（基础数学专业论文）一个含有对流项的逆热传导问题的waveletgalerkin正则化方法.pdf

摘要 在许多实际问题中，常常需要从物体内部某个固定位置的温度测量数据来确定 物体表面的温度分布，这就是所谓的逆热传导问题( i h c p ) 逆热传导问题是近年来 反问题研究领域的热点和前沿课题，而目前对非标准逆热传导问题的理论结果甚少 本文研究一类特殊的非标准型逆热传导问题，即如下的含有对流项“。的抛物方程 侧边值问题： f u t + u ；= 。 u ( 。，o ) = o ， 【u ( 1 ，) = 9 ( ) ， z o 0 z 0 t 0 我们要利用z = 1 处的温度数据g ( ) 来确定区间【0 ，1 ) 上的温度分布“( z ，t ) 这 是一类严重的不适定问题，数据的微小扰动就会引起解的巨大变化，使其数值实现 极为困难由于在实际问题中9 ( ) 往往是澍量数据，必定存在测量误差，因此对这类 问题给出有效的正则化方法就是一个非常有意义同时也极为困难的工作本文给出 了处理这一问题的一种新的w a v e l e t g a l e r k i n 方法，获得了阶数最优的稳定性估计， 并且解决了零点的收敛性问题，大大改进了已有工作的结果 关键词：逆热传导问题；不适定问题；正则化；w a v e l e t - g a l e r k i n 方法；误差估计 a b s t r a c t i i i nm a n y p r a c t i c a la p p l i c a t i o n so n ew i s h e st od e t e r m i n et h es u r f a c et e m p e r a c m ef r o m au m a s u r e dt e m p e r a t u r eh i s t o r ya taf i x e dl o c a t i o ni n s i d eab o d wt h i sp r o b l e mi s c a l l e di n v e r s eh e a tc o n d u c t i o n p r o b l e mf i h c p ) a tp r e s e n t f e wt h e o r e t i cr e s u l t sa r e a v a i l a b l ei nt h el i t e r a t u r ef o rn o n s t a n d a r di n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m i nt h i s p a p e r ，w ec o n s i d e rac l a s so fs p e c i a ln o n - s t a n d a r di n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m ， i e ，as i d e w a y sp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hc o n v e c t i o nt e r m a sf o l l o w s ： z 0 t 0 z 0 t 0 w ew a n tt od e t e r m i n et h es o l u t i o nu ( x ，t ) f o r0sz 0 t 0 z o t o 有界 2 并且给出了尺度空间峙+ l 中关于测量数据卯的g a l r k i n 解v j + l 在k 上的投影 p j v + 1 与真实解u 之间的误差估计，结果并不十分理想随后两人在2 0 0 0 年再次合 作，对这一结果做了进一步的改进，给出了阶数最优的误差估计，并解决了零点的收 敛性问题 1 1 本文也正是在他们工作的基础上，对一个重要的抛物方程侧边值问 题建立新的w a v e l e t - g a l e r k i n 方法当一个流体流经一个固体时，在热传导方程中 将出现一个对流项【1 2 ，1 3 】，它对应的遵热传导问题就是如下四分之一平面内的抛物 方程侧边值问题： z 0 ，t 0 ， 。0 ， f l l l t 0 、7 有界 其中g ( t ) l 2 ( o ，0 0 ) 是z = 1 处的温度准确值，我们期望利用在物体内部z = 1 处 的温度测量值g s ( t ) 来确定区间。e 【0 ，1 ) 上的温度分布u ( 。