（应用数学专业论文）非线性动力系统混沌同步的研究.pdf

西北l 。业大学硕士学位论文 摘要 摘要 混沌是非线性科学研究的中心内容之一。混沌系统的混沌同步是近年来非线 性科学领域研究的热点，且混沌同步为混沌保密通信的关键问题。本文从实际应 用的需要出发，研究了复d u f f i n g 系统的混沌同步及目标跟踪、参数未知混沌系 统的延迟同步、参数未知不同阶数混沌系统的广义同步及参数估计。具体内容如 下： 第一章首先系统的介绍了混沌理论的发展，然后重点介绍了混沌同步的研究 历史与现状及混沌同步类型和混沌同步方法，给出了论文中用到的基础知识，最 后概述了本文所要做的工作。 第二章基于b a c k s t e p p i n g 方法研究了复d u f f i n g 系统的混沌同步及目标跟 踪。理论分析和数值仿真都表明了该方法的有效性。 第三章研究了系统参数未知的不同阶数混沌系统的广义同步及参数估计。首 先采用扩阶方法，把不同阶数的混沌系统的广义同步问题转化为相同阶数的混沌 系统广义同步，然后结合自适应控制方法，使得系统所有“未知参数”都得到估 计。同时，数值仿真也说明了该方法的有效性。 第四章研究了参数未知的混沌系统的延迟同步。基于l y a p u n o v 稳定性定理， 给出了延迟同步控制器和参数自适应律的解析表达式，进而实现了驱动系统和响 应系统的延迟混沌同步，并且通过数值模拟研究，表明了该方法对有界噪声的影 响具有一定的抗干扰能力。 第五章对全文进行了总结。指出了混沌同步理论研究中存在的一些问题，并 对接下来的研究工作进行了展望。 关键词：混沌同步，广义同步，延迟同步，参数未知，不同阶数，l y a p u n o v 稳定性定理 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a e t a b s t r a c t c h a o s ，船o n eo f t h ei m p o r t a n tp a r t so f t h en o n l i n e a rs c i e n c e ，i sv e r yp o p u l a r t h e s y n c h r o n i z a t i o n o fc h a o t i cs y s t e m sh a sb e e nt h er e s e a r c hh o t s p o t so f n o n l i n e a rs c i e n c e f o rr e c e n ty e a r sa n db e c o m e st h ee s s e n t i a lp o i n ti n c u r ec o m m u n i c a t i o n f o r mt h e p o i n to f p r a c t i c a la p p l i c a t i o n , i nt h i sp a p e r , w es t u d yc h a o ss y n c h r o n i z a t i o no f c o m p l e x d u f f i n gs y s t e m , l a gs y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e mw i t l lt l r l k l l o w np a r a m e t e r sa n d g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no fd i f f e r e n to r d e ro fc h a o t i cs y s t e m sw i t hu n k n o w n p a r a m e t e r s t h ew o r ko f t h i st h e s i si sp r e n t e da sf o l l o w ： c h a p t e ro n ei n t r o d u c e sb r i e f l yt h eh i s t o r ya n dt h ec u r r e n td e v e l o p m e n t so ft h e c h a o st h e o r y t h e no n ef o c l l s e so nt h ei n v e s t i g a t i o nh i s t o r y , c u r r e n ts i t u a t i o n so fc h a o s s y n c h r o n i z a t i o n , t h em e t h o d sa n dt y p e so fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n a tl a s t ，t h e e l e m e n t a r yk n o w l e d g eu s e di nt h i sd i s s e r t a t i o na n dt h em a i nc o n t e n t sa r eg i v e n i nc h a p t e rt w o , w eu s