（基础数学专业论文）几类差分微分方程的定性研究.pdf

i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw eh a ef b u rc h a r p t e r s ，f l r s t l y l w ed i s c u s st h en e u t r a ld i 色r e n c ee q u a 七i o nw i t hd e l a y 2 ( 管。+ h 。冒。一k ) + q 。，( 一f ) = o ，( f ) b yu s i n gt h en o n e x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o no f t h ed i f - f e r e n c ei n e q u a l i t y j w eo b t a i ns e v e r a ln e ws u 币c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e 0 8 c i l l a t i o no fa u8 0 l u t i o n 8o fe q u a t i o n ( ，) s e c o n d l y ，b yb u i l d i n gk e r n e lf l l n c t i o n ，w ei r l 、，e s t i g a t et h e o s c i l l a 七i o no fh i g h e r - o r d e rd i f 艳r e n c ee q u a t i o n 七一1 。( n ) + n i 4 z ( n ) + q ( n ) ，( 窖9 ( n ) ) 一e ( 礼) i = 1 t h i r d l v ，w ed i s c u 8 st h es e c o n d o r d e rn e u t r a ld i 丑e r e i l t i 出e q u a r t i o nw i t hv a t i a b l ec o e 伍c i e n t s 嘉( 绯) 一础) 她一州+ 酢) m ( t 一剐= o ( ) a n do b t a i ns o m en e wc o n d i t i o n 8f o rt h eo s c i l l a t i o no ra s y m p t o t i c b e h a v i o ro fe q u a t i o n ( j j j ) f i n a l l yw e c o n s i d e rak i n do fn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hi m p u l s e s ， j 。= ，( 。，。( 。) ，。( 。危) ) ， 。， ( ，y ) l z = ( z ) ， t = “ s u f 王i c i e n tc o n d i t i o nf b rb o u n d e d e n e s so f s o l u t i o n so f ( ) a r ee s 七a b 一 1 i s h e db yu s i n gi m p u l s i v ei n t e g r a li n e q u a l i t i e sw i t had e v i a t i o n o u rr e s u l t si m d r c f v ea n de x t e n dt h ek n c r w nr e s u l t si nr e l a 七e d 的振动性及渐近性 第四章讨论一类非线性脉冲时滞微分方程 主：瓣芦。“”誊 c 卅 i 。= 厶( z ) ，t = 、 7 的有界性 为了行文方便，现将本论文用到的基本概念叙述如下： “”表示向前差分算子，即z 。= z 。+ 1 一z 。；差分方程的一解 。| 基薹甲全羹鞘蓠滔囊薹霉釜霸槭；举亭釜薹经蠢登塞；妻毫i 酬函f 冀霉鋈篓警型薹蚕羹鬻受j 型摹。釜i 勤蕈：羹副；的应用价 值和理论意义，微 分方程和差分方程的定性理论已成为现代数学的重要分支，其思想和 技巧已渗透到其他应用数学分支，并推动了这些分支的发展( 如文： 1517】)。 三年来，我们几个同学跟随老师们学习微分方程定性理论与稳定 性理论、差分方程理论、泛函微分方程理论、脉冲微分方程理论等基 本理论，阅读现代文献，不断研习，有些心得 我们讨论了几类中立型差分方程及微分方程解的振动性、渐近 性，以及非线性时滞脉冲微分方程解的有界性，改进和推广了相应文 献中的一些已知结果现写成四章，权做毕业论文 o 第一章讨论二阶中立型差分方程 2(+九。