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三阶非线性系统零解的全局稳定性 论文题目： 专 业： 硕士生： 指导教师： 三阶非线性系统零解的全局稳定性 基础数学 郭铭佳 贾保国副教授 摘要 本篇硕士论文主要讨论的是三阶非线系统零解的全局稳定性 随着社会和科技的发展，微分方程的稳定性在许多领域得到了广泛的应用而 研究微分方程稳定性的关键是寻找李雅普诺夫函数 在本文中，我们讨论了如下三阶非线性系统： z + 砂( z ，z 7 ，z ) z ，+ 妒( z ，z 7 ) + ，( z ) = 0 利用类比法为它构造了一个较好的李雅普诺夫函数，从而推出其零解的全局稳定 的充分条件证明时用系统正半轨线的有界性来代替李雅普诺夫函数的无穷大性 质，得到了较好的结论，它可以包括并改进了这一形式非线性系统全局稳定性的大 部分结果 在第一章中，我们主要介绍了稳定性理论的研究背景，并给出李雅普诺夫稳定 性的基本定义和预备定理 在第二章中，我们讨论如何用类比法来构造非线性系统的李雅普诺夫函数，并 介绍已有的关于三阶非线性系统稳定性的结论 在第三章中，我们给出所研究系统的全局稳定性定理，再介绍其应用，说明其 创新性 关键词：稳定性非线性系统李雅普诺夫函数类比法 第1 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 t i t l e ：t h eg l o b a ls t a b i l i t y0 ft h ez e r os o l u t i o no f m a j o r ： n a m e ： n o n l i n e a rt h i r do r d e rd i 骶r e n t 谳e q u a t i o n t h e o r e t i c a lm a t h e m a t i c s g u om i n 舀i a s u p e r v i s o r ： a s s o c i a t ep r o f e s s o rj i ab a o g u 0 a b s t r a c t i nt l l i st h e s i s ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o no f n o n l i n e a rt h i r do r d e rd i f e r e n t i a le q l l a t i o n w i t ht h ed e v e l o p l n e i l to fs o c i e t ya i l dt e c h n o l o g y t h es t a b i l i t yo ft h ed i f f b r c i l t i a l h a sb e e nw i d e l yl i s e di nm a 玎y 丘e l d s b u tt h ek e yt os t u d y i n gt h es t a b i l i t yi st ol o o kf o r l i a p u n o v 劬c t i o n i nt h i sp 印e r ，、张d i s c u s st h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rt h i r do r d e rd i 艉r e n t i a le q u a t i o n ： z 胛+ 妒( z ，z 7 ，z ) z + 妒( z ，) + ，( z ) = o b yu s i n ga n a l o g ym e t h o d ，w ec o l l s t r u c tt h el i a p u n o vf u n c t i o nf o ri t ，t h e r e b yd e r i v i n g s u m c i e n tc o n d i t i o n so ft h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o no ft h es y s t e m i n s t e a d o fp r o v i n gt h el i a p u n o vf t l n c t i o ni sp o s i t i v ed e 丘n i t ei n 丘n i t e ，w ep r o v et h et h e o r e mb y p r o v i n gt h ep o s i t i v eh a l f - t r a j e c t o r yo fs y s t e mi sb o u n d e d t h ec o n c l