（基础数学专业论文）关于bi开集及弱开映射的一些结果.pdf

关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 摘要 本文主要由两部分组成，第一部分在理想拓扑空间中引入了b 一，一开集 这一新概念，并且利用b j 一开集定义了b j 一连续映射、b f 一紧( b f 一仿 紧) 空间，进而得到了这些空间的一些特征与性质第二部分利用弱开映射， 建立了9 可度量空间与度量空间之间的关系，得到了对度量空间弱开k 映射 的一些等价刻画并证明了度量空间、g 可度量空间、8 n - 可度量空间、n 空 间在弱开、闭映射下保持 第一部分主要结果有： 结果1 ( 定理2 2 ) ：理想拓扑空间( x ，7 ，j ) 中，下列命题成立 ( 1 ) 对每个乜，若玩b i o ( x ，7 ) ，则u 玩：o t ) b i o ( x ，丁) ( 2 ) 若a b i o ( x ，7 - ) ，u 是x 中q 一，一开集，则a nu b i o ( x ，丁) 结果2 ( 定理2 5 ) ：对于映射，：( x ，7 - ，j r ) 一( v 盯，j ) ，下列等价： ( 1 ) f 是b 一，一连续映射 ( 2 ) 对任意x x ，及y 中包含s ( x ) 的b j 一开集y ，x 中存在包含x 的b 一，一开集u ，使得f ( u ) cv ( 3 ) 对任意z x ，及y 中不包含s ( x ) 的b 一，一闭集f ，x 中存在不包 含x 的b 一，一闭集日，使得，_ 1 ( f ) c h 结果3 ( 定理2 1 1 ) ：b j 一紧空间在b j 一完备映射下逆保持 第二部分主要结果有： 结果4 ( 定理3 1 ) ：空间x 是9 可度量空间当且仅当它是度量空间的弱开 t r t s s c 一映像 结果5 ( 定理3 3 ) ：对于空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是度量空间的弱开k 映像 ( 2 ) x 是度量空间的1 序列覆盖映射商k - 映像 ( 3 ) x 具有紧有限k - 闭覆盖列的弱展开 ( 4 ) x 是具有紧有限s n 覆盖k - 闭集的点星网的序列空间 结果6 ( 定理3 4 ) ：度量空间、夕可度量空间、s m 可度量空间、n 一空间在 弱开、闭映射下保持 关键词：b j 一开集b 一，一连续映射b 一，一开( b 一，一闭) 映射g 可度量 空间弱基弱开映射k - 映射m s s c - 映射 s o m er e s u l t so nb - i - o p e ns e t sa n dt h e w e a ko p e nm a p p i n g s a b s t r a c t t h i sp a p e ri sm a i n l yc o m p o s e do ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ea n t h o ri n t r o _ d u c e st h en e wn o t i o no fb i o p e ns e t si nt h ei d e a lt o p o l o g i c a l s p a c e sa n du s e sb - i o p e n s e t st od e f i n eb 一，一c o n t i n u o u sm a p p i n g sa n d b 一，一c o m p a c t ( b ，一p a r a c o m p a c t ) s p a c e s t h e ns o m ec h a r a c t e r i z a t i o n sa n ds e v e r a lp r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e df o rt h en e wm a p p i n g s a n ds p a c e s i nt h es e c o n dp a r t ，t h er a l a t i o n sb e t w e e nm e t r i z a b l es p a c e sa n d 口m e t r i z a b l e s p a c e sa r ee s t a b l i s h e db yw e a k - o p e nm a p p i n g a n dt h i sp a p e rg i v e ss o m ei n t e r n a lc h a r a c t e r i z a t i o n so fw e a k - o p e n ，k - i m a g e so fm e t r i cs p a c e s i ti sa l s os h o w nt h a tm e t r i z a b l e s p a c e so rg - m e t r i z a b l es p a c e so rs n - m e t r i z a b i es p a c e so rr - s p a c e sa x ep r e s e r v e db yw e a k - o p e nc l o s e dm a p p i n g s i nt h ef i r s tp a r t ，w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： r e s u l t1 ( t h e o r e m 2 2 ) l e t ( x ，7 ，) b ea ni d e a lt o p o l o g i c a ls p a c e ( 1 ) i f b i o ( x ，r ) f o re a c hq ，t h e nu 以：a ) b i o ( x ，7 ) ( 2 ) i fa b i o ( x ，丁) a n dui sq 一- o p e n ，t h e nan u b i o ( x ，7 - ) r e s u l t2 ( t h e o r e m2 5 ) f o ram a p p i n g ，：( x ，7 - ，) _ ( 吒，) ，t h ef o l l o w i n g sa r e e q u i v a l e n t ： ( 1 ) fi sb - i - c o n t i n u o u s ( 2 ) f o ra n yz xa n db 一，一o p e nv ( vg j ) c o n t a i n i n g ，( z ) ，t h e r ee x i s t sa u b i o ( x ，7 ) c o n t a i n i n gzs u c ht h a tf ( u ) cv ( 3 ) f o ra n yz xa n db - i - c l o s e ds e tfi nyn o tc o n t a i n i n g ，( z ) ，t h e r ee x i s t sa b i c l o s e ds e thi nxn o tc o n t a i n i n gzs u c ht h a t ，一l ( f ) c 日 r e s u l t3 ( t h e o r e m2 11 ) b - i c o m p a c t n e s si sa ni n v a r i a n to fb 一，一c o n t i n u o u s m a p - p i n g i nt h es e c o n dp a r t ，w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： r e s u l t4 ( t h e o r e m3 1 ) xi sg - m e t r i z a b l es p a c ei fa n do n l yi fi ti saw e a ko p e n m s s c - i m a g eo fam e t r i cs p a c e r e s u l t5 ( t h e o r e m3 3 ) f o ras p a c ex ，t h ef o l l o w i n g sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) xi st h ew e a ko p e nk - i m a g eo fam e t r i cs p a c e ( 2 ) xi st h e1 - s e q u e n c e - c o v e r i n gq u o t i e n tk - i m a g eo fam e t r i cs p a c e ( 3 ) xh a sac o m p a c t f i n t ek - d o s e ds u b s e t ss e q u e n c ep o i n t s t a rw e a kn e i g h b o r h o o d n e t w o r k ( 4 ) xi sas e q u e n c es p a c ew h i c hh a sac o m p a c t - f i n t es n - c o v e r sk - c l o s e ds u b s e t sp o i n t s t a rn e t w o r k r e s u l t6 ( t h e o r e m3 4 ) m e t r i z a b l es p a c e so rg - m e t r i z a b l es p a c e so rs n - m e t r i z a b l e s p a c e so rn - s p a c e sa r ep r e s e r v e db yw e a ko p e nc l o s e dm a p p i n g s k e y w o r d s ：b - i o p e ns e t s ；b - i - c o