（基础数学专业论文）关于rcc曲率有界的拟共形平坦子流形.pdf

河南大学几何拓扑专业硕士学位毕业论文2 0 0 0 ，4 中文摘要 关于r i c c i 曲率有界的拟共形平坦子流形 一一一一j 一 中文摘要 ，、 本文讨论了平均曲率向量平行的n ( n 3 ) 维拟共形平坦子流形 和数量曲率为常数的拟共形平坦子流形。第一部分讨论了不定空 间形式s 7 9 ( c ) 中具有t 筻塑堕主鱼量搀的n ( n 3 ) 维完备类空子 流形为全脐点子流形的条件，把 1 8 】中的工作从共形平坦子流形 推广到拟共形平坦，调和平坦及射影平坦子流形，得到了进一步 的结论。第二部分主要考虑数量曲率为常数的调和平坦子流形和 拟共形平坦子流形，从而推广了g o l d b e r g 在 6 中的结果，得到 了在调和平坦和拟共形平坦条件下，m 为常曲率流形的条件。第三 部分研究了具非负欧拉示性数的拟共形平坦子流形，推广了 14 的对应结果。 河南大学几何拓扑专业硕士学位毕业论文2 0 0 0 4 英文摘要 q u a s i - c o n f o r m a l l yf i a t s u b m a n i f o l d sw i t h b o u n d e dr i c c ic u r v a t u r e a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yq u a s i c o n f o r m a l l yf l a t s u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o rf i e l d sa n dq u a s i c o n f o r m a l l yf l a tm a n i f o i d sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e i np a r to n e ，c o n d i t i o n st h a ta nn ( n 3 ) ) d i m e n s i o n a lc o m p l e t e s p a c e l i k es u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ev e c t o r f i e l di na ni n d e f i n i t e s p a c e f o r m s y ( c ) i s o f t o t a l l y u m b i l i c a la r es t u d i e d w eg e n e r a l i z et h et h e o r e m so f 1 8 f r o m c o n f o r m a l l y f l a ts u b m a n i f 0 1 d st o q u a s i c o n f o r m a ll y f l a t s u b m a n i f o l d s ，c o n h a r m o n i c a l l y f l a ts u b m a n i f o l d sa n d p r o j e c t i v e l yf l a t s u b m a n i f o l d s o nt h eo t h e rh a n d ，g o l d b e r ga n dw us t u d i e dac o n f o r m a n l l y f l a tm a r l i f o l dmw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e 、w h e nt h er i c c i c u r v a t u r ei so fb o u n d e db e l o wo rp o s i t i v e ，t h ec o n d i t i o n so f mb e c o m i n gac o n s t a n tc u r v a t u r em a n i f o l da r eo b t a i n e d i np a r tt w oo ft h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rc o n h a r m o n i c a l l y f l a tm a n i f o l d sa n d q u a s i - c o m f o r m a l l yf l a tm a n i f o l d sw i t h c o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e ，t h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t s a r e g e n e r a l i z e d 河南大学几何拓扑专业顾士学位毕业论文2 0 0 0 4英文摘要 i nt h et h i r dp a r t ，w eg i v ea ne s t i m a t eo ns c a l a rc u r v a t u r e o f c o m p a c t o r i e n t a b l ea n d q u a s i c o m f o r m a l l y f l a tk a e h l e r s u b m a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v ee u l e rc h a r a c t e r i s t i cn u m b e r ， t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sa r eg e n e r a l i z e d ， 河南大学几何拓扑专业硕士学位毕业论文2 0 0 0 4致谢 致谢 首先，对三年来辛勤培养、亲切关怀我的导师宋鸿藻教授、 李起升教授和在论文最后定稿过程中，热忱帮助我的孙振祖教授、 李志波教授表示衷心的感谢! 他们渊博的知识、严谨的治学态度及 敏捷的思维都深深地影响着我，使我从中受益非浅，为我今后从事 科研工作打下了良好的基础 在本论文的完成过程中还得到了数学系许多老师的热心弗助， 尤其在论文的打印过程中，计算机教研室的胡长流老师、冯秀芳老 师、张楠老师等给予了我许多悉心的指导和热心的帮助，在此对 他们的大力支持和帮助表示衷心的感谢同时也对所有给了我帮助 的老师、同学和朋友表示深深的谢意! 河南大学几何拓扑专业硕士学位毕业论文2 0 0 0 4 第一部分 第一部分 伪欧氏空间中平均曲率向量平行的拟共形平坦子流形 如果彤n 。+ p ( c ) 是一个指数为p 的具有常数曲率c 的( n + p ) 雏连通的不 定黎曼流形，则称它为指数为p 的不定空间形式。当c 0 时，用sn + p ( c ) 表示。如果n ，+ p ( c ) 的个n 维予流形m 由外围空间n 。+ p ( c ) 诱导的度 量是正定的，则肜称为n 。+ p ( c ) 的类空子流形。 在 1 中，s 地c h o i 证明了不定空间形中具有平行平均曲率向量场的 三维类空子流形全脐的条件，在 1 8 】中( x u - w a n g ) 证明了： 定理a 设m 是不定空间形式jn 。+ p ( c ) ( p 2 ，n 4 ) 中具有非务平行 平均曲率向量场的1 1 维完备类空子流形，如果m 是共形平坦的，且满足 h 2 c , r i c ( m ) 茎占 ， n ( c - h 2 ) 则m 是全脐点的。其中为子流形m 的平均曲率。r i c 是m 的r i c c i 曲率，如是_ 个由子流形m 决定的正常甄 本文讨论了不定空间形式中具有非零平行平均曲率向量场的n 维完备 类空子流形在拟共形平坦时全哜的条件，推广了 1 和【1 8 】的结果。 首先，我们给出m 的拟共形曲率张量 8 ： d 日 w ( x ，y ，z ，w ) = z ( x ，y jz ，w ) + ( g ( x ，w ) g ( y jz ) 一g ( y ，w ) g ( x ，z ) 一z + g ( y ，z ) g ( x ，w ) - g ( x ，z ) g ( y ，w ) )( 1 1 1 ) 其中 河南大学几何拓扑专业硕士学位毕业论文2 0 0 0 4第一部分 z ( x ，y ，z ，w ) = r ( x ，y ，z ，w ) 一去r k ( x ，w ) g ( y ，z ) 一g ( y ，w ) g ( x ，z ) h t ，l lj ( 1 1 _ 2 ) 为m 的共圆曲率张量【9 】。 g ( x ，y ) = r ( x ，y ) 一i r g ( x ，y )( 1 1 3 ) 为e i n s t e i n 张量，r ( x ，y ，z ，w ) ，g ( x ，y ) 分别为黎曼曲率张量和度量张量， t 为常擞，r 为m 的数量曲率。 