u s i o nc a nc o v e ra n d i m p r o v es o i n ek n mr e s u l t s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a u c k g r o u n do fs t a b i l i t yt h e o r y 、s o m ep r i m a r yd e f i i l i t i o 璐a n dt h e o r e 瑚旧a b o u tl i a p u n o vs t a b i u t y i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u 筠h o wt oc o n s t r u c tt h el i a p u n o vf h c t i o no ft h en o i l l i n e a r s y s t e mt k o u g ht h ea 1 1 a l o 留m e t h o d a n dt h e nw es h o ws o m ei n v e s t i g a t i o i l sa b o u tt h e s t a b i l i t yo ft h i r do r d e rn o i l l i n e a rs y s t e mi nr e c e n t1 i t e r a t u r e s f i n a u yi nc h a p t e r3 ，v ed e r i v et h es 皿c i e i l tc o n d i t i o n so fg l o b a ls t a b i l i t yo ft h e z e r os o l u t i o no ft h es y s t e mw ec o n c e r n e dw i t h ，a n dw ea l s od i s c u s st h ea p p l i c a t i o no f t h et h e o r e ma n ds h o wi t sc r e a t i v i t ya n ds i g n i f i c a n c e k e yw o r d s ：s t a b i l i t y ， n o n l i n e a rs y s t e m ， l i a p u n o vf u n c t i o n ， a n a l o g ym e t h o d 第l i i 页 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：毒p 锉庀 日期：谚年月乙日 使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：导师签名： 日期：刈汐年6 月上日 日期：年 月日 三阶非线性系统零解的全局稳定性 1 1引言 第1 章绪论 运动稳定性的理论是著名学者李雅普诺夫( l i a p u n o v ) 在十九世纪九十年代开 创的至今已在物理科学和工程计算的各个部门都获得了广泛的应用按李雅普 诺夫意义下的运动稳定性理论，研究的是干扰性因素对于物质系统运动的影响而 所谓干扰性因素，即那些在描述运动时由于与基本力相比较甚小而未曾加以考虑 的力这些力通常是不确切知道的，它们可以是瞬时的作用，因而引起物质系统初 始状态的微小的变化 微小的干扰因素对于物质系统的影响，对于不同的运动来说是不样的对 于一些运动，这些影响并不显著，因而受干扰的运动与不受干扰的运动差得很少 反之，对于另外某些运动，干扰的影响就可能很显著，以致无论干扰的力多么小，随 着时间的发展，受干扰的运动与不受干扰的运动可能相差得很多简单来说，第一 类运动称为是稳定的；而第二类运动则称为是不稳定的稳定性理论所研究的内 容，就是对于用一般或者特殊的微分方程所描述的动力系统建立判断方法，以判 明哪些实际运动系统是稳定，哪些是不稳定的特别为设计稳定的动力系统，避 免不稳定的事故发生，提供一整套数学理论和方法，这就是稳定性理论这门学科 重要的理论和实际意义 我们所研究的大部分的扰动运动微分方程，无法把它的解求出来，而李雅普诺 夫在他的论文运动稳定性一般问题中提出了两种解决问题的方法第一方法 是通常所知道的级数展开法，这个方法一般需要去寻求按任意常数的正整数幂的 无穷级数或具有另一些特征的级数形式的解而现在一般用到的是李雅普诺夫第 二方法，也称为李雅普诺夫直接法，它不需要去寻求运动方程的特殊解，当把未被 扰动运动的稳定性归结为平衡位置的稳定性问题时，李雅普诺夫将稳定性或者不 稳定性的事实与具有特殊性质的函数( 通常称为李雅普诺夫函数) 的存在联系起 来而这个函数根据微分方程组所取得的对于时间的导数，具有确定的性质 