（基础数学专业论文）零关系dkoszul代数的hochschild上同调及其lie代数结构.pdf

中文摘要 摘要 设后是代数闭域，以是七上的零关系d 。k o s z u l 代数零关系d - k o s z u l 代数是一 类十分重要的代数，而代数的h o c h s c h i l d 上同调群在有限维代数的表示理论r f l 扮 演着十分重要的角色本文主要研究了零关系矗一k o s z u l 代数a = 尼互i ( 0 j 妄 1 的h o c h s c h i l d 上同调群的性质及截曲箭图代数的h o c h s c h i l d 上同调的l i e 代 数结构 首先，本文根据d - c o v e n n g 的定义给出了零关系代数a = 后磊i 是d k o s z u l 代数的充要条件并基于对b a r d z e i l 极小投射双模分解的细致分析，用 平行路的语言，清楚地计算出a = 七磊t ( 0 1 妄) 的各阶h o c h s c h i l d k l - a j i 周 群的维数 其次，截面箭图代数是一类特殊的零关系d k o s z u l 代数，本文利用a m e sg ， c a g l i e r ol 和t i r a op 构造的该类代数的约化b a r 分解和极小投射双模分解之间 的c o m p a r i s o n 映射，基于箭图的组合性质，描述了由极小投射双模分解定义的 的h o c h s c h i l d 上同调的g e r s t e n h a b e r 括号积 关键词：d k o s z u l 代数；极小投射双模分解；h o c h s c h i l d 上同调；截面箭图代数； g e r s t e n h a b e r 括号积；l i e 代数结构 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t l e tab eam o n o m i a ld k o s z u la l g e b r ao v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d 七m o n o - m i a ld k o s z u la l g e b r a sa r eac l a s so fi m p o r t a n ta l g e b r a s ，a n dt h eh o c h s c h i l dc o h o - m o l o g yg r o u p so fa l g e b r a sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t e d i m e n s i o n a la l g e b r a s i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ec o h o m o l o g yp r o p e r t yo fm o n o m i a l d - k o s z u la l g e b r a sa = 七乙1 ( 0 1 妄j d ) a n dl i ea l g e b r as t r u c t u r eo ft r u n c a t e d q u i v e ra l g e b r a s f i r s t l y ，a c c o r d i n gt ot h ed e f i n i t i o no fd - c o v e r i n g ，w eg i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i - c i e n tc o n d i t i o n so fm o n o m i a la l g e b r a sa = 七磊it ob ed k o s z u la l g e b r a s t h e nb a s e d o nt h em i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o no fac o n s t r u c t e db yb r a d z e l l ，w ec a l c u - l a t et h ed i m e n s i o n so fh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u po fa = k z e i ( 0 1 妄j d ) i n t e r m so fp a r a l l e lp a t h s s e c o n d l y ，t r u n c a