作为定理a 的推广，我们有如下定理： 定理1 1 设m 是不定空间形式sn 。+ p ( c ) ( p 2 ，3 ) 中具有非零平 - ：f 5 - q - 均曲率向量场的n 维完备类空子流形，如果m 是拟共形平坦的( t o ) ， 并日满足 h 2 c ，r i c ( m ) 占。 ( n 一1 ) 一三】( c 日2 ) 则m 是全脐的。 如果t = o ，则w ( x ，y ，z ，w ) ：z ( x ，y ，z ，w ) ，那么我们有： 定理1 2 设m 是不定空间形式sn 。+ p ( c ) p 2 ，n 3 ) 申具有非零平 行平均曲率向量场的n 维完备类空子流形，如果m 是共圆平坦的，r i c c i 曲率有下界并目满足 h 2 sc 则m 是全脐的。 m 中的调和曲率张量【7 和射影曲率张量 2 0 分别定义为： h ( x ，y ，z ，w ) 竺r ( x ，y ，z ，w ) 一匕 g ( x w ) r ( y ，z ) 一g ( y ，w ) r ( x ，z ) n z + g ( y ，z ) r ( x ，1 订一g ( x ，z ) r ( y ，w ) ( 1 1 4 ) 2 河南大学几何拓扑专业硕士学位毕业论文2 0 0 0 4 第一部分 p ( x ，y ，z ，w ) 兰r ( x ，y ，z ，w ) 一l 一 g ( x ，w ) r ( y ，z ) 一g ( ) r ，w ) r ( x ，z ) ) ( 1 1 5 ) n l 则我们有如下结论 定理1 3设m 是不定空间形式了，( c ) ( p 2 ，”3 ) 中具有非零平 行平均曲率向量场的1 1 维完备子流形，如果m 是调和平坦的，并且满足 h z c ，r i c ( 吖) 如 o ，用b 。( p ) = 扛肘i r 0 ) o ，存在一个但依赖于。的常数。，使得 对皖( p ) 中任意一点x ，有 吣) 警瓣( 其札为糊 ( 1 3 1 ) i 因为m 是完备的，在不等式( 1 3 1 ) 中我们固定x ，让。趋于无穷大，则 得到u ( x ) = o 对任意点z 成立。引理l 得证。 下面我们先给出伪脐、全脐的定义： 定义1 设善为c ”法向量场，工s m ，如果 ( h ( x ，y ) ，善) 2 五( x ) ( x ，y ) ，x ，y c 。( 2 m ) ， 其中五( q y , 4 f - - 濑f f - - 告) 为i 上的c ”函数，则称m 关于亭姚最的。 定义2 若m 关于其每个法向量场都是晓羔的，则m 称为全脐子流 形。 定义3 若m 关：f f - q , - 均曲率向量场印0 ) 是晓羔的，即 ( ( x ，y ) ，叩( 工) ) = z ( x ) ( x ，y ) ，x ，y e t x m ( 1 3 2 ) 则称m 是伪盹点的 g l 理2 1 设m 是不定空间形式s ：+ ，( c ) ( p 2 ) 中具有非零平行平均 曲率向量场的一维完备类空子流形，如果m 是伪晓羔的且满足 则i 是全哜的。 引理3 1 3 设m 是不定空间形式j 7 p ( 。) ( p 2 ) 中具有非零平行平 均曲率向量场的”维完备类空子流形，如果 河南大学几何拓扑专业硕士学位毕业论文2 0 0 04筇一部分 h ： = i l h i 1 ( a ，一五，) 2 r 耐 设m 是拟共形平坦的，其拟共形曲率张量巨为零， 形州_ z 捌+ 五t ( g g j k _ g fg * a i l - g mg j t ) 其中g f 2 月f 一鲁岛 0 e i n s t e i n 张量，t 为常数，z 州为共圆曲率。 由定理1 1 的条件，则有 ( 1 4 1 6 ) ( 1 4 1 7 ) 月州础酱一五t 瓴g 巾嘞g j k + g y ；gu - g i kg ，) 对t 任意i j 孰n 哺 = 而r 面一五t ( g 。+ g 。) = 而而r 一去( r 。氓。一警) ，( j ，i 不求和) ( 1 4 i s ) 又时任意的f _ ，有 r i + r = r 一氏 0 ( 1 4 1 9 ) 河南大学几何托扑专业硕j 学位毕业论文2 0 0 04 第一部分 于是由( 1 4 1 7 ) 可得 w = 若a ，) 2 上n ( n - 1 ) 一击( r 一净一釉) 2 若。