（基础数学专业论文）辫子monoidal范畴中的右扭曲smash余积.pdf

摘要 本文中，我们主要研究了在辫子m o n o i d a l 范畴够中一个新余代数a ，h ，这里日 是辫子m o n o i d a l 范畴够中的一个h o p f 代数，a 是辫子m o n o i d a l 范畴够中的一个一 双余模余代数，为了方便，我们称这个余代数ax ，h 为辫子m o n o i d a l 范畴够中的右扭 曲s m a s h 余积在辫子m o n o i d a t 范畴够中，s m a s h 余积axh 1 2 】是它的特殊形式 进一步地，我们讨论了辫子m o n o i d a l 范畴够中的右扭曲s m a s h 余积ax ，h 的一些属 性，并且给出了一个充要条件使辫子m o n o i d a l 范畴够中的右扭曲s m a s h 余积ax ，日 的余代数结构与张量积代数a 圆h 的代数结构成为辫子m o n o i d a l 范畴够中的一个双代 数 本文结构安排如下； 在第一章中，主要简单的介绍h o p f 代数发展背景，研究情况以及与之相关的基本知 识，并阐述了提出问题的思路 在第二章中，首先介绍预备知识，接着通过引入辫子m o n o i d a l 范畴够中的右扭曲 s m a s h 余积a ，h ，并得到一些重要的结果 关键词；辫子m o n o i d a l 范畴，右扭曲s m a s h 余积，辫子n o p f 代数，辫子双余模余代数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yan e wc o a l g e b r aa rho fab i c o m o d u l ee o a l g e b r a ab yah o p fa l g e b r ahi nb r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s f o rc o n v e n i e n c e ，w ec a l lt h en e w c o a l g e b r aa rh af i g h tt w i s t e ds m a s hc o p r o d u c t ，t h es m a s he o p r o d u c ta h 【1 2 】i n b r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e si sas p e c i a lc a s e so fa ，h ，m o r e o v e r w es t u d ys o m e p r o p e r t i e so ft h er i g h tt w i s t e ds m a s hc o p r o d u c tax rh i nb r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s ， a n dg i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h er i g h tt w i s t e ds m a s h c o p r o d u c ta x ，汀 e q m p p e dw i t ht e n s o rp r o d u c ta l g e b r as t r u c t u r et ob eab i a l g e b r a t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w er e c a l lt h eb a c k g r o u n do fh o p fa l g e b r a sa n dp r e s e n tb o r n eb a s i c p r o p e r t i e sa sw e l la sf a c t sa b o u th o p fa l g e b r a sw h i c ha x er e l a t e dt ot h ef o l l o w i n gc o n t e n t s c l o s e l y i na d d i t i o n ，w ei n t r o d u c eh o wt h eq u e s t i o ni n v e s t i g a t e di nt h ed i s s e r t a t i o ni s p r o d u c e d i nc h a p t e rt w o ，w ef i r s t l yi n t r o d u c es o m ec o n c e p t i o n su s e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ，a n d i n d u c tar i g h tt w i s t e ds m a s hc o p r o d u c ta rhi nb