（基础数学专业论文）一类非经典反应扩散方程的动力学行为.pdf

摘要 本博士学位论文主要是应用无穷维动力系统。1 ) 于全局吸引子和一致吸 引子存在性理论的最新研究成果并结合能量估计扛r j ，分别研究了非经典反 应扩散方程弱解和强解的长时间行为由于强解不盹正则化，因此，本文的部 分结果很难改进全文共分五章： 第一章，主要阐述了无穷维动力系统的背景，1 ：经典反应扩散方程产生的 背景，还简单介绍了本文所讨论的主要问题、主要越果和研究思想 第二章，给出了本文用到的一些基础知识 第三章，研究了非经典反应扩散方程u t 一m 一u = f ( u ) + g ，当非线 性项是临界指数增长时，相应的弱解空间硪( q ) 和强解空间日2 ( n ) n 3 ( n ) 中全局吸引子的存在性，特别地，当空间维数n = ；时，我们肯定地回答了文 献 5 2 】中提出的一个公开问题；当非线性项满足仃意阶多项式增长条件时， 我们得到了磁( n ) 中全局吸引子的存在性 第四章，研究了带有参数p 的非经典反应扩散方程。一p a u 。一a u + f ( n ) = g 的全局吸引子国乇关于参数“的变化状态首先讨论了其解的存在性，得到 肛 0 和p = 0 时对同一个初值，解的存在空间是不同的；其次建立了一致( 关 于p ) 耗散估计；再次，得到了该方程的解关于参数f 在p = 0 处的连续性；最 后得到了全局吸引子姊的一致连续性，并证明了t 在p = 0 处是上半连续 的，即是指在h a u s d o r f f 半距离意义下按照磁( n ) 的拓扑有嗣幺一确( “一o ) 第五章，讨论了非自治系统情形的非经典反应扩散方程u t 一肚地一u + f ( u ，t ) = g ( x ，t ) 的一致( 关于时间符号) 吸引子的存在性，且对方程中的外力项 9 ( x ，t ) 用比较弱的积分的绝对连续性条件取代了v v c h e p y z h o v 和m i v i s h i k 4 9 中所要求的平移紧的条件 州大学博士学位论文 o nt h e1 ) y n a m i c so fac l a s so f n o n c l a s s i c a lre a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s s u y u nw a n g f d i r e c t i 、diyp r o f e s s o rx i a n l i n gf a n ) a b s t r a c t 1 1 1t h i st h e s i s u s i n gf h er e c e n tt h e o r e t i c a lr e s u l t sa b o u tt i l ee x i s t e n c eo f g l o b a la t t r a c t o rf o ra b s t r a c t ，e m i g r o u pa n dc o m b i n i n gw i t hs o m ee s * i m a t e so f e n e r g yf u n c t i o n a l w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r so ft h ev e a ks o l u - t i o na n ds t r o n gs o l u t i o nf o rac l a s so fn o n c l a s s i c a lr e a c t i o n d i f f u s i o niq u a t i o n s s i n c et h es t r o n gs o l u t i o n sh a v en or e g u l a r i t y , p a r to fr e s u l t si nt h i st h e s i si s d i f f i ( 。