t e dq u i v e ra l g e b r a sa r eas p e c i a lc l a s so fm o n o m i a ld k o s z u la l g e b r a s i nt h ep a p e r , b a s e do nt h ec o m p a r i s o nm o r p h i s m sb e t w e e nt h er e d u c e db a r r e s o l u t i o na n dt h em i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o nc o n s t r u c t e db ya m e sg ，c a g l i e r ol a n dt i r a or ，w ed e s c r i b et h eg e r s t e n h a b e rb r a c k e to nt h eh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yf o r t r u n c a t e dq u i v e ra l g e b r a si nt e r m so ft h ec o m b i n a t o r i c so ft h eq u i v e ru s i n gm i n i m a l p r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o n s k e yw o r d s ： m o n o m i a ld k o s z u la l g e b r a ；m i n i m a lp r o j e c t i v eb i m o d u l er e s o l u t i o n ； h o c h s c h i l dc o h o m o l o g y ；t r u n c a t e dq u i v e ra l g e b r a ；g e r s t e n h a b e rb r a c k e t ；l i ea l g e b r a s t r u c t u r e i l 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文巾特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识剑本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名：憾灭 签名同期：加习年罗月站日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文：在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名： 签名同期：沙四年歹月蟛同 导师签名 签名同期 第一章绪沦 第一章绪论弟一早三百t 匕 代数学作为数学的主要分支之一，是数学方法和思想的重要来源在近代数 学的发展中，数学的进步代数化已经成为。种趋势，到现在仍然保持着非常强 劲的势头如代数群是由于代数和拓扑的结合而产生的；交换代数促进了代数数 论与代数几何的发展：同调代数、代数几何使得微分拓扑进步发展 代数表示论作为代数学的r 个重要分支，它的研究对象辛要是代数的不可分 解表示和模范畴的整体构造代数表示论所关注的i 、u j 题足一个代数系统在向最空 间作用下的农示行为近年来，箭图表示的方法和技巧的创立，以及它们和群表示 论、l i e 代数、代数几何等的紧密联系，使代数表示论发展迅速 代数的同调与卜同调理论是2 0 世纪4 0 年代由拓扑学的一个分支发 展起来的，并且代数的h o c h s c h i l d 上同调理论是d 1h o c h s c h i l d1 9 4 5 年引入i l 】1 ， 经c a r t a n 和e i l e n b e r g 发展并逐步完善的同调代数分支吼它在有限维代数的 表示理论中起着十分重要的作用章璞继c i b i l s 和h a p p e l 后，在国际上较早的用 代数表示论的方法计算了代数的h o c h s c h i l d 同调与上同调群【3 - 6 1 ，从而把结构，表 示与( 上) 同调群通过组合数据联系起来首先介绍一下路代数，h o c h s c h i l d ( 上) 同 调群，d k o s z u l 代数及h o c h s c h i l d 上同调的l i e 代数结构的相关概念 1 1 路代数 本文中，k 表示代数闭域，以表示一个连通的有限维基本( b a s i c ) k 