（基础数学专业论文）两类非线性波动方程的初边值问题.pdf

两类非线性波动方程的初边值问题 摘要 本文研究下列两类非线性发展方程的初边值问题 毗一u + l 毗1 4 2 札f = 0 ，z n ，( o ，o o ) ， “= 0 ，z f o ，t 【0 ，o o ) ， 筹= 一i u t l “u 州“i p - 2 u ， z r 1 ，1 0 , o 。) u ( z ，0 ) = t 0 ( 甸，u t ( 茹，o ) = l ( z ) ， z n ， m t u + f 0 ( v t ) + g ( u t ) = o ，墨q ，t ( 0 ，o 。) t = 0 ， z f o ，t t o ，o o ) ， 襄= f o t h ( 卜r ) ( u ( f ) ) d r ， zer l , 1 0 , 。) ， u 和，0 ) = t o 和) ，u t 扛，0 ) 等u 1 0 ) ， z n ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 的整体广义解的存在性及衰减性，其中q 是r n ( 在问题( 1 ) ，( 4 ) 中n 1 ，在问题 ( 5 ) 一( 8 ) 中1 n s3 ) 中具有光滑边界抛的有界域，搠= r o ur 1 ，f o n f l = 0 ，并且r 0 和r l 具有n 一1 维勒贝格正测度，m ，q 兰2 ，p 3 为实数，”是q 的外法线方向 在第二章，利用g a l e r k i n 方法证明了问题( 1 ) ( 4 ) 的整体广义解的存在性，利 用n a k a o 不等式证明了广义解的衰减性，主要结论为； 定理1 假定2 m 墨r ，且下列条件之一成立t ( i ) q = 2 ，3 p r ； ( i i ) 2 0 ，问 题( 1 ) 一( 4 ) 存在整体广义解“= “也) ，满足 “l o 。( o ，r ；日是( n ) n 点产( n ) ) n w 7 1 ，( 0 ，t ；h 1 ( n ) ) n i 俨( o ，r i 铲( q ) ) u t l m ( o ，t ；三m ( r d ) nl 。( o ，t ；l 。( n ) ) 并且有如下的衰减估计 ( 1 ) 如果条件( i ) 成立，则 u i ( t ) 1 1 2 + 坞一；) 4 v 喇1 1 2 o ； ( 2 ) 如果条件( i i ) 成立，则 0 t ( t ) 旷+ ( ；一：) i | w ( 0 1 1 2 0 其中，p l ，心为正常数，i t - 1 + = m a x t - 1 ，o ) ，e ( o ) = j 1 帆j | 2 + 引v 伽胪一刘1 8 p r 。，珥。( o ) = 扣础( n ) ：”lr l = o ) 在第三章，利用g a l e r k i n 方法证明了问题( 5 ) ( 8 ) 的整体广义解的存在性和唯 一性，用扰动能量法证明了解的衰减性，主要结论为： 定理2 假定 口1 ) 矗口1 ( 冗) ，j ，。( s ) j 纠。f ，j v 南j 厶s r ”，其中芦和均为正常数 ( a 2 ) 9 伊( 劢，( s ) o ，口( 3 ) 。0 ，j r ；当i s l 兰1 时，c i l 8 p l a o ) l 岛”扫；当h 1 时，岛1 9 ( s ) i 国怫其中g 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为正常数，p 1 为常数 ( a 3 ) 伊( 固，l ( ，) i 茎m ( 1 + ，3 r ，m 为正常数 ( a 4 ) h 是非负有界的二次连续可微的实值函数，满足 ( o ) = o ，1 一铲h ( s ) d s = l 0 且对某个幻 0 ，当l t o 时。有一f i ( 亡) s ( ) 一如 ( ) 和( 母s 6 ( 啦其中f i ，矗 为正常数 ( a 5 ) ( u 1 ) ( 珥。( o ) n 日2 ( n ) ) 2 ，在r 1 上满足相容性条件静= 0 则对任意的t 0 ，j 珂_ 题( 5 ) 【8 ) 存在至少一个整体广义解u = u ( z ，) ，满足 u w 1 ，( o ，t ；珥。( n ) ) ，c a r t 二o 。( o ，t ；l 2 ( n ) ) 若令池) 中的p = 1 且俐c - ( 0 。) 