（基础数学专业论文）可加泛函的渐近性.pdf

摘要 设e 为局部紧的h a u s d o 壤空闯，劈( 曰为e 上的伊代数，m 为( e 劈( 司) 上的盯一有限测度，且s 啪【m 】= e ( ，d ( ) ) 为l 2 ( e ，m ) 上正则的对称狄氏型， 其联系的对称h u n t 过程记为x = ( q ，只( 五) t o ，( 五) t o ，( b ) 。f ) 设p d 馁) ， 声为p 的一个拟连续版本由f 、l k u 8 h i m a 分解知 卢( k ) 一声( x o ) = m f + 孵，b o s 口e2 e 卵及 甲分别是鞅可加泛函及零能量连续可加泛函 本文主要研究极限问题3 骢 l o g e ( e 吖) 由于w 不一定为有界变差过程， 所以我们无法直接运用【4 5 1 中的结果又由于过程的般性，我们也不能直接应用 文，5 0 1 的方法这里我们采用g i r s 8 n o v 变换的方法，把无界变差过程转化为有 界交差过程，重点讨论变换后新过程的性质，再运用f 4 5 j 中的相关结果，从而使同 题得到解决第二章中首先给出对称h u n t 过程x 满足一定的假设时有 舰；l o g 玩( e 岬) = 一j 氍，q ( 牡，u ) ， u 口晖) b 这里( q ，秒侈) 6 ) 为 q ( u ，”) = ( 钍，钉) 十( 口，p ) d ( h = d ( ) nl o 。( e ，m ) ， 随后我们给出扩散过程及。一s 曲f e2 i 七e 过程的例子来说明上述定理是成立的，从 而我们的结果推广了文阻，5 0 】的结果在第三章和第四章中讨论布朗运动及一般 的扩散过程在g j r s a 、，变换后的性质，从而得到一些新的结果，这些结果补充了 【4 5 】的结果本文的难点在于g i r s a n o v 变换后新过程转移密度函数的存在性及是 否受控制据作者所知。目前虽有大量文献研究g i r s a n o v 变换后过程联系的二次 型，但很少有文献研究g i r s a n o v 变换后过程转移密度函数的性质我们对此问题 作了一些探讨，得到某些过程在变换后转移密度函数的一些性质 关键词t 狄氏型，f u k l l 8 h i m a 分解，零能量可加泛函，g i r s a n o v 变换， 一变 换，马氏过程，广义f e y n m a n - k a c 半群，布朗运动，扩散过程，渐近性，随机微分 方程，转移密度函数，k a t o 类 i a b s t r a c t i t 侈，口( ) ) b ear e g l l l a r 科m m e t r i cd i r i c h l e tf o r mo nl 2 ( e ，m ) w h i c h i 8a s 8 0 c i - a t e d 毗has 珊m e t r i ch u n tp r o c e s 8x = ( q ，芦，) t o ，) t o ，( 忍) f ) s u p p 渊 _ p 口( ) a n d 芦i saq u 嬲i c o n t i n u o l l 8 、，e 瑙i o n0 fp ，t h e nb yt h ed 嘲i 咖f 址u 8 h i m a d e c o m p o s i t i o nw eh a v e 声( 托) 一声( 。x o ) = 朋+ v b 一3 g ez e w h e r e 删a n dw a r et h em 舭t i n g a l ea d d i t i v ef u n c t i d n ma n dc o n t i n u o l l 8a d d i t i v e 缸n c t i o n a lo fz e r oe n e f g yr e s p e c t j v e 域 i n 七h i s p a p e rw e m 8 i n l ys t u d y t h e l i 蚵t a 土i o nj i m l o 罾忍( e 岬) s i n c e 孵i 8 n o t 4 n e c e 踮a r yo f b o u n d e dv 盯i a t i o np r o c e s s ，w ec o u l d n 七u 鼬t h er 锨m si n 【4 5 】d i r e c t l y c o n s i d e r i