u l tt ob ei m p r o v e d i nt h el i g h to f c o n t e n t s ，t h i sp a p e ri sd i v i d e ( 1i n t of i v e c h a p t e r s l h ef i r s tc h a p t e ri st oi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fi n f i n i t ed i m e n s i o n a l d y n a n f i c a ls y s t e m sa n d t h en , , n e l a s s i e mr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s a n dt h e n i n t r o d u c et h em a i np r o b l e m s r e s u l t sa n di d e a st h a tw ea r ec o u c e r n e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，s o m en e c e s s a r yp r e l i m i n a r y c o n c e p t sw ew i l lu s ei s g i v e n 。 ，1 1 h et h i r dc h a p t e ri st oc o n s i d e re x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a c t o l sf o rt h e n o n c l a s s i c a lr e a e t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n 砘一a u t a u = ，( u ) + gi nt h es p a c e 硎( n ) a n dh 2 ( n ) n 硪( n ) r e s p e c t i v e l y , w h e r et h en o n l i n e a rt e r ms a t i s f i e s t h eg r o w t hc o n d i t i o nw i t he li t i c a l e x p o n e n t i t sr e m a r k a b l et h a tw h e nt h e s p a c i a ld i m e n s i o ne q u a l st o3 ，w ea n s w e rt h eo p e np r o b l e m i nt h er e f e r e n c e 【5 2 】 p o s i t i v e l y w ea l s oo b t a i n e dt h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a c t o ro ft h ea b o v e e q u a t i o n si nt h es p a c e 嘲( q ) w h e nt h en o n l i n e a r i t yi sp o l y n o m i a lg r o w t ho f a r b i t ia r yo r d e r i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ee q u a t i o n s 地- - p a u - - a u + f ( u ) = g t h ei n f l u e n c eo fi t sg l o b a la t t r a c t o r s 略a sp a r a m e t e rpv a r i e s i n 0 ，1 】，i n p a t i c u l a r ，a 6 “_ 0i sd i s c u s s e d f i r s t l y , w es h o wt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n i nt h ed i f f e r e n c es p a c ef o rt h es a m ei n i t i a lv a l u ei nc a s eo f 芦 0a n d 肛= 0 r e s p e c t i v e l y s e c o n d l y , w ee s t a b l i s hs o m eu n i f o r md e c a ye s t i m a t e sf o rt h e s o l u t i o n sw h i c hi si n d e p e n d e n to fp a r a m e t e rp t h i r d l y , t h ec o n t i n u i t yo ft h e s o l u t i o na s “ 0i s g a i n e d f i n a l l y , w es t u d yt h eu n i f o r m l yb o u n d e d n e s s 兰州大学博士学位论文i i o fg l o b j 1a t t r a t o r s m i dl ”o v et , h e u p p - ( ( ) n t i n u i t yo f 幺a tf = o 1 f 蟛- 。