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四川大学博士学位论文 摘要 关于仿射超曲面的若干问题研究 基础数学专业 研究生王宝富指导教师李安民教授 在仿射几何中，一旦仿射球的分类完成，下一步一个有趣的问题就是研究 具常仿射平均曲率的完备超曲面近来，这方面的研究已经取得一系列的进展 ( i l s z - h ， l s z - 2 ， u l 】， u 一2 】，t l s c ，t t w - 1 ， t w - 2 】) 尽管人们可以构造很多局部的常仿射平均曲率的超曲面，但是关于具常仿 射平均曲率的完备超曲面的分类问题及相关结果还知之甚少例如，人们甚至 不知道是否有非完备仿射球的例子 在论文的第一章，通过解一类完全非线性具有退化边值的四阶偏微分方 程，我们构造了一类具常仿射平均曲率的超曲面；并且，我们发展了一套梯度 估计的办法，从而证明了这类曲面的欧氏完备性结果可归纳为：对给定一个 光滑有界凸区域qcr “以及函数妒c * ( a ) ，存在一个欧氏完备的具负常仿 射平均曲率的超曲面并且，当n = 2 时这些曲面是仿射完备的 在第二章，我们研究了下面这个四阶方程： 泸= 一厶w = d e t d 2 卯， ( o 1 ) i d = l 其中n 是一非0 常数，是有界光滑凸区域ncr “上的光滑凸函 数，l c 。( 矗) u j 是岛在h e s s i a n 阵d 2 f 中的伴随余子式，我们知道 当o = 一糍时，( o 1 ) 是关于预定仿射平均曲率l 的方程； 当1 7 , = 一1 时，( o 1 ) 是著名的a b r e u 方程，它与k i h l e r 几何中的复环上的 四j | i 大学博士学化论文 具常数量曲率的度量密切相关 自然地，我们可以问：当n 取其他值的时候，方程的几何意义是什么? 我 们发现( o 1 ) 是相对仿射几何中预定相对仿射平均曲率的超曲面的方程用第一 章的办法，我们能够对- 1 口 0 时，我们证明了：如果m 是欧氏完备的 具负常相对仿射平均曲率的超曲面，并且是凸函数，的图，则，的l e g e n d r e 变 换区域是r ” 在第三、四章，我们证明了文 l s c 】和 l s z - 2 】提出的猜想在【l s c 】 中，李s i m o n 陈研究了局部强凸的具常仿射g a u s s k r o n e c k e r 曲率的超曲 面他们证明了对给定一个光滑有界凸区域qcr “以及函数妒c * ( a q ) ， 存在一个具常仿射g a u s s k r o n e c k e r 曲率的超曲面，并且m 是欧氏完备 和w - 完备的当q 是标准球的时候，他们还证明了m 是仿射完备的 在 l s z - 2 ，李s i m o n 赵进一步对预定仿射g a u s s k r o n e c k e r 曲率的超曲面解 决了相同的问题但是下面遗留的问题尚未解决被作为猜想提出：对任意凸区 域q ，m 是仿射完备的在第三、第四章，我们就上面两种情形分别证明了猜想 关键词：仿射超曲面，完备性，m o n g e a m p e r e 型方程，曲率 一i i 四j i i x 学博十学化论文 a b s t r a c t o ns o m ep r o b l e m so na f f m eh y p e r s u r f a c e s a u t h o r ：b a o f uw a n gs u p e r v i s o r ：a n m i nl i i na f f i n eg e o m e t r y , o n c et h ea f f i n eh y p e r s p h e r e sa l ec l a s s i f i e d af u r t h e ri n t e r e s t i n g q u e s t i o ne m e 唱e di s t os t u d yt h ec o m p l e t eh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n ta f l i n em e a n c u r v a t u r e ( a b b r e v i a t e db yc a m c ) m a n yr e s u l t so nt h i sd i r e c t i o na r ea c h i e v e dr e c e n t l y ( t l s z - 1 ， l s 7 _ 2 1 ，【u 1 l l j 一2 】， l s c i ，f r w 一1 】， t w - 2 ) 。 