n t i n u o u sm a p p i n g s ；b - i - o p e n ( b - i - c l o s e d ) m a p p i n g s ；g - m e t r i z a b l es p a c e s ；w e a kb a s e s ；w e a ko p e nm a p p i n g s ；k - m a p p i n g s ； m s s c - m a p p i n g s 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明；所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究 成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研究工作提供过重要帮 助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名：对土琴 锄c j 彩年6 月2 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即； 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时间。 函p 时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文储貅刻士琴导师貅伟粕熬姘6 月2 日 广西大学硕士学位论文关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 1 引言 随着一般拓扑学的发展，产生了许多亟待解决的问题有些学者认为当务之急应该 是创造新的研究工具和手段，致力于存在问题的解决，这样才有望给一般拓扑学不断注入 新鲜的血液，继续拓广它的研究领域，在巩固已取得大量成果的基础上以求新的发展。 因此把拓扑结构与其它数学特征结合起来进行研究激发了许多有趣的课题 开集是拓扑学的基石，给定空间x 的所有开集也就给定了空间x 的拓扑结构，因 此从某种角度来说，一般拓扑学是研究开集结构的二门学科，开集是拓扑性质研究中不 可缺少的工具之一1 9 6 3 年，n o r m a nl e v i n e 1 】引进半开集作为开集的一种推广，1 9 6 5 年o n j a s t a d 2 引入了q 开集与几乎开集，它们的引入为一般拓扑学的研究和发展提供 了一条途径1 9 7 5 年s n m a h e s h w a r i 与r p r a s e d i s 利用半开集定义了半乃，半乃空 间，这些又是对分离公理的推广1 9 8 3 年m e a b de l m o n s e f i 4 等人引入了p 开集， 紧接着1 9 9 6 年d a n d r i j e v i d 5 引入了6 一开集，这一系列开集的拓广推动了拓扑学的研 究与发展 近些年来，一些拓扑学家尝试着在拓扑空间中引入了理想结构，从而产生了理想拓 扑空间1 9 9 2 年，j a n k o v i 6 与h a m l c t t l 6 1 在理想拓扑空间中引入了j 一开集，紧接着 m e a b de l m o n s e f ，e f l a s h i e n 与a a n a s e f 7 对，一开集与j 一连续函数进行了研 究2 0 0 2 年e h a t i r 和t n o i r i i s 引入了半，一开集的定义在最近的几年里，e h a t i r 与t n o i r i ( 9 ，【1 0 】，【1 1 】) 把研究领域扩展到了口一i 一开集与p i 一开集，这在一定程度上 促进了拓扑学与代数学的共同发展，受以上工作的启发，本文首先引入了b j 一开集的 定义，且在b - i - 开集的基础上定义了b - i - 连续函数，b - i - 开映射，b - i - 闭映 射，b - i - 紧空间，找到了关于b - i 一连续函数的一些等价刻画，这些都是对开集发展 的进一步研究，从而为一般拓扑学的发展奠定了一定的基础 我们知道，空间与映射理论是一般拓扑学的重要组成部分研究度量空间在某些映 射下象的内在特征一直是一般拓扑学的一个重要课题众所周知，完备映射保持度量空 间，而( 紧覆盖) 紧映射是完备映射的一个重要推广，因此，国内外许多拓扑学者在度量 空间的紧覆盖及序列覆盖紧映像方面作了大量的工作，并得到了许多有趣的结果 1 9 5 7 年，e h a l f a r 1 2 】引入了k 映射，k 映射是介于完备映射和( 紧覆盖) 紧映射之间的一类 重要映射，刘川 i s 】首次利用点星网给出了度量空间k - 映像的一个内在刻画后来，李 进金【1 4 】，【1 5 】给出了度量空间k - 映像的另一特征2 0 0 4 年葛英【1 6 】给出了度量空间的序 列商，k 映像的内在特征2 0 0 0 年，夏省祥 i t l 引入了弱开映射，建立了具有某种 1 广西大学硕士学位论文关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 弱基的空间类与度量空间的关系，由此李克典【1 8 l ，李招文i t 9 开始对弱开映射展开了 研究，由这些结果启发想到度量空间的弱开k 映像的内在特征是什么呢? 