（基础数学专业论文）实轴上的zygmund函数及其拟共形形变延拓.pdf

实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 摘要 在本文中我们建立了实轴上的一个连续函数是z y g m u n d 函数和具有全平 面拟共形形变延拓以及其他一些条件的等价性在此基础上，我们将单位圆 周上关于z y g m u n d 函数的若干经典结果推广到实轴上 关键词：拟共形形变，z y g m u n d 函数 作者：刘红霞 指导教师：沈玉良 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 英文摘要 z y g m u n df u n c t i o n so nt h er e a ll i n e a n dt h e i rq u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o ne x t e n s i o n s a b s t r a c t w ep r o v ea m o n go t h e rt h i n g st h a tac o n t i n u o u sf u n c t i o no nt h er e a ll i n eb e l o n g st ot h e z y g m u n dc l a s si fa n do n l yi f i tc a nb ee x t e n d e dt oan o r m a l i z e dq u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n t ot h ew h o l ep l a n e a sa p p l i c a t i o n s ，w eo b t a i ns o m er e s u l t sa b o u tt h ez y g m u n df u n c t i o n so n t h er e a ll i n e ，w h i c hc o r r e s p o n d st os o m ec l a s s i c a lr e s u l t sc o n c e r n i n gt h ez y g m u n df u n c t i o n s o nt h eu n i tc i r c l e k e y w o r d s ：q u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n ；z y g m u n df u n c t i o n i i w r i t t e nb y ：l i u h o n g x i a s u p e r v i s e db y ：s h e n y u l i a n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名o q 王迭蠡 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名： 期：二二_ 期：卫 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 第一节引言 第一节引言 在一篇重要的文章【z y l 中，z y g m u n d 引入了所谓z y g m u n d 函数的概念 实轴r 上的一个连续函数妒属于z y g m u n d 类( 见 z y l ， z y 2 ) ，记为( r ) ，如果 对于所有实数z 和h 0 ， 妒( z + h ) 一2 妒( z ) + 妒( z 一九) i = d ( ) z y g m u n d z y l 】得到了这类函数许多重要的性质，并说明了它们在实分析和三 角级数理论的许多问题中起着本质的作用特别地，他证明了z y g m u n d 函数 在调和共轭算子作用下的不变性 z y g m u n d 函数在复分析的研究中同样有着十分重要的作用( 见 d u 】， p o ，【z y 2 】) ， 尤其在t e i c h m i i l l e r 理论( 见 ga 】，【g e l ，【l e ， n a l ) 研究中的应用( 见 g h ， g l ， g s n a 2 ，i n v 】， r e ， r c ， r e i ， w e ，【t t 】) r e i m a n n r c i ( 也见 c s ) 证明了万有 t e i c h m i i l l e r 空间的切空间恰好是z y g m u n d 函数类( 具有某种规范条件) 另一方 面，k e r c k h o f f ( 见【n a 2 ，m ) 发现了万有t e i c h m i i l l e r 空间的复结构正是由调和 共轭算子诱导的近复结构 由于z y g m u n d 函数和t e i c h m f i l l e r 理论之间的密切关系，近年来很多学者 对z y g m u n d 函数和拟共形形变之间的关系进行了深入的研究根据a h l f o r s 【a h 】的定义，区域d 上的一个复值函数，称为拟共形形变，是指，在d 内 有广义导数5 ，且石，l o o ( d ) 我们先来回顾一下近年来该方面研究的一些 主要结果r e i c h c h e n 【r c 】证明了对于单位圆周s 1 上的一个连续函数，当 ，( e 谢) a 。