（基础数学专业论文）分形函数图象的维数.pdf

摘要 分形函数图像的维数首先是由b e s i c o v i t c h 和u r s e l l 研究的，塔卡奇函数及 曲面的维数的研究见d e l i u 与w i n g r e n 1 ，拉德马赫尔函数的维数的研究见h u 和l a u 2 b e r r y 和m a u l d i u 研究了许多分形的计算机作图 本文归纳了一些分形函数图的维数的计算及估计方法，探讨了几类分形函 数图的维数 通过本文可以知道，函数，：j _ + 冗的图象的盒维数与填充维数完全由f 的振幅确定但一般来说，确定函数图象的豪斯多夫维数则非常困难，尽管由 振幅条件可以对函数图象的豪斯多夫维数的下界作一个粗略的但非平凡的估 计 般自仿曲线f 的盒维数最早是由b e d f o r d 讨论的b e d f o r d 探讨了在水 平压缩比相等时一般自仿曲线f 的盒维数，得出一般自仿曲线f 的盒维数的 个计算公式 本文在此基础上探讨了一般宣仿曲线f 在水平压缩比不相等时的盒维数问 题，得出一般自仿曲线f 的盒维数的一个估计 关键词：豪斯多夫维数。盒维数，函数的振幅，一般自仿曲线，水平压缩比 a b s t r a c t t h e d i m e n s i o n o f g r a p h s o f f r a c t a l f u n c t i o n s w a s f i r s t l y r e s e a r c h e d b y b e s i c o v i t c h a n du r s e l l t h er e s e 口c ho ft h ed i m e n t i o no ft a k a g if u n c t i o na n dc u r v e ds u r f a c ec a n b eb e e i nd e l i ua n dw i n g r e n ，8p a p e r 1 a n dt h er e s e a r c ho ft h ed i m e n s i o no f h r a d a m a c h e rf u n c t i o nc a nb es e e ni nh ua n dl a u p a p e r 2 】，b e r r ya n dm a u l d i u s t u d i e dm a n yf r a c t a lg r a p h e si n a d eb yc o m p u t e r s t h j 8p a p e ri n d u c e s8 0 m em e t h o d so fc o m p u t a t i o na n de s t i m a t i o na b o u td j 加e n s i o n o f g r a p h s o f f r a c t a t f u n c t i o n s a n d d i s c n s $ 嘴d i m e n s i o n o f s e v e r a l g r a p h s o f f l a c t a l f u n c t i o n s a c c o r d i n gt ot h i sp a p e r ，w ek n o wt h a tt h eb o xd i m e n s i o na n dt h ep a c k i n gd i m e n - s i o no ft h ef u n c t i o n ，：i ra r ec o m p l e t e l yd e c i d e db yt h eo s c i l l a t i o no ff u n c t i o n b u tg e n e r a l l ys p e a k i n g , i ti sv e r yd i f f i c u l tt oc a l c u l a t et h eh a n s d o r f f d i m e n s i o n o f t h ef u n c t i o ng r a p h e s t h o u g hw ec a ng i v ear o u g ha n dn o m h v i a le s t i m a t i o nt ot h e h a u s d o r gd i m e n s i o na b o u tt h el o w e rb o u n do ft h ef u n c t i o ng r a p hb yt h eo b c i l h t i o