（基础数学专业论文）多孔介质方程在广义条件对称和不变集下的精确解.pdf

西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适 学位论文作者签名： 知了 i 指导教师签名：厦毖钮 2 呷年僖月午日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 靴论写签耋：p 芽日 山刁年g 。爿手日 西北大学硕士毕业论文 摘要 可积的非线性偏微分方程在当前物理和数学领域中是非常热门的研究问题。 本篇论文研究的方程是这类方程中的种：多孔介质方程 f ( x ) u t = ( g ( x ) d ( u ) u x ) x + h ( x ) p ( u ) u x + 9 ( 工) q ( “) 其中d ( u ) 是扩散项，尸( “) 和q ( u ) 分别是对流项和热源项，它们都是变量u 的光 滑函数。对于非线性偏微分方程的精确解的研究，到目前为止，方法大致包括： 古典对称群方法，条件对称群方法，广义条件对称群方法，直接方法，微分约束 法，符号不变量和不变子空问方法，不变集方法等。本文的目的是首先利用广 义条件对称方法，讨论多孔介质方程中扩散项d ( ) 取“”和e 。两种情况，并且变 系数取f ( x ) = l ，g ( x ) 0 , 1 ， ( 石) o ，l ，q ( x ) o ，l 时的精确解，其次利用不变集的方 法从四个方面：伸缩不变集，推广的伸缩不变集，旋转不变集和推广的伸缩旋转 不变集，讨论多孔介质方程在变系数取( 功= g ( 工) = 矗( 力= g ( x ) 的情况下的精确 解。这些精确解对一些物理现象的解释和说明是很有帮助的。 关键词：广义条件对称；不变集；精确解；多孔介质方程；非线性演化方程。 西北大学殒士毕业论文 e x a c ts o l u t i o n so ft h ep o r o u sm e d i u me q u a t i o nu n d e rt h e g e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ya n di n v a r i a n t s e t s a b s t r a c t t h ei n t e g r a b l en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa 托o fc u r r e n ti n t e r e s ti n b o t hp h y s i c sa n dm a t h e m a t i c s t h i sp a p e rs t u d i e so n et y p eo f t h ei n t e g r a b l en o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：t h ep o r o u sm e d i u me q u a t i o n f ( x ) u t = ( g ( x ) d ( u ) u x ) x + h ( x ) p ( u ) u x + q ( 善) q ( “) w h e r e d ( “) i st h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n t , ，( “) a n dq ( 材) a l e r e s p e c t i v e l yt h e c o n v e c t i o na n ds o u r c et e r m s t h e ya r es m o o t hf u n c t i o n so f t h ei n d i c a t e dv a r i a b l e t o d a t e ，s e v e r a lw e l l - d e v e l o p e dm e t h o d sr e l a t i n gt ot h es y m m e t r yg r o u ph a v eb e e nu s e d t oo o n b t l x l c te x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h e s ei n c l u d et h e c l a s s i c a ls y m m e t r yg r o u pm e t h o d , t h en o n - c l a s s i c a ls y m m e t r yg r o u pm e t h o d , t h e g e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d , t h ed i r e c tm e t h