( r ) 时， t i ( z ) ：! ! 二噬壁厂 鲤整 、7 2 7 r l i s l ( 1 一乏( ) 。( ( 一z ) 给出了，在单位圆上的一个拟共形形变延拓反之，如果，在单位圆上存 在拟共形形变延拓，并且满足规范条件r e - 2 f ( z ) 】_ 0 ，则f ( e 坩) a 。( r ) 在研究 z y g m u n d 函数的f o u r i e r 系数时，沈玉良 s h 】给出了单位圆周上的一个连续函 数是z y g m u n d 函数的充分必要条件是存在全平面上的拟共形形变延拓 类似地，g a r d i n e r - s u l l i v a n g s 】证明了实轴上一个实值z y g m u n d 函数，可以 延拓为上半平面的拟共形形变特别地，他们证明了，的如下b e u r l i n g - a h l f o r s 型延拓b a i ( z ) = u ( x ，可) + i v ( x ，y ) 是上半平面的一个拟共形形变： 1 f x - 4 - y1 f x - 4 - yf z 、 u ( z ，可) 2 南上一掣，( 。) 砒，u ( z ，! ，) 2 孝l 上，( 。) 出一上一掣，( 。) 砒) 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 第一节引言 后来，r e i c h r e 通过如下方式给出了，在上半平面上的一个拟共形形变延 拓： h f ( 咖譬e 蒜 在本文中，我们将继续研究实轴上的z y g m u n d 函数我们将利用拟共形 形变给出实轴上的一个z y g m u n d 函数的若干等价刻画作为应用，我们将单 位圆周上关于z y g m u n d 函数的若干经典结果推广到实轴上 2 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 第二节预备知识 第二节预备知识 在本节中，我们将介绍一些基本概念和结果主要参考文献是 d u 】，【z y l ， 【z y 2 首先我们给出一些基本概念及记号a = 名： l 】u o o ) 分别表示扩充复平面e 上的单位圆和单位圆的外部，s 表示单位 圆周，和l 分别表示上半平面和下半平面，r 表示实轴0 = ( a z i o y ) 2 和5 = ( 如+ l a y ) 2 为通常意义下关于名和之的复导数 在研究实分析和三角级数理论时，z y g m u n d z y l 】引入了z y g m u n d 函数的 概念实轴r 上的一个连续函数妒属于z y g m u n d 类( 见 z y l ， z y 2 i ) ，记为a 。( r ) ， 如果对于所有实数z 和h 0 ， 妒( z + h ) 一2 砂( z ) + 妒( z 一九) i = d ( h ) z y g m u n d z y l 】得到了这类函数许多重要的性质，并证明了z y g m u n d 函数在调 和共轭算子作用下的不变性为了方便起见，对于s t 上的一个连续函数， 如果，( 扩) a 。( r ) ，我们记，a 。( e 徊) z y g m u n d 函数在复分析的研究中有着十分重要的作用，特别和解析函数 有着密切的关系下面的两个定理是十分经典的结果( 见【d u 】，【p o 】，【z y 2 】) 在 本文中我们将在上半平面上证明类似的结果 定理a 设，是在上的解析函数，则，在us 1 上连续，且，a 。( e 谢) 的充 要条件是l 尸( z ) l ( 1 一评) 2 = d ( 1 ) 定理b 设，在上解析，若r e f ( z ) 在a u s l 上连续，且觑，a 。( e 徊) ，则i m f ( z ) 在us 1 上连续，且j m ，a + ( ) 近年来很多学者对z y g m u n d 函数和拟共形形变之间的关系进行了深入的 研究根据a h l f o r si a h 的定义，区域d 上的一个复值函数，称为拟共形形 变，是指，在d 内有广义导数石，且5 ，l e e ( d ) r e i c h c h e n 【r c 】证明了对于 单位圆周s 上的一个连续函数，当，a 。( ) 时，可以拟共形形变延拓 到单位圆内反之，如果，在单位圆上存在拟共形形变延拓，并且满足规范 条件& 【- ，( 2 ) 】_ 0 ，则，a 。