观性能同其组分性能及其细观结构之间 的定量关系，并揭示复合材料结构在一定工况下的响应规律及其本质，为复合 材料的优化设计、性能评价提供必要的理论依据及手段。 众所周知，单一材料通常难以很好满足工程应用的要求，现在材料工程提 供了将两种或两种以上的材料进行复合的工艺手段，这样我们就有可能根据具 体的工程应用要求来设计复合材料。在实践中，通过改变复合材料的组分与其 几何分布形态就可以改变它的宏观性能。复合材料力学的任务之一就是建立合 理的细观力学模型，分析与计算复合材料各组成相的力学性能，几何形状和分 布参数与复合材料宏观力学性能之间的关系，从而为复合材料设计提供理论依 据，优化其力学性能。 一般来说，复合材料的基本力学性能可分为两方面，即局部性能和宏观有效 性能。对于前一个问题，起关键之处在于如何求得复合材料内部的弹性场，而 对于后一个问题，则包含两方面内容，一是刚度预报问题，二是强度预报问题。 范赋群【2 6 l 等对复合材料性能提出了混合效应和协同效应的观点，认为混合效应 与材料刚度问题密切相关，是个平均效应，而协同效应与材料强度、破坏等现 象密切相关，是个非平均效应。 影响复合材料有效弹性模量的因素可分为两类，一类是复合材料中每一组 分材料的弹性常数。另一类是复合材料内部的微结构特征，它包括夹杂( 纤维、 颗粒、晶须、空洞、裂纹等) 的形状、几何尺寸、在基体中的分布和夹杂之间 的相互作用。目前，考虑这两类因素的影响，研究复合材料有效性能的细观力 学方法很多2 7 h 3 7 1 ，大体上较为成熟的理论有：e s h e l b y 等效夹杂理论【3 8 i 【3 9 j ，自 洽理论m l 【4 1 1 ，m o d t a n a k a 方法【4 2 1 ，微分介质方法【4 3 1 ，以及利用变分原理求上、 下限方法【删【4 5 1 【蚓等。 另外，对于具有周期结构的复合材料，渐近均匀化方法也被广泛地用来研 究其平均效应，并据此提出了一些复合材料的均匀化模型。渐近均匀化方法的 数学框架可以参照b e n s o u s s a n 等、s a n c h e z p a l e n c i a 以及l i o n s 等的工作【4 7 】【4 8 l 1 4 9 1 1 】。一般来说，这些复合材料的弹性均匀化模型在数学上是严格的，可以被 8 第一章绪论 用来预测材料的局部性能和整体平均性能。对于单向纤维增强复合材料，用 m u s k h e l i s h v i l i 复势和w e i e r s t r a s s 双周期椭圆函数的级数展开来处理平面问题 和反平面问题。 随着复合材料的高速发展和广泛应用除要求材料具有较高的比强度和比 刚度外，同时要求材料具有良好的长期力学性能指标因此，材料的粘弹性问 题的研究愈来愈引起人们的重视和关注 很久以前，人们就发现有些材料的应力应变关系对应变率非常敏感，即表 现出明显的粘性性质。这类材料受力后的变形过程是一个随时间而变化的过 程，卸载后的恢复过程又是一个延迟过程，因此，这类材料内的应力不仅与当 时的应变有关，而且与应变的全部变化历史有关。这时应力应变之间的一一对 应关系己不复存在。我们把这类材料称为粘弹性材料。高分子材料、复合材料、 地质材料、混凝土、高温下的金属即属于这种类型的材料。 粘弹性材料随时间而变化的变形过程，表现出下列四个主要特点p l 】： ( 1 ) 蠕变：在持续不变的加载下变形会逐渐增加： ( 2 ) 应力松弛：在持续不变的应变下应力会逐渐减弱； ( 3 ) 迟滞：材料的应变响应滞后于应力，致使一个加卸载中的应力应变 曲线形成迟滞回线，迟滞回线下的面积代表一个加卸载过程的能量 损失； ( 4 ) 应变率敏感：反映材料力学性质的一些物理量，如杨氏模量、剪切 模量、泊松比等，一般与应变速率( 或时间) 有关。 粘弹性材料可以想象为一个“谱 ，在这个“谱”的最右端是经典粘性流 体，而在最左端是弹性固体。许多实际材料则展示出界于弹性和粘性两种极端 情况之间的力学性质，这种粘弹性性质可以由弹性性质和粘性性质按相对比例 组合起来。