t i n t h es e l l c eo fh n n s d o r f fs e m i d i s t a l l e ei nt h et o p o l o g y ( f 硎( m ；1 h “g o e s t o0 t h ef i f t h c h a p t e ri st os t u d ye x i s t e m ”o ft h eu n i f o r ma t t r a c t i r sf o rt 1 1 f ， n o n a u t o n o m o u sn o n c l a s s i c a lr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s “c p ，f a f 4 - ，( “- t ) = g ( x ，t ) w er e p l a c pt h ec o n d i t i o nt h a tgi st r a n s l a t i o nc f m p a c t i l ( 、s 8 o fe x t e r n a lf o r c et m l l li n 【4 9 】w i t ht h ew e a k e r a 8 s u m p t i o n a b s o | l i t e l yc o l l - t i n u i t yo fi n t e g r a t e 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立 进彳亍研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发 表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明 引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研 成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以 明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 幸 论文作者签名：邋：i ! 日 期 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定， 同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版， 允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和 汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相 关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：逸：i ：导师签名； 日 期： 第一章前言 1 1 综述 非线性动力系统的研究有着悠久的历史早在1 9 世纪末，p o i n c a r 6 3 2 】 的著作关于太阳系稳定性研究就较为全面地建立了动力系统及其稳定性 理论动力系统就其广泛的意义说来是研究系统演化规律的数学学科 6 3 】， 这里，演化的直接含义是指随时间的变化丽变化，当时问是连续时，称动力系 统是连续的动力系统；当时问是离散时，称动力系统是离散的动力系统动力 系统的研究经历了从有限维到无限维的发展过程一般来说，有限维动力系 统是常微分方程，而无穷维动力系统是偏微分方程从2 0 世纪8 0 年代起， 人们开始对无穷维动力系统的性质进行探讨，新思想、新方法和新结果不断涌 现吸引子的存在性、吸引子维数的上下界佑计、吸引子的近似计算，以及惯 性流形和近似惯性流形的理论正在不断发展之中 人们感兴趣的数学问题是研究系统长时间的行为n 一。) 