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功能梯度梁的无网格计算 中文摘要 作为一种新型的数值计算方法，无网格法仅仅需要在域内分布一些相互独立的点， 而不是相互连接的单元，所以可以减少大量的数据准备，避免了普通有限元法和边界元 法在计算中需要的网格生成或重生成，以及在大变形( 如金属成型，高速碰撞等) 计算 中可能遇到的单元自锁、扭曲、畸变、移动等问题。 本文基于径向基函数插值、一维积分技术和相似方程方法，提出了一种无网格算法， 并用该算法分析了基于欧拉梁弯曲变形理论的等截面或变刚度匀质梁和功能梯度梁的 弯曲变形问题。根据梁控制微分方程的特点，即四阶非齐次微分方程，首先，相似方程 方法被用来把原控制微分方程转换为等效的四阶微分方程，然后径向基函数插值和一维 积分技术被分别用来构造对应于非零右端项的特解和齐次解部分；最后，通过使获得的 近似场变量在配点处满足原控制微分方程和边界条件可以解得所有的未知插值系数。和 经典的k a n s a 方法相比，本文所提出的无网格算法可以方便地处理边界条件，不需要在 配点方式上做特殊处理。大量的计算结果显示该算法理论基础简单，易于程序实现，具 有较好的计算精度和收敛性；同时，论文也比较了不同径向基函数的计算精度问题，结 果表明简单的幂型径向基函数和t p s 径向基函数就可以获得不错的计算精度。此外，论 文也讨论了不同梯度材料参数对梁弯曲变形的影响。 从算法的实现过程可以看到，本文所提出的无网格算法可以很容易的应用于其它问 题，如变刚度梁弯曲问题、动态梁振动问题和非线性弯曲问题等的计算和分析。 最后，作者将本文研究利用m a t l a b 程序对各向同性匀质梁的静态弯曲变形和功能 梯度梁的静态弯曲变形进行了数值计算，并取得了非常精确的结果，同时对有待进一步 研究的问题进行了讨论。 关键词：无网格方法径向基函数相似方程方法功能梯度材料欧拉梁弯曲理论 功能梯度粱的无网格计算 a b s t r a c t a sa l t e r n a t i v e st ot h eg e n e r a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o df f e m ) a n db o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( b e m ) ，t h em e s h l e s sn u m e r i c a lm e t h o d sh a v er e c e n t l yb e c o m ep o p u l a ri nc o m p u t a t i o n a l m e c h a n i c s s i n c et h em e s h l e s sm e t h o d sd i s c r e t i z et h ed o m a i nb ym e a n so fs e p a r a t ep o i n t s ， i n s t e a do fe l e m e n t s ，t h e yh a v es u c hp r o p e r t i e sa ss i m p l ed a t ap r e p a r a t i o n ，a v o i d i n gm e s h g e n e r a t i o no rr e m e s h i n g ，a n da v o i d a n c eo fm e s hl o c k i n g , d i s t o r t i o ni nl a r g e d e f o r m a t i o n p r o b l e m s ，f o re x a m p l e ，m e t a lf o r m i n g ，h i g h s p e e dc r a s h ，a n ds oo n i nt h e p a p e r , an e wm e s h l e s sa l g o r i t h mc o m b i n i n gr a d i a l b a s i s f u n c t i o n ( r b n a p p r o x i m a t i o n ，o n e d i m e n s i o n a li n t e g r a lt e c h n i q u e sa n dt h ea n a l o ge q u a t i o nm e t h o d ( a e m ) i sp r o p o s e da n dt h e n ，i ti sa p p l i e dt oa n a l y z eb e n d i n gp r o b l e m so fi s o t r o p i ch o m o g e n e o u s b e a m sa n df u n c t i o n a l l yg r a d e db e a m sb a s e do nt h ec l a s s i ce u l e r - b e r n o u l l ib e n d i n g d e f o r m a t i o nt h e