一)+ 骱，( 一f ) = o(，) 本文用不同于 1 4 的方法，得到了其振动的充分条件 第二章讨论高阶中立型差分方程 b一1 。( n ) +n i 2 。( n ) + g ( n ) ，( 。( g ( n ) ) ) = e ( 佗)( j ，) 2 1 + 。 建立其振动的判定准则 第三章研究一类二阶中立型微分方程 的振动性及渐近性 第四章讨论一类非线性脉冲时滞微分方程 主：瓣芦。“”誊 c 卅 i 。= 厶( z ) ，t = 、 7 的有界性 为了行文方便，现将本论文用到的基本概念叙述如下： “”表示向前差分算子，即z 。= z 。+ 1 一z 。；差分方程的一解 。) 称为最终正解是指存在正整数m ，使得扎m 时有z 。 o ； 若存在正整数m 使得当礼m 时，有z 。 o 当且仅当u o ； ( c 4 ) 存在连续函数妒：兄一r 单调不减，仳妒( u ) o 当且仅当 珏o ；且 妒( “+ 钉) f f ，( u ) + ，( 秽) ，乱- 可 o ( c 5 ) 存在连续函数u ：( o ，) 一( o ，。) 满足l ，( 仳- u ) l u ( u ) i ，( u ) i ，札 o ，u r 。 方程( 1 1 1 ) 的一个非零解 ) 称为振动的，如果对于任意 n o ，总存在n ，使得+ l 0 ，否则就称为非振动的 根据上述定义，( 1 1 1 ) 的一个解 跏) 如果是非振动的，则它最 终为正或是最终为负 本章结果的证明需要下面引理： 引理1 1 1 若2 。+ _ 厂( z 。一) = o ， o ，茁。，( z 。) o ，( 几一 o 。) ，差分算子z 。= o 。+ l z ，；，则当 0 ，2 0 。 o 3 4 证明：不妨令z 。 0 ，a 0 使得z = 一n ，因为2 。 时有。n 一。一1 一a 因而 翰( 几 i = v ) ( 一o ) z 。一z s ( 几) ( 一) ， 。z + ( n 一) ( 一) 当n - 。时，。_ 一。与z 。 0 矛盾故刃。 0 ，引理得证 1 2主要结果 在这一节，我们应用第一节的引理，建立方程( 1 1 1 ) 所有解振 动的新的充分条件 定理1 2 1 假设( c 1 ) 一( c 5 ) 成立，如果存在h o ，o 几。时z 。 o ( 1 1 1 ) 式转 化为 2 z 。+ ，( 一f ) = o ( 1 2 3 ) 由2 。 o ，据引理知z 。 0 ( 1 2 3 ) 式从s 到忱一1 求和得 n 一1 z 。一= 一g 。，( f m f ) f n = 3 。= z 。+ ，( 鳓# ) ， 7 n = ：8 因此当竹_ 。时有 o 。o 。 。= z o 。+ 吼i 厂( 玑一f ) q s ，( 执一z ) 8 = s = n 对任意大的佗 礼。我们有 因此 。a 。q 。，( 可。一z ) + ( 1 k ) q s ，( 虮一1 ) s = n8 = 砧 o 。o 。 = 九吼，( 驰一z ) + ( 1 一k 一) 啦一女，( 舶一k f ) s = 几 s = n + 七 o 。o 。 q 。，( 纨一z ) + q 。u ( k 1 ) ，( 纨一一1 ) 8 2 竹+ 后s = n + 南 o 。 q 。【，( 弘一2 ) + ，( 一l 材。一 f ) j s = 忆+ 七 。 q 。妒( 玑一z + 一f 纨一一f ) s = + 惫 o 。 = q 妒( 一2 ) 。 z 。q 。妒( 乳一f ) 8 = 礼+ 矗 o 。 z 。一z 。一l q 8 妒( 。一1 ) s = 擂+ 七一18 = ”+ 盘一l 令= 墨。q 。妒( z 。一f ) o ，z 。 锄+ 一h q 。妒( 。一1 )篡q 第二章一类高阶差分方程的振动准则 2 1引言 随着生物数学、医学、数值分析、计算机科学等的迅速发展，提 出了许多由差分方程描述的数学模型，因而对差分方程定性理论的研 究吸引了许多研究者的关注，如文 6 9 l ，我们运用核函数来研究高阶 差分方程 七一1 2 z ( 礼) + 啦2 z ( n ) + q ( n ) ，扛( g ( n ) ) ) = e ( 佗) ，( 2 1 1 ) = 1 其中n l 为实常数，七1 为整数，g ( 礼) ，( n ) ，e ) 为实值函 数， 礼，( n ) o 当且仅当n o ，且l i m 。_ o 。9 ( n ) = o o 通常称( 2 1 1 ) 的非零解z ( n ) 振动，如果对任意的 n o 总有n 使得z ( n ) z ( n + 1 ) o ，否则称为非振动的 根据上述定义，( 2 1 1 ) 的一个非零解z ( n ) 如果是非振动的，则 它最终为正或最终为负 称函数日( n ，s ) 为核函数，如果有 ( 日j ) 日( 佗，佗) = o ，札o ；日( 礼，s ) o ，n s o ( 吼) h i ( n ，s ) = ( 一1 ) 。