（固体力学专业论文）一类多自由度非线性振动系统的新解法.pdf

论文题目：一类多自由度非线性振动系统的新解法 专业：固体力学 申请人：王鹏 指导教师：黄颟彪副教授 摘要 本文首先较系统地总结了求解非线性振动系统的经典方法和求解多自由度 线性振动系统的经典方法。然后，在结合广义谐波函数摄动一迭代法和多自由度 线性系统的模态分析法的基础上，提出了本文的求解多自由度非线性自治振动系 统的新方法。本方法首先构造多自由度非线性自治系统的解为一组广义谐波函 数；再求出该系统的无外激励的退化系统的各自由度的近似固有振动频率；然后 利用各自由度的近似固有振动频率和微分学上的处理方法，把多自由度非线性振 动问题近似转化为求解非线性代数方程组的问题，并求解代数方程组得到原振动 系统的一组近似解：最后，检验精确度，在解不满足精确度要求时，可用上次近 似解为基础，进入下一步迭代求解过程，优化近似解，直至解满足精确度要求。 通过算例，将应用本方法计算结果与应用数值法( r k 法) 计算结果比较，证明 本方法是有效的。 根据本方法第步所求得的各自由度近似固有频率之间的比例关系，可将新 方法分为单频迭代法和多频迭代法。 关键词：广义谐波函数，固有频率，单频迭代法，多频迭代法，非线性代数方程 组，多自由度非线性自治振动系统。 n e wm e t h o df o rn o n l i n e a ra u t o n o m o u s v i b r a t i n gs y s t e m so f m a n yd e g r e e so ff r e e d o m m a j o r ：s o l i dm e c h a n i c s n a m e ：w a n gp e n g s u p e r v i s o r ：a s s i s t a n tp r o f h u a n gc h e n g b i a o a b s t r a c r t h i sp a p e rf i r s t l ys u m m a r i z e st h ec l a s s i c a lm e t h o d si nn o n l i n e a rv i b r a t i n g s y s t e m sa n dl i n e a rs y s t e m so fm a n yd e g r e e so ff r e e d o m t h e n ，b a s e do nt h e c o m b i n a t i o no fi d e a so fp e r t u r b a t i o n i t e r a t i v e m e t h o d ( d e v e l o p e di n n o n l i n e a r s y s t e m s ) a n dm o d u l e a n a l y s i sm e t h o d ( d e v e l o p e di nl i n e a rv i b r a t i n gs y s t e m so f m a n yd e g r e e so ff r e e d o m ) ，t h en e wm e t h o do ft h i sp a p e ri sg e n e r a t e d t h en e w m e t h o dc a nb eu s e di nn o n l i n e a ra u t o n o m o u sv i b r a t i n gs y s t e m so fm a n yd e g r e e so f f r e e d o m f i r s t l y , w ea s s u m et h es o l u t i o no fan o n l i n e a ra u t o n o m o u sv i b r a t i n gs y s t e m a sag r o u po fg e n e r a l i z e dh a r m o n i cf u n c t i o n s t h e nw eg e tt h ef r e q u e n c yo f e a c h d e g r e eo ff r e e d o mi nt h ed e g r a d e ds y s t e mo ft h eo r i g i n a ln o n l i n e a ra u t o n o m o u s v i b r a t i n gs y s t e m u s i n gt h e s ea p p r o x i m a t ef r e q u e n c i e sa n dt h ei n t e g r a lm e t h o di n c a l c u l u s ，w et r a n s f o r mt h eo r i g i n a ln o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t oa l g e b