o r y d u et ot r a n s v e r s el o a d s ，t h et y p i c a lb e a mb e n d i n gf o r m u l a t i o ni sa n o n h o m o g e n e o u s f o u r - o r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，s o i t s n e c e s s a r y t ot r e a tt h e n o n h o m o g e n e o u st e r m sb ym e a n so fs p e c i a lw a y s i nt h ep a p e r , t h ep r o p o s e dm e t h o df i r s t l y e m p l o y st h ea n a l o ge q u a t i o nm e t h o d 正旧t oc o n v e r tt h eo r i g i n a lg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a l e q u a t i o no f b e a m st oa ne q u i v a l e n to n e ，a n dt h e n , t h er b fi n t e r p o l a t i o na n do n e - d i m e n s i o n a l i n t e g r a lt e c h n i q u e sa r eu s e dt oc o n s t r u c tt h eh o m o g e n e o u sp a r ta n dp a r t i c u l a rp a r to f d e f l e c t i o n ，r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , m a k i n gt h ea p p r o x i m a t e ds o l u t i o no fu n k n o w nf i e l dv a r i a b l e s a t i s f i e st h eo r i g i n a lb e a mb e n d i n ge q u a t i o na tt h ei n t e r p o l a t i o np o i n t sa n df o u rb o u n d a r y c o n d i t i o n sa tt w ob o u n d a r yn o d e st og i v ea l lu n k n o w n s c o m p a r e dt oc l a s s i ck a n s a s c o l l o c a t i o nm e t h o d , t h ep r e s e n t e dm e s h l e s sm e t h o dc a nt r e a tt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n si n c o n v e n i e n c ea n dd o n tn e e ds p e c i a lc o l l o c a t i o nd i s t r i b u t i o n ，w h i c hi sn e e di nt h ek a n s a s m e t h o df o r s o l v i n gb e a mb e n d i n gp r o b l e m s m u c hn u m e r i c a lp r a c t i c e si n c l u d i n g c o n v e n t i o n a lt 1 1 i nb e a ma n df u n c t i o n a l l yg r a d e db e a mb e n d i n gp r o b l e m ss h o wt h a tt h e p r e s e n t e dm e s h l e s sm e t h o dp o s s e s s e ss u c ha d v a n t a g e sa ss i m p l et h e o r yr e q u i r e m e n t , e a s eo f p r o g r a m m i n g , g o o da c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c e a tt h es a m et i m e ，t h ep a p e ra l s oc o m p a r e s d i f f e r e n tr a d i a lb a s i sf u n c t i o n sa n df m d st h a ts i m p l ep sa n dt p sr a d i a lb a s i sf u n c t i o n sc a n b r i n