在一般情况下固体高聚物( 如尼龙、刚化聚苯乙烯、塑料等) 以及 金属、橡胶等接近弹性端，而粘弹性流体( 如高分子溶液) 则靠近粘性端，熔 融的高分子材料其性质似乎处于中间位置。任何一种具体材料到底处于粘弹性 材料“谱 的何种位置除依赖于材料本身条件外还依赖于工作条件，如温度、 加载速率等，钢材在一般条件下是固体，但在高速撞击下与流体无异。s i l l yp u t t y ( 二种类似橡皮泥的材料) 在通常情况下可塑性很大，但在快速落地时可以象 9 第一章绪论 皮球一样弹回。 粘弹性一词来源于模型理论，即这种性质可以用弹性元件和粘性元件串联 或并联而成的某种模型加以表示，如m a x w e l l 模型，k e l v i n - v o i g t 模型，标准 线性体模型等。 典型的纤维加强复合材料基体为高分子聚合物，具有明显的粘弹性性质， 导致复合材料整体也具有粘弹性。如何根据纤维和基体的( 粘) 弹性常数预测 该复合材料的整体特性，就成为复合材料研究的一个基本问题。 o 曼：ol l 随 00 。! i b yy 1 图1 2具有周期捧列单胞的复合材料 对于如上图所示具有周期结构的粘弹性复合材料，张征宇利用渐近均匀化 方法对其本构关系进行了研究【5 2 1 【5 3 l ，她采用的基体粘弹性本构关系为 b o l t z m m a n 固体积分松弛型本构关系“3 ： o 。( t ) 2 g 舛( 0 ) h ( t ) + j ：g 祖( t ) h ( t x ) d x ( 1 1 ) 其中g 粥( t ) 为松弛函数张量，g 撒( t ) 为其对时间的导数。 这类纤维加强复合材料具有横观各向同性性质，有5 个独立的松弛函数。 局部问题可化简，并分为平面问题和反平面问题。利用此问题单胞几何形状和 载荷的对称性，结合双周期条件，可以将问题简化为在1 4 域内求解。求解得 到张量石细( t ) 的5 个独立分量后，换算成横向( 用下标t 表示) 和纵向( 用下 标l 表示) 等效拉伸工程模量己，瓦，横向和纵向等效剪切工程模量_ t ，_ l 。结 果表明，耳、一g t 和石。表现出较强的粘弹性特性，且随着纤维比c 增加，整体 粘弹性性质减弱。而纵向拉伸模量e ，的粘弹性性质较弱，当纤维比较大时，基 本上不松弛。在纤维比基体刚度大得多( e t e 。( o ) ) 的条件下，瓦几乎无松 弛，即复合材料在纵向拉伸时可视为弹性体。 1 0 第一章 绪论 本文的主要内容： 本文主要是对以管束流固耦合系统和粘弹性复合材料为代表的多相介质 进行力学特性分析。具体来说，就是对粘性流体的管束流固耦合系统进行动力 学分析，建立粘性流体下的动力学方程。而对粘弹性复合材料，则对它的本构 关系进行研究。具体的行文安排是： 第二章概述了流体无粘的假设下三维管束流固耦合均匀化模型，扼要地介 绍了这一模型的推导过程； 第三章研究了管束局部问题，利用差分法得到了两种典型单胞形式下局部 问题的数值解，为以后的数值分析奠定基础； 第四章研究粘性流体下的管束，这里在流体有粘的假设下，利用渐近均匀 化方法，得到了新的三维流固耦合均匀化模型，并得到了对应的变分方程，进 行了有限元离散的初步分析； 第五章研究了纤维加强复合材料的本构关系，这里利用分数阶导数模型描 述基体的粘性特性，结合渐近均匀化方法，得到了复合材料整体本构关系的解 析表达式，并求解了一种纤维排列方式下局部问题的数值解； 第六章总结了本文的工作，指出了目前研究中存在的不足和将来可能的研 究方向。 第二章无粘流体的管束流固耦合均匀化模型 第二章无粘流体的管束流固耦合均匀化模型 许多研究者利用渐近均匀化方法提出了几种不同的分析模型，p l a n c h a r d 采 用渐近均匀化方法建立了适合研究管束结构动力特性的流固耦合模型，假设所有 的管梁都是相同的，具有周期规则排列，利用渐近均匀化方法对基本方程作渐近 展开，得到一套渐近耦合方程。当管梁数目越大时越能显示出这种方法的优越性。 