（基础数学专业论文）有限群的共轭类长与群的结构研究.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 有限群的共轭类长与群的结构研究 基础数学专业硕士研究生俞洪升 指导老师张广祥教授 摘要 在群表示论的研究中，大量事实说明群的共轭类结构与群的特征标数量性质 间存在着密切的关系。本文研究了群的共轭类关于特征标维数的几个对偶问题。 全文分四章，主要内容如下： 第一章介绍所研究的问题，并给出相关文献中已有的研究背景。 第二章讨论可解群的共轭类图与其f i t t i n g 高的关系。这里所述的共轭类图是 以群的共轭类长的素因子为顶点，且当两顶点对应素因子p 与q 同时整除g 的某 共轭类长时，p 与口连一条边。如果存在正整数n 使每个以r 为共轭类图的可解 群g 都有f i t t i n g 高不超过n ，则称r 为有有界f i t t i n g 高的共轭类图。本章中， 证明了r 有有界f i t t i n g 高当且仅当r 至多有一个度数为n 一1 的顶点。并对几 类一般的有界f i t t i n g 高图，分别求出它们的f i t t i n g 高的上界。 第三章讨论了关于1 1 可分解和1 二可分解的非完全群的一些结构性质。如 果有限群g 的每个非平凡真正规子群均是g 的n 个不同共轭类的并，则称g 为 住一可分解的。在本章中主要证明了，1 1 可分解的有限可解群，必同构于1 2 1 阶 a b e l 群；或同构于p 口阶非a b e l 群，其中p ，q 均为素数，且满足p 一1 = 1 0 q 或 p = 1 1 ，口= 丛，r 为奇数。1 2 - 可分解的有限可解群同构于d , s 。 第四章讨论共轭类结构的一些算术性质，在多种情况下对有限群g 的共 轭类长的集合c s ( g ) 证明了关系i c 8 ( c ) l 2 扩( g ) 4 - 1 成立，其中七( g ) ：= m 鲚 i c s p ( e ) l ，c 8 p ( g ) 为c s ( g ) 中能被素数p 整除的元素集。 关键词：可解群f i t t i n g 高共轭类图共轭类长 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t o nt h es t u d yo ft h es i z e so fc o n j u g a c yc l a s s e s a n dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：y uh o n g s h e n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h a n gg u a n g x i a n g a b s t r a c t i nt h e8 t u c l yo fr e p r e s e n t a t i o n so ff i n i t eg r o u p 。l o t so fe v i d e n c es u g g e s t e dt h a t t h e r ei sag r e a tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t r u c t u r eo fc o n j u g a c yc l a s s e sa n dt h e c h a r a c t e rd e g r e e so ff i n i t eg r o u p i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rs o m eo p p o s i n gp r o b l e m a b o u tc h a r a c t e rd e g r e eo ff i n i t eg r o u p s i tc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gt h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ep r o b l e m sw h i c hw ew i l ld i s c u s si nt h i s p a p e ra n dt h er e l a t e dr e s u l t si nt h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ef i t t i n gh e i g h ta n d c o n j u g a c yc l a s sg r a p hr ( g ) o fas o l v a b l eg r o u p h e r er ( g ) i sag r a p hw h o s ev e r - t i c e sa