eb a c k s t e p p i n gd e s i g nt e c h n i q u et os t u d yt h ec h a o s s y n c h r o n i z a t i o n o fc o m p l e xd u f f m gs y s t e m t h e o r ya n a l y s i sa n dn u m e r i c a l s i m u l a t i o n sc o n f i m lt h ey a l i d i t ya n df e a s i b i l i t yo ft h ep r o p o s e dm e t h o df o rc o m p l e x d u f f i n gs y s t e m i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yg e n e r a l i z e dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o no fd i f f e r e n to r d e ro f c h a o t i cs y s t e m sw i t hr n k n o w np a r a m e t e r s u s i n ga d d - o r d e rm e t h o dt ol r a n s l a t et h e p r o b l e mo fg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no fd i f f e r e n to r d e ro fc h a o t i cs y s t e m si n t ot h e i d e n t i c a lo r d e ro fc h a o t i cs y s t e m s t h e nc o m b i n i n ga d a p t i v ec o n t r o lm e t h o d , w e a c h i e v eg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o no fd i f f e r e n to r d e ro fc h a o t i cs y s t e m sw i t h u i l k n o w np a r a m e t e r sa n dm a k ea 1 1o ft h ep a r a m e t e r so fd r i v es y s t e ma n dr e s p o n s e s y s t e mt ob ee s t i m a t e d n u m e r i c a ls i m u l a t i o nd e m o n s t r a t e st h ee f f e c t i v eo ft h i s m e t h o d i nc h a p t e rf o u r , t h ep r o b l e mo fl a gs y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e mw i t h u n k n o w np a r a m e t e r si sp r o p o s e d b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , l a gc o n t r o l l e r a n du p d a t el a w o f p a r a m e t e r sa r eo b t a i n e d ，t h e na c h i e v i n gt h es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e n d r i v es y s t e ma n dr e s p o n s es y s t e m n u m e r i c a ls i m u l a t i o nd e m o n s t r a t e st h er o b u s t n e s s a g a i n s tt h ee f f e c t i v eo f b o u n d e dn o i s eo f t h ep r o p o s e dc o n t r o ls t r a t e g y c h a p t e rf i v ec o n c l u d e st h e w o r ka n dp o i n t so u ts o m ea s p e c t st ob ef u r t h e rs t u d i e d o i lc h a o ss y n c h r o n i z a t i o no f n o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m s 非线性动力系统混沌同步的研究 k e y w o r d s ：c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n , c h a o sg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n , c h a o sl a g s y n c h r o n i z a t i o n , u n k n o w np a r a m e t e r s ，d i f f e r e n to r d e r , l y a p t m o vs t a b i l i t yt h e o r y 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间 论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或 机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文彼查阅和借阅。学校可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文。同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课 题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：塑磕 硐年3 月防臼 i 指导教师签名： 硼年弓月却日 lj 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位 论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文 中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经公丌发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用 途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：熏丝查 砷7 年3 月万日 孝 吟 西北一l 。业大学硕士学位论文 第1 章 1 1 混沌理论的发展概述 第一章绪论 混沌运动是一种貌似无规则的运动，是非线性动力学系统所特有的一种运动 形式，他广泛的存在于自然界中，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及技术 科学、社会科学等各种领域。一般而言，混沌是指在确定性的非线性系统中，不 需要附加任何随机因素亦可出现的类似随机的行为( 内在随机性) 。混沌系统的最 大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未 来行为是不可预测的。 最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家p o i n e a r 6 ，他研究天体力学时发 现，太阳系的三体引力互相作用能产生惊人的复杂行为；某些系统具有初值敏感 性和行为不可预见性【1 】。p o i n e a r 6 之后，一大批数学家和物理学家在各自的研究 领域所做的工作为混沌理论的发展积累了许多有价值的经验。1 9 6 3 年，美国麻省 理工学院著名的气象学家e n l o r e n z 对一个完全确定的三阶常微分方程进行了 数值计算，得到了杂乱无章的解- - l o r e n z 奇怪吸引子【2 】，并同时发现了混沌对初 值的极端敏感性一蝴蝶效应。 1 9 7 1 年，法国数学物理学家d r u e l l 和荷兰数学家et a k e n s 一起发表了著名 论文论湍流的本质【3 】，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观 点，并为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一概念。1 9 7 5 年，美籍华人李天岩和 美国数学家j y o r k e 在美国数学月刊联合发表了著名的论文周期3 意味着 混沌 4 j ，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程，在文中首先提出c h a o s ( 混沌) 这个新的科学名词，并为后来的学者所接受。1 9 7 6 年，美国数学生态学家r m a y 在美国自然杂志上发表了题为具有复杂动力学过程的简单数学模型【5 】的 综述文章，以单峰映射为对象，重点讨论了l o g i s t i c 方程，向人们揭示了生态学 中一些简单的确定数学模型也能产生倍周期分叉和混沌运动，促进了不同领域混 沌研究的交流。1 9 7 8 年，f e i g e n b a u m 等人在梅的基础上独立地发现了普适常数 6 】，从而把混沌研究从定性分析推进到定量计算阶段，成为混沌研究的一个重要 的里程碑。 2 0 世纪8 0 年代以来，混沌学更是与其他学科相互渗透、相互促进、无论是 在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是天文学、 气象学、经济学、甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。