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汽车仪表台振动特性计算机辅助分析 摘要 随着汽车工业的飞速发展，人们对汽车的舒适性要求越来越高，所以在新 车型的开发中对汽车n v h 性能的要求越来越高，n v h 是指n o i s e ，v i b r a t i o n 和7 h a r s h n e s s ，分别为振动、噪声和声振粗糙度，简单地讲，在汽车中的一切触觉和 听觉感受都属于汽车n v h 特性研究的范畴。汽车n v h 特性研究是以汽车整个系 统作为研究对象的，但是汽车整车系统非常复杂，一般都是将整车系统分解为 各个子系统分别进行研究。 汽车转向系统、仪表台等车内关键部件的振动特性对整车的n v h 性能有着 很高的贡献度，因此整车的n v h 性能的提高离不开转向系统、仪表台等车内关 键部件振动特性的改善。所以在新车型开发时，车内关键部件振动水平应被控 制在预设的范围内。 本文根据实际应用课题，对汽车仪表台振动特性从不同的几个方面进行分 析。首先是从理论方面着手，对产生仪表台振动原因进行具体分析，为后面的 工况分析指明方向；其次，对该车型的具体数据进行分析计算，得出其振动特 性。因为影响汽车仪表台振动由其内在和外在特性所决定，所以本文主要是这 两个方面展开的，后来又对仪表台振动的灵敏度进行了分析。下面是本文的主 要内容： ( 1 ) 根据仪表台、转向柱与仪表横梁的c a d 模型，材料属性等数据对仪 表台、转向柱与仪表横梁进行有限元方法仿真分析，计算其模态参数以及转向 柱与仪表横梁连接支架结构静强度。 ( 2 ) 建立整车的多体动力学刚柔耦合模型，分析仪表台在多种工况下的振 动特性。 ( 3 ) 对影响仪表台振动的整车参数进行灵敏度分析，为其后的改进提供理 论参考。 关键词：有限元分析刚柔耦合仪表台转向柱与仪表横梁总成振动特性 c o m p u t e r - - a i d e da n a l y s i so fa u t o m o b i l ed a s h b o a r d v i b r a t i o np e r f o r m a n c e a b s t r a c t a st h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h ea u t o m o b i l ei n d u s t r y ，i n c r e a s i n gr e q u i r e m e n t s f o ra u t o m o b i l ec o m f o r t a b l ea r en e e d e d s on o wt h er e q u i r e m e n tf o rn v h p e r f o r m a n c ei si n c r e a s i n gi nn e wa u t o m o b i l ed e v e l o p m e n t n v hr e f e r st on o i s e ， v i b r a t i o na n dh a r s h n e s s ；t os a ys i m p l y ，a l lo ft h ef e e l i n g sa n dh e a r i n g si nc a r b e l o n gt on v ha n a l y s i sc a t e g o r y t h ec a rn v h p e r f o r m a n c er e s e a r c hb a s i so nt h ew h o l ev e h i c l es y s t e m ，w h i c h a r ev e r yc o m p l i c a t e d s ow eu s u a l l ys t u d i e db yd i v i d i n gt h ew h o l ev e h i c l es y s t e m i n t os o m es u b s y s t e m s i n t e r i o rk e yp a r t s ，l i k ec a rs t e e r i n gs y s t e ma n dd a s h b o a r d ，v i b r a t i o n p e r f o r m a n c eh a v eah i g hc o n t r i b u t i o nt ot h ew h o l ev e h i c l en v hp e r f o r m a n c e i fw ew a n tt oe n h a n c et h ew h o l ev e h i c l en v h p e r f o r m a n c e ，i n t e r i o rk e yp a r t s v i b r a t i o np e r f o r m a n c es h o u l db ei m p r o v e d s ot h ei n t e r i o rk e yp a r t sv i b r a t i o nl e v e l m u s tb ec o n t r o l l e di np r e f e r r e dr a n g ea sd e v e l o p i n gan e wv e h i c l e 。 