（工程力学专业论文）具有柱状夹杂无限体的若干平面弹性周期问题.pdf

摘要 摘要 具有柱状夹杂无限体的周期平面弹性问题的研究具有非常重要的理论意义， 在实际工程设计中也有应用价值，但是由于数学上的困难及问题自身的难度， 相关的研究却非常有限。 本文研究具有柱状夹杂无限体的周期平面弹性问题，可分为两部分：一是 具有柱状夹杂物体的周期热弹性平面问题，应用热弹性平面问题的复变函数方 法与分区全纯函数理论，结合解析函数边值问题的研究成果，求得了以上问题 的解，作为一种特殊情形得到了周期单圆柱形夹杂时的精确解的表达。二是研 究周期裂缝对柱状夹杂无限体的应力影响，导出了应力强度因子的计算公式。 关键词；柱状夹杂无限体；平面热弹性；周期裂缝；应力强度因子；复变函数 方法 a b s t r a c t a b s t r a c t r e s e a r c ho n p e r i o d i c e l a s t i c p l a n ep r o b l e m s h a s i m p o r t a n t t h e o r e t i c a l s i g ni f i c a n c ea n dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo ff r a c t u r e i nt h ea c t u a l d e s i g no ft h ep r o j e c t ，w h i c ha l s oh a sa ni m p o r t a n tv a l u e h o w e v e r , t h er e s e a r c hi s v e r yw e a k ，d u et o m a t h e m a t i c a lp r o b l e m sa n dt h ed i f f i c u l t yo f t h ep r o b l e mi t s e l f t h i ss t u d yh a sc o l u m n a ri n c l u s i o nc y c l e ，e l a s t i cp l a n ec a nb ed i v i d e di n t ot w o p a r t s ：o n ei sm i x e dw i t hc y l i n d r i c a lo b j e c t so ft h e r m a le l a s t i cp l a n ep r o b l e m s ，t h e c y c l eo ft h e r m a le l a s t i cp l a n ep r o b l e m sc o m p l e x v a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o da n dt h e z o n i n go fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n s ，c o m b i n i n ga n a l y t i cf u n c t i o nt h e o r yb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mo fr e s e a r c ha c h i e v e m e n t sa r eo b t a i n e d ，t h ea b o v eq u e s t i o n s ，a sa s p e c i a lc a s ec l o s e dc y c l eo fs i n g l ec y l i n d e rg o tt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h ei n c l u s i o n s s e c o n di st h es t u d yo ft h ec y c l eo fc o l u m n a ri n c l u s i o n o b j e c t s ，d e d u c e d s t r e s s c a l c u l a t i o nf o r m u l ao ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r k e yw o r d s ：p e r i o d i cd i s t r i b u t i o n ；p e r i o d i ci n c l u s i o n ；p l a n et h e r m o e l a s t i c i t y ；s t r e s si n t e n s i t y f a c t o r ；c o m p l e xv a r i a b l em e t h o d 目录 目录 第1 章绪论1 1 1 论文的研究背景1 1 2 关于周期平面问题国内外研究现状1 1 3 论文的研究意义及其研究内容4 