r et h ep r i m ed i v i s i o r so fc o n j u g a c yc l a s s e ss i z e ，a n dt w ov e r t i c e sa l ec o n n e c t e d i ft h e yb o t hd i v i d eas i z eo fs o m ec o n j u g a c yc l a s s e s w es a yt h a tt h ec o n j u g a c yc l a s s g r a p hr h a sb o u n d e df i t t i n gh e i g h ti ft h e r ei sab o u n do nt h ef i t t i n gh e i g h t so f t h es o l v a b l eg r o u p sw h o s ec o n j u g a c yc l a s sg r a p hi sr i nt h i sc h a p t e r ，w es h o w e d t h a tr h a sb o u n d e df i t t i n gh e i g h ti fa n do n l yi ff h a sa tm o s to n ev e r t e xo f d e g r e e 竹一1 w ea l s of o u n dt h eb o u n d so fs o m ec o n j u g a c yd a s sg r a p hw h i c hh a v e b o u n d e df i t t i n gh e i g h t i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yt h es t r u c t u r e so f11 - a n d1 2 - d e c o m p o s a b l e n o n - p e r f e c tf i n i t eg r o u p s af i n i t eg r o u pg i sc a l l e dn d e c o m p o s a b l ei fe v e r yp r o p e r n o n - t r i v i a ln o r m a ls u b g r o u po fgi sau n i o no fnd i s t i n c tc o n j u g a c yc l a s s e so fg w es h o w e dt h a ti fgi san o n - p e r f e c tll - d e c o m p o s a b l ef i n i t eg r o u p ，t h e ngi s i s o m o r p h i ct oa na b e lg r o u po fo r d e r1 2 1 ，o ran o n - a b e lg r o u po fo r d e rp q ，h e r ep ， q a r ep r i m e sw h i c hs a t i s f yp 一1 = 1 0 qo rp = 1 1 ，口= 坠，t i sap r i m e ，t o o i fg i sa1 2 - d e c o m p o s a b l ef i n i t es o l v a b l eg r o u p ，t h e ng i si s m o r p h i ct od 拍 i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w es t u d ys o m ea r i t h m e t i c a lc o n d i t i o n so nt h es i z eo f c o n j u g a c yc l a s s e so faf i n i t eg r o u p a n ds h o w e dt h a tl c s ( g ) i 2 k ( g ) + li nm a n y j i 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t c 8 s e 8 ，w h e r e 扩( g ) - m p i | a “x i l o p ( g ) i ) 蛆dc s ，( g ) 迤a 8 e t0 fa 1 1e l e m e n t si ni t s ( g ) i t h a tc a nb ed i v i s i b l eb yap r i m ep k e y w o r d s ：s o l v a b l eg r o u p ，f i t t i n gh e i g h t ，c o n j u g a c yc l a s sg r a p h ，s i z eo fc o n - j u g a c yc l a s s e s 独创生声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：脚不保密， 口保密期限至年月止) 。 - 学位论文作者签名：命；叛钎导师签名：弓七心辛 l o 签字日期：肌q 年f 月局日签字日期：妒7 年f 月，口日 西南大学硕士学位论文 第1 章引言 1引言 在群表示论的研究中，大量事实说明群的共轭类结构与群的特征标维数结构 间存在着密切的联系。利用表代数方法能够把其中一部分结果统一起来，参见文 献f 2 6 】但是仍然存在很多无法统一证明的相关命题，参见文献【2 7 】，【2 8 】，【2 9 】。 但是近2 0 年来很多研究者在这些问题上进行了卓有成效的研究工作，参见文 献【3 】，【7 】，【i o “1 2 ，【1 4 ，【1 , 5 1 。在文【3 】与文 m l q ，s d o l f i 成功地利用基本统一 的方法证明：若两个不同素数之积p g 整除一个有限可解群g 的某不可约特征标 维数，则p 口必整除g 的一个共轭类长。由此知道有限可解群的特征标维数图是 共轭类图的子图。文f 1 5 1 十分详细地综述了迄今在特征标结构与共轭类结构方面研 究所取得的重要结果以及可以进一步研究的问题。 本论文第一部分研究可解群的共轭类图与其f i t t i n g 高的关系。2 0 0 0 年，m a r k l l e w i s 在文献| 8 1 定义了有限可解群的特征标维数图r 有界f i t t i n g 高的概念，即 如果所有以图r 为特征标维数图的有限可解群的f i t t i n g 高均有公共上界，则称该 维数图有界f i t t i n g 高。并且对满足这个定义的特征标维数图作了一个界定。随 后，m a r k l l e w i s 猜想，对任一可解群g ，是否存在一个固定常数c ，使得只要 其特征标维数图有界f i t t i n g 高，则g 的f i t t i n g 高最多为c 并且在文献 9 】中他 针对这个猜想给出了重要的证据，证明所有以某两大类图为特征标维数图的群的 f i t t i n g 高都不超过常数4 ( 【9 1 ，t h e o r e ma ，t h e o r e mb ) 上述文献中出现的特征标 维数图均是指以特征标维数的所有不同素因子为顶点，且若两素因子能同时整险 某一特征标维数时连一条边的维数图。 对偶的，我们在第三章内容中，以共轭类图为主要研究对象，给出了共轭类 图有界f i t t i n g 高的定义， 定义2 1 设r 是一个简单图，如果存在正整数n 使每个以r 为共轭类图的 可解群g 都有h ( g ) s 礼，则称r 有有界f i t t i n g 高。 并得到如下几个重要结果： 定理2 5r 为含n 个顶点的共轭类图则r 有有界f i t t i n g 高当且仅当r 至多 有一个度数为n 一1 的顶点，且当r 有有界f i t t i n g 高时，每个以r 为共轭类图的 可解群g 有h ( g ) 2 n 。 定理2 8g 为一可解群，若p 。( g ) = 7 r fu 噶ud ，其中丌：n 鹕= a ，i 砖i 1 ，i = 1 ，2 ，且7 r ：中任何元都不与呓中的元在r ( g ) 中相连，则g 的f i t t i n g 高不超 过4 。 定理2 9g 为一可解群，若p ( g ) = 7 r ：u 噶，其中7 r ：n 嵋= 历，i 畦l 2 ，i = 1 西南大学硕士学位论文第1 章引言 l ，2 ，且7 r ：与丌；之间在r ( g ) 中恰通过两条边相连，则g 的f i t t i n g 高不超过4 。 定理2 1 1 设r 是含n 个顶点但不含子图e 的共轭类图，n 为正整数，若r 有 有界f i t t i n g 高，则f i t t i n g 高最多为4 定理2 1 2设r 是含5 个顶点的共轭类图，若r 有有界f i t t i n g 高，则f i t t i n g 高最多为6 。 进一步我们讨论正规子群的共轭类分解。设g 是一有限群，记以= 1 k gik 璺g ) ，对k 以，如果k 是由g 的，1 个不同共轭类的并构成，则称 k 是佗一可分解的。如果形j 2 f ，且形中的每个元都是n - 可分解的，则又称 群g 是n - 可分解的。实际上竹一可分解群g 是作用于任何非平凡正规子群的共轭 类或全体不可约特征标上轨道数均为n 的群( 【5 】6 3 3 ) 。对f l , 1 0 ，n 一可分解的非 完全群的结构都已在相关文献中得到刻画，参见文献 1 6 1 7 1 1 1 8 1 9 】【2 0 2 1 2 2 。 本章将继续讨论，当竹= 1 1 和1 2 时，n 一可分解的非完全群的一些结构性质。得 到如下几个主要结果： 定理3 3 如果g 是1 1 - 可分解的有限可解群，则g 同构于1 2 1 阶a 6 e z 群， 或同构于p g 阶非a b e l 群，其中p ，口均为素数，且p 一1 = 1 0 q 或p = 1 1 ，q = 卫，_ 为奇数。 