r a i c e q u a t i o n s ，a n dt h e nw eg e tt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o nt ot h eo r i g i n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f i n a l l y , b ya n a l y z i n gw h e t h e rt h ea c c u r a c yo ft h i ss o l u t i o ni sg o o de n o u g h ， w ed e c i d ew h e t h e rt or e p e a tt h ea b o v ep r o c e d u r ea n o t h e rt i m eo rn o t s o ，w ec a ng e ta g o o ds o l u t i o nt ot h eo r i g i n a le q u a t i o n se v e n t u a l l y b yc o m p a r i n gt h es o l u t i o nw i t h t h a to ft h en u m e r i c a lm e t h o d ( r km e t h o d ) w ec a nt e s t i f yt h ev a l i d i t yo ft h en e w m e t h o d a c c o r d i n gt ot h ep r o p o r t i o n a lr e l a t i o n so ft h ei n i t i a la p p r o x i m a t ef r e q u e n c i e s ， w ed i v i d et h i sn e wm e t h o di n t ot w ot y p e s ：s i n g l e - - f r e q u e n c y i t e r a t i v em e t h o da n d m u l t i f r e q u e n c y i t e r a t i v em e t h o d k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dh a r m o n i cf u n c t i o n s ，n o n l i n e a ra u t o n o m o u sv i b r a t i n g s y s t e m ，s i n g l e 。f r e q u e n c y i t e r a t i v em e t h o d ，m u l t i f r e q u e n c y i t e r a t i v em e t h o d i i 第1 章引言 1 1 振动系统的分类 第1 章引言 一般来说，在大多数情况下，将工程结构简化成单自由度系统往往不能全面 反映实际结构的振动情况，因而，需要用多自由度系统来描述。比如，在考虑汽 车的垂直振动时，我们忽略汽车扳簧以下部分的质量和弹性，而只考虑板簧以上 部分的质量和板簧的弹性，则可将汽车简化为单自由度系统。这个系统基本能够 反映汽车车身垂直振动的低频特性。但是，由于忽略了板簧以下部分的质量和弹 性，它无法反映汽车板簧以下部分垂直振动情况。要比较全面地反映汽车垂直振 动的情况需要采用多自由度系统模型。另外，对于质量和弹性连续分布的结构， 在工程中也往往采用各种方法简化为多自由度系统。因为，多自由度系统能更好 地反映此类结构的振动特性。在工程实际中的振动问题，经常要将具体的结构简 化成由多个彼此以各种方式相连接的离散质量以及相关的弹性元件和阻尼元件 组成的离散振动系统。这种系统的自由度数为有限多个，通常称为多自由度振动 系统。描述它振动的运动微分方程为常微分方程组，在本文简称为微分方程。 根据研究侧重点的不同，可从不同的角度对振动系统进行分类j 。 1 、按对系统的激励类型分为 ( 1 )自由振动：系统受初始激励后不再受外界激励的振动。 ( 2 )受迫振动：系统在外界控制的激励作用下的振动。 ( 3 ) 自激振动：系统在自身控制的激励作用下的振动。 ( 4 ) 参数振动：系统自身参数变化激发的振动。 2 、按系统的响应类型分为： n ) 确定性振动：喻应是时间的确定性函数。根据响应存在的时间分为暂态振 动和稳态振动：前者只在较短的时间中发生，后者可在充分长的时间中进行。根 据响应是否有周期性还可分为 ( 2 ) 简谐振动：响应为时间的正弦或余弦函数。 第1 章引言 ( 3 ) 周期振动：响应为时间的周期函数，可用频谱分析方法展开为一系列周期 可通约的简谐振动的叠加。 ( 4 ) 准周期振动：若干个周期不可通约的简谐振动组合而成的振动。 ( 5 ) 混沌振动：响应为时间的始终有限的非周期函数。 ( 6 ) 随机振动：响应为时间的随机函数，只能用概率统计的方法描述。 