1 3 1 论文的研究意义4 1 3 2 论文的研究内容4 第2 章弹性平面问题的复变函数方法6 2 1 应力函数的复变函数表示6 2 2 应力和位移的复变函数表示6 2 3 边界条件的复变函数表示7 2 4 考虑温度应力的平面弹性复变函数方法8 第3 章具有孔洞的周期热弹性全平面问题的复势1 2 3 1 受调和变温时的基本公式及有限多连通域中的复势1 2 3 2 已知实部的周期解析函数及其原函数的表示和多值性分析1 5 3 3 周期热弹性半面问题复势的特性及一般表达式1 8 3 4 考虑z = 彼条件时的结果2 0 3 5 若干特殊情形下的结果2 3 第4 章具有柱状夹杂物体的周期热弹性平面问题2 5 4 1 问题的描述2 5 4 2 热弹性复变函数方法2 7 4 3 问题分析2 8 4 4 问题的特解2 9 4 5 问题的齐次解3 0 4 6 问题的通解及常数的确定3 l 4 7 跳跃均匀变温情形下的解3 3 4 8 跳跃均匀变温下周期单圆柱形夹杂时的精确解3 5 4 9 数值例3 7 4 9 1 沿交接面上嵌体与基体的应力3 8 4 1 0 结论4 3 第5 章断裂力学基础理论4 4 5 1 断裂力学研究发展概论4 4 5 2 应力强度因子理论4 5 5 2 1g r i f f i t h 理论简介4 5 5 2 2 裂纹类型及应力强度因子的定义4 7 第6 章周期裂缝对具有柱状夹杂无限体的应力影响5 1 6 1 引言及问题的介绍。5 l 6 2 问题分析与求解5 2 目录 第7 章结论与展望5 7 7 1 结论5 7 7 2 进一步工作方向5 7 致谢5 9 参考文献6 0 附录a 关于c + = c = o 的证明6 2 附录b 关于已知实部的周期解析函数及其原函数的单值条件6 3 攻读硕士期间研究成果6 5 第l 章绪论 1 1 论文的研究背景 第1 章绪论 具有柱状夹杂无限体的周期平面弹性问题的研究具有非常重要的理论意义， 在实际工程设计中也有应用价值，但是由于数学上的困难及问题自身的难度， 相关的研究却非常有限。 同时，现有的研究工作中还没有考虑周期平面弹性问题中温度变化以及裂 缝的影响因素，特别是在复合材料中，由于不同材料热膨胀系数的不同，必然 存在由于温度变化而产生的温度应力，以及由于材料中裂缝的存在，它对复合 材料的力学性质有着重要影响。本文利用平面弹性理论的周期问题、热弹性理 论、以及断裂力学理论。分别研究非均匀温度变化的周期夹杂问题，以及周期 裂缝对柱状夹杂无限体的应力影响。 1 2 关于周期平面问题国内外研究现状 1 9 6 0 年，国外学者k o i t e r 1 研究了双周期基本胞腔中仅含一个孔洞的第 一基本问题。随后在1 9 7 2 年，外国学者f i l s h t i n s k y 眨1 研究了基本胞腔中含若干 个孔洞的双周期平面问题。 1 9 6 2 年，路见可b 1 教授在“关于周期应力平面弹性基本问题 一文中利用 周期r i e m a n n 边值问题的解法作出了解答，并对一个周期带中只有一个裂缝的 特殊情况，把解写成了完全确定的有限形式。 1 9 6 3 年路见可1 4 l 教授在“周期r i e m a n n 边值问题及其在弹性力学中的应用 一文中研究了单周期的r i e m a n n 边值问题，讨论了解在无穷远处作各种补充的要 求，解决了平面弹性中的几个周期问题。 1 9 9 0 年，李星5 1 研究了在“双周期基本胞腔中既含有若干个任意形状孔洞， 又具有若干条任意形状裂缝时的平面弹性问题 ，将此问题转化为寻求一个复 应力函数，这样就将寻求复势的问题归结为求解一个正则的奇异积分方程的数 学问题，并证明了其解存在的唯一。 1 9 9 1 年，李星研嘶1 究了“双周期任意形状孔洞的不同材料弹性平面焊接的 第l 章绪论 第二基本问题 。他引进函数a ( z ) = 二t 9 矛一2 z 寺一寺 ，构造了t t t c pmah 变换，将问题转化为求解奇异积分方程的数学问题，并且证明了其解 存在的唯一。方法简单，直观，由于是构造的，所以有利于具体的数值求解。 。 1 9 9 7 年，武汉大学的郑可【7 1 利用复变函数方法，讨论了弹性长条周期裂缝 问题，就各向同性与各向异性材料的两种情况讨论，得出了问题的一般解法。 1 9 9 9 年1 2 月，曾红云【8 l 利用平面弹性复变函数方法处理周期无限多连通区 域，研究了一个周期带中有多个孔洞的第一基本问题，建立了f r e d h o m 方程。 2 0 0 0 年l o 月，曾红云【9 1 又用此方法对一个周期带中有多个孔洞的第二基本 问题进行了讨论，建立了f r e d h o m 方程。 2 0 0 0 年1 2 月，曾红云【1 0 l 研究了一个周期带中有多个孔洞的混合边值问题， 利用处理非周期的多连通区域的方法，建立了f r e d h o m 函数方程，并证明了其 解的存在唯一性。 2 0 0 2 年2 月，刘杰、盖秉政l 使用复变函数方法，分析了“在二维半无限 弹性平面附近施加稳态温度场条件下的圆形腔孔表面的动态热应力分布问题 ， 求得了汉克函数表示的此问题的解析解，并给出了相应的数值结果。 