_ ) 2 等等r + 州j l _ k ，i , j 酬 因为t 2 n 川等等r 十t f m ( 1 4 2 2 ) 又由( 1 2 1 2 ) 和( 1 4 1 2 ) 可得 r = 砟( 以一1 ) c 一2 h 2 + l a j 2 + f 2 + n h 2 n ( n 一1 ) ( c h 2 ) + i j 2 ( 1 4 2 3 ) 代入( 1 4 2 0 ) 得 j j ：2 nj 卢i zf 三磐l i ：+ 1 一( n l 弘】( c h z ) + t 8 。) 玎( 一1j 。 因为t o ，所以 ! 二! ! 二! b o 玎( 胛一1 ) 利用定理1 1 的条件巧。 o ，m 的r i c c i 曲率有下界，且m 是完备的( 参考 1 ) ，函数： 是光滑的，所以利用引理1 ，我们有2 = o 。因此m 是伪脐的，又由引理 2 知i 是全脐的。定理1 1 得证。 注记1 当t 一1 时，拟共形曲率张量由( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 渊= z 州一。刍( g g 止一g g m + g 竹g “一g mg ) 硝狲+ 高( g l k r 扩g j kr 。 + g ir 旷ghri k 一i 五_ = 二i 页r 而( g 。g 一g 社g 。)( 肛一1 ) ( 竹一2 ) 、u “u 口弹。“7 2 c 州 化为共形曲率张量，- f - 慰一, n ，定理a 【1 8 是本定理的一个推论。 潮己2 当t = o 时，w 耐- - z 州拟共形曲率张量化为共圆曲率张量， 在定理1 1 的条件下，若m 是共圆平坦的，也就是说 z 渊瑚归砌篙= 0 ( 1 4 2 5 ) 则我们可得定理1 2 ，下面我们简单给出定理1 2 的证明 此时，对- - l - i _ ，由( 1 4 1 8 ) 榭门有 2 r 酱= 而r ( 1 - 4 2 6 ) ” ”0 1 )月m 一1 1 ”一 由( 1 - 4 1 7 ) ，( 1 4 2 1 ) 和( 1 1 4 2 6 ) 得 嘶降2 州志= 等 ( 1 - 4 2 7 ) 又由( 1 4 2 3 ) 可得 河南人学几何拓扑专业硕士学位毕业论文2 0 0 04第一部分 l “1 2 - ! ! 丛匦! 二! 堑二丝尘! 丛3 n i 由定理条件h 2 c ，易的 a i d 1 2 i i 1 4( 1 4 2 8 ) h 一1 同定理1 1 ，因为m 的r i c c i 曲率有下界，且m 是完备的，函数f i ： 是光滑的，所以利用引理1 知2 _ 0 ，从而m 是伪脐的，又由引理2 知m 是 全脐的。定理1 2 融 注记3 在定理1 1 的条件下，若m 是拟共形平坦的o 2 n 磐+ 等( c 卅) - 8 m 】) ( 15 3 ) 利用定理的条件占。 掣( 。一日z ) 可得 以一z 2 n 2 一n z i 1 4 由引理1 知在m 上2 = o ，再利用引理2 ，3 知m 全脐 定理i 4 的证明 m 是射影平坦的，则 即 p 。：r 。一丛二墅坠1 0 p 渊2 州一兰壁鼍i j 卫塑。 若i _ ，则 r 州 ：塾一g i f r 谩 一一1 = 鲁 ( j ，i 不荆 对于固定的， 1 4 ( 1 5 4 ) ( 1 5 5 ) 河南_ ：学几何书f ，扑专业珂! j 。学位毕业论文2 0 0 0 4第一部分 嘞= r 一r 。 t # j 把( 1 5 。6 ) ，( 1 ，4 2 3 ) 代入( 1 。5 5 ) 得 ( 1 5 6 ) r 鲋五r - a 。2n ( c 一日2 ) + 川1 - - - - l 小巧。( j ，i 不求和) ( 1 5 7 ) 由( 1 4 1 7 ) ，( 1 4 2 1 ) 和( 1 5 ，7 ) 得 i 1 2 2 n i 2 ( 三_ l 2 + ( c h 2 ) 一占。 ( 1 5 8 ) n 一1 由定理1 4 的条件 每。 3 维拟共形平坦紧致流形，有常数量曲率和正 r i c c i 曲率，则m 必定为常曲率流形。其中拟共形系数t 满足不等式： 一1 f 兰一1 2 推论2 3 埘设m 为n 3 维共形平坦紧致流形，有常数量曲率和 正r i c c i 曲率，则m 必定为常曲率流形。 定理2 4设m 为一3 维拟共形平坦紧致流形，有常数量曲率和 正r i c c i 曲率，则m 必定为常曲率流形。