（基础数学专业论文）无限维李代数与广义顶点代数.pdf

第三节利用仿射李代数的属于范踌i7的模构造了另一类新的无限维完备李代数 这些李 代数的广义p o r e l 子代数及广义抛物子代数也是无限维完备李代数. 第 五 ” 与 广 义 顶 点 代 数 相 关 ” 内 容 令 l 三 节 构 成 此、，的 第一节回 顾广义顶点代数的定义及一些基本对偶性质 第二节为本章的核心内 容. 设w是一g分次空间. 首先我们定义一种w上仿费米算子 的广义顶点前代数. 然后我们 证明任一w上仿费米算子的广义顶点前代数自 然生成一广义顶 点 代数 且使w成为其 模. 这一结 果推广了(l i 月中 的 一个结 果 第三节 利用 第二节 的结果 证明 对水平为 任 何非零 值的 仿射 李代 数的 棋存在 典型的 广义 顶点 代 数 . v、一- ， 一 - 曰 . . 口口. . . .一 ab s t r a c t t h e m a i n o b j e c t s o f s t u d y i n t h i s d i s s e r t a t i o n a r e s o m e i n fi n i t e - d i m e n s i o n a l l i e a l g e b r a s a n d g e n e r a l i z e d v e r t e x a lg e b r a s . t h e s e l i e a l g e b r a s a n d g e n e r a l iz e d v e r t e x a l g e b r a s a r c d i r e c t l y r e l a t e d t o a f li n e l i e a l g e b r o-is . t h i s d i s s e r t a t i o n c o n s i s t s o f fi v e c h a p t e r s i n c l u d i n g t h e i n t r o d u c t i o n a s t h e fi r s t c h a p t e r . i n c h a p t e r t w o , w e d i s c u s s t h e r e g u l a r l o c a l l y fi n i t e e l e me n t s a n d c a r t a n s u b a l - g e b r a s o f k a c - mo o d y a l g e b r a s . i n k a c - m o o d y a l g e b r a s t h e s p l i t c a r t a n s u b a l g e - b r a s p l a y t h e s i m i l a r r o l e s t h a t c a r t a n s u b a l g e b r a s . p l a y i n t h e fi n i t e - d i m e n s i o n a l s e m i s i m p l e l i e a l g e b r a s . a s t h e m a i n r e s u l t. o f t h i s c h a p t e r , w e p r o v e t h a t a s u b - a l g e b r a q o f g ( a ) is a s p l i t c a r t a n s u b a l g e b r a i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a r e g u l a r lo c a l l y fi n i t e e l e m e n t x s u c h t h a t h 二g o ( a d x ) . t h i s r e s u l t g e n e r a l i z e s p a r t i a l l y t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t a b o u t t h e fi n i t e - d i m e n s i o n a l s e m i s i m p l e l i e a l g e b r a s . we g i v e a l s o a d e s c r i p t i o n o f a l l r e g u l a r l o c a l l y fi n i t e e l e m e n t s i n g ( a ) i n c h a p t e r t h r e e , w e s t u d y t o r o i d a l l i e a l g e b r a s 叭,1 . t o r o i d a l l i e a l g e b r a s w e r e i n t r o d u c e d i n 1 9 9 0 b y r . v . mo o d y , s . e s w a r a r a o , a n d t . y o k o n u m a i n m e y . t h e y a r e n a t u r a l g e n e r a l iz a t i o n s o f a f fi n e l i e a l g e b r a s a n d w h e n 。= 1 t h e y a r e p r e c is e ly t h e u n t w i s t e d a f fi n e l i e a l g e b r a s . t h i s c h a p t e r c o n s i s t s o f f o u r s e c t i o n s . i n s e c t i o n 3 . 1 , w e r e c a l l t h e d e fi n i t i o n a n d s o m e b a s i c p r o p e r t i e s o f a t o r o id a l l ie a lg e b r a f r o m im e y . i n s e c t io n 3 .2 , w e o b t a in s o m e p r o p e r t ie s o f t b 1 a b o u t t h e i d e a l s , g e n e r a t o r s a n d d e r i v a t i o n s . we p r o v e t h a t t h e fi r s t c o h o in o l o g y g r o u p o f 爪 w i t h c o e ff ic ie n t s in 双 ，。 