3 、按系统的性质从不同方面可分为： n ) 确定性系统和随机系统：确定性系统的系统特性可用时间的确定性函数给 出。随机性系统的系统特性不能用时间的确定性函数给出，只具有统计规律性。 ( 2 1 离散系统和连续系统：离散系统是由彼此分离的有限个质量元件、弹性元 件和阻尼器构成的系统，有有限个自由度，数学描述为常微分方程。最简单也是 最基本的离散系统是单自由度系统。连续系统是由弦、杆、轴、梁、板、壳等弹 性元件组成的系统，有无穷多个自由度，数学描述为偏微分方程。 f 3 ) 定常系统和参变系统：定常系统是系统特性不随时间改变的系统，数学描 述为常系数微分方程。参变系统是系统特性随时间变化的系统，数学描述为变系 数微分方程。 ( 4 ) 线性系统和非线性系统：线性系统是质量不变、弹性力和阻尼力与运动参 数成线性关系的系统，数学描述为线性微分方程。非线性系统是不能简化为线性 系统的系统，数学描述为非线性微分方程。 1 2 非线性振动系统的研究历史 按实际来说振动系统总是非线性的，线性系统只是一种简单的模型。如果线 性理论能反映我们要考察的物理现象的定性性质和适当的定量结果，那么我们就 把它当作线性系统来处理；否则，我们就要研究非线性系统。研究非线性系统的 振动问题的方法，和其他物理问题一样，可以分为实验方法和理论方法两种1 1 j 。 实验方法中，可以用实物进行直接测试。实物的运动条件，可以是现场的实 际条件，也可以是人为的相等的条件。可以根据需要与可能，决定用什么实验方 法。不允许用实物进行直接实验时，可用缩小或放大的模型做试验。对于某些非 ， 线性电路振荡，可以很方便地用原系统的原物直接进行试验。对于某些机械的复 2 第1 章引言 杂系统，特别是多自由度情况下，可以把系统转化成为电系统，来试验它的非线 性特性，称为机械系统的电模拟试验。机械量与电量的对应，可以根据相同的微 分方程，予以准确地确定。 在理论方法中，非线性系统是用非线性算子来描述的。由于叠加原理对非线 性算子不成立，所以，非线性系统的研究比线性系统要复杂得多。研究非线性系 统的振动有两种基本理论方法，一种是定性方法，一种是定量方法。定性方法常 用的是几何法，定量的方法目前大多是近似法，二者可以互相补充，当然有些问 题只能做定性分析，或只能做定量研究。 在十九世纪末期，德国的黑姆霍茨( h h e l m h o l t z ) 和英国的瑞利4 ( j w r a y l e i g h ) ，俄国的奥斯特罗格拉次基( m v o s t r o g r a d s k i ) 和法国的卜阿松( s p o i s s o n ) ，曾经个别地研究过一些非线性振动问题。法国的邦加莱( h p o i n c a r e ) ， 对于天体运动问题提出的摄动法，成为以后在非线性振动定性研究和定量研究方 面的启蒙思想。俄国的李亚普诺夫( a m l i a p u n o f f ) 提出的运动稳定性一般问题 的理论，也影响非线性振动理论的发展。以后，由于无线电技术的发展，t 黑维赛 德( o h e a v i s i d e ) 、范地波尔( b v a nd e rp 0 1 ) 、连那尔( a l i e n a r d ) 等人的方法， 都相继出现了。他们的思想逐渐被后来的科学家所发展，影响也不小。? 在上世纪三十年代的苏联，非线性振动力学的研究，达到一个新阶段。在苏 联，非线性振动力学领域有两大学派。一派是莫斯科振动研究所的曼德尔施坦 ( l _ m a n d e l s t a m ) 、彭特里亚庚( l s p i b t u a g i n ) 等人，运用邦加莱和李亚普诺夫 的方法，发展了定性方法( 几何法) 。他们的成果，收集在安德罗诺夫等人的振 动理论一书中。另一派，是基辅学派，以克雷洛夫( n m k r y l o f f ) 、博果留博 夫( n n b o g o l i u b o f f ) 和米特罗波尔斯基( i y a m i t r o o l s k i ) 为最著，出版了非 线性振动理论的渐进方法一书，把分析方法提高到一个新阶段。在五十年代出 版的布尔加可夫( b v b u l g a k o f f ) 的振动一书，汇集了很有分量的分析法研 究成果，驰名于世。 1 3 描述非线性振动常微分方程的类型 非线性的常微分方程的类型，应当说，是无限多的，不可胜数的。而在振动 第1 章引言 问题方面，非线性微分方程大多数是二阶的，即其中包含n - - 阶导数为止。有少 数非线性振动问题，可以蜕化成一阶的，或者属于二阶以上的。严格来说，不引 起振动现象的那些非线性常微分方程，不在振动力学的范围内。至于随时间变化 的广义坐标x i 它们的次数和函数种类，没有什么限制。有的函数是连续的，有 的是不连续的。情况很复杂。 在这样庞杂的非线性振动微分方程类型中，从振动的激励形式来分，经过研 究的，或者说，常见的，有两大类，即：自治系统和非自治系统。所谓自治系统， 是微分方程中不明显地包含时间的函数，又称为固有振动系统( 或自然振动系 统) 。所谓非自治系统，是微分方程中明显地包含有一时间t 为独立变数的函数， 又称为强迫振动系统，或外激振动系统。 