定理3 9g 是1 2 - 可分解有限可解群，则g 垡。 本论文最后一部分研究共轭类结构的一些算术性质。2 0 0 4 年，j o h n k m c v e y 受d b e n j a m i n t 作( 文献【2 】) 的影响，猜测对一有限非交换的可解群g ，存在一个 至少整除群g 的三分之一个特征标维数的素数，即l 以( g ) i 3 k ( c ) ，其中以( g ) 指的是群g 的不可约特征标维数，k ( c ) 指的是蛩鲚【i c 面( g ) m 而c 由( g ) 又指 的是甜( g ) 中能被素数p 整除的元素集。关于这个猜测的关系式，d b e n j a m i n 已 经对k ( c ) = 1 ，2 ，3 时给予了证明( 文献【2 】，t h e o r e ma ) ，而对于k ( g ) = 4 的情 况，j o h n k m c v e y 则在给出猜测后也予以了证实( 文献 1 】，m a i n t h e o r e m ) 。 由于共轭类与特征标的密切联系，对偶的，本文猜测群共轭类长也有类似的 结论成立，并得到如下几个主要结果： 定理4 5 若g = q ( g ) o ，( g ) 且0 p ( g ) 为非交换群，则i c s ( g ) i 2 舻( g ) + 1 。 定理4 7 若g 为幂零群，则i c s ( g ) i 2 七( g ) + 1 。 定理4 8g 是一有限群，如果对g 的每个共轭类c ，i c i 是无平方数，且对 i g l 的最小素因子p ，o p ( g ) 非交换，则i c s ( g ) i 2 七( g ) + l 定理4 1 0 若g 是f r o b e n i u s 群，则i c s ( g ) i 2 七( g ) + 1 。 2 西南大学硕士学位论文第1 章引言 下对本文中常用到的概念和符号术语作一个说明： 本文中的群都指有限群，特征标总指复特征标； c o n ( g ) 表示群g 的所有共轭类集，严表示群g 中元素z 所在的共轭 类，i z g l 和i c f g ( z ) i 均为z 所在共轭类长； c s ( g ) ：= i z g i iz g ，为g 的共轭类长集： c s p ( g ) ：= nin c s ( g ) a p l n ； c 矿( g ) ：= 7 1 , in c s ( g ) 勘t 仃) ； 驴( g ) ：= 懈 i c s p ( g ) i ) ； l p ( g ) 表示g 的p 长； 7 r ( n ) 表示的是正整数n 的素因子集，特别地，对于群g ，, , - ( 1 a 1 ) 简记为 7 r ( g ) ： 矿( g ) = 扣( i c i ) ig c 饥( g ) 为c s ( g ) 中共轭类长的素因子集； 矿( g ) = m a x 【1 7 r ( i g i ) i ic c o n ( g ) 为g 的含最多素因子的共轭类长所含的 素因子个数； r 或r ( g ) 均指g 的按如下方式定义的共轭类图：顶点集为矿( g ) ，如果朋 整除c s ( g ) 中某个元则在p 和口间连一条边； i r r ( c ) 表示g 的所有不可约特征标构成的集合： 以( g ) ：= x ( 1 ) ix i r r c a ) 为群g 的不可约特征标维数集； c 而( g ) ：= ni 竹c d ( c ) _ r p l n , k ( c ) ：= 粤臀 i c 南( g ) i ) ，p 为一素数； o ( a ) = 7 r ( x ( 1 ) ) lx n r ( g ) ) 为c d ( g ) 中所有元的素因子集； r 或f ( g ) 均指g 的按如下方式定义的特征标维数图：顶点集为p ( c ) ，如果 p g 整除c d ( g ) 中的某元则在p 和口间连一条边； h ( c ) 表示群g 的f i t t i n g 高，即：定义只+ 1 ( g ) 只( g ) = f ( g 只( g ) ) ，其中 t 芝1 且f 1 ( g ) = f ( g ) ，称使得只( g ) = f ( g ) 成立的最小整数t 为g 的f i t t i n g 高； 其它群论符号参见【6 】，群表示论符号参见 5 11 1 1 】。 3 西南大学硕士学位论文第2 章共轭类图与f i t t i n g 高 2 1 概念和简介 2 共轭类图与f i t t i n g 高 2 0 0 0 年，m a r k l l e w i s 在文献8 1 定义了有限可解群的特征标维数图r 有界 f i t t i n g 高的概念，即如果所有以图r 为特征标维数图的有限可解群的f i t t i n g 高 均有公共上界，则称该维数图有界f i t t i n g 高。