r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s ，t h e n o b t a i nt h em a i nr e s u l t s k e yw o r d s ：b r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s ，r i g h tt w i s t e ds m a s hc o p r o d u c t s ，b r a i d e dh o p f a l g e b r a s ，b r a i d e db i c o m o d u l ec o a l g e b r a s i i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 - 。 过的材料与我一回三芒作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意! ， ， 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫 描等复制手段保存，汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：导师签名：日期： 珥笸：兰 第一章引言 1 1h o p f 代数的背景知识 h o p f 代数是数学中最活跃的领域之一，它是人们在研究拓扑时发现的 1 9 4 1 年， h o p f 在研究拓扑群中的余链( c o c h a i n s ) 时构造出了既有代数结构又有余代数结构的概 念后来c a r t i e r ，h a r l g e n 和b o r e a l 也做过类似研究，直到1 9 6 5 年m i l n o r 和m o r e 在 a n n o fm a t h 上合作发表题为“o nt h et r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a s ”的文章后，上述概念 才被正式成为h o p f 代数此后h o p f 代数进入了发展时期，其发展大致可分为五个阶段 第一阶段，积分理论和m a s c h k e 定理的发现积分理论是构造3 - 维流形的不变量和 3 - 维拓扑量子场理论的基本工具积分理论的一重要应用就是m a s e h k e 定理 第二阶段，l a g r a n g e 定理的证明 第三阶段，h o p f 代数作用的研究这一阶段最重要的成果是文献【1 】在这一阶段 m o n t g o m e r y 和b l a t t e r 还证明了对偶定理 第四阶段，量子群的研究著名的y a n g - b a x t e r 方程在数学及物理领域都起到了很重 要的作用，用对称的方法去求解y a n g - b a x t e r 方程引出了量子群理论，可参看文献 26 】 量子群”这个概念是d r i n f e l d 在1 9 8 6 年提出的，之后便得到推广量子群不但为h o p f 代数提供了大量的例子还为解决很多力学问题提供了很好的工具它的提出使得h o p f 代 数与量子力学的关系变得更显密切 第五阶段，辫子h o p f 代数的研究1 9 8 6 年t o y a l 和s t r e e t 引入了辫子张量范畴的 概念见文献【7 】，这是超对称的推广m a j i d ，t o y a l ，s t r e e t 和l y u b a s h e k o 对其作了广 泛的研究并得到许多重要的结论例如辫子重构定理，蜕变( t r a n s m u t a t i o n ) 和波色子化 ( b o s o n i z i t i o n ) ，积分，q - f o u r i e r 变换式，q - m i n k o u s k i 空问等这方面可参看文献【7 - 1 1 h o p f 代数不但与物理学中的量子力学等诸多领域有着非常密切的关系，并且在数学 领域也几乎无处不在从数论( 形式群) 到代数几何( 仿射群概系) ，l i e - 理论( 李代数的泛 包络代数是h o p f 代数) ，伽罗瓦理论和可分域扩张，分次环理论，算子理论，局部紧群理 第一章引言 论，广义函数论( 分布论) ，组合数学，表示论等等很多领域 1 2 问题的提出 辫子m o n o i d a l 范畴是t a n n a k i a n 范畴，超h o p f 代数与色李代数的推广，它与解决低 维流形里的流形问题，扭结理论以及量子群有着十分密切的关系近年来，辫子m o n o i d a l 范畴中各种各样话题的研究成了h o p f 代数中的热点在通常的向量空间并且具有通常 辫子的辫子m o n o i d a l 范畴中，r g h e y n e m a n 与m e s w e e d l e r 介绍了s m a s h 余积 a h 1 2 】的定义及其基本属性，而r k m o l n a r 在【1 3 ，定理2 1 4 中给出了充分的条 件使s