n gt h eg e n e r a l i t y0 ft h ep r o c e s s ，n e i t h e rc o u l dw eu s e t h em e t h o d si n 【4 4 ，5 0 1 d i r e c t l yh e r e ，w ec h a n g et h eu n b o u n d e dv a r i a t i o np r o c e s si n t ob o u n d e dv a r i a t i o n p r o c e 鹪b yg j r s a n ，t r 8 】1 s f b n n a t i o n ，a n df d c u 8o nt h ep r d p e r t i 酷o ft h ep r o c e 韶a 扛凹 t r a n s f o r m a t i o n i nc h a p t e rt w o ，f i r s t l yw eg e tt h a ti ft h e8 舯e t r i ch i i n tp r o c e 8 s 8 a 七i 8 f i e ss o m ec o n d i t i o n 8 t h e n 规l 。g 忍( e 聊) = 一 砒e r e ( q ，口够) 6 ) i 8d 娟n e da s ，瓣，q ( 让，“) “口汪坫 q ( u ，”) = = ( 让，秽) + 占( t ，p ) 秒( ) 6 = 口( ) n l ”( e ，m ) s e c o r l d l y w eg i v e8 0 r n ee x a m p l e sa b o u td i l f u s i o np r o c e s sa r l da 8 t o 扰e 髓惫芒p m c 铝8 t od e m o n s t r a t et h et h e o r e ma b d y e o u rr 豁u l t se x t e n d 乞h er e g u l t so fh 4 ，5 0 】i n c h 8 p t e rt h r e ea n dc h a p t e rf o u rw ed i s c u 黯址l ep r o p e r i e so fb r o w n i a nm o t i o na n d d i 吊l s i o np r o c e s sa 肌e rg i r s a n o vt r a n s f o r m a t i o nr e s p e c t i v e l mh e r eb yan e wm e t h o d w h i c h8 d 8 p tt om d r eg e n e r a lp r o c e 豁w e 罢r e ts o m en e wr e s u l t 8w l l i c hs u p p l e m e n tt h e 豫以t 8 4 5 l t h ed i m c u l t i 朗i nt h i sp 印e ra r ew h e t h e rt h et r a n s i t i o nd e i l 8 i t yf i l n c - t i o ne x 塔t 8a 危e rg i r 8 a n q t r a n s f o r m a 硝o na n di fi td o e 8e x i s tt h e nw h e t h e ri tc o m d 海南师范大学硕士学位论文 b ed o m i n a t e db ys o m ef u n c t i o n ，a c c o r d i n gt om e ，t h o u g ht h e r ea r eal a r g e 锄o u n t o fd o c u m e n t 8a b o u tt h eq u a d r a t i cf o r m sa f t e rg i r s 狮o vt r a n s f o r m a t i o n ，t h e r ei sf e w p a p e 瑁a b o u tt h et r a n 8 i t i o nd e n s i t yf u n c t j o na f t e rt h e r a i l s f o r m a t i o n i nt h i sp a