研究人 员用已有的混沌理论成功地解释了许多原来无法解释的现象 7 1 0 】。2 0 世纪以其 非线性动力系统混沌同步的研究 灿烂的科学发现和技术进步而载入史册，人类已经迈进了科学技术更加蓬勃发展 的2 l 世纪。回顾这历史上光辉的百年，却有学者甚至宣称，2 0 世纪的科学只有3 个理论将被人们永远铭记，这就是相对论、量子论、混沌论，把混沌誉为2 0 世纪 科学的第三次革命，正如一位物理学家所说：“相对论排除了绝对空间和时间的幻 觉；量子论排除了对可控测量过程的牛顿式迷梦；混沌论则排除了拉普拉斯的可 预见性的狂想”。在这三大革命中，混沌革命不仅适用于大到宇宙d , n 微观粒子， 而且适用于我们看得见、摸得到的世界，适用于和人自己同一尺度的对象，因而 是一次范围更为广泛的革命。混沌，带着古老传说的神秘和当代科学前沿的探索， 正在不胫而走，引起了越来越多的关注。某些思想( 那些我们现在称为混沌的思 想) 确实改变了人们认识事物的方式。混沌研究的进展，正在消除对统一的自然 界的决定论和概率论两大对立描述体系间的鸿沟，使复杂系统的理论建立在“有 限性”这更符合客观实际的基础之上。混沌学的独立，在确定论和概率论这两大 科学体系之间架起了桥梁，它将揭开物理学、数学乃至整个现代发展的新篇章。 1 2 混沌同步概述 混沌现象的发现源于人类对自然界探索，人们几乎是在研究混沌的同时就注 重它的应用的。1 9 8 9 年，a h u b l e r 发表了研究混沌控制的第一篇论文 1 1 】，1 9 9 0 年e o t t 、c g r e b o g i 和j y o k e 提出混沌控制思想【1 2 】。同年，美国海军实验室的 p e c o r a 和c a r r o l l 首次提出一种称为驱动一响应的混沌同步方案 1 3 ：1 并在电子线路 上首次观察到混沌同步的现象，之后立即在全球范围内兴起了混沌同步的研究狂 潮。随着混沌同步的方法的实验研究的迅速发展，混沌同步应用领域也从物理迅 速扩大到化学、生物学、保密通讯、激光控制，电子线路等领域。下面介绍了几 种简单的同步类型和同步方法。 1 2 1 混沌同步类型 1 完全同步 1 4 】 考虑两个系统，一个混沌系统为； 戈= f ( x ，) ， ( 1 - 1 ) 该系统可以称为驱动系统，或者在通讯中称为发射系统。 另一个混沌系统为 ，；f 7 ( 1 ，) ， ( 1 2 ) 通常该系统称为响应系统，或者在通讯中称为接收系统。这罩，为时间，矢量 西j 七工业大学硕士学位论文第1 章 x ，l ，r “，它们分别具有以维分量( 五，是，) 及，扔，只) 。令x ( t ；t o ；x o ) 和 y ( t ；t o ；y o ) 分别为( 1 1 ) 及( 1 2 ) 的解，并满足函数光滑条件，当存在彤的一个子集 d ( t o ) 删z ，使得初值蜀，kd ( t o ) ，当f 哼时，如存在 f z 嬲8 x ( r ；r o ；k ) 一y ( f ；f o ；k ) 0 o ，( 1 - 3 ) 则称响应系统( 1 2 ) 和驱动系统( 1 1 ) 完全同步( c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ，简记为 c s ) 。 2 广义同步 1 9 5 5 年，r u l k o v 等在文献 1 5 中引入了广义同步( g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ， 简记为g s ) 的概念，刻画了两个混沌系统间更广泛的动力学行为。 考虑两个动力学系统 誓2 ，( x ) ( 1 - 4 ) y = g ( r ，| l l ( x ) ) ， 这里x 掣，l ，r ”， ：r ”斗r “是任意的函数。如果x ，i ，之间存在着一个变换关 系西：r ”寸r ”，一个函数流m = ( x ，r ) l r = m ( x ) ) ，及一个子集 召= 取x 砩c r ”x r ”，且满足m c b ，当且仅当所有初始条件( x o + r o ) c b 的响 应系统轨道都随时间趋于无穷而趋于m ，即当f 寸o o 时，响应系统的轨道满足 l ，= o ( x ) ，则称为广义同步。 根据定义，广义同步实际上是指两个系统的状态变量之间的函数同步。因此， c s 可看作是g s 的特例。 3 延迟同步 16 】 考虑两个动力学系统如下 戈= ，( x ) ，( 1 - 5 ) p = g ( y ) ，( 1 6 ) 其中x 彤，y r ”为系统的状态向量，f ，g ：r ”哼r ”为非线性向量函数 p ( f ) = y ( t ) - x ( t - r ) _ 0 ，( 1 j 7 ) 当，斗0 0 ，则称系统( 1 5 ) 和( 1 6 ) 延迟同步( 1 a gs y n c h r o n i z a t i o n ，简记为l g ) ，其 中e 为延迟同步误差，f 0 为同步延迟。 4 斗目同步 1 7 】 考虑两个动力学系统 誓2jixl，(1-8) y = g ( 1 ，) ， 这罩x ，y r “。x ( t ；t 。；x o ) 和y ( t ；t o ；y o ) 分别为( 1 - 1 ) 及( 1 2 ) 的振荡型解，且它 非线性动力系统混沌同步的研究 们分别具有相位硝和唬。