在实际问题 中它对应于t 在给定瞬时状态之后系统的长时问、大范围演化状态与线性动 力系统在本质上不同的是非线性动力系统没有线性叠加性质，因此，几乎不可 能通过求出系统的精确解而研究系统的长时间整体行为正因为如此，试图预 测非线性系统的大范围演化和长期行为是困难的，常常会遇到混沌，分歧和对 初值特别敏感的不稳定现象，从整体来看，理解这些现象的数学概念就是动力 系统的全局吸引子 关于吸引子的存在性问题的讨论方法，传统的有三种( 详见2 2 ) 但是 这些方法或者是系统半群存在全局吸引子的充分条件，或者虽是系统半群存 在全局吸引子的充要条件，可验证起来十分困难因此，直到现在为止，人们 一直没有放弃寻找更为有效的方法去判定系统半群的全局吸引子的存在性 2 0 0 0 年，钟承奎教授等人在文27 l 中运用非线性泛函分析中的非紧性测度的 概念，把r t e m a m 著作1 4 6 】中关于垒局吸引子的存在性定理的前提中系统半 群的一致紧性换成了有界集的整体轨道的非紧性测度衰退到0 或收敛到o ( 把 这类半群称为v 一极限紧的) ，并证明了这个条件是吸引子存在的新的充分必 要条件， 定理a 设 s ( t ) ) 睦。是完备的度量空间x 中的连续半群，则 s ( t ) ) ，o 兰州大学博士学位论文 2 在x 中有全+ ，吸引子当且仅当 n ) 舟扛i 昏吸收集b ocx r 剀 s ( t 、，, 2 0 是。一极限紧的，即对任意的e 0 和x 中的任何有界集 b ，存在，( j 、 0 使得 7 ( us ( t ) b ) se 由于非紧性测度很难计算，他们又进一步根据非紧性测度的性质，给出了 有界集的整体轨道衰退到。的充分必要条件是系统的解轨道在有限维空间的 补空问中的投影的范数随着时间和有限维空闻的维数趋于无穷时而趋于零 定理b 设 s ( t ) ) t o 是b a n a c h 空问x 中的连续半群，如果以下条件 成立： r j j 存在有界吸收集b ocx i r 剀 9 ( t ! o 满足条件r 叼，即对任意的e 0 和x 中的任何有界集 b ，存在，( ，) 0 和有限维子空间x 1 ，使得 p s ( t ) z i z 曰) 有界 且 l i ( ，一p ) s ( t ) 刮 s - c ，对t t ( b ) 和z b 成立 这里p ：x x l 是标准投影 则 s ( 啪t ，o 在x 中有全局吸引子 进一步，若x 还是一致凸的b a n a c h 空间，则 s ( t ) ) 眨。在x 中有全局 吸引子当且仅当条件( 1 ) 、( 2 ) 成立 直观上看，也就是系统解的余项( 高频部分) 随着时间的推移是一个无穷 小量，这个条件为计算方法提供了理论依据他们的理论结果提供了连续半群 存在全局吸引子的充要条件，而且应用起来也十分方便 在应用上，或在具体的无穷维动力系统的吸引子的研究中，人们主要考虑 两大类问题：一类是经典的反应扩散方程，另一类是带有各种阻尼的非线性波 方程，其中，经典的反应扩散方程的典型代表是 “t 一“= ，( “) + g ，( 1 l 1 ) 由于这类方程涉及的实际问题来自于力学、物理学、生物学、化学等自然科 学中的许多学科，因此一直受到人们的重视另一方面，在反应扩散方程的 兰州大学博士学位论文 3 研究中，由于非线性项f ( 川的复杂性，使得解的存在性、正则性和对初始值 的连续依赖性以及长时问动力学行为的分析等数学中的基本问题的研究难度 增大，因此，正引起越来越多的数学物理学家、化学家、生物学家和工程师的 重视然而当非线性项的主部是耗散的情形时，已经有了许多深刻的结果 r o b i n s o n 在文献【3 5 】中给出了当非线性项，( ) 是任意阶多项式增长时，问 题( 1 1 1 ) 在l 2 ( n ) 中吸引子的存在性；最近，文献 6 2 1 分另q 得到了上述条件 下础( n ) 和日2 ( n ) nh i ( i 2 ) 中吸引子的存在性 1 9 8 0 年，a i f a n t i s 在文献f 1 1 中指出，方程( 1l ，1 ) 并没有包含反应扩散 问题中的各个方面，即始终忽略了在固体扩散过程中母质的诸如粘性、弹性、 压力等因素而a i f a n t i s 在研究中发现，作为揭示扩散的全部过程的能量方 程，它的具体的构成方程是缱着扩散物质的性质的不同而不同的例如，反应 扩散过程中的固体母质有没有压力，有没有粘性或记忆，有没有弹性等，其相 应的构成方程是不一样的他通过多方面的例子，建立了扩散过程中考虑粘 性、记忆、弹性、压力等因素的数学模型，综合起来就是下面的非经典的反应 扩散方程 l 一卢啦一“= ，似) + g ，( 11 2 ) 我们看到，粘性、记忆，弹性、压力等因素正是通过“一“毗。项来反映的，方 程( 11 1 ) 可以看作是当参数肛一o 时，方程( 1 1 2 ) 的极限方程正如a i f a n t i s 所说，文献f 1 】的目的之一就是找到了描述现代科技中出现的各种反应扩散过 程的统一的数学模型非经典的反应扩散方程广泛地出现在非牛顿流体、土壤 力学及热传导理论等领域，详见文献2 4 ，4 7 ，4 叫 从表面上来看，方程( 1 1 2 ) 含有一。