（基础数学专业论文）一类hartogs域的bergman核函数和陆启铿问题.pdf

首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 摘要 1 9 2 1 年，b e r g m a ns 引进b e r g m a n 核函数的概念，并在1 9 3 3 年将b e r g m a x i 核函数的 理论推广到多个复变数的情况b e r g m a n 核函数理论为数学中很多领域的研究提供了 有用的工具例如，复分析、微分几何、数学物理等等对c n 中的有界域，如何求出它 的b e r g m a n 核函数的显表达式并非易事，这己成为多复变研究中的一个重要方向 陆启铿问题源于陆启铿在1 9 6 6 年的一篇文章中提出的b e r g m a n 核函数有无零点的 问题此问题自提出至今，引起很多数学家的兴趣，并给出了大量例子，但给出的例子 大都是反例通过研究域的陆启铿问题，可以知道域的b e r g m a n 核函数的零点分布情 况，从而为判断两个域是否全纯等价提供了有力的工具 本文主要结果： ( 1 ) 我们得到域 q ( 0 ，n 1 ，2 ；k ，l ) = ( ，z ，伽) ec o + 1 + 胁：蚓1 2 k n n 。( z ，z ) 三。( 彬) ) 的b e r g m a n 核函数为 咒a ( ( ，z ，凹) ；( 虿，孑，面) ) ：k 一( l + 2 ) 7 r 一( o + m + 2 ) g ( y ) 如。( z ，z ) 一( p + 型譬) ：( ww ) 一( v + 鲁) 在这一部分，我们首先由域q ( 1 ，1 ，2 ；k ，l ) 的全纯自同构变换及完备标准j 下交函数 系求其b e r g m a n 核函数，其次利用膨胀原理计算m 域f i ( y o ，l ，g z ；k 己) 的b e r g m a n 核 函数这种方法不仅简化了计算高维复空间中一些有界域的b e r g m a a 核函数的显表达 式的过程，而且可以推广到底空间是任意有限个包含原点的有界可递域的直乘积形式 的h a r t o g s 域 ( 2 ) 讨论域 f l = 德，z ，钮) ec o + l + 2 ：雌1 1 2 耳 1 ) h a sn oz e r o s m a n yc o u n t e r e x a m p l e so c c u r r e ds i n c et h e q u e s t i o nw a sp o s e d s i n c et h ez e r o ss e ti s a na n a l y t i ci n v a r i a n tu n d e rt h eb i h o l o m o r - p h i ct r a n s f o r m a t i o n s ，t h er e s e a r c ho nl uq i - k e n gp r o b l e mc a na l s ob er e g a r d e da s a p o w e r f u lt o o lt ot e l lt h a tw h e nt w op a r t i c u l a rd o m a i n sa r eb i h o l o m o r p h i c a u yi n e q u i v - i nt h i st h e s i s ，w eo b t a i n e de x p l i c i t l yt h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o nf o rt h ed o m a i n q ( 0 ，l ，2 ；k ，己) = ( 一仰) c 0 + 1 + 2 ：蚓1 2 耳 n 。( 互z ) l q ：( 彤) ) t h ef o r m u l ai s ( ( 亭，z ，凹) ；( 莩，乏，_ ) ) ：k 一( n i + n 2 ) 7 r 一( n o + n t + 2 ) g ( y ) 。