参量大都在振动系统中，包含着惯性量，弹性力，阻尼力( 简称阻力) 和外 扰力，自激力等参量。可能是非线性的函数，广义坐标x i ，广义速度和广义 作用力f ( t ) 的函数本身，都可能是非线性的或周期函数。 而从系统的能量变化来分，可以分为三大类：保守系统，能量耗散系统和自 激系统。在保守系统中，没有阻力消耗能量，也没有外加能源供给能量，系统在 运动中、能量不变成热量而消散在于环境中；因此，在振动微分方程中，没有包 含消耗能量的阻力项或摩擦项。保守系统，无疑是一种人为地理想化的模型，实 际中总会有一些阻力的，哪怕是很轻微的阻力。在消散系统中，微分方程中包含 有正阻力；阻力或摩擦力逐渐地消耗掉振动系统的能量。被消耗掉的能量，并不 消灭，而是转变成热量，散失在环境中，提高环境的温度。自激振动系统，有两 种可能。一种可能是，系统中具有负阻力，微分方程中有负阻尼项；它给系统补 充能量或增加能量或维持其振动的强烈度。第二种可能是，有一个外在能源，不 断地向系统输入能量，增加或维持振动的强烈度。此外，如果系统中有反馈元件， 把系统的能量反输过来，维持住系统的振动。或者在微分方程中，有一种供给能 量或反馈能量的项。 非线性振动常微分方程的常见类型 下面我们大概系统地列举一些非线性振动常微分方程的常见类型 2 1 。 a 、一般形式( n 表示非线性，f 表示方程) ( n ) 最一般的形式 4 第1 章引言 窘一地和 ( n ) 非自治的小参数形式 窘= 讹警溅e ) 。t ， 窘= 讹鲁枷“， ( n ) 非自治的非小参数形式 窘= 肥务f o q ) ( n ) 自治的小参数形式 窘；讹d x c c 窘一讹矿d r ) 。c e “， ( n ) 自治的非小参数形式 窘= ( n ) 固有振动形式 万d z x + ，。) = 。 矿d 2 x + ，g ) = 。c 隙1 ( f 1 ) ( f 2 ) ( f 3 ) ( l 4 ) ( e 5 ) ( 6 ) ( f 7 ) ( 8 ) ( f _ 9 ) 5 第1 章引言 窘+ 够瑚 。c l ( n ) 阻尼振动形式 窘+ ，腰x = 。 万d 2 x + ，( 参掰z = 。 。ce t t l 万d 2 x + ，( 警，) 搿x ；。 。t 一1 ( n ) 强迫振动形式 粤+露k；，刁dxdt d t z 。、。 。 窘+ ，白工一胞r ) 万d 2 x + 8 ，( 参搿x = ，0 ) 。c 洲1 b 、特殊形式 ( n ) 一阶衰减振动 出 疵 普通的数学摆 堡k 2s i n 并。一锯 疵2 线形阻尼数学摆 6 ( f 1 0 ) ( f 1 1 ) ( f 1 2 ) ( f 1 3 ) ( l 1 4 ) ( i l l 5 ) ( f 1 6 ) ( f 1 7 ) ( f 1 8 ) 第1 章引言 窘+ 嗉埘s ；。m ，。九；咖s t ，k ：。鹏。， ( n ) 非衰减振动方程 窘+ 以一3 ：。删 叭“钉 ( f 2 0 ) 7 第2 章振动问题经典方法l n 口l 顾 第2 章振动问题经典方法回顾 根据由浅入深的原则，这里先分两个步骤分析、介绍现有的相关方法；先介 绍非线性问题的一些经典解法，再介绍线性多自由度问题的一些处理方法。最后， 希望能把它们结合起来寻找解决多自由度非线性振动问题的方法。 2 1 非线性振动问题的经典解法 在数学上，非线性振动系统是用非线性微分方程来描述的。由于非线性项的 出现，叠加原理不能成立，所以研究非线性振动比研究线性振动要复杂得多。对 非线性微分方程而言，除极少数可以求出精确的解析解外，目前还没有适用于各 类方程的通用的精确解析解法，一般情况下只能用近似方法求解。理论研究有两 种基本方法，一种是定性方法，另一种是定量方法。相平面法即几何方法，就是 一种定性方法，它用相平面上的轨线来表示系统的运动，从而作出定性分析，判 断系统的运动规律和振动特性。其理论基础是微分方程定性理论，本文不祥述。 这里介绍非线形系统的定量分析的目前为止的一些研究成果，包括经典的应 用于弱非线性问题的以摄动法为代表的一系列方法，还有它们在近年来在强非线 性振动问题中的推广应用。 解决非线性问题经典的方法，一般包括三大类。 第类是数值方法，即直接对微分方程采用时间积分法，如 r u n g e k u t t a ( r k 1 1 3 ，4 】方法。数值方法可以较准确地给出某一时刻的位移、速度、 加速度的数值，但是不能提供解的表达式，因而不能给出解的全貌，人们难以对 系统全局的性质做出分析。 第二类是摄动法。这类方法把微分方程的解近似地表示为某一参数的幂级数 形式。通过比较同阶小参数的系数，把原来的非线性常微分方程化为一组关于各 阶近似解的线性常微分方程( 或偏微分方程) ，这组方程可以逐个求解。在早期 的直接展开法( 基本摄动法) 【5 】中，参数的幂级数的表达式只局限于某一区域有 效，而在另外的区域由于幂级数不一致性而失效。为了拓广幂级数一致性的适用 第2 章振动问题经典方法回顾 范围，人们从物理、工程、应用数学等不同领域发展了各种技术，从而形成了各 种方法。