gg o o da c c u r a c y i na d d i t i o n , t h ee f f e c to fm a t e r i a lp a r a m e t e ri nf g mt ob e n d i n g d e f o r m a t i o na l s oi sd i s c u s s e di nt h ep a p e r a tl a s t , t h ep r o c e s so fi m p l e m e n t a t i o nt e l l su st h a tt h ep r o p o s e dm e s h l e s sm e t h o dh a sa i i i 河南工业大学硕士学位论文 p o t e n t i a li ns o l v i n go t h e rb e a mw i t hv a r i a b l es t i f f i a e s s ，d y n a m i cv i b r a t r i o no fb e a m sa n d n o n l i n e a rb e n d i n gp r o b l e m si nc o m p u t a t i o n a lm e c h a n i c s k e y w o r d s ：m e s h l e s sm e t h o d ；r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ；a n a l o ge q u a t i o nm e t h o d ；f u n c t i o n a l l y g r a d e dm a t e r i a l s ；e u l e r - b e m o u l l ib e a mb e n d i n gt l l e o r y i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得河 南工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 论文作者签名：孬毖私垄 日期：幽! z 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南工业大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；本 人授权河南工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编 学位论文。( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：日期： 导师签名：日期：竺丑! 堑! ! 有关知识产权的保证 本人所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。本人在校期间的研究成果及发表的论文，知识产权归河南 工业大学所有。本人毕业后发表的、以本人在校期间研究成果为基础完 成的论文、研究报告及其它科研成果，将署名河南工业大学为作者单位。 论文作者签名：勉日期：翌竺乙兰：2 导师签名：p 日期：二銎! 蝉 功能梯度粱的无网格计算 1 1 选题背景 第一章绪论 作为一种常见的工程结构，梁在工程实践中占有重要的地位。作为空间三维结构的 力学简化，一维梁理论具有理论简单、便于工程分析应用等重要特征。目前，梁的弯曲 理论主要有下面三种： 口欧拉伯努利( e u l e r - - b e r n o u l l i ) 梁理论 口铁木辛柯( 1 恤o s h e n k o ) 梁理论 口高阶剪切变形梁理论 其中，欧拉伯努利梁理论【l 】没有考虑剪切变形的影响，认为梁变形后的截面依然保 持为平面且垂直于变形后的中间轴线，从而导致梁横截面的合成剪力只能通过平衡关系 恢复得到。然而，这种假设仅仅适用于细长梁弯曲变形。对厚梁弯曲问题，铁木辛柯梁 理论【2 】引入了剪切对梁变形的影响，认为梁变形后的截面依然保持为平面但不再垂直于 变形后的轴线。从这个角度而言，铁木辛柯梁理论有时也被称作一阶剪切变形理论 ( f i r s t o r d e rs h e a rd e f o r m a t i o nt h e o r y , f s d t ) 。但是，在铁木辛柯梁理论中，梁横截面的 合成剪力的计算需要涉及到剪切系数的确定。同时，利用铁木辛柯梁理论导出的梁上下 表面的剪应力分布不为零和实际状况不符。为了克服铁木辛柯梁理论的不足，一些高阶 梁理论，主要是三阶剪切变形理论( 耽i r d o r d e rs h e a rd e f o r m a t i o nt h e o r y , t s d t ) 口】，相 继被提出。在三阶剪切变形梁理论中，梁的横截面在变形后不再是平面，而是变成了抛 物形曲面。这样，计算剪力时不需要剪力校正系数，同时自然满足梁的上下表面剪应力 自由的条件，提高了横向剪应力的计算精度，比较适合用于厚梁的弯曲分析。 在大部分的实际工程应用中，能用解析方法得出精确解答的只是少数荷载简单、边 界形式简单的少数问题；对大部分的梁弯曲问题，由于工况和边界条件的复杂，人们常 常需要借助于计算机利用数值方法求解。