n o ff u n c t i o n t h es e l f - a f l l n ec u r v ew a s 缸s t l yd i s c u s s e db yb e d f o r d b e d f o r dd i s c u s s e dt h e b o xd i m e n s i o no ft h es e l f - a f f m ec u r v ew h e nt h el e v e lc o m p r e s s i v er a t i o e sa r ee q u a l h eg a v et h ec o m p u t a t i o nf o r m u l a ro f b o xd i m e n s i o na b o u tt h es e i f - a f i i n ee l n y ew h e n t h el e v e lc o m p r e s s i v er a t i o e sa r ee q u a l b a s e do nt h i s ，t h i sp a p e rd i b c - u s s e 8t h eb o xd i m e n s i o nw h e nt h el e v e lc o m p r e s s i v e r a t i o e sa r en o te q u a la n dw o r k so u ta ne s t i m a t i o no ft h eb o xd i m e n s i o na b o u tt h e s e l f - a f f m ec u r v ew h e nt h el e v e lc o m p r e s s i v er a t i o e sa r ed i f f e r e n tf r o me a c ho t h e r k e yw o r d s ：t h eb o xd i m e n s i o n ，t h eo s c i l l a t i o no f af u n c t i o n ，t h eg e n e r a ls e l f - a r l e n e c u r v e ，t h el e v e lc o m p r e s s i v er a t i o 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明，所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以嘎确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：狂玖 签名日期：砷年6 月7 日 f 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集，保存，使用学位论文的规定，即，按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印，数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名；茗孟- 识、 签名日期，砷年# 月7 日 导师签名； 立够众 签名日期：弦。7 年月7 日 一、序言 一、序言 很多具有理论和实际重要性的分形是以函数图象形式出现的本文讨论函 数图象的分形性质及几类函数图象的维数 为方便起见，我们考虑函数，：- - - - t - r ( 其中- = o ，l 】) 令i ( ，d = r ( ，) = ( t ，( 力) ，t d 为函数f 在i 上的图象 ( 1 ) 若f 连续可微，易看出r ( ，j ) 的维数是l ，且是规则1 集 ( 2 ) 有些f 连续，但相当不规则，且具有维数严格大于1 的图如维尔斯特 拉斯函数，连续但处处不可微，其盒维数为s 函数f ：j _ + r 的图象的盒维数与填充维数完全由f 的振幅确定，由此我 们可以计算出维尔斯特拉斯函数 彤( 封= 天p 一2 ) s ( 叉。t ) 1 $ 1 知1 的盒维数与填充维数 而确定函数图象的豪斯多夫维数则非常困难但如f ：j - r 为连续函数， 并满足赫尔德与反赫尔德条件，则可对其豪斯多夫维数下界作一个粗略的估 计 3 】由此可计算伯西柯维奇函数 b ( 0 = 一2 0 0 8 ( h d ， 1 0 ，下列三论述等价 a ) 巧= 0b ) v t i ，0 1 ( t ) = 0 c ) f ( t ) 兰co f ) 证明( o ：号6 ) 如3 t i 时：o ，6 ( t ) 0 ，即0 ，6 ( t ) 兰s u p e , e , e i t d ，件们1 01 】i ，( t ，) 一 ，( ) i 0 因为f 连续，所以丑fs t ：0 ”( t ) 在【t 一，t = 1 上不为0 ，所以 巧万斥一。