另外德国的s c h u m a n n 和b e n n e r 于1 9 8 1 年得到的s b 方程和法国的b r o c h a r d 和 h a m m a m i 给出的b h 方程应用较广【8 h ”j ，但是，这两个模型均只考虑了管束运 动的二维情况，忽略了流体轴向流动对管束整体运动的影响。1 9 9 6 年张若京提 出了一套三维均匀化方程，考虑了流体轴向流动的影响，并证明，s b 方程和 b h 方程实际上都只是该三维模型的两个特殊情况。王伟桥曾在他的博士论文里 扼要地介绍了这一模型的理论基础和导出过程，这里简单地再转述如下1 5 5 i 。 第一节基本方程 假设：流体为无粘和可压缩的，小流速，控制方程因小扰动简化而线性化； 管梁是线弹性体，小挠度。 基本方程 l 、流体方程 连续方程 动量平衡 状态方程一、， 2 、管梁方程 p f + f v i v i = 0 磊审i = 一v i p ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 第二章无粘流体的管柬流固耦合均匀化模型 运动方程 几何方程 连续方程 3 、耦合条件 p ，w oo i2 v j o 自 。= 吉勺h 氓w ，) d 。+ 瓦v i 由i = 0 a a l 3 1 1 1 32 一p n 伍 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) v 伍n 伍= 由伍n ( 2 8 ) 在以上基本方程中，乃是对架设在管束上的整体坐标x = ，x 2 ，勋) 的导 数，m 和p 是流速和流体压力，乃和厦是流体和管梁的平衡状态密度( 常数) ， p ，和尸，是流体和管梁的扰动密度，c ，是流体中的声速，w 。是管梁位移，和勺 是应力和应变，是管梁侧面法线，下标i ，j 等取值l ，2 和3 ，口，脓1 ，2 ， 重复下标约定求和。 由方程( 2 1 ) ( 2 8 ) 再补充合适的边界条件，包括管梁的端部条件、液面 条件以及初始条件等，构成了一个完整的系统。直接求解十分困难。利用渐近均 匀化方法可以建立一个简单而有效的数学模型。 第二节均匀化方程 管束系统的特点就是管束在流体中呈规则的周期排列。在截面上，如果把每 根管梁的截面与周围的流体看成一个单胞，则整个管束系统的截面可以看成是这 些单胞的周期复制。在每个单胞上建立局部坐标y = o 。，y ：) ， 儿= 垒，占l ( 2 9 ) 占 式中，沩单胞边长，与整个管束尺寸l 之比，是小参数。 在管束很多的情况下，单胞边长相对于整个管束的尺寸是一小量。这时每个 物理量都可以展成如下的级数形式： 第二章无粘流体的管柬流固耦舍均匀化模型 u 。( x ) = s i u 。( x ，y ) i = 0 这里u t 化y ) 为关于局部坐标y 的周期函数。 ( 2 1 0 ) 对基本方程实施上述级数展开，再对导数v 口作渐近展开，即用v 。+ 三善代 8o y 。 替，然后取占的同幂次项，得到如下一级和二级近似方程： ( 1 ) 一级近似方程 v ( o ) = 0 ， a a p 2 = 0 ， = c ；， ，o ， o ：。= 0 ， a p p w ( o ) + w ( o ) = 0 a p口a 占g = v 3 以， c s ( o ) n b = 一p c o ) a 1 3 n 口，b口 v ? n 。= 由。， ( 2 ) 二级近似方程 掣+ - f ( v 。v ：+ v 巍) = 0 ， _ f 审? = 一( v 口p + p 万= g 3 一vpf33 ， 。 3 v j a 拿+ o ：，p 一= _ s 舻c l ，j 叼叩， 3 由o + 石( v 由! o ) s0il o 嚣n p 。p o k 口，a pp 口7 v o ) n = 由( 1 ) n ， 在上述方程中，( ) t a = 文) a y a + 由乳) = 0 ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 1 4 第二章无粘流体的管束流固耦合均匀化模型 a 2 = p 。