2 0 0 2 年9 月，黄民海、李静【。2 】利用平面弹性复变方法与解析函数边值问题 基本理论，得到了描述弹性长条应力分布的应力函数封闭形式的解。 2 0 0 3 年8 月，黄民海、孔德清，曾红云【1 3 】得出了带任意裂纹的各向同性弹 性半平面基本问题的一种新提法，给出了弹性体应力函数封闭形式的积分表达 式，并求得了裂纹尖端的应力强度因子。 2 0 0 3 年9 月，张军好【4 】研究了带周期裂缝的不同材料拼接的各向异性弹性 平面的第二基本问题，利用复变函数方法转化为求解一组正则型奇异积分方程 组问题，并证明了该方程组在h 类中唯一可解，并且将该方程组的奇异部分写成 了一般形式。 2 0 0 5 年3 月，彭南陵、王敏中【1 5 】在“具有孔洞的双周期热弹性平面问题的 复势 一文中，利用调和变温场的热弹性平面问题的复变函数方法，给出了有 限多连通域中复势的一般表达式，并基于已知实部的双周期解析函数及其原函 数的表示和多值性分析，得出了双周期调和变温下具有双周期分布孔洞物体平 面弹性问题的两个复势函数的一般公式。并论证了两种特殊情形物体的温度应 第1 章绪论 力为零，为双周期热弹性平面问题的进一步研究提供了理论基础。 2 0 0 6 年，徐耀玲、蒋持平酣研究了“无限压电介质中双周期圆柱形压电 夹杂反平面问题 。借鉴e s h e l b y 等效夹杂原理，构造了一个与原问题等价的均 匀介质双周期本征应变和本征电场问题。利用双准周期r i e m a n n 边值问题理论， 获得了夹杂内外严格的电弹性解。 2 0 0 7 年，彭南陵、胡坤、王敏中7 1 在“具有柱状夹杂物体的双周期热弹 性平面问题 一文中，研究了具有柱状夹杂物体的双周期热弹性平面问题，其 中基本包腔内仅含有一个任意截面形状的柱状夹杂，夹杂与基体材料不同但具 有相同的剪切模量；各夹杂受彼此相同的调和变温，而集体所受变温可表示为 某个双周期的解析函数的实部。应用复变函数方法及分区全函数理论，结合双 周期r i e m a n n 边值问题的研究成果，求得了该问题的闭合解。 2 0 0 8 年，彭南陵、胡坤舳讨论了周期热弹性平面弹性问题的复势及应用。 他们研究了周期热弹性平面弹性问题的复势，得到了周期热弹性平面弹性问题 的复势的解的表达式。并应用到了周期热弹性平面只有一个空洞的情行中，得 到了周期热弹性平面只有一个空洞复势解的精确表达式。 2 0 0 9 年5 月，彭南陵、胡坤伽研究了“具有孔洞的周期热弹性全平面问 题的复势 。基于对已知实部的周期解析函数及其原函数的表示和多植性分析， 导出了周期调和变温下具有周期分布孔洞的无限体平面弹性问题的两个复势函 数的一般表达式，并讨论了几种特殊情况下的结果。 2 0 0 9 年，彭南陵、孙良眈0 1 研究了周期热弹性平面焊接问题。分别得出了 不考虑温度效应和考虑温度效应时的焊接问题的精确解，并同过数值例讨论了 解更一般的表达式。 2 0 0 9 年，彭南陵、张明星配研究了双周期热弹性平面焊接问题，分别得 出了不考虑温度效应和考虑温度效应时的焊接问题解的表达式。 j ， 。 热弹性理论，在航空航天，机械制造等现代化工业和机械工程设计中，有 很多与温度有关的问题，不管是均匀还是非均匀温度场的热弹性问题多日趋重 - 要。v e r r u i j t t 2 2 】论证了热弹性理论通解的完备性，而后来王敏中和青春炳2 3 1 又给 出了热弹性通解完备性的又一个新的证明，此外，后来的s c h i a v o n e 和t a i t 2 4 】 讨论过板的热效应。 - 矿j 口 第1 章绪论 1 3 论文的研究意义及其研究内容 1 3 1 论文的研究意义 具有柱状夹杂无限体的周期平面弹性问题的研究具有非常重要的理论意义， 在实际工程设计中也有应用价值。同时，现有的研究工作中还没有考虑周期平 面弹性问题中温度变化以及裂缝的影响因素，特别是在复合材料中，由于不同 材料热膨胀系数的不同，必然存在由于温度变化而产生的温度应力，以及由于 材料中裂缝的存在，它对复合材料的力学性质有着重要影响。 1 3 2 论文的研究内容 本文研究具有柱状夹杂无限体的周期平面弹性问题，可分为两部分：一是 具有柱状夹杂物体的周期热弹性平面问题，应用热弹性平面问题的复变函数方 法与分区全纯函数理论，结合解析函数边值问题的研究成果，求得了以上问题 的解，作为一种特殊情形得到了周期单圆柱形夹杂时的精确解的表达。二是研 究周期裂缝对柱状夹杂无限体的应力影响，导出了应力强度因子的计算公式。 本论文主要包括以下内容： 第一章“绪论 归纳与总结了论文的研究背景，关于周期平面问题国内 外的研究现状，论述了本论文的研究意义及研究内容，并说明了本论文的结构 组成； 第二章“复变函数方法”简单介绍了应力函数、应力和位移和边界条件 的复变函数表示，以及考虑温度应力的平面弹性复变函数方法； 第三章“具有孔洞的周期热弹性全平面问题的复势”论述了受调和变温 时的基本公式及有限多连通域中的复势，以及得出了周期热弹性全5 i t 面问题复 势函数的表达式，并讨论了几种特殊情况下的结果； 第四章“具有柱状夹杂物体的周期热弹性平面问题 应用复变函数方法， 得出了上述问题的解的表达式，作为特殊情形下得到了跳跃均匀变温下周期单 圆柱形夹杂时的精确解，并进行了数值计算； 第五章“断裂力学基本理论”介绍了断裂力学研究发展概况，应力强度因 子理论，以及计算应力强度因子的方法。 