，t + 订o l ，6 ( t ) 疵 0 与巧声= 0 矛盾 2 二维数的定义及性质 证明( 6 = 号c ) 设 u “( z ) ) 甚1 芦i 为i 的有限覆盖因为对io 。5 ( t ) = 0 ， 故在每个u 以( ) 上，o ，5 ( t ) = 0 所以，( $ ) = gz u 毗0 ) 又f 连续所以f 在u 1 2 “( 霉) d i 上为常数c ( c 考口) 显然 命题2 2 对任意常数c l ，c 2 ，珑，c 2 ，5 = l c l i 坛6 由定义易证 命题2 3 一，j + ，2 ，d ，j + ，6 ， 证明由不等式【5 】得 d ，l 俐 2 ( ) = 8臻f(fl+fit-el2 ) ( ，) - i t - t 阮p + ，2 ) ( ，)d ，f i 乓o ， s u p y l ( e ) + s u p f z ( e ) 】一陋1 f ( 矿) + m f 2c t ) 】 = 0 ，j ( 茚+ 0 ，2 6 ( 0 两端积分，得怕，d + ，j 又 = + ，2 一，2 ，j 怕，j + 亿 = + ，6 + ，j 所以，5 一，6 + ，2 ，j 2 3 ( r ( ，d ) 与v f , 6 ( j ) 的关系 引理2 1 设，：，一r 为非常数连续函数，则 1 ；巧，d ( d ：n d r ( 1 ，聊5 6 ( j ) 其中( 刀) 表示与集合e 相交的d 一网中的元素的最少个数， 证明对竹 0r ，d 垒n ( ，d = ( t ，锄) ) ：f ，t o tf t t o i 5 ，考虑 n ( ，d 的生成( 横坐标为t 不变，纵坐标从雠，f i i _ t “日到s u p ，( 矿b e p 一五蚪目 的垂直线段的并) 所以二2 ( 工j ) ) = f 3q ，5 ( t = - 知( d ( 圣安坛d ( f ) 的定义知) 二，设a s f f ( f ，d ) 为砰的6 一网中与r ( f ，d 相交的正方形构成的集 合，贝0 工2 a 。( r ( ，d ) = 铲( r ( ，f ) ) 故要证；坛d ( j r ) 铲( r ( ，川5 巧，j ( n 只需证扣2 ( r j ( ，d ) 上2 ( a 。( r ( ， d ) ) 5 l 2 ( r j ( ，f ) ) 3 湖北大学硕士学位论文 考虑n ( ，i ) 的另一种生成方式( 纵坐标，( t o ) 不变，横坐标变化) ，对 v ( t ，茁) r ( ，刃，是以t 为中心长为豺的水平线段与，的交，取所有这样水 平线段的并，即得n ( ，d ( 1 ) 证明 三2 ( r 6 ( ，j ) ) l 2 ( 4 ，i f ( y , ，) ) ) 即证工2 ( r d ( ，j ) ) 3 l 2 ( 且。( r ( ，) ) ) 以其生成方式可看出：对v ( t ，) n ( t ，d3 ( t o ，功r ( f ，n 使得i t t ，l d 所以p 5 ( ，dca s ( r ( ，d ) u ( a ，( r ( ，j ) ) + ( 瓦o ) ) u ( a 。( r ( 工，) ) + ( 一疋o ) ) 即 工2 ( r d ，d ) 3 三2 ( a , ( r c lj ) ) ) ( 2 ) l 2 似。( r ( ，功) 5 l 2 ( n ( ，纠 将r 6 ( l z ) 向上，下，左，右分别平移j ，连同r d ，刃的并一定包含a 。( r ( ， 川， 所以 工2 ( 也( r ( ，力) ) 5 l 2 ( r 6 ( ，川 所以 ；j ( d 护j ( r ( ，) ) 5 巧，5 ( d 从引理2 1 可以得出面b r ( ，f ) 及d i _ _ _ m _ m b r ( ，n 面b r ( ，j ) = d 赢d 。l o gn 一6 烛( r ( l d i ) ) 两蛐驾竽型) = 醉2 一i o g 螂v i a 。x ) ) d i m b r ( , z ) = 蜮+ 。l o g = n d 矿r ( l d ) 垂蛰酤巾l o g 5 v , 6 ( 1 7 ) + ，( - 2 l o g 一5 ) 一i o k o = 蜮枷( 2 一l o g l o v g i , 6 6 ( i ) ， 所以 面r ( ，耻蕊( 2 一l o g l o g v , 6 d ( i ) ， 同理可得d i m b r ( ，n 由此得 定理2 1 设，：i 一+ 矗为连续函数，则 赢b r ( ，刁= 蕊( 2 一l o g l 。