a l t h o u g ho n ec a nl o c a l l yc o n s t r u c tm a n yh y p e r b o l i ca f f i n eh y p e r s u f f a e e sw i t h c a m c t h ec l a s s i f i c a t i o no fc o m p l e t eh y p e r b o l i ca f f i n eh y p e r s u r f a c e sw i t hc a m ci s c o m p l e t e l yo p e n f e wr e s u l t s o n t h i sp r o b l e ma r ek n o w n f o r e x a m p l e ，n oa n ye x a m p l e b u ta f f i n eh y p e r s p h e r e si sk n o w ns of a r i nc h a p t e ro n e ，b ys o l v i n gaf u l l yn o n l i n e a rf o u r t ho r d e rp d et h a td e g e n e r a t e s a tb o u n d a r y , w ec o n s t r u c tal a r g ec l a s so fa f f i n eh y p e r s u r f a c e sw i t hc a m c ；f u r t h e r - m o r e ，w ed e v e l o pam e t h o df o rg r a d i e n te s t h r m t e sa n dt h e r e f o r eb ea b l et op r o v et h e e u c l i d e a nc o m p l e t e n e s so ft h e s es u r f a c e s t os u m m a r y ，w ep r o v et h a t ：f o rag i v e n b o u n d e dc o n v e xd o m a i nqcr “w i t hs m o o t hb o u n d a r ya n daf u n c t i o n 妒c 。( q ) t h e r ei sa ne u c l i d e a nc o m p l e t eh y p e r s u r f a c ew i t hn e g a t i v ec a m c f u r t h e r m o r e w h e n 几= 2 t h e s eh y p e r s u r f a c e sa r ea l s oa f f i n ec o m p l e t e i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ef o l l o w i n gf o u r t ho r d e r p d e ： u i j w q = 一l ，仞= ( d e t ( a a ) 。o n f 2 ( o 1 ) t j = 1 w h e r e1 2 , i san o n z e r oc o n s t a n t ，fi sas m o o t hc o n v e xf u n c t i o no nt h es m o o t hb o u n d e d c o n v e xd o m a i nqc 舒，g 。