第1 章绪论 第六章“周期裂缝对柱状夹杂无限平面体的应力影响”，通过借助周期 r i e m a n 边值问题的分析，得出了问题的闭合解，计算出了应力强度因子。 第七章“结论与展望 总结概括了本论文完成的工作和得出的研究成果 及有待进一步研究的方向。 羲，l 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 第2 章弹性平面问题的复变函数方法 基于弹性理论的相关知识，本章概括的阐述了应力函数、应力、位移和 边界条件的复变函数表示，并介绍了考虑温度应力的平面弹性复变函数方法， 为后面的研究提供了理论基础。 2 1 应力函数的复变函数表示 文献 2 5 已经证明在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力 函数u ，它是位置坐标的重调和函数，即v 4 u = 0 ，引入复变函数z ；x + y 和 ；= x 一纱以代替变实数z 和y ，其中： 宇：1 ，害：f ，警：1 ，警：_ ( 2 1 ) 瓦刮面刮面_ 1 面2 叫， 屹u 通过变换我们可以得到有名的古萨公式( 见文献 2 5 ) ： u = 去【磁( z ) + z 仍( z ) + z ( z ) + z ( z ) 】 ( 2 2 ) 也可改写成： u = r e 【酬z ) + z ( z ) 】 ( 2 3 ) 于是可见，在常体力的平面问题中，应力函数u 总可以用复变数z 两个解 析函数缈( z ) 和z ( z ) 来表示。 2 2 应力和位移的复变函数表示 文献 2 5 已经证明在平面问题里假设不计体力，于是有： b 2 ub 2 ua 2 u 吒= 可巳2 两t y 一面 可得： 吒+ q = 4 轰，q 一吒+ 2 = 警一等砌啬q吒+ q = 4 云忑q 一吒+ 2 = 嚣一可一2 7 素专q ( 2 4 ) ( 2 5 ) 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 则可得到如下关系式： 吒+ 吼= 2 【缈( z ) + 缈。( z ) 】= 4 r e d o ( z ) ( 2 6 ) 吒一吒+ 2 i r , 吵= 2 z 呼o ”( z ) + y t ( z ) 】 ( 2 7 ) 公式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 就是应力分量的复变函数表示。同样位移分量u 、1 ， 也可以用复变函数烈z ) 、y ( z ) 表示，对于平面应力问题可得一下关系式( 见文 献e 2 5 ) ： 击( 甜+ i v ) = 若一z 雨一雨 ： ( 2 - 8 ) 这就是位移分量的复变函数表示，如果已知似z ) 和矿( z ) 就可以将该式右边 的实部和虚部分开，从而得n u 和1 ，其中e 、y 分别为材料的弹性模量和泊松 比。 在平面应变情况下，只要将该式中的e 改为_ 笔，v 改为# ，_ 即可。 i v i v 2 3 边界条件的复变函数表示 设曲线a b 代表任一段边界，而s 是从边界上彳点沿边界a b 到b 点量取的 弧长( 量取时使边界的外法线指向右方) ，则可得关系式( 见文献 2 5 ) ： 玎( + f y ) d 。= 湫z ) + z 雨+ 丽】： ( 2 9 ) j m = r e - z z 吁o ( z ) + z ( z ) 一z 沙( z ) 】： ( 2 1 0 ) 公式( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) h 0 荛j 应力边界条件的复变函数表示，其中x 和y 是边界曲线 a b 上面力的合力，m 是a b 段上面力对原点d 的合力偶矩。 平面应力情况下位移边界条件表示为( 见文献 2 5 ) ： 击帆) = 皓一z 雨一丽 t ( 2 1 1 ) 对于平面应变情况，只要将该式中的e 改为_ 冬，v 改为l l 即可。 i v i v 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 2 ，4 考虑温度应力的平面弹性夏变函数方法 假设弹性体内各点的变温是丁( x ，y ，z ) ，即后一时刻的温度与前一时刻的温 度之差，以升温为正，降温为负，所以物理方程为【2 5 】： t = 吉 吒一y ( q + 吒) 】+ 刀= 塑等堕 = 扣叫吒+ 删+ 砑= 掣气 乞= 去【吒一y ( 吒+ 巳) 】+ 砑= 型告堕( 2 1 2 ) 其中2 是弹性体的线膨胀系数。 对于平面应力问题有： 吒= o ，= 0 ，= o ，t = t ( x ，y ) ( 2 - 1 3 ) 则由( 2 1 2 ) 可得热弹性力学的物理方程为： 巳= 吉( 吒一峨) + 砑，。