( x ，t ) 6 邮 ( 2 2 6 ) 和 v = q 口p ( y ) 每p ( x ，t ) + v a p ( y ) 啸f ( x ，t ) ( 2 2 7 ) 又由动量平衡的二级近似方程可得 p ( 1 ) ( x ，y ，t ) = 吣。( y ) ( v 。p 。+ - f 西? ) ( x ，t ) + 矿( x ，t ) ( 2 2 8 ) 式中，算符“”定义为单胞平均值，对任意函数，其单胞平均值定义为 破，t ) 2 南l f ( x y ，t ) d y ( 2 2 ” 其中，iy i 表示放大的单胞面积，髟为放大的单胞内流体域。而伊妒，和屁均 是局部函数，可分别解有关局部问题而求之。 对二级近似方程( 2 1 8 ) 取平均，利用管梁的“状态方程 = c ： ( 2 3 0 ) 式中，岛是管梁中声速，可得 l 軎+ 导l i ；+ 砜砖4 + ( 1 一峨】郴，v ，p - o 3 - ， k f 0j 式中，九= 爿yl iyi ，1 c = - | _ f ，上标( o 消略。显然项一旯v ，v ，p 描述了 轴向流动对管梁运动的影响。 将式( 2 2 8 ) 代入动量平衡的二级近似方程( 2 2 0 ) ，再取平均，得到 _ f 寺a = 一a 呻v 口p + - f d 呻荫p ( 2 3 2 ) 式中，上标( 0 ) 省略，且 d 叩= 击l x d y q 3 3 a= 硒 一d ( 2 3 4 ) 另外，管梁运动方程( 2 4 ) 和耦合方程的二级近似方程( 2 2 4 ) 构成关于盯茹的 边值问题。由可解条件，利用( 2 2 8 ) 式，再利用梁的几何假设和应力应变关系 第二章无粘流体的管柬流固耦合均匀化模型 可得 口t m 邮荫p + b 叩v p p + v 3 v 3 ( 嵩v 3 v 3 w 。) = o ( 2 3 5 ) 邮p叩p 3 、lxl 33 4 7 式中，上标( 0 ) 省略 m 邮= _ s ( 1 一九) 6 叩+ 虿f d a p邮 。s 、 7 邙 。 a p b = ( 1 一九) 6+ d 邮 、 7 邮邮 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 和梁的弯曲振动方程比较，可知b 印v ，p 表示单位管梁长度上所作用的流体力。 由( 2 3 1 ) 、( 2 3 2 ) 消去吃，可得 怯+ 导| i ；+ v a ( a 伍。v 。p ) - 坍，v ，p + - f v 伍( b 叩荫。) = o ( 2 3 8 ) l f - j ( 2 3 5 ) 和( 2 3 8 ) 就是最后的三维耦合方程。 1 6 第三章管柬局部问题 第三章管束局部问题 为了利用流固耦合三维均匀化模型进行动力响应分析，首先必须求解局部问 题。张若京证明了，对于具有某种对称性的单胞形式，微结构参数d 凹等都是球 张量。对于圆截面管顺排情况，张若京给出了排列稀疏时局部问题的渐近解【1 9 】， 聂国华则给出了其解析解【2 5 1 。 第一节微结构参数的化简 对于具有北旋转对称性的管束单胞形式，如圆管顺排、方管顺排，微结构 参数具有简化形式。张量参数见。为球张量，可以写成 d a b = d 5 邙 ( 3 1 ) 由( 2 3 3 ) 、( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) ，其它微结构参数亦可写为 a a 口= a 5 邮，m 邮= m 8 4 p ，b 口p = b 8 叩 ( 3 2 ) 其中， a = 九一d ，m = - l ( 1 + 九) + 一f d ，b = l 一九+ d( 3 3 ) 参数d 、4 和b 都是无量纲的。 局部函数z 。