并且对满足这个定义的特征标维 数图作了一个界定。随后，m a r k l l e w i s 猜想，对任一可解群g ，是否存在一个 固定常数c ，使得只要其特征标维数图有界f i t t i n g 高，则g 的f i t t i n g 高最多 为c 并且在文献f 9 1 中他针对这个猜想给出了其成立的重要的理论支持，证到 所有以某两大类图为特征标维数图的群的f i t t i n g 高都不超过常数4 ( 9 1 ，t h e o r e m a ，t h e o r e mb ) 上述文献中出现的特征标维数图均是指以特征标维数的所有不同 素因子为顶点，且若两素因子能同时整除某一特征标维数是连一条边的维数图。 对偶的，我们在本章内容中，先定义共轭类图为：以群的共轭类长的所有不 同素因子为顶点，且当两顶点对应的素因子同时整除该群的某共轭类长时连一条 边。针对这类共轭类图，我们有下面定义： 定义2 1 设r 是一个简单图，如果存在正整数n 使每个以r 为共轭类图的 可解群g 都有h ( c ) n ，则称r 有有界f i t t i n g 高。 我们将证明以下结论： 定理2 5r 为含他个顶点的共轭类图，则r 有有界f i t t i n g 高当且仅当r 至多 有一个顶点的度数达到n 一1 ，且当r 有有界f i t t i n g 高时，每个以r 。为共轭类图 的可解群g 有h ( c ) s2 n 。 定理2 8 g 为一可解群，若p 。( g ) = 7 r ：u 丌主u 佃) ，其中7 r ：n 噶= 1 2 f ，l 畦i 1 ，i = 1 ，2 ，且7 r ：中任何元都不与丌主中的元在r ( g ) 中相连，则g 的f i t t i n g 高不超 过4 。 定理2 9g 为一可解群，若矿( g ) = 7 r ：u 丌主，其中7 r ：n 丌主= 1 2 f ，i 衅i 2 ，i = 1 ，2 ，且7 r ：与噶之间在r ( g ) 中恰通过两条边相连，则g 的f i t t i n g 高不超过4 - 定理2 1 1设f 是含n 个顶点但不含子图的共轭类图，n 为正整数，若r 有 有界f i t t i n g 高，则f i t t i n g 高最多为4 。 定理2 1 2 设r 是含5 个顶点的共轭类图，若r 有有界f i t t i n g 高，则f i t t i n g 高最多为6 4 西南大学硕士学位论文2 2 一些共轭类图的f i t t i n g 高的界 2 2 一些共轭类图的f i t t i n g 高的界 引理2 2 i s j , 定理j 印g 为一可解群，p ，q 矿( g ) ，且p q ，若p 和q 在r ( g ) 中不相连，则v q - 幂$ 做p 一幂零，知( g ) = l q ( g ) = 1 且g 的s y l o w p 一子群和s y l o wq - 群均a b e l 引理2 3 m 命题错p 是一素数，则对任意c c o , c o ) ，p ti c i 当且仅当 g 的s y l o w p 一子群舍于其中心内 引理2 4 槲推论纠若g 是有限可解群，p l , 耽，h 为i g i 的所有素因 子，则 nn - i h ( g ) ek ( g ) 2 k ( g ) + 1 i - - - - 1i = l 定理2 5 r 为舍n 个顶点的共轭类图，则r 有有界f i t t i n g 高当且仅当r 至多有一个度数为n 一1 的顶点，且当r 有有界f i t t i n g 高时，每个以r 为共轭 类图的可解群g 有h ( c ) 2 n 证明令g 是任意一个以r 为共轭类图的可解群，p ( g ) = 切l ，加一1 ，加， 不妨设项点肌度数为n 一1 ，故对每个a ，i n ，存在q 矿( g ) ，使得p t ，g 在r ( g ) 中不相连，从而由引理2 2 ，k ( g ) = 1 ，( i n ) 。又由引理2 3 ，g 的 h a u ( 矿( g ) ) 7 一子群q 含于z ( c ) 中，从而( v l q ) k ( g ) = 1 ，i n 。再由 引理2 4 ，h ( c q ) 2 i - n - 1 1t , 。( c q ) + l 2 ( n 一1 ) + 1 ，所以由q 含于z ( c ) 中 a b e l 可得h ( c ) h ( v q ) + h ( q ) 2 m 一1 ) + l + 1 = 2 n 。这样定理的充分性得 证，下证定理的必要性。 假设p ，口是r ( g ) 中的2 个顶点，且其度数均为n l 。令日是一个以r 为 共轭类图的可解群，仇是任意一个正整数，以循环群磊，磊交替做m 次圈积， 记k = 磊2 磊2 磊2 磊2 l 乙( 2 z 口) ，则n ( g ) = d t ( k ) = m 。令g = 日xk ，则 r ( g ) = r ( 日) 且h ( c ) = 仇口z ( 日) ， ( k ) 】h ( g ) = m 。