经过若干年的发展，数值计算方法已经成为工 程实践中解决各种力学问题的重要方法之一。 目前，常用的数值求解方法主要有有限元法【4 】( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d , f e m ) 和边 界元法1 5 1 ( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d , b e m ) 。基于弱变分泛函和单元插值的有限元法能 够利用计算程序求解复杂边界条件下的系统方程，材料性能可以在各个单元上单独定 义，因而具有较强的求解适应性和扩展性；但是计算精度差、网格划分费时、计算量大 等是有限元法不容回避的事实。在梁弯曲方面的工作主要有【6 9 】。而边界元方法利用基 河南工业大学硕士学位论文 本解的定义，通过分布积分技术可以把域积分转换为边界积分方程；和有限元法相比， 边界元法的优点是降低了求解维数、减少了数据准备、域内变量可以精确满足控制微分 方程，可以方便的处理无限域问题。但是边界元法的不足也非常明显，对基本解的依赖 性、边界奇异积分的计算和难于处理非齐次右端项等问题限制了它的更进一步发展应 用。作为改进的边界单元积分算法，t h ed u a l r e c i p r o c i t ym e t h o d ( d i 哪和t h e m u l t i p l e - r e c i p r o c i t ym e t h o d ( m r m ) 川分别被n a r d i n i 和n o w a k 等人用于把域积分转换为 边界积分。其中，d r m 利用径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ，r b f ) 来近似非齐次项， 进而获得对应特解；而m r m 通过高阶基本解迭代来实现移除域积分的目的。n o w a k 和p a r t r i d g e 1 2 1 比较了这两种处理办法并给出了相应的评论。此外，k a t s i k a d e l i s 提出了 一种相似方程方法( a n a l o ge q u a t i o nm e t h o d a e m ) 】来间接处理那些基本解难于得到的 问题，事实上，相似方程方法通过构造和原问题等价的线性系统来获得最接近原问题解 的表达式。但是，他们对体力积分的处理依然采用普通边界元法中的处理办法，同时也 没有解决边界型算法对基本解的依赖性问题。在梁弯曲问题的边界积分算法求解方面， 相关的工作和有限元相比较少，主要有：p r o v i d a k i s 等【1 4 】用边界元法分析了欧拉梁的振 动问题；a n t e s ”1 推导了t i m o s h e n k o 梁的基本解并发展了相应的边界元算法； k a t s i k a d e l i s 利用a e m 思想研究了基于欧拉梁理论的变刚度梁的大挠度弯曲 1 6 1 和非线性 振动问题”“。 无论是有限元法还是边界元法，共同的特征是都需要划分单元网格。而这在实际计 算过程中，单元网格的划分非常耗时，并且对金属成形、高速撞击、裂纹动态扩展等大 变形问题，单元网格可能会产生严重的扭曲和畸变，导致负的j a c o b i a n 矩阵，影响计算 精度和问题求解。 为了求解这些问题，一些不需要网格的数值计算方法应运而生。从2 0 世纪7 0 年代 开始，这类方法就已经出现。直到1 9 9 6 年，b e l y t s c h k o 等【哺1 首次提出将不用单元和网 格的数值计算方法称为无网格法( m e s h l e s s m e s h f i e em e t h o d ) 。顾名思义，无网格法采 用基于互不相关的离散点的近似插值，不需要对研究域或边界进行单元网格划分或重 构，可以彻底消除单元自锁、重构、失效等问题，不仅可以保证计算精度，而且简化了 数据准备和后处理，降低了计算难度，具有很重要的研究价值和应用前景。 目前，根据点离散特征，即研究域点离散还是域边界点离散，无网格方法大致可以 分为两大类别：域型无网格方法和边界型无网格方法。 域型无网格方法采用在研究域内分布离散点，分别利用移动最小二乘近似( m o v i n g l e a s ts q u a r e ，m l s ) 、s h e p a r d i 累i 数插值、单位分解近似、重构核函数近似、( 局部) 径向基 函数( r a d i a lb a s i sf i m c t i o n , r b f ) 插值等方法构造局部近似形函数，然后利用弱积分方 程获得最终的离散方程组。