( z ，z ) 一( p + 半) ：( 彬w ) 一鲁) f k s t l y w ec d m p u t et h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o no ft h ed o m a i nh ( i ，l ，n 2 ；k ，三) b y i t sh o b m o r p h i ca u t o m o r p h i s mg r o u pa n dt h ec o m p l e t eo r t h o n o r m a ls y s t e m ，a n dt h e n - - 类h a r t o g s 域b e r g m a n 核函数和陆启铿问题 a c c o r d i n gt oi n f l a t i o np r i n c i p l ew eg e tt h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o no ft h ed o m a i n q ( 0 ，1 ，2 ；k ，l ) s e c o n d l y ，w ed i s c u s st h el uq i - k e n gp r o b l e mo nt h ed o m a i n q = ( f ，z ，叫) e c o + 1 + 2 ： 1 1 1 1 2 i nt h i sp a r t ，w et r a n s f o r ms e v e r a lv a r i a b l e si n t os i n g l ev a r i a b l ep r o b l e mw i t ht h eh o l o - - m o r p h i ca u t o m o r p h i s mo fq ，g e ta l li n e q u a l i t yu s i n gr o u c h dt h e o r e m ，a n df i n a l l yg a i n as e r i e so fl uq i - k e n gd o m a i n s ，w h o s ef i b r e sd i m e n s i o nn o 9 ，w h e nw ef i xt h e b o t t o ms p a c e s ! d i m e n s i o n sn a in 2a n dt h ep a r a m e t e r sk ，l s ow en o to n l yg i v el o t so f o b v e r s ee x a m p l e sb u ta l s oo f f e ra nb a s i sf o rf i n d i n gg e o m e t r i cj u d g e m e n to fl uq i - k e n g d o m a i n k e y w o r d s ：g r o u p i n g - c i r c u l a rd o m a i n ，b e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n ，l uq i - k e n g s p r o b l e m ，l uq i - k e n gd o m a i n 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经 发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位做作者獬训& 善 日期渺舅朗 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用 于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容 编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文 在解密后适用本规定。 学位论文作者签名。玉1 2 只期蚴年如溯 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 引言 单复变数和多复变数情况下的b e r 舯a n 核函数是由波兰数学家b e r g m a as 分别 在1 9 2 1 年和1 9 3 3 年引进的【1 2 1 设d 是c n 中有界域，令h 2 ( d ) 表示在d 全纯且平方可积的所有函数形成的空间即 若h o l ( d ) 表示所有在域d 内的全纯函数的集合，则 h 2 ( 。) = * ) h o l ( 。) ：f di ( 训2 o o ) 这里d y 表示域d 的欧氏测度h 2 ( d ) 是一个h i l b e r t 空问，其内积为 = ，( z ) 孤f , g h 2 ( d ) ，d 设 妣( z ) ) 七：1 ，2 ，是h 2 ( d ) 的一组完备标准正交函数系，则函数 | i c d ( z ，_ ) = 机( z ) 万丽， ( z ，叫) d d ( o 1 ) 称为域d 的b e r g , n a n 核函数此函数不依赖于域d 的完备标准正交函数系的选择 b e r g m a n 核函数具有非常丰富的性质例如，它有如下的再生性质：对任意， h 2 ( d ) ，有 ( z ) = ，( 伽) i c d 0 ，丽) d 圪， z d ( o 2 ) ，d 这是域d 