李雅普诺夫函数的作用，不局限于对稳定性或者不稳定性事实的建立问题，李 雅普诺夫函数方法是研究自动调节系统最有成效的方法之一对具体的非线性自 第1 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 动调节系统而言，适当地作出李雅普诺夫函数，就能解决一系列有重大实际意义的 问题例如，可以给出调节量变化的估计，过渡过程经过的时间的估计、调节质量 的估计等还可以估计经常作用下扰动的影响，可以解决大范围稳定性问题，即估 计初始扰动的区域，使得随着时间的增加，其解不离开预先给定的区域的范围在 某种情况下，用李雅普诺夫函数的方法也可以解决关于周期解的存在问题总之， 李雅普诺夫第二方法在科学的许多领域内已经得到广泛的应用 李雅普诺夫第二方法是研究非线性系统的基本方法之一，特别是在非线性系 统的稳定性研究中十分有效由于没有一个适合于一般系统的李雅普诺夫函数的 构造方法，在低阶情形下，可以用类比法，即把线性系统的李雅普诺夫函数类比到 非线性系统中的方法来解决目前，二阶系统的全局稳定性已经基本解决，对三阶 以及三阶以上系统也有一些结果，但是这些结果大部分是用克拉索夫一巴尔巴欣 定理得到的，证明时候未能抛弃对李雅普诺夫函数的无穷大性质的限制 本文将研究一类更一般的三阶非线性系统，利用类比法为它构造了一个较好 的李雅普诺夫函数，证明时用系统正半轨线的有界性来代替李雅普诺夫函数的无 穷大性质，得到了较好的结论，它可以包括并改进了这一形式非线性系统全局稳定 性的大部分结果( 去掉对无穷大性质的限制条件) ，因此具有相当普遍的意义 1 2稳定性的基本概念和基本定理 李雅普诺夫第二方法是整个稳定性理论的核心，从稳定性理论与应用的发展 史看，首先由李雅普诺夫在1 8 9 2 年提出稳定性、渐近稳定和不稳定的四个定理，称 为李雅普诺夫基本定理，这四个定理奠定了运动稳定性理论的基础 下面将介绍关于李雅普诺夫稳定性理论的基本概念和主要定理本章以下定 义和定理都参考和引用了参考文献 1 】，秦元勋，王慕秋，王联所著的运动稳定性 理论与应用 考虑自治系统 z 他) = x ( z ) ，( 1 1 ) 假设函数x 在区域 5 第2 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 内是连续的，且对于初始值z o ，系统( 1 1 ) 有且只有唯一解z ( ；t o ，z o ) ( 为简单起见， 后面用z ( t ) 表示) ，满足z ( ；妣z o ) = 跏，且后面总是假定x ( o ) = o 定义1 2 1 如果对于任意正数e ，无论它多么小，可以找到另一个正数叩( ) ，使得 对于所有未受干扰的运动，在其初始时刻t o 满足不等式 i z ( f o ) l 7 7 ， 而在所有t t o 时，满足不等式 i z ( ) i ， 则我们就称未被扰动运动f ，即z = o i 是稳定的；反之，则称未被扰动运动是不稳定 的 定义1 2 2 如果未被扰动运动是稳定的，并且数叩可选择得如此之小，使得对于所 有满足不等式 i z ( o ) i 7 7 的扰动运动，同时满足条件 1 i mz ( ) = 0 ， c 。 则就称未被扰动运动是渐近稳定的 定义1 2 3 系统( 1 1 ) 的未被扰动运动f ，即零解) 称为是全局稳定的绒者称在任意初 始扰动下为稳定的j 如果它在李雅普诺夫意义下是稳定的，并且( 1 1 ) 的所有其它 解z ( t ) 都具有性质 1 i mz ( t ) = 0 下面再考虑定义在坐标原点领域内的变量z 1 ，z n 的连续函数y ( z 1 ，z n ) ， 假定它是单值的，当z 1 = = z n = o 时取零值，而且具有连续的一阶偏导数 定义1 2 4 函数y ( z 1 ，z n ) 称为是定号的陋定的或者负定的，) ，如果当 z s i ，( 5 = 1 ，2 ，n ) 时( 这里 是足够小的正数，它只能取得具有一定符号的值，而且只在z l = = z n = 0 时，它才变为零 第3 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 定义1 2 5 函数y ( z l ，z n ) 称为是是常号的r 正的或者负的，) ，如果当 i z 。i ，( s = l ，2 ，? 佗) 时倦里危是足够小的正数j ，它只能取得具有一定符号的值，但它可以在 竹 z ；o s = 1 时取零值 定义1 2 6 函数被称为无穷大的，如果对于任何a o ，存在这样的r o ，使得 n 在球z ；= r 2 之外，不等式y ( z l ，z 竹) a 成立 i = 1 进一步考虑考虑函数y ( z ，z n ) 对于时间的导数这些导数是基于下列的 假定作出的，即z 。