其中最有影响、最成系统的有l i n d s t e d t p o i n c a r e ( l - p ) 1 6 1 法，多尺度法 7 1 和渐近法【8 1 。n a y f c h , a h 在其几本关于摄动法的专著中有详细的论述。 第三类方法是谐波平衡法【1 0 1 。此法把微分方程周期解展开成傅氏( f o u r i e r ) 级数，通过比较方程中谐波项的系数，把原来的非线性常微分方程化为以傅氏 ( f o u r i e r ) 系数为未知量的非线性代数方程组，然后采用熟知的求解非线性方程 组的方法如迭代法或n e w t o n r a p h s o n ( n 鼬法求解。此法的优点是概念直观，易 于应用，有解析表达式，适合与计算机数值方法结合起来形成半解析半数值的方 法。 定量方法除上述三大类方法外，还有其他的方法，如直接变分法【u 】、频闪变 换法【1 1 】等。 2 1 1 经典的用于弱非线性振动问题的方法 1 直接展开法( 摄动法) 【9 】 它是最原始的摄动法，考虑拟线性自治系统 茗+ ( z = ， ，孟) ， ( 2 1 1 ) 其中，为小参数，f ( x ，孟) 是关于x 和膏解析的非线性函数。当e = o 时，微 分方程( 1 1 1 ) 成为 膏+ 石= 0 ( 2 1 2 ) 它是我们熟知的线性振动理论中的简谐振动微分方程，称之为( 2 1 1 ) 式的 派生方程。派生方程的解称为派生解，派生方程所描述的系统称为派生系统。 假设方程( 2 1 1 ) 存在周期解，原始的求解方法是把方程的解直接展开为 的幂级数，即 x ( t ，) 。o ) + e x l ( t ) + 2 x 2 0 ) + ( 2 1 3 ) 其中o ) ( i = 0 ，1 ，2 ，) 是t 的函数，与无关。( f ) 就是系统的派生 第2 章振动问题经典方法回顾 解。 把( 2 1 3 ) 式代入( 2 1 1 ) 式的左端，有 主+ 【每= 隔+ 瞒+ 毽+ e x + ) + c o j 瓴+ + 、+ 、+ ) ；式+ ( 1 瑶+ ( 薯+ o , 0 2 x o + 2 g = 2 + 【n 吃) + 3 ( 艺+ ( i ) ；b ) + 将( 2 1 3 ) 式代入，o ，i ) ，并将它在x o ，磊附近展开为的幂级数，即 f ( x ，砷：f ( x o ，岛) + e k 弛掣+ 毫业掣】+ e z k 幽+ 岛o f ( x o , 叠o ) + 三簖堕垒搏+ 右20 2 f ( x 。 x 。) t - + - 5 2 。 缸 赢21 1o x 2“ 纽。膏。掣】 + 其中掣表示型要也在x = x o ，j ；南处的值，其他类同。这样，将 ( 2 1 3 ) 式代入( 2 1 1 ) 式，可得 1 0 南+ 嘁知+ ( 葺十。瓿) + 2 ( j ；2 + o 略x 2 ) + 3 ( j l + 0 0 2 x o + 一 厂，j 。) + 。z k 里粤越+ 矗宴警型】+ s 3 扛：笪掣+ 岛堕掣+ 去 砰! 掣o x + 并掣+批帆引 船。 玩毫掣 ) + 方程两端e 同次幂的系数必须相等，这样就得到方程组 靠+ ；0 茜+ 如一，南) 砭2 。o f ( x ，o , 王o ) + 南亟掣 毛+ 如；屯蔫+ 毫笔字+ 扣掣+凹批z !批 芹掣+ 粥毪， 舢 鼬 m l j l 第2 章振动问题经典方法回顾 以上各方程都是线性微分方程，并且分别是关于的置微分方程，可以逐个求 解。从方程( 2 1 4 ) 可求得x 0 ，把代入方程( 2 1 5 ) 的右端，可以求得一， 把，_ 代入方程( 2 1 6 ) 的右端进而求得屯。x 3 ，x 4 ，可依次类推求得。 这就是原始的摄动法，称为直接展开法。摄动法的思想可以溯源于1 9 世纪 天文学家的天体计算。由于实际系统所包含的小参数有定的数值，不可能任 意地小，所以按小参数直接展开的级数解常常只能在自变量t 的某个区间内具有 渐近性，即表示( 2 1 3 ) 的解只能在自变量的某个区间内才有效的。所以直接展 开法有其自身的局限性。 2 l p 法 6 】 直接展开法之所以失效，在于它不能正确反映非线性对系统的频率影响。 l i n d s t e d t 注意到这一点，于1 8 8 2 年提出了一个方法，引入一个新变量t ：t o t ，( 1 ) 代表系统的非线性频率。把x 和都展开成小参数的幂级数，然后通过选择适 当的( i ) 的各阶分量0 ) j 来防止久期项的出现。p o i n c a r e 1 2 】证明了l i n d s t e d t 。的级数 解是渐近级数，因此，这种方法被称为l i n d s t e d t p o i n c a r e 方法，简称l - p 法。 仍考虑拟线性自治系统 蟊+ ：x = 8 厂 ，量) ( 2 2 1 ) 引入一个新的自变量 百一c o t ( 2 2 2 ) 对新自变量t 而言，所求周期解的周期将为2 兀，于是方程( 2 1 2 1 ) 变为 2 石”+ t 0 2 0 x = ，0 ，蜮) ( 2 2 _ 3 ) 式中“”表示对求t 导。