的b e r g m a a 核函数的一个重要的特征性质，也可以看作b e r g m a n 核函数的定 义另外由它可诱导一些双全纯不变量，如b e r g m a n 度量、r i c c i 曲率、双全纯截曲率 等，这对域的分类起着重要的作用在复分析中，对核函数的边界行为的估计是一个 重要的研究方向【3 ，4 】；be r j 卿a n 度量是复几何中4 个经典不变度量之一【5 ，6 1 在经典位 势理论中，b e r g m a n 核函数与g r e e n 函数有一个重要的关系再者，一些重要猜想 及问题的解决也依赖于b e r g , n a n 核函数的显表达式例如，m o s t o w 和s i u 对负截曲率 2一类h 打t 耐的b e 唱如a n 核函数和陆启铿问题 的紧致k i i h l e r 流形的力有覆盖一定双全纯等价于超球的重要猜想给出的反例中，蚩型 域0 c 2 ：l z l l 2 + z 2 1 1 4 1 ) 的b e r 酗a n 核函数起了关键作用1 8 】；在解决陆启铿问题 时，也常常用到b e r g m 蛆核函数的显表达式f 9 1 因此，能否求出b e r g m a n 核函数的显表 达式是一个值得研究的问题 1 9 3 3 年，b e r g , n a ns 首先求出r e i i l h 壮d t 域 ( z ，y ) c 2 ：i z l 2 + i y l p 1 ) 的b e r g m a n 核函数的显表达式【2 1 1 9 5 9 年，华罗庚利用有界齐性域的全纯自同构群 算出了4 类典型域的b e r g m a n 核函数【10 1 这种方法我们称为华方法此后出现了一批研 究蛋型域各种情形的b e r g m a n 核函数的文章，具体可参i 弼 1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 1 9 9 8 年， 殷慰萍引进了华罗庚域并显式求出华罗庚域的b e r g m a n 核函数【l6 1 近年来，又有学者 求出了几类类似于蛋型域的b e r g m a n 核函数【17 1 8 2 0 0 7 年，王安等人求得一类称为分 组圆型域的b e r g m a n 核函数此类域的底空间是两个第一类典型域的直乘积以上提到 的能求出b e r g m a n 核函数的域都是值得进一步研究的域例如，我们可以求其上的经 典度量、讨论度量等价、域的全纯等价及陆启铿问题等等 本文讨论的域是一类分组圆型域令q 1cc n * ，q 2cc 2 分别是四类典型域吼j ( ，唧) ， 贝，幻) ，贝( 劬) ，贝j y ( o ) 0 = 1 ，2 ) 中任意一类对于任意正实数k ，l ，定义如下h a r t o g s 域： n ( y o ，1 ，2 ；k ，己) = 1 时， 如( z ) = ( z l l 2 “1 袭i l ) j a r ，、，、i 0 ；z 5 a 叼 是s e m i - r e 讪趾d t 域的完备标准正交函数系 3 爿 ) 为求域q ( j ，l ，9 2 ；k ，l ) 的b e r g m a n 核函数，我们的思路是利用有界域的b e r g m a n 核函数之间的关系，先求域q ( 1 ，g l ，n 2 ；k ，l ) 的b e r g m a n 核函数因此我们需用到下面 的引珲 引理1 1 【硇设d 1 和d 2 是c 中的有界域，凹：，( z ) 是从d 1 到d 2 的双全纯映 照，则d 1 上的b e 叼m n 腋函数j | i c d ，z ，动与d 2 上的b e 四m 口础函数瓦d 。( t ，动之间的关系 如下： 呲小晰刚e t ( 警) a e t 两 ( 1 1 ， 证明见文献 2 8 】 口 我们首先考虑0 = 1 的情况，简记磊= b ( i ，1 ，n 2 ；k ，l ) 由引理1 1 可知，如 果我们能够找到矗的全纯自同构群( 可以不是最大群) ，满足条件：对域壳内的任意一 点( f ，z o ，蛳) ，都有一个全纯自同构变换将它变为点( f ，0 ，o ) 那么我们可以先求出域西在 ( p ，0 ，o ) 点处的b e r g m a n 核函数，进而求得域矗在任意点处的b e r g m a n 核函数这样我们 需要给出域而的全纯自同构群 三曩_ 计峭州例2 ， 首都师范大学2 0 0 s 年硕士毕业论文 而 证明由文献 1 0 ，2 9 ，3 0 】关于典型域的理论及文献 3 1 】可知： 。( 才，汐) = ，( 而，磊) i 。( z ，z o ) l 一2 。( 互z ) 7 n 。( 彤。，w + ) = ：( w o ，w o ) i n 。( 彬w o ) l 以n 。( 彬) ( 1 4 ) 吖= 婶n 。( z o ，磊) 毒i n 。