由m 的任意性，此类 群g 的f i t t i n g 高没有公共上界，定理的必要性得证。 口 这样，对于一个简单图r ，我们就可以判断出所有以r 为共轭类图的可解 群的f i t t i n g 高是否有公共上界，如果存在公共上界，那么研究它们的最小上界。 下面我们讨论几类可解群的公共f i t t i n g 高上界。 5 西南大学硕士学位论文2 2 一些共轭类图的f i t t i n g 高的界 引理2 6 胴l e m mj 取璺g ，z n ，9 g ，则有i c j ( z ) l ii c t c ( z ) i 和 i c t c r ( u u ) i ii c t c ( g ) 1 引理2 7 9 , l e m m as g 是一可解群，7 r ( g ) = 7 r u 仞) 为一素数集和另一仅 含一个素数的集的并，如果g 有a b e l 的h a l l7 r 一子群，则g 的f i t t i n g 高不超过 只 定理2 8 g 为一可解群，若矿( g ) = 7 r ：u 丌主u 切】，其中7 r ：n 噶= 历，i 畦i 1 ，i = 1 ，2 ，且7 r ：中任何元都不与畦中的元在r ( g ) 中相连，则g 的f i t t i n g 高不 超过彳 证明首先由【1 0 】，t h e o r e ma ，】，r ( a ) 是r ( g ) 的子图，从而p ( c ) = 丌1u 7 r 2u 仞) 或p ( a ) 几u 切 ，其中几1 1 i ，i = 1 ，2 ，并且在r ( c ) 中，7 r l 中的点与 丌2 中的任何点都不相连。 情形一：当p ( g ) = 7 r lu l r 2u 切) 时，由【9 】，t h e o r e ma 】，h ( c ) 4 情形二：当p ( c ) 矾u 伽) 时，可证得g 的f i t t i n g 高也不超过4 ： 不失一般性，可设i = 1 ，即p ( c ) 7 r lu 切) 。对i g i 进行归纳。先证 对g 的任意一个非平凡正规子群m ，h ( c m ) 4 。由引理2 6 ，矿( g m ) 矿( g ) ，若矿( c m ) n7 r ：= 1 2 f ，由引理2 3 ，a m 的h a l l ( 矿( g m ) ) 7 一子群上m 含于z ( g m ) 中，从而c h 是呓u 切卜群。而p ( c i ) 垦o ( a m ) p ( c ) 7 r 1u p ) ，则o ( c h ) 仞) ，即对vz x x r r ( c h ) ，x ( 1 ) 都是p 的方幂， 由【5 】，6 9 】，g 有正规a b e l 的p 一补，从而h ( c ) 2 。若矿( a m ) n 丌主= 历，由 引理2 3 ，c m 的h a u ( 矿( g m ) ) 一子群i - i m 含于z ( c m ) 中，从而a h 是 7 r ；u 切卜群。对v t 7 r f ，口，因r ，口在r ( g ) 中不相连，由引理2 2 ，gr 一幂 零或g 一幂零，且g 的s y l o wr 一子群和s y l o w 口一子群均a b e l 。假设g 是口一幂 零的，则g = q kn ，q s l q ( g ) ，因v 口呓，对所有x i r r ( a ) ，满足 qtx ( 1 ) ，从而g 的s y l a w 口一子群q 在g 中正规a b e l 。进而g = q n ，故 q z ( g ) ，这与q 丌主矿( g ) 矛盾，所以对v ，7 r ：，g 都是r 一幂零。设1 7 r 引= s ，s l ，则对vn 7 r ：，g = 尼皿，i = 1 ，2 ，8 ，其中尼勖f r ( g ) 。令 i = 日1n 日2n n 日j ，则g = r 1 兄见ki ，从而r l 飓见垡c l 是n 一幂 零的，i = l ，2 ，s ，故冗l 危兄= r txr 2x 咒a b e l ，所以g 的h a l l 7 r 卜子群a b e l ，当然a h 有a b e l 的h a u7 r 卜子群，由引理2 7 ，h ( a h ) 3 ，故 h ( a m ) 4 。若p ( g m ) = ( 7 r ：n 矿( c m ) ) u ( 丌；n 矿( c m ) ) u 仞) ，则由归纳 h ( a m ) s4 6 西南大学硕士学位论文2 2 一些共轭类图的f i t t i n g 高的界 再证f ( g ) 可以假设成g 的极小正规子群。若圣( g ) 1 ，则由上面所 证，| l ( g 圣( g ) ) 4 ，因h ( v ) = 7 l ( g 圣( g ) ) ，所以此时定理得证，故下设 圣( g ) = 1 。如果f ( c ) 不是g 的极小正规子群，则由【6 】，4 5 】存在g 的两非平 凡正规子群尬，m 2 ，使得f = 尬xm 2 。由前段证明，h ( g m ) 4 ，i = 1 ，2 ， 从而h ( c m 1nm 2 ) 4 。