( q ) a n du qi st h ec o f a c t o ro f 岛i nt h eh e s s i a n 一i 一 四川大学博士学位论文 m a t r i x o f1 a s w e k n o w w h e n 口= 一嚣若，( o 1 ) i st h ee q u a t i o nf o rt h eh y p e r s u r f a c ew i t hp r e s c r i b e da f f i n e m e a nc u r v a t u r el ： w h e n 口= 一1 ，( 0 1 ) i st h ef a m o u sa b r e ue q u a t i o nt h a ti sr e l a t e dt ot h ec o m p l e xt o r u s w i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ei nk i i h l e rg e o m e t r y o n em a ya s ki ft h e r ei sc e r t a i ng e o m e t r i cm e a n i n gw h e not a k e so t h e rv a l u e s i tt o m s o u tt h a t ( o 。1 ) i st h ee q u a t i o nf o rh y p e r s u r f a c ew i t hp r e s c r i b e dr e l a t i v ea f f i n em e a n c u r v a t u r ei nr e l a t i v ea 衔n eg e o m e t r y u s i n gt h em e t h o dg i v e ni nc h a p t e ro n e w ea r c a b l et os o l v et h ee q u a t i o nf o r - 1 口 0 w ep r o v et h a t ：i fmi sa ne u c l i d e a nc o m p l e t eh y p e r s u r f a c ew i t hc o n s t a n t r e l a t i v ea f f i n em e a nc u r v a t u r el 0 ，m 是椭球； ( b ) 当l 1 = 0 m 是椭圆抛物面； ( c ) 当l 1 0 ，m 是“有限型的” 显然，每一个完备的双曲型仿射球都具有常数仿射平均曲率l 1 0 由 此，人们知道存在许许多多的具有常数仿射甲均曲率l t 0 的完备的仿射超曲 面以下的问题是非常有趣的： 问题：除了完备的双曲型仿射球外，是否还存在其它的具有常数仿射平均曲 率l 1 0 的完备超曲面? 如果存在，如何去构造它们? 进一步如何分类? 我们先回忆一下完备的仿射球的分类以及具有常数g a u s s k r o n e c k e r 曲 率的欧氏完备超曲面的构造最近几十年。关于完备仿射球的分类问题吸引 了许多的几何学家的注目，这些几何学家在这方面的工作和贡献可参见专 一1 一 四j l l 大学博十学何论文 著鼻二l 】关于完备的双曲型仿射球的分类问题可归结为对以下非线性偏微分 方程边值问题的研究： d e t ( ) = ( l 1 t ) 一“一2f q ，( 1 1 ) t = 0 f a n ，( 1 , 2 ) 这里二1 0 为一常数qcf p 是有界凸区域，( f 1 ，厶) 是q 上的光滑凸 函数以下的定理可参见【l s z 一1 】，【c y q 定理1 3 ( 1 ) 设qc i p 是一有界凸区域则边值问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 存在唯一的解乱 俨( q ) n 伊( q ) 舰 毛2 瓦 m 矧= 6 囊叫鼠 ) ， m = ( z ，( z ) ) ) ， 则m 是完备的双曲型仿射球 ( 2 ) 每一个完备的双曲型仿射球都可以用这样的方式构造 在文【l s c 】中，作者研究了这样的问题：构造具常数g a u s s k r o n e c k e r 曲 率的欧氏完备超曲面，这个问题可以归结为对以下非线性偏微分方程边值问题 的研究： d e t ( u 玎) = ( 一u ) 一”一2 q ，( 1 3 ) u = 妒 a q ，( 1 4 ) d e t ( 屹) = ( 一札) 一“- 2 f f 2 ， ( 1 ，5 ) 札= 0 ，f 撇 ( 1 6 ) 四川大学博士学位论文 作者证明了以下定理： 定理1 4 边值问题( 1 3 ) 一( 1 6 ) 存在唯一的解“c 。