( z , z o ) l 一簪：( w o ，) 壶i n 。( w , w o ) l 一( 1 5 ) 根据( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ，计算得 f 1 2 一。( z ，z 。) l n ：( ，w ) = 旰耳，( z o ，z o ) li n ，( 互z o ) l 吼n n 。( w o ，w o ) i ：( 彬w o ) i 一2 一n 。( 磊，疡) 工l ，( 互z o ) l - 2 l 。( z ，z ) l n 。( w o ，w o ) i n 。( 彬w o ) 1 吨n ：( 彬w ) 旰k 一慨( 互z ) n ：( 彬) n 。( 局，蜀) 工l o 。( 互磊) i - 2 工n ：( 甄，w o ) i n , 。( 彬w o ) l 因为蜀q 1 ，w o q 2 ，所以 再者 n ，( 磊，蜀) i 。( 互z o ) l - 2 l 。( w o ，w o ) i n 。( 彬w o ) l 一2 0 i 主i ( i 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ，得 1 2 k 一0 。( 互z ) l 。( 彬w ) 0 + 1 2 k 一n 。( z + ，z 。) l 。( ，w ) 一1 ，则当辨a = 辨，( m ，n ) 时 当孵 = 辨j ，0 ) 时 当筑a = 吼，j j ( g ) 时 当吼a = 缎，y ) 时 j = n ( 入+ j ) n j - - - 1 2 鱼1 2 ， 7 r 2 ，2 1 j r 一 ( a + 1 ) pn ( 2 a + 2 j + 1 ) p j j = l ，：丁生 n ( 2 入+ 2 j 一1 ) 口一歹 j = 1 ，= 两两薪 其中记号( 5 ) 女表5 ；k y f p o c h h a m m e r 多项式： k l ( s ) 知= i - i ( 3 + j ) = 5 ( 5 + 1 ) 0 + 后一1 ) 证明见文献【1 0 】 j = l 引理1 5 【鞠设p ( z ) 是z 的礼次多项式 p ( 霉) = ”+ 一i x ”一1 + + a l x + a o 则p ) 可以改写为如下形式： 悱骞幻等掣 其中6 0 = p ( - 1 ) ，如o = 1 ，2 ，佗) 由下面公式确定： 如= 妻忐耥 口 1 0 二耋璺竺! 塑垫箜旦婴竺垫鱼垫塑堕星堡闺塑 证明见文献 3 2 】 口 域q 的b e r g m a n 核函数可以由域矗的b e r g m a n 核函数通过膨胀原理得到，此原理具 体叙述如下： 引理1 6 【黝俏胀原理夕设d 是c 时1 中的有界完备庀碱，由不等式蚓2 ( z ) 所界定这里c ，z c ”而砂( 名) 在c n 中某一个有界域内部是有界的正的连续函 数；g a c m + m 中的由不等式i i z i l 2 ( z ) 所界定的域这里z = ( 五，易，磊) ，i i z i l 2 ：苎l 磊1 2 由于存在函数l ( z ，叫，s ) 使得d 的b e r 夕仇口舷函妣d ( z ，；t i ，叼) 能表为l ( z ，叫，鳓， k = l 因而域g 的b e 叼m o 臌函数疋g ( z ，z ；叫，) 可由下列关系式给出： 瓦g ( z ，z ；叫，) = 丌一m 一” 翌：掣 乒 这里 = z l w 1 1 m + + 瓦- m 证明见文献 2 2 】 引理1 - 7 对于z r ，若 o 时，p 。j z ( o ，o ) = o ；当i a = o 时，尥。耽。= 1 ，此时口= ( o ，o ) ：= 0 因此 瓦矗( ( 。，0 ，o ) ；( f ，0 ，o ) ) = 旧) s p j 0 1 ( o ，o ) 1 2 ( 2 7 ) 下面计算i 磁( o ，o ) 1 2 因为碥( z ，叫) 是关于z ，加的零次齐次多项式，所以磁( 名，叫) 与变量z ，叫无关，即磁( o ，o ) = 磁( z ，伽) 因而( f ) j 磁( o ，o ) = ( f ) 歹磁( z ，叫) 是壳的完 备标准正交函数系中的元素则有 f 旧) j p ；l ( o ，o ) 1 2 彤( f ) ( z ) d y ( 叫) = 1 利用坐标变换，经计算，得 l 磁( o ，o ) 1 2 = i + 1 2 歹d v ( + ) d y ( 名) d y ( 叫) ，n = 酬2 歹d v ( ) d v ( z ) d v ( w ) = 打棚。rr 2 1 + i d r d v ( z m 叫， 这里r = n 。( z ，z ) 南n 。( 彬) 壶，因而有 i 磁( 。 0 ) i 一= 南z 。n 2 。