t h i s p a p e ri s b a s e do n p r a c t i c a lp r o je c t ，a n d t h ed a s h b o a r dv i b r a t i o n p e r f o r m a n c ea n a l y s i sw a sw o r k e do u tt h r o u g hs o m ed i f f e r e n tw a y s f i r s t ，o u rt e a m a n a l y z e dt h ec a u s e so ft h ed a s h b o a r dv i b r a t i o ni nd e t a i l ，w h i c ha sr e s u l tg a v et h e d i r e c t i o no ff o l l o w i n gj o b s t h e n ，d a s h b o a r dv i b r a t i o np e r f o r m a n c ew a sa n a l y z e d a n dc a l c u l a t e da c c o r d i n gt ot h ed e t a i l e dc a rm a t e r i a ld a t a b e c a u s et h ed a s h b o a r d v i b r a t i o np e r f o r m a n c ei sd e c i d e db yb o t he x t e r n a la n di n t e r n a lf a c t o r s ，s ot h i sp a p e r d i s p l a y st h r o u g hs u c ht w oa s p e c t sa n dt h e nt h ed a s h b o a r dv i b r a t i o ns e n s i t i v i t yt o v e h i c l ep a r a m e t e r si sa n a l y z e d t h ec o n t e n to ft h ep a p e ra r ea sf o l l o w s ( 1 ) d a s h b o a r d ，i pm o d e la n di n t e n s i t ya r ea n a l y z e db yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h em o d a lp a r a m e t e r sa n dt h ei n t e n s i t yo fi pj o i n ts u p p o r t sa r ec a l c u l a t e d ( 2 ) t h em u l t i - d y n a m i cr i g i d f l e x i b l ec o u p l i n gv e h i c l em o d e li ss e tu pa n dt h e i pv i b r a t i o np e r f o r m a n c ei sa s s e s s e du n d e rv a r i o u sw o r k i n gc o n d i t i o n s ( 3 ) t h ed a s h b o a r dv i b r a t i o ns e n s i t i v i t yt ov e h i c l ep a r a m e t e r si sa n a l y z e d ，w h i c h c a np r o v i d et h et h e o r yr e f e r e n c ef o rf u t u r ei m p r o v e m e n t s k e yw o r d s ：f e a ；r i g i d f l e x i b l ec o u p l i n g ；d a s h b o a r d ；i p ；v i b r a t i o np e r f o r m a n c e 插图清单 2 1三角形单元t r i a 3 1 3 2 2 