m a s h 余积a h 余代数结构与张量积ao 何代数结构成为双代数随之，v g d r i n f e l d 介绍了d r i n f e l d 偶【1 4 】，赵文正，王栓宏和焦争鸣在【1 5 ，定理1 】中介绍了双交 叉积，王栓宏和李金其在f 1 6 ，定理2 4 】中介绍了右扭曲s m a s h 余积与此同时，在一般 的辫子m o n o i d a l 范畴中，李金其与许永华在【1 7 】中介绍了s m a s h 余积，并且又给出了充 分的条件使s m a s h 余积a 日余代数结构与张量积ao 日代数结构成为一个双代数， 张寿传和陈惠香在【1 8 】中介绍了双交叉积，而d r i n f e l d 偶恰好是它的一种特殊形式沿 着这一思路，我们很自然的要问； 我们能不能把右扭曲s m a s h 余积推广到辫子m o n o i d a l 范畴中，如果能的话，什么情 况下辫子m o n o i d a l 范畴中的右扭曲s m a s h 余积的余代数结构与张量积代数的代数结构 能成为一个双代数? 本文就这一问题进行了讨论，并且给出了一个确定的结果 1 3 预备知识 首先，我们来回顾一下范畴中的基本知识 定义1 3 1 一个m o n o i d a l 范畴是六元组( 够，o ，i ，垂，z ，r ) ，其中够是范畴， 圆 够。够一够是函子，且固在下面意义下是结合的 ( o ) o ：( 够够一够，8 ( o ) ：够( 留够) 一汐 2 第一章引言 ，是单位对象，垂x y z ：( x o y ) o z x ( y o z ) ，i x ：，o x x 7 x ：x o i x 为自然同构，并且垂与z ，r 分别满足 ( i d x8 西y f z ，v ) 0 西x ，y 。z , v 。( 西xy , z8i c l v ) = 垂x y , z z vo 中x 。r 互y 与 ( i d x o l v ) 0 垂置，y = 啊o i d v 定义1 3 2 一个m o n o i d a l 范畴中的一个辫子是指一个从函子8 到o ”的自然同构 c 。即tc x , y ：x o y _ y 固x 是同构且 ( g o f ) o 职y = c x ，y ，0 ( f 圆9 )( 1 1 ) 成立，其中f ：x x ，9 ：y y ，为m o n o i d a l 范畴够中的任意态射同时圣，c 又满 足 垂x y , z0e x ，y 。zo 西k 互x = ( i d r 圆c x ，z ) 0 由y x ，zo ( c x , y 固i d z ) 与 面未y t zo c x 。y zo 西i l 五x = ( 钳，z o i d v ) o 垂z 五yo ( i d x 圆c m z ) 其中x y ，z ，x 。y 曲髫 ( 1 1 ) 用图表示如下。 xy xy y fx y rx | 囝1 1 ：是从函子圆劐函子 o 的自然变换 定义1 3 3 一个辫子m o n o i d a l 范畴是二元组够，c ) ，其中够为m o n o i d a l 范畴，c 为m o n o i d a l 范畴中的一个辫子 一般情况下，辫子m o n o i d a l 范畴中的一个代数，余代数，双代数以及h o p f 代数是指 它们相应的结构映射为辫子m o n o i d a l 范畴中的态射，并且满足它们相应的一些关系式 3 第一章引言 在以后的证明过程中，我们将使用图的计算方法，所有的态射都是采用从上到下的图形来 表示的，如态射，：a 圆b c ，在图中我们可以用y 来表示相反，态射g ：a b o c 在图中我们可以用人来表示，而其它的态射也可以这样类似的理解，同时辫子m o n o i d a l 范畴中的单位对象，被省略最后c 与c ，即辫子m o n o i d a l 范畴中的辫子与逆辫子分 别用c x ，y = ( 与c - 1 y = 来表示，而任意态射下辫子与逆辫子的函性，确切地说，如果 在路径畅通的情况下任意态射的顶点都可以顺利的穿过辫子而不受影响，详细情况可参考 【1 9 ，2 0 】在整篇文章中，如无特别的说明，我们都假设，o i ，c ) 是一个辫子m o n o i d a l 范畴，其中日av o y g 并且 为够的态射 西：a _ h o a m ：a 8 a a a ：a _ a 圆a ：，_ a e a ：a _ ， 8 a ：a _ 月 s j l ：a _ a ，妒：a _ 4 0 ep ：v 一日8 k ，、”j = r ：h h _ ， a n ：h - 日。日 ，r i h ：，_ ， ，6 j = r ：h _ j ， ，8 日：h d ， ，s i l ：h _ 日 4 第二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数ax ，h 2 1 相关的定义 下面将列举与本文有关的比较重要的一些概念和研究成果 定义2 1 1 设够是一个辫子m o n o i d a l 范畴，h o b g ，那么日被称为留中一个 h o p f 代数，如果有下列条件成立。 