( 互刁掣n ：( 彬) 带d r ( z ) ( 伽) = 南z 。( 互z ) 掣d v ( z ) 上。n 。( 彤) 崭( 加) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 令a = 警，由引理1 4 ，得 p d l ( o ，o ) 1 2 = 7 r 一( 1 + 飓+ 1 + 1 ) 亩( a ) 其中百( a ) 是关于a 的1 + 2 次多项式，因而也是关而的1 + 2 次多项式 令 q 0 ) = k l + 2 7 一+ 2 + 1l e a , ( o ，o ) 1 2 = k n i + 2 d + 1 ) 国( 入) ( 2 8 ) 则q ( 歹) 是歹的1 + 2 + 1 次多项式由引理1 5 ，得 眦m 嚣1 等掣 = 协等* 华 =0、7 7 其中6 0 = q ( 一1 ) = 0 ，6 f ( z = l ，2 ，1 + 2 + 1 ) 由下面公式确定 所以 = 妻岩揣 ( 2 9 ) m 。) 1 2 一c k c 删新善+ n 2 + 1 机等等 ( 2 1 0 ) 令x = 妒1 2 ，由( 2 。7 ) ( 2 1 0 ) ，得 咒矗( ( f + ，。，。) ；( f ，。，。) ) = 一( 1 + 2 ) 丌一( l + 2 + 1 嘉m 蓦+ 16 z 错) 由引理1 7 ，得 因此 丢坠r o 掣如器。 岔 + 1 ) “( 1 一x ) 件1 诽 0 ，0 ) i 鳓) ) _ 一阱丌- ( m 阱”m 善“粉，( 2 1 1 ) 1 4 一类h a r t o g s 域b e r g m a n 核函数和陆启铿问题 一 一一- _ _ _ - _ - _ - _ - _ 一 因f 是f 在变换f ( ，z ，叫) 下的像，并令z o = z ，w o = w ，又由引理1 ，3 知x 在变 换f ( ，名，叫) 的作用下不变，n m 2 1 ) ( 2 。6 ) ( 2 1 1 ) ，得 瓦磊( g ，z ，t t ，) ；( 毛- ，- ) ) ，l + r 2 + 1 =k 一( i + 2 ) 7 r 一( m + 拖+ 1 ) 、r j i _ - j 1 = 0 b z r ( 1 + 1 ) ( 1 一x ) l + 1 n 。( 互z ) 一( p + 嘉) n 。( 彬) 一( 壶) 令y = ( 1 一x ) ，f ( y ) = n 1 + 2 + 1 b t r ( 1 + 1 ) y 件1 ，得 l = o 瓦6 ( g ，z ，叫) ；( 享，虿，面) ) = k 一( 1 + 2 ) 7 r 一( 1 + 2 + 1 ) f ( y ) n a 。( z ，z ) 一似+ 暑) ：( 彬) 一( 卧壶) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 记f i ( n o ，1 ，2 ；k ，l ) 的b e r 舶a n 核函数为咒f l ( ( 已z ，加) ；( 享，虿，_ ) ) 下面利用膨胀原 理求( ( ，z ，叫) ；( 享，孑，司) 记q 的b e r g m a n 核函数为己( z ，加，5 ) ( s = 蚓2 ) ，则由( 2 1 3 ) 式，得 l ( z ，w ，8 ) = k 一( n 1 + n 2 ) n - 一( t + 2 + 1 ) f ( y ) n a 。( 互z ) 一( p + 毒) h 。( 彬) 一( p + 壶) 由引理1 6 及( 2 1 4 ) 式，得 瓦矗( ( ，z ，t l ，) ；( 虿，乏动) 仃- ( o - ”掣l 严 = k - ( l + 2 ) 7 r 一( 0 + l + 2 ) o n 否o - 1 矿f ( y ) ：k 一( l + 肥) 7 r一( o + l + 2 ) 型! 二：! ! 1 2 ：k 一( 1 + 2 ) 7 r 一( 0 + l + 2 ) 8 x n o i n i + 2 + 1 1 - - 0 n 。( 互z ) 一( p + 专) 。( 彬) 一( 蚪壶 ( 2 1 4 ) ( 箬) 肌1 n l ( 硐山嘲吲彬咿嘲 r ( z + o ) ( 1 一x ) + 0n 。( 互z ) 一等n 。( 彬w ) 一( 锄 ( 2 1 5 ) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 1 5 令g ( y ) = b f ( 1 + n o ) y 4 n o , y 同上即得域壶( 0 ，n 1 ，n 2 ；k ，l ) l 拘b e r g m a n 核 l = o 函数为： 删“叫) ；鼢- ) ) ( 2 1 6 ) ：k 一( 1 + 2 ) 7 r 一( n o + i v l + n 2 ) g ( y ) n n 。