把x 和都展开成小参数e 的幂级数，即： x “) ；x o + + e 2 x 2 + - ( 2 2 4 ) ( o ( ) = t o o + e ( 1 ) 1 + 2 ( 0 2 + ( 2 2 5 ) 其中，( 叻为t 的周期函数，周期为2 兀，咄为待定常数，在以后的求解过 程中逐步确定。将式( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 二式代入方程( 2 2 3 ) 的左边，得： 【d ”+ c o b # ( 【1 ) o + 【t ) 1 + 2 ( 0 2 + - ) 2 ( + 爿+ 2 x 2 ”+ ) + 碗( + e t + e 2 x 2 + ) 1 1 第2 章振动问题经典方法回顾 并麓2“：莓2。蒜2zx+m辞20x1+22x22 c o ( 0 2 ) x g 2 m ：著将加z 4 m 2 s m 方程e 2 【( i ) 扣：+ ( i ) 0+ (o+ 辞 + o ( 1 ) 1 柏+ - 、7 ( 2 2 3 ) 的右边，并将函数f ( x ，呲) 在xx o ，x = ，及= t o o 附近展开成的幂级数， 得： 讹呲i ) _ ，州) + 2 k 掣+ 掣+ q 掣卜 ：e ，( ，“) + 。：k 巡掣越+ ( “+ “) 掣卜， 式中，堕掣表示掣在工。，工，c o o 处取值，简记为誓。 慨dx帆 考虑以上两个展开式相等，并比较等式两边e 同汝幂的系数，可得线性微分方程 组： 0 2 x ；+ = 0 ， 0 2 碍+ ( i 撬= ，c o o x o ) 一2 x o 。， z+：x：堕幽+(“+()l)笪垡筹垃一(2mom2+畸w一2q砖ox 以上方程组和直接展开法所得的方程组相似，可以依次求解。所不同的是， 还必须确定频率分量q a = 1 ，2 ，) ，这可以由t ( d 的周期性的条件来确定。由 ( 2 2 6 ) 诸式可知，为使，t ，x 2 为周期函数，各方程式右边应不含s i n t 或c o s t 的项，即上述方程中s i n 或c o s t 的系数必须为零。由此可求定c o , ( i = 1 ，2 ) ，这样 就可以消去久期项而得到周期解。 l - p 法的优点是方法简单、直观、明了，便于应用，特别适合于计算机符号 软件，如m a t h e m a t i c a 等。借助于这类具有推导公式功能的计算机软件，可以方 便地进行高次近似运算，克服以往手工计算的局限。但是，l - p 法只能求的系统 的稳态解，而不能求得瞬态解。对于耗散系统，因振幅随时问而变化，此时l - p 法就不能应用了。 3 多重尺度法【8 】 多重尺度法( t h em e t h o do f m u l t i p l es c a l e s ) 是经典摄动中应用的最广泛，而 且发展成最多形式的方法。这种方法的基本思想是把微分方程的解x ( t ) 视为很多 1 2 第2 章振动问题经舆方法回顾 快慢不同的时间尺度或变量的函数。这样，原来求x 和t 的导数就变为求x 对这 些引进的新变量的偏导数。由于变量个数多少不同和选取方式的差异就发展成各 种形式的多重尺度法。主要有3 种形式：( 1 ) 多变量型；( 2 ) 两变量型；( 3 ) 推 广型。第三种形式是第1 ，2 两种形式的推广。本文主要讨论前两种形式的多重尺 度法，因为它们是最基本的，也是最简单的多重尺度法。 一、导数展开 仍考虑拟线性自治系统 茗+ ：x = ， ，孟) ( 2 3 1 ) 用l - p 法求得的形式解为 即 z 1 磊8 4 ， 其中 t ；c o t ， 一荟矿口 ”磊e 。 由此可见，t 包含有不同尺度的时间变量：f ，e t ，2 t ，因此，x 是依赖于这 些变量的函数。令 乙= “f ，= 0 ，l 2 ，n ) ， ( 2 3 2 ) 把它们看成独立的自变量，则 z ( f ，) = z ( 矗，互，五，- l ，) ， 因此，关于f 的导数变成关于毛的偏导数的展开式，即有 堕：旦盟+ 旦亟+ 旦亟+ 出 d 瓦班喁缸a 疋疵 ；旦+ 。旦：。：旦+ a 瓦喝a 互 ( 2 3 3 ) j 蔓竺一篓垫塑璧丝壅查苎旦星 象啬地蕞膏c 著+ 2 希，卜 组，m 或记成 丢；d 0 + 哦+ e 2 d 2 ” ( 2 - 3 5 ) 筹= 蛾+ 蛾+ e 2 d 2 + ( 2 童6 ) = 上蟹+ 2 d o d l + 2 d f + 2 d 0 0 | ) + 其中，见= i o 。设方程( 2 3 1 ) 的解为 d 。( f ，8 ) 。瓴，z ；，乙) + 瓴，五，z ) + 8 嘎，巧，) ( 2 3 7 ) z y a t 的一阶、二阶导数是 筹= d 。