is m 2 - d im e n s io n a l . i n s e c t io n 3 .3 , w e g i v e t h e c l a s s i fi c a t i o n a n d r e a l i z a t i o n o f i r r e d u c i b l e fi n i t e - d i m e n s i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s o f it e r a t e d l o o p a l g e b r a s . f i n a l l y i n s e c t i o n 3 .4 , w e c o n s t r u c t a c l a s s o f m o d u l e s f o r 写 m l b y u s i n g t h e m o d u l e s f o r a ffi n e l i e a l g e b r a s . i n c h a p t e r f o u r , w e d i s c u s s c o m p l e t e l i e a l g e b r a s . a l i e a l g e b r a g i s c a l l e d a c o mp l e t e l i e a l g e b r a , i f g s a t i s fi e s t h e t w o c o n d i t i o n s : /、叼 二 ( ) =a d o . i n s e c t i o n 4 . 1 , w e g i v e a s u ff i c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r a s o l v a b l e l i e a l g e b r a w i t h 1 - s t e p n i l p o t e n t r a d i c a l o f m a x i ma l r a n k t o b e c o m p l e t e . i n f a c t , w e g i v e a m e t h o d t o c o n s t r u c t a l l t h e s e l i e a lg e b r a s , i n s e c t i o n 4 . 2 a n d s e c t i o n 4 .3 w e c o n s t r u c t t w o c l a s s o f n e w i n fi n i t e - d i m e n s i o n a l c o m p l e t e l i e a lg e b r a s 勿 u s i n g t h e m o d u l e s f o r k a c - m o o d y a l g e b r a s . i n c h a p t e r fi v e , w e d e fi n e a n o t i o n o f g e n e r a l i z e d v e r t e x p r e - a l g e b r a o f p a r a f e r m i o n o p e r a t o r s o n a v e c t o r s p a c e a n d w e p r o v e t h a t a n y g e n e r a l i z e d v e r t e x p r e - a lg e b r a o n t a v e c t o r s p a c e w g e n e r a t e s i n a c e r t a i n c a n o n i c a l w a y a g e n e r a l i z e d v e r t e x a l g e b r a w i t hw a s a n a t u r a l m o d u l e . t h i s c h a p t e r c o n s i s t s o f t h r e e s e c t i o n . i n s e c t i o n 5 . 1 , w e r e c a l l s o m e b a s i c d e fi n i t i o n s a n d r e s u l t s f r o m d l 2 . t h e m a i n r e s u l t o f t h i s c h a p t e r i s g i v e n i n s e c t i o n 5 . 2 . i n s e c t i o n 5 . 3 , w e s h o w t h e e x i s t e n c e o f c e r t a i n ( ; u u o n i c ; 1.l g e n e r a l i z e d v r r l .e x a l g ( ! h r ; i s r e l a ( o d t o a l l u r e l i v a l g e h r r u w c h i l e s o f a n y n o u z e r o l e v e l . 1 1 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n t h e m a i n o b j e c t s o f s t u d y i n t h i s d i s s e r t a t i o n a r e s o m e i n fi n i t e - d i m e n s i o n a l l i e a l g e b r a s a n d g e n e r a l i z e d v e r t e x al g e b r a s . t h e s e l i e al g e b r a s a n d g e n e r a l i z e d v e r t e x a l g e b r a s a r e d i r e c t l y r e l a t e d t o a ffi n e l i e al g e b r a s . s i n c e t h e e ig h t i e s t h e t h e o ry o f k a c - m o o d y a l g e b r a s , e s p e c i a l ly a f fi n e l i e a l g e b r a s , h a s p r o d u c e d d e e p i n fl u e n c e i n m a n y a r e a s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c