代数，则力 同构于一个由带关系的箭图( q u i v e r ) 定义的代数，即a 鲁k q i ，这里q 是以的箭 图，是q 的路代数七q 的一个允许理想 定义1 1 1 1 7 】一个箭图q = ( q o ，q 1 ；o ，t ) 是一个有向图，其中q o 是顶点的集 合，在这里是自然数集n 或者它的子集，q 1 是箭向的集合，o ，t 是关于q o 和q 1 之 间的映射，也就是说任何箭向在d ( ) 开始在( ) 结束， 对任意i q o ，我们称i 为q 的汇点，如果不存存以i 为起点的箭向；称i 为q 的 源点，如果不存在以i 为终点的箭向我们说q 是连通的，如果q 的基础图( 也就是 不考虑方向的无向图) 是连通的在q 巾，如果q o ，q 1 都是有限集合，就说q 是有限 的 q 中的一条非平凡的路是指箭向的序列z = l 2 ，m 1 ，并且t ( 耽) = o ( v i + 1 ) 对1 i m ，我们就说路z 的起点为d ( 幻) ，终点为( ) 通常用e i 来表 湖北大学硕士学位论文 示起点和终点都在i 上的平凡的路，通常符号o ( x ) 和t ( x ) 分别用来表示路的起 点和终点对于非平凡的路，如果o ( x ) = z ( z ) ，就称z 为一个有向网称只包含 一个箭向的有向圈为环( 1 0 0 p ) 路7 的长度2 ( 7 ) 是指，y 中箭向的个数，例如，若 7 = 1 忱的，则z ( ，y ) = 3 特别地，对任意i q o ，规定l ( e i ) = 0 设z = ：1a i m ， 其巾a i k 0 ，m q ，我们称z 为一致( u n i f o r m ) 的，如果存在a ，b q o ，使 得d ( m ) = a 且t ( - r , ) = b ，i = 1 ，2 ，t 箭图在代数表示论中起着十分重要的作用【8 】近年来，很多数学家开始利用 箭图来研究代数结构，例如，c i b i l s 和r o s s o 用箭图来研究h o p f 代数与量子群【9 1 0 ， 同时还用米研究测度论和s t r i n g 理论【1 1 , 1 2 】 定义1 1 2 【7 】设q 是一个箭图，我们定义q 的路代数k q ：七q 是以q 中的所有 路作为基构成的向量空间其中路饥，y 2 的乘法有如下定义 t l 9 1 7 2 ，y l 他= 【o ， 1 2h o c h s c h i l d ( 上) 同调群 当t ( 7 1 ) = o ( 他) 时； 当( 7 1 ) d ( 仇) 时 设以是域k 上的有限维结合代数( 含单位元1 ) ，并记以的包络代数为1 e ： 以叩。七a ，其中以叩是以的反代数设m 为有限维a - a 一双模，复形c 。= ( c ，孑) t z 定义如下： c = 0 ，v i 0 ， 其中以固i 表示后上的张量积以 以o o 1 ( 共i 次) ，映射由如下定义给出： 扩：m h o r n 七( a ，m ) ，mh 一，r n j ，其巾 一，m 】( o ) = a m m a ，a 以； 当i 1 时，孑：_ c i + i 由下述法则给出： ( d i f ) ( a 1 圆oa i + 1 ) = a l y ( a 2o a i + 1 ) i + ( 一1 ) 。f ( a l 。圆a j a j + lq 圆n ) j = 1 + ( 一1 ) + 1 f ( a 1 oa i ) o t + 1 ， 一2 一 第一章绪论 其c f c ，a lo 圆a + 1 以 ( + 直接代入验证可知d i + l d i ：0 由此定义 h h ( 以，m ) = h h i ( c 。) = k e r d i m d i 一，vi z 并称其为代数以的系数在m 中的第i 次h o c h s c h i l d 上i 一调群 特别地，当m = a 时，日日( 以) ：= h h ( 以，以) 为代数以的第i 次h o c h s c h i i d 上 同调群此上同调群为h o c h s c h i l d1 9 4 5 年引进【1 】 c a r t a n 和e i l e n b e r g 于1 9 5 6 巾在书【2 】中，利用h o c h s c h i l d 复形 一胖+ 1 ) 量以固t 吐鱼a 。a 立1 土0 ， 其中 + ( - 1 ) 。a i + l a lo o 锄) ， 给出了第i 次h o c h s c h i l d 同调群的定义： 日凰( 以) = k e r d i i m d i 一1 ，z 并证明了日日”( 以) = e x t 冀。( 以，以) ，日凰( 以) 竺x o # 。