本文对这一问 题进行了研究，并给出了问题的答案，从而给出了度量空间的弱开k 映射的等价刻画 1 9 9 4 年，林寿【1 3 】引入了仇s s c 一映射，这类映射是处理具有盯一局部有限集族的有效 工具，本文对这一映射作了进一步研究，从而也给出了夕- 可度量空间是度量空间在弱开 m s s c - 映射映射下的象，这些都是对a l e x a n d r o f f 问题的部分回答 本文所述空间均为正则乃的，并且所有映射都是连续到上的表示自然数， u = o ) un 对空间x 的子集族p 及映射，：x y 。记，( p ) = ，( p ) ：p p ) 2 广西大学硕士学位论文关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 2 关于b j 一开集与b 一，一连续映射 2 1 预备知识 开集是拓扑性质研究中不可缺少的工具之一本文在理想拓扑空间中引入了b - i - 开集这一新概念，它是开集的推广，并且利用b - i - 开集定义了b - i - 连续映射、b - i - 紧( 仿紧) 空间，进而得到了这些空间的一些特征与性质 带有理想，的拓扑空间( 置7 ) 称为理想拓扑空间，记为( x ，7 - ，) 对于空间x 的 子集a ，( ，) = 。x un a 罾i ，其中u 是z 的任意开邻域) 称为相对于， 与7 来说的a 的局部函数在不引起混淆的情况下( j ) 可以简记为，并且已知 c 铲( a ) = a u a + 定义2 1 理想拓扑空间( x ，r ，j ) 的子集a 称为 ( 1 ) j 一开集【6 】，若aci n t ( a ) ( 2 ) q i 一开集i s ，若aci n t ( c l + ( ，m ( a ) ) ) ( 3 ) p r e i 一开集【1 0 i ，若aci n t ( c l + ( a ) ) ( 4 ) s e m i 一，一开集f 8 1 ，若acc i ( f 瓜( a ) ) ( 5 ) b 一开集【5 】，若acc l ( i n t ( a ) ) ui n t ( c l ( a ) ) 定义2 2 1 9 1 对于理想拓扑空间( x ，7 - ，) 的子集s ，( sr i s ，如) 称为理想拓扑空间 的子空间，其中s = j i i x 冬s ) = ，ns i j ，) 定义2 3 f 9 】理想拓扑空间( x ，f ，j ) 中有acscx ，那么在理想拓扑空间的子空 间( s ，7 - i s ，厶) 中，a ( i s ，7 i s ) = a ( ，7 - ) n s 定义2 4 【9 】理想拓扑空间( x ，7 - ，) 中acs cx ，定义c l * s ( a ) = au a + ( b ，r l s ) 引理2 1 1 2 1 】，7 i ，j ) 是理想拓扑空问，a ，b 是x 中的任意两个子集，下列结论 成立， ( 1 ) 若acb ，则a + cb + 且c 2 + ) cc l + ( b ) ( 2 ) a = c i ( a ) cc i ( a ) 且a ( a ) cc l ( a ) ( 3 ) ( ) ca + ( 4 ) 若u 7 - ，则u n a c ( una ) 引理2 2 1 9 a 是理想拓扑空间( 咒7 ，) 的子集，下列结论成立 ( 1 ) 若u 7 - ，则u nc 2 + ( a ) cc l + ( na ) ( 2 ) 若acscx ，则c ：( a ) = c l ( a ) ns 3 广西大学硕士学位论文关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 定理2 1 ( x ，7 i ，j ) 是理想拓扑空间，a ，b 是x 中的任意两个子集，则c r 是对 于x 的一个k u r a t o w s k i 闭包算子，于是下列命题成立 ( 1 ) c p ( 0 ) = d ( 2 ) acc l ( a ) ( 3 ) c 2 ( aub ) 一c 1 4 ( a ) uc l ( b ) ( 4 ) c l + ( c z + ( a ) ) = c l ( a ) 证明( 1 ) ，( 2 ) 。( 4 ) 显然成立 下面只需要证明( 3 ) 成立断言u b ) + = a + u b + 由引理2 1 ，可以得到 a + c ( aub ) 且b c ( aub ) ，即得a ub c ( aub ) + 下证( au 口) 。