o d ，t h ed i f f e r e n t i a l c o n s t r a i n tm e t h o d ，t h es i g n - i n v a r i a n ta n di n v a r i a a ts u b s p a c oa p p r o a c h ，i n v a r i a n ts e t s m e t h o d , e r e t h em o t i v a t i o no ft h i sp a p e ri sf i r s t l yt ou s et h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a l s y m m e t r ym e t h o dt od i s c u s se x a c ts o l u t i o n so ft h ep o r o u sm e d i u me q u a t i o nw h e n d i f f u s i o nc o e f f i c i e n td ( “) t a k et w of o r m so f a n d ，v a r i a b l ec o e f f i c i e n t st a k e t h ef o r mo f ，( x ) = l ，g ( x ) o ，l ，联石) 0 ，l ，g ( x ) 0 。l ；s e c o n d l y ，f r o mf o u re a s e s - s c a l i n gi n v a r i a n ts e t , e x t e n d e ds c a l i n gi n v a r i a n ts e t , r o t a t i o ni n v a r i a n t s e ta n d e x t e n d e dr o t a t i o ni n v a r i a n t 鳅t ou s ei n v a r i a n ts e t sm e t h o dt od i s c u s se x a c ts o l u t i o n s o ft h ep o m u sm e d i u me q u a t i o n , w h e nv a r i a b l ec o e f f i c i e n t st a k et h ef o r mo f f ( x ) = g = h ( x ) = q ( x ) t h e s ee x a c ts o l u t i o n s a l ev e r yh e l p f u lt o e x p l a i na n d i l l u m i n a t ep h y s i c a lp r o b l e m s k e y w o r d s ：t h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r y ；i n v a r i a n ts e t s ；e x a c ts o l u t i o n s ； t h ep o r o u sm e d i u me q u a t i o n ；n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n 2 西北大学硕士毕业论文 引言 非线性现象广泛地呈现在物理，化学，生命，社会，经济等领域，随着科学 的发展对非线性系统的研究日趋深入。而这些非线性现象大部分可归结为求解非 线性方程( 包括非线性常微分方程，非线性偏微分方程，非线性差分方程和函数 方程等等) ，对这些非线性方程的研究成为广大物理学，力学，地球科学，生命 科学，应用数学和工程技术等科学工作者的重要课题。 研究非线性偏微分方程，具有许多重要的理论研究和应用研究方向，精确解 的研究是其中最重要的研究方向之一。因为精确解包含了相关系统的精确信息， 因此在分析各种物理现象时起到了至关重要的作用。另一方面，精确解为控制数 值解的精确度也提供了有用的信息。群不变解是偏微分方程重要的解族，该解族 刻画了偏微分方程解的一些基本性态。无论是显式解还是隐式解均具有重要的理 论意义和实用价值。 本篇论文研究的方程是1 + 1 维的多孔介质方程 f ( x ) u t = ( g ( 功d ( u ) u x ) j + ( x ) p ( “) l k + 曰0 ) q ( “) ( 1 ) 此类方程的重要性是众所周知的，并且这类方程产生于一些很重要的物理应用， 这些物理应用包括工程学 1 】，物理学【2 】，反应化学【3 】和生物学【4 】等。例如：非 线性热传导问题，等离子体问题，岩层中的渗流问题和粘性流问题等。