，z z ，z n 是时间的函数，它们满足( 1 1 ) 故豢也是z ，z 2 ，z n 的函数，且在z l = = z n = o 变为零 定理1 1 如果对于扰动运动的微分方程( 1 1 ) ，可以找到一个定号函数y = y ( z ) ， 它对于时间t 的由于方程( 1 1 ) 的全导数警是常号函数，且其正负号与函数y ( z ) 相反或恒等于零，则末被扰动运动是稳定的 定理1 2 如果对于扰动运动的微分方程( 1 1 ) ，可以找到一个定号函数y = y ( z ) ， 它对于时间t 的由于方程( 1 1 ) 的全导数警是定号函数，且其正负号与函数y ( z ) 相反，则未被扰动运动是渐近稳定的 定理1 3 如果对于扰动运动的微分方程( 1 1 ) ，存在正定函数y = y ( z ) ，使得警 o ，并且警= o 除原点d 外，不包含( 1 1 ) 的整条轨线，则( 1 1 ) 的未被扰动运动 在李雅普诺夫意义下是渐近稳定的 定理1 4r 巴尔巴欣克拉索夫斯基定理) 如果对于扰动运动的微分方程( 1 1 ) ，存 在正定的、具有无穷大性质的函数y = y ( z ) ，使得尝o ，且在集合警= o 上 除平凡解d 外，不包含( 1 1 ) 的整条轨线，则( 1 1 ) 是全局稳定的 定理1 5 如果存在正定函数y ：y ( z ) ，使得尝在整个相空间是常负的，且集合 等= o 除原点。外，不包含( 1 1 ) 的整条轨线，并且系统( 1 1 ) 的所有正半轨都是 有界的儆拉格朗日意义正的稳定性) ，则系统( 1 1 ) 的零解是全局渐近稳定的， 第4 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 1 3本文研究的主要问题 本文研究一类一般的三阶非线性系统 z 胛+ 妒( z ，z 7 ，z ) z + 妒( z ，z 7 ) + ，( z ) = 0 ( 1 2 ) 具体的工作安排如下： 第l 章：首先介绍稳定性理论的研究背景，说明其理论和实际意义；接着列出 李雅普诺夫稳定性的基本定义和预备定理 第2 章：先介绍构造三阶常系数系统的李雅普诺夫函数的巴尔巴欣公式；接 着介绍类比法的原理，并举例说明如何类比地构造非线性系统的李雅普诺夫函数； 最后介绍了已经有的关于三阶非线性系统的稳定性结论 第3 章：先应用类比法，为所要研究的方程( 1 2 ) 构造合适的李雅普诺夫函数， 给出其全局稳定性的定理；再讨论定理的应用，跟第2 章第三节列出的已有结果进 行比较，说明是对已有结果的概括和改进，这正体现本文的创新性与意义 第5 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 第2 章三阶系统的李雅普诺夫函数的构造 李雅普诺夫第二方法是研究非线性系统的基本方法之一，特别是在非线性系 统的稳定性研究中十分有效继李雅普诺夫稳定性基本理论创立之后，许多学者 进行了深入的研究，说明了李雅普诺夫基本定理绝大部分是可逆的，从而在理论上 说明了这些基本定理的有效性和有效程度，即说明了如果了解到具有某种稳定性， 就必然存在相应的李雅普诺夫函数但是却还没有一个适合于一般系统的李雅普 诺夫函数的构造方法 一般来说，有三种构造李雅普诺夫函数的原则性方法，然而也都是试探性的， 并不一定能保证成功 第一种原则性方法是先试探构造出一个正定的李雅普诺夫函数，然后寻求沿 方程组解的导数华，看方程组的右端已给的条件能否保证要负定，或常负如 能保证，则可以断定渐近稳定性、稳定性；如不能保证，则任何稳定性结论也无法 获得，只能重新寻找别的方法这个方法是最普遍采用的方法 第二种原则性方法是先令等满足负定( 或常负) 条件，然后积分而求得y 看 五 能否由方程组右端的条件保证矿是正定的，如果可以的话，就可以判断某种渐近 稳定性、稳定性；否则，任何结论也无法得到 第三种原则性方法是所谓的微分矩方法，即同时构造y 及等 2 1三阶常系数方程组的巴尔巴欣公式 对于常系数线性系统，已经有构造二次型李雅普诺夫函数的一般方法 将系统( 1 1 ) 写成矩阵形式 等：a x ， ( 2 1 ) 一= 月 yl i 比 r 一7 这里x 是n 维列向量，a 是扎n 阶的常量矩阵 寻求二次型y = x 丁b x ( 这里x r 表示x 的转置) ，b 是竹x n 阶对称矩阵 由( 2 1 ) ，有( x 7 ) t = x t a t ，( x 7 ) t = ( x r ) 7 第6 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 所以 乱1 ) = ( 协讲删= 砌t b x 彬b a x = 张舶删衅加x 任给一个二次型伽= x t c x ，一定存在b ，使得a t b + b a = c 于是有如下定理，引用参考文献 1 】，秦元勋，王慕秋，王联所著的运动稳定性 