( ) 在研究z y g m u n d 函数的f o u r i e r 系数时，沈玉 良 s h 】进一步研究了单位圆周上的z y g m u n d 函数对于单位圆周上的一个连 3 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 第二节预奋知识 续函数，考虑c a u c h y 积分 酬加丽1z 。警，z a o 更精确地，当z 时，记f ( z ) = c ( 烈z ) ，而当z 。时，记g ( 2 ) = c ( ，) ( z ) f 和g 分别在和内解析 定理c s h 】设，是单位圆周上的连续函数，则下列表述等价： ( 1 ) ，k ( e 讲) ； ( 2 ) if s 。斋竺每i = o ( ( i z l 2 1 ) 一2 ) ，v z u ； ( 3 ) f 和g 分别可延拓为整个复平面上的拟共形形变户和0 ，并且当名_ o o 时，户( 名) = d ( 名2 ) ； ( 4 ) ，可延拓为整个复平面上的拟共形形变，并且当名_ o o 时，( z ) = o ( z 2 ) 在本文中我们也将在上半平面上证明类似定理c 结果为此，我们需要 r e i c h r e 】的如下定理 定理d 对于实轴r 上实值z y g m u n d 函数，定义 h f ( 小譬e 羔，w 6h 则h f 是，在上半平面上的拟共性形变延拓，并且当z _ 时，h f ( w ) = d ( 叫2 ) 4 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 第三节基本结果 第三节基本结果 在这节中，我们将给出实轴上的z y g m u n d 函数在拟共形形变延拓方面的 一些基本结果 引理3 1 假设，是实轴r 上的z y g m u n d 函数，则存在，在整个平面上的拟共 性形变延拓五并且当w o 。时，( 伽) = d ( 伽：) 证明：先假设，为实值函数定义函数，为：当伽时，( 协) = 日，( 伽) ； 当伽l 时，( 叫) = 丽显然对任意的w c ，有式子，( 仍) = ，( 伽) 成立定 理d 说明，是，在h 上的拟共性形变延拓，从而，也是，在l 上的拟共性形 变延拓因而，是，在整个复平面c 上的拟共性形变延拓显然，当锄一 时，( 叫) = d ( 2 ) 若，为复值函数，记，( z ，可) = ( z ，) + 沈( z ，y ) ，其中 ( z ，y ) 和丘( z ，可) 均为 实值z y g m u n d 函数按上述方式定义五和五，并记，= 五+ t 五于是，是， 在整个复平面c 上的拟共性形变延拓，且当伽一。时，( 伽) = o ( w 2 ) 引理3 2 设函数，是r 上连续函数，且存在c 上的拟共形形变延拓z 使得 当伽斗o 。时，氕伽) = o ( w 2 ) ，贝l j ，a 。( r ) 证明：我们借用g a r d i n e r - s u l l i v a n g s 】的讨论记石，= p ，则1 1 p 1 1 。 + 。定 义 即卜掣z 卷蠕艇c 则f 是c 上的拟共形形变，卯= p ，且当w _ 。时，f ( ) = o ( 1 w ll o g ) 于 是，= f + h ，其中h 是c 上的全纯函数由于当w o 。时，氕伽) = d ( 叫2 ) ，从 而九( t ，) = o ( w 2 ) 由于h 在c 上全纯， ( 叫) = a + b w ，从而h i a 。( r ) 所以，下面 我们只需证明，f i r a + ( r ) 注意到 跏，一妻上c 击+ 孚一尚m 蚴， 因此， ! ! 兰1 2 二! ! ! 型! ! 兰二尘 t 一三 i f 上乒而若再两蜊叼 一要上裂装蛐 5 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 第三节基本结果 于是， l 堕生掣丛型卜毕上赤1 1 蚴 0 ，当 i t z o i 2 6 时，有i f ( t ) 一，( z o ) i e 于是， i “嘣一f 豢碍一南帅) 叫z 。) ) d t l 妻z - x 0 1 2 6 i 南一南f 疵 对于( 木水，- c ) 式，考虑i z z o l 6 ，从而 l 妻以踹。巧南一南】( ，_ ，( 训冲i 罢以最垆i 南一南m ) - ，( 酬班 昙以僦：。( 嘉+ 1 ) i ，( t ) 叫洲t 此时积分号内为有界所以当s ，一0 时，( 木掌) 和( 宰牛宰) 的结果都趋于零 综上可知， 。l i m 。【r e a ( w ) 一( 1 一y ) f ( x o ) 】= 0 ， 即 l i m r e a ( w ) = ，( z o ) + o n 7 因此r e a 在hur 上连续，p e a l r = ， 现在我们来证明以下定理 定理4 3 设，是上的解析函数，在h u r 上连续，且当w _ o 。