( 互z ) ( p + 学) 2 ( 彬) 一( p + 等) 其中2 ：n oi 白1 2 ，b z 由( 2 9 ) 式确定 j = l 这样我们得到了q ( 0 ，1 ，2 ；k ，l ) 的b e r 鲫a n 核函数由以上计算可知，此种方 法可以推广到计算底空间是任意有限多个包含原点的可递域的直乘积形式的h a r t o g s 域 的b e r g r a a n 核函数的显表达式 3 域佥( 0 ，n i ，n 2 ；k ，三) 上的陆启铿问题 本节考虑的域为q ( 0 ，1 ，n 2 ；k , 三) 的一类特例，q 1 ，q 2 分别为超球，记作 “ q = ( ，z ，叫) c o + 1 + 2 ：忙1 1 2 耳 ( 1 一i l z l l 2 ) l ( 1 一i l w l l 2 ) ) 其中= ( l ，鼠) c o ，z = ( z l ，z 1 ) b 1 ( o ，1 ) ，w = ( 叫l ，叫2 ) b n 。( o ，1 ) 要讨论域q 上的陆启铿问题，即要讨论域q 的b e r 肿a 皿核函数咒n ( ( ，z ，训) ；( 可，西，- ) ) 有无零点问题由引理1 1 可知，存在域q 的全纯自同构变换( + ，z ，t t ) = f ( ，z ，t i ) 把 该域中的点( ，z o ，t t ，o ) 映为点( p ，0 ，o ) 因而在此变换下，瓦n ( ( ，名，t t ，) ；( 可，面，移) ) 就变为 删加) ；( 弧卅d 圳“们) i z o = z , 伽o = wk ：f l ( ( m 0 ) ；( 矿_ ，开) ( 3 1 ) d e t f 7 ( 叩，u ，v ) l 翔：毛删。： 因q 是分组圆型域，其完备标准正交函数系为 p 叫j ( z ，仰) ) ，故由b e r 鲫a n 核函数的定 1 6 一类h 打t 删 b e r g r n a n 核函数和陆启铿问题 义式( o 1 ) ，知 形n ( ( 4 ，0 ，o ) ；厅，万，刁) = ( + ) 歹砭f ( o ，o ) ( 碉p 甜j ( 万，刁 z = 1 ，2 ，耽。耽： 歹o ，l q i o 又由咒z ，伽) 是z 的q 1 次齐次多项式，叫的口2 次齐次多项式故兄( o ，0 ) = 踹( o ，o ) ，从 而，当q = o 时，( 万，刁是万与矿的零次齐次多项式，从而( 矿，刃与变量万，矿无 关，则有( 矿，刁= 瑶1 ( o ，o ) 因此，上式可写为 ( ( + ，0 ，o ) ；( 矿，孑，刁) = ( 磁( o ，o ) ( 开j 磁( o ，o ) = ( ( f ，0 ，o ) ；厅，0 ，o ) ) j 0 由此，( 3 1 ) 式可写为 | i c n ( ，z ，t t ，) ；( 可，瓦，可) ) = d e t f 7 馐，z ，w ) l 卸：，叫。：伽瓦n ( ( p ，o ，o ) ；( _ o ，o ) ) d e t f 7 ( 叩，让，v ) l 句：。，”o ：钟 因此，i c n ( ( ，z ，叫) ；( ：f 7 ，- ) ) 的零点经变换f 可得i c n ( ( ，0 ，o ) ；( 矿，0 ，o ) ) 的零点从 而讨论瓦n ( ( ，z ，叫) ；( 币，瓦，_ ) ) 有无零点问题便转化成讨论j i | c q ( ( p ，0 ，o ) ；厅，0 ，o ) ) 有无 零点问题为方便起见，改写p 为，矿为7 7 ，由( 2 1 6 ) 式，得 j | | c n ( ( ，o ，o ) ；( 虿，0 ，o ) ) = k ( 1 + n 。) t r 一( 0 + - + 2 ) g ( y ) ( 3 2 ) 其中 n 1 + 2 + 1 g ( y ) = b , r ( t + 0 ) y l + n o , y = ( 1 一研) ( 3 3 ) i - - 0 令a = b _ f r ( 1 + n o ) ，则 n 1 + 2 + 1 g ( y ) = a y + 0 ( 3 4 ) l = o 由于( ，o ，o ) 和( 叩，0 ，o ) 以及( p ，0 ，o ) 和( 矿，0 ，o ) 都是域q 的内点，因此它们的模l ， | i 叩| i ，i i + i i ，i i 叼i i 都，j 、于1 为 令 笪塑塑堇盔堂! q ! ! 