理论与应用表述为： 定理2 1 如果方程( 2 1 ) 的特征方程的根，使得九+ k 不取零值位任意i ，后的 情况下，那么对任何预先给定二次型叫，存在唯一满足方程y 7 = 叫的二次型y 对于线性系统，参考文献【1 】，秦元勋，王慕秋，王联所著的运动稳定性理论与 应用还有如下定理表述，这是李雅普诺夫本人得到的 定理2 2 如果方程( 2 1 ) 的的特征方程的所有根都具有负的实部，则对于任何预 先给定的常负二次型硼f ，除原点以外它不在包含( 2 1 ) 的整条轨线的集合m 上取 零值j ，存在一个并且仅一个满足方程y 7 = t t ，的二次型y ，并且这二次型y 必定 是正定的 巴尔巴欣给出了构造三阶线性系统李雅普诺夫函数的巴尔巴欣公式 【呓= n 3 l z l + n 3 2 2 2 + 。3 3 2 3 叫c z t ，z z ，z 3 ，= ( z 。z 。z 3 ) ( 兰；三兰三i i ( 三；) = ；蹇叫t 七z t z 七，毗七= 叫 第7 页 32 七 u | i 南眈 zz” 3 坶 l i zzz 三阶非线性系统零解的全局稳定性 使得 把( 2 2 ) 和( 2 3 ) 代入( 2 4 ) ，得到 如 面2 2 伽 2 ( 叫1 l z ；+ 2 叫1 2 2 1 2 2 + 2 1 3 z l z 3 + 加2 2 z ；+ 2 叫2 3 2 2 2 3 + 叫3 3 z ；) = 2 ( 1 1 2 1 + 1 2 2 2 + u 1 3 2 3 ) ( 口1 1 2 1 + n 1 2 2 2 + n 1 3 2 3 ) +2 ( u 1 2 z l + u 2 2 2 2 + 2 3 2 3 ) ( 0 2 l z l + 口2 2 2 2 + 0 2 3 2 3 ) +2 ( u 1 3 2 1 + 口2 3 2 2 + 3 3 2 3 ) ( n 3 1 2 1 + n 3 2 2 2 + n 3 3 2 3 ) 比较等式两端同次幂的系数得到 加1 1 = n 1 1 1 l l + n 2 1 17 1 2 + n 3 l t 1 3 + 0 1 ，2 2 + o u 2 3 + 0 3 3 2 1 2 = n 1 2 秒儿+ ( n 1 1 + n 2 2 ) u 1 2 + n 3 2 u 1 3 + 0 2 l t 2 2 + 0 3 1 u 2 3 + o t 7 3 3 2 叫1 32n 1 3 口1 1 + 0 2 3 u 1 2 + ( n l l + 0 3 3 ) u 1 3 + o t 2 2 + 0 2 1 睨3 + n 3 1 t 船3 伽2 2 = 0 l l + n 1 2 u 1 2 + 0 u 1 3 + n 2 2 t 2 2 + a 3 2 u 2 3 + o 3 3 2 2 3 = 0 钞1 1 + n 1 3 2 + 口1 2 u 1 3 + ( e 2 3 u 2 2 + ( 口2 2 + n 3 3 ) 2 3 + 0 3 2 u 3 3 ，u f 3 3 = 0 口l l + o u l 2 + a 1 3 u 1 3 + 0 u 2 2 + n 2 3 u 2 3 + c 正3 3 3 3 其系数行列式为 = n 1 1n 2 1 n 1 2n l l + n 2 2 n 1 3 0 0 0 n 2 3 口1 2 口1 3 0 按照克莱姆法则，最后可以得到 出砌m ) = 一去 o z ； 1 1n 1 1 n 3 l 0 n 3 20 2 1 n l l + n 3 3 0 o n 2 2 口1 2 n 1 3 2 z l z 2 0 2 1 2 叫1 20 1 2口1 1 + 0 2 2 2 叫1 3n 1 3 加2 2 0 2 训2 3 o 3 3 0 n 2 3 n 1 2 n 1 3 0 0 0 3 1 n 2 1 n 3 2 0 0 n 3 l 0 n 2 3n 2 2 + n 3 3n 3 2 0 n 2 30 3 3 2 2 1 2 3 z ； 口3 1 0 口3 20 2 1 n 1 1 + n 3 3 o 0 n 2 2 口1 2 n 1 3 2 2 2 2 3 o n 3 1 n 2 l n 3 2 0 3 1 0 n 2 3n 2 2 + n 3 30 3 2 0 n 3 2n 3 3 ( 2 4 ) 第8 页 磅0 0 三阶非线性系统零解的全局稳定性 这就是三阶常系数线性系统的李雅普诺夫函数公式 如果取二次型y = ，那么得到y ，- 2 伽 下面研究如下三阶线性方程 z 胛+ n z ，+ 6 2 7 + c z = o 首先，根据霍尔维茨( h u i t z ) 定理，要使得它的所有根都具有负实部，充要 条件为 = 口 。，2 = l 三： n1 c6 0 0 = c ( 曲一c ) 0 隆一z 5 ， u = 一c ( n c z i + 2 c z l z 2 + 6 z ；+ z ；) 所以二次型y ：等z i + 凹。