时，( ) = d ( 伽2 ) 如果r e f a 。( r ) ，则i r a 瓜( r ) 证明：记f ( w ) = 让( 伽) + 如( ) ，其中u ( 伽) 和口( 叫) 分别是皿上的实值函数， 札在衄ur 上连续，且u i r a 。考虑 撕，= 譬e 燕妣伽吨 引理4 1 说明，a 在上解析，p l e a 在ur 上连续，且r e a l r = u | r 容易看 到，当w _ 时，a ( 伽) = o ( w 2 ) 直接计算可以得到 删= 磊1e 南一南m t ) d r ， 9 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓第四节上半平面上具有拟共形形变延拓的解析函数 脚) = 磊1e 器氓 以叫) = 磊1e 器出 由于训r a 。，取缸在皿上的拟共形形变延拓瓦并记5 ( 苞) = p ，则 以啦嘉e 器出= 等上器蚴， 从而 以川m 2 ( ) 一；3 ( 加一妒上器武d 叩= d ( 1 ) 定理4 1 说明，a 在ur 上连续，且a a ( r ) 另一方面，通过直接计算可以得到1 a f 叫) = - j i m ，f i l + i w r e f ( i ) + 厂f 叫) 于是，f a 。( r ) ，从而i m f = 一i ( f r e f ) a 。( r ) 注r e i c h 【r e 】曾不加证明的指出定理4 3 成立这里我们利用定理4 1 给出了 定理4 3 的完整证明 1 王丽君：z y g m u n d 函数的调和拟共形形变延拓 1 0 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 第五节实轴上z y g m u n d 函数的拟共形形变延拓 第五节实轴上z y g m u n d 函数的拟共形形变延拓 对于r 上的实值z y g m u n d 函数u ，定义 舢，= 譬e 揣枷呱 更精确地，当t u 时，记a ( ) = f ( t ，) ，当t ，l 时，记a ( t u ) = g ( t l ，) ，则f 和g 分别在h 和l 上解析定理4 3 的证明说明，f 在u r 上连续，且f 儿( r ) 由于觑f f r ：u ，我们记h u = i m f i r 注意到g ( 伽) = 一f ( t o ) ，g 在l ur 上连续， 且r e g i r = 一让，i m g l r = h u 对于r 上的任意z y g m u n d 函数，定义 舢) = 等e 志蛐舢l 更精确地，当伽h 时，记a ( 叫) = f ( 伽) ，当w l 时，记a ( 伽) = g ( 仰) ，则f 和 g 分别在皿和l 上解析如果，= u + i v ，我们记h f = h u + i h v 则上述讨论 说明，f 在hu r 上连续，f a 。( r ) ，且f l r = ，+ i h f 同样，g 在l ur 上连 续，且c l r = 一f + i h f 于是我们有： 定理5 1 设，是r 上的连续函数，且存在q 2 使得当z 一。时，( z ) = o ( i x l 。) 则下列说法等价： ( a ) ，a 。( r ) ； ( b ) f 和g 分别存在整个复平面上的拟共形形变延拓户和0 ，并且当伽_ 。 时，p ( w ) = o ( w 2 ) ，0 ( 伽) = d ( 伽2 ) ； ( c ) ，存在c 上的拟共形形变延拓五且当w _ 。时，氕t u ) = d ( 叫2 ) ； ( d ) a 删( w ) z m 2 ( ) = d ( 1 ) 证明：引理3 1 和3 2 说明( a ) 铮( c ) ，定理4 1 和4 2 说明( b ) 铮( d ) 本节一开 始的讨论说明( a ) 号( b ) 只需证明( b ) 净( a ) 事实上，对于t t ， 即，= 掣e 鼎此 丽= 一譬e 淼砒 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 第五节实轴上z y g m u n d 函数的拟共形形变延拓 于是， 即) 一丽= 掣e 踹砒 即) + 丽= 掣e 踹班 根据引理4 1 的结论可知 ，+ 7 = r e ( f ( w ) 一否丽万) l r a 。( r ) ，z ( f 一一f ) = r e i ( f ( w ) + 否丽万) l r a 。( r ) 从而 ，a 。