代表性的方法主要有漫射元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d , 功能梯度粱的无网格计算 d e m ) ( 1 9 1 、无单元g a l e r k i n 法( e l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d , e f g m ) 2 0 1 、重构核质点法 ( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d , r k p m ) 2 ”、h p 云法f 2 2 1 、单位分解有限元法( p a r t i t i o no f u n i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，p u f e m ) t 2 ”，无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m e s h l e s sl o c a l p e t r o v - g a l a k i nm e t h o d , m l p g ) 1 2 4 ) 、局部边界积分方程法( 1 0 c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n m e t h o d , l b i e ) 、点插值法o ) o i n t i n t e r p o l a t i o n m e t h o d , p i m ) 2 5 1 、自然邻接点法【2 6 1 等。这 类方法计算精度和稳定性较好，但是涉及积分计算，计算量大，有些还需要背景积分网 格。此外，还有一些无需数值积分的域内配点方法，如光滑质点流体动力学( s m o o t h e d p a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p i - i ) 法 2 r l 、有限点法( t m i t ep o i n tm e t h o d ，f p m ) 2 剐、无网格配点 法f a d o m tc o l l o c a t i o nm e t h o d ，p c m ) 【2 9 】、h p 无网格云团法( h p - m e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ) 3 0 1 、 k a n s a 配点方法【3 ”、h e r m i t e 对称配点方法【3 2 1 、最t b - - 乘配点无网格法【3 3 】，g a l e r k i n 最小 二乘配点无网格法1 3 4 】等。由于不需要数值积分，所以配点方法的计算效率比积分型方法 高，但是稳定性稍差。 这些无网格法之间的区别主要在于所采用的近似形函数( 如m l s 、r b f 等) 和微分 方程的弱等效形式( 如g a l e r k i n 方程、p e t r o g a l e r k i n 方程、配点) 不同。建立近似形函 数时不借助于网格，基于函数逼近近似而非插值是域型无网格法与有限元法的主要区 别。这也导致大部分域型无网格法的近似形函数不具有插值特性( 艿函数性质) ，难于 采用和有限元法类似的过程处理本质边界条件。 和域型无网格方法相比，边界型无网格方法的种类较少。类似于边界元法，边界型 无网格方法通常需借助于问题的基本解来保证域内控制方程的精确满足，从而把求解重 点转移到边界上。基于数值积分的边界型无网格方法主要有边界节点法( b o u n d a r yn o d e m e t h o d , b n m ) 3 5 和改进的杂交边界点法( h y b r i db o u n d a r yn o d em e t h o d , j m 田【3 嗣。其中 边界节点法从边界积分方程的正则形式出发，利用m l s 方案构造近似函数，从而获得关 于边界虚拟节点变量的线性方程组。但是这个方法需要借助于背景网格来完成积分计 算，因而不能称之为纯粹的无网格方法。针对这个问题，张见明等【3 6 】基于杂交边界元和 局部边界积分方程的思想，将修正的变分原理和m l s 近似方案相结合，提出了杂交边界 点法。这个方法不需要背景积分网格，只对边界进行配点离散，是一种纯无网格方法。 此外，还有一些无需数值积分的边界配点型无网格算法，如基于基本解线性叠加的基本 解法( m e t h o do ff u n d a m e n t a ls o l u t i o n s ，m f s ) 郾】、基于高阶非奇异的齐次通解和多重互易 迭代的边界粒子法( b o u n d a r yp a r t i c l em e t h o d , b p m ) 【3 8 3 9 1 、以及基于非奇异t - c o m p l e t e 完 备解系线性叠加的t r e f f t z j 直界配点法( t r e f f t zb o u n d a r yc o l l o c a t i o nm e t h o d ，t b c m ) 1 4 0 ，4 1 】 等。其中，因为简单的理论基础和相对完整的基本解系列，基本解方法用的最为广泛。 基本解法有时也常被称为虚边界配点法( v i r t u a lb o u n d a r yc o l l o c a t i o nm e t h o d v b c m ) 【4 2 1 、 模拟电荷法( c h a r g es i m u l a t i o n m e t h o d , c s m ) 4 3 1 和f t r e f f t z 配点法删。 河南工业大学硕士学位论文 为了更加清楚的说明各种无网格法，我们在图1 1 中给出了无网格方法的分类框图。 