4 h ( n ，s ) ， 日( 礼，s ) = 。日，s ) 一日，s + 1 ) 一日加，s ) ( b ) ( 扎，凡) = o ，i = o ，1 ，n 1 ( 风) 黜= o ( 1 ) 扎一。o ，江o ，1 ，礼一1 2 2 振动性 在这一节，我们建立方程( 2 1 1 ) 所有解振动的几个新的充分条 7 8 定理2 2 1 假设日( n ，s ) 满足( 研) 一( 凰) ，q m ) 2o ，o = 1 ，警1 n i ( 礼，s ) o ，n ，) o 当且仅当佗o 且 1n 1 呱密南三日( ”) e ( s ) 一。o ( 2 驯 成立，则( 2 1 1 ) 振动。 证明；令z ) 为( 2 1 1 ) 的解，茁) o ，。( 9 ( n ) ) o ，n ( 2 1 1 ) 式两边乘以日( n ，s ) 并从。到n 求和得： 日( 礼，s ) ( ( s ) + o 。t ( s ) ) + 日( n ，s ) g ( s ) ，( z ( g ( 8 ) ) ) s = 0i = ls = o 扎 = 日( 礼，s ) e ( s ) ，( 2 2 2 ) 8 = o 因为 日( n ，s ) z ( s ) = 日( 咒，s ) 扛1 z ( s + 1 ) 一日( n ，s ) 扣1 z ( s ) ， 上式依次取s = o ，1 ，2 ，扎再将这咒+ 1 个式子相加得： h ( n ，s ) 。( s ) = 一日( n ，o ) i 一1 z ( 0 ) + 一1 z ( s + 1 ) 九l ( n ，s ) ， s = 0s = 0 同理有 一1 。( s + 1 ) 1 ( 佗，s ) = 一 1 ( n ，o ) i 一2 茁( 1 ) + i 一2 z ( s + 2 ) 2 ( 礼，s ) 最后由迭代法易得 日( 礼，s ) i 。( s ) = 一h ( 佗，o ) 扛1 茁( o ) + 扣1 z ( s + 1 ) 危l ( 礼，s ) s = 0 s = 0 t 一】 = 一日( 扎，o ) h z ( o ) 一( n ，o ) 一一1 z ( j ) j = 1 扎 + ( n ，s ) 茁( s + i ) ， s = 0 又由? ：】= o ，n k = 1 有 n七一1 日( n ，s ) ( 。z ( s ) + o i 。茁( s ) ) s = 0 = l n七 = 日( 佗，s ) 【o i 4 z ( s ) 】 s = 0 = 1 七n = 凸t 日( 礼，s ) 2 z ( s ) i = 1s = 0 ：圭口i - 日( 礼，o ) i 一- 茁( o ) 一萎，。( n ，o ) t = 1j = l 一卜1 2 0 ) + ( 佗，s ) z ( s + i ) 】 s = 0 = 一日( 礼，o ) o t i 一1 茁( o ) 一( n ，o ) n i kkl j = 1 l ；lj = l kn 一j 。z ( 歹) + n i 纸( 几，s ) z ( s + i ) t = 18 = 0 如 知i 一1 ：一日( 忆，o ) o i 仁1 z ( o ) 一( n ，o ) o t n 月 一j 一1 2 0 ) + 吼觑( 佗，s ) 。( s + i ) 】， ( 2 2 3 ) 8 = 0 t = 1 ( 2 2 3 ) 式代入( 2 2 2 ) 式并且两边同时除以日( n ，o ) 得 面b 薹日c 礼e c s ，= 一查啦岔1 z c 。，一壹薹镁器 啦卜卜1 。( j ) + 南磊曙啦( ) 茁( s + i ) 】 + 南磊日( 叩) q ( s ) m ( 9 ( s ) ) ) 上式两边取下极限，n 一。又利用( 日4 ) ，n ，( n ) o ，n o 得到与 f 2 2 ，1 ) 式矛盾，定理证毕 若定义 1 0 日( 礼，s ) = ( 礼一s ) ( p ) = ( n s ) ( 竹一s + 1 ) ( n s + 卢一1 ) 其中卢 1 ，卢则 日( n ，s ) = 。