四边形单元q u a d 4 1 ) 2 3仪表台有限元网格单元模型1 7 2 4 转向柱有限元网格单元模型1 8 2 5转向柱与仪表横梁总成有限元网格单元模型1 8 2 - 6转向柱与仪表横梁连接支架几何结构图一2 7 2 7垂直方向载荷应力云图一蹦 2 8水平方向载荷应力云图2 8 3 1刚体上点的位置矢量o u 3 2 局部坐标示意图5 4 3 3 前悬架模型拶 3 4 后悬架模型一州 3 5转向系统模型：一拶 3 - 6 车身模型删 3 7 发动机模型珥u 3 8轮胎模型叫 3 - 9 仪表台在车身连接位置4 0 3 一l o 仪表台实体模型珥u 3 1l 仪表台柔性体模型4 l 3 1 2 仪表台在整车中的刚柔耦合模型4 1 3 1 5 怠速仪表台垂直振动加速度曲线4 l 3 1 6 怠速仪表台垂直振动加速度功率谱曲线”4 1 3 。l72 0 k m h 仪表台垂直振动加速度曲线4 2 3 182 0 k m h 仪表台垂直振动加速度功率谱曲线一4 2 3 1 94 0 k m h 仪表台垂直振动加速度曲线4 2 3 2 04 0 k m h 仪表台垂直振动加速度功率谱曲线4 2 3 2 16 0 k m h 仪表台垂直振动加速度曲线4 2 3 2 26 0 k m h 仪表台垂直振动加速度功率谱曲线4 3 3 2 38 0 k m h 仪表台垂直振动加速度曲线4 3 3 2 48 0 k m h 仪表台垂直振动加速度功率谱曲线4 3 3 2 51 0 0 k m h 仪表台垂直振动加速度曲线一4 3 3 2 61 0 0 k m h 仪表台垂直振动加速度功率谱曲线4 3 4 1 五自由度半车动力学模型4 8图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图 表格清单 表2 一l 网格标准1 6 表2 2 仪表台网格单元参数1 7 表2 3 转向柱与仪表横梁总成网格单元参数1 8 表2 4 仪表台前2 0 阶固有频率计算结果统计表2 l 表2 5 各阶模态振型变化列表2 2 表2 - 6 转向柱与仪表横梁总成前2 0 阶固有频率计算结果统计表2 4 表2 7 各阶模态振型变化列表2 5 表3 1 仪表台垂直加速度均方根值4 4 表4 1 前悬架刚度增加2 5 前后计算结果4 5 表4 2 后悬架刚度增加2 5 前后计算结果4 6 表4 3 前悬架阻尼增加2 5 前后计算结果4 6 表4 4 后悬架阻尼增加2 5 前后计算结果4 6 表4 5 仪表台连接处刚度增加2 5 前后计算结果4 6 表4 6 仪表台连接处阻尼增加2 5 前后计算结果4 7 表4 7 空载和满载前后计算结果4 7 表4 8 仪表台振动灵敏度计算结果5 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得 金起工些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文版权使用授权书 够月，占日 本学位论文作者完全了解 佥旦墨互些太堂 有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 金起互丝太堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名： 谩又嘞 签字日期肿亨年、p 月7 影日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：猡气 签字日期叫年q 月f ，日 ， 电话： 邮编： 致谢 三年的研究生阶段即将结束，在完成本论文之际，对在这段珍贵的时间中 给予我从学习及生活上关心和帮助的人表示衷心的感谢。 本文的研究工作是在导师王其东教授的悉心指导下完成的。王其东老师严 谨求实的治学态度、高度负责的敬业精神、渊博的学识、博大的胸怀、广阔的 视野、敏锐的洞察力，都给了我深深的影响和启发，使我在学术和科研水平上 受益匪浅。王老师高尚的人格和对学生的热忱关怀更使我如沐春风，终身难忘。 值此成文之际，特此首先向王其东导师致以衷心的感谢和崇高的敬意。 在作者的课题研究和论文的完成过程中，合肥工业大学机械与汽车学院噪 声与振动研究所的王建楠师兄，奇瑞汽车有限公司的刘焕广和陈斌工程师等都 提供了多方面的指导和帮助，在此向他们表示诚挚的感谢。 感谢初长宝、祝辉、赵林峰、刘翔宇、骆涛、洪小军、章贵华、秦炜华师 兄在学习上对我的指导和帮助，感谢王祺明、胡金芳、何艳则、汪明磊、李芳 龙、黄明、张伟峰、刘杰、马文博、鲁爽、程龙群在我的课题研究和论文写作 期间给予我的启发，同时感谢格物楼4 1 2 、4 1 0 矛1 l0 8 所有的同学和师兄师姐，他 们对学习和课题研究的认真态度和对生活的乐观精神深深的影响了我，和他们 在一起学习和交流的这段时间里使我受益匪浅，与他们结下的深厚情谊使我永 志难忘。 