无网格方法 域型无网格方法 积分型 ( 需型数甜双静) 竣射元法( d e m ) 咒单兀c a l e r k i n 让( e f g m l 啭构枚质点法c r k p v i l h p 茸法 单位分解有限 元法( p u f e m 局部边界微分 五耽诅( l b i h 正m 倍局部p c t r o v - c n l e r k n 上( m 点插值沽( p i m 配点型 f 正数执戡分， 光滑质点流体动 l 喈 s p h ) 存戳点址 f p m ) 无网格l j 芒点皓f p ( ：m 、 h d 免网格云翻 法 k a n s a 方法 h e r o i c 对称配点 方法 嫩小二乘配点无 州格法r l s a g a l c r k i n 垃小二乘 屺点无阿格让 边界型无网格方 法 积分型 ( 霹世数值榭分) 边界节点浊( b n m l 杂交边界点让 h b n ) 图i - i 无网格算法分类图 配点型 克数值秘分) 纂本解法0 “f s l 边舁鞔子法卵 m t 僻m z 配点法 由于径向基函数在单变量插值方面具有应用简单、精度较高等优势，所以在梁的无 网格计算方面，基于径向基函数插值的无网格算法应用最多。l i u 等1 4 5 j 用经典的k a n s a 方 法模拟了电驱动梁的非线性振动和变形状态。f c r r c i r a l 4 6 4 7 也采用k a n s a 方法分别研究了 基于一阶剪切变形理论( f s d t ) 和高阶剪切变形理论的复合材料层合梁的变形，径向基 函数插值被分别用来近似挠度项和转角项。此外，无网格m l p g 方法也常被用来分析梁的 变形问题。a t l u r i 、c h o 和k i m 4 8 1 用基于移动最小二乘法( m l s ) 的m l p g 方法分析了薄梁 的变形；类似的工作还有文献 4 9 5 1 。x i a o 和m c c a r t h y 【5 2 】用m l p g 方法和子域变分公式 研究了欧拉伯努利梁在非线性支撑边界条件下的弯曲计算问题；他们还用同样的方法 研究了t i m o s h c n k o 梁的弯曲接触问题 5 3 1 。r a j u 等 5 4 , 5 5 1 用径向基函数插值代替移动最小二 功能梯度粱的无网格计算 乘法构造出了新的m l p g 方法来分析梁的弯曲问题，简化了目标函数的求导过程。 1 2 选题意义 目前，用于分析梁问题的大多数无网格方法，如基于径向基函数插值的k a n s a 方法和m l p g 方法，各有自己的特点。 k a n s a 方法直接使用径向基函数来近似插值目标变量( 挠度和转角) ，使之在梁跨度 范围内满足控制方程和边界条件，进而确定所有的未知插值系数。这种方法思路比较简 单、有较强的适用性，可以方便地处理多种边界条件和横向荷载分布，是一种强近似方 法；但是该方法缺乏必要的物理意义，同时最终得到的线性方程组的系数矩阵非对称， 不利于方程组求解。另外对梁理论而言，每个边界点都有2 个未知量，所以，基于r b f 直接配点的k a n s a 方法需要特殊的配点手段来满足梁的这样的边界特点。 m l p g 方法是一种局部弱近似方法。利用m l s 近似或径向基函数近似构造试函数， 结合局部弱积分方程完成梁的无网格分析。这种方法的最大特点是可以象有限元一样灵 活地用于多种问题求解，具有很大的灵活性，但是过程相对复杂，试函数的构造和导数 推导相对比较复杂和繁琐。 本文拟结合梁问题控制方程的特点，采用径向基函数插值来分析梁的弯曲问题。对 各向同性匀质梁弯曲问题，该算法首次使用径向基函数来插值横向荷载部分，进而利用 梁方程解析推导出对应挠度特解的表达式；而齐次挠度解部分则完全由一维积分得到， 而边界条件的满足可以给出这4 个未知积分系数。然而，对非匀质的功能梯度梁弯曲问 题，不易直接分离出对应的齐次解和特解部分。作为改进，本文引进希腊学者 k a t s i k a d e l i s 1 3 1 在边界元计算中采用的相似方程法的思想，可以用最接近原问题的四阶微 分算子作用在待定的场变量( 挠度) 上产生和原问题等价的线性微分方程，而这个方程 的解容易利用径向基函数插值和一维积分间接地构造出来，最后使之满足原功能梯度梁 的控制方程和边界条件以确定所有的未知系数。 1 3 本文的主要工作和结构安排 本文基于经典的欧拉- 伯努利梁弯曲理论，根据梁控制方程的特殊性，结合径向基 函数近似，提出了一种新型的无网格算法，并用该算法详细研究了各向同性匀质梁和功 能梯度梁在各种荷载情况和边界条件下的弯曲问题。 总体上，本文的工作可以分为以下两部分： 夺各向同性匀质梁弯曲问题的研究 ( 1 ) 径向基函数插值构造挠度特解部分 河南工业大学硕士学位论文 ( 2 ) 一维积分确定挠度的齐次解部分 ( 3 ) 满足边界条件 夺各向同性功能梯度梁弯曲问题的研究 ( 1 ) 功能梯度梁弯曲方程的推导 ( 2 ) 相似方程法 ( 3 ) 径向基函数插值构造挠度特解部分 ( 4 ) 一维积分确定挠度的齐次解部分 ( 5 ) 在配点处满足原控制微分方程和边界条件 根据本文的工作，相关的章节安排介绍如下： 第一章是对梁弯曲理论的发展和相关数值计算方法的产生、发展、研究现状等进行 了综述，着重讨论了常见的k a n s a 方法和m l p g 法在求解梁弯曲问题中存在的不足，提 出了相应的解决办法，阐述了本文选题的意义。 