ca + u b 假设xga + ub ，则zga 且zgb 4 ，所以存在x 的两个邻域以，k 使得玩na i ， knb i 由于，是理想，则可以得到( 玩n a ) u ( knb ) i 令u = 玩f 1k ，则 u 是x 的邻域，并且u n ( a u b ) = ( u n a ) u ( u n b ) c ( 玩n a ) u ( 亿n b ) i ，那 么zg ( aub ) + ，所以ub ) + ca ub + 得证，综上证得( aub ) + = a 4ub + 由于 c l ( a u r a = ( a u b ) u ( a u b ) + = ( a u b ) u ( a + u b + ) = u a ) u ( b u b + ) = c l ( a ) uc l + ( b ) 定理证毕 2 2 理想拓扑空间中b 一，一开集的定义及讨论 口 定义2 5 若理想拓扑空间( x ，7 - ，) 的子集a 满足acc l ( i n t ( a ) ) ui n t ( c l ( a ) ) ， 则称a 为b - i - 开集 子集a 称为b - i - 闭集，若x a 是x 中的b - i - 开集 用b i o ( x ，丁) 表示空间( x ，) 中所有的b - i - 开集 注2 1 由定义2 5 与引理2 1 ( 2 ) ，容易知道b - i - 开集是b 一开集，但反之不成 立，下面的例子可以说明这点 例2 1 理想空间( x ，7 ，) 中b 一开集不一定是b - i - 开集 令x = ( n ，b ，c ，d ) ，7 = ( d ，x ， 口，c ， d ， 。因 4 广西大学硕士学位论文 关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 为i n t ( c l ( a ) ) = i n t a ，b ，c ，田= o ，b ，c ，d ) ，所以acc l ( i n t ( a ) ) ui n t ( c l ( a ) ) 从 而a 是6 一开集但是c l ( i n t ( a ) ) = i n t ( a ) u ( ，优( a ) ) = 田u b ，d = 6 ，d ) ， i n t ( c l + ( a ) ) = i n t b ，c ，d 】= d ) ，c l ( i n t ( a ) ) u i n t ( c 1 4 ( a ) ) = p ，d ) ，所以a 正 c l ( i n t ( a ) ) ui n t ( c l + ) ) ，因此a 不是b 一，一开集 比较定义2 1 中不同的集合概念，可以得到以下结论： 一q i 一 s e m i i 一。p e n b i 一_bopen o p e no p e n1 3 一o p e n q l d l 一 _ 一 p r e i o p e n 定理2 2 在理想拓扑空间( x ，7 ，) 中，下列命题成立： ( 1 ) 对每个a a ，若b z o ( x ，7 ) ，则u 玩：口) b ，o ( x ，7 - ) ( 2 ) 若a m o ( x ，7 ) ，u 是x 中的q j 一开集，则anu b i o ( x ，7 ) 证明( 1 ) 因为睨s t o ( x ，7 ) ，可以得到观cc l ( j 疵( ) ) ui n t ( c l + ( 玩) ) 。由 引理2 1 得到 u cu c t + ( i n t ( u 口) ) ui n t ( c 1 ( ) ) a a cu a + i f , u ( u 玩) ) u i n t ( c l + ( u 玩) ) 口a 口 = c l 。( z n t ( u 玩) ) ui n t ( c 1 + ( u 以) ) 结论u 阮：o l ，b i o ( x ，7 _ ) 得到让明 ( 2 ) 令a b i o ( x ，7 ) ，且u 是o t 一，一开集，则acc l + ( i n t ( a ) ) u i n t ( c 1 + ( a ) ) ， uci n t ( c l ( ，耐( u ) ) ) 由引理2 2 与定理2 1 ，可以得到 a l lyc c z + ( i n t ( a ) ) ui n t ( c l 似) ) 】厂li n t ( c l 。( ，优( u ) ) ) = c z + ( i n t ( a ) ) a i n t ( c l + ( j 佗t ( u ) ) ) 】u i n t ( c l + ( a ) ) f 1 i n t ( c l + ( ，几t ( u ) ) ) cc l + i n t ( a ) ni n t ( c l ( j 佗( u ) ) ) ) uj n 亡【( j 仃t ( c 2 + ( a ) ) ) n ( c r ( j 佗( u ) ) ) c c l i n t ( a ) nc l ( i n t ( u ) ) ui n t ( c l i n t ( c l + ( a ) ) nj 疵( u ) 】) cc l + c 1 + ( i n t ( a n u ) ) u i n t ( c 1 4 i n t ( c 1 + 似n ，m ( u ) ) ) 】) c c l 。