项，这是它和经典的反应扩散方 程的最主要的区别，从而产生了本质的不同例如，经典的反应扩散方程的解 具有某种“正则性”，或者是“正则化过程”，具体地讲，如果初值“o 属于较 弱的拓扑空间础( n ) ，其解将会进入正则性高的强拓扑空间片2 ( q ) 因此， 我们可以和用s o b o l e v 嵌入定理得到吸引予的存在性但是，对方程( 1 1 2 ) 来讲，由于- - a m t 项的影响，如果初始值u o 属于嘲( n ) ，其相应的解u ( o ，t ) 将始终在空间硎( n ) 中，并不具有更高的正则性，这就使得r t e m a m 4 6 1 中 证明吸引子存在性的方法在这里并不适用，这一点和双曲方程是类似的 据我们查阅资料发现关于方程( 1 1 2 ) 的已有工作中，文献f 2 4 ，4 4 1 讨论 了其定性性质，而有关吸引子存在性结果，只有文献精2 】、【6 8 1 讨论了“= 1 时其弱解空间明( q ) 中吸引子的存在性，而这些工作都是对，的增长阶数有 严格的限制其中，肖跃龙教授在文献【5 2 】中讨论了当空间维数n = 3 ，非 兰州大学博士学位论炙 4 线性项f 满足次临界指数增长性条件时，方程( 11 2 ) 在弱解空间硎( f ) 中 吸引子的存在性，并提出了如下公开问题： ( p ) t h e9 m 1 j 砌c o n d i t i o n ( ，3 ) i ss u b e i t i c a l 砸琥r e s p e c t ，ot h es o b l f e m b e d d i n g t h e i n t e r e s t i n gp r o b l e mi sw h e t h e rt h eg l o b a la t t r a c t 0 7 i ss t i l le x i , 。t m 硎( n ) w i t h o u tc o n d i t o n ( f 3 ) p 这个问题进一步引发了我们对方程( 1 12 ) 的研究兴趣于是，我们致力 于考虑空间维数n n 时，如果非线性项，的增长次数是对应的s o b o l e v 嵌 入定理中临界指数的情形，方程( 1 1 2 ) 在空间弼) 中吸引子的存在性 为了得到需要的结果，我们首先认真分析了文献 5 2 】中为什么，必须满 足条件( 玛) 的原因，结果发现这是因为该文在使用了j k h a l e 的集压缩的方 法去证明吸引子的存在性时，对相应的解半群进行了分解，这使得非线性项的 紧性要依靠强耗散项的抵消去获得这时，u 一极限紧的新方法使我们看到了 在非线陛项，满足临界指数增长性条件时，解决方程( 1 1 2 ) 在空间础( q ) 中 吸引子存在性问题的可能性，但是，此时，缺少紧性带来的困难依然存在 最近，钟承奎教授等人又提出了解的无界舔分的渐近先验估计的方法 5 6 j ， 我们利用该方法巧妙地克服了这一困难，得到了所需结果而开问题( p ) 只 是我们的结果中空间维数= 3 的特殊情形此外，我们还利用这种方法得 到了该问题在强解空间日2 ( n ) n 明( n ) 中全局吸引子的存在性，相应的结果 见本文的定理3 3 3 和定理3 3 9 在上述问题的解决过程中，我们又有了新的收获：如果将上述问题做先验 估计的方法应用于非线性项是任意阶的多项式增长的情形，即，超临界指数 增长时，我们得到了方程( 1 1 2 ) 在空间翻( n ) 中吸引子存在性我们知道， 在空间维数n 3 时，如果对非线性项的增长指数不做限制，研究起来难度 较大，见j ，c r o b i l m o n 3 5 在这里对，的增长指数p 未做任何限制，我们得 到了相应的结果，见本文的定理3 4 8 这里要特别指出的一点是。非线性项，满足临界指数增长性条件和任意 阶的多项式增长条件，二者之问是彼此不包含的 正如我们前面所叙述的，非经典的反应扩散方程( 1 , 12 ) 和经典的反应扩 散方程( 1 1 1 ) 在形式上有着关联，即方程( 1 1 1 ) 是方程( 1 1 2 ) 在参数“一0 时的极限方程进一步深入分析，我们发现在适当的空间中可将方程( 1 1 2 1 改写为如下的抽象形式， u 。+ c ( p ) u + ，( ) = 可 兰州大学博士学位论文 5 其中( ，) = ( i 十肛a ) a ，a = - - 一、注意到当p = 0 时，( “) = a 是个 无界算子；当肚 0 时，它又是一个有界算子，因此在某种意义下，我们可以 把t l = 0 看作是方程( 1 1 _ 2 ) 的奇异极限，从而“一0 时方程( 11 2 ) 的动力 学行为的变化问题就变得十分有意义了由此，我们讨论了方程( 1 1 2 ) 在参 数1 0 时解的连续性和吸引子彰。