h ( n ，s ) = 一p ( 竹一s ) 妒一1 ) h ( n ，s ) 满足( 风) 一( 上 ) 因此我们有 推论2 2 1 如果g ( n ) o ，啦o ，i = 1 ，2 ，竹一1 ，坠1o ( n ，s ) 0 ，佗，( 竹) o 当且仅当佗0 ，且 l 骢酗南叠( 礼_ s ) ( 几) = 一o o 则方程( 2 1 1 ) 振动 第三章 变系数二阶中立型微分方程的振动性和渐近性 3 1引言 微分方程是一个比较理想的数学模型，而中立型方程是一类形式 相当广泛的泛函微分方程，有着广泛的应用背景， h a l e 6 0 】，郑祖 庥 6 1 】等学者的著作中给出了许多应用实例例如，中立型方程方程 在高速计算机连接开关电路的无损耗传输线网络中有着其实际应用背 景，因而，对于中立型方程解的振动性和渐近性问题的研究已有许多 结果， b a i n o v 和m i s h e v 【6 2 】，e r b ek o n g 和z h a n g 6 3 】已 在专著中给出了很好的总结二阶中立型微分方程的振动性目前成果 很多如 5 5 ，5 7 ，5 9 ，6 垂6 6 】本文考虑二阶中立型变系数微分方程 一2 泰( 掣( t ) 一p ( t ) 可( t 一下) ) 十g ( ) m ( t d ) ) = o ， ( 3 1 1 ) 它满足如下条件： ( 历) q ( t ) g o ，o o ) ，( 可) g 。( 一。o ，o 。) ，g ( t ) o 且最终不恒 为零 ( 。日j )可，( 可) o 当且仅当掣o ， ( 月r 3 )o o ，p = m a x ( 7 _ ，6 ) 注意当t 一j 9 ，o 】时，可( t ) 三西( t ) ，咖( t ) 定义在 一p ，o 上是 初始函数 如果( 3 1 1 ) 的解可( t ) 有一个无穷大的零点，则称y ( t ) 是振动 的 我们受5 8 1 的启发，利用了广义r i c a t t i 变换等技巧进一步 研究了( 3 1 1 ) 的振动性和渐近性，事实上 5 7 仅考虑了o p ( ) = p o 当且仅当可o ，厂( 可) o o 0 当且仅当可o ，+ ( 可) 0 且 。 o ，聍幻( t ) 巩= 。，即( 3 1 3 ) 满足定理1 的条件，但是方程 ( 3 1 3 ) 存在非振动解掣( t ) = e _ 2 例3 1 2 【5 6 】考虑方程： ( 。( t ) 一；z ( 一1 ) ) ”+ e 。茁( t 一1 ) = o ，t 1 ( 3 1 4 ) 它的解振动或者渐近趋向于零但是( 3 1 4 ) 满足定理2 1 4 选定正整数m ，使得s 。= s o + m 7 _ 2 ，则对任意正整数南，由 ( 3 2 5 ) 式可得 可( s m + 南)p ( s m + 南) 可( s m + 七一1 j 一 p ( s m + 七) p ( s m ) 可( s m 一1 ) 一血 1 + p ( s m + 七) + p ( s m + 南) p ( s m + 七一1 ) + - + p ( s m + 岛) p ( s m + 七一1 ) p ( s m + 1 ) 。旦p ( s m + i ) 州) 一。【高+ 而飘磊卜。z 2 uf 、，r 、o ” l 一 一l p ( s m ) p ( s m + 七) + 由( 3 2 1 ) 可知掣( s 叫一k ) o 或z ( t ) o 即情形一或者情形二成立引理证毕 3 3主要结果 定理3 3 1 ：设( 研) ( 飓) ( 3 ) 成立，且，( 拶) o ，存在o p 1 1 使得o p ( t ) p 1 ，且有 。 o ，使得t 矿时有： 情形一： z ”( ) s0 ，z7 ( t ) o ，z ( ) o ，t 上式表明 熙可( ) = o 定理证毕 定理3 3 2 ：设( 上h ) ( 上毛) ( 上如) 成立，且存在o p 2 1 使得 o p ( ) p 2 如果 ”幻( ) 以 1 一z ”s q ( s ) ，( 可( s 一6 ) ) d s + z ” 1 一l 上o 。s g ( s ) d s 一半 地 2 1 7 又 功1 + p 2 比叫1 + 戋= 击舵p故 ；奶去舵针p 容易验证：当t o t t o + p 时上式亦成立所以t y y 另一方 面，由( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 得 t 可l ( t ) 一t 可2 ( ) i p ( t ) i 1 ( t 一7 - ) 一可2 ( 一7 i ) i+ l o o s g ( s ) i 掣1 ( s ) 一可2 ( s ) l d s p 。慨一沈忡字慨啪= 半。纩姚t 独十p 当t o t t o + p 时，由上式知i t 可1 ( t ) 一t 掣2 ( t ) i 三芝? 翌i l 可1 9 2 所以。 it可1一t耽i兰?翌ii掣1一可2m 由于o p 2 1 ，o 挚 1 所以t 有一个不动点可y 满足 t 可= 可，可( t ) 为( 3 1 1 ) 的解，且有可( t ) j 定理证毕 定理333：设(研)(上如)(风)成立，且，(可)o，存在op31使得0 p ( t ) p 3 ，且有。