若存在两个正整数七，r ，使得f 确一旗f = o ，则我们称( 1 8 ) 式中的两个系统相同步( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ，简记为p s ) 。 5 其他同步的定义 除以上混沌同步定义外，关于混沌同步的定义还有很多，噪声诱导同步 ( n o i s e i n d u c es y n c h r o n i z a t i o n ，简记为n i s ) 【1 8 】，广义相同步( g e n e r a l i z e dp h a s e s y n c h r o n i z a t i o n ，简记为g p s ) 1 9 ，阵发滞后同步( i n t e r m i t t e n tl a gs y n c h r o n i z a t i o n , 简记为i l s ) 2 0 等。这里不一一列举，详见参考文献。 1 2 2 混沌同步几种方法 混沌同步及其在保密通信、生命科学等领域的重要应用前景而深受关注，自 从1 9 9 0 年p e c o r a 和c a r r o l l 开创性地提出了混沌同步的变量替代实现方案 1 3 1 以 来，混沌同步研究发展迅猛。人们从不同的角度，提出了许许多多的控制方法来实 现混沌系统的同步。到目前，相关文献已经相当丰富。其实现方法基本可以分为 以下几种。 1 驱动一响应同步方法 驱动一响应同步方法是由p e c o r a 和c a r r o l l 1 3 首先提出。其方法如下： 设一个一维动力学自治系统可以被分解成三部分： p = ( p ，印维) ( 1 - 9 a ) 面= g ( p ，搿) 维)( 1 9 b ) t i , = h ( v ，)u 维)( 1 9 c ) 这里m + + f ：n 。我们称式( 1 9 a ) 和式( 1 9 b ) 为驱动部分，而( i 一9 c ) 为响应部分， 其中v 是驱动信号。从( 1 9 e ) 复制出一个响应系统 = h ( v ，) 。( 1 - 1 0 ) 当给w ( t ) 及w ( f ) 以相同的驱动信号u ，当f _ o o 时，则有 忪( ，o ) 8 = 0 彤7 ( ，o ) 一( ，o ) 8 专o 。换句话说就是，在驱动信号作用下，两个响应系 统的混沌轨道，从开始不同，经历若干时间以后达到“殊途同归”，即两条轨线完 全重合起来。对于方程( 1 9 ) 所描述的系统，这就是所谓的混沌同步。 p e c o r a 和c a r r o l l 借用线性稳定性理论，建立混沌信号驱动系统的稳定性分析 理论，对响应系统的稳定性进行了分析，得到混沌同步的判据。 设两个响应子系统的差信号为 a f t , = h ( v ，) 一h ( v ，”) ，( 1 一1 1 ) 西北工业大学硕士学位论文第1 章 在 ，o ) 附近作泰勒展开，有 a f t , = h ( v ，) 一h ( v ，w ) = h ( v ，) + d l ， ( v ，w ) a w + o ( w ，v ) - h ( v ，) ( 1 - 1 2 ) = 巩j | i ( y ，w ) a w + o ( w ，y ) ， d , a ( v ，w ) 是响应复制系统( 1 一l o ) 在，( ，) 处的雅克比矩阵，o ( p ) 是高阶小量，在 i i a w l i 是小量的条件下，取式( 1 一1 2 ) 的线性部分，则有 a f t , = d h ( v ，w ) a w ，( 1 - 1 3 ) 显然，若式( 1 1 3 ) 申韵雅克比矩阵对应的特征方程的所有根均具有负实部，则应有 f 训竺竺哼o ，即式( 1 一1 3 ) 的解是渐近稳定的。从而实现了响应系统( 1 - 1 0 ) - 黝 系统( 1 9 ) 的混沌同步。 我们注意到，驱动一响应的同步方法需要将系统进行特定的分解，这将在实 际应用中受到较大的限制，缺乏灵活性。鉴于这些不足之处，k o c a r e v 和p a r l i t z 提出了一种改进的拆分方法，即主动被动分解法【2 1 】。 2 主动一被动同步方法 设一个自治的非线性动力学系统是 2 = ，( z ) ，( 1 1 4 ) z r ”。我们也可将此式改写成非自治形式： j = f i x ，量( f ) 】，( 1 - 1 5 ) ，o ) 为所选的驱动变量，如，( ，) = h ( x ) 或i = h ( x ，s ) ，复制一个与式( 1 1 5 ) 相同 的系统为 夕= f l y ，s ( f ) 】，( 1 - 1 6 ) 式( 1 1 5 ) 和式( 1 1 6 ) 受到相同的信号5 ( f ) 驱动。令p = x y ，则有关于p 的微分方程 为 l2 ，k ，5 0 ) 卜厂【j ，5 ( f ) f 1 - 1 7 ) = f x ，s ( r ) 卜f i x - - e ，( f ) 】， 、 显然式( 1 1 7 ) 在p = 0 处有一个稳定的不动点，即响应系统( 1 - 1 6 ) 与驱动系统( 1 1 5 ) 能够达到稳定的同步态x = j ，。