z 2 + 兰z ；+ 譬 对于它，有y 7 = ( c n 6 ) z ； 2 2类比法 对于非线性系统，在低阶情形下，可以利用类比法，即先找出其相对应的线性 系统的形为二次型的李雅普诺夫函数，随后再考虑非线性特性，为非线性系统构造 相类似的李雅普诺夫函数 第9 页 = 3 oc 一 6o i | 二彤r 非线性系统零解的全局稳定性 0 ，并且函数，( z ) ，妒( z ) 满足下列条件： 1 ) ，( z ) z o ，当z o j 2 ) n 警( 咖峭秒挑 第1 0 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 3 ) l i mw ( z ，y ) = ， r 其中( z ，耖) = n 岳，( z ) 如+ ，( z ) 耖+ j ： 妒( 耖) 妇，r = ( z 2 + ! ，2 ) 1 2 ， 那么系统( 2 6 ) 的零解z = 可= z = o 在任意扰动下是渐近稳定的 有 证明： 由李雅普诺夫函数 y = 。z z ，( z ) d z + ，( z ) 3 ，+ z 掣妒( y ) d + 萼， 尝l ( 2 7 ) = 州咖7 + 九咖7 y + m ) y 7 + 哟) y 7 + = n ，( z ) y + ，7 ( z ) 2 + ，( z ) ( z o ! ，) + 妒( ! ，) ( z n 秒) + z ( 一，( z ) 一妒( 耖) ) = ，7 ( z ) 秒2 一口妒( 笃，) y = 【，缸) 一掣护 显然，当卿，有徘- 7 ) o 事实上，因为，( z ) 在点z = o 处改变正负号，那 么，对于某些z 值，钕) 取正值，而从定理的条件2 ) 可以看出，这些数值不超过值 口蹬掣下界，这就保证了墨掣是正的，从而圣( 秒) 也是正的 耖耖 剩下需要证明4 n f ( z ) 圣( 秒) 一可2 ，2 ( z ) o ，当z o ，y o 实际上，4 n f ( z ) 西( 可) 一可2 ，2 ( z ) = 4z 霉，( z ) z 掣【n 学一，7 ( 圳可妇) 如 。 j oj o 珏 因为条件2 ) 已经保证了里面的积分是正的，再由条件1 ) 可以得到结果 于是函数( z ，可) 是自变量z ，可的正定函数，因此函数y = + 萼也是自变 量z ，z 的正定函数 第1 1 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 根据定理1 3 ，可以证明系统( 2 7 ) 的零解z = y = z = o 在任意扰动下是渐近 稳定的，从而系统( 2 6 ) 的零解z = 妙= z = o 在任意扰动下是渐近稳定的 定理证毕 口 2 2 2 类比法在四阶非线性系统的应用 r r e i s s i g ，g s a i l s o n e ，r c o n t i ，1 9 6 9 年在参考文献 2 n o n l i n e a rd i 髓r e n t i a l e q u a t i 。n s 。fi l i g h e ro r d e r ，介绍了关于四阶非线性系统的李雅普诺夫函数的类比 构造方法下面定理2 4 ，定理2 5 的表述均翻译自参考文献 2 】 首先对于如下四阶线性系统 z + n z 7 + 6 z + c z 7 + d z = 0( 2 9 ) 根据霍尔维茨( h u r w i t z ) 定理，要使得它的所有根都具有负实部，充要条件为： 。：n 。， 2 ：l 口1l ：6 一c 。， | c 6 3 = nl0 c6o 0dc ：n 6 c c 2 一n 2 d 0 ，4 。d 3 o 即o 0 ，a 6 一c 0 ，n 6 c c 2 一n 2 d 0 ，d o 由此也可以推出满足 6 0 ，c 0 ，6 c a d 0 ，6 2 4 d o 兰三n札一bzcydz 三阶非线性系统零解的全局稳定性 ( 2 9 ) 也等价于 z 72 妙 秒7 = z ， = u + n z + c z z ，= 口一口z c z 口7 = 一6 z d z 同样地，可以构造李雅普诺夫函数 2 y = 6 2 ( 2 u + n z + 的) 2 + 2 6 d ( 2 z + 口耖+ k ) 2 + ( 6 2 4 d ) ( o z + 6 ) 2 + 2 n 6 ( k o d ) 2 + 2 6 ( 6 2 4 d ) z 2 + 4 0 2 d z 2 ( 2 1 1 ) 对于系统 z 删+ 口z 小+ 6 z + 凹7 + ，( z ) = o ，( o ) = o ( 2 1 2 ) 令，( z ) = 出，即为系统( 2 9 ) 所以类比于( 2 1 0 ) ，可以构造李雅普诺夫函数 2 y=c ( o t + n z 2 + ( 0 6 一c ) 秒) 2 + n ( c 名+ n c 可+ n ，( z ) ) 2 +c ( n 6 c c 2 一口2 ，7 ( z ) ) 可2 + 2 n c ( 0 6 一c ) f ( z ) 一0 3 ，2 ( z ) 至三；6名一dz一口一妒。