v g , d 6 ( - ) ) ， 垴r ( ，d = 蜮。( 2 一l o g 蛾1 ：i , 6 5 ( i ) ，) 二、维数的定义及性质 若v 九，d - 么，j ，则! i 班b r ( ，1 ，) 而口r ( ，2 ，d 则由一y ，2 ，d + ，2 ，j 声+ ，d 知 掣绁警掣警 l o g ( v j , ，d + ，6 ) l 0 9 2 v 1 ，5 每_ 五厂= 砭f 故蕊b r ( + 2 ，j ) = 面日r ( ，1 ，n 2 4f 满足h s l d e r 条件时的维数 从定理2 1 可以看出，五而r ( ，d 和d i m b r ( ，j ) 与f 的j 一变差巧有着 很密切的联系，即与f 的振幅有关，很容易得到振幅与h ；i d e r 条件( 参看文献 1 6 】) 之间的关系 ， 以下假设，：1 + r 为连续函数 定义2 2 1 ) f 在点t 满足b 阶h s l d e r 条件( 0 00 舶( t ) g 扩2 ) f 在点 t 满足反s 阶h s l d e r 条件兮w 0o 如( t ) g 酽 证明1 ) ( = ) 设t 1 ，满足悻一l l 6 且f ( t t ) = s u p i b f f ，( 力，岛f 满足 l t t 2 l d 且f ( t 2 ) = i n f i t 一| ，( 亡，) ， 贝d ，一= f ( t t ) 一l ( t 2 ) = ，( t 1 ) 一，( t ) + f ( t ) 一f ( t 2 ) 2 c t 5 ( ) 对w i ，取5 = i t e l ，则 l ，( 一，( t ，) i s u p l ，( ) 一，( 矿) l = 0 1 , d ( t ) c 2 i t t ，l 。 r , t o e ( t , o ) n l 2 ) 同理可证 由定理2 1 及命题2 4 可得如下结论 命题2 5 设0 o ，讹，有0 ，j ( ) 甜5 ，则 嘲) = z 1 0 , 水) d t 1 为此，我们要先证明下述命题 命题3 1 设k c r 2 为b o r e l 集，假定 i ) 三( 只僻) ) 0 ，其中忍( 蜀) 表示集k 在x 轴上的正交投影 逊存在常数c l ，c 2 0 及0 a 彘辛m 苦，为此令m = ( 云】+ 1 即可 i i ) r c 2 ( 南) 口r 则a ( ，+ 1 ) “，n k = g 即j a u + 1 ) c a u ) ，使鼐；a l i + 1 ) 鸯十1 ( 2 ) v a a u ) a ( j ) ，3 a ( j + 1 ) ca ，使得：a ( j + i ) 4 + 1 4 ；+ 1 现考虑第+ 1 阶基本区问中与k 相交的所有区间的二一测度 上( j n + l ( u 由) ：二( 芥i t 厂葡；工( 八j + l u ( ua ) ) ，则上( n (由) = 二( n ( ua ) ) = 工( 八 (a ) ) ，则 i = oa e a i a ： 2 = o 且a ： 。= oa e a ： 件1 j + i j l ( j u ( ua ) ) = l ( r l ( ua ) ) = 五( n ( ua ) n ( u a ) ) = o a ： i = oa e a i a ： i = o a i 、 ：匆+ 】、骘+ l j 二( 旦a 。u a a a a ) ) 一击三( ；n - - - - 0 ( a e 煤鬈钏 i = o 山、辨 ， = ( 卜扣( 八竖总：枷) ， 重复应用上式得 二( 八u ( u a ) ) ( i - 丽1 ) j + i 工( d = ( 1 一壶) r i = oa 4 ； 现令q 是使c 2 ( 南) 。r 的最大整数，受1 j 兜( 蔚知严 1 推论3 1 设，：i + r 为连续函数，并满足下述n 阶h o l d e r 与反h o l d e r 条件，即 i ) 3 c 3 0 ，武v jci ，s u pi ，( z 1 ) 一，( z 2 ) l c 3 i j i o i i ) 3 c 4 0 ，使得，对任意闭区间jcj ，。j , 3 x o j , s tl ，( 石) 一f ( x o ) i c 4 川a 则d i m h r ( 力c ( 口，c 4 c 3 ) 1 。 证明因为工( b ( r ( ，) ) ) = l ，由以上命题知，只需验证命题中螂成立。 