其中拟共形系数t 满足不等式： 一1 f 曼一1 y 可南大学几何拓扑专业硕上学位毕业论文2 0 0 04第二部分 由( 1 1 4 ) 知，m 的调和曲率张量为 磁= 琢一盟尘毫世丛 龇1 ) 令v 为共变微分算子，由( 2 21 ) 可导出 v ，瞅：v ，磙一v ，( 垒型丛粤生羔遂) ( 2 2 2 ) ，fln 一2 5 由b i a n c h i 第二恒等式，我们有 e v ，r 品= v ，r j k v r i k ( 2 2 3 ) ( 2 2 3 ) 式乘以g 庳收缩，并注意 琢g j , = = 岛，岛旷= r 则有 2 v ，蟛一v r = 0 ( 2 24 ) 把( 2 23 ) ，( 2 24 ) 代入眨2 3 ) 有 莩v ，欧= 暑( v i r k _ ) 一击( 妒p 妒固( z 2 5 ) 设m 为n 3 维调和平坦紧致流形，有常数量曲率和正r i c c i 曲率，则 ( 22 5 ) 式铪出 v f r m v ，r i j = 0( 2 26 ) 在m 上取局部正交标架场q ，巳，今u m ，= 恤l m ：怕i 1 ，则 u m = u u m ，呻m 为m 上的单位切从 河南人学几何拓扑专业颂_ 学位毕业论文 2 0 0 04 笫二部分 令s x = ( “，v ) ：“，v t a m ，( “，v ) = o ) ，由m 黜s ：u 。足也紧致，则 s 上的函数 f 缸v ) 2 r 2 ( 叫) 2 ( r 口“。v 7 ) 2 ( 227 ) 必有极尢最s 。：( u o , v o ) ，其中u o , v 0eu 肘。( x o m ) 为单位正交切向量。 不妨假没在处，“。= 岛，v 。= e 2 , 则有在处 f ( s o ) = m a x ( 。) 。sr z ( “，v ) = r 2 ( q ，e 2 ) = ( r 1 ：) 2 ( 2 2 8 ) 由初始条件n ( o ) = ，：( o ) = 略，忙= l ，一) 确定测地哉“( f ) ，设“。，v 。 沿“( f ) 平行移动，生威局部向量场u 。( t ) ，v 。( t ) ，令 ( f ) = f ( u k ( t ) ，v a t ) ) ， 由极大条件 1 1 ，1 2 可得在处 0 2 丢以( o ) _ 2 v 忍：( z 2 9 ) o = 矿d 2 ( o ) = 2 ( v k r n ) 2 + 2 r 1 2 v t v i r ：2 r ，2 v v r ，： 眨2 1 0 ) 取l j m ，满足m 。，c o ) ，( v 。，) s 。，则国1 = ( ，) = 0 同理 2 = ( v 。，国) = o 选取s ；。中曲线口( f ) 使得口( o ) = ( “。，v 0 ) ，口。( o ) = ( ，c o ) ，函 数f o a 在t - - o 处_ 逝。极大，故2 ；氏2 丢，。口i 。2 0 由 国1 = c o 2 ：0 ，即在矗点 取岛，e n f r ， 使得矩阵l t 墨，n ( 2 2 1 1 ) r 。卜懒忆即 ( 2 2 1 2 ) 地 划 嘁 嗽 理同 河南大学几何拓扑专业硕+ 学位毕业论文2 0 0 04第二 | j 分 r ，= b 彰，s ，t = 3 ，r l( 2 2 1 3 ) 对于二阶共变张量r i c , 其r i c c i 恒等式为 孓i r k t v j 可r k i = r q t t r 。- z 砖t r k 以下计算均在处进行。 我们有r i c c i 恒等式 r ，：一r i 。，= 一魄。r ，+ 。置。) = 一2 尺：。r 。 t 其中置。表示置，的二阶共变导数。 再利用( 2 26 ) 和( 2 2 1 0 ) 可得 只。：( 置1 1 ：+ 2 r ：l l 。墨。) = r 1 ：r i ，= 妈：置：。0 ( 2 21 4 ) 女 再由数量曲率r = - z r 。的二阶共变导数为零，即 v ：v ，r = v 2 v 。如= ：+ ：+ 心1 1 2 = 0 因为r i c c i 张量对称，再利用( 2 2 3 ) 和q2 1 0 ) 就有 只t ：( 一墨：一r 州：) = 置：r 2 2 朋= 置：足。2 2 0 r = 3 和 墨：置。，= 月。：置：，。0 ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 令( 2 21 4 ) ，( 2 21 5 ) 和( 2 2 1 6 ) 三式弄目加，利用r i c c i 恒等式，并注意 ( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 1 ) 式我们可得 尺，：( 只：+ 2 r ：。e 。一只。：) 一置：( 童。一妻置：墨啦，) 河南大学几何拓扑专业硕：扛学位毕业论文 2 0 0 04 第二部分 2 2 ( 置：) 2 r ：+ 2 r 。