假) 1 2 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 参考文献 参考文献 a h 】a h l f o r sl v ，q u a s i c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n sa n dm a p p i n g si nr n ，j a n a l m a t h ，1 9 7 6 ， 3 0 ，7 4 - 9 7 【d u 】d u r e np l ，t h e o r yo fh ps p a c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 7 0 【g a 】g a r d i n e rf p ，t e i c h m i i l l e rt h e o r ya n dq u a d r a t i cd i f f e r e n t i a l s ，w i l e y i n t e r s c i e n c e ，n e w y o r k ，1 9 8 7 g h lg a r d i n e rf p a n dh a r v e yj ，u n i v e r s a lt e i c h m i i l l e rs p a c e ，i nh a n d b o o ko fc o m p l e x a n a l y s i s ，g e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r y , 2 0 0 2 ，v 0 1 1 ，4 5 7 - 4 9 2 【g l 】g a r d i n e rf p a n dl a k i cn ，q u a s i c o n f o r m a lt e i c h m f i l l e rt h e o r y , m a t h s u r v e y sm o n o g r ， 7 6 ，a m e r m a t h s o c ，2 0 0 0 【g s 】g a r d i n e rf a n ds u l l i v a nd ，s y m m e t r i cs t r u c t u r e so nac l o s e dc u r v e ，a m e r j m a t h ， 1 9 9 2 ，11 4 ，6 8 3 - 7 3 6 【l e 】l e h t oo ，u n i v a l e n tf u n c t i o n sa n dt e i c h m f i l l e rs p a c e s ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 6 n a l 】n a gs ，t h ec o m p l e xa n a l y t i ct h e o r yo ft e i c h m f i l l e rs p a c e s ，w i l e y - i n t e r s c i e n c e ，1 9 8 8 n a 2 】n a gs ，o nt h et a n g e n ts p a c e t ot h eu n i v e r s a lt e i c h m f i l l e rs p a c e ，a n n a c a d s c i f e n n ， 1 9 9 3 ，1 8 ，3 7 7 - 3 9 3 【n v 】n a gs a n dv e r j o v s k ya ，d i f f ( s 1 ) a n dt h et e i c h m f i l l e rs p a c e ，c o m m u n m a t h p h y s ， 1 9 9 0 ，1 3 0 ，1 2 3 - 1 3 8 p o 】p o m m e r e n k ec h ，u n i v a l e n tf u n c t i o n s ，g o t t i n g e n ：v a n d e n h o e c ka n dr u p r e c h t ，1 9 7 5 【r e r e i c he ，o n8 0 m er e l a t e de x t r e m a lp r o b l e m s ，r e v r o u m m a t h p u r e sa p p l ，1 9 9 4 ， 3 9 6 1 3 6 2 6 r c 】r e i c he a n dc h e nj ，e x t e n s i o n sw i t hb o u n d e d0 - d e r i v a t i v e ，a n n a c a d s c i f e n n ， 1 9 9 1 ，1 6 ，3 7 7 3 8 9 【删r e i m a n nm ，o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，i n v e n t 实轴上的z y g m u n d 函数及其拟共形形变延拓 参考文献 m a t h ，1 9 7 6 ，3 3 ，2 4 7 - 2 7 0 【s h s h e ny u l i a n g ，f o u r