a l p h y s i c s , s u c h a s i n v a r i a n t t h e o ry, o o m b i n a t o r i c s , t o p o l o g y , t h e t h e o r y o f m o d u l a r f o r m s a n d t h e t a f u n c t i o n , t h e t h e o ry o f s i n g u l a r i t i e s , fi n it e s i mp le g r o u p s , h a m i l t o n i a n m e c h a n i c s , s o l i t o n e q u a t i o n s , a n d q u a n t u m fi e l d t h e o ry . f o l l o w i n g t h e d e v e l o p m e n t o f k a c - m o o d y al g e b r a t h e o ry , ma n y n e w b r a n c h e s o f m a t h e m a t i c s a n d m a t h e m a t i c a l p h y s ic s h a v e a r i s e n . t o r o i d al l i e a l g e b r a s a n d g e n e r a l i z e d v e r t e x al g e b r a s a r e t w o o f t h e y . t o r o i d al l i e al g e b r a s , o r e x t e n d e d a f fi n e l i e al g e b r a s , a r e n a t u r al g e n e r a li z a t i o n s o f a ffi n e l i e al g e b r a s . i n o u r d is s e r t a t io n t h e c h a p t e r 2 , c h a p t e r 3 a n d c h a p t e r 4 a r e c o n c e r n e d a b o u t k a c - m o o d y al g e b r a s a n d t o r o i d al l i e a l g e b r a s . t h e c h a p t e r 5 i s c o n c e r n e d a b o u t g e n e r a l i z e d v e r t e x a l g e b r a s . i t i s w e l l k n o w n t h a t r e g u l a r e l e m e n t s a n d c a r t a n s u b a l g e b r a s p l a y v e ry i m - p o r t a n t ro l e s i n t h e s t u d y o f fi n i t e - d i m e n s i o n al l i e al g e b r a s . i n o r d e r t o g e n e r al i z e t h e r e s u l t s t o i n f i n it e - d i m e n s i o n al l ie al g e b r a s , y . b i l li g a n d a . p i a n z o la i n b p i n t r o d u c e d t h e s e c o n c e p t s a n d t h e c o n c e p t o f r e g u l a r c a r t a n s u b al g e b r a s f o r a n y l i e a l g e b r a s . u s i n g z a r is k i t o p o l o g y , t h e y p r o v e d t h a t f o r a l i e a l g e b r a ， o v e r a fi e l d k , i f k is i n fi n i t e , a n d c a r d ( k ) d i m k g , t h e n a n y fi n i t e - d i m e n s i o n al c a r t a n s u b a l g e b r a o f g m u s t b e a r e g u l a r c a r t a n s u b al g e b r a . k a c - mo o d y al g e b r a s a r e n a t - u r al g e n e r al i z a t io n s o f fi n i t e - d i m e n s i o n a l s e m i s i m p l e l i e a lg e b r a s . i n k a c- m o o d y al g e b r a s t h e s p l i t c a r t a n s u b al g e b r a s p l a y t h e s i m il a r r o l e s t h a t c a r t a n s u b a l g e b r a s p l a y i n fi n i t e - d i m e n s i o n al l i e al g e b r a s . n o w f o r k a e - m o o d y al g e b r a s w e h a v e c a r - t a n s u b al g e b r a s , r e g u l a r c a r t a n s u b al g e b r a s a n d喇it c a r t a n s u b a l g e b r a s . u s i n g ， 份分 ， ， . ，甲 目. . . . . . . . . . . . . . . . ， . t h e a b o v e d e s c r i b e d r e s u l t o f b p a n d t h e r e s u l t i n m p i t h a t f o r a s y m m e t r i z a b l e g e n e r a l i z e d c a r t a n m a t r i x a , a n y l o c a l ly fi n i t e e l