hhhh hh hh hih 圈2 - 1 - ( a 1 ) ：h 的结合性 田2 - 1 ( a 2 ) ：日的单位性 圈2 - 1 - ( a ) ：h 是够中代数 hhh hh hhh h hh 图2 - 1 - ( b 1 ) ：h 的余结合性 圈2 - 1 - ( b 2 ) ：h 的余单位性 图2 - l - ( b ) ：h 是够中余代数 5 第一二章辫子m o n o i d a l 范畴管中的双代数a ，h hh hh 图2 - 1 - ( c 1 ) 图2 - 1 - ( c 2 ) 囝2 - 1 - ( c ) ：a h 是够中代数映射 h h 5 上上 囝2 - 1 一( d 1 ) = 击 圉2 - 1 - ( d 2 ) 囝2 - 1 - ( d ) ：e h 是够中代数映射 圉2 - 1 - e ：s 是日的反对极 圉2 - 1 ：h 是够中h o p f 代数 定义2 1 2 设h 是够中一个h o p f 代数，a o 蹭 ( i ) ( a ，咖) 是够中一个左h - 余模，如果有下列条件成立， 6 只 日i由1日 第二章辫子m o n o i d a l 范畴管中的双代数ax ，日 囝2 - 2 - ( a ) 囝2 - 2 - ( b ) 囝2 - 2 ：( a ，砂) 是够中左h - 余模 ( i i ) ( a ，妒) 是够中个右m 余模，如果有下列条件成立， ah h a aa a hh 囝2 - 3 - ( a 1 囝2 - 3 - ( b ) 田2 - 3 ：( a ，妒) 是够中右h - 余模 ( i i i ) ( a ，钟是够中一个左z 卜余模并且( a ，砂) 是够中一个右日一余模，那么( a ，九1 ；f ，) 放成为够中一个h 一双余模，如果有下列条件成立 hah 田2 4 ：( a ，妒) 是够中h - 双余模 7 第一二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数ax ，h 定义2 1 3 设h 是够中一个h o p f 代数，a o 掰 ( i ) ( a ，毋) 是够中一个左肌余模，那么a 被成为够中一个左h - 余模余代数，如 果a 是够中一个余代数并且下列条件成立， haa 图2 - 5 - ( a 1 囝 圉2 - 5 ：( a ，妒) 是够中左h 余模- 余代数 ( i i ) ( a ，妒) 是够中一个右h 一余模，那么a 被成为够中一个右h 一余模余代数，如 果4 是够中个余代数并且下列条件成立： a aaa 上人j占 aa口 圈2 - 6 - ( a ) t 圈2 - 6 ( b ) 图2 - 6 ：( a ，妒) 是够中右h 余模一余代数 定义2 1 4 设日是够中一个h o p f 代数， 是够中一个余代数，那么a 被成为够 中一个日双余模余代数，如果有下列条件成立， ( i ) ( a ，咖妒) 是够中一个h 一双余模 ( i i ) 不仅( a ，计是够中一个左h - 余模余代数，而且( a 妒) 是够中一个右一余模 余代数 8 a10t， b 吖 = 撕 第- 二章辫子m o n o i d a l 范畴留中的双代数a ，h 定义2 1 5 设h 是够中一个h o p f 代数，( a ，) 是够中一个左一余模那么a 被成为够中一个左日一余模代数，如果a 是够中一个代数并且下列条件成立t a 。 日a 禹 h 定义2 1 6 1 7 】设日是够中一个双代数，那么称m ”：h oh 一日是日中个 反乘，如果m 一使坷为够中一个新双代数且下列条件成立， ( m 叩 i d ) o ( i d 圆p ) = ( m 圆i d ) o ( i d oc v m ) o ( i d 8c x , v ) o ( c h ，珂o i d ) o ( i d o 力 这里，( kp ) 是够中关于某一类n 的左h 余模进一步的，如果m 一= m 是关于某一 类q 的所有一余模的反乘，那么称h 关于类n 是可换的 定义2 1 7 b 2 1 】设h 是够中一个h o p f 代数，那么反对极s 关于下面的图2 _ 7 是一个反余代数映射，关于下面的图2 - 8 是一个反代数映射 a a a a i 害2 占 里2 - 7 - ( a )囝2 - 7 - ( b ) 圈2 - 7 ：s 是够中反余代数映射 hhhh h 图2 - s - ( a ) 图2 - 8 ( b ) 圈2 8 ：s 是够中反代数映射 9 i l a i h l i a 第二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数ax ，h 2 2 辫子m o n o i d a l 范畴够中的右扭曲s m a s h 余积 命题2 2 1 设日是够中一个h o p f 代数， a8 日是留中一个余代数，我们记作ax ，h 余单位 a 是够中一个h 双余模余代数，那么 如果在空间a 8 h 上定义余乘如下： a j 4 。