对于方程 ( 1 ) 的精确解的研究，到目前为止，方法大致包括：古典对称群方法 5 ，6 】 条件对称群方法【7 ，9 ，l l ，1 2 ，1 9 ，2 2 ，2 5 ，3 1 ，3 2 1 ，广义条件对称群方法【1 3 ， 3 3 - 4 0 ，直接方法 8 ，1 0 ，2 0 ，2 1 ，微分约束法 2 3 ，2 4 1 ，符号不变量和不变子 空间方法 1 4 ，1 5 ，1 8 ，不变集方法 1 6 ，1 7 ，4 0 l 等。通过这些方法得到了方程 ( 1 ) 的一些有意思的精确解，如：当方程( 1 ) 的变系数取f ( x ) = g ( 神= i ， ( x ) = 喊l ，g ( 曲= 0 或l 时，由z h d a n o v 3 3 和屈长征 3 4 ，3 5 得到一些结果，当变系数 取f ( x ) o ，1 ，g ( x ) # o ，1 ，h ( x ) = 0 ，g ( 力= 0 时，由h i l l 2 9 ，3 0 l 得到一些结果，当变 系数取八力o , 1 ，g ( 曲o , 1 ，h ( x ) = l ，g ( x ) = 0 时，由s a i e d 2 6 ，2 7 ，2 8 得到一些 结果，当变系数取火磅= g ( 砖= l ，是( x ) 0 ，l ，窖( 力0 , 1 时，由屈长征【3 9 】得到一些 4 西北大学硕士毕业论文 结果。本文的目的是首先利用广义条件对称法讨论多孔介质方程在变系数取 f ( x ) = 1 ，g ( x ) o ，l ，h ( x ) o ，1 ，g ( 工) o ，1 的情况下的精确解，其次当多孔介质方程 的变系数取f ( x ) = g ( x ) = h ( x ) = g ( d 时，将多孔介质方程在伸缩不变集，旋转不 变集，推广的伸缩不变集，推广的伸缩旋转不变集下化为更易求解的常微分方程 组，从而多孔介质方程的精确解可以等价得到。 本篇文章的结构安排如下： 第一章介绍了文章中需要用到的广义条件对称和不变集的一些基本符号和背景 理论。 第二章利用广义条件对称法得到多孔介质方程的一些精确解。 第三章利用不变集的方法得到多孔介质方程的一些精确解。 第四章是对这篇文章的总结与展望。 西北大学硕士毕业论文 第一章基本符号和背景理论 1 1 广义条件对称方法的一些背景知识 我们设i + 1 维的非线性演化方程的一般形式为： 珞= e ( x tuu 1 ，) ， ( 2 ) 其中“，= 万o j u ，它在非李点无穷小变换群下是不变的，这个变换群表示为： 越= + e 7 7 ( ，x ，“，u d - - , u n ) + o ( r 2 ) ， 正= u t + e o t 叩( t ，“，吨，) + d 2 ) ， 疋= j + s k 蹿o ，工，杯，地，差f ) + 口( s 2 ) 这个变换群对应于下面的向量场v ， 矿= e o ：叩击+ ， k - - 0 矽1 = p 。( 喀) ，硬= 0 ，叮作为它的特征。 定义1 1 向量场( 3 ) 是方程( 2 ) 的l i e b a c k l u n d 对称的充分必要条件是 v ( u t dj l = o ， 其中表示方程嘶一g = 0 的所有关于t 的微分序列集合，即 u t e = 0 ，d d ( u t e ) - - 0 , j ，k = 0 ，l 2 一 定义1 2 向量场( 3 ) 是方程( 2 ) 的广义条件对称的充分必要条件是 v ( u t e ) l n m = 0 ， 其中肼表示方程玎= 0 的所有关于工的微分序列集合，即 d 妇= o ，j ，= o ，1 ，2 。 命题1 1 ( f o k a s 和l i u 1 6 以及z h d a n o v 4 0 ) 方程( 2 ) 允许广义条件对称的充分 6 旦 。脚 a 一良 = 哝 中其 西北大学硕士毕业论文 条件是存在一个函数w ( t ，x , u ，叩) 满足 鲁= 【e , r l 】+ l e ( t , x , u , q ) ，w ( t , x , u , o ) = o ( 4 ) 其中【e ，们= e 0 一r e ，表示g a t e a u x 导数，w 是关于，甜，毡，和q ，坟玎， d ；叩，的解析函数。 推论1 1 若，7 与r 无关，方程( 2 ) 允许广义条件对称的充分必要条件是 口才= 0 很容易看到广义条件对称是由条件对称自然产生的，就像 工把一b 二c l d u n d 对称是由李点对称自然产生一样。因此计算广义条件对称的过程 基本上和计算条件对称是一样的。第一步，是把向量场矿作用到表达式嘶一e 上， 则此表达式是关于独立变i t ，x ，”，u t ，u 1 ，甜2 ，“。的函数。第二步，利用方程 ? d t - e = 0 ，r = 0 和它们的微分序列群( 地- e ) = o ，碟7 = o ，j = o a ，2 ，消去 u t j ，j = l ，2 ，f c f l u n ，u n + i ，令所得结果表达式等于零，得到一个非线性偏微分 方程组，称这个方程组为决定方程组。