( 以，a ) 呈d e x t _ ，( 1 ，d ( 1 ) ) ，其 c o = h o m k ( 一，七) 因而，一个代数1 的第i 阶h o c h s c h i l d 同调群与卜同涮群也可 以利用导出函子来计算，即 h h ( 以) = e x 。( 1 ，1 ) ，h h i ( a ) = x o # 。( 以，以) h o c h s c h i l d 同调与卜同调理论，尤其是低维的同调群和上同调群在代数表示 论中具有| 分重要的作用：g e r s t e n h a b e r 证明了二阶上同调群h h 2 ( 以) 控制了代 数1 的彤变理论【1 3 1 ，而一阶上同调群日日1 ( a ) 与代数4 的g a b r i e l 箭图顶点的可 分性质如单连通性密切相关1 1 4 - 1 7 】，h a p p e l 等人证明了代数闭域上的有限表示型 3 一 + 毗 。 圆 + 吁 o p o 一 v ， 一 。m = + 吼 。圆 _ 吨 湖北大学硕士学位论文 代数是单连通的当且仅当它的a u s l a n d e r 代数的一阶上同调群为零【1 8 | 一般情况下计算代数的h o c h s c h i l d 卜同调群是比较困难的但一些特殊的代 数类，如有限维遗传代数【1 5 1 ，关于遗传代数上的例外序列自同态代数1 1 9 ，关联代 数 2 0 1 ，根方零代数2 1 ，截面代数【2 2 l ，具有n o r m e d 基的特殊双列代数【2 3 以及某些 外代数【2 4 】，零关系代数| 2 5 2 引，特殊双列代数的平凡扩张f 2 7 1 及某些对偶扩张代数【2 8 】 等等的上同调群的维数已经被计算 1 3d k o s z u i 代数 首先回顾k o s z u l 代数的定义i 2 8 】设a = a o + a 1 + a 2 + 是域后上的一个 分次代数若对于每个n 1 ，a 钆= a 1 a 。，则称以是由零次元和一次元生成的 用e ( 以) 表示y o n e d a 代数 e ( 刀) = 1 - ie x t ”a ( a o ，a o ) ， n o 这里乘法结构是通过y o n e d a 积给出的贝j j e ( a ) 是域k 上的一个分次代数其 中e ( 1 ) n = e x t 冀( a o ，a o ) 我们称一一个分次代数以是k o s z u l 代数，女i i 果它满足以下 三个条件： ( 1 ) 1 0 是域k 上的半单a r t i n 代数； ( 2 ) 以是由零次元和一次元生成的； ( 3 ) e ( 以) 也是由零次元和一次元生成的 其次，【旦i 顾一下d - k o s z u l 代数的定义设a = a o + a 1 + a 2 + 是分 次七一代数且由零次元和一次元生成( 即对r 所有0 i ，j d n p = 彰，碡l ，一，磁，磋，镌+ 1 ，磋，磋。，镌。+ 1 ，磋i i 。e d + i ，且对所有的正整数k ，有8 = 2 k 时，d ( i 2 k 一1 ，i 2 ) d 】， 证明由d - c o v e t i n g 的定义直接验证即得充分性下证必要性 设零关系代数a = k z e s 是d k o s z u l 代数，其中，= ( p ) ，p 是由某些长度 为d ( d 2 ) 的路组成的有限集合记a = ( - y f ，y ；) ，则一由集合a 生成 情形i ：当e d 时，假设，= ( p ) 篓j d ，则p 有如下情形 ( 1 ) p 仅包含一条长为d 的路，彳i 妨设p = 霄) ，1 i e 彳i 失一般性， 取i = l ，记盯= 一y = q 1 n 2 n 。，若d = m e + t ( m 1 ，1 t e ) ，则7 = q 1 q 2 q e f 7 m - - 1 a l a 2 q t ，即存在口= ( 7 m - 1 0 1 1 0 1 2 n t 满足一y i f = p q = q r ，则 有l ( q ) = d e ，从而l ( p q r ) = d + e 故谚必为p q r 中的了路，但是谚不属于p ，因 此p 不是d - c o v e t i n g 的，l 不是d k o s z u l 代数 ( 2 ) p 中至少包含两条长为d 的路，因为，三，从而有p a ，故存在谚，7 p ，使得i j ，j 一i 2 且，诅1 7 一，7 0 1 不属于p 不失一般性，取i = 1 ，则j 一 1 2 r y = a 1 q 2 a e o m - i q l q 2 ( 9 t ，7 72o 。j o l j + l o t e o r m - - 1 n 1 q 2 o q + j 一1 即存在q = + l 口。