关于参数“在肛= 0 处的上半连续性 全文共分三部分，下面我们分别予以说明： ( 一) 霏经典反应扩散方程u t 一“u t 一“= s ( u ) + 9 ( c ) 的吸引子的 存在性 2 0 0 2 年，削氏龙在文 5 2 l 中考虑了方程 “一p 地一= f ( u ) + 9 ( 。) ，( z ，t ) qx 豫+ ， u ( t ，z ) = 0 ， z a n ，( 1 13 ) u ( o ，x ) = u o ( 。) ， zes ! 在f 1 ( ( 2 ) 中吸引子的存在性问题，其中ncr 3 是具有光滑边界a q 的有界 区域该文要求非线性项，满足条件 ( f 1 ) l i ms u p 型 l ， 1 8 i 叶 5 其中a 是a = 一a 在空间d ( a ) = h 2 ( f ) n 础( 【2 ) 上的第一特征值 ( 岛) i ，( s ) i c ( 1 + i s l 4 ) ，v s 琏， ( f 3 ) i ，( s ) i c ( 1 + s 1 1 ) ，7 0 是任 意给定的常数，则对 t o k ，当o i l 2sr 时，有 | | & ( t ) “o s o ( t ) “o f | 1 c - ，y t f 0 ，t 兰卅i 大 博士学位论文 定理1 1 6 问题r j j 纠的全局吸引子瓤在p = 0 处关于肛按照 = h ：( ! ) ) 的拓扑是上半连续的，即 叱( 嘭，蛹) 0 ， 当肛一。时 ( 三) 非自治的非经典反应扩散方程 在这一部分，我们讨论如下的1 e 自治的非经典反应扩散方程 t ，一# a u t 一珏十，( t ) ：9 扛，t ) ，( z ，t ) n r + u ( t ，。) = 0 ，x ( 1 1 ，7 ) 训f _ r = u ， 一致( 关于时间符号) 吸引子的存在性，其中nc 眇是具有光滑边界甜2 的 有界开区域，参数p 【0 ，1 1 在对疗程中的外力项g ( x ，t ) 用比较弱的积分的 绝对连续性条件取代了对g ( x ，t ) i 移紧的的条件后，利用非自治系统的u 一 极限紧方法【6 1 】1 得到了弱解空间础( n ) 和强解空间中h 2 ( q ) nh 。 ( n ) 一致 ( 关于时间符号) 吸引子的存在性我们的主要结论为； 定理1 1 7 对应于问题似j 刀的过程族以( ，r ) ，口h ( 口o ) 在 嬲( n ) 中有一致r 关于口j 吸引子 定理1 1 8 对应于问题r ，刀的过程族以( z ，t ) ，口爿( 仃o ) 在 日2 ( q ) n 嘲( n ) 中有一致f 关于口，吸引子 无穷维动力系统无论从理论上还是从应用上的研究都还在继续，比如文 f 55 1 中，作者突破了证明吸引子的存在性常用到的能量估计的方法而提出了半 群关于时问t 的一致连续性的概念，文【6 2 】中又提出了半群的强弱连续性， 具体到本文的问题仍有许多值得思考的地方比如非经典反应扩散方程中的 粘性项为非线性时，非线性外力项指数增长时，该如何处理能量估计中出现的 问题及证明吸引子的存在性特别地，吸引子的几何拓扑性质也是我们需要进 一步讨论的课题 第二章预备知识 2 1 函数空阆爰其性质 本节主要介绍下文经常用到的记号，函数空闻及其一些基本结果 表示n 一维欧氏空i ；q v ：= ( 去，击) 为梯度算子 ：= 为+ + 磊为拉普拉斯( l a p l a c c ) 算子 我们总假定e 为b a n a c h 空间记号r ，n z 分别表示实数、自然数和整数 集合r + ，z + 分别表示非负实效和非负整数骢，表示集合扣ri 。三r 用n 记时中的边界光滑的有界送域，a q 是n 的边界 z e ( 固( 1sp ) 表示使q 上所有p 次幂可积函数的全体，其范数定义 为： ， 忪阮，= ( 加删如) w 9 l 。( f 2 ) 表示q 上的本性有界可测函数的全体，其范数为 i | 0 l = e s ss t p i “( 。) iiz n ) s o b o l e v 空间w k , 9 ) = w ( q ) | 扩n 口( 固，j o t i 砷，其范数 定义为： 肛盼”= ( 罐删，r 当p = 2 时，w k , 2 ( n ) 为h i l b e r t 空间，简记为日。