= 去( q 一峨) + 砑，如= 垫笋勺( 2 1 4 ) 几何方程为： g = 丝，：坐，y ：c i ，+ d u ( 2 1 5 ) yt = 面勺。面 2 x x + 面 皑均 形变相容方程为： 监+ 鲨= 堕 ( 2 1 6 ) 砂2o x 2 出砂 无体力时的平衡微分方程为： 孥+ 车：o ，孥+ ：o 汜 d x咖o vc t x 我们按应力求解，将热弹性物理方程( 2 1 4 ) 代入形变相容方程( 2 1 6 ) 可得： 熹c 竿+ 砑，专等等+ 砑，= 岳t 半勺，( 2 1 8 a ， 其次再利用平衡微分方程，将( 2 1 7 ) 的第一式和第二式分别对x 、y 求 偏导，然后相加可得： 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 2 鱼：一堕一堡 。a 砌 孤2 砂2 将( 2 1 8 b ) 代入( 2 1 8 a ) 可得相容方程为： v 2 ( 吒+ q ) + e 四2 t = o 她v 2 = 萋号。 ( 2 1 8 b ) ( 2 1 9 ) 其次，对于无体力时的平衡微分方程( 2 1 7 ) 我们可引入彳渺应力函数 u ( x ，y ) ，因此则有： 吒= 罟，哆= 等，勺= 一罴 汜2 0 ， 吒2 萨哆= 丽勺2 一夏而 皑u 夕 将( 2 2 0 ) 代入( 2 1 9 ) ，则可得用应力函数表示的相容方程为： v 4 u + e a v 2 t = 0( 2 2 1 ) 由于无热源的平面稳定温度场r ( x ，y ) ，其满足调和微分方程( 注：因为热 传导微分方程为：孥一三v ：丁：里，其中丁= 丁( x ，少，z ，f ) 是物体内各点的温度， o t c pc p 肜是热源强度，p 是物体的密度，c 是比热容，名是导热系数， v 2 = 熹+ 等+ 鲁。由于无热源所以形= 。，稳定温度场则警= 。，平面温度 场则坚：0 ，所以有v ：丁：0 ) ，所以两个这样的温度场之差也满足调和方程， 即变温7 满足v 2 t = 0 ，于是( 2 2 1 ) 简化为： v 4 u ：0 ( 2 2 2 ) 所以与无温度应力时的形式一样，即u ( x ，y ) 为双调和函数。 对于两个无热源的平面稳定温度场之差引起的温度应力，由于式( 2 2 2 ) 和式( 2 2 0 ) 与无温度应力时的形式一样，因此有： u = r e z q o ( z ) + z ( z ) 】= 去【印( z ) + z 烈z ) + z ( z ) + z ( z ) 】 ( 2 2 3 ) 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 lq + 吒= 2 【缈( z ) + 缈( z ) 】= 4 r e t p ( z ) 【哆一吒+ 2 f 勺= 2 【印”( z ) + y ( z ) 】 其中y ( z ) = z ( z ) ，妒( z ) 和y ( z ) 是复变量z = x + y 的解析函数。 下面推导位移分量表达式。我们仍考虑平面应力问题，由物理方程( 2 1 4 ) 和几何方程( 2 1 5 ) 则有： e e ) u = 吒一y 盯y + e a t = ( 仃。+ 仃y ) 一( 1 + v ) a y + e a t ( 2 2 5 a ) o 冤 e 譬= 仃，一仇l + e a t = ( 吒+ 仃，) 一0 + y ) 仃。+ e a t ( 2 2 5 b ) 磊( 宴+ 妻) ： ( 2 2 5 c ) i 一十一) 2 f l 厶， 2 ( 1 + y ) 、孤砂 砂 注由于两个无热源的平面稳定温度场之差r ( x ，y ) ，有v 2 t = 0 ，所以v ( x ，y ) 为 调和函数，我们用f ( z ) 表示以t ( x ，y ) 为实部的解析函数，即： r e f ( z ) = t ( x ，y ) ( 2 2 6 ) 设： 玑( x ，y ) + f v ( 五少) = ，( z 边= e ( z ) ( 2 2 7 ) 于是有： e ( z ) ：娑+ f 婴= f ( z ) o xc l ：x 其次注意至l jc a u c h y - r i e m a n n 条件便得： 挚：娑：t ( x , y ) ，娑= 一喜 ( 2 2 8 ) o x 咖咖 o x 将( 2 2 4 a ) ，( 2 2 0 ) 及( 2 2 8 ) 代入( 2 2 5 a ，b ) 得： 互_3u=2丢+雨】_()警地警(229aox ) d xdxdx e 考= _ 2 f 专【似z ) 一雨卜( 1 + y ) 等+ e 口斋 ( 2 2 9 b ) c 砂d ydy一0缈 将( 2 2 9 a ) ，( 2 2 9 b ) 分别对x ，y 积分，得： 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 觑：2 【烈z ) + 雨卜0 + y ) _ bu + e 伽+ z ( y ) ( 2 3 0 a ) o x 西：- 2 i ( p ( z ) 一而一0 + y ) 掣+ e 鲫。