第二章介绍了论文涉及到的一些基本概念和技术。 第三章根据径向基函数插值和一维积分技术给出了各向同性匀质梁弯曲问题的 无网格求解过程。 第四章结合相似方程方法、径向基函数插值和一维积分技术，详细研究了功能梯度 梁的弯曲问题，并分析了功能梯度参数的变化对计算结果的影响。 第五章对本文的工作进行了总结概括。 功能梯度粱的无网格计算 第二章基本知识 为了本论文的方便叙述，在该章的以下部分对需要用到的基础知识如径向基函数、 相似方程法和误差分析等进行了简单的介绍。 2 1 径向基函数 径向基函数具有形式简单，无方向性等优点，常常被用于多变量离散数据插值。在 本节中，径向基函数的定义、特征及应用将被详细地介绍，并比较了一些径向基函数的 性能。 2 1 1 径向基函数基础 径向基函数是一类特殊的函数，它仅仅依赖于两点之间的距离，因此，径向基函数 具有无方向性，它可以很容易地在多维空间中使用。在表2 - l 中我们列出了一些常用的 全局径向基函数。 表2 - 1 常用的全局径向基函数 表中，c 表示形状参数；欧几里得距离_ 表示从参考点或中心点到任意空间场点 的距离，如图2 1 所示。特殊地，在二维空间中， _ = 厄i 万而i ( 2 - 1 ) 河南工业大学硕士学位论文 中心点x j 图2 - 1 欧几里得距离的定叉 场点x 利用不同的中心点，线性无关的径向基函数序列很容易被产生，这个特性可以看作 径向基函数优于多项式基函数的一个优点。起初，径向基函数被广泛地用于离散数据插 值，现在，它常常被用于数值求解( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p d e ) 问题。 2 1 2 径向基函数插值近似 径向基函数的关键特点是它可以利用几何距离定义方便地插值给定的函数。距离在 任意维空间中都很容易计算，因此在多维空间中不会带来计算量的剧增。在实际应用中， 利用给定域内任意分布的点集合，一个任意函数可以近似地表示为中心在离散点x ，的 径向基函数的线性组合，也就是说， 厂( x ) = 叫( o ) ( 2 - 2 ) ，i i 式中，工表示域内的插值点总数，口，是未知的插值系数，可以利用在离散点处给定 的函数值计算得到。 2 1 3 径向基函数的稳定性和收敛性 为了说明径向基函数插值的数值稳定性和收敛性，考虑如f 的测试函数 f ( x , y ) = 百- 7 5 1 x 2s i n i 7 xs i n 等s i n 等s i n 等 7 ，r 2 万x 7 7 r x 3 t r y 5 t r y 1 5 石。万x 7 7 r x 3 万y 5 t r y + 1 2 c o s 一6c o s 4 s m 4 s m 4 + 8 s m 一6s m 4 c o s 4 c o s 4 ( 2 - 3 ) 它在二维单位正方形域内的分布如图2 2 所示。在这个问题中，表2 - 2 中所示的分 殷光滑的低阶和高阶径向基函数，以及不同形式的无穷光滑的径向基函数被测试来考察 功能梯度粱的无网格计算 它们的收敛性和稳定性。 图2 - 2 测试函数在单位方形域内的分布 表2 27 个被测试的径向基函数 r b f l r b f 2 r b f 3 r b f 4 r b f 5 r b f 6 r b f 7 ， ，3 r 2 1 i l ， ，4 】n ， 而w 曲c ：0 5 石瓦i - w i mc ：0 5 在计算过程中，不同数量的域内规则分布的插值点被选取来进行收敛性试验，在 1 0 2 0 1 个计算点处的平均相对误差和插值系数矩阵的条件数被计算。图2 3 的计算结果 表明：相对于m q ，p s 和t p s 的收敛速度相对较慢；然而，形式的选择显著地影响m q 的计算精度和收敛速度，条件数也说明了类似的现象，即随着插值点数的增加，p s 、t p s 和带有小形参的m q 有较好的稳定性。此外，高阶基函数比低阶基函数有更好的计算精 度，然而高阶基函数的条件数比低阶大，这在大数据量计算时可能会使系数矩阵接近奇 异，影响结果的稳定性。另外有必要指出的是相对于p s ，t p s 仅仅提供有限的精度改 善，总之，二者差别不大。最后，需要说明的是在所有的径向基函数中，基于g s 插值 的计算结果性能最差。 河南工业大学硕士学位论文 图2 - 3 随着插值点数的增加平均相对误差和条件数的变化 正如一些学者指出的那样，m q 具有指数收敛速度，t p s 和p s 分别以d ( i l o g 矗i ) 和 o ( h 1 7 2 1 速度收敛，其中厅是域内离散插值点之间的距离。尽管m q 具有最快的收敛速度， 然而我们必须谨慎地选择形参c ，因为小范围的变化( o c 1 0 ) 可能引起计算结果3 个 量级的变化，所以要谨慎使用m q 径向基函数。 2 1 4 基于径向基函数的无网格配点方法和单元方法 正如前面所述，径向基函数在分散数据点插值方面有很多显著的优点，所以许多学 者开始关注径向基函数在无网格计算方面的应用。目前基于径向基函数的配点方法有两 大类型：第一种类型是通过微分或积分过程用径向基函数插值构造非齐次偏微分方程的 特解，然后结合利用基本解或一般解线性组合得到的齐次解答，共同满足相应的边界条 件。