和( 4 1 ) 中的卢充分小，则存在正常数c 和仉使得 f ( t ) = j h ( i 毗1 2 + l v 训2 ) d x 茎e ) 甲( 一7 # ) ，t t o 此外，若f l l i l ) 8 c h i t z 连续，则解是唯一的 关键词t 非线性波动方程；初边值问题；整体解；衰减估计 2 i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt w oc l a s s e s o fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s a b s t r a c t i nt i n sp a p e rw es t u d yt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t i eb e h a v i o u ro fg l o b a ls o l u t i o no ft h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt w oe l & q s e 8o fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ： u 件一a u + l u i q 一2 u t = 0 ，z n ，t ( 0 ，o o ) t = 0 ， z f 0 ，t 1 0 ，o 。) ， 嘉；一l u t l - 2 u , + m 坤嵋 札( z ，o ) = u o ( z ) ，u t ( x ，o ) = u l ( x ) z f z ，f 0 ，o 。) z n u h 一t l + ，0 ( v u ) + 9 ( u t ) = 0 ， $ n ，t ( 0 ，o o ) ，( 5 ) 钍= 0 ， f o ，t l o ，o 。) ，( 6 ) 等；肛h ) 脚( 呦札x e f l , 【o i 毗( 7 ) u ( z ，o ) = u o ( z ) ，u t 扛，0 ) = u 1 ( 卫) ， z 0 ( 8 ) w h e r enc r ( 1 ns3f o rp r o b l e m ( 1 ) - ( 4 ) a n dn21f o rp r o b l e m ( 5 ) ( 8 ) ) i sab o u n d e dd o m a i n w h i c hh a sbs m o o t hb o u n d a r y 扫0 ，8 q ；f 0u r l ，功n i 、1 = 毋，w h e r er 0a n dr 1r r e m e a s u r a b l e o v e ro f e n d o w e dw i t ht h e ( m 1 ) 一d i m e n s i o n a ll e b e s g u em e a s u r e m ，q 2 ，p 3a r er e a l s pi s t h eo u t w a r dn o r m a lt ot h eb o u n d a r y 掘 i nc h a p t e r2 ，b ya p p l y i n gg a l e r k i nm e t h o d ，w eo b t a i nt h eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o nf o rt h e p r o b l e m ( 1 ) 。( 4 ) b yu s i n gn a k a oi n e q u a l i t y , w ep r o v et h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o ni so fa s y m p t o t i c p r o p e r t y t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 s u p p o s et h a t21msr ，a n do r l eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n si ss a t i s f l e d ： ( i ) g = 2 ，3 p ! r ； 3 n p ( i i ) 2 啦 ( 2 ) i fc o n d i t i o n ( i i ) i ss a t i s f i e d ，t h e n | 啦( ) 0 2 + ( 一；) l l w , ( t ) 1 1 2 ( e ( o ) 1 一+ 盯1 ( ；一1 ) i t 一1 】+ ) 南， 0 w h e r e p l ，舰r r e p o s i t i v ec o n s t a n t s ，i t l l + = m a x t 一1 ，o ) ，e ( o ) = ；1 1 h i l l 2 + 1 1 v u o l l 2 琊。