p e r w ed o8 0 m ew o r ka b o u ti ta n dg e ts o m ep r o p e r t i 嗍o ft h et r a n s i t i o nd e n s i t yf u n c t i o n k e y w o r d ： d i r i c h l e tf o r m ，f u k u s h i m ad e c o m p o s i t 王o n ，c o n t i n u o u sa d d i t i v ef l l n c - t i o a lo f 髓r 0e n e r 鄹0g i r s a n o v1 a n s f o r m a t i o n ， 一1 a n s f o r m a t i o n ，m a r i p m c 钨8 ， g e n e r a l i z e df b y n m a n - k a cs e m i g r o u p b r a w n i a nm o t i o n ，d i f f h s i o np r o c e s s ，a s y m p - t o t i cp r o p e r t i e s ，s t o c h a 8 t i cd i f l 毛r e n t i a je q u a t i o n ，7 n a n 6 i t i o nd e n s i t yf u n c t i o n ，k a c o d 鹪8 独创性声明 本人声明所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得海南师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的教材与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意 学位论文作者签名 学位论文著作权声明 本论文作者声明： 口本论文全部成果均为本人和指导老师合作研究取得，本人和指导教师都有权 使用本成果学术内容( 有第三方约定者除外) 口本论文为指导教师指导下，本人独自完成本人独自享有本论文的全部著作 权 学位论文者签名 日期 堡函 q 2 ：山 指导教师签名： 日期t 学位论文版权使用授权书 r 。 。口1 f f 本学位论文作者完全了解海南师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即t 海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅本人授权海南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：翌i 指导教师签名， 日 期；12 。! ! i f 日期， 第一章问题背景、基本概念和基础知识 1 1问题的背景与主要结果 设e 为局部紧的h a u s d o r 疗拓扑空间，留( e ) 为e 上的盯一代数，m 为 ( e ，留( e ) ) 的盯一有限测度设( 占，口侈) ) 是五2 ( e ，m ) 上正则的对称狄氏型，由狄氏型 理论知( ，d ( ) ) 联系着一个对称的h u n t 过程，不妨记为x = ，( 五) t o ，( 五) t o ， ( 只) 。e f ) 即任意的，编( e ) n 铲( e ，m ) ，最，一互，m 一8 e ，o 其中， 爱( e ) 为e 上有界b o r e l 可测函数集，佤) t o 为( ，d p ) ) 联系的半群，( 最) 。o 为x 对应的半群更多狄氏型理论的概念详见【1 8 1 和【3 1 1 设p 口陋) ，由于口( ) 中每个元素都有拟连续的版本，我们不妨设声是p 的 个拟连续版本由f t l k u s h i m a 分解可得 声( 五) 一声( 。