，在放大单胞的流体域巧上满足以下局部问题： 周期是单胞边长l ( 3 4 ) 这里，f = e 厂、弓是放大单胞内的流固耦合面；碍，他是放大单胞内流体域 在r 上的外法线方向矢量。 1 7 数函上醐阆扣的 盘y n 阳 。巩舟 阳萨= i i 第三章管柬局部问题 州 1 2l 2 图3 1 放大的单胞 由周期性知，外边界对边上的局部函数对应相等。又因为内边界上的边界 条件( 3 1 b ) 可以写成 盟= 1 1 ：c o s ，1 0 加 一莘= n 2 = s i n e d n ( 3 5 ) 说明z ，在内边界上的方向导数关于夕。轴对称，关于j ，：轴为反对称。z ：在内边界 上的方向导数关于j ，。轴反对称，而关于夕：轴为对称。所以， c 。0 。，y ：) = ) c ：( 一y 2 , y 。) = c ( y 。，y ：) ( 3 6 ) 上式中点。，y ：) 和( - 儿，y 1 ) 必须均位于流体域0 中。此条件要求流体域具有 州2 旋转对称性。 因为，根据定义有 。邮= 两1 y fx 鼠伍d y 2 南r x e n 兰两1 r ，c e x ，n t d l 2 南y f ( l d y ( 3 = 1 a 两1h 以一 所以，张量参数关于两个下标是对称的。 由( 3 6 ) 和的定义( 3 7 ) ，易得 d l l = d 2 2 = d 和d 1 2 = - d 2 l 所以，对称张量为球张量。 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 1 8 第三章管束局部问题 第二节局部问题渐近解 对于管束稀疏排列情况，张若京给出了其渐近解形式。 局部问题( 3 4 ) 可简写成： fx ，眦= 0 i x 。a n a = n l x 是y 。和y 2 的周期函数 ( 3 9 a , b ，c ，d ) 【，y fx ( y t ，y 2 ) d y - o 则( 2 3 2 ) 可写成： 。2 南y f x 1 d y d y ：( 3 t 。) 考虑管梁域较小的情况( 即1 一九 1 ) 。此时，管梁间的距离很大，因此矩 形单胞可以用等面积的圆域代替，其外半径为r = 1 元，0 为管梁半径，如图 3 2 所示。 件： 图3 2 等面积圆域 耦合条件( 3 9 b ) 可写成极坐标形式 剽= c 。s 0 ( 3 1 1 ) a r i r 7 i r = r o 根据在内圆，= r o 的这个边界条件以及在外圆厂= r 上如下形式的周期条 1 9 第三章管柬局部问题 和 x ( r = r ，e = o ) = 7 。( r - - r ，e = 兀) x ( r r ，e = 詈) 吲r - r 肚警) ( 3 ，1 2 ) ( 3 1 3 ) 不难证明，l a p l a c e 方程( 3 9 a ) 在环域单胞上的解z l ，y 2 ) = z ( r ，9 ) 必定是关 于y i 的奇函数和关于夕：的偶函数，这保证了条件( 3 9 d ) 能自动满足。 根据) c 关于j ，l 为奇函数的性质以及周期条件( 3 1 2 ) ，由 c ( r = r ，e = o ) = x ( r = r ，e = 7 c ) = 0 从而不难得到 x = 南2 小一等徊s e 将( 3 1 5 ) 代入( 3 1 0 ) ，得 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) = 一r o2 z ( r o ，e ) c o s 0d o = 群 (316)00 = 一r of ，e ) c= 萼掣( 3 - 、 。 ， 又由九= 1 一三乓和7 c r ：= 1 ，最后得到渐近表达式为 7 c r 2 dc 塑 ( 3 1 7 ) 2 一九 、7 第三节局部问题数值解 工业中常见的几种不同的管梁形状和排列方式如图3 3 所示，恰好，它们所 对应的微结构参数都可以写成球张量的形式。 第三章管柬局部问题 loo i lo n 卜叫a v | oo o ( 1 ) 圆管正方形排列