( n ) = 如h o x ( n ) ： i r 。= o 刘1 ”忆p r l i nc h a p t e r3 ，i no r d e rt oo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n st op r o b l e m ( 5 ) 一( 8 ) ，w eu s et h e f a e d og a l e r k i nm e t h o da n dt og e tt h eu n i f o r md e c a yr a t e so ft h ee n e r g y ，w eu s et h ep e r t u r b e d e n e r g ym e t h o d t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m2 s u p p o s et h a t ( a 1 ) f o c 1 ( r ) ，i o ( s ) f 卢f 。l ，i v ，0 l ，j r ，w h e r epa n dla r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ( 2 ) g c o ( r ) ，9 7 ( 3 ) o ，9 ( s ) 。0 ，s r ；c l l s l p 茎i g ( s ) l i i s l l p ，w h e n l 8 1 茎1 ；岛1 8 l 1 9 ( 3 ) j q 卧w h e n ) s j 1 ；w h e r eg a = 1 ，2 ，3 ，4 ) a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ，p 兰1i sac o n s t a n t ( 3 ) c o ( 冗) ，i i d a ) l m ( 1 + i s l ) ，。r ，w h e r em i sap o s i t i v ec o n s t a n t ( a 4 ) h ：耳_ 凰i s n o n n e g a t i v e a n d b o u n d e d 伊f u n c t i o ns u c h t h a t l - 舻h ( s ) d s = f 0 ，h ( o ) = 0a n dt h e r ee x i s tp o s i t i v ec o n s t a n t sf 1 ，6 ，白s u c ht h a tf o rs o m et o 0 ，一l h ( t ) ( ) 一已 ( ) ， ( t ) s 如 ( 0 ，f o ra l l t t o ( 以5 ) ( “o ，h 1 ) ( 月& ( q ) nh 2 ( n ) 尸，v e r i f y i n gt h ec o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n 静= 0o nf i t h e nf o ra n yt 0 ，t h ep r o b l e m ( 5 ) 一( 8 ) h a sa tl e a s to n eg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu = u ( z ，t ) s a t i s f y i j a g u w 1 ，( o ，t ；日k ( n ) ) ，u u 工( o ，t ；l 2 ( n ) ) d m o r e o v e r ，a s s u m i n gt b a tp ；1j ( _ 2 ) a n dc o a s i d e r i n g | f f f 口( o ，。) a n d 卢( g i v eb y ( 4 1 ) ) s u f l i c i e n t l y s m a l l ，t h ee n e r g yd e t e r m i n e db yt h es o l u t i o nud e c a y se x p o n e n t i a l y , t h a ti s e 如) = 矗( f 砘( 。) f 2 + l l t u c t ) l 。) d xsc e x p ( 一7 ” f o r出i t 如 f o rs o m ep o s i t i v ec o n s t a n t sca n d1 i na d d i t i o n ，i f 诅g l o b u l l yl i p s c h i t z ，t h es o l u t i o ni su n i q u e k 。