( q ) n 伊( q ) 通过解让构造 出的超曲面m 是有具常数g a u s s k r o n e c k e r 曲率的欧氏完备超曲面 本章我们将研究具负常数仿射平均曲率l 0 的欧氏完备的仿射超曲面的 构造问题在第二节我们将证明该曲面的构造问题可归结为对以下非线性偏 微分方程的边值问题的研究： 磁二盅。 ， 结合定理1 3 和定理1 4 ，我们提出以下的猜测 猜测 ( 1 ) 设qc 印为有界凸区域，妒是定义在包含q 的区域上的光滑、严格凸的函 数，满足以下条件 d e t ( f o 玎) i d ， 这里 d ；( 2 佩。仇( q ) ) 一帮 则存在函数u c 。( q ) n 伊( 孬) 是以下非线性偏微分方程边值问题的解： u j v , j = n l l f q 乱= 妒 舰， d e t ( u l j ) = v 一“一2 q v = 0f a q 一3 一 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 ，1 0 ) ( 1 1 1 ) 四j i i 大学博士学位论文 设 钆 毛2 瓦 m ”，训= 6 蹇叫“， m = ( z ，( z ) ) ) ， 则m 是具有负常数仿射平均曲率l 1 0 的欧氏完备的仿射超曲面 ( 2 ) 每一个具负常数仿射平均曲率l l 0 是一常数 注：在文【n 2 】中，n s t r u d i n g e r 和x 一j w a n g 在z 坐标下的凸区域上研 究了具有给定仿射平均曲率函数9 o r 超曲面的构造问题用本文的记号来描 述，就是他们研究了以下非线性偏微分方程边值问题： u i j w i j = g ，叫= d e t d 2 ，】业n - b 2 f q ， 一d 一 四川大学博士学位论文 ，= 妒，加= 妒a n ， 这里( l ，玎) 是h e s s i a n 阵d 2 ，的伴随矩阵 利用n s t r u d i n g e r 和x 一j w a n g 在文盯w - 2 】中的推证方法，我们可以证明以下 命题 命题1 5 边值问题( 1 1 2 ) 一( 1 1 5 ) 具有唯一的解( t ，v ) c 。( q ) n c 呻( q ) 通过解t ，我们就可以构造出具有负常数仿射平均曲率l 1 0 的仿射超曲面 我们更感兴趣的是构造出具负常数仿射平均曲率l 1 0 是一给定常数 根据命题1 5 ，我们可以得到非线性偏微分方程边值问题( 1 1 6 ) 一( 1 1 9 ) 的一 簇解( u 。，k ) ，让t 一0 ，我们可以证明砚收敛到一个光滑的、严格凸的函数让， 通过牡我们可以构造出具有负常数仿射平均曲率1 0 的欧氏完备的仿射超曲 面我们的主要结果是以下定理： 定理1 6 ( 主要定理) 设qc 尼。是一具有光滑边界的有界凸区域，妒是定义在包 含磊的区域上的光滑、严格凸的函数，满足 d d e t ( g o i j ) ；， 一5 一 四川大学博士学位论文 d ：( 2 v 铂i n m ( q ) ) 一帮 则存在函数让c ”( q ) n c 巾( 矗) 缸满足 u 玎= n l l ，d e t ( u 巧) = y 一2 q 牡= 妒，v = 0f 锄 ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) 通过缸我们就可以构造出仿射超曲面m 具有负常数仿射平均曲率l 1 0 ， 且m 是欧氏完备的进一步的，当几= 2 时，m 关于b l a s c h k e 度量也是 完备的，即仿射完备 注：对一般的凸区域，我们可以用具有光滑边界的凸区域去逼近它，以下 的结果很容易就可得到： 定理1 7 设nc 肝是一有界凸区域，妒是定义在包含q 的区域上的光滑、严 格凸的函数，满足 d e t ( i a q ) i d ， 这里 d ：( 2 v 丽a i n m ( q ) ) 一帮 则存在函数让c 。( q ) n c 帕( q ) 札满足 缸玎= n l l ，d e t ( u i j ) = v ”q f q ， ( 1 2 2 ) l i m 让妒， v = 0 a q ( 1 2 3 ) 口- 8 n 一。 、 7 通过u 我们就可以构造出的仿射超曲面m 具有负常数仿射平均曲率 l 1 0 且m 足欧氏完备的进一步的，当n = 2 时，m 关于b l a s c h k e 度 量也是完备的 一 一 四川大学博十学化论文 1 2 二阶非线性偏微分方程组 设a “+ 1 是一个n + 1 维实仿射空间，m 是一n 维连通定向的c * 流 形，苫：m a 时1 是一局部强凸的超曲面局部上m 是一c 一凸函数，给出 的图： 霉n + 1 = ，( z 1 ，z 2 ，z n ) m 上的b l a s c h k e 度量g 以及仿射余法矢量场u 如下( 详见文i l s z - h 。 