特别感谢我的父母和姐姐，感谢他们一直以来对我不断求学的坚定支持， 正是他们无微不至的关怀和照顾、任劳任怨的付出才使得我能够圆满地完成硕 士阶段的学业。 感谢合肥工业大学，在这里我不仅获得了很多专业知识，也学到了很多做 人的道理。 作者：夏云峰 2 0 0 8 年3 月2 0 日 第一章绪论 1 1 引言 自从1 8 8 6 年第一辆汽车问世以来，汽车工业已经经历了一百多年的发展历 程。由于社会需求的不断增长和科学技术的推动汽车设计日臻精巧其各项性能 都有很大的提高。 根据上世纪九十年代对欧洲汽车市场的调查，由于汽车的性能、质量等方 面均已达到较高的水平，因此顾客对乘坐舒适性的要求明显提高，仅次于汽车 的款式u 2 j 。对于中小型汽车，由于市场的激烈竞争使得汽车的重量、价格等因 素被严格约束，这就使以改善汽车乘坐舒适性为目的的汽车n v h 特性的研究变 得更加重要。n v h 是指n o i s e ，v i b r a t i o n 和h a r s h n e s s ，分别为振动、噪声和声振粗 糙度。 我国汽车工业在引进消化和吸收国外先进的汽车生产技术的基础上已取得 了长足的发展。特别是进入二十一世纪以来国内的汽车工业正处于高速发展的 阶段，在市场经济下为了在较短的时间里，以较低的成本开发出性能更优越， 乘坐更舒适的汽车，各汽车公司对汽车的振动与噪声性能的关注度越来越高， 在新车型的开发过程中，汽车n v h 性能的要求已经提升到一个前所未有的高 度，它已经成为与机械性能和安全性能同样重要的购买要素【2 - 7 j 。 汽车n v h 特性作为当今新车型开发中一项重要的汽车性能指标，其中汽车 随机振动研究是汽车n v h 最原始也是最基础的研究内容。由于振动和噪声在汽 车等机械振动中是同时出现且密不可分，因此常把它们放在一起进行研究。汽车 振动与噪声我们已经都不陌生，每一款汽车在运行时都会伴随着振动与噪声。 简单地讲，乘员在汽车中的一切触觉和听觉感受都属于汽车n v h 特性研究的范 畴，此外，还包括汽车零部件由于振动引起的强度和寿命等问题。汽车n v h 特 性研究是以汽车整个系统作为研究对象的，但是汽车整车系统非常复杂，一般 都是将整车系统分解为各个子系统分别进行研究。就目前的研究现状来看，汽 车各予系统n v h 特性的研究主要是研究由各子系统的固有特性以及发动机作 为一个激励源产生的或汽车处于某种工况下的传动系统n v h 特性，通常在对子 系统的n v h 性能研究的过程中，我们都是从低频的随机振动入手，分析激振源 以及振动传递特性再对整个系统从低频到高频的n v h 特性进行全面系统的研 究，因此对汽车振动特性研究仍是汽车n v h 特性分析过程中重要的研究内容 f 2 】i s - s 0 o 汽车车内关键部件的振动对整车的n v h 性能的影响有着很高的贡献度，因 此汽车车内关键部件像汽车仪表台、仪表横梁和转向系统等是汽车n v h 性能分 析内容中非常重要的部分，本文正是以汽车仪表台、转向柱与仪表横梁为研究 对象分析其的振动特性等n v h 性能。 1 2 研究背景和方法 1 1 - 1 3 j 国内汽车行业正处于高速发展期，各大汽车生产商都竟相推出极具市场竞 争力的车型。当前汽车特别是轿车的开发，不仅要求其操纵稳定性、安全性等 性能要达到较高的水平，对汽车n v h 性能要求也提到一个前所未有的高度。 本文的研究对象是国内一款正处于开发阶段的新车型，该车型的n v h 性能设 计要求是达到和超过其对标车的n v h 性能指标。由于汽车n v h 特性研究是一 个系统的工程，分析过程一般要分解成多个子系统，然后对各个子系统的n v h 特性进行单独研究，分析其对整车n v h 性能的影响。 在计算机技术的空前发展，计算方法的不断改进，计算软件的不断地推陈 出新的今天，使得c a e 技术以其快速高效和低成本成为汽车n v h 分析设计的 重要手段。下面是当前比较通用的几种n v h 研究方法。 有限元方法是把连续的柔性体划分成有限个单元，通过在计算机上划分网 格单元建立有限元模型，计算系统的变形和应力以及动力学特性。由于有限元 方法的日益完善以及相应分析软件的成熟，使它成为研究汽车n v h 特性的重要 方法。一方面，它适用于车身结构振动、车室内部空腔噪声的建模分析；另一 方面，与多体系统动力学方法相结合来分析汽车系统的动力学特性，其准确度 也大大提高。 与有限元方法相比，边界元方法降低了求解问题的维数，能方便地处理无 界区域问题，并且在计算机上也可以轻松地生成高效率的网格单元，但计算速 度较慢。对于汽车车身结构和车室内部空腔的声固耦合系统也可以采用边界元 法进行分析，由于边界元法在处理车室内吸声材料建模方面具有独特的优点， 因此正在得到越来越广泛的应用。 以空间声学和统计力学为基础的统计能量分析方法是将系统分解为多个子 系统，研究它们之间能量流动和模态响应的统计特性。它适用于结构、声学等 系统的动力学分析。