yw o i d 8 ：n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；i n i t i a lb o u n d a r yp r o b l e m ；g l o b a ls o l u t i o n ；d e 吼y 睁 t i m a t e 5 郑重声明 y 7 8 3 0 1 8 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄 袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切 法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者：闰盹芋 二零零五年四月 第一章引言 本文研究下列两类非线性发展方程的初边值问题 u 托一u + i u t l 9 2 u t = 0 ，髫n ，( 0 ，o o ) ， “= 0 ，口f o ，t f o ，o 。) ， 嘉= 一l m l “2 啦+ 1 “l ”2 “， z r - ，i o ，o 。) u ( z ，o ) = t 幻( z ) ，u t ( x ，0 ) = u l ( z ) ，茹n ， u “一u + 如( v u ) + 9 ( 啦) = o ， z n ，( o ，0 0 ) u = 0 ， $ p o ，【o ，o 。) ， 嘉= 上m 刊脚( r ) ) n zep i , t i o , 毗 u 0 ，0 ) = 伽( 甸，啦( z ，o ) = u l ( z ) ， z n ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 ，3 ) ( 1 ，4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 的整体广义解的存在性及衰减性，其中n 是r n ( 在问题( 1 1 ) ( 1 4 ) 中n 1 ，在问 题( 1 5 ) ( 1 8 ) 中1sns3 ) 中具有光滑边界的有界域，拥= 1 1 0 u r l , r o n i l 一， 并且r o 和r l 具有一1 维勒贝格正测度，m q 之2 ，p 3 为实数，”是a n 的外法 线方向 具有非线性阻尼和源项的波动方程的研究是近年来非线性发展方程研究领 域内的热点问题( 【1 l 2 j 】【3 】，【4 】【5 1 ) ，特别是对于具有非线性边界阻尼和边界源项的波 动方程的研究，更是热点中的难点问题之一本文研究的就是这样两类很具代 表性的方程 1 9 7 4 年h ，a l e v i n e 和l e p a y n e 在文献【6 】中，1 9 8 7 年h ，a l e v i n e 和a s m i t h 在文 献【7 】中都研究了下面的初边值问题 u “一u = 0 ，n ，( o ，o o ) 1 1 = 0 ， z f 0 ，t 【0 ，o o ) ， 雾= 旷2 ze f “【0 o 。) ， ( 1 - 9 ) “( z ，o ) = 1 上0 ( z ) ，t “( 。，0 ) = 札l ( 茁) ， 霉n 在【6 j 中作者证明了在初始能量为负的情况下，( 1 9 ) 的解在有限时刻爆破；文献 7 1 则证明了对于小初值，问题( 1 9 ) 的弱解整体存在 此外，2 0 0 2 年e n z ov i t i l l a r o 在文献【8 】中研究了下面的初边值问题 “一u = 0 ， u = 0 ，z f o ，t i o ，o 。) ， 面o u = 一”一2 m + 钟一2 u ， z r l ，t 【o ，o 。) ，( 1 t o ) 珏( 。，o ) = 乜o f 甸，u d x ，0 ) = 珏1 ( 嚣) ， 。q e n z ov i t i l l a r o 利用位势井方法，单调性方法，s c h a u d e r 不动点定理证明了问题( 1 1 0 ) 的整体弱解的存在性。 