最后一步，解这个决定方程组得出广义条 件对称的一般形式。 1 2 不变集方法的一些背景知识 1 2 1 伸缩不变集 我们考虑1 + 1 维的k 阶非线性演化方程 心= 4 ( “) 兰4 球，“l ，收) ， ( 5 ) 越= ( f ) ，( x ，f ) q = ( o ，1 ) x ( o ，1 1 其中。= 万o j u ，4 是光滑函数，彳c 。( ( o 1 ) x r k + 1 ) 假设( 5 ) 的解也是光滑的， c 。( q ) ，如果算子满足齐次性条件： 一c 麟，“， 岣，专，= 专一4 c x ，虬岣，v j 。 7 西北大学硕士毕业论文 其中_ r ，方程( 5 ) 在伸缩变换群 ，= 矿工广= e g c x , 下不变，其无穷小生成子为： x = x 昙+ 昙 由不变方程x u = 0 ，我们得到确定的不变解仅依赖于单变量 吣 f ) = 孵) ，孝2 方 ( 6 ) 在不变解( 6 ) 中，非线性方程( 5 ) 转化为关于口的常微分方程： 爿( f ，目，0 , - - - , o k ) + ! ：0 我们称p = ( 彳) 为算子a 的压缩阶。从而引入伸缩不变集 岛= ：u x = ( 1 x ) f ) ， ( 7 ) 其中，f 是由下面的不变条件决定的任意光滑函数。 u ( x ，o ) s o = j 甜( 工，t ) e s o ， 当f ( o ，l 】 1 。2 2 推广的不变集 在文 3 2 1 q b ，属长征和p ge s t e v e z 将不变集的方法进一步推广，用于解 决更多的非线性演化方程。他们将伸缩不变集进行“非线性”推广，推广的函数 集合为： s = u ：u x = l 脚， e x p ( n - 1 ) ，剖 其中，行为常数占0 ，n 1 。他们还引入旋转不变集 r o = “：u x = 订( “) ， ( 9 ) 并在此基础上作了关于岛和s o 的整体推广，即引入函数集 f = “：= f o ( x ) f ( “) ，而，二裾+ 6 ， ( 1 0 ) 其中a ，b 为常数l s la o b 0 ，通过这些集合我们可以进步来研究非线性演化 方程的精确解问题，进而可以利用一磐精确解来解释和说明某些物理现象。 3 西北大学硕士毕业论文 第二章多孔介质方程在广义条件对称下的精确解 我们设方程( 1 ) 允许的二阶广义条件对称的形式如下； ，7 ( 石，甜) = 材矗+ h ( “) 十g ( x ，u ) u x + f ( x ，z ) ，( 1 1 ) 其中胃是关于封的光滑函数，g ，是关于x ，u 的光滑函数。 命题2 1 方程( 1 ) 允许广义条件对称( 1 1 ) 的充分条件是函数 厂( x ) g ( 工) ， ( x ) ，g ( x ) d ) ，p ) ，q 0 ) ， ) ，g ( x ，“) 和，甜) 满足下面的偏微分 ，口程组： 以z d 。一4 h d 一3 d 日+ 5 h 2 d - d e - 2 d h 3 + 4 d h h = o ， j 2 ；- 4 9 j d h j g + 9 9 _ r o n g 七2 9 - f - d h g 一s 专b g 一3 9 - f z y d_ ，厂 ，。 一笋川9 d h 埘夕d h 2 。d h 2 “7 9 d 。 硪一2 9 d h 一，g - - - d g + 手p - 专= o ， 如；手船4 多耐肌多蒯一s 多崩+ 嗲册 。多廊厂g _ d n 6 a + z 多d t t g x + 多d 艄多虎 芍y 施之；施+ 哮) + 9 庐哮咖 + s 多d 肌4 多彪一4 多啦一岁腑一9 耐 。2 手晚一- ，g d + 矽，弓d = 0 巾专d q + 2 幽净q 队峥蹦卜4 专嗍f + c 加+ ，- 乡d f g 十9 加2 “g 厂d g g ，一c p g + 9 肛9 g g ：。弘卜- d g x “c 。，_ 4 多最 9 ( 1 2 a ) ( 1 2 b ) 西北大学硕士毕业论文 哆。d g z c 争。d g x c 尹d f 一多d 吒- 多d f x u + c 抄 一3 手p i f 号赡+ 2 ( 乡咖o ， ( 1 2 d 如；手q f + 9 q g + ( 争d 卯一乡呶乞( 等) f 肼 + 3 - 笋d f 2 9 d f 之9 观砣手哦z 手脚2 一d f = - z 哆) 阡一手以+ 呼) q 一多q t f o 0 2 e ) 证明：把“。：一m ；一g 。一，代入方程( 1 ) 中，再昌命题1 1 的推论计算 8 努h = 一o ， 就可得到偏微分方程组( 1 2 ) 。 方程( 1 ) 的变系数( x ) ，g ( x ) ，矗( 工) ，譬( 力有很多种取值情况，我们这里只讨 论方程( 1 ) 的变系数取，( 力= 1 ，g ( 工) o ，1 ， ( x ) o ，1 ，g o ) o ，1 的情况，下面我 们分别从d ( “) = ”和d ( “) = o o ”两种情形来讨论方程( 1 ) 的精确解。 