( i n t ( a n u ) ) m i n t ( c 1 n u ) ) 定理证毕 口 由于开集是o t i 一开集，若a m o ( x ，丁) 且b 7 ，则由定理2 2 ( 2 ) 得到 5 广西大学硕士学位论文关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 a n b b i o ( x ，7 ) 注2 2b i o ( x ，7 ) 不是x 的拓扑。因为有限个b 一，一开集的交不一定是b j 一开 集下面的例子说明了这一点 例2 2 两个b - i 一开集的交不一定是b - i - 开集 令x = a ，b ，c ，d ) ，丁= 【d ，x ， n ，c ) ，【d ) ，a ，c ，d ，i = d ， 6 ) ，a = 6 ，c ，d ) ， b = a ，b ，c 因为i n t ( c 1 4 ( a ) ) = i n t a ，b ，c ，田= 口，b ，c ，田，acc 1 + ( i n t ( a ) ) ui n t ( c l ( a ) ) 有a 是b - i - 开集c l ( i n t ( b ) ) = c l + ( 口，c ) ) = n ，b ，c ，bcc l + ( i n t ( b ) ) u i n t ( c l ( b ) ) ， 得到b 是b - i - 开集但是anb = 【6 ，c ) ，且 c l ( i n t ( a n b ) ) u i n t ( c l + ( a n b ) ) = c l ( d ) u ，瓜( o ，6 ，c ) ) = o ，c ) 所以anb 不是b - i - 开集 定理2 3 设( x ，7 ，) 是理想拓扑空间，且acu 7 - ，那么a b i o ( x ，7 - ) 当且 仅当a 是( 阢丁b ，l 【，) 中的b - i - 开集 证明必要性由于u 7 且a b i o ( x ，丁) ，则acc 1 。( i n t ( a ) ) u i n t ( c l ( a ) ) 由引理2 1 与引理2 2 ，可以得到以下结果 a = ( u n a ) cu n 愀+ ( i n t ( a ) ) u i n t ( c l + ( a ) ) 】 = ( un c i ( ，n ( a ) ) u ( un ，n t ( c z 。( a ) ) cf c r ( u n j 疵( a ) ) n 明u j 优u ( 形n c 2 + ( a ) ) = c 岳( u n j 佗( a ) ) u ，扎t 【，( u n c r ( a ) ) c c z 矗( v n i n t ( a ) ) u i n t u ( u n c z + ( u n a ) ) = c 1 5 ( i n t v ( an u ) ) u i n t v ( c l b ( anu ) ) = c l b ( i n t u ( a ) ui n t v ( c l b ( a ) ) 则a b i o ( x ，7 i u ) 成立 充分性a 是( 7 1 u ，i i v ) 中的b - i - 开集，则有acc l b ( i n t v ( a ) ) ui n t u ( c l b ( a ) ) 所以由引理2 2 可以得到 acc l 矗( i n t v ( a ) ) ui n t v ( c l b ( a ) ) cc l + ( i n t u ( a ) ) u i n t u ( c l + 似) ) = c 1 4 ( i n t ( a ) ) ui n t ( c l + ( a ) ) 所以acc l ( i n t ( a ) ) ui n t ( c l ) ) ，由此得到a b i o ( x ，丁) 口 6 广西大学硕士学位论文关于b 一，一开集及弱开映射的一些结果 定理2 4 看理想拓扑空i 司( 叉，丁，i ) 中子集a 是b - i - 闭集，则 c l ( ，疵( a ) ) ni n t ( c l ( a ) ) ca 证明由于a 是b 一，一闭集，则x a 是b 一，一开集由引理2 1 ，可以得到 x acc l ( i n t ( x a ) ) u i n t ( c l ( x a ) ) c c l ( i n t ( x a ) ) ui n t ( c l ( x a ) ) = ( x i n t ( c l ( a ) ) ) u ( x c l ( i n t ( a ) ) ) c ( x i n t ( c 1 4 ( a ) ) ) u ( x c l ( ，扎t ( a ) ) ) = x 一( i n t ( c l 。