j j r = ( i d o m o i d ：) o ( i d 2 0 m 圆i d 2 ) o ( i d 3 0c a h o i d ) o ( i d 4 固s 8 i d ) o ( i d 3 妒 i d ) o ( d 2 圆c a ，日 i d ) ( 2 1 ) o ( i d o o i d 2 ) 0 ( a a 圆h ) ( 2 1 ) 用图表示如下 证明如图2 - 1 0 b bbb bb e a o h = “ e 日 圉2 9 ：a 日 1 0 a日 第二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数a ，h ahahahah a hah l l 第二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数a ，h aha h a h bbb 图2 - 1 0 ：说明余乘满足余结合性 在图2 - 1 0 中，第一步与最后一步是通过辫子m o n o i d a l 范畴中的右扭曲s m a s h 余积 第一二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数a ，h 的余乘定义来实现的，第二步是运用了月是够中的代数映射如图2 - 1 一( c 1 ) ，第三步是 通过图1 - 1 与图2 - 7 - ( a ) 得到的，第四步是运用了图2 - 3 - ( a ) 及其辫子的函性，第五步是通 过m h 的结合性，辫子的函性以及图1 - 1 得到的，第六步是通过图2 - 8 - ( a ) 得到的，第七 步是使用了图2 - 4 ，辫子的函性以及 ，h 的余结合性，第八步是运用了m ”的结合性与 辫子的函性，第九步是通过图2 - 6 - ( a ) 与辫子的函性得到的，第十步是运用了图2 4 与图 2 - 2 一( a ) ，第十一步是运用了图2 - 4 与图2 - 5 - ( a ) ，第十二步是利用了辫子的函性，第十三 是运用了图2 - 4 与辫子的函性，这样我们就说明了定义的余乘是满足余结合性的显然， 余单位e 8e 日满足其相应的条件，所以此命题得证 为了方便，命题2 2 1 中的余代数被称为辫子m o u o i d a l 范畴中一个右扭曲s m a s h 余 积，为什么呢? 这是因为够中的右扭曲s m a s h 余积是够中个s m a s h 余积通过右余模 余作用扭曲来实现的，通过下面这个例子，我们就很容易明白这一点了 例2 2 2 设a 是够中一个左日一余模余代数，具有平凡的右余模作用，那么a 就 是够中一个日一双余模余代数进一步地，简单的证明便可说明a ，h 确实是够中一 个s m a s h 余积a h 这就显示出够中s m a s h 余积a h 是够中右扭曲s m a s h 余积 的特殊形式 相似地，设a 是够中个日一双余模余代数，一个左扭曲s m a s h 余积= 凰a 的余乘定义如下。 研x = ( 1 d 2 0 m 8 i d ) o ( i d 2 0 m o 护) 0 ( i d oc h ， 圆i d 3 ) o ( i d 固s o i d 4 ) 0 ( i d o 圆i d a ) o ( i d o 钿，a o f d 2 ) ( 2 2 ) o ( i d 2 0 1 】f o i d ) 0 ( h 8 ) 余单位 肌a5e h a 通过类似的证明，我们可以得到b ，- 凰a 是够中一个余代数 ( 2 2 ) 用图表示如下， 1 3 第二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数a ，h 圈2 1 2 囝2 - 1 3 证明( 1 ) 如图2 - 1 4 在图2 - 1 4 中，第一步与第三步运用了图2 - 1 一( d 1 ) ，第二步是通过图2 2 - ( b ) 来实现 的，第四步运用了图2 - 7 - ( b ) 和图2 1 一( b 2 ) ，最后一步是通过图2 - a - ( b ) 与图2 1 一( b 2 ) 来实 现的 ( 2 ) 显然成立 1 4 第二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数a ，h 囝二1 4 h ah h ah 2 3 辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数a ，h 本节内容主要是下面定理2 3 ，1 的推广，即一个域或可交换环k 上的右扭曲s m a s h 余积a ，h 余代数结构与张量积a 圆日代数结构使ax ，h 成为一个双代数推广到一 般的辫子m o n o i d a l 范畴够中 定理2 3 1 【1 6 ，定理2 4 设 是域或可交换环上一个双代数，并且又是一个肌 双余模余代数 ( 1 ) 那么右扭曲s m a s h 余积ax ，h 余代数结构与张量积 圆h 代数结构使a ，h 1 5 第二二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双1 t 数a ，h 成为一个双代数，如果下面条件成立 ( a ) 1 ( 1 ) s ( 1 2 ( 2 ) o1 2 1 = 181 ( b ) e ( n 6 ) 1 s ( ( n 6 ) 2 ( 2 ) 固( a b ) 2 = o ( 1 ) s ( 口2 ( 2 ) 6 ( 1 ) s ( 6 ( c )h a ( 1 on 2 = 1 ) oa 2 ( d ) e a 1 oh s ( a ( 2 ) = n 1 os ( n ( 2 ) 进一步地，如果a 是一个h o p f 代数，那么a ，日也是一个h o p f 代数，反对极s 。