2 1 扩散项取幂函数 我们把扩散项d ( ) = 矿咖o ，1 ) 代入方程组( 1 2 a ) 得到下面关于( ) 的 二阶常微分方程： 0 矗一t o h 一3 m 0 、h + 2 耐一5 ”删 + 4 m ( m - 1 ) u - 一m ( m i x m 一孙= o 显然这个方程的全部精确解是无法给出的，我们这里给出方程的三个特解，即 日( ”) ：( 珊一1 ) “一，撰一1 ) “，r t l u 一1 即使d ( ) 和h ) 已经给出，方程组( 1 2 ) 依然是很难求解，因为它是一个非线 性偏微分方程组，不过，在一些特殊情况下可以得到这个方程组的解。下面我们 从三种情形来讨论： 西北大学硕士毕业论文 情形1 1 ：( “) = ( r a 1 ) u 我们令g ( x ，) = 口( 妨，f ( x ，群) = o ，解方程组( 1 2 b ) 得“) = c l u 8 ，解方 程组( 1 2 e ) 得q ( ) = o 或q ( “) = q “卜”，根据这些值我们得到如下结论： 情形1 1 a ：烈h ) = o 方程( 1 ) 变成 u t = ( g ( x ) “”口r ) j + q h ( x ) u ” ( 1 3 ) 广义条件对称( 1 1 ) 变成 r = u x x + ( m 1 ) u 一1 z b 2 + 口( x ) l k ( 1 4 ) 由方程0 2 c ) 和( 1 2 d ) 得函数g ( 工) ，矗0 ) ，口( 刁满足下面的约束条件 h h a = o 1 ，f g + 2 9 a a + g 一2 9 口一3 9 a g a = o ( 1 + 刎f + ( 2 + 2 神矿一( 3 + 4 m ) g a 一( 2 + 刎矗= o - 那么方程( 1 3 ) 的精确解由( 1 4 ) r = o 得 c x ，。= 口c 。f e x p c 一f a ( s ) a s ) a y + p ( t ) i 把“佤f ) 代入方程( 1 3 ) 后令x = o ，再对方程( 1 3 ) 关于x 求导并令x = o ，我 们得到口( f ) ，( f ) 满足的方程组 口= ( 1 + h m 。( o ) - ( 1 + 三m ) g ( o ) d ( o ) 十c l 窿2 ii + g ( o ) 口2 ( o ) 一2 9 。( o ) 口( o ) 一c l h ( o ) 口( o ) 一g ( o ) 口( o ) 筇， 卢：上g ( o ) a 2 + g ( o ) + q h ( o ) 一g ( o ) 口( o ) 1 够 t 7 1 i -o 情形1 1 b ：q ( u ) = c z u l l 方程( 1 ) 变成 蜥= c g ( x 净”u x ) x + q h ( x ) u ”u x + 。2 q ( x ) u 1 1 ( 1 5 ) 西北大学硕士毕业论文 ，7 = l k + ( 删一1 ) u 一1 + a ( x ) u x 由方程( 1 2 c ) ，( 1 2 d ) 和( 1 2 e ) 得函数g ( 曲，而( 力，g ( na ( x ) 满足下面的约 束条件 矗一h a = o q + q 口= o ， g + 2 9 a a + g 矿一2 9 a 一3 9 a g a = o ， ( 1 + 力，1 ) ：f + ( 2 + 耐一o + 4 m ) g a 一( 2 + 2 , , o g d = n 那么方程( 1 5 ) 的精确解为 毗十，卜r a ( s ) d s ) d y + p ( t ) - ， 同理我们得到口( f ) ，芦8 ) 满足的方程组 盯= ( 1 + mo ) - ( 1 十m ( o ) 却( o ) 口2il + g ( o ) a ( o ) 一2 9 ( o ) 口( o ) 一q h ( o ) 口( o ) 一g ( o ) 口( o ) 筇+ c 2 m q ( o ) ， 彝= l g ( o ) a 2 + 固+ q h ( o ) 一g ( o ) a ( o ) a p + m c 2 q ( o ) m l 一 情形1 2 ：( “) = ( = m 1 ) u 一 我们令g ( x ，h ) = 口( 力，f ( x ，) = o ，解方程组( 1 2 b ) 得p ( 甜) = c l u ”坨，解方 程组( t 2 e ) 褥q ( u ) = o 或q ( u ) = c 2 u 1 一”心，根据这些值我们得到如下结论： 情形1 2 a ：q ( u ) = o 方程( 1 ) 变成 l g t = ( g u x ) z + q h ( x ) u ”7 2 k ( 1 6 ) 广义条件对称( 1 1 ) 变成 7 = 誓。