对于中高频( 3 0 0 h z 以上) 的汽车n v h 特性预测，如果采 用有限元或边界元方法建立模型，将大大增加工作量而且其结果准确度也不高， 因此这时采用统计能量分析方法是比较好的选择。 多体系统动力学方法将系统内各部件抽象为刚体或柔性体，研究它们在大 范围空间运动时的动力学特性。在汽车n v h 特性的研究中，多体系统动力学方 法主要应用于底盘悬架系统、转向系统、仪表台组件等低频范围的建模与分析。 本文主要选择有限元方法和多体动力学方法对被研究对象进行仿真计算， 分析其n v h 特性。 1 3 研究目的和意义 汽车振动特性的研究不仅适用于整个汽车新产品的开发过程，而且适用改 进现有车型乘坐舒适性的研究。这过程一般是针对汽车的某一个系统或总成进 行建模分析，找出影响汽车振动的各因素，通过降低激励源的振动幅度、改变 2 激励源的振动频率或控制激振源振动向车室内的传递来提高车内振动水平。 本文通过c a e 手段对仪表台、转向柱与仪表横梁等车内关键部件进行研究， 分析其振动特性，为整车的振动与噪声性能的改进提供理论参考依据。其中对 仪表台、转向柱与仪表横梁进行有限元分析，可以使仪表台、转向柱与仪表横 梁的固有频率移出激励频率范围并保证仪表台的响应振幅最小；对转向柱与仪 表横梁连接支架的静强度分析，试图发现结构方面的薄弱区域并结合模态分析 为结构优化做前期准备：以及利用整车多体动力学刚柔耦合模型对仪表台组件 在不同工况下的振动特性进行分析研究，并为参数灵敏度的分析提供模型仿真 参考。 汽车n v h 性能的研究属于一个系统的工程，其中包含的内容众多与复杂， 所以通常是对整车的n v h 研究进行细分，这样我们可以有重点的对其中某一部 分进行研究。我们通过相关研究希望在汽车开发的前期设计阶段，根据对于被 研究对象的边界条件，借助计算机仿真手段对仪表台、转向柱与仪表横梁进行 模态分析、转向柱与仪表横梁连接支架强度分析以及仪表台在整车中不同工况 的仿真计算，分析汽车仪表台、转向柱与仪表横梁的振动特性。在此基础上对 模型结构和参数的优化提供参考依据，为整车的n v h 性能的提高和开发时间的 缩短提供有力的支持。 1 4 国内外研究现状 自从汽车问世以来，对它的振动分析就开始。作为汽车振动的输入之一的 路面输入是随机输入，而对于汽车的随机振动分析，基本上是从二十世纪五十 年代才开始的。上个世纪七十年代以来，随着电子计算机技术的发展，电子计 算机在各个领域得到广泛应用，同时由于快速傅里叶变换算法的出现与发展， 使得对随着振动的研究达到一个新的水平。在国内早在上个世纪七十年代，郭 孔辉就将随机振动理论应用与汽车振动的研究 1 4 j ，随后在1 9 8 3 年，张洪欣和胡 子正等在对一款越野车的平顺性研究中，将汽车简化为五自由度振动系统模型， 计算了汽车在随机路面激励下的响应。在这之后，对汽车的随机振动方面的 研究不管是理论方面还是模型的精度方面都有很大的提高与进步i l 一1 。 近年来，随着汽车n v h 技术的研究飞速发展，对汽车的随机振动的研究又 进入了一个新的高度。本文是研究汽车仪表台、转向柱与仪表横梁等车内关键 部件的振动，它是整车的n v h 性能研究中重要的一个组成部分。 仪表台、转向柱与仪表横梁等振动特性的好坏对整车的n v h 性能具有很高 的贡献度，国内外的一些研究单位早在上个世纪就开始从设计阶段开始从材料、 结构等方面以及通过试验和c a e 等手段对仪表台、转向柱与仪表横梁的振动特 性进行了富有成效的研究 1 8 - 2 1 j ，像美国福特汽车公司的b i j a nk h a t i b - s h a h i d i ， w e ih o ，和b oh a n 在1 9 9 6 年就通过c a e 和试验方法对一款皮卡的仪表台、转向 柱与仪表横梁进行了n v h 性能的研究，并对其提供了改进意见 2 2 1 ；后来t o m 3 d i m a m b r o ，i a nf l e m i n g 等在仪表台的设计之初就将n v h 性能考虑在内，并且根 据试验等方式对仪表台提出设计要求 2 3 j ；还有g e r h a r ds l i k 同样是在仪表台的设 计之初就将n v h 性能作为一项重要的设计指标，为提高整车的n v h 水平做出了 重要的贡献【2 4 】。在国内有像奇瑞汽车公司的田冠男，杨晋，谢然，徐有忠对汽 车转向系统n v h 性能的分析与设计流程的研究 2 5 j 等。对国内外的参考文献分析 发现当前对汽车仪表台的n v h 特性分析主要集中在对仪表台、转向柱与仪表横 梁部件的有限元分析和试验研究，很少有在整车模型中对仪表台等子系统的振 动特性进行研究，其中对仪表台在整车中刚柔耦合分析更是一个新的研究方向。 对于汽车n v h 技术的研究世界上各大汽车生产商以及汽车研究机构均非 常重视，国外著名大汽车公司，如通用、福特、克莱斯勒、大众、丰田、本田 和日产等，都设有专门的汽车振动噪声研究部门，解决生产和产品开发中的噪 声、振动和乘坐舒适性问题，并根据不同的车型采取不同的振动噪声控制措施。 