+ ( d o x l + b ) + 2 如十b + 。) + d ( 3 ) ( 2 3 8 ) 窘2 溉+ ( 眠+ 2 0 0 d ：o ) + ( 2 3 9 ) 2 ( 上埒屯+ 2 d o d l x l + 珥+ 2 d o d l 石o ) + d ( e 3 ) 把，o ，量) 按t a y l o r 级数展开，可得 ，( r ，丘) = ，o j 0 ，d p ) + e 丘，d 0 而) 而+ 麒，d o ) ( d 托+ d 1 ) 】+ d ( ，) ( 2 3 1 0 ) 把( 2 3 7 ) ( 2 3 1 0 ) 代入( 2 3 1 ) ，并令方程两边的同次幂的系数相等，可 得 d b 2 x 4 + 0 2 0 x o = o ， 三2 t + 峨鼍= 一2 d b d p f d + ，o ，d ：d ， d d x 2 + o 瑶】c 2 - - 2 0 0 0 , r ，- o ：z 。一2 d o d r x o + ，砧。) + e ( x o ，d o x o ) ( d 诫+ d 1 ) ， ； ( 2 3 1 1 ) 偏微分方程组( 2 3 1 1 ) 是线性的，与l - p 法样，利用消去久期项的附加 条件，便能逐次确定各未知函数，均可表示为多重尺度瓦，互，互的函数。这 种方法称为多变量型尺度法，或称为导数展开法。因为由公式( 2 3 3 ) 可知，导 1 4 第2 章振动问题经典方法吲顾 数也像芏一样，展开为e 的幂级数。它是由s t u r r o c k l l3 1 ，f r i e m a n 1 “，n a y f e h l l 5 】 s a n d r i 1 6 】等人先后提出并发展起来的方法。 二、两变量展开法 多重尺度法的另一种形式是两变量展开法。引入两个时间尺度，以亭，t 1 表示 亭= e t ，t i = ( 1 + 屿2 + 屿3 + + 缈【l ，m y ， ( 2 3 1 2 ) 其中为常数。在这个情形中，亭比t 1 慢。 两变量展开法是由c o l e 【1 7 1 首先提出来的。 以上两种形式的的多重尺度法还可以进一步推广。n a y f e h 1 8 】推广了多变量型 尺度法。类似地，两变量展开法也可以推广，k l l z m a l 【( 1 9 】，m a h o n y 20 1 ，n a y f e h 【2 1 j 等 学者先后提出并发展了这种方法。 与l - p 法相比，多重尺度法应用范围更广。l - p 法只能求得系统的稳态解， 求不出瞬态解，但多重尺度法两者都能求得。l - p 法不能应用于耗散系统( 只能 求得平凡解) ，但多重尺度法能求得耗散系统的解，得出振幅与时间的依赖关系。 多尺度法还能应用于其他方法( 如k b m 法) 不能应用的问题。多重尺度法的缺 点是运算比较繁复。即使要求一次近似，也要解若干个偏微分方程。若方程中的 函数f ( x ，王) 比较复杂时，多重尺度法的运算会变得相当困难a 4 平均法【8 】 这里来介绍另一种非线性问题的经典近似方法平均法。是由微分方程的 常数变易法演变而来的一种独特的近似解法。其基本思想是根据非线性系统中的 拟谐和性质，用派生解的积分常数看作新的因变量来求基本方程的近似解。 设系统的运动方程为： 叠+ o j ；x e 厂0 ，t ) ， ( 2 4 1 ) 当s ：0 时，振动是简谐振动，其解为： x = a c o s ( o v + 口、， 其中，振幅口和初相角拶是常数。式( 2 4 2 ) 对t 求导为： i = 一t o o as i n ( c 0 0 t + 口、， ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 对于基本方程( 2 4 1 ) ，应用常数变易法，把a 和0 看作时间t 的函数，则 第2 章振动问题经典方法回顾 x = a ( t ) c o s m o t + 臼p ) 】。 式( 2 4 4 ) 对t 求导，得 立= 一n s i n ( m o t + 口) 一a o s i n ( t + 8 ) + i c o s ( m o t + o ) ， 若要求土仍保持( 2 4 3 ) 的形式，则须有 一a os i n ( m o t + 口) + 五c o s ( m o t + 0 ) 一0 这样，x 对t 的二阶导数为 膏= 一2 口s ( f + 拶) 一a , o a o c o s ( t o o t + 口) 一r o o d s i n ( m o t + 口) 。 把x 和置的表达式代入基本方程( 2 4 1 ) ，得 一m o a o c o s q ，一n k ds i n q ，= e f ( a c o s q 口，一c o os i n 妒) ， 其中 妒= n v + 0 由式( 2 4 6 ) 和( 2 4 8 ) 可以得出a 与0 的微分方程 d ；一_ _ ，( 口c o s 妒，一m o a s i n 妒) s i n ， ( 0 0 百：一土，( 口c o s 妒，一w o a s i n 妒) c o sq o 口n k ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 如果上式能求得精确解，则代入( 2 4 4 ) 可得原方程( 2 4 1 ) 的解，不过， 这种情况是很少的。因此，需要考虑近似解法。 考虑，当s ：0 时，d ；0 ，百一0 。