应用l y a p u n o v 函数或者线性稳定性分析方法( 在p 为小值情况下) ，或者计算( i 一1 6 ) 的条件l y a p u n o v 指数为负，可以证明：则由( 1 - 1 5 ) 式和( 1 1 6 ) 式所表示的两个系统能够实现同步。 3 反馈控制的同步方法 这种同步方法是由皮罩格斯提出 2 2 】。他借鉴于非线性连续混沌系统反馈同 步控制方法。 非线性动力系统混沌同步的研究 设驱动系统是： 支= f ( x ) ，( 1 - 1 8 ) 反馈差信号是 s ( t ) = k ( x - y ) ，( 1 1 9 ) 这里z ，y r 8 ，而膏= a i a g ( 毛，也，屯) 。，s ( t ) 是一个列矢量。 响应系统为 夕= f o ，) + s ( t ) 。( i - 2 0 ) 令y = x + 6 y ，将式( 1 2 0 ) 在x 处作泰勒展开，保留到6 y 的线性项，则有： 8 j , = a j j ，一置6 y = ( 一一置) 万j ，( 1 - 2 1 ) 其中彳= d ，( j ，) f ，：，如果彳一髟矩阵特征方程的所有特征根的实部小于零，则式 ( 1 - 2 1 ) 的解是渐近稳定的，即卫( f ) = 葺( f ) ，i = 1 , 2 ，3 ， ，也就是说驱动系统( 1 1 8 ) 和响应系统( i - 2 0 ) 同步。 4 自适应同步方法 h u b e r m a n 及l u m e r 于1 9 9 0 年提出用自适应原理控制混沌的方法1 2 3 。j o h n 和a m r i t k e r 在原方法的基础上做了改进 2 4 1 。 考虑一个疗维的自治系统 矗= ，啦，吣，( 1 - 2 2 ) 其中，u = ( 1 i ，“：，”，) 7 是系统状态变量，= ( h ，鸬，以) 7 是系统参数集， f ( g ，口) = ( z ( ，功，以( ，曲，一( 胁盯) ) 7 是h 维矢量函数。令f ( v ) 为所期望的且为 系统的一个自然不稳定轨道，v 表示所期望轨道的变量。如何用自适应方法来控 制系统( 1 2 2 ) 使得变量与变量p 同步? 现在引入参数的小微扰来修改方程( 1 2 2 ) 的演化。 矗= ，( 阮呐， 丘= 一悱( q 训御【釉一6 9 l u , 一) ，o 。2 3 式中，扈为相应于轨道f ( p ) 的参数的值鸬，q 相应于一参数下整个方程中的变 量，f ，j 为常数，h 和g 分别是( q 一_ ) 与( “，一一) 的连续函数，s e n ( x ) 表示x 的 符号函数。为了能更好和更快地使系统的实际输出与所规定的目标输出达到同步， h 、g 的函数形式的选择十分重要。理论上说，函数 、g 有多种选择形式，但实 际中一般都取 6 两北 ：业大学硕七学位论文第1 章 堆 咖s g n 白) - s g n ( ”) 。( 1 2 4 ) g ( q 一西) u t z f 研究表明：只要方程( 1 2 3 ) 的李雅普诺夫指数都为负值，则变量群与v 就可以 同步，因此，可由最大的李雅普诺夫指数为零这一条件来确定方程( 1 2 3 ) 的两个常 数占万。 5 其他方法。 除以上混沌同步方法外，关于混沌同步的方法还有很多，如脉冲控制 2 5 - 2 7 ， 滑膜控制 2 8 3 0 ，主动控制【3 l - 3 4 ，b a c k s t e p p i n g 设计方法【3 5 3 9 】。基因遗传算 法同步法 4 0 】，基于神经网络同步法 4 1 】，噪声感应同步法【4 2 】，自适应控制方法 【4 3 】等。这里不一列举，详见参考文献。 1 3 预备知识 1 3 1l y a p u n o v 函数定义及稳定性定理【4 4 】 l y a p u n o v 提出了判断稳定性的两种方法。l y a p u n o v 第一法( 又称l y a p u n o v b j 接法) 是先把非线性方程在奇点( 定点) 的邻域线性化，然后利用线性方程来 判定奇点的稳定性。l y a p u n o v 第二法又称l y a p u n o v 直接法，它不需要求解方程， 直接利用构造l y a p u n o v 函数来进行判断。 l y a p u n o v 函数：设v ( x ) 为在相空间坐标原点的邻域d ( d ：忙i l 0 。这样的函数称为l y a p u n o v 函数。 l y a p u n o v 函数直接法判断定点( 定态解) 的稳定性三定理是： 定理1 ：如果对于某动力学方程存在一个l y a p u n o v 函数矿( x ) ，其全导数f q x ) 是负半定的( 即对于d 中所有的点矿( 曲0 ) ，则方程的定点是稳定的。 定理2 ：如果对于某动力学方程存在一个l y a p u n o v 函数y ( x ) ，其全导数矿( 工) 是负定的( 即除矿( o ) = 0 外，对d 中所有其它点矿( x ) 0 ) 。也就是说，如果除原 点外，玖工) 矿狂) 0 ) ，则方程的定点是不稳定的。 1 3 2 有界噪声的数字模拟 4 5 】 有界噪声是具有常数幅值与随机相位的谐和函数，其数学表达式为 非线性动力系统混沌周步的研究 f ( f ) = e o s ( d t + 0 ( t ) ) ，护( f ) = t t b ( t ) + f ，( 1 2 5 ) 式中q 和仃为芷的常数，b ( t ) 是单位w i e n e r 过程，r 是【o ，2 石】之间均匀分布的随 机变量，单位w i e n e r 过程增量为 e = 她+ 。) 