，h 可定义为， s ( 6 。_ 1 1 ) = s ( 6 2 1 ) 。s ( 6 ( 1 h s ( 6 2 ( 2 ) ) ( 2 ) 如果h 关于a 的余作用满足条件p r ( 1 ) = 1 0 1 ，那么右扭曲s m a s h 余积a ，h 余代数结构与张量积a h 代数结构使a ，h 成为一个双代数当且仅当( a ) ，( b ) ，( c ) 与( d ) 成立 现在我们给出本节的重要定理 定理2 3 2 设日是够中一个h o p f 代数，a 是够中一个双代数，并且又是够中 一个肌双余模余代数，那么够中的右扭曲s m a s h 余积a ，日余代数结构与张量积 a o h 代数结构使a ，h 成为一个双代数，如果下列条件成立。 = 7 f ha 圉2 - 1 5 - ( a ) 1 6 h a h a 圉2 - x s - ( b 1 第一二章辫子m o n o i d a 范畴够中的双代数a ，h aa日h a a日 图2 - 1 5 - ( c ) a a aa 日a 证明如图2 - 1 6 bb ha 囝2 - 1 5 - ( e ) 圈2 - 1 5 a日 h a 瀚 囝2 - 1 5 - ( d ) a hah ahah 第一二章辫子m o n o i d a l 范畴管中的双代数a ，h a h a h 第一二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数a ，h ahahah a h aha h ah ah 1 9 第一二章辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数a ，日 ahahbb ahahb b 宙2 - 1 6 ：a 。h 为够中代数映射 在图2 1 6 中，第一步与最后一步是通过够中的右扭曲s m a s h 余积余代数中余乘的 定义来实现的，第二步是运用了图2 - 4 和辫子的函性，第三步是运用了图2 - l g - ( e ) ，第四 步，第七步，第九步和第十三步是通过日的结合性以及辫子的函性来实现的，第五步是运 用了图2 - 1 5 - ( b ) ，第六步是通过辫子的函性，图2 - 4 ，图1 - 1 和图2 - 1 5 - ( e ) 来实现的，第八 步是运用了图2 - 1 5 - ( d ) ，第十步是通过图2 - 1 5 - ( e ) 来实现的，第十一步是运用了日的结合 性，辫子的函性v a g t g t2 - 1 5 - ( c ) ，第十二步是运用了日的结合性以及图2 - 1 5 - ( c ) ，第十四 步是运用了”和 都是够中代数映射如图2 - 1 一( c x ) 所示，这就说明了a 。，h 关于相 应的结构在一般的辫子m o n o i d a l 范畴中是个代数映射显然可以证明“。，h = e 36 h 在一般的辫子m o n o i d m 范畴中也是一个代数映射 证明完毕 进一步的，我们有 定理2 3 3 如果日关于a 余作用妒满足妒or a = r l a8 彻，那么够中的右扭曲 s m a s h 余积a ，h 余代数结构与张量积一o 代数结构使a ，h 成为一个双代数当 且仅当定理2 3 2 中图2 - 1 5 一( a ) ，2 - 1 5 - ( b ) ，2 - 1 5 - ( c ) ，2 - 1 5 - ( d ) 与2 1 5 一( e ) 条件成立 证明”仁”看定理2 3 2 ”j ”设b = a ，h 为够中一个双代数，那么我们有 第一二章辫子m o n o i d a | 范畴留中的双代数a ，h bb 囝2 - 1 7 - ( a ) 通过图2 - 1 7 - ( a ) ，我们有 bbbb bbbb 图2 - 1 7 - ( b ) 囝2 - 1 7 ：b 为够中代数映射 a hah 圈2 - 1 8 在图2 - 1 8 的低端用e 圆i d 8 i d 圆盯作用，便可得到图2 - 1 5 - ( a ) 通过图2 - 1 7 - ( b ) ，我们有 iiiilil b llilllil b 笙= 三童塑王些! ! ! ! ! ! 垄堕望丝翌! ! 墼生! ! 丝 日a 圈2 - 2 0 日以 我们在图2 - 2 0 上端用i d t 1 h3i d 阳作用，便可得到图2 - - 1 5 - - ( e ) 使用关系式妒。帆= r a r l x 与图2 - 1 5 一( a ) ，我们得到关系式毋o t a = q x o r l a ，进一步 地，我们又可以得到( i d $ 妒) o o r 7 4 = 彻o7 4 圆啊如果在图2 - 2 0 底端用l l a i d i d 圆i d 作用，并且通过关系式( i d o 妒) 0 庐。