砀) = w f + ? ，b 一口s 口e 卫e ( 1 1 1 ) 其中 砰为鞅可加泛函，记为m a f 孵为零能量的连续可加泛函，记为a f 一般 来说，不一定为有限变差过程，所以p ( 五) 不一定为半鞅，即使x 是布朗运动 也是如此，( 1 1 1 ) 式可看作半鞅的d o o b _ m a y e r 分解的个推广 够是无界变差 的情况参考【1 8 1 例子5 5 2 定义一个由 垆和x 产生的广义f e 卿l i n a n k a u c 半群 群，( ) = 忍( e w ，陇) ) ，她o ，v ，妒( e ，m ) ( 1 1 2 ) 当x 为布朗运动时，上式定义的半群在文献【3 9 】称为s c l l r 6 d i n g e r 半群近年来 许多学者对( 1 1 2 ) 式定义的广义f e y n m a n k a c 半群做了大量的研究，在半群的强 连续性及所对应的二次型方面取得了很多好的结果当孵为有界变差过程时，文 1 2 8 】给出了( 彤) t o 强连续的充要条件，并给出了相应的闭二次型表达式在过程 是标准d 维布朗运动的假设下，文【4 0 】得到了当p 连续有界且l vp 1 2 s 膏时，半 群( 邱) t o 是强连续的，并给出了相应的闭二次型的表达式文 5 0 】把过程推广到 对称l g 口可过程，去掉了p 有界连续的条件也得到了( 臂) t 2 0 是强连续的，并给出 相应的闭二次型的表达式文【1 1 】通过g i r s a n o v 变挟的方法把过程推广到一般的 对称右过程，证明了当p ( p ) s 时( 芹) t 2 0 是强连续的。还给出了相应的闭二次 】 2 海南师范大学硕士学位论文 型表达式对对称右过程在一定条件下，文f 3 】给出了( 彤) t ，o 强连续的充要条件 是其对应的二次型下半有界，并刻划了相应的二次型而对扩散过程文( 2 】给出了 ( 芹) t ，o 强连续的两个充要条件 本文主要研究当_ + o o 时 z 卵忍( e w ) 的极限，即e w 的渐近性对此问题的 研究由来已久t 对于对称的h u n t 过程，文【4 5 】在假设i v i i i 下证明了当p = 矿一p 一 为符号光滑测度，且p 一c ( 矿) 时有 舰z 叼岛( e 一掣) = 一琵黩，：；。( ( 钍，钍) + 丘让2 舡) ，地( f f ) i l 2 ( f ，m ) 。1 d ( “) = d ( ) ：钍己2 ( e ，j p l ) ， 其中= 矿+ p 一，a 、a 一为关于h u n t 过程的可加泛函，其r _ e v u z 测度 分别为矿、p 一，a = a + 一a 一显然钟是有界变差过程这里 k ( 1pi ) = 托：存在z 的一个邻域u 使得而lpl & ，o ) 注意到孵可能是无界变差，故我们无法直接用文【4 5 】的结果对于布朗运动， 张土生教授在文【4 4 】中运用过程良好的轨道连续性证明了( 见【4 4 】推论2 4 ) 当 p 口( ) ，p 有界连续，lv p1 2 s k 时有 墨恐z 凹b ( e 唧) = 一。繇。 q ( 州) ( 1 1 3 ) 川f 口( 刷，m ) 5 l 这里 = ；v 出) v 如+ ；r v ( 出) 睢) ) v 础池 口( q ) = 日1 ( j 矿) 对于l 叼过程x ，文 5 0 】中假设x 是由一组测度 仇，t o ) 决定的，且l 蚶 测度关于l e b 晦g i l e 测度绝对连续； 0e ( 一重( 。) ) 如 o ，其中皿( 。) 满足 ke 难，砘( 叻) = e 一事( ”，然后作者用二次型逼近的方法也得到了与文【4 4 】类似的 结果( 见【5 0 】定理6 9 ) 在文【4 4 】和文( 5 0 1 中都加了条件；p d ( 占) 且p 有界连 续，iv p1 2 s 耳，这时方有( 1 1 3 ) 式成立这个条件并不是( 1 1 3 ) 式成立的充要 条件，此问题并没有得到完全解决 我们对这一问题作一些探讨对h u n t 过程作一些假设证明类似于( 1 _ 1 3 ) 的式 第一章问题背景、基本概念和基础知识 3 子仍是成立的，并给出连续过程和纯断过程的例子我们更详细地探讨布朗运动， 扩散过程在g i r 8 a n o 、，变换后的性质本文采用的方法与文【4 4 ，5 0 】不同，思想来源 于文 2 l ，采用g i r 8 a n o v 变换的方法把无界变差过程转化为有界变差过程从而得 到一些新的结果下面我们按章节顺序进行简单陈述 第二章我们讨论对于一般的对称h u n t 过程在一定条件下仍有类似子文【4 4 ，5 0 】 的结果成立，并给出例子设x 是对称h u n t 过程，其联系的狄氏型记为( ，d ( ) ) 设p 口侈) ，定义二次型，d 侈) 0 如下 q ( u ，口) 一( u ，口) + ( 钆 ，p ) d ( ) 6 = 口 ) n l ”( e ，m ) 设( ，) 为过程义的l e v y 系 ，#，一 鬈= 矽沪p ) 一1 一( p ( 可) 一p ( x 。) ) 1 ( 墨，由) d 也 0 v 玩 + ；( 彬，。) t ( 1 1 4 ) 这里 掣一为鞅m ，的连续部分令 z ：p ：e m ；。