e m e n t s o f t h e k a c - mo o d y a l g e b r a g ( a ) h a s j o r d a n c h e v al l e y d e c o m p o s i t io n , w e p r o v e t h a t a s u b a l g e b r a b o f g ( a ) t o b e a s p l i t c a r t a n s u b al g e b r a i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s a r e g u l a r l o c al l y fi n i t e e l e m e n t x s u c h t h a t 4 =g o ( a d x ) . t h i s r e s u l t g e n e r al i z e s p a r t i al l y t h e c o r r e s p o n d i n g r e s u l t a b o u t fi n i t e - d i m e n s i o n al s e m i s imp l e l i e al g e b r a s . f u r t h e r w e g i v e a d e s c r i p t i o n o f r e g u l a r l o c a l l y fi n i t e e l e m e n t s i n g ( a ) . i n c h a p t e r 3 w e s t u d y fi r s t t h e i d e al s , g e n e r a t o r s a n d d e r i v a t i o n s o f t o r o i d a l l i e a l g e b r a s 爪 t o r o i d a l l i e a lg e b r a s w e r e i n t r o d u c e d i n 1 9 9 0 勿 r . v . m o o d y , s . e s w a r a r a o , a n d t . y o k o n u m a i n m e y . r e c e n t l y y e a r s m a n y w o r k s w e r e d o n e a b o u t t h e i r s t r u c t u r e s , r e p r e s e n t a t i o n s a n d o t h e r r e l a t e d t o p i c s . t o r o i d al l i e a l g e - b r a 双 m l a r e c o n s t r u c t e d t h r o u g h a d d i n g s o m e d e r i v a t i o n s t o t h e u n i v e r s al c e n t r a l e x t e n s io n s o f i t e r a t e d l o o p al g e b r a s . t h e y a r e d e fi n e d f o r e v e r y i n t e g e r m 1 a n d w h e n m=1 t h e y a r e p r e c i s e l y t h e u n t w i s t e d a f fi n e l i e al g e b r a s . we p r o v e fi r s t l y t h a t t h e fi r s t c o h o m o lo g y g r o u p o f t - w it h c o e f fi c i e n t s i n 刃 m i s m 2 - d im e n s io n a l s e c o n d l y w e g i v e t h e c l a s s i fi c a t i o n a n d r e a li z a t i o n o f ir r e d u c i b l e fi n i t e - d i m e n s i o n al r e p r e s e n t a t i o n s o f i t e r a t e d l o o p a l g e b r a s . we c o n s t r u c t e d al s o a c l a s s o f m o d u l e s f o r 月 m l b y u s i n g t h e m o d u l e s f o r a f fi n e l i e a lg e b r a s . i n c h a p t e r 4 w e d i s c u s s c o m p l e t e l i e al g e b r a s . a l i e a l g e b r a is c a l l e d c o m p l e t e i f i t s c e n t e r i s z e r o , a n d a ll i t s d e r i v a t i o n s a r e i n n e r . t h e d e fi n i t i o n o f c o m p l e t e l i e a l g e b r a w a s g i v e n b y n . j a c o b s o n i n 1 9 6 2 . i n 1 9 6 3 , g . l e g e r p r e s e n t e d s o m e i n t e r e s t i n g e x a mp l e s o f c o m p l e t e l i e a l g e b r a s . i n r e c e n t y e a r s , m o r e in f o r m a t i o n a b o u t c o m p l e t e l i e a lg e b r a s w e r e o b t a in e d , a n d t h e g e n e r al t h e o r y o f c o m p l e t e l i e al g e b r a s a r e r a p i d l y d e v e l o p e d . a s t h e fi r s t p a r t o f c h a p t e r 4 , w e p r o v e a s u f f i c i e n t a n d n e c e s s a ry c o n d i t io n f o r a s o l v a b