似= 驰。似 驰，我们便得到 第二章辫子m o n o i d a l 范畴管中的双 数ax ，h 即 hahhah 日a 图2 2 1 日 在图2 2 l 的上端，通过( i d8i d9s 2 ) 。( i do 妒) 作用，我们便可以得到图2 - 1 s - ( b ) 相似地，在图2 - 2 0 上端用掘8 纪圆7 a8i d 作用，并且使用2 - 1 5 - ( a ) ，我们可以得到 ahhahh h a h a 圈2 - 2 2 第二章辫子m o n o i d a l 范畴管中的双代数a ，h hah j 4h a 圈2 2 3 在图2 - 2 3 的上端用( 8 0 d o f d ) o 8 t d ) 作用，我们可以得到图2 - 1 5 - ( c ) ，即图2 - 1 5 - ( d ) 证明完毕 定理2 3 4 在定理2 3 2 的情况下，如果a 是够中一个h o p f 代数，那么ax ，h 也是够中一个h o p f 代数，这里a ，h 的反对极定义如下； s ，j = r = c a ，j = ro ( 8 0s ) o ( m o i d ) 。( i d m 圆i d ) 0 ( i d 2 0c a ，h ) o o d 3 8s ) 0 ( i 萨。砂) 0 ( i d 8c a ，1 40 ( 8 f d ) ( 2 3 ) 用图表示如下 圉2 2 4 a 日 a日 ( 2 3 ) 口iiilllii占 第二章辫子m o n o i d a l 范畴汐中的双代数a ，h 证明如图2 2 5 a ah 第_ 二章辫子m o n o i d a l 范畴管中的双代数a ，h a日 a 以 圈2 - 2 5 a日 第一步是通过反对极s b 的定义和b = a ，h 中的余乘定义来实现的，第二步是运 用了图1 - 1 和图2 - s - ( a ) ，第三步是运用了辫子的函性，图2 - 4 ，图2 - 3 - ( a ) 和图1 - 1 ，第四 步是通过图2 - 7 - ( a ) 来实现的，第五步是通过的结合性和辫子的函性来实现的，第六步 是运用了图2 - 1 一( e ) ，图2 1 一( a 2 ) ，图2 - 7 - ( b ) ，图2 - 3 - ( b ) 以及辫子的函性，第七步是通过日 的结合性来实现的，第八步是通过图2 - 1 一( e ) 和图2 - 1 一( a 2 ) 来实现的，第九步是运用了图 2 - 2 - ( a ) 和辫子的函性，第十步是运用了图2 - 1 一( e ) 与图2 - 2 - ( b ) 。最后一步是通过图2 - 1 一( e ) 来实现的 相似地，可以证明下图成立t b 2 b ah 占占 甲甲 ah 峻峻 日1 6 9 1 日 a16伞i a 日1 6 9 1 日 第二章辫子m o n o i d a l 范畴曾中的双代数a ，h 证明完毕 如果够中妒是平凡的，那么图2 - 1 5 一( c ) 成立进一步地，定理2 3 2 中的条件图 2 1 5 一( a ) 和图2 - 1 5 - ( e ) 成立当且仅当肖是够中一个左h 一余模代数于是，我们得到 推论2 3 5 设a 是够中一个双代数，并且又是一个左h 余模余代数，那么留中 s m a s h 余积ax h 余代数结构与张量积a 固h 代数结构使a x h 成为够中一个双代数 当且仅当a 是够中一个左h 一余模代数，同时图2 - 1 5 ( b ) 成立 通过推论2 3 5 ，我们得到 推论2 3 6 1 7 ，定理1 ，定理2 】设h 为够中一个可换h o p f 代数，a 为够中一个 日一余模双代数，那么够中s m a s h 余积axh 余代数结构与张量积a o 日代数结构使 a h 成为够中一个双代数 进一步地，如果a 为够中一个h o p f 代数，那么a h 也是够中一个h o p f 代数。 这里，反对极定义如下t s a h = 扣os ) o c h , ao ( m o i d ) o ( i d oc a ，h ) 0 ( 妒8 i d ) 第三章结论 近年来，辫子m o n o i d a l 范畴够中各种各样话题的研究成了h o p f 代数中的热点 在通常的向量空间并且具有通常辫子的辫子m o n o i d a l 范畴中，王栓宏和李金其在【1 6 ，定 理2 4 1 中介绍了右扭曲s m a s h 余积并且给出了一个充要的条件使扭曲s m a s h 余积余代 数结构与张量积代数结构能成为一个双代数本文就是把他的这一结果推广到一般的辫子 m o n o i d a l 范畴够中，并且得到了两个重要的结论，辫子m o n o i d a l 范畴管中的右扭曲 s m a s h 余积a ，h 与辫子m o n o i d a l 范畴够中的双代数a ，h 在文章【2 2 】中，王栓 宏讨论了辫子m o n o i d a l 范畴锣中的右扭曲s m a s h 积 ，日与辫子m o n o i d a l 范畴够 中的双代数月，日 在一般的辫子m o n o i d a l 范畴够中，本文的研究只是一个初级问题，下面还有几个更 重要的问题需要解决； 什么情况下辫子m o n o i d a l 范畴够中的右扭曲s m a s h 积a ，h 的代数结构与右扭 曲s m a s h 余积ax ，h 的余代数结构能成为一个双代数? 