9 若p 有界，则( z ，五) 为上鞅，从而由【3 4 】第6 2 节知( z f 9 ，五) 在( q ，兀。) 上唯 一决定了一组新的概率测度( 怠) 蚝函记贾= ( q ，芦，( 五) 。 0 ，( 毫) 。o ，( 怠) 。e ) ，这里 毫= 置，我们用囊重点强调是在测度( 庭) 。廖下我们先给出两个假设 假设1 1 1 阻厂假设2 彳钏一为e 上的度量，由诱导的拓扑与原拓扑相 容，且( e ，) 是完备的度量空间 侈j 仇( 且( z ，) ) 满足下指数增长。即对任意的e 0 ，任意的。e ，存在一个正的 常数g ( z ，e ) 使得m ( 正0 ( 叠) ) g ( z ，e ) e “其中6 ( 。，) = 扫：( 茁，暑，) s 假设1 1 2 阻，假设牙4 劬x 有联合连续的转移密度函数烈t ，z ，可) ，且氖，z ，；) 满足存在非负的常数a 磊、七及任意的常数j i 磊( ；= 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ) ，使得 厂烈，z ，耖) 匆尬七耽胁e ( 胁 一盹驴+ 盹” j ：一( 可，z ) 斛 4 海南师范大学硬士学位论文 设足的转移半群为( 怠) t o 第二章的主要结果如下 定理1 1 3 限，定理君毒“设x 有转移密度函数p ( t ，z ，耖) 且p ( t ，z ，) 在( o ，o o ) e f 上联合连续，p 口侈) ，p 有界，i l e ( e 何) o 。，若假设j 和假设 j j 2 都成立，且i lp l | f 1 。 ，则有 。舰扣g 忍f e 啊= 一。离；k q ( 喇) l i 训l l ( b ) 2 1 在第二章第一节里我们介绍一些背景第二节里我们讨论h u n t 过程在g i r s 龃0 v 变换后的性质设 磁，( z ) = 易( e “+ 孵，( 鼍) 矧v ，玩( e ) l 9 ( 磁，) = o 磁，一， v ，c ( e ) n l o 。( e ) ，玩( e ) 且，o ，o 时，妒( z ) = b 【j e 一。仆w ，( 咒) d t l ，( 砰，露) 是由上 鞅可乘泛函 刀纠怒e 坷铂 决定的h u n t 过程我们得到如下结果 定理1 1 4 f 见正芯理霉2 钞假设x 有转移密度函数p ( t z ，! ，) 且p ( t ，。，”) 在 ( o ，o o ) f e 上联合连续，则x 9 是遍历的，若a 尹且满足限) 一1 似) = a 则对任意的z e 有霹( a ) = o 或露( a ) = 1 其中，印= 口 墨：o o o ) 在第三节里我们定义过程的g i r 8 锄0 v 变换，f e y n m a n k a c 变换及二次型的h 一变 换，得到半群( 矸) t o 与二次型( q ，口( ) 6 ) 之间的关系，这些变换及关系将在第四 节中起着非常重要的作用在第四节里我们首先定义 l f ) = ；厶( 咒o ) ) 幽，a 彩( e ) 设m l ( e ) 为e 上全体概率测度，m l ( e ) 上的拓扑为弱拓扑定义 如( 口) ： q ( 妒，纠，如果f m 妒2 、袅纠囝幻 l + o o ， 其它 然后由定理1 1 4 可得 第一章问题背景、基本概念和基础知识 5 定理1 1 5 限厂定理2 ；例若( 砰) o 为强连续半群，x 有转移密度函数p ( t ，) 且p ( ，z ，薹，) 在( o ，o 。) f e 上联合连续，则对任意的开集g cm 1 ( f ) ，任意的 z e 表 。里l o g 忍【，厶g 】2 一罂协( t ，) 特殊地有 推论1 1 6 r 见雕论2 # 刎若( 彤) t o 为强连续半拜，x 有转移密度函敷p ( t ，掣) 且p ( ，z ，) 在( 0 ，。) e e 上联合连续，则对任意的霉f 有 。当乳；l o g 忍i e w 】一。鹕。，q ( ”，可) 训i l 2 ( f ，- i ) l 设a y 的r e l z 测度为p p ，设p = e 一和p p ， 享一一( u ， ) = ：反u ，钞) 一( 札u ) 。 