o m - i a l q 2 q 满足7 = p q ，y ? = q r ，则有t ( q ) = d j + 1 ，从而l ( p q r ) = 2 d t ( q ) d + 2 故程必为p q r 中的子路，但是谚不属 于p ，因此p 不是d c o v e t i n g 的，以不是d k o s z u l 代数 综上- 日j 得，当e d 时，若p 不是如( d k l ) 一( d k 3 ) 3 种形式的集合时，则存 在彰，啊p ，使得i 歹，2 歹一i 2 1 是由a p ( 2 ) i 拘路构造得出的更长的路组成的集合，则当p 为( d k 3 ) 情形时，有 ( a i ) 当i l = e d4 - 1 时，即p = 7 ，程，话d + 1 ) 时， a p ( 礼) 衍d ，管d 0 ，y p 抖1 ，y 岁川 0 扎为偶数且s e 一鸶d + 1 ； 咒为偶数且d e ； 礼为奇数且s e 一孚d ； n 为奇数且孚d + 1 e ( a 2 ) 当i l = e d + 1 一j 时，即p = ，y i f ，y g ，y 生d + 1 一ji1 j e d 一1 ) 时， a p ( n ) = 7 d ，谚n d ) o 7 p 抖1 ，伊抖1 ) 0 n 为偶数且s e j 一号d + l ； 竹为偶数且鸶d e 一歹； n 为奇数且s e 一歹一孚d ； n 为奇数且孚d + 1 e j ( a 3 ) 当1 i 2 七+ 1 一字d 一1 湖北大学硕士学位论文 下面通过文献1 4 4 1 给出的投射模之间的映射构造零关系d k o s z u l 代数以= 尼磊1 的极小投射双模分解 由文献 4 4 $ f l ，礼为奇数，p n a p ( n ) ，则s u b ( p n ) = 衍一，赡- 1 ) ，其中醇_ 1 a p ( n 一1 ) ( i = 1 ，2 ) ，p n = p ? 一1 r 5 = l ；赡一1 这时p n + 1 a p ( n + 1 ) ，s u b ( p n + 1 ) = 硝，赡，力) ，其中p n + 1 = o i p ? # i ( i = 1 ，s ) 定义：r _ r 一1 如下：若礼为奇数， 九( d ( 矿) o ( 矿) ) = l ； t ( p n ) 一d ( 矿) q 硝， 则我们可以得剑零关系代数以的极小投射以e 一分解 ( 只，)一r + 1 堂r 鸟皇岛鱼1 1 立p oj a 一0 因为r ：=ua o ( p ) ot ( p ) a ，故对于零关系d - k o s z u l 代数而言，r 是由路长 p e a p ( n ) 为x ( n ) 的路生成的，其中 小，= 摹川：麓 2 2h o c h s c h i l d 上同调群 这一节，我们将计算零关系d - k o s z u l 代数a = 七忍，的各阶h o c h s c h i l d 上 同调群的维数设x ，y 是由k z 。e r 的路组成的集合，记集合x y = ( 6 ，p ) xxy io ( b ) = o ( p ) ，t ( b ) = ( p ) ，且记k ( x y ) 为以集合x y 作为基的七向量空 间用函子h o m a e ( 一，以) 作用于以的极小投射以8 一分解( 只，) ，得到上同调复形 ( e ，砂：) o 一昂旦耳皇巧一一片一。蔓群堑群+ ，一， 其中r = h o m a e ( p 竹，以) ，蝣= h o m a e ( ，以) 一1 2 一 肛 p仇 。汹 | i + 驴p + 妒 d + 佗 痧 第二章一类零关系d k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调群 引理2 2 1r 竺k ( b a p ( n ) ) ，( n o ) ，月对任意的( 6 ，p n ) b a p ( n ) ， 当佗= 2 i + 1 ( i 1 ) 时， 镌+ l ( 6 ，p 2 ) = ( 口2 矿i ，p 2 州) 一2 肛1 ，p 2 件1 ) ， 这里p 2 + 1 = 如p 2 = p 2 i # 1j 3 _ p 2 + 1 a p ( 2 i + 1 ) 这里p 2 = o j b # j ，p 2 a p ( 2 i ) _ h p 2 一1 s u b ( p 2 ) 证明设1 8 为以的包络代数，由 彳= h o m a e ( r ，以) = h o m a r ( p n e a p ( 。) a o ( p n ) o 南t ( p ”) l ，a ) = ( 以。矿) o 忌t ) 以，以) 矿e a p ( n ) 笺h 。