m，厂m ) q ( ) 砒= o 。( 3 3 9 ) (3310) ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 1 5 ) 从到t 积分( 2 ( 巧+ 如) 得。 肌咖( s ) d s 。矿志一2 高 s 2 扩 高 ( 3 3 1 6 ) 一 j o ，( 可) l “ 由( 3 3 9 ) 知，当t 一。o 时，( 3 3 1 6 ) 与( 3 3 1 1 ) 矛盾所以情形一 不可能 如果情形二成立，类似于定理3 3 1 的证明，由( 3 2 2 ) 得 可( t ) ” ( 。+ n 。r ) 赡( ) p 俨恶毪五+ ，掣( ) ， + + t 矿+ + 7 - ) 上式表明 熙可( t ) = o 定理证毕 例3 3 1 ：考虑方程 ( z ( t ) 一；z ( t 一1 ) ) ”+ ( ；一1 ) e 。一2 ，( z ( t 一1 ) ) = o ， ( 3 3 1 7 ) 其中，( ) = 2 ， o ；，( 可) 一一2 ，o ，满足定理3 3 1 事实上， 方程( 3 3 1 7 ) 有非振动解，如。( t ) = e ，l i 地_ + 。e 一= o ，或者存在振 动解 例3 3 2 ：考虑方程 b ( t ) 一掣】”+ q ( t ) ，( 可( t d ) ) ：o ，( 3 3 1 8 ) 其中掣 o 时，b ) = 尚，可 o 当且仅当可0 ，( 剪) o ，且条件( 3 3 1 ) 和 ( 3 3 2 ) 成立， o p o 当且仅当可o ，又，7 ( 可) o 同时( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) ( 3 3 1 1 ) 成立，0 p 1 ，则方程( 3 1 2 ) 的解振动或者趋向于零 第四章 非线性脉冲时滞微分方程解的有界性 4 。1引言及引理 在过去4 0 年中，有关滞后型微分系统解的有界性已有了不少讨 论 6 7 0 】从现有文献来看，主要工具是l i a p u n o v 方法 6 7 6 9 】 或比较原理 7 0 j ，但是带有脉冲的非线性时滞微分方程解的有界性问 题的研究，目前成果尚不多本文将利用时滞脉冲积分不等式来讨论 一类非线睫脉冲时滞微分方程解的有界性 考虑非线性脉冲时滞微分方程 。= ，( 。，z ( 。) ，z ( 亡一 ) ) ， 。t ， ( 4 1 1 ) i z = 磊( z ) ，t = 如 、7 其中南= 1 ，2 ，3 ，t 1 t 2 t 3 - 如 o ，z ( t k ) = 嚣( t 吉) 一$ ( t k ) ，f t = t ：屯 t t o ，t t o 一九，o 】 其中九 o ，m o ( i = 1 ，2 ，3 ，) 为常数 那么有下列不等式成立 卢( t ) + 正c ( s ) 妒( s _ 危) d 引，旦，( 1 + 讯) e 印( 厶6 ( s ) d s ) ，t 阶o + 嘲，。5 0 o t k 。d p ( t ) b ( ) + f 如+ 6c ( s ) 妒( s 一九) d s ( 1 + 协) 。0 t 0 t 如+ 4 2主要结论 定理4 2 1 假设 1 )存在函数 俄 叩( j ，r + ) ，m a 印( ，r + ) ，f g i 叩( ，r + ) 和数列 讥 ，协o ，使得 i ，( t ，z ，。( t 一九) ) ls2 ( ) + ( t ) l 。i + 仃b ( t ) l 。0 一九) l ， l ( z ) is 协，七= 1 ，2 ，； 2 ) 存在妒：使得当t t o 一 ，o 时，。( t ) = 妒( t ) ，妒g ( t o 一 九，t o 】，r + ) ； 3 )茫1 讥 o 。，j 署f ( s ) d s 。，群 p ( s ) + m ( s ) d s 。o ； 则方程( 4 1 1 ) 满足z ( t o ) = 妒。的解z ( t ) = 。( t ，t o ，垆o ) 在 t o 一 ，+ ) 上有界 证明：显然，由条件2 ) 知，当t f t o 一 ，t o ) 时z ( t ) = 妒( t ) 有 界，下面证当t 。) 时z ( t ) 有界 ( 4 1 1 ) 式两边从t o 到t 积分得： 。( t ) = 酬+ m ，槲z ( s 一危) ) d s + 如丢 。 删 由条件1 ) 2 ) 得 i z ( ) l t ( t o ) + 坛f ( s ) d s + j 乏 ( s ) i z ( s ) d s + j 乏m ( s ) l z ( s 一 ) i d s + 。 “ t 讥l z ( “) l ， t o ) ， i z ( ) i 妒( t ) ，t 亡。