d ( 伊“) = 口( anl 2 ( e ，_ “) 定理1 1 7 d 屯厂定理2 名功设p d 陋) ， j j j 和假设j j 君都成立，且i f 矗l | i 。 o 。 此外还有 p 有界，| i e 托町9 ) | | 口 o o ，若假设 则有 恕；l o g 豆( ) 。器。，争一( 舭) ”i i l 2 ( e 。c 一2 p m 2 i 引理1 1 ，8 f 见，寻i 理2 4 劬设p 口陋) ，且p 有界，( 印) o 为强连续半群， 则有 舰；l o g 忘( e i 9 ) = 溉l o g 忍( e w ) 引理1 1 9 但序j 理2 4 圳设p 口( ) ，且p 有界，( 碍) t o 为强连续半群，则 有 一 。蒜一”( 牡，口) = 一。离 ) b q ( 缸，牡) u 口一p ) ，u e 口e ) b 舳l j l 2 饵一却m ) 。z_ 。h l 2 e ，m ) 1 1 6 海南师范大学硕士学位论文 由推论1 1 ，6 ，定理1 1 7 引理1 1 8 引理1 1 9 易得定理1 ，1 3 成立第五节我 们给出两个例子( 扩散过程及a s t n m el i k e 过程) 来具体讨论g i r s a n o v 变换后过 程的转移密度函数的性质，从而得到对扩散过程有 定理1 1 1 0 纯，定理幺5 功若p p 侈) ，p 有界连续，且v p 有界， l 曰( e w 9 ) 口 o 有如下性质 命题1 1 1 4 f 见胆质只幺彳若p 口( ) ，p 有界连续，v p 翰一1 ，任意的 t o 都有f fe ( e m f ) o ，有0 牟“f i p 沪 c e 烈p ) 这里| iq 为工，( j m ) 到弘( r 8 ，m ) 上的算子范敷； ( i i ) ( 牙“) t 2 0 为工2 ( j 铲，e 一卸m ) 上的强连续对称半群，( 牙“) t o 联系的二次型为 ( 爹叫，移( 争一) ) j ( i i i ) 对任意的p ，g 满足ls 鼽g o 。，任意的 o ，有0 耳”f | p ，口 o 都有l le ( e 一知宦) 0 都有 j ie ( e 一聊) o 都有 置( e 一磁) o ，存在一个实值函数以( t ) ，使得o t 1 时丸( t ) = ，t 冗 时一e 毋。( t ) 1 + ，8 o 为强连续压缩半群，如果 p ，对任意的，舻陋，m ) ，；觋i f 丑，一，| f 2 = o ，矽对任意的t ，8 o ，正正= 或+ 俐对任意的t o ，l l 乃j js1 这里j j j | 为算子范数 如果( 丑) t o 只满足上述( 1 ) 和( 2 ) ，则称) t o 为l 2 ( e ，仇) 上强连续半群 定义1 2 3 设( 五) t o 为l 2 ( e ，m ) 上的强连续压缩半群，定义 口( l ) ：= 缸l 2 ，m ) i 船u u ) o 的无穷小生成算子 第一章问题背景、基本概念和基础知识 9 定义1 2 4 设( g n ) 。 o 为e 上一组线性算子对任意的q ，有d ( c k ) = e 若 “j l i ma g a 让= 钍； f 缈对任意的“e ，任意的q o ，a g 。为e 上的压缩算子； 俐对任意的乜 0 ，p o ，有瓯一劬= 一口) g 口劬 则称( g 。) 。，o 为日上的强连续压缩预解式 狄氏型与强连续压缩半群、无穷小生成算子及强连续压缩预解式之问有一一对 应关系详见【1 8 ，3 l 】 定义1 2 5 设( ，d ) ) 为l 2 ( e ，m ) 上的狄氏型，( 丑) t ，o 是陋，口) ) 对应的半 群x 是以e 为状态空间的右过程( 晟) t o 是x 对应的半群如果对任意的 t o ，j 既( e ) n l 2 ( e ，m ) ，忍，是正，的m 一版本，则称x 是，口( g ) ) 联 系的右过程 定义1 2 6 若就，u 口够) ，s 螂带m 与8 锄节m 都为紧集拉莹里s 乱辫) m 为测度口的 支撑，口在s q 印弛】的一个邻域上为常数时有( 钍，t ，) = o ，则称侈，d 够) ) 有强 局部性若轧4 矽m 与s z t 卯m 为互不相交的紧集时有占( “，秒) = o ，则称侈，口侈) ) 有局部性 定理1 2 7 似彰定理4 j 彰设狄氏型( 占，d ) ) 联系的右过程为膨= ( q ，f ，( 五) t 2 0 ， ( 五) t o ，( 只) 。