本文第二章研究的问题( 1 1 ) ( 1 4 ) 是在问题( l 1 0 ) 的方程中增加了一项非线性 阻尼项，不仅用完全不同子文献【8 】的方法证明了整体广义解的存在性，而且还利 用n a k a o 引理证明了在不同条件下广义解分别具有多项式衰减和指数衰减性 问题( 1 5 ) 一( 1 8 ) 中出现了非线性边界记忆源项许多作者研究过方程中带有 非线性记忆源项的问题，见文献( 9 ，l o ，1 l k 但是，对于边界条件中带有非线性记 忆源项的问题的研究，却很少见诸文献 1 9 9 9 年m m c a v a l c a n t i 和v n d o m i n g o s c a v a l c a n l i 等人在文献1 1 2 】中研究了下面的问题 k l ( x ，t ) y u + 恐( z ，t h 一。y = o y = o ， z f c ，t f o ，o o ) ， 面o y + ”+ 轨+ 口( t ) 挑r 北= g 协r p ， z f l ，t f o ，。) ( $ ，o ) = ，o ( z ) ，y d x ，o ) 一y l 忙) ， 。n 2 r ) “( r ) d 下 作者用g a l e r k i n 方法得出了整体广义解的存在性，用扰动能量法证明了能量的一 致衰减 2 0 0 2 年，同样的作者在文献【13 】中又研究了下面的问题 驰一掣+ 而( v ) = 0 ， 材扛o ，霉r o ，n ) ， 若+ 9 ( 掣t ) = 上h ( t t ) o p ) ) d l z r l ，e 0 1o o ) ，( 1 1 2 ) 掣( z ，o ) = y o ( z ) ，9 ( z ，o ) = y t ( 石) ， z n 注意到问题( 1 t 2 ) 与前述问题最大的不同点是在方程中增加了一个非线性应变项 ，0 ( v ”】，这给证明过程带来了很大的困难但是作者在对f o 作出适当假定的条件 下，利用g a l e r k l i n 方法，单调性方法以及其它多种技巧，证明了整体广义解的存 在性，又巧妙构造扰动能基，获得了能量的一致衰减性 本文第三章研究了问题( 1 5 ) ( 1 8 ) 问题( 1 5 ) ( 1 8 ) 将问题( 1 ，1 2 ) 中的边界阻尼 移至方程中，简化了文献f 13 j 中扰动能量的定义，证明了整体广义解的存在性和 能量的指数衰减，并给出了衰减速率估计 3 卜 9 广厶 一击 g 墨 吖 3 为实数 本章利用g d e r k i n 方法证明了问题( 2 1 ) 一( 2 4 ) 的整体广义解的存在性，用n a k a o 引理得出了解的衰减性并给出了不同情况下解的衰减速率估计 记i i 【i = 【l | | 驴( n ) i i 忆= | i ，i i d ( n ) i i i i r ，= l | - i l l ( r 、) ，( 1 qs ) ，矿= i 与，砘( n ) = u h 1 ( n ) ：u f r o ；o ， j ( u ) = ；i i v u 2 一：t o ；r i ， ，( “) = i f v u 胪一峪r l ， j ( u ) = 。v u l l 2 一i lu | | ；，r 。( o 口 o ，e ( 0 ) 了p - 二2 百c n 南田u ( o ，0 ) ) 其中d = 。i n f 。s 。u ，p 。j ( a ”) 记a ：= 。嚣。，喘岢易知鬻j ( ) = ( ；) ( 黼等) 毒 u l r l $ o 一2 口 ”* o 故d = ( ：) 矿 主要结论如下t 定理1 假定2 1 m r ，且下列条件之一成立： ( i ) g = 2 ，3 p r ； ( i i ) 2 。； ( 2 ) 如果条件( ) 成立，则 扣u 删1 2 + ( j 1 一p 1 - ) i i v u ( t ) f | | s ( e ( o ) 1 一+ 压1 ( ；一1 ) 卜l 】+ ) 南，t o 其中，p l ，为正常数，【t 1 1 + = m a 避o ，t l ， 5 2 引理 记铲( ) 。壹蛳( t ) ，其中， 哟培t 是空间琊。( n ) n 日2 ( n ) 的标准正交基据 g a l e r k i n 方法，u k ( t ) 满足下列问题 ( ”( t ) ，啮) + ( v 矿( ) ，w j ) + 上。