埙( 功 ( 2 3 0 b ) 其中：彳、五为待定函数。将( 2 3 0 ) 代入( 2 2 5 c ) ，并注意到( 2 2 0 ) 第三 式、和( 2 2 8 ) 第二式，可得： 一望掣：望掣= 国为常量 a y a x 所以：彳( y ) = 一缈，a ( x ) = v o + a , x ，均为刚体位移。 不计刚体位移，由( 2 3 0 ) 可得： - e 以+ 加) ：4 烈z ) 一( 1 + y ) ( j i ) u 一+ f 安兰) + e 口 。+ f v 。) ( 2 3 1 ) 利用是箬+ f 宴竺= 2 呈竽：缈( z ) + 厕+ 孑彳万：缈( z ) + z 万彳五+ 谚：两( 2 3 2 ) o x o yd z 代入( 2 3 1 ) 最后得： 而e ( 甜+ f v ) = 3 1 + - y 1 , 烈z ) 一z 丽一而+ e a ( 甜+ f v ) ( 2 3 3 a ) 公式( 2 3 3 a ) 是针对平面应力情况而导出的。对于平面应变情况，只要将e 改 为f 告，y 改为芒，口换为( 1 + y ) 口。则得： 丁专( u + i v ) = ( 3 - 4 v ) f p ( z ) 一z 妒( z ) 一y ( z ) + 盯 + 如) ( 2 3 3 b ) 综合( 2 3 3 a ) 、( 2 3 3 b ) 即： ： 2 u ( u + i v ) = 姒z ) 一z 雨一雨t ? 2 z a f ( z ) ( 2 3 4 ) 舯瓯= 口辜裟一 ( 3 - ：罩慧姿， 2 夏季面为剪切弹性模量。 一 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 第3 章具有孔洞的周期热弹性全平面问题的复势 本章介绍文献 1 9 的主要工作，首先论述了受调和变温时的基本公式及有 限多连通域中的复势，给出了其复势的一般表达式。然后基于己知实部的周期 解析函数及其原函数的表示和多值性分析，分析了周期热弹性平面问题复势的 特征，并给出了复势的一般表达式，并讨论了几种特殊情形下的结果。 3 1 受调和变温时的基本公式及有限多连通域中的复势 对于无热源的平面稳定温度场t ( x ，y ) ，由热传导理论可知，其满足调和方 程v 2 t = ( a ：+ a ；) 7 = 0 ，这样两个温度场之差也满足调和方程，即变温7 1 ( x ，y ) ( 以后t ( x , y ) 均表示变温，即后一时刻温度与前一时刻温度之差，升温为正， 降温为负) 亦满足v 2 t = 0 而为单值调和函数。根据m u s k h e l i s h v i l i1 2 6 的研究， 可引入解析函数f ( z ) 使其实部为t ( x ，y ) ，即： r e f ( z ) = 丁阮少) 再设其原函数： e ( z ) = ，f ( z ) 沈= 甜。( 工，y ) + i v 。( x ，y ) 然后令： u ( x ，y ) = 甜，( 工，y ) + 矾甜。0 ，y ) ，v ( x ，y ) = v ，( x ，y ) + 矾v 。( x ，y ) 其中： f口 识= 【( 1 + y ) 口 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 平面应力 平面应变 ( 3 4 ) 口为弹性体的线膨胀系数，v 为物体的泊松比，则函数吒、q 、勺和“，、 r 7 间 满足无变温时的平面弹性理论方程，并且“，、v 7 处于位移的地位。因此，若将关 于吒、q 、勺与甜，、v 的问题称作“辅助问题”，则对其便可采用无变温时的复 变函数方法，即有： q + 吒= 2 伊，( z ) + 认z ) 】= 4 r e 缈，( z ) 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 吼一眼+ 2 i l y = 2 【矾z ) + 纵z ) 】 2 t ( u 7 + 如) = 婶( z ) 一z 缈，( z ) 一叭z ) ( 3 5 a - c ) 其中：烈z ) 、叭z ) 是关于z = x + f y 的两个解析函数，为剪切模量，胃为： 邓一篓力辜吾黧 慨6 ， i 3 4 l ，平面应变 特别值得注意的是：应力吒，盯。，在原问题与在辅助问题乃是一致的，但原问 题的位移分量u ，1 ，与辅助问题的位移分量“7 ， ，7 不同，它们之间满足关系式( 3 3 ) 。 此外，还有沿物体内弧段a b 上的合力公式： 钗z ) + z 雨+ 雨够= f b ( 以+ f e ) 出 ( 3 7 ) 注意，式中弧段a b 的微元素凼上的力( 以+ i y 。) a s 指的是沿着此弧由a 到b 方向前进时的右侧部分作用于其上的力。 现在讨论多连体情形。假设物体所占域s 是由几个互不相交的简单闭围线 厶，t ，l ，厶+ 。所围成，其中围线k + ，包围其余所有围线( 图3 1 ) 。 