e 曰，e ) ，则下列条件等价 f 口，( ，d 侈) ) 有强局部性； ，缈。( ，d ( 占) ) 有局部性且七= o j 俐m 有连续轨道，且拟几乎处处在内部没有杀死即存在一个好例外集，使 缛对任意的z e 一，有b ( 投一e ， o o ) = 0 ，对任意的z e 有 b ( 五在f o ，( ) 上关于连续) = 1 ； “，m 有一个等价的m 一对称扩散过程满足对任意的z e ，有r ( 致一e ，e 0 为推移算子的收集，只。( ) = 厶b ( ) d m ( 。) ，呻= 盯( 磁： 0 t 。) 定义1 2 9 以町定义幺砂设o 乜s2 ，若上一个函数，满足l i t n r 如 锣( r ) = o ，则称，j “一。若j 产上一个符号拉东测度满足l i i i l r 扣m 占( r ) = o ，则称 j 白一。若冗d 上一个d 维向量值函数p = ( p 1 ，沪，) 满足一。t = 1 ，2 ，d ，则称虬一。若剧上一个d 维向量值符号拉东测度p = ( 肛1 ，p 4 ) 满足任意的一。，则称p 耽一。这里 脚，= 嚣l ，拦罂，啪，= 蠹k ，等牿 定理1 2 1 0 他可定理j 口纠设( 夙，只) 为布朗运动，日( t ) 为可料过程，片日2 ( s ) d s 设置= 一片日( s ) d b ( s ) ，( 五) = e 魁一 吲t 为指数秧卜个充分条件为 点k ( e 口抒2 ( ，油) o 都有8 u “片6 ( 五) o 有( 玑”一弘( z ，s ) i + i 盯2 ，t ) 一盯2 ( z ，s ) j 七“一z i o + l t 一8 i o ) 则方程d x ( t ) = p ( x ( t ) ，t ) 出+ 仃( x ( t ) ，t ) d b ( t ) ，o 唯一决定了一个过程x ( t ) ， 此过程称为由微分算子厶生成的扩散称l 为过程x ( t ) 的生成元 1 3测度与狄氏型的扰动 本节我们介绍一些测度的概念，并给出一些测度扰动的结果 定义1 3 1 e 上的b d 他f 测度肛称为光滑测度，如果它满足下面条件 ( 1 ) 对任意的一例外集，总有p ( ) = o ( 2 ) 存在由一个紧集( 最) 女1 组成的一网。使得p ( e u 女 l 最) = o ，并且对任 意的詹l 有p ( r ) o ，a f ) 是五一可涮的 ( 2 ) 存在一个a 芦及一个一例外集ce ，使得对任意的o e 一， 只( a ) = l ，以及对任意的t o ，有以aca 当u a 时，a ) 是正的连续函 数，且a o p ) = o ，当 ( p ) 时，a c p ) o 。，当2 ( p ) 时，a ) = p ) 对任意的8 ，t o ，总有a 件。) = a ) + a ( 巩“，) 成立 则称a 为正的连续可加泛函 1 2 海南师范大学硕士学位论文 正的连续可加泛函筒记为p c a f ，全体正的连续可加葱函记为a j 4 于和f 上的全体光滑测度s 有密切的联系，有如下的结果( 见【1 8 】定理5 1 3 ，【3 0 】定理 6 2 4 ) ， 定理1 3 3 在a j 和s 之间存在着一一对应关系即对给定的a a 阻纠， 存在唯一的p s 阻t a ，使得 1， 1 船e m 唁上，( 托) d a 小2 丘，( z ) p ( 出) ，留+ ( e ) 4 7 和s 之间的这种一一对应关系称为群和p 的r e 、r 1 1 z 对应，群和肛的 这种对应关系还有多种等价形式( 详细的见 1 8 】定理5 1 3 ) ，称p 为硝的r 删l z 测度关于全体光滑测度s ，它有一个性质很好的子类一k a t o 类 定义1 3 4 称光滑测度是t d 类的，若 船峪删。2 o 这里 i 口2 c e ，嬲( ) _ 0 。器l ，( z ) i ，留( e ) 记全体的幻类光滑测度为s k ，记瓯，o = 肛s k ，p ( e ) o0g 0 帕1 o ，。lf l ( + 口1 ) “ o ，使得| ie 【fe “f + 川一4 4 d a 纠 o 。使得i i 黟( j ：e 一硝+ 础d a 翻口 o ，使得| | 最【e 一础+ 雒+ j ： e 一肚+ 掣d 鬈】 口 o 。