l e l i e al g e b r a w i t h i - s t e p n il p o t e n t r a d i c al o f m a x i m al r a n k t o b e c o m p l e t e . i n f a c t w e g i v e a m e t h o d t o c o n s t r u c t a l l t h e s e l i e al g e b r a s . i n t h e s e c o n d a n d t h i r d p a r t o f t h i s c h a p t e r , w e c o n s t r u c t t w o c l a s s o f n e w i n fi n i t e - d i m e n s i o n a l c o m p l e t e l i e al g e b r a s b y u s i n g t h e m o d u l e s f o r k a c - m o o d y a l g e b r a s . o u r c h a p t e r 5 i s c o n c e r n e d a b o u t g e n e r al i z e d v e r t e x al g e b r a s . v e r t e x o p e r a t o r a l g e b r a s , in t r o d u c e d i n m a t h e m a t i c s ( b , f l m ) , a r e k n o w n e s s e n t i a l l y t o b e c h i r a l a l g e b r a s , i n t r o d u c e d in p h y s i c s ( b p z , m s ) . i n t e r m s o f p h y s i c a l l a n g u a g e , c h i r a l a l g e b r a s f o r b o s o n i c fi e l d t h e o r i e s a r e v e r t e x o p e r a t o r a lg e b r a s w h i l e c h i r a l a l g e b r a s a r e v e r t e x o p e r a t o r s u p e r al g e b r a s f o r f e r m i o n i c fi e l d t h e o r i e s . i n p h y s i c s , f u r t h e r g e n e r al i z a t i o n s o f b o s o n s a n d f e r m i o n s a r e p a r a f e r m io n s z f 1 - 2 , w h e r e t h e c h i r a l al g e b r a s w e r e c al le d p a r a f e r m i o n a l g e b r a s . i n d e p e n d e n t l y ( a n d e a r l i e r ) , z - o p e r a t o r s a n d z - a l g e b r a s ( l w1 - 3 , l p 1 - 2 ) w e r e i n t r o d u c e d i n m a t h e m a t i c s t o s t u d y s t a n - 2 d a r d m o d u l e s f o r a f ( 2 ) 4 .i t s 。 二 。 o r m a l i z e r i n 。 ， 。 ， n s ( 4 ) =b . r e ma r k 2 . 1 . 2 i f g i s f i n i t e - d i m e n s i o n 武 t h e n b i s n i lp o t e n t b y e n g e l t h e o r e m a n d t h e d e f r n i t i o 。r e c o v e r t h e c l a s s i c a l d e f in i t i o n o f c a r t a n s u b a lg e b r a s . l e t . b e a l i e a l g e b r a . f o r x 。 ， w e d e n o t e g o ( a d x ) = y ly e 。 ， ( a x i s s a i d t o b e l o c al l y n i l p o t e n t i f f o r a n y ， e 。 t h e r e e x i s t s a p o s it i v e i n t e g e r n s u c h t h a t a d x l ( y ) =0 ; x i s s a i d t o b e l o c a l l y fi n i t e i f e v e r y e l e m e n t o f . b e l o n g s t o a fi n i t e - d i m e n s i o n a l a d x - i n v a r i a n t s u b s p a c e o f g d e f i n i t i o n 2 . 1 . 8 l e t g b e a l i e a l g e b r a . a s u b a lg e b r a t o f 。i s c a l l e d a t o r a l s u b a l g e b r a o f g , if t c o n s i s t e d e n t i r e l y o f s e m i s i m p l e e l e m e n t s . a n y w e k n o w t h a t f o r a fi n i t e - d i m e n s i o n a l l i e a l g e b r a o v e r a a l g e b r a i c a l ly c l o s e d fi e l d i t s t o r al s u b al g e b r a i s a b e l i a n . f o l l o w i n g w e p r o v e t h a t t h e r e s u l t i s s t i l l c o r r e c t i n fi n i t e - d i m e n s i o n al l i e a l g e b r a s . mma 2 . 