l s z - 2 】，【1 3 1 】) ： g = d e t ( 器) r 器出恕 c ，= d e t ( 最) r ( 面o f ，一列o f ) 由公式a u = 一n l l u 知，x ( m ) 是一局部强凸、具有负常数仿射平均曲率 二1 0 的超曲面的充要条件是，满足以下的四阶非线性偏微分方程： d e t ( 蕞) r - - - = - n l ld e t ( 丽0 2 f ) r 这里”是关于b l a s c h k e 度量的l a p l a c i a n 算子，定义如下： 拈丽d e t ( g l k t ) 差( 卿e t ( g 】 丢、【厶7 a 丑 一“”a 巧 记p ：= 【d e t ( 矗) 】- ；= i ，则有 a p = - n l l p ， d e t ( g 讲= j 1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 四川大学博士学化论文 = 去+ 号户考去 ( 2 。) 考虑，的l e g e n d r e 变换如下 6 = 差， ( 2 4 ) 地，矗) = z 。瓦o f 一， ( 2 5 ) 记q 为，的l e g e a d r e 变换区域也就是让：q r 。 n = b 眦= 封 6 ， 将上面的公式用坐标( 6 ，矗) 及函数u ( f ) 可改写成以下形式( 见 k j 1 】， 陟2 。： 耻p 彘， c 2 7 ，g 玎= p 五 素，( ) p - 【d e t ( ) 】士， d e t ( a 削) 】 = 矿+ 1 ， = ；彘一；u u 瓦o p 瓦0 ， 这里( ) = ( 菇茜) 是矩阵( 差) 的逆矩阵 记y = ；，见= 以o _ a ，k = 瓦o v ，= 菇，则我们可以得到 ( 吾) = ；( 一髻+ z 苦) 一吾普一u d 坤固 一8 一 四川大学博士学位论文 另一方面，由( 2 1 ) 式，我们有 ( 古) = a p = - n l l p 由此可得 = n l l ， ( 2 9 ) 这里( ) 是矩阵( ) 的逆矩阵，且矿= k l e t ( ) 1 - 南于是我们有以下命题 命题2 1 1 设z ：m a n + 1 是由c ”严格凸的函数 z 。+ 1 = ，( z l ，z n ) 确定的超曲面，则m 是一局部强凸、具有负常数仿射平均曲率l 1 0 的超曲面 当且仅当，的l e g e n d r e 变换函数“满足以下的二阶非线性偏微分方程组： 1 3 主要定理的证明 f = n l 。 1d e t ( ) ：y n 一2 ( 2 1 0 ) 我们只在q 为具有光滑边界的有界凸区域情形下展开研究，对一般的有界 凸区域情形，我们可以用光滑区域去逼近由于我们的估计都是一致估计，因此 很容易得到同样的结论 不失一般性，我们将负常数仿射平均曲率法化为l 1 = - 1 命题1 5 的证 明采用文 n - 1 】中同样的方法可得，这里不再给出我们主要研究以下边值问 题： ：伊= 一n f q ，( 3 1 ) 9 四j i i 大学博士学化论文 t = 妒砌， d e t ( u # ) = v “- 2q ， v = t f a q ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 由命题1 5 我们可以得到边值问题( 3 1 ) - ( 3 4 ) 的一簇解( u ( “，y ( ) 让t 一0 ，我 们希望能证明存在让( ) 的极限函数u c 。