国内开展该领域研究较早的单位有吉林大学、清华大学、上海泛亚、合肥工业 大学等【2 6 - 3 0 】。 1 5 研究思路和内容 本论文的研究思路和主要内容如下： 通过理论分析和c a e 仿真计算，分析仪表台、转向柱与仪表横梁的振动特 性和对整车的n v h 性能的影响。为进一步的设计和优化提供理论指导依据。具 体的工作内容主要分为以下几个部分： ( 1 ) 将三维立体模型导入到h y p e r m e s h 软件中，建立起仪表台，转向柱与 仪表横梁总成的有限元模型。 ( 2 ) 利用有限元分析软件n a s t r a n 对仪表台、转向柱与仪表横梁总成进行 模态参数计算，转向柱与仪表横梁连接支架强度分析。 ( 3 ) 在a d a m s 软件中建立包括仪表台、转向柱与仪表横梁的整车中多体动 力学刚柔耦合模型，分析仪表台组件在整车中各种工况下的振动特性。 ( 4 ) 利用建立好的整车多体动力学刚柔耦合模型分析相应参数对仪表台振 动的影响，接着建立半车数学模型，计算影响仪表台组件振动的参数灵敏度值。 为下一步的优化设计提供理论参考依据。 4 第二章仪表台、转向柱与仪表横梁有限元分析 本章利用有限元方法 3 1 - 3 4 1 和h y p e r m e s h ，n a s t r a n 软件对仪表台、转向柱与 仪表横梁进行模态分析，转向柱与仪表横梁连接支架的强度计算，研究其振动 特性以及对整车n v h 性能的影响。其中本章仪表台的有限元模型的建立为下 一章的刚柔耦合模型的建立提供模型和相关计算文件( m n f 中性文件) ，为后面 的工作奠定基础。 2 1 有限元理论和方法简介1 3 5 j 2 1 1 线性静力分析 ( 1 ) 线性静力分析的基本假设 ( a ) 连续性假设。这个假设有两层含义。第一，物体被抽象成一个形状和 位置与其相同的、连续而密实的空间集合体，物体的性质以及位移，应力，应 变的物理都作为空间点的函数定义在这个几何体上。第二，物体在整个变形过 程中始终保存连续，原来相邻的两个点变形后任然是相邻点，不会出现重叠和 开裂现象。 ( b ) 弹性假设，即材料的应力与应变成正比关系，且应力不超过它的屈服 应力点；卸载后可以恢复到初始状态，不产生残余应力和残余应力。 ( c ) 物体在不同点处的弹性性质处处相同，且与参考方向无关。 ( d ) 小位移假的，这是推导线弹性力学方程的必要条件，即要求结构的变 形挠度远小于结构的截面尺寸。 ( e ) 缓慢加载、卸载过程，即载荷的施加和卸载过程足够慢，可以看做静 态过程，而不招致结构的动力响应。 ( 2 ) 弹性力学问题的基本方程 对于三维线弹性力学问题，弹性力学方程可写成如下形式。 ( a ) 平衡方程 在直角坐标系中，弹性体v 域内任何一点的平衡方程可写成 a o r + f = 0 ( 2 - 1 ) 公式中a 一一微分算子； 盯一一应力矩阵，仃, - - 仃x o y o ：f 砂f 弦f “n 厂一一体积力向量，厂= 六 z 】r 、五、z 为单位体积的体积力在x 、 y 、z 方向的分量。 5 彳= a n u 缸 a u 一 砂 0o o 旦 砂 a o 瓦 旦。 瑟 。旦 a z a ，、 一u a z aa 砂叙 ( 2 2 ) ( b ) 几何方程 在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应向量和位 移向量的几何关系为 占：l u ( 2 3 ) 式中 占一一应变列阵，占= h 占，占：如7 。 2 三一一微分算子，= 彳7 “一一位移向量，“= u x u ，“：】 ( c ) 物理方程 1 ，根据广义胡克定律，对各向同性的线弹性材料，其应力一应变关系可表 示为 仃= d e ( 2 - 4 ) 式中d 一一弹性矩阵。 d ： 墨! ! 二尘 ( 1 + 1 ，) ( 1 2 v ) 1 v 1 1 ， 1 ， 1 1 ， j ，一j l 00 1 一v1 一v 1 j l 00 l 一1 ， j ，_ 10 0 ooo! 二型0 0 2 ( 1 2 v ) 。 。丽1 - 丽2 v 000 0。0 o 1 2 v 2 ( 1 2 v ) ( 2 5 ) 式中e 一一材料的弹性模量 ，一一泊松比。 ( d ) 力的边界条件 弹性体的边界上单位面积的内力为r = 【疋l 】r ，在边界上已知弹性体 单位面积上作用的面积力为t - 疋瓦】。根据平衡应有： 丁：一t ( 2 - 6 ) t ：n o ( 2 7 ) i 刀，00 ，l j ，0 刀：i 栉= 10 n y0 纷x 以：ol ( 2 8 ) l 0 0 以：0bn x j ( e ) 几何边界条件 在s 。