对v p ，) r ( n j = k 。一r 2 ，矿+ r 2 ，须证j ，cj l ，l = c l r 且， 陋一 c 2 产，耖+ i c 2 r 。】n r f f ) = o ，即，i f ( x ) 一圳c 2 r 。为此，令c l = ( 鑫) 1 口，c 2 = j ，贝l 由c 哇c 3 兮c l 1 9 湖北大学硕士学位论文 四、两类函数图象的维数 4 1 维尔斯特拉斯函数 对维尔斯特拉斯函数 有如下结论 w c t ) = a ( 川) 七c o s ( 煳 1 0 ，w 0 ，o w , d t ) 舻一 令矗= 一，则w 0 ，孔，对晶+ 1 d 0 ，d 一护一对w o ，3 n ，使 得如j ；( i - 扣l 4 1 】 湖北大学硕士学位论文 l z l 琊) g i 蚶。删= i 上1 s i n ( 批) s i n ( 地) 矧 一1 1 8 i n ( a “+ a 2 ) e i n ( a “一a ) 。 2 。a n + a a n a 而弼1 + 不去两 南斋= 品 所以 ，a k c ，- 2 ) l 。坤) s i m 哟小品驴础) a - 8 2 f j 了丽厕 则 h ；z a - ( a - 2 ) 咖- 一矸下晶一 ；s 谊驴一矿耳晶如 ( ；出1 一f 再褊) 4 - 8 ： 4 4 - 5 则v w , 6 v w , 6 岛磅一。= 晶磋二 - 2 = 一鹾二i a 2 一 由命题2 5 ，i i ) 得d j m n r f w ) s ，所以 d i m b r ( ) = 虫 由i ) ，i i ) 的讨论知i ( ) 在i 上满足一致与反致2 8 阶h o l d e r 条件由定理 2 2 得d i m p r ( ) = 文 注：由上述证明知td i m j z r ( w ) s 为估计d i m hr ( w ) 的上界，由质量 分布原理，在w ( t ) 上分布质量；p ( | 8 ) = l 0 ：似，( t ) ) 丑，其中 b i b 1 为 r c w ) 的j 一覆盖由于w 的增长不够快，其迅速的小尺度的振荡使得相对较 少的函数图上的点落入b 内，其测度值较小，很难估计，虽然迄今尚无证明， 但普遍猜想r ( ) 的h a u s d o r f f 维数为8 以下考虑另一类增大得快的函数：伯西柯维奇函数的h a u s d o t f f 维数 4 2 伯西柯维奇函数 对伯西柯维奇函数 b ( t ) = 带2c o s ( x k t ) ， 1 1 = k + 2 a k + l ，a ”+ 詹舻一i a + 1 ， 则登 f 2 。s - + 2 1 【l + ”一2 十( a 8 2 ) 2 + 】= a 篙写南 詹= n + 1 取c ；蚴 雨1 ，酮1 h 则( 1 ) 式成立 从而 蜿昭j ) 1 + 鲰一矿币丽( s - 鬲1 ) l f o g a 丽n = 1 + 芦 故 d i m ，i ( b ，d 旦嘶r ( b ，d 1 + 卢 注。对于维数的上界，只要振幅如几何级数增长即可，维尔斯特拉斯函数 正为此命题的个特例 2 为估计d i m z r ( b ) 的下界，要求k 更快地增长，为此令二警t o o 说明；由警t 得：v a o ，3 n , y n 】导 a 1 4 四两类函数图象的维数 又d m h f ( b ，j ) = d i r e r f ( b - b = ，d ，任意给定a ，可考虑满足警 的n ， ：求d i m hr ( b - b , o 为此对于我们在证明中要求的某一凡不妨设v n l ，! 斧 a 命题4 2 设等to o ，则d i m h p c b ，i ) l + 卢 思路：用质量分布原理，用边长为d 的正方形覆盖一( b ，d ，须证，存在r 上由( b ，d 支撑的质量分布ys tp ( s d ( t ，z ) ) 硝1 w 过程：构造i 上的一个c a n t o r 集，给出其上的质量分布m 由p 来找出一， 根据p t ( s 6 ( t ，。) ) 含有的伸+ g 阶基本区间的数目来估计”( 船( ，z ) ) ( 1 ) 构造i 上的一个c a n t o r 集 v n n ，令厶 = 【等+ 彘，警# 一彘】，0 【猢一1 ，令毋 = 五，* ，0 【期一1 ，称为1 阶基本区间若晶 已定义，则令最+ l $ = 厶+ 1 ( 3 m ，厶+ 1 c 晶m ) 即所有包含在岛，中的区间厶+ 1 士构成第n + l 阶 基本区间记 晶= u 磊m e = n 磊 又每一n 