i 砖( t ) l ”一2u ( ) q 出+ 上i “ ( 圳2 2u ( ) 屿如 5 z ，l 矿( f ) 1 9 - 2 铲( ) q 血，j = l ，自 ( 2 5 ) u k ( o ) = 咖i u o 子琊。( n ) n 铲( n ) 中( 2 6 ) “ ( o ) = u i 女一u l 于h 1 ( n ) 中( 2 7 ) 对于任意的k n ，据常微分方程的一般理论，问题( 2 5 ) 一( 2 7 ) 存在唯一的局部解 u ( ) g 2 【0 ，t k ) ，后面我们将看到u ( t ) 能被整体延拓到 o ，+ o 。) 上 在( 2 5 ) 中，将q 换为u ( ) 并在( o ，t ) 上积分得到 点k ( ) + o o “f p ) i f 嚣r ld r + o 。o “ p ) 惦d r = e k ( 。) ( 2 8 ) 其中， 凰( ) = ；j i “ ( t ) u 2 + j ( u ( ) )( 2 9 ) 为叙述方便起见，在下文中省略上( 下) 标( 如用u ( ) 代替矿( t ) ，用e ( t ) 代替既( ) 等1 引理1 假定2 m ，p ，q sr ，并且，“i ) w ，则“( 力0 o ) ，并且 ( 洲2 + j 1 w ( 0 1 2 0 一 一 j c 7 ) 慨r - 打+ j ( r ) l l ：d r o 6 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 其中，m 是仅依赖于a ，d 的正常数 证明：由于j ( 。) 0 ，据u ( ) 的连续性，在江0 的右邻域内成立 j ( u ( 0 ) 0 ( 2 - 1 2 ) 设i o ，。) 是( 2 1 2 ) 式成立的最大时间区间，即f ( u ( z ) ) = 0 注意到 j ( k ) ) = ( ；一- 8 p ) i iv u ( ) 护+ ；j ( “( ) ) 2 ( i 1 一；) ov “( 。胪，【o ，t m “】( 2 1 3 ) 再结合能量等式( 2 8 ) ，得到 1 1 w ( 圳1 2 磊州哪去e ( t ) 压2 pe ( 0 ) 刍n 南正e 吨1 ( 2 1 4 ) 于是有 m i l “( ) 嘶。普l | w ( o 扩2 ( o i | v “( ) 1 1 2 ) 0 时成立这就完成了引理1 的证明 引理2 设2sp ，m 一u ( c ) 如引理l 所示，则 ( i ) 当q ；2 时，f ( ) e ( 0 ) e p 一肛p 一1 】+ ，t o ； 7 ( i i ) 当2 q s ，时，e 0 ) ( e ( 0 ) 1 一 + p 一1 ( 一1 ) 【亡一1 i + ) 南 其中p 为依赖于f 1 , n ，m ，吼p 及e ( o ) 的正常数 证明：由( 2 8 ) 式得到 由于 以及 ，蚪l e ( ) 一e ( 亡+ 1 ) = 上( l i m ( 下) i 瞄t r l + l iu t 一) 幅) d r 三d ( 。) ( 2 1 8 ) 件5l i m i l 。打上”1o u 。( r ) 1 1 2d 下s 上”1 l lu t ( r ) l 嚆d 下墨。( ) ； 层怕如圳 0 s u p 训v u , ( 0 a u ( t ) 吣s k t e o ，即 并且2s m 茎r ，那么 ( i ) 当日一2 ，3 p r 时，有 日( t ) s 且( o ) + c 1 e ( o ) 孕k 2 + c 2 e ( o ) 学k s i g l ( 日( o ) ，e ( o ) ，k ) 1 0 ( 2 , 2 8 ) ( 22 9 ) ( i i ) 当2 g r g + 1 p r 且p q 2 r 时，有 豉( t ) b ( o ) + 岛e ( o ) 警- 2 k 4 + q e ( o ) p - ，2 + q e ( o ) p - ，a 3 + 铙e ( o ) d 产k 3 兰g 2 ( 匠( 0 ) ，e ( o ) ，) 其中q “= 1 ，6 ) 是与k 有关的常数 证明t( 2 1 ) 式两端与一毗( t ) 作内积得到 上v u t t v u t d x - 小t 豢蚺洳u 【t ) 1 1 2 + - f l ( 一) m q - 2 ：v u 扣上。屯t 警扣。 ( 2 3 0 ) 注意到 等= 一( m 一1 ) j 地l m - - 2u l t - _ ( p 1 ) i “ ，一2 啦 ( 2 3 1 ) 将( 2 3 1 ) 式代入( 2 3 0 ) 式得 ：爰叫v u t ( ) 1 1 2 + i | u ( ) 1 1 2 + 磊m 了i - j i i im ( i c + q - 2 n 1 十( m + ( q - - i ) ni 毗 q - 2w u d 。 = ( p - 1 ) f r 。f ”旧毗1 4 血+ 。一1 ) 上，“p 刚“d z 上式两端在( o ，) 上积分得 日( 。) 最( 。) + 2 一1 ) 上上。f t 1 ”2 i mrd 砌r + 2 扫一1 ) z 。上。i “i p - 2u t m t d z 打( 2 3 2 ) 据h s l d e r 不等式得到 2 ( p - 1 ) f o 。上。i “l 一2 1 吨pd 。d r 2 ( p 一1 ) l i “( t ) 临z l i 蚍( 。) l i 每f r 。 s2 ( p 一1 ) i | v u ( t ) | | 9 2 v 啦( ) 胪 2 ( p _ 1 ) ( 当) 学即) 孚置口 1 1 和 = ( p - 1 ) f r i ，一2 ( 毗) 2 】| 6 d z 一白一1 , o 上( p 一2 ) iu110 r 1 州u ( 吨) 5 捌r j ( p - 1 ) i iu 0 ) i i ，p ，- r 2 。i iu t ( ) f g ，r ，+ 0 1 ) i iu of f p p ，- r 2 。i iu 1f i ；，r ； + ( p - 1 ) 0 , 一2 , o 1 lu ( 订i i n , r “, i ir e ( r ) 眩r ，打 s ( p 一1 ) 0v u ( t ) l i p 一20v 撕( t ) 1 1 2 + ( p 一1 ) j lv i l p 一2 | | v u l0 2 + ( p 一1 ) ( p 一2 ) j ci i v u ( r ) l i p - a l l v u t ( r ) 1 1 3d r = ( p - 1 ) ( 墨) 学e ( 0 ) 一2k 2 + 扫一1 ) ( 墨) 警耳3 t e ( r ) 譬打 ( 2 蚴 将( 2 a a ) ，( 2 代入( 2 3 2 ) 得到 上i ( t ) e 。( o ) + g e ( o ) p - ，2 膏g + c e ( o ) 一2k 2 + c k a ，e ( 下) 2 d r( 2 3 5 ) j o 现在来处理( 2 3 5 ) 式右端最后一项根据引理2 ( i ) 当2 s m 茎r 】口= 2 ，3 p r 时， 由于 故 f o t e ( r ) 譬d r f 0 1 即) 警打+ j ( 。酬譬打 f ( o ) 学+ f 。e ( 0 ) 2 e x p ( 一p l ! z 善r ) d ， j 0 z = 酬学+ 面2 习e ( o ) 譬 b ( t ) 目( o ) + o 四( o ) 学舻+ c 2 e ( o ) 学x 3 1 2 ( i i ) 当2 s m ! r ，2 0 令 g ( 鼠( o ) ，e ( o ) ，眉) 三g l ( 取( 0 ) ，e ( 0 ) ，) 或吼( 日( 0 ) ，目( o ) ，k ) 并设 s k = ( “o ，t 1 ) w i g k 2 ) r 2 3 6 ) 由于e 耀。g ( 鼠( o ) ，e ( o ) ，k ) = 日( o ) ，故集合靠非空( 只要取f ( o ) 充分小以及 e ( o ) k 2 即可) 这意味着包含一个以原点为心的小球而且，若( 锄，) ， 则j | v u ij i o ，) ，则问题( 2 5 ) 一1 2 7 ) 的局部解在某个区间【o i t ) 上存在并满足i i u ( e ) i i 兰k 以及i iv 撕( ) 临k ，【o ，q 再由引理3 可知 s u p 训“( ) l l ，1 lv u t ( ) ) i l ( ) 5 1 墨g ( e 。( o ) ，e ( o ) ，k ) k 2 ， 例如，当g ( 日( 妣e ( t 。) ，耳) = g l ( b ( o ) ，e ( t o ) ，耳) 舻时， 即 由引理3 巳( 亡o ) + q e ( 如) 警k 。