而m f lm 2 = 1 ，故h ( v ) 4 。 最后，记e = g f ( g ) ，一方面，因f ( g ) 是g 的极小正规子群，f ( g ) a b e l ，故vu p ( g ) ，ui i g ：f i = l e l ，即p ( c ) 7 r ( e ) ；另一方面， 由【1 1 】庇m 】，对vt ，7 r ( e ) ， j d ( g ) ，即7 r ( e ) 冬p ( g ) 。所以7 r ( e ) = p ( c ) 冬 丌：u p 。由前面的证明，可假设g 的h a d l7 r - 子群a b e l ，所以c f 有a b e l 的 h a u , c - 子群，由引理2 7 ，h ( g f ) 3 ，所以h ( g ) h ( g f ) + h ( f ) 4 。 综上，定理得证。 口 定理2 9 g 为一可解群，若矿( g ) = 7 r fu 呓，其中对n 丌；= 历，i 畦i 2 ，i = 1 ，2 ，且7 r f 与丌主之间在r ( g ) 中恰通过两条边相连，则g 的f t t i n g 高不超过4 证明首先f h 1 0 ，t h e o r e ma ，】， 或p ( c ) = 死，其中仉砧，i = l ，2 ， 连。下分情况逐一讨论： r ( c ) 是r ( g ) 的子图，从而p ( c ) = 1 1 1u 丌2 并且在r ( c ) 中，轩l 与丌2 间最多由两条边相 情形一：p ( c ) = 1 1u1 1 2 ，仉畦，t = 1 ，2 当9 1 1 与丌2 不连通，则f l ：l 1 1 ，t h e o r e m l g 6 】h ( c ) 4 ：当7 1 1 与7 r 2 间有 且仅有一条边相连，则该特征标图可转化为【9 】，t h e o r e ma 】中的图，从而 由【9 】，t h e o r e ma 】的结论直接得h ( c ) s4 ：当7 r l 与丌2 间恰由两条边相连时， 则由【3 1 】，定理4 1 】得h ( c ) 4 。 情形二：p ( c ) = 仉，几丌；，t = 1 ，2 不失一般性，可是 = 1 ，即p ( c ) = 7 r 1 ，7 r 1 冬7 r f 。对i g i 进行数学归纳。 对g 的任意一个非平凡正规子群m ，可证得g m 的f i t t i n g 高不超过4 ，即 h ( g m ) 4 - 首先由引理2 6 ，矿( a i m ) 矿( g ) ，若p ( a i m ) f 1 7 r ：= 历，由引理2 3 ，g m 的h a l l ( 矿( g m ) ) 7 一子群h m 含于z ( g m ) 中，从而g h 是呓一群。而p ( g i h ) 矿( g i m ) j d ( g ) 冬7 r ：，与7 r ：n 呓= o 相矛盾。若矿( g m ) n 砣= 历，由 引理2 3 ，g m 的h a u ( 矿( g m ) ) 一子群日m 含于z ( g m ) 中，从而g h 是 7 r i 一群。因7 r i 与丌主在r + ( g ) 中恰有两条边相连，所以对vt 7 r ：，总能找到 口丌主，使得r ，g 在r ( g ) 中不相连，由引理2 2 ，gr 一幂零或g 一幂零，且g 的 s y l o wr - - 子群和s y l o wg 一子群均a b e l 。假设g 是口一幂零的，则g = q k n ，q 7 西南大学硕士学位论文2 2 一些共轭类图的f i t t i n g 高的界 勖( g ) ，因v 口丌主，对所有x l r r ( g ) ，满足gfx ( 1 ) ，从而g 的s y l o w 口一子 群q 在g 中正规a b e l 。进而g = qxn ，故q z ( g ) ，这与g 呓矿( g ) 矛盾，所以对vr 7 r ：，g 都是t 一幂零。设1 7 r | = 8 ，8 1 ，则对vn 7 r ：，g = 足k 甄，i = l ，2 ，8 ，其中忍s y k ( g ) 。令，= 历nh 2n n 也，则 g = r 1 r 2 r | ki ，从而r 1 r 2 兄兰g i 是n 一幂零的，t = 1 ，2 ，s ， 故冗l 岛兄= r i 忌x r oa b e l ，所以g 的h e l l7 r 卜子群a b e l ，从而 g ha b e l ，故h ( g h ) = 1 ，从而h ( g m ) h ( a l h ) + h ( h m ) = 2 ，当然 h ( o m ) 4 成立。若p ( c ) n 畦刀，i = 1 ，2 ，则由归纳h ( g m ) 4 。 再证f ( c ) 可以假设成g 的极小正规子群。若垂( g ) 1 ，则由上面所 证，九( g 圣( g ) ) 4 ，因h ( g ) = i l ( g 垂( g ) ) ，所以此时定理得证，故下设圣( g ) = 1 。