( q ) 则 下面是s o b l e v 嵌入定理 ( 2 1 1 ) 襄如 + z 矩三m 七 一 h 如| 篁 i 一m m 一 一h n p o 是日中的c o 半群， 并且存在有界吸收集岛，如果半群 s ( t ) ) ，o 是渐近紧的，即对任意有界列 如) c 日，和任意列 “) ，当“一0 0 时， s ( t k ) x k h e 在日中相对紧， 则半群 s ( t ) t z o 在口中有全局吸引子 这种方法虽然复杂，但对一些深刻问题的研究，如带有弱耗散的k d v 疗 程的全局吸引子的存在性问题就显得十分有效 第四种途径是钟承奎教授、汪守宏教授等应用非紧性测度的概念来刻划 全局吸引子的存在性的。一极限紧方法，其结果主要反映在 27 1 ，也就是下 面的定义和定理 定义2 2 。7 。 一个完备的度量空间m 中的半群 s ( ) 。称为u 一极限 紧的，如果对任意j 0 和m 中的任意有界子集b ，存在t ( b ) 0 ，使得 k ( u 1 ) t s ( t ) b ) s ， 其中k 是非紧性测度，定义为 一( b ) = j n f 6 0j b 可被m 中有限个直径不大于6 的集合覆盖 定义2 2 8 b a n a c h 空间x 中的半群 s ( f ) ) 唧称为满足条件( c ) ， 如果对任意 o 和任意的有界集b ，存在t ( b ) 0 和有限维子空间x 。， 使得 l i p s ( t ) x l l x b ，t t ( b ) ) 有界，且当t t ( b ) ，z b 时 似i p ) s ( t ) x l l x 0 有全局吸引子, 9 ，当且仅当 ( 1 ) s ( t ) ) 宅”是u 一极限紧的； ( 2 ) s ( ) ) 啦u 在m 中存在有界吸收集 定理2 2 1 0 设 _ ( f ) h d 是b a n a c h 空间x 中的g o 半群如果 s ( t ) ) 晓。满足条件r 吲，则 s ( t ) t i o 是u - 极限紧的进一步，如果x 是 一致凸b a n a c h 空问，特别是删b e r t 空问，则 s ( t ) o 满足条件f g ) 当且 仅当 s ( t ) ) t o 是。一极限紧的 注意到我们通常考虑的函数空间几乎都是一致凸的，因此定理2 ，29 和定 理2 2 1 0 给出了半群存在全局吸引子的充要条件，并且给出了验证这一条件 的方法，即对条件( c ) 的验证更值得一提的是，在实际应用中，条件( c ) 的验 证与验证存在有界吸收集的能量估计在形式上几乎相同，见文献2 7 ，5 l ，5 7 ， 这为全局吸引子的存在性证明提供了行之有效的途径 从理论上来讲，上述几种方法是我们解决吸引子存在性的主要途径，但是 在具体应用中，对于解决方程中的非线性项带有临界或超临界s o b o l e v 指数 增长时相应的全局吸引子的存在性问题的困难依然存在，最近，钟承奎教授等 人在文献 5 6 j 中有给出了判断全局吸g l 子存在性的最新方法一一解的无界部 分渐近先验估计，其主要思想是下面的定理 定理2 2 1 1 设 s ( t ) ) l o 是一致凸的b a n a c h 空问x 中的算子半群， 并且 s ( t ) ) ! o 在x 中有有界吸收集则 s ( t ) e ! o 在x 中满足条件( c ) 当 且仅当 s ( ) t o 在x 中是渐近紧的 定理2 2 1 2 5 6 1 设qcr ”是有界集， s ( ) ) t o 是( q ) p 1 ) 上 的半群，且 s ( ) ) 眨。在口( q ) 中有有界吸收集则对任意的 0 和有界集 b c 泸( q ) ，存在正常数t = t ( b ) 和m = m ( e ) ，使得 m ( f 2 ( i s ( t ) u o l m ) ) c e ，v u o b ，t z 其中正常数e 与口，了1 和无关 定义2 2 1 3 ( 4 7 1 设 s ( t ) h o 是b u a a c h 空间x 上的半群，z 是一个 拓扑空间集合cx 如果满足在x 中不变、闭，在z 中紧，并且按照z 的拓扑吸引x 中的有界集，则称是 s ( t ) t 。的( x ，z ) 一全局吸引子 定理2 2 1 4 1 5 6 设x 是定义在有界域q 上的s o b o l e v 空间，f s ( ) ) 。 o 是x 上的连续半群，且对于某个1 p f j 存在( x ，p ( n ) ) 有界吸收集岛：上( n ) i f 训存在q ( x q p ) ，使得( s ( f ) t i 0 是( x ，u ( n ) ) 一渐近紧的； 以圳对任意的e 0 和任意的有界集bc x ，每在正常数m = m ( c 、b ) 和 t 一丁( ，口) ，使得 ， ，f s ( t ) “o l 0 ，存在( r ，b ，) r 和一个有限维子空间日，使得当t t ( 7 - ，b ，e ) 时，对任意的时间符号a e 都有i i p u ，( t ，r ) 有界和1 1 ( i p ) u j t ，r 川e o 、p 1 ，= p ( p 一1 ) ，则 曲( ：二矿+ 二一陟 一pf p p h 6 t d e r 不等式设a 到( z = 1 ，女) 1 p i + + 1 p 女= 1 ，则 ( | “t ( z ) 。