( a ) ) nc r ( ，n ( a ) ) ) 所以c l ( i n t ( a ) ) n i n t ( c l + ) ) ca 命题得证 口 2 3 关于b j 一连续映射及b j 一紧空间 定义2 6f ：( x ，丁，) _ ( 吼j ) 称为b 一，一连续映射，若对于( 6 r ，j ) 中任意 b i 一开集u ，f - 1 ( u ) 是x 中的b j 一开集 定义2 7 ，：( x ，_ i ) 一( k 矿，j ) 称为b j 一开映射( b j 一闭映射) ，若对任意x 中的b - i - 开集( b - i - 闭集) u ，f ( u ) 是y 中的b 一，一开集( b - i - 闭集) 由b - i - 连续映射的定义下面注记显然成立 注2 3 若f ：( x ，7 ，j ) _ ( y 口，j ) 是b - i - 连续映射，且g ：似盯，j ) _ ( z ，皿，k ) 是b - i 一连续映射，则g of ：( x ，l ，) ，( z ，皿，k ) 是b j 一连续映射 定理2 5 对于映射，：( x ，7 - ，) _ ( ko r ，j ) ，下列等价； ( 1 ) ，是b - i - 连续映射 ( 2 ) 对任意z x ，及y 中包含f ( x ) 的b j 一开集y ，x 中存在包含x 的b j 一 开集u ，使得f ( u ) cv ( 3 ) 对任意z x ，及y 中不包含f ( x ) 的b 一，一闭集f ，x 中存在不包含x 的 b - i 一闭集日，使得f - 1 ( f ) ch 证明( 1 ) = 辛( 2 ) 对任意x x ，及y 中包含f ( x ) 的b j 一开集y 由于， 是b - i - 连续映射，则f - 1 ( y ) 是x 中包含x 的b j 一开集令u = f - 1 ( y ) ，则 f ( u ) cv ( 2 ) 昔( 3 ) 设f 是】厂中不包含f ( x ) 的b - i - 闭集，则y f 是包含f ( x ) 的 7 广西大学硕士学位论文关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 b - i 一开集由( 2 ) 可得x 中存在包含x 的b - i 一开集u ，使得f ( u ) cy f 所以 ucf - 1 ( y f ) cx 一1 , - 1 ( f ) ，即f - 1 ( f ) cx u 令h = x u ，可以得到日是 x 中不包含z 的b - i - 闭集 ( 3 ) 弓( 1 ) 设g 是y 中包含s ( x ) 的b - i - 开集，则y g 是y 中不包含f ( x ) 的b 一，一闭集由( 3 ) 得x 中存在不包含x 的b 一，一闭集也使得s - 1 ( y g ) c 也， 所以x f - 1 ( g ) c 也，即得x 一也cf - 1 ( g ) 令玩= x 一凰，可以得到 广1 ( g ) =u玩。其中对任何x f - 1 ( g ) ，v x 是x 中的b - i - 开集，所以由定 x e f 一1 ( g ) 理2 1 得到广1 ( g ) 是x 中的b - i 一开集，由此，是b 一，一连续映射得证 口 定理2 6 设，：( x ，7 ，) _ ( 盯，j ) 是b - i - 连续映射，且u 7 ，则，在u 上 的限制f l u ：( 以7 i 【，i u ) 一( k 盯，j ) 也是b 一，一连续映射 证明因为y 是y 中任意的b - i - 开集，并且，是b - i - 连续映射，则可以得到 ，- 1 ( y ) b i o ( x ，7 - ) 因为u 7 - ，由定理2 2 得( f l u ) 1 = f - 1 ( y ) nu b i o ( u7 i u ) ， 可以证得了f l u ：( x ，7 i 【，i i v ) _ ( ko r ，j ) 是b 一，一连续映射 口 定理2 7 设f ：( x ，7 ，j ) _ 仃，j ) 的b - i - 开( 闭) 映射，若对任意y y ，u 是 x 中包含s - 1 ( 影) 的任意b - i - 闭集( b 一，一开集) ，则存在y 中包含y 的b - i - 闭集 ( b j 一开集) y ，满足广1 ( y ) cu 证明设，是b 一，一闭映射，设y y ，u 是x 中包含f - 1 ( y ) 的任意b 一，一开集， 则x u 是x 中的b i 一闭集由于，是b - i 一闭映射，那么f ( x u ) 是y 中的 b - i - 闭集，所以v = y 一，( x u ) 是y 中的b - i - 开集 由于，- 1 ( 秒) cu ，则可以得到_ y 】_ n ，( x u ) = d ，所以有y y 一，( x 一) = v ， 并且f - 1 ( y ) = s - 1 ( y s ( x u ) ) = x f f ( x u ) cu 命题得证 对于，是b - i - 开映射证明类似 口 定义2 8 理想拓扑空间( x ，7 ，j ) 称为b - i h a u s d o r f f 空间，若对于x 中任意不同 的两个点z 和y ，存在x 中b 一，一开集u 和y ，有z u ，y v ，满足unv = 仍 定义2 9 理想拓扑空间( x ，7 ，j ) 称为b - i - 正则空间若对任意z x ，对每个 b - i - 闭集f ，且z f ，x 中存在b - i - 开集阢，踢使得z v l ，fcu 2 ，并 且巩nu 2 = d 定义2 1 0 理想拓扑空间( x ，7 ，) 称为b 一，一正规空间，若对x 