如果f ( g ) 不是g 的极小正规子群，则由【6 】，m 4 5 】存在g 的两非平凡正规 子群舰，m 2 ，使得f = 帆xm 2 。由前段证明，h ( a l m i ) 4 ，i = 1 ，2 ，从而 h ( a m , f lm 2 ) s4 。而舰f 3m 2 = 1 ，故h ( a ) 4 。 最后，记e = g f ( g ) ，一方面，因f ( g ) 是g 的极小正规子群，f ( g ) a b e l ，故vu p ( g ) ，牡ii g ：f l = l e l ，即p c c ) 7 r ( e ) ；另一方面， 由【1 1 】，耽5 4 】，对vt ，7 r ( e ) ， p ( g ) ，即7 r ( e ) gp ( g ) 。所以7 r ( e ) = p ( c ) 7 r f 由前面的证明，可假设g 的h a u7 r ：一子群a b e l ，即g i fa b e l ，h ( a f ) = 1 ，所以h ( c ) h ( c f ) + h ( f ) = 2 4 。 综上，定理得证。口 定义2 1 0 如果图r 有4 个顶点，其中有2 个顶点的度数为2 ，另2 个顶点的度 数为3 ，则称该图为一图。 定理2 1 1 设r 是含n 个顶点但不合子图e 的共轭类图，n 为正整数，若 r 有有界f i t t i n g 高，则f i t t i n g 高最多为彳 证明若r 不连通，根据定理1 ，r 有界f i t t i n g 高，再m 3 mt h e o r e m 4 的 注释，h ( c ) c f f ( g ) 2 ，故下设r 连通。 因r 不含e 一子图，由矿( g ) 及e 一图的定义，矿( g ) 3 ，再由【1 2 】，t h e o r e m 4 5 】r 的顶点个数最多为6 ，即n 6 。 当n 2 时，由定理1 ，r 只能是下图之一： 8 图2 西南大学硕士学位论文2 2 一些共轭类图的f i t t i n g 高的界 而r 连通，故实际上只剩下图1 所示情形，从而矿( c 7 ) = 1 ，由【3 】，c o r o l l a r y 9 】，h ( g ) 2 当n = 3 时，因r 连通，且r 有界f i t t i n g 高，故r 如图： 由定理2 8 ，h ( c ) 4 。 当n = 4 时，同样根据定理1 及r 的连通性，图r 只能是下3 种之一： 如果r 如图4 所示，则矿( g ) = 2 且扩( g ) i = 4 ，由【1 2 】，t h e o r e m3 7 】，g 亚 a b e l ，从而h ( v ) 2 ；如果r 如图5 ，6 所示，则可由定理2 8 知，h ( c ) 4 。 当n = 5 时，由【1 2 】，t h e o r e m3 7 】，若矿( g ) = 2 ，则n 4 。又因r 连 通，所以矿( g ) = 3 。如果r 中有度数为1 的顶点，则此时可直接由定理2 8 得 h ( c ) 4 。如果r 中所有点的度数均为2 或3 ，因这里r 不含子图，则又可由 定理2 9 得h ( v ) 4 。 当竹= 6 时，由 【1 2 】，t h e o r e m3 7 】，若矿( g ) = 2 ，则仃4 。又因r 连通， 所以矿( g ) = 3 。再由【1 2 】，t h e o r e m 4 5 】，g 亚a b e l ，h ( c ) 52 。 口 记a ( v ) = 扫p ( g ) in c ( p ) c g ( p ) ，p s y l p ( g ) ，a ( a ) = p ( g ) ( g ) = 伽矿( g ) in c ( p ) = c o ( p ) ，p 勋l p ( g ) 。根据c a r l oc a s o l o 在【1 2 】中所 述，a ( c ) = 7 r ( g ，) ，p 聋( g ) 当且仅当g p 一幂零且s y l o wp 一子群a b e l 。 定理2 1 2 设r 是含价顶点的共轭类图，若r 有有界f i t t i n g 高，则尉纸哪 高最多为反 证明同定理2 1 1 证明中所述及r 有界f i t t i n g 高这里只需考虑当r 连通 且矿( g ) = 3 或4 的情形。1 主i 1 3 1 ，t h e o r e m2 3 】，r 限制在( g ) 上得到的子图 r l ( g ) 为完全图，所以l ( g ) l 4 ，下对i ( g ) 1 分情况讨论： 当l ( g ) l l 时，7 r ( g 7 ) = i ( g ) l 1 ，g 7 幂零，又由a l e a b e l ，知 h ( g ) h ( c l c ) + h ( c ) 2 。 当i ( g ) i = 2 时，记a = ( g ) ，n = 0 ( g ) 且a 为g 的一h a u 一子 群，则a 为a b e l ，( i g l ，i a i ) = 1 且n a = g 。又令c = 瓯( ) ，则c 9 厶郾口卧 西南大学硕士学位论文