+ ( m ：一o u z , + 口( x ) u x 由方程组( 1 2 b ) ，( 1 2 c ) 和( 1 2 d ) 得函数g ) ， ( x ) a ( x ) 满足下面的约束 西北大学硕士毕业论文 h h a = o g + 2 9 a a + g a z 一2 9a 一3 9 口一g a = o ( 2 + 5 m ) g 一( 6 + 1i m ) g a 一( 4 + 6 m ) g a + ( 4 + 6 m ) g a z = o 那么方程( t 6 ) 的精确解为 “c ，= 口。，r e ，畎一f 口c s ，凼，方+ 。， i 其中口( r ) ，p ) 满足下面的方程组 盯：( 1 + 三j g ( o ) 口3 + i ( 3 + 三o g 。( o ) 一( 4 十三) g ( o ) 口( o ) i 口2 m im r t l i + g 。( o ) 一2 9 ( o ) 口( o ) 一g ( o ) 4 ( o ) + g ( o ) a 2 ( o ) f z f l 2 + c l h ( o ) a ， ：( 1 + 三) g ( o ) a z , a + g ( o ) 一g ( o ) 口( o ) a f l 2 + c i 矗( o ) 口芦 m l 一 情形1 2 b ：q ( u ) = c 2 u 1 1 彪 方程( 1 ) 变成 u t = ( g ( 石) “”u d ，+ q h ( x ) u ”7 2 u x + c 2 q ( x ) u 1 一”7 2 ( 1 7 ) 广义条件对称( 1 1 ) 变成 j 7 = + ( 罢一1 ) 一1 + a ( x ) u x 由方程( 1 2 b ) ，( 1 2 e ) ，( 1 2 d ) 和( 1 2 e ) 得函数9 0 ) ， ( x ) ，碍( 工) ，a ( x ) 满足下 蕊的约束条件 h - h a = o , q + g 口= 0 g + 2 9 a a + g 矿一2 i a 一3 9 口一g a = o ， ( 2 + 5 r e ) g 一( 6 + 1 l m ) g a 一( 4 + 6 m ) g a + ( 4 + 謦夕= o 西北大学硕士毕业论文 “c 毛。= 口c r ，r 中c 一互i a ( s ) d s ) d y + p ( t ) i ， 其中口( f ) ，风f ) 满足下面的方程组 口：( 1 + 三) g ( o ) 口3 + l ( 3 + 三) g ( o ) 一( 4 + 兰) g ( o ) 口( o ) i 口2 声 m im r f l i + g 。( o ) 一2 9 ( 蛳( o ) - g ( o ) 口( o ) + g ( o ) a 2 ( o ) 筇2 + 。l h ( o ) a 2 + c 2 2 q ( o ) ， ：( 1 + 2 ) g ( o ) a 2 + g ( o ) 一g ( o ) a ( o ) 1 c 哆2 + c l h ( o ) e t f l + c 2 m 可( o ) 小 一 j - 情形1 3 ：嚣0 ) = 臌一 我们令g o ，“) = 口( 工) ，似“) = 0 ，解方程组( 1 2 b ) 得p ( “) = c l “”1 ，解方 程组( 1 2 e ) 得q ( “) = 0 或q ( 甜) = c 2 “一”，根据这些值我们得到如下结论： 情形1 3 a ：q ( u ) = o 方程( 1 ) 变成 心= ( g ( x ) “”) j + c l h ( x ) u m + 1 h x ( 1 8 ) 广义条件对称( 1 1 ) 变成 r l = u x r + m u - 1 + d o ) ”x 由方程组( 1 2 b ) ，( 1 2 c ) 和( 1 2 d ) 得函数g ( 石) ，矗( 工) ，a ( x ) 满足下面的约束 条件 g g a = o , 矗一h a = o t1 g 一2 9 a g n + 昏矛= o ， + 2 9 a a + g a 2 一。口一3 i d g + 2 9 a a2 93 9 a g a ：n 一 口一 一= n 那么方程( t 8 ) 的精确解为 1 4 西北大学硕士毕业论文 出力= h 时卜r 其中满d ( f ) ，( f ) 足下面的方程组 口。= c t h ( o ) a 1 2 。 = ( 竺) g ( o ) 口2 p 一1 ，( m ) + q h ( o ) o r f l l + m 情形1 3 b ：q ( 甜) = c z u 一” 方程( 1 ) 交成 u t = ( g ( 砷“”) z + q h ( x ) u ”+ 1 u x + c 2 q ( x ) u 一” ( 1 9 ) 广义条件对称( 1 1 ) 变成 叩= ；x + 肌甜一1 z 芒+ 口( 工) 由方程( 1 2 b ) ，( 1 2 c ) ，( 1 2 d ) 和( 1 2 e ) 得函数满g ( 工) ，j i l ( 工) ，q o ) ，a ( x ) 足下面 的约束条件 g g a = o , h - h a = o , q + g 口= 0 l g 一2 9 口一g a + 学= o ， g + 2 9 a a + g 矿一2 1 口一a g a = o 那么方程( 1 9 ) 的精确解为 一h 州小一m r ， 其中满a q ) ，觑r ) 足下面的方程组 盯= q h ( o ) a 2 + c z ( 1 + m ) g ( o ) ， = 黑g ( o ) 口2 f l - l l ( 1 + m ) + q h ( o ) a p 吲l 圳柳 西北大学硕士毕业论文 2 2 扩散项取指数函数 我们把扩散项d ( 砧) = 一代入方程组( 1 2 a ) 得到下面关于h ( ”) 的二阶常微分 h u u 一( 4 h 一3 ) 矾+ 2 h 3 5 h 2 + 4 h 一1 - - 0 ， 解得n ( u ) 的三个精确解，即 脚) = i 1 ，l 和l 一丢 我们分别讨论这三种情形。 情形2 1 ：日( ) ：昙 我们令g ( x ，甜) = 口( 功，f ( x ，村) = o ，解方程组( 1 2 b ) p ( u ) = c l e ( 1 7 2 扭， 解方程组( 1 2 e ) 得q ( ) = o 或q ( ) = c 2 e 一( 1 7 2 扣，根据这些值我们得到如下结论： 情形2 1 a ：a ( u ) = o u t = ( g ( x ) g “k ) j + c l h ( x ) e ( 1 7 2 姐u x ( 2 0 ) 玎：。+ 昙+ 口( d 由方程组( 1 2 b ) ，( 1 2 c ) 和( 1 2 d ) 得函数g ( 工) 是( 力，口( 工) 满足下面的约束 条件 h h a ：o 2 9 一3 9 a = 0 , 5 9 一1 l g a 一6 9 口+ 6 9 矿= 0 l g + 2 9 a a + g 矛一2 9 口一3 9 a g a = o 由r = 0 得方程( 2 0 ) 的精确解为 “c 毛r ，= 2 k 卜p ，f 币( 一f d 。，d ，) 耖+ 。， 西北大学硕士毕业论文 把巩l t ) 代入方程( 2 0 ) 后令x = 0 ，再对方程( 2 0 ) 关于x 求导并令x = 0 ，我们得 到口( f ) 钟) 满足的方程组 口= g ( o ) a 3 卢+ 3 9 。( o ) 一4 9 ( o ) 印) 口2 + g 。( o ) 一2 9 。( o ) 以o ) 一g ( o ) d ( o ) + g ( o ) a 2 ( o ) 筇2 + q h ( o ) o r 2 ， = 瞰o ) 一g ( o ) 叩) 筇2 + g ( o ) a 2 声+ q h ( o ) a p 情形2 1 b ：q ( u ) = c 2 e - ( 1 7 2 ) l f u t = ( g ( 咖“u x ) x + c l h ( x ) e ( 1 7 2 u x + c z q ( x ) e 一( 1 7 2 如 ( 2 1 ) 叩= 够麒+ ：1 x 2 + 口( 工) h 由方程( 1 2 c ) ，( 1 2 d ) 和( 1 2 e ) 得函数g o ) ，联x ) ，g o ) ，a ( x ) 满足下面的约 束条件 矗一h a = o q + g 口= o ， 2 9 3 9 a = o , 5 9 l l g a 一6 秽+ 每乎严= o ， g + 2 9 a a + g 矿一2 9 a 一3 9 a g a = 0 “c 。= z h 球c 。f e x p 一r d 。，c 舀) 妒+ 。， 其中口( r ) ，( f ) 满足下面的方程组 口= g ( o ) a 3 + 3 9 ( o ) 一4 9 ( o ) 口( o ) 口2 + ，( o ) 一2 9 。( o ) 口( o ) 一g ( o ) 口( 。) + g ( 。) a 2 ( 。) a 猡2 + c l 居( 。) 0 1 2 + l c 2 q ( 。) ， = g ( 0 9 一g ( o ) a ( o ) a p 2 + g ( o ) 口2 + q h ( o ) 岱p + 三q g ( o ) 1 7 西北大学硕士毕业论文 情形2 2 ：h ( u ) = 1 我们令g ( x ，h ) = 口( 力，f ( x ，h ) = o ，解方程组( 1 2 b ) 得p ( “) = c l e “，解 方程组( 1 2 e ) 得q ( “) = 喊q ( ”) = c 2 e - u ，根据这些值我们得到如下结论： 情形2 2 a ：q ( u ) = o = ( g ( x ) e “u x ) j + c l h ( x ) e ” ( 2 2 ) 广义条件对称( 1 1 ) 变成 r = + + a ( x ) u x 由方程组( 1 2 b ) ，( 1 2 e ) 和( 1 2 d ) 得函数g ( 力，i l ( x ) ，a ( x ) 满足下面的约束 h h a = 0 2 9 一4 9 a 一2 9 a + 2 9 a = o ， g + 2 9 a a + g w 一2 9a 一3 9 口一g a = o 那么方程( 2 2 ) 的精确解为 出力地卜h 小，凼卜， 其中a c t ) ，( f ) 满足下面的方程组 口= c l h ( o ) 一g 。