( 矿) 以t ( 矿) 笺k ( b a p ( n ) ) 可知b a p ( n ) 构成r 在k 上的一组基，且微分嫉可f h a 的极小投射双模分 解( p ，机) 中对应的微分得到所以昂竺k ( b a p ( n ) ) 口 由r b a u t i s t a 义章1 4 5 1 矢h 每个零关系代数都有固定的南道路组成的乘法基根 据引理2 2 1 ，利用r 竺k ( b a p ( n ) ) 计算可得如下结论 i = ei = e 引理2 2 2 昂= u 七耽，日= u 七吼，且n 2 时，有 ( 1 ) 当p 为( a 1 ) 情形时， 群= k 蝴嚣萎摹三：甚 ( 2 ) 当p 为( a 2 ) 一( a 4 ) 情形时，r = 0 定理2 2 1 a = 七磊j 是零关系d - k o s z u l 代数，且j = ( p ) 主j d ，其 1 3 兢 p 肛 6 巳 d 岸 | i 一 班 p t d 瓤 矽 湖北大学硕士学位沦文 中p 为( d k 3 ) 情形的集合，则d i m k h h o ( 1 ) = 1 ，d i m k h h l ( 以) = 1 证明凶为映射蛾如引理2 2 1 中所描述，得 西；= 一1l0o 0110 0011 00一1l l001 e e 咖：= 0 ( n 2 ) 则可知d i m k i m ：= r a n k ；= e 一1 ，r a n k * = o ( n 2 ) 又因为日h o ( 以) = k e r i ，日日”( 以) = k e r 蝣+ 1 i m 砂* ( n 1 ) 由引理2 2 2 可 得，d i m k p g = d i m k 矸= e 计算得d i m k h h o ( 以) = d i m k k e r 驴；= d i m k 昂一 d i m k i m ：= e 一( e 一1 ) = 1 ，d i m k h h l ( 以) = d i m 知 k e r ；i m ；) = d i m k 矸一 d i m k i m ；一d i m k i m ；= 1 口 最后我们计算得到代数1 的第n ( 礼2 ) 阶h o c h s h i l d 上同调群的维数 定理2 2 2 a = 七忍j 是零关系d - k o s z u l 代数，且j = ( p ) 妄j d ，其 中p 为( d k 3 ) 情形的集合，则 删= 三冀y 觥卧名勘= 掣“盹 证明 当凡2 时，由定理2 2 1 知蝣= 0 ( 1 ) 由引理2 2 2 知，当p = 7 ，7 9 ，证d + 1 ) ，且警= e 或警d + 1 = e 时，焉= 后，即d i m k p * = 1 ， 所以d i m k h h ”( 1 ) = d i m k p g d i m k i m 咖：一d i m k i m ：+ 1 = 1 ，否则片= 0 ， d i m k h h ”( 1 ) = 0 ( 2 ) 当p 为其它情形的集合时，r = 0 ，故d i m k h h “( 以) = 0 口 由定理2 2 2 知，当n = 2 时，d i m k 日日2 ( 以) = 0 ，由义献 2 5 】易知该类代数具有 冈i 卜陛 推论2 2 1 a = k z j s 是：零关系d - k o s z u i 代数，且j = ( p ) 妄j d ，其 中p 为( d k 3 ) 陆n 形1 2 的集合，则d i m k h h 2 ( 以) = 0 1 4 第二章截面箭图代数的h o c h s c h i l d 上同调的l i e 代数结构 第三章截面箭图代数的h o c h s c h i l d 上同调的l i e 代数结构 本章假设以是域k 上的截而箭图代数，即a = k q g 这章主要研究了它 的h o c h s c h i i d 上同调的l i e 代数结构本章规定态射的合成是从右到左的 3 1c o m p a r i s o n 映射 约化b a r 分解i 库l c i b i l sc 文献 2 0 】知，代数1 在以8 卜有一个比标准b a r 分 解小的投射分解，即约化b a r 分解令e 是q o 牛成的1 的极大半单子代数以作 为e e 双模有a 竺eor a d a ，记r a d a 固“是由n 个r a d a 在e 上张景而成代 数1 的约化b a r 分解如下，记为见( 以，以) ： 一刀 r n d a 圆n + 1 0 4 骂以o r n d 以跏圆以与与以o r n d a o a 马a o a 三a _ 0 ， 这里( q p ) = q p 令0 e 0 1 i i o 。】p = q o e q lo e 圆e q 。o e p ，则当扎i n 寸， 以e 映射由如下定义给出 礼一1 6 n ( q q ，i i q 竹】p ) = q q ， q 。