阶基本区间长为舞，相邻两基本区间间隔为j 4 蔚7 ：，妇，既，中n + l 阶基本区间数目至少为【舞惫】- 2 = 镑】一2 则【期( 【燕】一2 ) ( 【杀昔】一2 ) 4 玩 嘉】， 3 0 1 ( 七1 ) 时，专| 1 a ；一1 a ：一1 n 1 一，+ 4 - 0 t l s ) n 一1 】 乒1 芒籍为此，不妨取a 为满足i 夏、l - 阿s 所以 上( 最 ( f ，。) nm ( e n ，t ) ) 其中c d = 嗽 ；，桶) - 三( 最t + 2 ( t ，岳) n 1 1 ( k ，晶，詹) ，) 6 + 天f 2 生 奇 沁南) t s - 2 t ) 、l - j c o ( g + a 。a - - + 2 1 ) a 。 命题4 2 的证明i ) c a n t o r 集的构造如1 ) 磊= u 魏m 昱= n 晶 七 n = 1 设p 是e 上的概率测度，s t ，k ，p ( 玩鼻) = 壶 1 6 四、两类函数图象的维数 i i ) 垤c r 2 ，令v ( e ) = p ( 最n p ( b ，驯 ，则1 是斧上的由p ( b ，i ) 支撑的 概率测度 为估计y ( 即( t ，z ) ) = “b ( s 6 ( t ，n r w ，驯) 的值 即最 邬( t ，$ ) n p ( b ，f ) ) 中c a n t o r 集的n + g 阶基本区间的数目，w o ，j n ，q s t 獠1 5 靠1 1 弼s - + 2 9 5 k s - + 2 口1 ，国个，间隔1 ) 则a 。s - + 2 口 婿1 磷。2 辛q 1 ( 1 ) 估计q 的上界 设k 嚣碍l a ，s 唧- 2 一l 。则g 马为此估计p 的上界。 等t = a 端( 等) 扣怛。 ( h 鲁毫嘶a n + p 以- 1 ) 2 1 = a n 2 - m $ 一l a n + 1 所以 q p 1 时的情形，e p i c _ 麓 獬由k s - + 2 9 5 x s - + 2 口1 ，取6 1 ，6 k 如1 ) 又 【掣十2 百6 a n + i + 2 = ( 去+ 去m 。+ ， ( 云+ 2 ) 占h 十1 o ，磷l 6 k 1 ，由蠢= 警 嘉 1 ，知；e d s d t ，z ) 至多与个n 阶基本区间相交，设为晶崩则 v ( 岛( t 口) ) = p ( 忍( 岛( ，z ) nr ( b ，纠) ) v ( 岛0 ，茹) ) = p ( 僻慨z ) nr 取) ) ) ) p ( 僻慨( 厶) nm ( 最毒) ) 1 ) 6 m c ：i a n + t a n + 口斋。一 h 7 n + 4 占a ，c 4 t t n 1 - - + $ l a n + 口d f n a 纛口皇s m c ga + i ， 下证v o n 卢，d i m t t i ( b ，d l + o t ，即对c ，( 岛( 厶。) ) 巧1 + 。即证孙蝎a 卅1 - $ l c 2 1 + 口 分两种情况：( 比较m m i n ( c 以。+ 1 d n a - + 1 l a ：- j ，中c 再a n + i 与d , s - 1 l a 0 的 大小：) 情形一z 若巧a 。+ 1 以。s - + 1 l a 扩5 ，即d a s - 2 l a 5 ，此时m c $ ) t n + i 须证 6 m c 5 a n 一+ i 蹦k + 1 瑶 糍硝1 + 。 1 8 四、两类函数图象的维数 即 亦即 曙6 1 一。磋2 - - + 8 1 1 c n 。 、! 计8 - - 2 ) l 5 ) 1 一。入2 n - + 1 1 1 l 即 。石i - n 而l o g 磊c 5 了+ ( 百s - - i 1 ) 孤l o g i a n 磊 又i 最+ 0 ，一o o ) ，即须证 n f 面面( s i - 砭1 ) l 瓦o g x 丽而= 卢 故5 煽嚣。时，王，( ( t ，z ) ) ) t s - 2 砑。，m a n 5 一+ 2 l a 5 ，则6 4 l ，溉静= 1 ，由此猜想d i m 日r 【职d = 湖北大学硕士学位论文 五、一般自伤曲线盒维数的估计 5 1 一般宜仿盐线的定义 设岛：舻- 且2 ，1 i m ，是用下式定义的仿射变换 最( 州：北) + ( 耄) 其中丸 岛 0 ，使得 j k l m c , ： 引理5 1 的证明令口= m a x a l l ，1 0 2 i ) c = i 血 c l ，c 2 ) a = i n a x a l ，a 2 ) ， 则 i 啦l 知2 a 如+ + q l 矗卜l 啦。