1 . 9 l e t 。 b e a l i e a lg e b r a o v e r k, w h e r e k i s a a l g e b r a i c a l l y c l o s e d f i e l d . e n e v e r y t o r a l s u b a l g e b r a o f g i s a b e li a n . forle乃 5 一 . . . 目.一一一 p r o o f . l e t t b e a t o r a l s u b a lg e b r a o f g . we h a v e t o s h o w t h a t a d t x=0 f o r a l l x i n t . s i n c e x i s s e mis i m p l e , h e n c e x i s l o c a ll y fi n i t e . r e m a r k i n g k i s a l g e b r a i c a ll y c l o s e d , w e s h o w a d t x=0 a m o u n t s t o s h o w i n g t h a t a d t x h a s n o n o n z e r o e i g e n v a l u e s . s u p p o s e , o n t h e c o n t r a r y , t h a t x , ， =a y ( a 并0 ) f o r s o m e n o n z e r o y e t . t h e n a d t ( y ) ( x ) =- a y is a n e ig e n v e c t o r o f a d y , o f e i g e n v a l u e 0 . o n t h e o t h e r h a n d , w e c a n w r i t e 二 a s a li n e a r c o m b i n a t i o n o f e i g e n v e c t o r o f a d t y , ( ， b e i n g s e m i s i m p l e a ls o ) . a f t e r a p p l y i n g a d t y t o 二 ， a ll t h a t i s l e f t is a c o m b i n a t i o n o f e i g e n v e c t o r s o f a d t y w h i c h b e l o n g t o n o n z e r o e i g e n v a l u e s , i f a n y . t h i s c o n t r a d i c t s t h e p r e c e d i n g c n n c l m i n n_口 2 . 2 t h e c a r t a n s u b a l g e b r a s o f k a c - mo o d y a l g e - b r a s l e t a b e a s y m m e t r i z a b l e g e n e r a l i z e d c a r t a n m a t r i x . l e t ( 万 ， i l , ii) b e a r e a l i z a t i o n o f a . s u p p o s e t h a t g ( a ) is t h e c o r r e s p o n d i n g k a c - m o o d y a l g e b r a a n d s u p p o s e g ( a ) = a .0g o o e i s t h e r o o t s p a c e d e c o m p o s i t i o n o f g ( a ) w i t h r e s p e c t t o 石 . d e fi n i t i o n 2 . 2 . 1 a二 二。 a l t o r a l s u b a l g e b r a o f g ( a ) i s c a l l e d 。 s p l i t c a r t a n s u b - a lg e b r a o f g ( a ) . l e t g b e t h e d e r i v e d l i e g r o u p o f g ( a ) , t h e n w e h a v e t h e g r o u p h o m o m o r p h is m o f g t o a u t ( g ( a ) ) ( m p i , p k ) : a d : g一a u t ( g ( a ) ) . 弓 t h e o r e m 2 . 2 . 2 p k e v e r y s p l i t c a r t a n s u b a l g e b r a o f g ( a ) 。 a d ( g ) - c o n j u g a t e d t o 石 ， p r o p o s i t i o n 2 . 2 . 3 e v e r y s p l i t c a r t a n s u b a l g e b r a o f g ( a ) i s a c a r t a n s u b a lg e b r a p r o o f . i t i s c l e a r t h a t 石 i s a c a rt a n s u b a l g e b r a o f g ( a ) . a c c o r d i n g t o c o n j u g a c y th e o r e m 2 . 2 . 2 w e h a v e t h e r e s u l t . 0 n o w f o r g ( a ) w e h a v e c a rt a n s u b a l g e b r a s , r e g u l a r c a r t a n s u b a l g e b r a s a n d s p l i t c a r t a n s u b a l g e b r a s . b y t h e d e f in i t i o n a r e g u l a r c a r t a n s u b a l g e b r a is a c a r t a n 6 _. 一 . . .门. .曰. s u b a l g e b r a . b y p r o p o s i t i o n 2 . 2 . 3 e v e r y s p l i t c a r t a n s u b a lg e b r a i s a l s o a c a r t a n s u b a l