( q ) n 伊( q ) 满足方程( 3 1 ) 一( 3 ，3 ) 为此我们首先给出关于i 让( ) l 1 ，“) 及p ( 的一致估计 ( 1 ) v c ) 的估计为记号简洁起见，对任意的t ( 0 ，1 】，我们用v 替代y ( ) ( 类 似处理钍( ”，p ( ) ) 构造函数 f = l o g v + m 爵 其中m 是一待足常毅 若f 在凸区域边界a q 上取得最大值，则容易得证y 有一致的上界 假设f 在凸区域的某个内点如q 处达到最大值，则在点岛处我们有 o = 置= 兽+ 撼， o = 可- - n 一警+ 2 m u “ 不失一般性，我们可以假定在点岛处矩阵( t “f ) 是对角化的，于是可以得到 o - 一- 9 n - 一4 m 2 g + 2 m 取m = 壶，这里d ：= d i a m ( 9 ) 则 0 可- - t $ + m z 一l o 四j ij 大学博士学位论义 y f “ t ( ) q ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 因而有 妒 让( 3 ，1 5 ) 任取- - f i , q o = ，u ) ) m ( 由( 3 1 5 ) 式，m ( 。) 在点口。处存在一支撑超平 面日 h ：矗+ 1 = u ( 已) + d u ( 。) ( 一厶) ， 以及一常数a 0 使得 截口 是非紧的 s ( 已，n ) = 代q l 馐) “( 已) + d 乱( 靠) 一靠) + n ) 一1 3 一 四川大学博士学位论文 截口 s ( 已，d 一) = ( q l t 正( ) s ( ) - i - d u ( 厶) ( 一厶) + ( 口一e ) ) 对任意的e o 是紧致的 于是存在一个序列) 一已使得对任意小的f 0 ，截口 最( 毋，口一e ) = f q l t 佳) u ( 毋) + d u ( g ) 幢一尊) + ( o e ) ) 对充分大的i 总是紧致的于是由估计( 1 ) 和( 2 ) 可以推得d e t d 2 u ( ) 有一致的上 下界进一步的利用c a f f a r c u i g u t i e r m z 理论及c a f f a r e l l i - s c h a u d e r 估计就可得到让 在s ( 。，o ) 上是光滑的函数，并满足方程组( 3 1 ) - ( 3 3 ) 由于已是任意取的，于是 可知u 是光滑的、严格凸的 以下我们将证明 熙u 2 妒_ 由于乱是q 上的光滑凸函数，上式左边的极限存在，记为显然妒进一步 我们证明= 妒 假设存在一点f a q 使得( 0 o ) 取一充分小的f 0 限制到 l ) n a q 上，使得 0 ，让岛= k a i 出武眨0 a ) 2 毋则对充分小的6 以及充分 大的i 我们有 矗 d e t ( u ( k ? ) 由此可得在面6 上札( ) 面让6 0 i 一，可以得到在a 内豇但另一方 面，缸( 自= ( 0 ，且面u 是内的光滑函数，由此得到矛盾，所以假设不 成立，即有在边界a q 上= 妒 作变换 乩 戤2 瓦 m ”，蝴= 6 蹇叫， m = ( z ，( z ) ) ) ， 则m 是具有负常数仿射平均曲率一1 的仿射超曲面 以下我们将证明m 是e u c l i d e a n 完备的我们需要证明当点趋近于区域边 界a q 时，函数缸的梯度j v 让i 一我们首先利用文【l s c 冲的方法证明对任意 的边界点f a q ，我们能够构造一个仿射变换使得 乱( ( 0 = 0 乱( ( ) o ，k a q 臼 四川大学博士学化论文 为了简便，我们省去上标t 不失一般性，我们假定 手= ( 0 ，o ，矗) ，矗 器= 袅+ c 寒圳袅 一a 2 妒，a p 。妒( a4 - d 、0 2 q 2 琵瓦+ 两十t 百蕊a 矗a 6 、躲。一矗a 6 a 白 记( j ) 的最小特征值为a ， d 1 - 一些学一m 一畔l 老手 皿| t ，、jl 口h 如果我们取d d l ，则f 在邻域m 的点f 处达到最大值，i e i ( 3 1 9 ) 式成立 另一方面，将f 限制到a q 上，有 。 f ：绯) + n - 1 + ( 篷掣烁“ 记 d 2 = 一蹴 熹) 嘴邺) 莓n - 1 蚓+ l 譬汕 当d d 2 时，我们有f 0 ，使得对任意的t ( 0 ，1 】，函数u ( ) 的梯度满足 v u ( ) l c t 一口 一1 7 一 四川大学博士学位论文 证明任取一点手a q ，对给定的t ( 0 ，1 】，根据前述的仿射变换，我们可以假设 t 正( 。( a = 一t ， t ( ( f ) ( 4 r 2 6 + t ) 一“一2 一t - ( n + 2 ) ( 1 - ( r ) ， ( 3 2 7 ) 而另一方面 d e t ( 锄) = ( 2 6 ) “= 而2 n 面= 丽害高 由于r 非常小，于是显然有 d e t ( u j ) 芝d e t ( 啦)f 最。