l l a k - 1 n + a k - 2 c l 口+ + c i l c 一1 口i q 。c l h _ l n i ( j ) 。一1 + ( ；) 一2 + + 1 1 q ，击令m = 尚，结论得证 定义自仿曲线f 的高为h ( f ) = m a x i z l 一z 2 i ：( t 1 ，z 1 ) ，( t 2 ，。2 ) f ) 即f 上纵坐标最大的点的纵坐标和纵坐标最小的点的纵坐标之差 为了估计在水平压缩比不相等的情况下由岛和岛生成的自仿曲线的盒维 数，我们给出以下两个引理： 引理5 2 设f 是由仿射压缩变换研和岛生成的自仿曲线，则变换正，o o 正。把f 压缩在水平宽度为k 。k 的带形 ( t ，动：0 t ，h ) 2 1 湖北大学硕士学位论文 中。并且 丸( 霸。o 0 蜀t ( f ) ) ( m 十h ( f ) ) c 4 - q 。 引理5 2 的证明9 2p ( 牡，口) ，q ( s ，t ) 是f 上任意两点，则 正，。卫。c p ，= ( a n ：沁q ，oq 。) ( ：) = ( k 。：i ：三。) ， 五。五。t 。，= ( k l 二k 。o 。瑶) ( ：) = ( k ：i ：二。) ， 从而i a n 凡。t 一九，a 缸sj = 阻一s i a n 丸i 凡t 九 因为p ，q 是f 上的任意两点，他们的水平宽度最大为l ，所以o 一o 互。( f ) 的水平宽度为a i 。k 又由弓l 理5 1 知 ( 露。o 。霸i ( ，) ) k u + c i ，臼 一k s q - a t l l k ( u - s ) l + l g 。q 扣一t ) i k f + 龟。龟 扣一引膨q - 矗+ h ( f ) c i t b = ( m + ( 聊) q ，q 。 故结论成立 设点( o ，b ) 是任意一点，点( a ，d ) 是直线【p 1 ，马】上和( n ，横坐标相同的 点定义点( a , b ) 到直线段【p l ，岛】的垂直距离为i d 一 引理5 3 设s 2 ( e 1 ) 到直线段【r ，p 2 】的垂直距离为d ，则正：o o 甄( f ) 的高 ( 正，o o ( f ) ) d 引理5 3 的证明设【u ( e ，y 1 ) ，v ( e ，耽) 】是一条垂直线段，则 和吲驴( 承鬈) 一，嘲删。( 麓。妇) ， 由此可以看出，正。o o 乃。把高为f y l 一抛i 的垂直线段压缩为高为阶一 班l q ，的垂直线段 因为正。o o 露。( 聊包含正，o o 五。( p 1 ) ，正。o o 丑。( 岛( a ) ) ，噩，o o 冠。( 最) 三点，故由上面结论知：正。o ，o 死( 岛) ) 到m 。o ( 只) ，宠。o o 甄( 尼) 】 的垂直距离为如。吼放 如， 僻。o o ( d ) 2 2 五、一般自仿曲线金维数的估计 综合引理5 2 和引理5 3 ，我们有 d q ，q k ( 正。0 o 噩i ( f ) ) ( m + h ( f ) ) 臼。龟。 3 一般自仿曲线盒维数的估计 在水平压缩比相等的情况下，如果想得到给定维数并经过点( 元1 ，。) ，= 0 ，1 ，m 的自仿曲线，可参看文献【1 5 】本节我们将按w e i e r s t r a s s 函数图的盒维数的估 算方式来估算a l 沁时，由& 和& 生成的自仿曲线f 的盒维数 定理5 1 设毋，昆是引言中所叙述的仿射压缩变换设惫= ：，其中 0 ，g ) = 1 , f 是由毋和岛按引言所叙方式生成的自仿曲线，则 1 + 帮f 1 4 - 丽l o g ( p c t + q c 2 ) 定理1 的证明显然f = u i ， 。州。韪。o o 鼠( f ) 审= l ，2 1 j k 因为最。o o 瓯( f ) 是噩。o o 兔( f ) 的平移，故以下只对正，o o ( f ) 作分析 由引理5 1 ，5 2 ，5 3 知；墨。o o 把f 压缩在水平宽度为k h ，垂直 高度介于如。和( h ( f ) + m ) q 。之间的矩形内面这样的变换有驴 个，这2 个矩形中，水平宽度为a 1 0 - i ) 。2 i 的矩形有c j | 个，这时对应的垂直高 度介于觑“i 和m ( f ) + m ) c t k - i c 2 之间我们把所有水平宽度为a l b 材 的矩形的并记为工i 却把落在这些矩形里的相应的象记为r i i ( f ) 令a 1 = p 亡沁= q t ，则t = ( p + 口) 现用边长为栌的网正方形与水平宽 度为a z 扣材的罐个矩形分别相交，设趣t 三毒一；( 刁是与一i ( 刃