i 例存在j v ，o 印( j v ) = 0 ，使得o v f o 使得 p ( ，z ，) 口( 2 疵) 一g e 一! 止磬 姒戈f i s i ) 戌正，| 存粒莴数d 使碍 i i 彤l i - ，。sc ，一 第二章关于对称h u n t 过程的可加泛函的渐近性 2 1引言 设e 为局部紧的h a u s d o r f f 空间，m 为e 上正的拉东测度且s 卸p 【m 】一e ， 留( e ) 为e 上盯一代数，级( e ) = ，留( e ) ：，o ) 设( ，d ( ) ) 是l 2 旧，m ) 上的正则对称狄氏型( ，d ( ) ) 联系的h u n t 过程记为x = ( q ，( 五) t o ，( 五) t 2 0 ， ( b ) 。e ，e ) 这里为过程x 的生命时设( 只) t o 、( 冠。) 分别为x 的半群和预 解式，即对任意的厂留+ ( e ) 有 只，( z ) = 忍f ，( 五) 】t鼠，( ) = 及f e 一耐，( 五) 捌 ， j 0 由f 1 8 】定理3 2 1 b e r l i n 争d e n y 分解知陋，口侮) ) 有如下表达式 ( u ，“) = ；上p 孙( 如) + 上。e 一。( “( z ) 一u ( 枷2 ，( 如，白) + 让0 ) 2 七( 幽；) ，协l p ( ) nc i ( e ) 其中国( e ) 为e 上有紧支撑的连续函数集，p 与后为留( e ) 上弘有限的正的 测度，且在零容集上为零，为e f d 上对称的伊有限的正的测度，且对任 意占例外集有j ( e 一d ) = o 其中d 为对角线上的元素 设p d 仁) ，卢为p 的一个拟连续版本，由凡k u s 址m a 分解知 l x o 一0 x 曲= m 2 + n 砰和：，分别为鞅可加泛函与零能量连续可加泛函定义一个由! ，和x 产生的 广义脚l m a n k a c 半群 贸，( z ) = 忍( e 胛，陇) ) 本章研究j i m f 凹忍( e w ) f + 。 若孵为有限变差过程，m t a b d a 在文【4 5 l 中已有很好的结果但孵不一 定是有限变差过程，我们的出发点是想把文【4 5 j 中的结果推广到更一般的情况 1 5 1 6 海南师范大学硕士学位论文 2 2过程的遍历性 本节中我们假设( 胃) t o 为强连续半群从而由算子理论知存在正的常数c ，p ， 使得对任意的o 有 l i 砰口。口c 记 p ( p ) = i n f p ：l l 彤驴驴e e 成2o ) q p ( p ) 时，定义算子 设 ， 磁，( z ) = 忍【e 一时+ w ，陇) 别v ，锄( e ) j 0 l 9 ( 磁，) = 口磁，一，v ，e ( e ) n 上p ( e ) d 辜( ) = ( 磁，：o 口( p ) ，o ，o ) 对咖= 磁9 d 辜( ) 设 华= e 孵( 咒) 一( ) 一e 孵l 9 妒( 恐) 如( 2 2 1 ) ， j o 下面我们探讨 砰9 的性质 定理2 2 1 肘：，9 为鞭 证明 忍 矿1 = 芹( 。) 一( z ) 一z 。嚣五一妒( z ) d s = 耳妒( z ) 一( z ) 一d f 字( z ) ，f ，0 =o 第二章关于对称h u n t 过程的可加泛函的渐近性 1 7 注意到 ，十 燃= e 瞻一庐( 托+ 。) 一妒( 凰) e 肿工，( 墨) d r ：七n 神套l x t 0 8 i 、一乖l 办一l | v 酞x - 、静一f m 矿妖x 静 j 0j 0 = e 孵e 孵。以妒( x to 以) 一( j 而) 一e 胛l 9 妒( x ) d r 一5l ；一一p 妖x f 一。oe 0 玉 = e 孵【( e 畔( 托) ) 。以】一e 胛( j ，o 。以) 一e 孵e 胛咄l 9 ( ko 以) d r ，0 j 0 + e 孵妒( 咒) 一妒( 托) 一e 胛上，咖( 墨渺 = e 孵( 卵4o 以) + g t 4 由此可得 所以m 为鞅 e ( 删i 五) = e 孵耽( 聊9 ) + 孵，p = 鹏，4 口 定理2 2 2 设 为妒( 五) 一妒( ) 白) 的凡伽九 m o 分解中零能量可加泛函，则有 聊k z e 胛d 蟛 ( 2 ，2 2 ) 证明t 设k = 聊9 一j ： e 聊d 蟛，显然k = o ，k 为局部鞅要证明 妒9 = j ：