气( k = 1 ，2 ，聊) 是在内边界厶内任意选取的一个定点，彳为在域s 中仅包含 厶且不与其余边界相 匿3 1 有限多连通区域示意图 。假设以上多连体受调和变温r ( x ，y ) 作用，注意到在多连通域中，由式( 3 1 ) 引入的解析函数f ( z ) 、只( z ) 有可能是多值的，所以我们将其中的多值部分分 离出来，并将它们表示为 2 8 1 ： m ： ： 。 尸( z ) = 玩l n ( z - z k ) + 全纯函数 ( 3 8 ) k = l 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 只( z ) = 地+ 机= z 吼i l i ( z - - z i ) + ( 磁+ i k ) l n ( z z 。) + 全纯函数 ( 3 9 ) k = lk = l 其中：魄，成，所均是实常数，当丁k y ) 已知时，这些实常数便是确定的。 当z 沿巧逆时针绕行一周时，由式( 3 9 ) 知： 队+ 肌k = 2 x i ( b k z + o c k + 缓) ( 3 1 0 ) 记号 】o 表示括号内表达式当z 沿l k 。逆时针绕行一周时的增量。 因为原问题的位移u + i v 是单值的，则由式( 3 3 ) 有： 陋7 + i v k + 州玑+ 肌】2 0 ( 3 1 1 ) 将其代入式( 3 1 0 ) ，可得： 阻+ 加，】磋= _ 2 万f 优( 最z + 磁+ 锻) ( 七= l ，2 ，柳) ( 3 1 2 ) 式( 3 1 2 ) 表明，对于多连体，辅助问题的位移u 7 + i v 7 有可能是多值的【2 l 。由 此可推知，即便多连体所有边界上无位移约束且所受面力为零，而只受调和变 温场t ( x , y ) 作用，仍可能产生温度应力。 不难推知满足应力单值且位移具有如式( 3 1 2 ) 所示多值性的两个复势为： 缈( z ) = z 4l n ( z - z ) + 靠i n ( z z 女) + 缈+ ( z ) y ( z ) = 荟枷z - - z k w ( 引 ( 3 1 3 ) 其中： a k = 2 c t a ：b k ， 兀= 一丽x k + i y k 一雨2 t i n ( 嘲，形= 篙署一百2 t o t , 。旷, 鳓( 3 1 4 ) x 。+ l 圪表示作用于内边界t 上的面力主矢量，矿( z ) 和矿( z ) 为域s 上的全纯 函数。 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 3 2 已知实部的周期解析函数及其原函数的表示和多值性分析 我们考虑周期为a 的全平面问题。假设弹性平面体中第j 个周期带 ( j = o ，1 ，2 ，) 内有玎个孔洞，其内边界为t = u 髭d ，逆时针方向为正，并 将， o 简记为气。 把弹性体所占区域记为s 一，髭，所围孔洞记作磷m ，掣卜则简记为罐，并 记耐= u 黠， k = l基本周期带( 如图3 2 所示) h ， i k 图3 2 基本周期带 设物体受具有相同的基本周期为何的周期调和变温场r ( x ，y ) 的作用，并且 t ( x , y ) 可表示为某个周期解析函数f ( z ) 的实部，即： r e f ( z ) = t ( x ，y ) 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 且f ( z + a x ) = f ( z ) o 虽然f ( z ) 的实部t ( x , y ) 是单值的，但其虚部却有可能是多值的，即当z 沿环 绕内边界五的任意闭围线逆时针绕行一周时，f ( z ) 可能得到2 x i b k 的增量，其 中反为实数，即有： f ( z ) 】2 金d f ( z ) 2 f 。( z ) 出= 2 x i b k ( 1 f 1 ，2 ，n ，) 则有： 吼= 去曩州妣， ( 3 1 5 ) 吼2 芴筑州妣， ( 3 由复变函数知： f ( 垆翌业一ia t ( 、x , y ) d 0 3 , 所以f z ) 为周期单值解析函数。 于是有： 喜皖2 去喜曩尸c z 胁2 去k w f 坼，出2 去彝f k ，出= 。c 3 1 6 ， 现在我们将f ( z ) 中的多值部分分离出来，并保证其仍然具有周期性。经过 研究得到如下表达式： 心) = 喜轴s i n 等+ f o ( z ) ( 3 1 7 ) 其中：f o ( z ) 为周期单值解析函数。 注意到鼠= o ，并利用留数定理，不难证明f ( z ) 满足周期、解析及多值 性要求。 接下来考虑f ( z ) 的原函数e ( z ) = f f ( z ) 出，它是准周期解析函数。由分部 积分知： l n s i n 争= ( z z k ) l n s i n 孕一，孕辔孚龙 对f oz ) ，因为其原函数为准周期解析函数，且在多连通区域上有可能是 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 多值，则： ，磊q 边= 喜ql n s i n 三+ 孳周期单值解析函数 其中q 为复常数。 