：r 。，r ：，一r 1 2 ( 月：r i 。+ r 2 l , l k r 。) ( 2 2 1 7 ) 2 ( r ：) 2 r ：1 1 ：+ 月1 2 ( r 2 r 。t + r 2 r ) 由( 2 2 1 7 ) ，利用( 2 2 1 1 ) 一( 2 2 1 3 ) - - - 得- ( 月- ：) 2 ( 墨，+ r ：+ r 2 ：) + 置：r ：。0 ( 22 1 8 ) 既然m 是调和平坦的，由( 2 21 ) 和眨21 8 ) 可导出 ( r 1 i 2 ) 2 h ( r 。，+ r 2 2 ) 一r so n z 现在假设m 不是常曲率流形，则矩阵严 由( 2 2 8 ) 式未口极大值厂( 瓯) = ( r l ：) 2 0 ，由( 2 2 1 1 ) 一( 2 2 1 3 ) 知 f 量，1 l 。乜。j e r = 和一，n l 设另外两个特征值种如对应的特征 向量期0 为五，z ：，则 e i = x ic o s 0 x 2s i n 0 e 2 = x 1s i n 0 + x 2 c o s o ( 2 2 鳓 由( 2 22 0 ) 推知r 。：= r ( 与，岛) = 丢( 丑一如) s i n 2 臼彳强撇足： o ， 如( 必 要时用- e 代替e 。或交换与x ：) ，此时，由( 2 28 ) ，在极大点目：三 4 坳 系 2 卧 斟不啦特的 r 河南人学几何柿扑专业硕二卜学位毕业论文 2 0 0 04第二部分 处，r ，。= r 2 ：= ( + 4 ) 2 ，由( 2 2 1 9 ) 有 ”1 ) ( + 如) 一( 冯+ + ) s 0眨22 1 ) 另一方面，由( 2 z8 ) 有 i r ( 学，等烨耻圭( 五卅艄，n - i - 是i 一 降 一五，同理i 五一 峰五一如，因为m 有正r i c c i 曲率， 丑五 0 ( t - 3 j ，n ) ，因此 时1 ) ( + 恐) 一( 毛+ + 九) a + ( n i ) 4 0 ( 2 2 2 2 ) 这与( 2 2 。2 1 ) 矛盾! e l m 必为常曲率流形。定理2 1 得证。 2 - 3 蝴平坦紧致流形 由( 1 1 1 ) 知，m 的j 啦蝴曲率张量为 = + 老( g “啄一轧瓯+ g ：t g i t 一乳嘭) ( 23 1 ) 其中岛- r 。_ _ r 。岛 e i n s t e i n 张量，t 为常数，z 舛为共圆曲率张妾 由( 2 3 1 ) 求共变导数，并利用e - 23 ) ，眨2 4 ) 即得 莓v t _ ( 1 + 圭) ( v ，一v ，蹦 + 【端一南v p 乳v t r ) ( 2 3 - 2 ) 设m 为n 3 雏拟共形平坦紧致流形( 一1 o ( t ，r l ) ，字母含义同前。 因此 ( n 一1 ) ( r 。+ 是：) 一r = ( n - 2 ) 五+ ( 丑一 ) 0 ( z 3 5 ) t = 3 故r ，+ r ： 三，当一1 o( 2 3 6 ) n ( n n - b ( z 3 4 ) 矛盾! 因此当一1 3 维共形平坦紧致流形，有常数量曲率和正r i c c i 曲率，则m 必定为常曲率流形。 注记6当n ：3 时，由共形平坦与常数量曲率可导出( 23 3 ) 与 ( 2 3 4 ) ，其中t _ 1 ，用臣证法，同样可得盖4 眨3 4 ) 与( 2 3 7 ) 矛盾，故有 推论b当n ：3 时，推论a 依然成立。 推论a 与摊轮b 合并即为我们的摊论2 3 1 1 2 3 ： 推论2 3 1 2 设m 为n 3 维共形平坦紧致流形，有常数量曲率和 正r i c c i 曲率，则m 必定为常曲率流形。 注记7如果对拟共形平坦紧致流形在n - 3 时进行补充定义( 象 拟共形平坦那样) ，则定理2 2 可推广到n 3 ，如果限制一1 f 昙一1 ， 我们有： 定理z 4设m 为”3 维拟共形平坦紧致流形，有常数量曲率和 正p d c c i 曲率，则m 必定为常曲率流形。其中拟共形系数t 满足不等式 一1s ts n 一1 | | 南大学几何拓扑专业砑j 二学位毕业论文 2 0 0 04第三部分 第三部分 具非负欧拉示陛数的拟共形平坦k a e h l e r 子流形 关于曲面的曲率估计，早在5 0 牟0 弋就有c h c r r l s s 提出问题e 4 中 是否存在紧曲面使m a x r 坐2 1 或 i n f r 5 或 i n f r 6 或 i n f r o 。 