一b “) ，i = l ，2 ，( 1 - 2 6 ) 式中a e 为独立的高斯随机变量，均值为零，方差为a t ，由此可将置表示为 e = ( n a t ，i = l ，2 ，( 1 - 2 7 ) 其中为一均值为零，单位方差，正态分布的随机序列。 令善( r ) = c o s ( 0 + f ) ，口= d t + 盯b o ) ，贝0 有 f ( f ) = e o s ( 谚+ y ) ，( 1 - 2 8 ) 谚= 谚一l + d t + o a b j 。，( 1 - 2 9 ) 式中，为 0 ，2 7 r ) 之问以等概率随机选取的一个常量，对于一个有界噪声样本选取 一个固定值。 1 4 本文的研究工作 本文对非线性动力系统的混沌同步问题进行了研究。并且从实际应用的需求 出发，基于l y a p u n o v 稳定性定理，研究了复d u f f i n g 系统的混沌同步及跟踪、参 数未知混沌系统的延迟同步、参数未知不同阶数混沌系统的广义同步及参数估计， 具体内容如下： 首先系统的介绍了混沌理论的发展， 现状及混沌同步方法和混沌同步的类型， 述了本文所要做的工作。 然后重点介绍了混沌同步的研究历史与 给出了论文中用到的基础知识，最后概 其次基于b a c k s t e p p i n g 方法研究了复d u f f r a g 系统的混沌同步。理论分析和 数值仿真都表明了该方法对实现复d u f f i n g 系统混沌同步的有效性。 第三研究了系统参数未知的不同阶数混沌系统的广义同步及参数估计。首先 采用扩阶方法，把不同阶数的混沌系统的广义同步问题转化为相同阶数的混沌系 统广义同步，然后结合自适应控制方法，使得系统所有“未知参数”都得到估计。 同时，数值仿真也说明了该方法的有效性。 第四研究了一种基于系统参数辫识的延迟混沌同步方法。针对延迟混沌动力 学系统参数未知的情况，根据l y a p u n o v 稳定性理论，给出了延迟控制器和参数自 适应律的解析表达式，进而实现了驱动系统和响应系统的延迟混沌同步，并且通 过数值模拟研究，表明了该方法对有界噪声的影响具有一定的抗干扰能力。 两j 七i ：业大学硕士学位论文 第1 章 第五对全文进行了总结。指出了混沌同步理论研究中存在的一些问题，并对 接下来的研究工作进行了展望。 9 弛北t 业人学硕十学位论文 第2 章 第二章基于b a c k s t e p p i n g 方法来实现复d u f f i n g 系统的混沌 同步 2 1 引言 近年来，混沌同步及其在保密通信和医学领域的应用引起广泛关注。在提出 了p c 驱动响应同步方法 1 3 1 之后，发展了各种混沌同步方法 2 1 4 3 】。b a c k s t e p p i n g 方法是非线性控制中经常使用的方法。这种方法通过选择一系列的l y a p u n o v 函 数，使含参数的严格反馈系统达到全局稳定。已经证明相当广泛的一类混沌系统 可以表示成严格反馈的形式，比如r 6 s s l e r 系统，d u f f i n g 振荡器，v a nd e rp o l 振 荡器和c h u a s 电路系统等，从而可以利用b a e k s t e p p i n g 方法来进行稳定化控制或 者同步控制。 复动力系统在物理、工程中具有很重要的应用价值，并且已经被很多学者研 究了。作为复系统中比较典型的系统一复d u f f m g 系统也已被深入的研究，如 m a h m o u d 与其合作者研究了复d u f f i n g 系统的混沌吸引子以及利用p y r a g a s 提出 的方法研究了复d u f f m g 系统的混沌控制【4 6 】，许勇等用随机相位方法实现了复随 机d u t t m g 系统和确定性复d u f f i n g 系统的控$ 0 1 4 7 。但有关复d u f f i n g 系统同步 方面的研究还不多见。因此，本文基于b a e k s t e p p i n g 方法研究了复d u f f m g 系统 的混沌同步及目标跟踪。 2 2b a c k s t e p p i n g 方法原理 考虑如下形式的非线性系统 毫= g l ( 五，f ) + 石( 而，f ) ， 南= 9 2 ( 五而，f ) + 五( 毛，吻，f ) ， 岛- i = 岛一l ( 五，- 1 ，f ) + 厶l ，x 十，) ， 矗= g l ，( 而，t ) u + z ( 葺，f ) ， ( 2 一i ) 其中x = ( 五，毛) 7 r ”为系统的状念，州；r 为系统的控制输入， ，：r r + 斗r 和吕：r r + 一r ( f _ 1 ，行) 为光滑的非线性函数，且蜀0 。因非 非线性动力系统混沌同步的研究 线性项z 和昌仅与反馈状态而，而，矗有关，所以系统称为“严格反馈系统。 b a c k s t e p p i n g 设计方法的主要思路是；针对上述系统，基于l y a p u n o v 稳定性 理论，通过反向递推设计，构造出l y a p u n o v 函数和反馈非线性系统，从而使闭环 误差系统在l y a p u n o v 意义下渐近稳定。 