于是： 删= 扣z i ns i n 孚一a l l ( 等) 】+ 喜( 瓯啪；n 寻嘲z ) ( 3 1 8 ) 其中，丘( z ) 为准周期单值解析函数。这里我们将q 与( 一尻乙) 合并为复常数 磁+ f 屏，而函数h ( ) 定义为： ( z ) = j ：z c t g z d z ( 3 1 9 ) 其积分路线是从原点起不经过极点z = k z ( k = 1 ，丑) 的任意路线。可知h ( z ) 为一奇函数，且h ( o ) = 0 ，这是一个多值函数，且有无穷多个周期分布的多值 分支点z = w ( w = k z ，k = 1 ，垃，) ，并且【h ( z ) 】。2 2 z i w ，其中乙是只包含一 个分支点z = w 的简单闭围线。 显然可知，日( 上) 的多值分支点为z = z ，4 - m a 石, ( m = 1 ，2 ) ，故在基 a 本周期带中有： 【h ( 二_ 上) k = 0 ( 、k = 1 2 ，z ) a 由式( 3 1 8 ) 可知： 限( z ) 】= 【u 。+ m = 2 x i ( b k z + + 锻) ( 3 2 0 ) 进一步利用分部积分可证明有： - j - + i z ；= 一芴1 z f 。) a z ( 3 2 1 ) 从而可知 ( + f 孱) 仅取决于f ( z ) 和基本周期带的选取，而与点 z k ( k = 1 ，2 ，刀) 的选取无关。 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 3 3 周期热弹性平面问题复势的特性及一般表达式 对于周期热弹性平面问题，设变温场t ( x , y ) 可以表示为某一周期解析函数 f ( z ) 的实部，应力分量( 吒，吒，) 是周期的，并且在z = 政有界。因为原 位移似，v ) 是准周期的( 由热弹性物理方程可知，形变分量是周期的，再由几何 方程可知，位移是准周期的) ，而f ( z ) 是周期的，从而e ( z ) = u o + i v 。= if ( z ) d z 是 准周期的，再由于u + i v = ( ”+ i v ) + 啦( u 。+ i v 。) ，故( 甜。+ f v ) 必是准周期的。 对于“辅助问题”可采用无变温时的复变函数方法，即有： 舐+ 吒= 2 缈( z ) + 缈( z ) 】= 4 r e 缈( z ) ( 3 2 2 a ) 瓯一o - + 2 i = 2 z q o ”( z ) + 沙( z ) 】 ( 3 2 2 b ) 2 t ( u + i v ) = 聊( z ) - z 驴( z ) 一以z ) ( 3 2 2 c ) 由上式可知：烈z ) 、y ( z ) 两个复势函数必须满足：r ea p ( z ) 是周期单值的， 砷”( z ) + y ( z ) 是周期单值的，印( z ) 一z 缈( z ) 一炽z ) 是准周期的。 因为应力在z = 蛔f 处有界，则r e 缈( z ) 在z = f 处亦有界，所以缈( z ) 在 z = + _ o o i 处有界，缈( z ) 的实部是单值周期的，但它的虚部有可能是准周期的， 即有： 缈( z + a n ) = 缈( z ) + f 口 其中口为实数，但因为缈( z ) 在z = f 处有界，可知口= 0 。因此，妒( z ) 是周期 函数，烈z ) 是准周期函数，所以印t ( z ) + y ( z ) 也必是准周期的。 下面给出周期热弹性全平面问题两个复势妒( z ) 、e ( z ) 的一般表达式。 首先，因为缈( z ) 是实部单值的周期解析函数，并且r e ( p ( z ) 在z = f 处有 界。由3 2 节的分析知： 矿k ) = 窆4 i ns i n 孚+ 中( z )( 3 2 3 ) 其中4 为实数，并且满足关系式： 将式( 3 2 3 ) 两边积分得： 4 = o 。中( z ) 为周期单值解析函数。 k = l 第3 章具有空洞的周期热弹性全平面问题的复势 2 喜纰l n s i n 等训呼) 】+ 窆k = l 胁s i n 孕坝z ) ( 3 2 4 ) 其中兀为复常数，矿( z ) 为准周期单值解析函数。 ： 其次，因为印”( z ) + y ( z ) 要求是周期单值的，其中( z ) 是周期单值解析 函数，且由于： 印”( z ) + y ( z ) = ( z z ) 缈”( z ) + y ( z ) + z 缈”z ) 其中z z 是周期单值的，所以y ( z ) + z 缈”z ) 必是周期单值的，记其为甲( z ) ， 从而 ! ! 导： y ( z ) = 一z 缈”( z ) + 甲( z ) 其中甲( z ) 是周期单值解析函数。 对式( 3 2 5 ) 两边积分，得： 纵z ) = 一卜缈”( z ) 出+ 卜( z ) 龙 ( 3 2 5 ) = 一z 缈( z ) + f 缈。( z ) 出+ ，甲( z ) d z = - z q ，( z ) + 烈z ) + j 甲。( z )