( o ) 一g ( o ) 4 ( o ) 口2 + 2 9 。( o 2 + g 。( o ) 一2 9 ( o ) 砸o ) 一g ( o ) 口。( o ) + g ( o ) a 2 ( o ) 筇， = p ( o ) 一g ( o ) 邢) + q 邶) 筇 情形2 2 b ：q ( “) = 。2 e - 。 方程( 1 ) 变成 砖= ( g ( x ) 8 “) j + q h ( x ) e “u x + c 2 q ( x ) e - 。 广义条件对称( 1 1 ) 变成 1 8 ( 2 3 ) 西北大学硕士毕业论文 ，7 = “+ + 口( x ) t k 由方程( 1 2 c ) , 0 2 d ) 和( 1 2 e ) 得函数满g ( 曲，磊( 工) ，g ( na ( x ) 足下面的约束条件 h h a = o 曰+ 口d = o ， 绍一4 9 a 一2 9 a + 2 9 a z = o g + 2 9 a a + g 矿一2 9a 一3 9 a g a = o 那么方程( 2 3 ) 的精确解为 “c z ，= z t n 卜。，f e x p ( 一r c s ，c 蠡) 砂+ c r ， 其中口( f ) ，( f ) 满足下面的方程组 口= q ( o ) 一g ( o ) 一g ( o ) 口( o ) 2 + 2 9 ( o ) 口2 夕 + g ( o ) 一2 9 ( o ) 口( o ) 一g ( o ) 口( o ) + g ( o ) a z ( o ) 筇+ 吃鼋( o ) ， f f = g 。( o ) 一g ( o ) d ( o ) + c l 厅( o ) 筇+ c z q ( o ) 情形2 3 ：日0 ) 一1 1 我们令g c “，= 口c 破，c 站，= 。，解方程组c - 2 b ，得p c “，= qr c - ，s ，e 5 凼， 解方程组( 1 2 e ) 得q ( u ) = o 或q ( “) = c 2 u e ，根据这些值我们得到如下结论： 情形2 3 a ：q ( u ) = o 方程( 1 ) 变成 吩蜊咖朋r o ，矿出 ( 2 4 ) 广义条件对称( 1 1 ) 变成 可：。+ ( 1 一! ) ：0 + 口( x ) 魄 “ 由方程组( 1 2 b ) ，( 1 2 e ) 和( 1 2 d ) 得函数9 0 ) ，联x ) ，口( x ) 满足下面的约束 1 9 西北大学硕士毕业论文 条件 h h a = o g g a = o , g g a = o , g + 2 9 a a + g 一2 9 口一3 9 a g a = o 那么方程( 2 4 ) 的精确解的函数为 p c “，= 口。，r e x p ( 一r 口。，凼) 砂+ 。， 其中满盯( f ) ，f l ( t ) 足下面的方程组 g = q h ( o ) + g ( o ) 一2 9 ( o 弦( 0 ) 口2 ， 8 = g ( o ) o t l + q h ( o ) a p ? 情形2 3 b ：q ( ) = c 2 u e - 。 方程( 1 ) 变成 州黼、k 却( 工) r ( 1 ，矿凼心嘲( 批1 ( 2 5 ) 广义条件对称( 1 1 ) 变成 叩：甜。+ ( 1 一三) + ( 。) 由方程( 1 2 e ) ，( 1 2 d ) 和( 1 2 e ) 得函数g o ) ， ( 工) ，g ( x ) ，口( 力满足下面的约 束条件 h h a = 0 g g a = o ， q + g a = o ， g g a = o , -t- if g + 2 9 a a + g 矿一2 9 口一3 9 a g a ：o 那么方程( 2 5 ) 的精确解的函数为 西北大学硕士毕业论文 以“，= 口。，f 铡驴 一f d c s ，c 舀 砂+ c ， 其中c t ( t ) ，( f ) 满足下面的方程组 c f - - q h ( o ) + g ( o ) 一2 9 ( o ) a ( o ) a 2 + c 2 譬( o ) ， = g ( o 2 + c l h ( o ) c t f l + c 2 q ( o ) 2 1 西北大学硕士毕业论文 第三章多孔介质方程在不变集下的精确解