定理3 4 设m 4 为c p 4 ( 1 ) 中欧拉示性数非负的拟共形平坦 的紧可定向删日子流形酽 0 2 t2 ) ( 2 3 t2 ) 或i n f r 0 。 3 2 射影平坦的k a e h l e r 子流形 令“( 1 ) 为复空间形万”( 1 ) 中紧可定向的n 维k a e h l e r 子流形，则第 二蝴式。满足( 参考 1 6 ) ： 拗酬2 刮v 刚2 + r ，0 p a j - a a ；) 2 一，) 2 + 去g + ) i 其中字母含义同前两部分：为l a p l a c e 算子，t r 为矩阵的迹，a 表示 w e i n g a r t e n 变换，i i i i 表示模，i ，j ，i + ，j 分别为局部正交标架场： e l j ，e 。，e 。，e 。的下标，且e i ，- ，ei 哏希i j 在m 一上时为切向量。 对c p 4 ( 1 ) 中的复2 维k a e h l e r 子流形，有如下公式： r 埘一( g g ：g j t + j “, j j l - - 厶厶+ 2 厶厶) = 莩慨 j 一 ： 盖) ( 3 2 1 ) 岛= 寻岛一2 ( e ，) 此时k a e h l e r 子流形的s i m o n s 公式为 1 7 ( 3 2 2 ) i i i 盯1 2 = i v 口1 2 8 - z ( t r a 4 a 2 + 2 | 仃1 2 ( 3 2 3 ) 一 a 声 ，“ 上面三式中：下标i ，j ，k ，l = 1 ，2 ，1 + ，2 ：入，= 3 , 4 ，3 + ，4 ：o 【，d = 3 ，4 ，d 表示k a e h l e r 子流形的结构张量，满足条件： j t j ：= 一6 i j b = j ：g q = 一j ” j = g “j 净一p v ，j j , = 0 ， j “= g “= 0 ， 塑童查堂些塑堑盐兰些型! ! 堂丝兰些丝壅 ! 竺塑：!笙兰塑坌 我们首先考虑射影平坦的k a e b l e r 子流形，也即 = 一去t g & 一g & 1 - o 的紧致可定向k a e n e r 子流形m “，当n - - 4 时，由( 3 2 4 ) 可得 k f = 弓1 t g 凡一啦洮w 一水“、 百1 ( 2 i e l 2 正一- g f 占i t n 。n i k ) ；( 8 l e j 2 2 r ? r ：) = j 2 f 1 2 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 其中1 k 1 2 、f e l 2 分别为黎曼曲率和确出曲率的平方。 对( 3 1 1 ) 式两边平方，然后对i ，j ，k ，l 求和，并利用( 3 2 4 ) 式有 ( 详细推导见附页一) k 1 2 + 1 2 + 胄= 2 ( t r a a ，) 2 2 t r ( a 2 爿，) 2 ( 3 2 6 ) 。 ， ， 而对于k a e h l e r 子流形。有 f r ( 4 4 ，) 2 = ；吆 ：蟛 ， ，口i , j ，女， 从而有 = 自 缈刍蜡 = 一五； 盖a 0 ，h 。u = 一 j 盖巧蚶= - t r ( a x a ，) 2 = 0 2 ( 删。4 ) ：= 1 r j z + 1 2 + 昙r j ( 3 2 7 ) 由( 3 2 2 ) 式，有 萎r m ：弗2 = 百1 丢j 3 i 岛一) 2 = 专! e 1 2 三r + 詈 ( 3 2 8 ) 口，口，- 叶叶叶 河南大学几何打i 扑专业形! 一l 学位毕业论文 2 0 0 04第三部分 则由( 3 2 - 3 ) 式及( 3 2 5 ) 一( 3 2 8 ) 式，有 缸盯j 2 = j v 口阳r r 州22 一帆4 ) 2 + 2 i 叩口1 2 一扣2 + 詈z 两边积分并由s t o k e s 定理，有 l i v 仃1 2 l = j ：，弓l e l2 1 3 0 k ) * l + 1 2 v o f ( 膨) ( 3 2 9 ) 同时由g a u s s _ b c m e t 定理 1 9 ，m 的欧拉示性数为 z ( m ) = 丽1 l ( 一4 1 e 1 2 + r 2 ) 1 = 嘉睁n i 4 i e l 2 谢 = 刍l ( 月2 一了1 0 ih ( 3 2 1 0 ) 则由( 3 2 9 ) 及( 3 2 1 0 ) 可得 - 7 x ) 1 6 2 2 z ( m ) + l i v 仃1 2 + 1 =r 蜢7 月一了1 0 ) * 1 + 1 2 v o l ( m ) ( 3 2 1 1 ) 由定理3 1 的条件：v 。