上弹性体的位移已知为“= 瓦万乏 r ，则应有 6 “= u ( 2 - 9 ) ( f ) 弹性体的应变能和余能 单位体积的应变能为 u 似) ：三占r d 8 ( 2 - 1 0 ) 2 应变能是一个正定函数，只有当弹性体内所有点都没有应变是应变能才为 零。单位体积的余能为 v ( o - ) = 三仃r c o ( 2 1 1 ) 2 余能也是一个正定函数。 ( 3 ) 线弹性力学的有限元方法 有限单元法是将连续体离散为有限个单元，每个单元内的位移场可表示为 = n a 。 ( 2 1 2 ) 式中一一单元形函数 a 。一一单元结点位移阵列 将几何方程式( 2 3 ) 和物理方程式( 2 4 ) 带入平衡方程式( 2 1 ) 可得 a d l u + f = 0 ( 2 1 3 ) 根据伽辽金法，在每个单元内对式( 2 13 ) 及力的边界条件式( 2 7 ) 进行加权 积分，可以得到变分 万兀8 ( “) = 0 ( 2 1 4 ) 式中 1 - i 。 ) 为泛函 兀舷) = a e r l 三r l r d l n d v a e _ a e r 丘7 f a t ：_ a e r 是矿册 ( 2 - 1 5 由上两式可以推出 k 8 a 8 = p 。 ( 2 1 6 ) 式中k 。一一单元刚度矩阵； k 。= in r l r d l n d v ( 2 - 1 7 ) ，匕 p 一一单元等效结点载荷矩阵。 e ：f r 留y + fnrtdspnt d s ( 2 18 ) 。= i 1 留y + i ( 2 - 18 ) y t o 将式( 2 16 ) 对所有单元就和，就可以得到求解所有结点位移向量的有限元方 程： k a = p ( 2 1 9 ) 式中足一一单元刚度矩阵集成的整体刚度矩阵； 口一一整体结点位移向量矩阵； 尸一一单元结点载荷向量的位移向量集成的整体等效结点载荷向量。 求解式( 2 1 9 ) 即可得到所有结点的位移向量，连续体的位移场则可由是 ( 2 1 2 ) 给出，从而得到空间人已点的位移向量。在根据几何方程式和物理方 程式即可求出空间内任一点的应力和应变。 7 2 1 2 线性动力学分析 动力学分析在两个方面明显区别于静力分析：( 1 ) 动力载荷是随时间变化 的；( 2 ) 由随时间变化的载荷引起的响应，如位移、速度、加速度、反力、应 力、应变等，也是随时间变化的。这些随时间变化的特性使得动力学分析比静 力分析更复杂，也更接近实际。下面简单介绍几种基本的动力学分析。 ( 1 ) 特征值分析 ( a ) 实特征值分析 结构的固有频率是结构在受到干扰是容易发生共振的频率，结构在固有频 率下的变形称为主振动模态，也称振型。固有频率和振型的计算是计算一个特 征值问题。特征值对应固有频率，特征向量对应振型。如果在分析中忽略阻尼， 特征值为实数( 考虑阻尼则特征值为复数) 。实特征值分析就是求解无阻尼、无 外载情况下运动方程的特征值及特征向量。 若阻尼及外载荷均为零，则系统的无阻尼自由振动方程的矩阵形式为 m 】婶) + k 缸) = 0 ( 2 2 0 ) 式中 【m 】一一质量矩阵； 隧 一一刚度矩阵。 对于线性结构系统， 必 和陋 均为是对称阵，方程( 2 - 2 0 ) 有简谐函数形 式的解： 伽) = 1 i b s i n r o t ( 2 2 1 ) 式中形 特征相量或振型； 国一一圆周率。 将缸 及微分方程式带入式( 2 - 2 0 ) ，得到如下式子： 一石o m b s i n m t + 隧】 ) s i n 耐= 0 ( 2 2 2 ) 上述在任意时刻t 均成立，故可化简为： ( 【k 卜国2 肘】) 舻) = 0 ( 2 2 3 ) 这即是典型的特征值问题。上述 ) 有非零解的条件是：( 瞄卜国2 【m ) 是奇 异的，即矩阵系数的行列式为d e t ( k 卜国2 m 】) = 0 ( 2 - 2 4 ) 或det(x一aim)=0 ( 2 - 2 5 ) 式中元= 2 。 上式可解出一系列离散的特征值五或砰。对每一个特征值，有一个特征向 量敞) 满足方程( 2 2 3 ) ( 【k 卜砰 m ) 碱 = 0 o = 1 , 2 ，刀) ( 2 - 2 6 ) 每个特征值和特征向量决定结构的一种自由振动形式。特征值与特征向量 的数目与动力自由度的数目相同。 用式( 2 - 2 6 ) 求解墩 时，相当于求解一组联立方程式。由于( 卜彩2 哗 ) 是奇异的，故此联立方程组是线性相关的，形j 有无限组解，即舫) 的矢量方向 是一定的，但大小可以任意。这意味着振型的振幅是任意的，但振型的形状是 唯一的。为了便于识别，将特征向量正规化至适当大小。n a s t r a n 有3 种正规 化方法：质量正规化，最大值正规化以及选点正规化。质量正规化方法是特征 向量正规化的默认方法，的调整特征向量分量的值使广义矩阵等于1 ，即： 办) 7 m 舫) = 1 ( 2 - 2 7 ) 固有频率和振型有许多特点使得它们在动力学分析中非常有用。