一 ，t o 】 据引理4 1 1 知 茁( t ) i 陋( 如) + f ( s ) d s + z m ( s ) 妒( s 一 ) d s 】 n ( 1 + 讯) e 印( f u ( s ) d s ) ，t t o ，如+ 乩 ( 4 2 1 ) t o “ 如+ 九 t o 缸 0 ，使得 z ( 幻) + f ( s ) d s + m ( s ) 妒( s 一 ) d s 尬- ， 又因为融1 讥 所以 ( 1 + 讥) 。o o “ o 使得 ( 1 + 讥) e 印( f ( s ) d s ) = e z p ( f ( s ) d s ) ( 1 + 讥) 尬2 ， t 0 t k t 。o。o t 0 t 女 故) i 尬l - 尬2 = m b ) 当t ( t o + 九，+ 。) 时，因为露f ( 8 ) d s 0 使得 ) + 鬈j ( s ) d s + 0 + “m ( 鲥( s 一危) d s l 尬- ， 由条件( 3 ) 知 名u ( s ) d s + + 。m ( s ) 如= 0 + “口( s ) d s + + 。( u ( s ) + m ( s ) ) d s 0 使得 ，婴，( 1 + 协) e 印( 鬈口( s ) 如十+ m ( s ) d s ) 尬2 ， o “ 。如4 o 十。6 从而i 。( ) l l 尬2 = 尬，取m = m n z 尬，尬) ，有i z ( t ) i m ，t o 因此定理得证 例4 2 1 考虑脉冲时滞微分方程 fz 币) = 警+ 掣，靠，七= 1 ，2 ， 。= 警， 扛“，七= 1 ，2 ，( 4 - 2 3 ) iz ( t ) = t ， o ，1 】，t o = 1 + l 巾删，础- 1 ) ) l 去+ 掣+ 唑型，讥= 吉 满足定理条件，故方程( 4 2 3 ) 满足z ( 1 ) = 1 的解z ( ) = 茁( ，1 ，1 ) 在 0 ，。) 上有界 2 6 1 9 c h u a n x ig a n dl a d a sg ，0 s c i l l a t i o no fd i 如r e n c ee q u a t i o nw i t h p o s i t i v e 龇1 d1 1 e 廿 a t i v ec o e m c i e n t s ，讹e m 。“c hr c o o n i 砂4 4 ( 1 9 8 9 ) ，2 9 3 3 0 9 2 0c l l e n m pa n dz h a n g b g ，o s c i u a t i o na n dc o m p a r i s o nt h e o r e m so fd i f f e r e n c e e q u a t i o n sw i t hp o s i t i v e8 n dn e g a t i v ec o e m c i e n t s ，b 缸f f e t 讯0 ，t e 如捌t e 吖埘。地 d e m 缸s i n 缸2 2 ( 4 0 ，( 1 9 9 4 ) ，2 9 5 3 0 2 1 z h a n g b g 粕dw h n g 王l ，t h ee x i s t e n c eo fo s c i l l a t o r y 蛐dn o n o s c i u a t o r ys o l l u t i o n s o fn e u t r a ld i 船r e n c ee q u a t i o n s ( 硫伽e s ez 扎冼2 4 ( 4 ) ，( 1 9 9 6 ) ，3 7 7 _ 3 9 3 2 2 c h e i l m p ，l a l l i b s a n dy h j s ，o s d l l a t i o ni nn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n s w i t hv a r i a b l ec o e 伍c i e n t s ，竹印e 邢肘。玩以卯如c 2 9 ( 3 ) ，( 1 9 9 5 ) ，5 - 1 1 2 3 y uj s a n dw 咄z c ，a b y m p t o t i cb e h 肌i o ra n do s c i l l a t i o ni n d e l a yd i 髓r e n c e e q u a t i o n s ，j k n c e 枷o c 3 7 ( 1 9 9 2 ) ，2 4 1 - 2 4 8 2 4 a g a r w a lr p ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n di n e q u 8 l i t