i i q n 】p + ( 一1 ) q 【q t l i a t o t t + 1 1 i q n 】p t = 1 + ( - 1 ) n c li i o t n 一1 】q n p ， 其中o t ，p a ，o t r a d a ：l 圆：= o e 极小投射分解对于截而箭图代数，1 - 1 4 l o c a t e l ia c 文献【2 2 】知，它有 极小a e _ 投射分解，记为只( 以，4 ) 令= q o ，- p l = q 1 ，且当几2 时， r = 耽耽+ 1 v t + i 一1t = x ( n ) 且屹q 1 对所有i q o 其中 小，= 莘篇釜 当礼o 时，令后r 是f f l r 生成的e e 双模则代数a c j 极小投射分解p o ( a ，以) ： 。a o k f 。+ jo 1 驾a o k p n a 乌马a o k f j o 以马a o a 三以一0 ， 一1 5 湖北大学硕士学位论文 这里( qop ) = q p 当n = 2 i 时， 妒戮( a 。沈。 耽。p ) 2 q 三，1 忱吻。芝! ：竺。地+ 1 耽p ， j20(i-1)n+1 当几= 2 i + 1 时， 妒2 t + 1 ( q 圆v lo o l i n + 1o p ) = 0 f ) 1 沈v n + 1o p qqv l j 2 u n 圆阮+ m f l ， 其中q ，卢a ，耽q l 且o ：= e c o m p a r i s o n 映射现回顾a m e sg ，c a g l i e r ol 和t i r a oe 构造的截面箭图代 数的约化b a r 分解与极小投射双模分解之间的c o m p a r i s o n 映射【3 5 1 ： 一以or n d a 。n 垂k 以p w n | t # 。 一ao 尼roa血以 r n d a 固n 一1o k 1 一4 | p n 一1 惫r j 圆a 脚 图3 1 ao ，n d a 奎1p 肛枷 u l l t 肛u m p o 盯i d 一a k f lpa - 2 i aoa 王枷 在图3 一l 中，对任意n 0 ，交换图成立，即一l b n = o d n ，k = z n - 1 映射p ：p o ( a ，a ) _ r ( 以，a ) 由如下定义给m ：p o = i d ：a 圆a ao 以； 当孔1 时，令p = l v l 峻( 。) 】1 ao 七roa ，则有 蚴) = 1 吐。 肛2 t + a p ) = z 10 21 u t + z q 】 、，一 1 t ( n 一1 ) 一圭q j = 1 其中和项取遍所有的- t u p l e s ( x l ，z 2 ，幻) z 且使得1 x j ，铲，矿，旷，u n 由h o m a e ( 一，1 以) 分别作用在k ，w n 诱导而得取，h o m z c ( r a d a 肌，以) ，有b n ( f ) = ，6 h ，u n ( ，) = ，肛n ，取9 h o m e c ( 忌r ，以) ，彳亍妒“( 夕) = g q o 。，p “( 夕) = 9 “k 则不0 用图3 1 中交换图，可诱导得：对任意n 0 ，图3 2 中交换图成立，即u “扩。= 矿一1 u n 一，b n 一1 旷一1 = 矿矿易得u “旷= i d n 。m e ，( 七厂n ，以) ，从而得到u n 与旷足 拟同构映射 3 2 括号积 约化括号积类 4 2 1 ，我们可利用截面箭图代数以的约化b a r 复形 来定义h o c h s c h i l d 上i 司调的g e r s t e n h a b e r 括号积，即约化括号积印( 以，a ) ：= a ， 记形( 以，a ) ：= h o i i i e r ( r a d a 跏，以) 算子5 i 由如卜定义给出当n 1 ，双线性映 射 5 l ：舻( 以，a ) r m ( 以，a ) 一r ”+ m 一1 ( 以，以) 1 7 湖北大学硕士学位沦文 由如下形式给出： ，扎6 t g ”1o op n + m 一1 ) ：= 厂”( q 1o oq t 一1o7 r g m ( q ip 圆q 件m 一1 ) o a t + 仇o q n + m 一1 ) ， 这里映射丌：a _ r a d a ，f n 形( 1 ，1 ) ，g r m ( 以，a ) 且0 1 1 ，口n + m 一1 r a d a 我们注意剑9 叫 i 勺象不一定属t r a d a ，但是丌扩的象一定属于它 现我们类似可在 0 0 彤+ 1 ( 以，以) ：= or “( 以，以) n = l 上定义5 ： ，”5 9 ：= ( 一1 ) 扣1 m p l f ”5 g m i = 1 则利用5 定义的约化括号积 一，一】r 使得r + + 1 ( 力，a ) 具有分次l i e 