，( m ) 西2 8 口2 z ( 肘) ，假设o s r 1 2 0 2 1 0 ，则由 ( 3 21 1 ) 武雕知 v 口：0 ，r ：0 或r ：l o o 2 1 ( 3 2 1 2 ) g , l f j & 献 1 5 中的结果：c p ( 1 ) 中紧致k a e h l e r 子流形，若具有平行 第- - 基鼻一，t f f 一- ，则它必全等于某个m 。( i q ，2 ，7 ) 到c p m ( 1 ) 的朽滩嵌入： 州南火学几何拓扑专业硕 二学位毕业论文 2 0 0 04第兰部分 子流形 hpr m ，= c p “( 1 ) n 0 n 如+ 1 ) m ，= c p ”( 1 2 ) h 0 + 1 ) 2n ( n + 1 ) 2 m 3 = c p ( 1 ) x c p 7 ( 1 ) h r ( n r )r 2 十( h r ) 2 + n m 4 = q ”，h 3 n1”。 m ，= w ( r + 2 ) u ( 2 ) u ( r ) ， 2 r r ( r + 1 ) 22 r ( r + 2 ) r 3 m 6 = s o ( 1 0 ) u ( 5 ) 1 058 0 m 7 = e 6 s p i n ( 1 0 ) t 1 6t 01 9 2 表檄) 从中可以看出m i 数量曲率不可能为。或1 0 0 2 1 ，式( 3 2 1 2 ) 导致一个矛盾， 由l 比可得定理3 1 3 3 共圆平坦和调和平坦的两类k a e h l e r 子流形 现在考虑c p 4 ( 1 ) 中共圆曲率 z q q = r # q r ( g # g 一gn g ) 1 2 = 0 的k a e h l e r 子流形膨4 ，由( 3 3 1 ) 可得 i kj 2 = r 2 6 对( 3 2 1 ) 两边平方，并对i ，k ，求和，有 k1 2 + 1 2 + r 一，“j ”= 2 ( t r a x a ，) 2 把( 3 3 1 ) 代入，得 2 。( t r a a a ，) 2 邓f 2 + 1 2 + 詈r 则由( 3 2 3 ) ，( 3 3 2 ) ，( 3 3 3 ) 及( 3 2 8 ) 式，有 峭v 州一2 1 e 一竽一壶n ，z ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 河南大学几何拓扑专业硕一j ：学位毕业论文 2 0 0 04第三部分 两边积分并由s t o k e s 定理，有 l l v 吖小l ( 2 i 一詈r + 壶购小1 2 v o l ( m ) ( 3 3 4 ) m 的欧拉示性数为 z ) = 3 2 l z 2 7 r 2 - 4 i e l 2 ) + 1 由( 3 3 4 ) 及( 3 3 5 ) 式得 ( 3 3 5 ) 1 6 2 2 z ( m ) + l j v d l 2 + 1 = l ( 詈r2 一了1 0 r ) 1 + 1 2 阳，( m ) ( 3 3 6 ) - 当v o l ( m ) s 詈z z z ( m ) p h g ，若。畏 5 或 i n f r 6 7 或i n f r 圭 矛盾 r ：旦：塑兰：1 0jf ：里 一1 矛盾 2 3 t 2 22 82 同理可验证其余m ；皆不可能成立 所以，可得定理3 4 ： 定理3 4设m 4f 1 3c p ( 1 ) 中欧拉示性数非负的拟共形平坦瞄e h l e r 子流形( r 2 2 1 - 一2 3 t ，2 。 i n f r 0 3 河南夫学几何拓扑专业硕士学位毕业论文 2 0 0 0 4 第三部分 附页( 一) ( 3 2 6 ) 式的证明： 将( 3 ，2 1 ) 式的两边平方后 ，i g h t = ( 蚝a ；一 知, o l c z ( 蚴p , u 一埘 盖) z“ = 【( h 。2 ，一 ； 盎) ( 崖 名一 ； 盖) ， = ( ： ；鲻够一2 2 且2 i j ，。p + i 2 tb j 2 k b 。i l ，j k 、1 z ，p = 2 ： ： ； ； 2 z ： ： ； 一2 ；碟五五蟛 一2 ； ： ； ； 2 ( 州 a ，) 2 2 t r ( a i a ，) 2 ，fj ，“ l 够= 疆谢一l ( g i k g i t - g u g j k + j i k j # j j + 2 j j h 垤 - x p + - 石? 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