当一个线 弹性结构在在自由和强迫振动下振动时，它在任意时刻的振动形状是所有模态 的线性组合，即 “) = 谚) 磊 ( 2 - 2 8 ) 式中似，) 一一位移向量； 1 形， _ 一一第i 阶振型； 量一一第f 阶模态位移。 此外，当 k 】和 m 均为实对称矩阵时，有下列数学性质： 办) 。【m 矽，) = 0o ) 办) r 【m 】 矽，) = m ，( 所，为第f 阶广义质量) 办) 1 k 】形，) = 0 o ，) 办) r 】 ，) = k ， ( k ，为第i 阶广义刚度) 由式( 2 3 0 ) 及( 2 3 2 ) 得到瑞利商： ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 31 ) ( 2 3 2 ) 政，? ：塑坠丛! ( 2 3 3 ) 虚) - = - 二二一 z 。jj 一， 办) 1 【m 矽，) 式( 2 2 9 ) 和式( 2 - 31 ) 被称为模态正交特性，它意味着每一阶模态不同 于其它阶模态。从物理上看，模态正交意味着每一阶模态的形状是惟一的，一 阶振型不能通过其它阶振型的线性组合得到。 ( b ) 复特征值分析 复特征值分析用于计算有阻尼结构的模态以及对传递函数模拟的系统( 包 括伺服机构和旋转系统) 稳定性进行评估。复特征值分析基于以下方程求解特 征值及对应振型： m p 2 + s p + k 】 “ = 0 ( 2 - 3 4 ) 式中p = 口+ i o ，口为解的实部，仞为解的虚部。 这个方程与时特征值分析中的方程类似，只是在方程中加入了阻尼，计算 出来的特征值为复数。此外，质量、阻尼及刚度矩阵可能是不对称的，也可能 包含复系数。 ( 2 ) 频率响应分析 频率响应分析是用来计算结构在稳态振动激励下响应的方法。例如，旋转 机械、直升机机翼等的激励均为稳态振动激励。在频率响应分析中，激励载荷 在频域中显式定义，对应于每一个加载频率外载都是已知的。外载荷可以是力， 也可以是强迫运动( 位移、速度或加速度) 。 9 频率响应分析的振动载荷本质上为正弦曲线，在最简单情况下，这种载荷 通过指定特定频率下的幅值来定义。稳态振动响应与载荷以相同的频率出现， 由于系统的阻尼影响，响应在时间上可能移位，响应移位又称相位移位，因为 载荷峰值与响应峰值不是同时出现。 ( a ) 直接频率响应分析 1 ) 运动方程的求解 在直接频率响应分析中，通过用复数代数解法求解一系列耦合的矩阵方程， 计算离散激励频率结构响应。对简谐激励下有阻尼强迫振动，运动方程为 m 置( f ) ) 4 - 召 位( f ) ) + k 缸( f ) ) = p ( c o ) e ( 2 35 ) 对简谐运动( 这是频率响应分析的基础) ，假定一个简谐形式的解： 缸) = u ( c o ) e 耐 ( 2 3 6 ) 式中缸) _ 一一复位向量。 将位移表达式( 3 3 6 ) 求一阶和二阶导数代人式( 3 3 5 ) ，得到 - - c 0 2 m 】 “( d ) ) e 。“+ i o j b u c o ) e 科+ k “( 国) ) p 耐= 尸( c p ) ) p 耐 ( 2 3 7 ) 上式简化得到 卜2 m + i c o b 4 - k 似( c o ) ) = j p ( c o ) ) ( 2 3 8 ) 如果考虑阻尼或外载有相位角，则此表达式代表复系数方程系统。利用复数算 法，对于每一个输入激励频率的运动方程，可以像静力问题类似地求解。 2 ) 直接频率响应分析中的阻尼 在直接频率响应分析中阻尼用阻尼矩阵 b 表示，合并在刚度矩阵 k 】中。 阻尼矩阵由几个矩阵组成： b 】= b 1 】+ b 2 】 ( 2 - 3 9 ) 式中陋1 】一一阻尼单元和b 2 g g 直接输入矩阵； 陴2 _ 一一b 2 p p 直接输入矩阵和传递函数。 在频率响应分析中，不必将结构阻尼转换为等效的黏性阻尼形式，因为求 解域为复数域，因此允许刚度矩阵为复数。 ( b ) 模态频率响应分析 1 ) 运动方程求解 模态频率响应分析是计算结构频率响应的另一种方法。这种方法利用结构 振型减小问题规模，使数值计算更为高效；当使用模态阻尼或无阻尼时还可以 解耦运动方程。作为结构特性的一部分，振型通常需要计算，因而模态频率响 应分析是主模态分析的扩展。作为推导的第一步，引入假设： ( x ) = 】( 孝( c d ) ，g 。纠 ( 2 - 4 0 ) 将变量从物理坐标 u ( c o ) ) 转换到模态坐标 善( 甜) ) 。如果用所有的模态，式 ( 2 4 0 ) 为等效变换，因为很少用到所以模态，所以上式通常是近似变换。 为了方便处理，暂时忽略所有阻尼，得到在外载荷0 9 处的无阻尼简谐运动 1 0 方程： - - c 0 2 【m 】扛) + 【k 】缸) = p ( c o ) e 胁 ( 2 4 1 ) 将式( 2 - 4 0 ) 中的模态坐标带入( 2 - 4 1 )