z，y， 第1 3 页 所以类比于( 2 1 1 ) ，可以构造李雅普诺夫函数 2 矿 ： b 2 ( 2 u + 口名+ b ! ，) 2 + 2 掘( 2 z + 鲫+ 6 z ) 2 + ( 6 2 4 d ) ( 口z 舢可) 2 + 4 n 6 f 护砌油蚴( 牡4 妒2 + 4 护如2 于是有如下定理： 定理2 5 系统( 2 1 3 ) 的零解称为全局渐近稳定的，当函数妒( z ，l ! ，) 是连续的以及关于 z 是连续可微的，并且满足： 帅6 掣一( 掣) 2 。圳，当例； 2 ) ( z ：) o 2 3已有的关于三阶非线性系统稳定性的结论 如何寻找合适的李雅普诺夫函数是人们感兴趣的问题，能够构造出好的合适 的李雅普诺夫函数，就可以获得一批好的结果关于三阶非线性稳定性理论，已经 有一些比较好的结果 2 3 1 + 9 ( z ，) z ，+ b z + ，( z ) = o ，( o ) = 0 ( 2 1 4 ) z 刖+ g ( z ，) z ，+ ，( z ) z 7 + c z = 0 ( 2 1 5 ) 贾建文在参考文献【3 1 一类三阶非线性系统全局稳定性的l i a p u n o v 函数构造 一文给出两个定理 定理2 6 如果6 o ，存在常数n o ，使夕( 可) 。，o o ，使，( z ) ，g ( 可) 满足 1 ) ，( z ) b ； 2 ) 夕( 秽) ； 3 ) ，7 ( z ) ! ，0 ， 则系统( 2 1 5 ) 的零解为全局渐近稳定的 三阶非线性系统零解的全局稳定性 ( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 的线性系统都可以化为 z = 耖 暑，= 名 z 7 = 一c z 一6 可一n z 对这个线性系统可以取李雅普诺夫函数 v = 丢口c z 2 + c z 耖+ 圭( z + n 妙) 2 + 丢6 可2 ， v = 三c 2 2 2 + 6 c z + 丢6 。秒2 + 丢。c 耖2 + c y z + 丢b z 2 所以，应用类比法，对( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 可以分别构造李雅普诺夫函数为 v = a z x f ( ) 必+ ，( z ) 可+ 丢( z + 口可) 2 + 三6 1 ，2 + 。z f 囟( 7 7 ) 一n 】7 7 d 7 7 ，0 z 二 ，0 和 v = 丢c 2 2 2 + 6 c z + 6 z y ，c z ，叩d 叩+ c z 可9 c 叼，叼d 叩+ c z ，z + 丢6 2 2 定理的具体证明参考参考文献【3 】 z w + ( z 7 ) z + ，( z 7 ) z 7 + g ( z ) = 0 ，9 ( o ) = o ( 2 1 6 ) 耿翊翔在参考文献 4 】一类三阶非线性系统的全局渐近稳定性给出了以下 定理 定理2 8 对于方程( 2 1 6 ) ，若 1 ) 当z o ，z 夕( z ) o ； 2 ) 规岳夕( z ) = + 。o ，令g ( z ) = 劈9 ( z ) 如，即g ( 士) = + ； 3 ) ( 可) c l o ，( 秒) c 2 o ； 4 ) o 掣c 3 ， 其中c l ，c 2 ，c 3 均正常数，且! 兰 o ，使9 ( 可) 芝n ，( z ，可) s g n 耖6m ，o o ，使9 ( 可) n ，( z ，y ) 6 ，o o ，使，( z ，耖) 6 ，口 譬 口+ 昙( ，当z 吵 o o ) ，对所有的巧 2 ) 丛笋6 。，耖。i 砂( z m z ) 口 。，对所有的z ，耖，z ； 3 ) 0 6 一c o j 4 ) 耖妒z ( z ，y ，o ) + 6 1 。