2 3 复d u f f i n g 系统描述 考虑如下形式的确定性复d u f f m g 【4 6 】系统 z z + c t j + e z z = y c o s ( c o o t ) ，( 2 - 2 ) 其中厂= ( 1 + f ) 厂，z ( f ) = ，) + 移心) 是复变量的函数0 = 压) ，口， s 与均为芷 参数，z 上方的点表示对时间t 的微分。 当三= 工为实变量，c = l ，方程( 2 2 7 就演变为著名的d u f f i n g 方程f 4 8 】。 式( 2 2 ) 可以写为下面两个耦合的系统 舅一工+ 口j + 百 2 + y 2 ) = y c o s ( c 0 0 t ) ，( 2 3 ) j ，一y + 口夕+ s ) ，( x 2 + y 2 ) = y c o s ( o f ) 。( 2 - 4 ) 令= x ，毪= 圣，毛= 弘x 4 = 多，方程( 2 3 ) 和方程( 2 4 ) 可以改写为一阶微分方 程的形式 毫= 而， = 耳一口为一q ( 耳2 + 黾2 ) + r c o s ( c o o t ) ，( 2 5 ) 玛2 ， 置= 焉一口_ 一占与( 五2 + 而2 ) + r c o s ( 6 0 d ) 。 对方程中的参数值与初始条件取为与 4 6 】中的一致，即：口= o 1 3 ，s = 1 0 ， 嘞= 1 0 ，y = 0 1 8 ，= y o = - 0 2 ，南= 岛= 0 画出系统的最大l y a p u n o v 指数及 p o i n c a r a 截面图。从图2 一l 可以看到最大l y a p u n o v 指数为正这说明系统( 2 - 5 ) 存在 混沌行为：图2 - 2 给出了p o i n c a r e 截面，说明是一个混沌吸引子。 图2 - 1 最大l y a p u n o v 指数随时间r 变化图 图2 - 2p o i n c a r 截面图 f 2 西北i 业大学硕七学位论文 第2 章 2 4 基于b a c k s t e p p i n g 方法来实现复d u f f i n g 系统混沌同步 考虑另外一个和系统( 2 5 ) 拥有相同参数的复d u f f i n g 系统 巍= y 2 ， 磬= 咒一口y 2 一占乃( m 2 + 乃2 ) + ，c o s ( c o o ) + m ， ( 2 6 ) m 2 y 4 只= y 3 - c r y 4 6 y 3 ( y 1 2 + y 3 2 ) + y c o s ( m o t ) + u 2 ， 其中m ，u 2 是控制器。这里称系统( 2 5 ) 为主动系统( 驱动系统) ，系统( 2 - 6 ) 为被动 系统( 响应系统) 。那么，同步误差系统可以表示为 乌= 岛， = 岛一口吃一占乃( 乃2 + 乃2 ) + s 五( 五2 + x 3 2 ) + 码，( 2 - 7 ) e 3 2 q e 4 = 岛一口q s y 3 ( y 1 2 + y 3 2 ) + c x 3 ( 五2 + x 3 2 ) 十z 七， 其中q = 只一= 1 234 ) 。 我们的目标是选择控制器地，蚝使得巳( f - 1 ，2 ，3 ，4 ) 随着时间的增大一致收敛 到零，即实现驱动系统( 2 5 ) 和响应系统( 2 6 ) 混沌同步。这里，我们用b a c k s t e p p i n g 方法来实现这一目的。 第一步，选择l y a p u n o v i 蠹数k 为 k ( 岛) = o 2 ) e 1 2 ，( 2 - 8 ) 那么，k 沿方程( 2 7 ) 关于时间t 的导数为 k = q 毫= e 1 吃。( 2 9 ) 选取岛= q ( p 1 ) = 一e i ，口。是待定的虚拟控制器函数，方程( 2 - 9 ) 可以写为 成= 一e 1 2 0 。 ( 2 l o ) 定义变量w 1 = e 2 一q ( q ) 表示岛与第一个虚拟控制器函数误差。于是得到以下 的子系统 嚣三篙廿e t 嘞：啊m 耐) + w l 蛳i 川= 川( w l 一) 一占m “2 + 虬2 ) + s 鼍“+ 墨2 ) + w l + a 第二步，选择l y a p u n o v 函数k 如下 v 2 ( e i ，) = 巧( q ) + ( 1 2 ) w 1 2 ， ( 2 - 1 2 ) 那么，k 沿方程( 2 1 1 ) 关于时| 日f 的导数为 吃= q 2 + w l ( 叫w 1 + 盯巳一奶( 乃2 + y 3 2 ) + 硝( 而2 + 为2 ) + + “1 ) 。 ( 2 - 1 3 ) 什线性动力系统混沌同步的研究 选择控制器为 u i = 一明+ 8 y w ( y , 2 + y 3 2 ) 6 x , ( x 1 2 + x s 2 ) 一w l 。( 2 - 1 4 ) 把方程( 2 - 1 4 ) 代入方程( 2 1 3 ) o - i 得 吃= 一e 1 2 一口2 o 。 ( 2 - 1 5 ) 因为方程( 2 7 ) 是完全对称的，所以设计控制器奶的步骤和设计控制器砷的步 骤是类似的。因此，我们可以用相同的步骤来设计控s r j ：器u ，。 第三步，选择l y a p