生塑望些迨塞 1 7 令t = 缔，则t 为复数，h i t f 0 因此，由r o u c h 6 定理可知，若 则夕( 亡) 在 印 a 卜 蝴脚 帆 d i | 吩 其中【：j 表示组合数将 7 ，式代入( 3 6 ，式，得 1 + r 2 + l 1 = 0 n l + n 2 j = o h + j + 1 一j a z ( 1 + t + 1 一。) ( 3 8 ) 因此，只要能找到使不等式( 3 8 ) 成立的条件，便可得到域q 是陆启铿域的充分条件由 三角不等式，得 n 1 + n 2 j = o n i + n 2 + l - j 1 = 0 n 1 + 2 + 1 1 = 0 i a l + 飓+ 1 i a z ( 1 + t + 1 一。) n 1 + n 2 n t + 2n 1 + 2 + l - j j = o l = o a z ( 1 + t + l 一。) 注意到a = b , r ( z + n o ) ，故由6 0 = o 得山= 0 所以，要使( 3 8 ) 成立，只要以下不等式 成立即可： 即 a n l + n 2 + 1 i l + 2l + 2 1 + 2 + 1 一j + j = o 1 = 0 a z ( 1 + t + l 一。) n i + n 2 a l + 地+ 1 i 2 1 + 2 “一i a i z = 1 令m = m a x ( i b t l _ f ：1 ，2 ，l + 2 ，则i a f i m r ( n o + 1 + 2 ) ，从而 n i + n 2 f2 n 1 + n 2 + 1 。 z 一 一 1 = 1 由( 2 8 ) 式，得 ( 2 1 + 2 + 1 2 ) m r ( y o + 1 + 2 ) n 1 1 v 2 q ( j ) = ( j + 1 ) ( l j + l + k 5 ) i i ( j + 1 + k 七) 5 = 1 k = l ( 3 9 ) 脚 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 1 9 m ( 2 9 ) 式及上式，得6 l + n 2 + 1 = l n , ，n a n l + 2 + i = l n , r ( n o + 1 + 2 + 1 ) 所以， 只要 l i ( n o + n i + 2 ) ( 2 1 + 2 + 1 2 ) m ( 3 1 0 ) 成立，则不等式( 3 9 ) 成立，进而不等式( 3 8 ) 成立下面估计m 因为 = 陵群辨喘l 妻i 群i 又 所以 所以 z i q ( 一钞一1 ) i v = l q ( 一口一1 ) i = i t ，( k 1 一口l ) ( k v l ) ( k n 2 一口) ( k 一口) v ( k n x + v l ) ( k + v l ) ( k n 2 + 秽) ( k + 口) v ( k n i + v l ) n i ( k n 2 + u ) 2 b z i z i q ( 一z 一1 ) i z 2 ( k 1 + i l ) n ( k n 2 + f ) 2 m ( 1 + 2 ) 2 ( k 1 + ( 1 + n 2 ) l ) n ( k n 2 + 1 + 2 ) 2 f 3 i i ) ( 1 + 2 ) 1 + 2 + 2 ( k + 三) h ( k + 1 ) 2 m ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 得，不等式 l 1 ( 0 + 1 + 2 ) ( 2 1 + 2 “一2 ) ( l + 2 ) 1 + 2 + 2 ( k + ) 1 ( + 1 ) m ( 3 1 2 ) 解不等式( 3 1 2 ) ，得 n o ( 2 1 + 2 + 1 2 ) ( 1 + 2 ) 1 + 胁+ 2 ( k + l ) 1 ( k + 1 ) 2 l 一l 一( 1 + 2 ) ( 3 1 3 ) 2 0 一类h a r t o g s 域b e r g m a n 核函数和陆启铿问题 综上所述，当( 3 1 3 ) 成立时，不等式( 3 8 ) 成立易得如下定理 定理3 2 对于一类h a r t o g s 域 q = ( ，z ，叫) c o + 1 + 2 ：i l e l l 2 k ( 1 - i i z i l 2 ) l ( 1 一i i 叫j 1 2 ) ) 固定底空间的维灿，n 2 与参数k ，l ，则存在充分大的正数9 ，使得 - 3 纤维的维数n o 9 时，所得h a r t o g s h 戋都是陆启铿域 参考文献 1 】b e r g m a ns u b e rd i ee n t w i c k l i n gd e rh a r m o n n i s c h e nf u n c t i o n e nd e re b e n eu n dr a u m e 8 n a c ho r t h o g o n a l f u n k t i o n e n m a t h a n n ，9 6 ( 1 9 2 2 ) ，2 3 7 - 2 7 1 【2 】b e r g m a ns u b e rd