代数结构，即有 f - , g m 】r ：= ，n 6 t g m 一( 一1 ) ( - 1 ) ( m - 1 ) g m o , f n 利用s ：i n c h e z f l o r e ss 的方法【4 2 l 可类似证明：当扩为约化b a r 复形用( 以，以) 上 的微分时， 扩+ m 一1 【，”，g ”】r ：= f “，b r a g ”】r + ( 一1 ) ( m - 1 ) b n f n , g 仇】r 因而我们在h o c h s c h i l d 卜同调群上可诱导一个括号积 【一，一】凡：h h n ( 4 ) h h m ( 以) _ h h “+ m 一1 ( 以) 因此，具有约化括号积的日日+ + 1 ( 以) ：= oh h ”( 以) 依然是分次l i e 代数 n = l 极小括号积先根据上面定义在彤+ 1 ( a ，以) 上的约化括号积，通过p n ，诱 导给出p + 1 ( 以，a ) ：= o 墨1p ( 以，以) 上的括号积，这罩称为极小括号积 为了定义极小括号积，我们预先以s t i n c h e z f l o r e ss 的方式给出它的定义由 双线性映射q 给出的算了记为p ，我们将用算_ 了的分次c o m m u t a t o r 来定义极小 括号积记尸“( 以，a ) ：= h o m e e ( 七r ，4 ) 1 8 第三章截而箭图代数的h o c h s c h i l d 上同调的l i e 代数结构 定义3 2 1 令n ，m 1 ，固定i = 1 ，n 则双线性映射 由如下形式给出： ：p 竹( 以，a ) p m ( 以，以) _ p 竹+ 一1 ( 以，1 ) f ”o i g ”：= ( f ”c o n s i g ”u 。) ( 肛竹+ m 一1 ) 对n ，m ，i 分奇偶进f i ：i , t 沦，可得到如下命题首先约定： 记0 1 1 0 1 2 o l n + m - - l 痧是路u l u 2 u x ( 。+ 竹l 一1 ) 的一种分解，使得1 【q 1 l q 2 1 i o l n + m - - m p 是# ( 1 u a u 2 u x ( 。+ m 一1 ) 】1 ) 的一个和项其中a i r a d a ，痧a ，u i 表示 箭向 命题3 2 1 令f 竹p “( 以，1 ) ，g ”p m ( 以，以) ，固定i = 1 ，t t 则 ( 1 ) 若n = 2 h ，m = 2 t ，则当i = 2 j 一1 时，仅当 ( | q 2j ，l q 4 i ，i q 2 ( _ i + t 一1 ) 1 ) = ( n 一1 ，n 一1 ，一1 ) 且1 7 r g 戳w 2 【q 巧一1i c r 2 j1 i o r 2 ( j + t ) 一l 】i = n 一1 时， f 2 h o i g 赳( u l u 2 u ( _ l + 一1 ) n + 1 ) ：= ，2 ( 忱 a l l q 2 l l q 2 ( j 一1 ) l n - 9 2 u 2 q 幻一1 l 口巧 否则为零 当i = 2 j 时，仪当 1 0 1 2 ( j + t 一1 ) 】q 2 ( j + t ) 一11 l o 2 ( h + t ) 一1 】多) ， ( 1 0 2 l ，i 口4 i ，j o r 2 ( h + t 一1 ) 1 ) = ( n 一1 ，一1 ，一1 ) 且f 丌9 2 。忱t q 巧i q 2 j + 1 l i c e 2 ( j + ) 】i = n 一1 时， f 2 h o i 9 2 2 ( t 正l u 2 u ( h + t - 1 ) + 1 ) ：= ，2 o ) 2 h o r l i q 2 l i q 巧一a l t r 9 2 2 u 2 t q 巧i q 巧+ l l 否则为零 i o l 2 ( j + t ) o t 2 ( j + t ) + ll l 口2 ( _ i l + t ) 一l i p ) ， 1 9 湖北大学硕士学位沦文 ( 2 ) 若咒= 2 h ，m = 2 t + 1 ，则当i = 2 j 一1 时，仅当 ( 1 q 1 i ，l q 巧一3 1 ，i q 巧一1 i ，l o e 2 j + 1j ，i q 2 ( + t ) 一1 i ) = ( 一1 ，一1 ，l 口巧一1i ，一1 ，一1 ) 且1 7 r 9 2 t + l l d 2 t + 1 q 2 j 一1i o e 2 j i l c y 2 ( j + t ) 一l 】i = 一1 时， n l f 2 h o i 9 2 ( u l u 2 乱( 脚) ) ：= ，2 ( 川q 2 i 蛔卜1 ) 1 7 r 9 2 州呦+ 1 1 0 2 j