i e s ：吼m 讹冼础，日n da 即如一 “o n s ，肘n 他“d e 触e q 叫庙( 1 9 9 4 ) 2 5 g y 6 r i ia n dl a d 硒g ，o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd e l a yd i 舶弛n t i a le q u a t i o n sw i t h a p p h c a t i o n s ，a o 删o np m 卵，0 咖喇( 1 9 9 1 ) 2 6 i k l g x i h ，y h j s 蛆dp e n g d h ，o s c i l l a t i o na n d n o n 0 8 d l l a t i o no fn e u t r 础d i 乱r - e n c e e m l a t i o i l sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e m c i e n t 8 ，c b 竹中e 珊肘。地 卯“c ，3 9 ( 2 0 0 0 ) 1 6 9 - 1 8 1 2 7 l a n ib s ，z h a n gb g a n dl ij z h ，o nt h eo s c i l l a t i o no fs o l u t i o n sa j l de x i s t e n c co f p o s i t i v es 0 1 u t i o n so f n e u t r a id i 肋r e n c ee q u a t i o n s ，上肘。执a n 以a 即f ，1 5 8 ，2 1 3 2 3 3 ( 1 9 9 1 ) 2 8 l a l l ib s ，z h a n gb g ，o ne ) c i s t e n c eo fp o s i t i v e8 0 l u t i o n sa n db o l l n d e do s c i l l a t i o n f o rn e u t r 出d i 行e r e n c ee q u a t i o n s ，j 肘o t 且n 0 1 a p 以，1 6 6 ，2 7 2 2 8 7 ( 1 9 9 2 ) ， 2 9 y 0 r ii ga n dl a d a sg ，0 s c i a t i o nt h e o r yo fd e l a yd i 雎r e n t i a le q u a t i o 璐w i t h a p p l i c a t i o n m 】，a n 僧n d o nm 舢，0 笔，d r d ，1 9 9 1 3 0 e r b el h ，k o l l gq k 舳dz h a n gb g ，o s c i l l a t i o nt h e o r yf o rf u n c t i o n a ld i & r e n t i 出 e q u a t i o n 【m ，肘o r c e fd e 触e n 血c 魄j 七，1 9 9 5 3 1 张广，高英，差分方程的振动理论 m 】，高等教育出版社，2 0 0 1 3 2 z h a l l g z a n dl iq ，o s c i l l a t i o nt h e o r 唧sf o rs e c o n d - o r d e ra d v a n c e df u n c t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ，盯妒让t e 邶m o 砘a 即“c ，3 6 ( 1 9 9 8 ) ，1 1 一1 8 3 3 z h a n g z a n d z h a n g j ，o s c i l l a t i o nc r i t e r i a f o r s e c 帆d - 0 r d e r f u n c t i o n 础d i 艉r e n c ee q u a - t i o n sw i t h ”s u m m a t i o ns m 出l ”c o e m c i e n t ，唧u e 邝 妃撬a p p 托c ，3 8 ( 1 9 9 9 ) ，2 5 3 l - 3 4 z h a n g bg a j l dc l l e n gs s ，0 8 c i l l a t i o nc r i t e r i aa dc o m p a r i s i o nt h e o r e m sf o rd e l a y 2 7 d i 怕r e n c ee q u a t i o n s ，胁c 赴n 拓 妃如。