( r ) 注意到在a 展。( r ) 上有砬= 一t2u ，由极大值原理，我们可得在瓦( r ) 上矗“ 又因为也( 0 t 钍( 0 ，我们有嚣( 0 畚( f ) ，也就是o2 2 r b 。这是一个矛 盾，我们的断言成立因此 引理证毕 v 删 2 r 6 - ； 在引理3 1 的证明中我们得到了( 3 2 3 ) 式，这意味着对任意的t ( 0 ，1 】，有 i y ( i l u ( | 于是极限解钍，v 同样满足l v l i u i ，根据引理3 1 中的仿射变换 知札( t ( 0 = 一t 一0 = u ( 手) ，所以有y ( 西= 0 另一方面，v 在引理3 1 中的仿射 一1 9 一 四川大学博士学位论文 变换下是不变的，点f 是边界a q 上任取的点，因而y 在边界a q 恒有v = 0 用，( ) ( z ) 和，( z ) 分别表示u ( ) 和u 的l e g e n d r e 变换函数对充分大的实 数r 0 。由引理3 1 知，存在一个t o 0 ，当0 t t o 时，f ) 定义在整个圆盘 玩( r ) 上由于l v f ( ”i 在b 0 ( r ) 上是一致有界的因而存在一个子序列，( t t ) 收敛 于，于是f ( x ) 也就定义在整个圆盘玩( r ) 上进一步由于兄是任意的。可知 f ( x 1 定义在整个尼上，这就是说我们通过 i t 构造出的超曲面m 是e u c l i d e a n 完备的当n = 2 时，由定理1 1 知，m 关于b l a s c h k e 度量也是完备的，即仿射完 备 一2 0 四川大学博士学化论文 第二章具有负常数相对仿射平均曲率的欧氏完备超曲面 2 1 引言及预备知识 在仿射微分几何中，许多问题可以转化为高阶非线性m o n g e a m p e r e 型方 程的研究。本章我们主要讨论以下的四阶非线性m o n g e a m p 6 r e 型偏微分方程 n u 巧w , j = 一厶们= d e t d 2 卯， ( 1 1 ) i d = l 这里8 0 是一靠数，( u 巧) 是一定义在凸区域nc 形上光滑凸函数，的 h e s s i a n 阵d 2 ，的伴随矩阵，工也是定义在q 上的给定函数 已经知道： 当n = 一糍时，方程( 1 1 ) 是给定仿射平均曲率超曲面方程 当n = 一1 时，方程( 1 1 ) 是t o r i c 簇研究中经常涉及的a b r e u 方程，这时l 是关于k i h l e r 度量的标量曲率 一个有趣的问题是找到该方程在8 o ，- - 1 ，一。n + 2 l 时的其它的几何模型。本章我 们将在相对微分几何中研究方程( 1 1 ) 记 m ：= ( z ，( z ) ) i z 。+ 1 = f ( x l ，z 。) ，( x l ，z 。) q ) 在m 上引进c a l a b i 度量如下 g = 。哪0 2 f q z 。屯 一2 1 四川大学博士学化论文 在c a l a b i 度量下，方程( 1 1 ) 可以写成以下形式 咖一卢譬+ 而l + 1 ) 2 ) + 1 ， ( 1 | 2 ) 这里 p 三 d e t d 2 ，r 南，卢= 型链业塑 “”是关于c a l a b i 度量的l a p l a c i a n 算子在第二节我们将会看到方程( 1 2 ) 是 给定相对仿射平均曲率的超曲面方程 8 2 瓦 氓，矗) = 孔差叫咄 本章的主要结果是： 定理1 1 设qc p 具有光滑边界的有界凸区域，妒是定义在包含q 的区 域上的光滑、严格凸的函数，满足 d e t ( ) i h ， 这里 h = f 2 d i a m ( f z ) ) 一i 干瓦丽 则对任意的一1 n 0 ，存在一个函数u c 。( q ) n c o ( q ) 使得 簟满足 u 玎= 一譬半，d e t ( 让d ) = y 一寿 f 咄( 1 3 ) u = 妒，v = 0锄( 1 4 ) 一2 2 四川大学博士学位论文 通过u 的l e g e n d r e 变换构造的超曲面m = ( ，( z ) ) 是具有负常数相对仿射 平均曲率l o 的光滑函数考虑新的余法矢量场【厂( 。) = q u 则存在唯一的向量场y ( 口) 满足 ( 硪计，y i q ) ) = 0 ，( 矿，y 叻= 1 2 4 四川大学博+ ：学化论文 此时共形度量为 砖= q 向 直接的计算可以得到 a 按= 一；( 如蛊+ 厶砉+ 毫+ 响“ ( z 4 ) 砖= 一百1 百蕊a 2 q + 2 瓦0 q 面o q + e f 。