如果这一问题解决了，那么通 常的张量积双代数，赵文正，王栓宏和焦争鸣研究的偶交叉积【1 5 】以及d 。e r a d f o r d 研 究的双积f 2 3 1 都将是它的特殊情况另外，其它的各种交叉积是不是它的特殊情况呢? 如 果答案是肯定的，那么我们将得到与y b e s p a l o r 和b d r a b a n t 研究的交叉积双代数【2 4 相平行的结果，即对各种交叉积推广的另一种方法 参考文献 f 1 】s m o n t g o m e r y h o p fa l g e b r a sa n dt h e i ra c t i o n so nr i n g s 瞰】c b m s ，s e r i e si nm a t h ，a m s 1 9 9 3 ，8 2 【2 】s m a j i d f o u n d a t i o n so fq u a n t u mg r o u pt h e o r y c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 5 3 】s m a j i d q u a n t u mg r o u p 【c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 5 4 lc k a s s e l q u a n t u mg t o u p 删n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 5 【5 】5d g u r e v i c h a l g e b r a i ca s p e c t so ft h eq u a n t u my a n g - b a x t e re q u a t i o n j l e n i n 舻a d j m 1 9 9 1 2 ：8 0 1 - 8 2 8 【6 】g l u s z t i g i n t r o d u c t i o nt oq u a n t u mg r o u p s m j b i r k h j u s e r ，b o s t o n ，1 9 9 3 7 1a j o y a la n dr s t r e e t b r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s r 1 m a t h e m a t i c sr e p o r t8 6 0 0 8 ，m a c - q u a x i eu n i v e r s i t y , 1 9 8 6 【8 s m a j i d ，a l g e b r aa n dh o p fa l g e b r ai nb r a i d e dc a t e g o r i e s j l e c t u r en o t e si np u r ea n d a p p l i e dm a t h e m a t i c sa d v a n c e si nh o p fa l g e b r a s ，v 0 1 1 5 8 ，e d i t e db yj b e r g e na n ds m o n t g o m e r y , 1 9 9 5 【9 】s z h a n g d u a l i t yt h e o r e ma n dd r i n f e l dd o u b l ei nb r a i d e dt e n s o rc a t e g o r i s j a l g e b r a c o l l o q u i u m ，2 0 0 3 ，2 ( 1 0 ) ：1 2 7 - 1 3 4 【l o s z h a n g ，y z h a n g b r a i d e dm - l i ea l g e b r a s j l e t t e r si nm a t l m m t i c a lp h y s i c s ，2 0 0 4 ，2 0 ： 1 5 5 - 1 6 7 1 1 】v l y u b a s h e n k o t a n g l e sa n dh o p fa l g e b r a si nb r a i d e dt e n s o rc a t e g o r i e s j j p u r ea n d a p p l i e da l g e b r a ，1 9 9 5 ，9 5 ：2 4 5 - 2 7 5 【1 2 】r g h e y n e m a na n dm e s w e e d l e r ，a m mh o p