在这类方法中，代表性的方法是d r m - m f s 方法和b k m 方法。第二类是纯粹的径 向基函数配点方法。在这类方法中，近似解函数直接用径向基函数的线性组合表示，偏 微分方程( p d e ) 和边界条件直接在配点处满足。k a n s a s 方法和h e r m i t e 对称配点法是 典型的代表方法。 因为基于一般解和r b f 将会在后面章节中被广泛使用，所以在这节中，结合标准的 p o i s s o n 问题 v2“2，inq(2-4) “= g o n 西2 我们主要描述第二类方法。 方法一：k a n s a s 方法 椭圆问题的径向基函数配点方法最早由k a n s a 在1 9 9 0 年提出伽。基于这个思想， p o j s s o n 方程( 2 4 ) 的解答可以近似表示为 y_0苦12口i 功能梯度粱的无网格计算 甜* 叫( ，：f ) j - l ( 2 - 5 ) 式中，和m 分别表示边界配点数和域内的配点数+ 。 使方程( 2 5 ) 在配点处直接满足边界条件和偏微分方程( 2 4 ) 可以得到一个具有非对 称满系数阵的线性方程组 既 - a ( 2 - 6 ) 有效地用来求解单场问题，比如势问题、梁和板的弯曲问题，等等侈96 2 】。 甜* 叫( ) + 哆卸( o ) ( 2 7 ) 引钏= 目 r e c i p r o c i t yb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( d m 3 e m ) ，尽管在文献中仅仅简单的径向基函数 2 2 相似方程方法 相似方程方法是一种基于数学变换的方法。它的核心思想是用简单的带有虚非齐次 项的线性非耦合的方程或方程组来等效替换原问题的线性或非线性的控制偏微分方程， + 在k a m a 方法中，域内配点不能包含边界点 一1 1 河南工业大学硕士学位论文 进而可以采用一些数值算法如边界元法等构造由新替代方程( 组) 和原问题的边界条件 和初始条件组成的系统的解答，并最终使之在一些离散点处满足原问题的控制方程。 这个方法最早是由希腊学者k a t s i k a d e l i s 提出的，是一种类似于d r a m 方法，但是 又不同于d r m 方法的新方法。为了不至于引起混淆，在这里我们简单比较一下这两种 方法。 d r m 方法通常被称为边界型( b o u n d a r y - o n l y ) 方法，尽管它也采用域内配点来构造解 的表达式，但是离散和积分都在边界上进行。它的基本思想是从原问题的控制方程中分 离出标准的线性偏微分算子三( 1 ，并把剩余项移至等式右端作为体力项来处理： l ( u ) = 6 ( x ，_ y ，哆，。k ，哆f ，。锄) ( 2 9 ) 式中，b 一般是所含项的非线性函数。 如果线性偏微分算子三( ) 的共轭微分方程 r ( 甜+ ) = 万( j p ，q ) ( 2 - 1 0 ) 的解( 基本解) 已知，那么d r a m 方法就可以顺利地采用径向基函数插值和边界元方法 获得问题的解答。 很显然，d r m 方法很难处理下述两种情况： 伊原偏微分方程很难提取线性算子部分而表示成式( 2 9 ) 的形式，比如 哆。哆，一q 2 ，= 厂( 石，y ) ( 2 - 1 1 ) 争式( 2 1 5 ) 的基本解很难得到，比如算子ff ) 是变系数算子。 此外，对不同的问题，d r m 方法需要构造不同的积分表达式，也即需要编制不同 的计算机程序，这降低了d r m 方法的计算效率和适应性。 针对这些问题，k a t s i k a d e l i s 提出了相似方程的概念，他认为，无论什么问题，最终 的解都可以看作是坐标的函数，把最接近于原控制微分方程的的线性算子，比如l a p l a c e 算子，作用到待求的场上，从而得到等价的偏微分方程，如 v 2 ( “) = 6 ( 工，) ，) ( 2 - 1 2 ) 其中，右端项b ( x ，y ) 是虚拟的分布体力项。 进而，一些数值方法，如径向基函数插值、边界元方法等，就可以被用来求解这个 等价的线性系统，构造相应的解式。 从上面的介绍来看，相似方程方法解决了d r m 方法遇到的两个问题，同时解式的 构造可以做到统一化，减低了计算程序编制的难度。在本文中，相似方程的概念将被用 来构造无网格算法来分析功能梯度梁的变形问题。 功能梯度粱的无网格计算 2 3 常用的误差分析 在我们的计算过程中，经常用到一些误差分析。为方便起见，我们在这里给出常用 的误差定义。 相对误差： 绝对误差： r e r r ( u ) ，= a e r r ( 砧) ，= k 一刁 平均相对误差： a r e r r ( 1 1 1 = 平均绝对误差： a a e r r ( 甜) = 最大绝对误差： m a e r r ( 甜) = m ，甜a ；x 。i u ，, 一乃 最大相对误差： 研，们( 甜) = m 。纠a ；x 。 f 2 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 佗- 1 8 ) 其中，叶和乃分别表示在计算点处的解析结果和数值结果，三是计算点总数。 河南工业大学