k t g qc 3 f i j ( 2 5 ) 取q = p 4 + 1 ”+ ，则在此法化后相对仿射平均曲率l ( q ) = 等l 等价于p 满足微 分方程( 1 2 ) 为简便，以下我们用l 替代l ( 引在坐标( 乳已，靠) 下，方程 ( 1 2 ) 可写成 让巧( p 一( b + 1 ) ( + 2 ) 巧= 一i ! ! ! j 三些 ( 2 6 ) 记v = p - ( a - l - 1 ) ( “+ 勘，我们有： 命题2 1 设z ：m 一舒+ 1 是由光滑严格凸的函数 x n + l = f ( z l ，z 。) 确定的超曲面，则m 是具常数相对仿射平均曲率l 的超曲面当且仅当，的 l e g e n d r e 变换函数u 满足以下的二阶非线性偏微分方程组 fu i j v | f j = 一半 id e t ( u i j ) = v - 雨1 本文我们仅考虑m 具负常数相对仿射平均曲率l 0 的情形 一2 5 一 ( 2 7 ) 四川i 大学博士学位论文 记f = 而1 ，并让号粤 0 ，也就是一1 口 0 是一常数 根据第一章的讨论，下面的命题是成立的 命题2 2 边值问题( 2 8 ) 一( 2 1 1 ) 在一1 口 0 时有唯一的解( 札，v ) 沪( n ) n 伊( q ) 于是通过u 我们就可以构造具有常数相对仿射平均曲率l l 时是e u c l i d e a n 完备的 2 ，3 主要定理的证明 设q 是一具有光滑边界的有界凸区域不失一般性可设l = 罱这里口为一 常数，满足一1 口 o 我们首先考虑以下边值问题： 缸巧= 一l f q ， t = l pf 锄， d e t ( u o ) = v ”f q ， v = f 舳 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 由命题2 2 知方程f i i ( 3 。1 ) - ( 3 4 ) 存在一簇y ( u c ”，v c ) ) 让t o 我们将证明 存在一个极限函数u c ”( q ) n 伊( 晁) 满足( 3 1 ) 一( 3 3 ) 以下我们给l i l l u ( 。i ， y ( ) 及p ( ) 的一致估计的大概思路，具体参见第一章 ( 1 ) y ( ) 的估计 对任意的t ( 0 ，1 】，考虑函数f = l o g v ( 辞+ m 舒，这里m = 壶，d ：= d i a m ( f 2 ) 则 y ( 。) ( 2 回5 南( 3 5 ) ( 2 ) 卢的估计 假设 s o ( o ，c ) = 矧缸( f ) 四 一2 7 四川大学博士学位论文 是紧致的考虑函数 f = 唧 高卜 其中m 是待定常数易知f 在= 代l u c ) 的某内点p 处取得最大值取 m = 2 c 利用第一章的方法我们可以得到 唧 差) p _ e x p 畿) 背 一志， ( 8 6 ) 这里a 是一个常数由于( 3 6 ) 在点p 成立而f 在该点处取得最大值，因而在 昆( o ，c ) = 引让( ) c ) 上成立 ( 3 ) 1 u ( 的估计 通过加上一个常数，我们可以假设m l n 舳 讲= 0 ，利用第一章的方法，对 任意的t ( 0 ，1 】有 让。i 1 警m 一嘲n m + ( 2 d ) 涡 ( 3 7 ) 进一步的利用第一章的方法可得存在极限函数z , c 。( q ) n 伊( q ) 满足 ( 3 1 ) - - - - ( 3 3 ) 及( 2 1 5 ) 于是通过u 的l e g e n d r e 变换函数，构造的超曲面 m = ( z ，( z ) ) 具负常数相对仿射平均曲率l 0 是一个待定常数 如果在点取e 有i v u i = 0 0 ，这正是我们所需求的结果否贝j i g b ：= i v u ( 0 l o 。， 一2 9 四川大学博士学位论文 由t 的凸性及( 3 8 ) 式，我们可以得到 v l iu l r b + t后 ( 3 9 ) 在b 上构造一个凸函数也如下： 屯= g c 副i = 1 - 蚶垆瀚刊 屯= l & 一c g ) l n ( & + ) 一厶l n 驴+ ) 一， 这里我们要求r + t 1 ，于是 砬( ) = -