，2 5 ，1 3 - 3 2 ( 1 9 9 5 ) 3 5 z h 粕gb g a n dz h o uy ，o s c i l l a t i o a n dn 咖o s c i l l s t i o nf o rs e c o n d _ o r d e rl i n e 盯d i f _ f 盯e 1 1 c ee q u 札i o n s ，g d 妒t e 他朋。琥a 即f t c ，3 9 ( 2 ) 0 ) 1 - 7 3 6 z h o u y ，o s c i l l a t i o n so f h 培h e r _ o r d e r l i l l e 盯d i 艉r e n c e e q u a t i o n s 【卅，c 饥叩u e 憎 缸讥 j 4 即“c ，4 2 ( 2 0 0 1 ) 3 2 3 3 3 1 3 7 张炳根，杨博，非线性高阶差分方程的振动性，数学年刊，2 0 a ：1 ( 1 9 9 9 ) ，7 1 _ 8 0 3 8 刘玉记，奇数阶中立型差分方程的线性化振动性m ，高校应用数学学报a 辑，2 0 0 2 ，1 7 ( 1 ) ：3 7 _ 4 2 ， 3 9 | i 弛x h ，y uj s ，a f u r t h e rr e s u l to nt h e0 s c i u a t i o no fd e l a yd i 艉r e n c ee q u a - t i o n 8 ，埘妒让t e 舟a f 0 地a p p “c ，3 8 ( 1 9 9 9 ) 2 2 9 - 2 3 7 4 0 t a n gx h ，c h e n gs s ，a no s x i u a t i o nc r i t e r i af o rl i n e 盯d i 髓r e n c ee q u a t i o 瑚w i t h o s c i a 七i n gc o e m c i e n t 8 ，仇p u a 卯l 埘n 琥，1 3 2 ( 2 0 0 1 ) 3 1 9 3 2 9 4 1 t 眦g x hz h a j l g r y ，n e w 0 s c i l l a t i o nc r i t e r i a f o r d e l a y 出f f e r e n c e e q u 8 t i o i l s ，仃巾栅 m n 矾a 即托c ，4 2 ( 2 0 0 1 ) 1 3 1 9 1 3 3 0 4 2 s h e nj h ，l u ozg ，s o m e0 s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rd i n b r e n c ee q u a t i o i l s ，( 1 d m p e 邶 m 赫a p 幽c ， 4 0 ( 2 0 0 0 ) 7 1 3 7 1 9 4 3 l u o z g ，s h e nj h ，n e w 瑚u l t s 五。r o s c i l l a t j o n0 f d e 】a y d i f f e r 印c ee q u a t i o n b ，唧 t e 邢 m o h a p p 比，4 1 ( 2 0 0 1 ) 5 5 3 5 6 1 4 4 n i l g x h ，o s c i n a t i o no f n o n l i n e a r d e l a y d i 胁e n c e e q l l a t i o n s ，m 口玩 竹n l 即f ，2 4 9 ，4 7 6 4 9 0 ( 2 0 0 0 ) 4 5 7 工铀gx hj y hj s ，o s c i l l a t i o no f d e l a yd i 矗色r e n c ee q u b t i o n si na c r i t i c a ls t a t e ，a 即觇d m 口t ；e t t e r s ，1 3 ( 2 0 0 0 ) 9 _ 1 5 4 6 t a n gxh ，y uj s ，0 s c i l l a 土i o no fd e l a yd i 虢r e n c ee q u a t i o n s ，跏七七口t d 。n 地，f 2 9 f 2 0 0 0 ) 2 1 3 2 2 8 4 7 g x h ，y ujs ，o s d l l a t i o n o f d d a y d i 疗e r e n c ee q u a t i o n s ， 节让 e 憎肘n t 即托c ， 3 7 ( 1 9 9 9 ) 1 1 2 0 4 8 唐先华，具有变系数差分方程解的振动性，中南工业大学学报，v 0 1 2 9 ，n o 3 ，j u n e 1 9 9 8 4 9 lj s ，t h n gx