+ c i 曰( 如) 孚k 3 舻 点0 ( o ) g 1 ( b ( 0 ) ，f ( 0 ) ，) s 及( o ) + c 、e ( o ) 皆- 2 k 2 + c 2 e ( 0 ) 譬k 3 又因为e ( t o ) k 2 上式两端当e ( o ) 一0 时取极限得日( o ) k z 这显然与阳) s k 矛盾因此我 们得到，对于任意的t 【o ，t ) ，( u ( t ) ，m ( ) ) 强 如果对某个k 0 ，( 如m ) s k ，那么局部解u ( t ) 在【o ，t ) 上满足( 2 3 7 ) 式并且仍 有( u ( ) ( e ) ) 船既然我们可以无限次地重复这个延拓过程，便可断言，只要 ( u o ，u 。) 8 ，解u ( t ) 就能被整体延拓到i o ，+ o 。) 上，并且对任意的t 0 ，( “( ) ，u 。( t ) ) s 最后对u 。( ) 进行估计( 2 ，1 ) 式两端与u t t ( ) 作内积，并利用g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 插值不等式立即得到 0 “( ) 1 1 0 ，0 0 ) 得到 二( 1u q - 2 一i 毗 q - 2 1 1 t ) 嘶厶iu 一u t l ( 砖r 2 + i n t r 2 ) q i | “ 一“i i ( | iu i i 。q - ( 口2 2 ) + i iu 0 。q ( - 口2 2 ) ) | | w jl i b 砖一m0 ( 1 l v n 1 1 9 2 十0 v 毗0 4 2 ) 1 1 v 嘶1 l ( 2 3 9 ) 其中，n ，b 满足i 1 + + ；一1 及。( g 一2 ) ，b 鹩根据我们的假设，吼b 是可以取到 的 当k 一0 时，( 2 3 9 ) 式的右端显然收敛到0 于是得到 即 ( u “( ) ，“o ) 一( u ( t ) ，1 吩) + ( i m ( ) 1 4 2u t ( t ) ，吩) = 0 ， 0 “l ( o ，+ o o ；讲。( n ) n 日2 ( n ) ) nw 1 ( o ，+ 0 0 ；h 1 ( n ) ) nh 胆，( o ，+ o 。；l 2 ( n ) ) u c 工m ( o ，+ 。i 工( r 1 ) ) nl q ( 0 ，+ o 。；工9 ( q ) ) 并且u 是问题( 1 ) ( 4 ) 的解 再据弱+ 极限的下半连续性得到 扣删n ( ；一；1 ) 1 1w ( 州一 0 且对某个t o ) 0 ，当t t o 时，有一c t h ( 0 ，( ) 一6 ( t ) 和以t ) 如 ( ) ，其中l ，妇 为正常数 ( 5 ) ( u o m ) ( 啡。( n ) n 日2 ( n ) ) 2 ，在f x 上满足相容性条件镪= 0 其中珥b ( n ) = p 础( n ) ：u i r 、= o ) 1 6 则对任意的t o 问题( 3 1 ) ( 3 4 ) 存在至少一个整体广义解 u w 1 ，o o o ，t ；砩。( n ) ) 且u 比l ( o ，t ；l 2 ( n ) ) 若令( a 2 ) 中的p ：1 且1 1 1 。，妒，。) 和( a 1 ) 中的卢充分小，则存在正常数c 和7 ，使得 e ( t ) ； 矗( i 廿( t ) 1 2 + i w c t ) 1 2 ) d x 娃p ( 一7 t ) ， t 如 此外，若f l l i p s c h i t z 连续，则解是唯一的 2 整体广义解的存在与衰减 设t 嘶墚，是空间磷。( n ) n 片2 ( n ) 的一组标准正交基，使得 蛳，u 1 ) s p a n l ， 2 ) 作问题( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的近似解 女 u ( t ) = 蛳( t ) q 。20 j = i 据g a l e r k i n 方法，辨o = l ，k ) 满足下列常微分方程组的初值问题 各( ) ，q ) + ( v 让。0 ) ，v 屿) + ( f o ( w ( e ) ) ，她) + ( 9 0 g ) ，屿) = 胁t f ) ( 扩( r ) ) ，屿) r | d r ，t 0 ，j = 1 ，2 ， 铲( o ) = u o ，键( o ) = l ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 ” 据常微分方程的一般理论，问题( 3 6 卜( 3 7 ) 存在唯一的局部解矿( ) c a o 。n ) 随后 进行的第一个先验估计将说明铲( ) 能被整体延拓列【0 ，+ o o ) 上 第一个估计 将方程( 3 6 ) 中的哟换为“ ( ) ，注意到h ( o ) = o ，得到 夏d1 互1l