若s 很小，则i 与毋也很小，即振幅n 与相角0 的 变化率很小，因此，可取在周期2 厅内五与百的平均值来代替( 2 4 9 ) 的右端， 得汪封肭w s 吣) s i 呐， 百= 一射2 。a m o m 哩旷a s i n 妒) c 。s 面尹 ( 2 4 1 0 ) 这就是平均法。这种方法有两大特点：第一、假设i 与扫很小，即振幅口和 相位0 是时间的慢变函数，因此这种方法也称为振幅与相位法。这一假设是b v a n d e rp o l 【2 2 i 在研究电子管自激振荡问题时提出来的。第二要点是平均思想，取d 与 d e - - n 期n 的平均值作为d 与占的近似值。这一思想是k r y l o v 和b o g o l i u b o v z 3 1 1 6 第2 章振动问题经典方法回顾 提出的，因此这种平均法也叫作k - b 法。 5 k b m 法【8 】 平均法的优点是方法简明，但精度较低，仅能求出一次近似解。克雷洛夫 ( k r y l o v ) 和包戈留包夫( b o g o l i u b o v ) 在1 9 4 7 年改进了他们的方法，提出了改 进方法，通常称为k b m 法或渐近方法。 在这仍研究拟线性自治系统 彭+ ：z s ，( x ，量) ( 2 5 1 ) 设上边方程的解为 z=acos r p + e 1 4 l ( 口，伊) + 9 2 u 2 ( 口，妒) + + 6 m u 。a ，伊) ( 2 5 2 ) 其中“，( d ，妒) ( ，= 1 ，2 ，优) 是角妒的以2 z 为周期的周期函数。 五= 4 ( 口) + s 2 4 ( ) 十+ 占“4 。( 口) ( 2 5 - 3 ) 驴一o ) 0 + s b l ( 口) + e2 岛( 口) + + “哆。( 口) ( 2 5 4 ) 解( 2 5 2 称为第m 次近似解。详纫求解过程在这省略。 渐近方法的实用性不是决定于当i n o 。时，级数( 2 5 2 ) 一( 2 5 3 ) 的收敛性， 而是决定于对某个确定的矾，当s 一0 是它们的渐近性。即只要求当s - 2 1 l d , 时，对 于充分长的时间间隔，表达式( 2 5 2 ) 能给出原方程( 2 5 ，1 ) 的足够精确的解。 可以证实，平均法其实是k b m 法的一次近似，k b m 法是对其的改进。 2 1 2 强非线性振动问题的经典解法 对强；# 线牲闯题的处理方法目前主要有： ( 1 ) 首先，把强非线性问题转化为弱非线性问题求解，如杨世平、吴晓i 矧提 出的强非线性系统的渐近解法( 1 9 9 8 ) 就是这一种。然后，把已有的解决弱非线 性问题的方法推广到解决强非线性问题。这是国内外目前研究的一个热点：也取 得了很多研究成果，特别是中山大学陈树辉、徐兆i9 j 在强非线性振动的定量方 法一书中的总结很有代表性。这些方法可根据周期函数采取的类型归纳为三类： 圆函数的摄动法，椭圆函数摄动法，和广义谐波函数摄动法。它们一般是对前面 第2 章振动问题经典方法回顾 介绍的经典摄动法的推广，类型相当多；不过一般要某些项为小参数，有相当的 局限性。 ( 2 ) 把现有方法结合起来形成新的方法。如结合增量法和谐波平衡法发展成 为增量谐波平衡法【9 ，矧是一种半解析半数值方法，对解决非线性振动问题，特别 是强非线性振动问题很有效，不必受参数的限制，真正上是一种适合强非线性 问题的方法；存在的问题是如何选择初值，才能得到较精确的解。而把摄动法和 增量法结合起来发展成的增量摄动法【2 q 以彻底突破摄动法必须假设某些项为小 参数的局限。还有频闪谐波平衡法【埘、频率增量法【6 3 】、频率展开法 6 4 , 6 6 】。 下边，对它们进行简单描述，其中( i ) 、( i i ) 、( h i ) 属于( 1 ) 的类，( i v ) 、 ( v ) 属于( 2 ) 类。 ( i ) 圆函数摄动法是指以圆函数( 三角函数) 表示方程周期解的摄动方法。 这类摄动法研究的也是形似方程 觉+ ：x = g ， ，膏) ( 1 ) 的系统，只是参数s 不再是限制为小参数，可以为大参数。当s = 0 时，上述方 程成为： j + 知= 0 ， ( 2 ) 称为方程( 1 ) 的派生方程，其解称为方程( 1 ) 的派生解。因为方程( 2 ) 的解 以三角函数表示： x=ac o sc o t + b s i n w i( 3 ) 它是零阶摄动解。以此为基础求得的高阶摄动解自然也是以三角函数表示，因而 最后所得的周期解也就是以三角函数表示。所以我们就称这类摄动法为圆函数摄 动法。在圆函数摄动法这类方法中，通常首先采用参数变换或者时间变换，然后 再应用经典的摄动法。于是，对应于不同的经典摄动法，就有改进的l - p 法i 吼， 改进的多重尺度法【9 1 ，推广的平均法【9 1 和推广的k b m 法【9 】。 a 、改进的o p 法 j o n e s 2 8 l 研究大参数d u f i n g 方程的自由振动问题，提出一个口= d ( s ) ，把大参 数变为小参数a ，于是对应于s 而言是强非线性的系统就转化为对于口而言是 第2 章振动问题经典方法回顾 弱非线性的系统，从而达到可以应用经典l 广p