中任意互不相交 b i 一闭集a 与b ，存在b 一，一开集u ，y ，使得acu ，bcv 且u nv = d 定义2 1 1 理想拓扑空间( 墨丁，j ) 称为b - i - 紧空间，若每个b j 一开覆盖有有限 8 广西大学硕士学位论文关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 子覆盖 定义2 1 2 理想拓扑空间( x ，7 ，) 称为b - i - 仿紧空间，若每个b - i - 开覆盖有局 部有限b - i - 开加细覆盖 定义2 1 3 ，：( x ，丁，i ) _ ( 盯，j ) 称为b - i - 完备映射，若，是b 一，一闭映射， 且对任意y y ，s - 1 ( y ) 是x 的b - i - 紧子集 定理2 8 理想拓扑空间( x ，7 - ，) 是b - i - 紧空间当且仅当对x 中每一具有有限交 性质b - i - 闭集族的交非空 证明必要性设厂是x 中一个具有有限交性质的b - i - 闭集族，即nf d ，那 f ， 么x f 是x 中的b i 一开集因x 是b - i - 紧空间，则存在有限集族r ，足，r ， 使得u ( x 只) = x ，所以x n 尻= x ，即nf = 仍与假设矛盾 i = 1i = 1f 笋 充分性。若a 是x 的任意b j 一开覆盖，则厂= x a ：a a ) 是x 中的 b j 一闭集族，满足nf = n ( x a ) = x ua = 0 ，所以厂不满足有限交性质， f ， a a a 一4 意味着厂有一个有限子族_ 【f 1 ，局，r ) 的交是空集假设e = x a t ，i = l ，2 ，1 2 ， 其中a i a 可以得到n 只= n ( x a i ) = x ua i = d ， a 1 ，a 2 ，a n 】是4 的有 限子族覆盖x 证毕 口 推论2 1b - i - 紧空间中任意b - i - 闭集是b - i - 紧的 定理2 9b 一，一紧空间在b - i 一连续映射下保持 证明设 珥 ，r 是y 的任一b - i - 开覆盖，由于，：x _ y 的b - i - 连续映 射，则 厂1 ( 珥) 】，r 是x 的b 一，一开覆盖因为x 是b i 一紧空间，则存在有限子覆 盖 ，_ 1 ( 珥。) ，i = 1 ，2 ，礼 ，使得xcuy - 1 ( ) ，所以yc ，( u 广1 ( 以；) ) = u ， 得到y 是b - i - 紧空间 口 定理2 1 0b - i - 紧空间在b - i - 完备映射下逆保持 证明设 以) 。s 是x 的b j 一开覆盖，：x y 是b j 一完备映射，其 中y 是b 一，一紧空间由于，是b - i - 完备映射，则对任意y y ，选出有限子集 & 可) cs ，使得y - x ( ) cu 以= u p 由定理2 2 得到是】厂中的b - i - 开集再 s e s ( ) 由定理2 7 ，y 中存在包含y 的b - i - 开集k ，使得广1 ( ) cy - 1 ( k ) c 由于y 是b - i - 紧空间，则y 的b - i 一开覆盖 k ) 掣y 有有限子覆盖 ：i = 1 ，七) 使得 ycu ，所以xc 厂1 ( u 。) cu = u ( u 以) ，即xcu ( u 玑) 因 i 2 1扛1治1扭1s e s ( u t )扭1s e s ( “) 为 以：8 & 瓠) ，i = 1 ，忌 是 以) 。s 的有限子族，可以得到x 是b - i - 紧空间口 9 广西大学硕士学位论文关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 引理2 3x 是b i 一仿紧空间，a ，b 是x 中的b - i 一闭集若对每个z b ， 存在b i 一开集玩，k 使得ac 玩，x k 且玩nk = d ，那么x 中存在b - i - 开集u ，y 使得acu ，bcv 且unv = 0 证明设 x b ) u k 。b 是空间x 的b - i - 开覆盖，由于x 是b - i - 仿紧的， 则存在局部有限b - i - 开加细覆盖 w ；) 。s 令岛= s s ：存在z b ，w ：ck ，) ， 对任意s s 1 ，an 丽= 0 且bcu 巩因为 瞰) ，s 是局部有限集族，则【眠) 。s 必是闭包保持的。所以u 厩= t 几嚣，那么u = x 一- c 厂厩是开集，从而得到u s e s s s l s s l 是b 一，一开集，并且由定理2 1 得到v = uw ：也是b - i - 开集，且有u nv = d 口 s s 1 定理2 1 1 假设x 是b - i 一仿紧空间，若x 中的单点集是b - i - 闭集，则x 是 b - i - 正规空间 证明设a 中的单点集满足引理2 3 ，并且x 中的单点集是b - i 一闭集，可以得到 空间x 是b - i - 正则空间，再次应用引理2 3 命题得证 口 1 0 广西大学硕士学位论文关于b j 一开集及弱开映射的一些结果 3 关于夕一可度量空间及弱开映射 本书利用弱开映射