( z ，! ，) ，妒：( z ，耖，z ) 可o ， 第1 8 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 其中三 6 1 皇，o o j c“ 5 ) 妒( o ，o ) = ，( o ) = o ，且妒( z ，o ) + ，( z ) o ，z o 6 ) 岳，( s ) d s _ + o o ，当_ + o o j 则系统( 3 1 ) 的零解全局渐近稳定 证明：取 2 y = 2 z 茁，( s ) d s + 2z 掣s 妒( z ，5 ，。) d s + 2 6 z 妒( z ，s ) d s + 6 z 2 + 2 y z + 2 6 t y ，( z ) 故 乱2 ) = 他 眺则”秒z f s 嘶，s 0 ) d 川- 咖m 可小s 灿 + 6 l z + 可z 7 + z 2 + 6 1 z ，( z ) + 6 1 剪2 厂7 ( z ) ，暑， = ，( z ) 暑，+ y 妒( z ，耖，o ) z + 暑 【亿( z ，s ，o ) s d s + 6 l 妒z ( z ，s ) 】d s + 6 1 ( z ，矽) z + z z + 占1 z ，( z ) +6 1 耖2 ，7 ( z ) 一6 l z 2 妒( z ，耖，z ) 一6 1 z 妒( z ，秒) 一占1 z ，( z ) 一可z 妒( z ，可，z ) 一妒( z ：耖) 耖一，( z ) y ：【1 6 l 妒( z ，可，z ) 】z 2 一【! 丛兰2 1 生二2 二；剑1 耖z 2 + 6 1 耖2 厂，( z ) 一掣n y z 掣【帅，s ，0 ) s 舢龇酬如 一( 6 l n 一1 ) z 2 + c 6 1 耖2 6 耖2 + y 2 = 一( 6 1 口一1 ) z 2 一( 6 一c 6 1 一) y 2 0 ，当z 0 ，号z = o 即y = o 号z = 耖= z = o ，所以y 正定 由定理条件，y 具有无穷大性质，根据定理1 4 ，系统( 3 2 ) 零解是全局稳定的 从而系统( 3 1 ) 零解是全局稳定的定理证毕 口 若减弱对y 函数的条件限制，不假定y 函数是无穷大的，可以通过验证其正半 轨有界性来证明其全局稳定性 定理3 2 设也，也，妒z ，妒，妒，连续且满足 1 ) ，( z ) s g n z o ，z o j ，7 ( z ) c ，( c o ) ，对所有的巧 2 ) 兰垦生盟6 o ，钞o i 妒( z ，! ，名) n o ，对所有的z ，! ，z ； u 3 ) n 6 一c o j 4 ) 砂z ( z ，可，o ) + 6 l 妒( z ，可) ，掣k ( z ，暑，名) 秒o ， 其中三 6 1 皇，o o j 口c n 5 ) 妒( o ，o ) = ，( o ) = o ，且妒( z ，o ) + ，( z ) o ，z 0 则系统( 3 1 ) 的零解全局渐近稳定 证明： 由定理3 1 的证明可以知道，李雅普诺夫函数y 是正定的，警常负且集合 第2 0 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 警= o 上除点d 外不包含( 3 2 ) 的整条轨线，根据定理1 3 ，系统( 3 2 ) 的零解是局 部渐近稳定的接下来再研究系统( 3 2 ) 零解的全局稳定性 取y = z = 0 ，z o o ， 即z 2 + 秒2 + 名2 _ 。o 这时2 y = 2 后，( s ) d s ，并不保证y _ o 。，所以正定函数y 不一定具有无穷大性质 要证明零解的全局稳定性，根据定理1 5 ，只要能证明系统的正半轨有界即可 取如此大的正数和，使得任意点局( z o ，珈，劲) 位于不等式y ( z ，耖，z ) 三和 川 o 时不会 越出区域d 事实上，由警5o ，知轨线上的点若要从区域d 内离开，就必须通过这个区 域边界的平面部分即有这样的瞬间t ，使i ! ，( t ) i = 又y ( z ，z ) l 和y 的表 达式 2 y 2 【f ( z ) 一袅，2 ( 训+ 鲁胁+ ，( 训2 + 6 ( z + 击y ) 2 + ( 。一击) 可2 ， 可以得到 掣 l ， 有 匾1匾 一v 百 名+ 石y o ，c o ，满足口6 一c o ，锄( 可) o ，7 ( z ) c ，厂( z ) s g n z o ，( z o ) ，丢 o ，6 o ，满足n 6 一c 0 ，使，( z ) ，夕( ! ，) 满足 1 ) ，( z ) 6 ； 第2 2 页 2 令 23 三阶非线性系统零解的全局稳定性 2 ) 9 ( 秒) o ； 3 ) 艄咖，丢 o ，( z o ) ；9 ，( z ) c ，( c o ) ； 2 ) ( 可) 口 o ，( 秒) 6 o ； 3 ) n 6 一c o ，三 o ，c o ，满足n 6 一c o ，使 1 ) 9 ( 可) o ； 2 ) 丝型 6 ，当可o ； 3 ) ( z ) s g n z 0 ，当茁o ； 7 ( z ) sc ； 4 m 胁m ，三 冰兰，o o ， ( o ) = o 比o o ，c o ，满足0 6 一c 0 ，使 1 ) 9 ( 秒) 口； 2 ) ，( z ，可) 6 ； 第2 4 页 三阶非线性系统零解的全局稳定性 3 ) ( z ) s g n z 0 ， 当z 0 ； ( z ) c ；