i ek e r n f u n k t i o ne i n e sb e r e i c h e su n di h r ev e r h a l t e na m r a n d e j r e i n e a n g e w m a t h ，1 9 3 3 ，1 6 9 ：1 4 2 ；1 9 3 5 ，1 7 2 ：8 9 - 1 2 8 3 】f e f f e r m a nc t h eb e r g m a nk e r n e la n db i h o l o m o r p h i cm a p p i n g so fs t r i c t l yp s e u d o c o n v e x d o m a i n s i n v e n t m a t h ，1 9 7 4 ，2 6 ，1 6 5 4 】h e r b o r tg t h eg r o u t ho ft h eb e r g m a nk e r n e lo np s e u d o c o n v e xd o m a i n so fh o m o g e n e o u s f i n i t ed i a g o n a lt y p e n a g o y am a t hj ，1 9 9 2 ，1 2 6 ，l 一2 4 【5 】5k o b a y a s h is g e o m e t r yo fb o u n d e dd o m a i n s t r a n s o fa m e r m a t h s o c ，1 9 5 9 ，9 2 ：2 6 7 - 2 9 0 【6 】l i c h n e r o w i c z a v a r i e t e s c o m p l e x e s e tt e n s e u r d eb e r g m a n a n n i n s t f o u r i e r ， 1 9 6 5 ，1 5 ：3 4 5 - 4 0 8 【7 】b e r g m a ns ，s c h i f f e r m k e r n e lf u n c t i o n sa n dc o n f o r m a lm a p p i n g c o m p o s i t i o m a t h ，1 9 5 1 ，8 ：2 0 5 2 4 9 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 8 】m o s t o wgd ，s i uy t ac o m p a c tk i i h l e rs u r f a c eo fn e g a t i v ec u r v a t u r en o tc o v e r e db y t h eb a l l a n n o fm a t h ，1 9 8 0 ，1 1 2 ：3 2 1 3 6 0 【9 】b o a sh p c o u n t e r e x a m p l et ot h el uq i k e n gc o n j e c t u r e p r o c o fa m e r s o c ，1 9 8 6 ，9 7 ： 3 7 4 3 7 5 【1 0 】华罗庚多复变数函数论中的典型域的调和分析北京：科学出版社，1 9 5 9 【i i 】d a n g e l ojp an o t eo nt h eb e r g m a nk e r n e l d u k em a t hj ，1 9 7 8 ，4 5 ：2 5 9 - 2 6 5 【1 2 】d a n g e l ojp a ne x p l i c i tc o m p u t a t i o no ft h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n j o fg e o m a n a l ，1 9 9 4 ，4 ：2 3 - 3 4 【1 3 】z i n o v e vbs o nr e p r o d u c i n gk e r n e lf o rm u l t i c i r c u l a rd o m a i n so fh o l o m o r p h y s i b e r i a n m a t hj ，1 9 7 4 ，1 5 ：2 4 3 3 【1 4 】g o n gs ，z h e n gxa t h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o no fs o m er e i n h a r d td o m a i n s t r a n s a m e rm a t hs o c ，1 9 9 6 ，3 4 8 ( 5 ) ：1 7 7