“t ( z ) ia z 垂( 上l “t ( 。) 1 只如) 1 7 “ g r o n w a l ls l 理设y ( t ) c 1 ( ，f 】y 0 并且有下面的不等式成立 y p ( t ) + 7 y ( t ) h ( t ) 其中h ( t ) 0 ，v t ( t o ，t 1 】，a ，l ( 2 3 1 ) 卵) 蚓湖e d t - t o ) + fe 1 ( - 叫如) 啦 v t o , t l 】( 2 删 特别地，如果h ( t ) ；e ，7 0 ，则 g ( t ) ( t o ) e 一7 0 一。+ c 7 1 ( 1 一e 一1 ( t - t o ) ) s ( 如) e 一1 0 一幻十p 7 ，v t p o ，t 1 ( 233 ) 一致g r o n w a l l 暑睡 设g ，h ，y 是三个在( t o ，+ o o ) 上局部可积的函数， y 7 在( t o ，+ 。) 上也是局部可积的，且 + 7 9 ( s ) d s n ， 害s 酣矗，v 纠。 ”7 f t - i r h ( s ) d s 0 2 ，y ( s ) d s 口3 ，v t 三t o j t 其中r ，“l ，a 2 ，。3 是正常数+ 射 ( ) s ( 了a 3 + n 。) e x p ( 。) ，v f 三。 ( 23 4 ) 第三章非经典反应扩散方程啦一札z 一“一，( u ) 十9 ( 。) 的吸引子的存在性 性 3 1 问题简述 本章我们考虑如下自治情形的非经典反应扩散方程的全局吸引子的存在 u 一a u 一a u = ，( “) + 9 ( z ) ，f t 豫+ “( ，x ) = 0 ， zea n u ( 0 ，z ) = “o ( z ) ，x q ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 其中n c 础( n 3 ) 是具有光滑边界撕的有界区域 非经典反应扩散方程主要来源于非牛顿流体，土壤力学及热传导理论等领 域。a i f a n t i s 1 】首先为建立这类方程提供了广泛的实际背景和一些初步的定 性研究，更多的定性性质的讨论可见文献 2 4 ，2 5 ，4 4 】关于问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 的吸引子的讨论，据我们掌握的信息，只有文献【6 8 】，( 5 2 l 讨论了其弱解的吸引 子的存在性，其中在 5 2 】中，作者考虑了空间维数n = 3 时，且，满足如下 条件 ( 月) l i m s u p 型 a l ， 一。 5 其中a 1 是a = 一a 在空间础( n ) 上的第一特征值； ( 玛) i ，( s ) i c ( 1 + j s l 4 ) ，v s r ； ( r ) l ，( s ) i c ( a + h 1 ) ，7 5 v ser 在这些假设下，作者证明了问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 在空间v = 明) 中吸 引子的存在性，同时提出了如下公开问题： 1 5 兰州大学博士学位论文 1 6 问题( p ) ：t h eg w w t hc o n d i t i o n 忙1 j su u b c r i t i c a lw i t hr e s p e c t 抽t h e sr m o l e ve l r l b e d d i n g t h ei n t e r e s t i n gp ? v b l e mi s w h e t h e rt h ( g l o b a la t t r a c t o rz s l d le x i s t sz n 明( q ) i t h o u tc o n d i t o nr 足，f 本章第一部分回答了上述问题，即如果没有条件( 砖) ，仅有条件( r ) 、 ( 局) ，我们依然能够得到问题( 3 1 1 ) 一( 3 13 ) 在空间v = 硪( q ) 中全局吸 引子的存在性，进一步，我们还得到了问题( 3 11 ) 一( 3 1 3j 在空间d ( a ) = h 2 ( n ) nh o ( n ) 中全局吸引子的存在性本章的第二部分，我们对照经典的反 应扩散方程