，) ，其中 g ( t ) 一卯( 刚墨6 ( 1 , 2 ) 是测量的误差界这是一类严重的不适定问题，即问题的解不连续依赖于数据，测量 数据的微小的扰动即可引起解的爆破，使得数值计算非常困难对于问题( 11 ) 的处 理方法与标准情形有较大不同且更具有技巧性处理这一问题，已建立了半离散中 心差分方法【1 4 】、t i k h o n o v 和f o u r i e r 方法【1 5 ，1 6 】、小波方法【4 , 5 】、谱方法f 1 7 ，1 8 】 和w a v e l e t - g a l e r k i n 方法1 19 】等正则化方法但1 19 】中仅给出了尺度空间u + 1 中 关于测量数据9 6 的g a l r k i n 解1 + l 在u 上的投影b + l 与真实解之间的误差 估计，而并未给出尺度空间的g a l r k i n 解u ，与u 之间的误差估计这一结果不 甚理想本文的主要目的就是改进这一结果，进一步给出了尺度空间u 的g z f l r k i n 解 ，与t z 之间阶数最优的误差估计，并在证明过程中指出文献【1 0 ，l1 中关于无穷 维矩阵d ，使用的错误之处，给出有效的解决办法 为了在关于时问变量t 在l 2 ( 酞) 空问中进行讨论，我们需要将函数u ( 一，一) g ( ) ： u ( 1 ，) ，及其它出现在本文中的的函数延拓到整个实数轴，并令这些函数在负半鞘i 上取零值令 昧) 一去上。e - i ( t h “) r 2 ( 13 ) 1r 。 仉“ = 一ku幻d= 以k 孔毗“ ，li-(1lil【 蕊 + k 墨 t l u 壮 u u ，iilil，、-i_-ii、 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 3 表示函数h ( ) 的f o u r i e r 变换，”| 和( ，) 分别表示l 2 ( 豫) 空间中的范数和内积 同时由讨论不适定问题的准则，我们还须要求存在如下先验界： “( o ，) i t p se ，p 0 ( 1 _ 4 ) 其中l 川，定义如下： 盯( ) b ：( 仁( 竹鳓。) 3 ( 1 5 ) 本文的正文部分安排如下t 2 介绍一些预备性的结果，讨论了问题的不适定性， 给出了一个十分有用的引理2 1 3 引出m e y e r 型的小波，并列出了对于求解问 题( 1 1 ) 的有用的性质和定理4 将w a v e l e t - g a l e r k i n 方法用于问题( 1 1 ) ，得到了 g a l e r k i n 解与真实解u 之间的阶数最优的误差估计，并解决了零点的收敛性问 题 2 预备性结果及问题的不适定性 由于我们已经假设9 ( - ) l 2 僻) 且问题( 1 1 ) 存在解“( z ，) l 2 ( 瓞) ，在( 1 1 ) 中通过对变量t 作f o u r i e r 变换可知u ( x ，) 在频域空间将满足如下问题 f瓯，( z ，荨) = t 烈z ，) 十赴( z ，) ，0 z 0 0 ，一0 0 f 0 0 ， 五( 1 ，f ) = ( f ) ，一o 。 o 。，( 2 1 ) 【 l 。一。有界 作为常系数的常微分方程，我们很容易解得 5 ，1 5 ，l8 】 五( z ，f ) = 爹( f ) e ( 1 一z ) ( 、7 虿再一；) ( 2 2 ) 这里丽为+ ；的主平方根，易知 属：；洱面“一” = ；汀面( c o s ；+ s i n 务 ( 2 。) z = a r g ( 1 + 4 。) ，t a n p = 4 一； p j ，一； ； ；( 2 4 ) 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 4 l 已 昧) ：= 属一j 1 ：；【河面( c o s ；+ i s i n 争l 】 下7 1 - ： 瓣r ( 2 ；5 ) 那么( 2 2 ) 式可以写成 雹( z ，f ) = 懿) e ( 1 一。) 。( f ) ( 2 6 ) 为了简化后面定理的证明，这里将关于日( ) 性质的一些不等式给出 引理2 1 口( ) 由( 2 5 ) 式定义，那么下面的不等式成立： 那么 ( i ) 佩c o s ；一1 s 俑， ( i i ) 一( 俪c o s ；一1 ) 一( 俑一1 ) ( i i i ) 1 e o x 嘲e 0 一x ) ( v , 葛e 0 一x ) 而， ( i v ) l e - 娜( i e x r e 归幢) 、晶一x 、俪， 证明：注意到 蝴：乒亨：1 + l v 1 + t a n 2 3 0 z 1 0 o l 、肜亏i i 面 以们硬 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) c o s ；一= 击而而面 为了证明( 2 t ) 式，我们只需要证明 、，气- = 丽+ l 2 、丽+ 以， 将上不等式两端同时平方即可看出结果是显然的由于一曼卢，那么c o sg 击，将其带入结论( i i ) 左端即得( 29 ) 式( 29 ) 及( 2 1 0 ) 分别可由( 27 ) 及( 28 ) 式 直接得到口 注意到 j r e 8 ( ) = ；【丁硬c 。s ；一1 1 ；( 同一1 ) 一+ 。，蚓一。 兰州大学2 0 0 5 届硕士学, 位- e c s c 5 进而对z jk e z 相应地，在频域空间的正交投影分别记为岛及磊，由p a r s e v a l 恒等式可得： 弓 岛 l 2 一谚= 可丽再i 历 l 2 一弼= 3 2m e y e r 型小波 m e y e r 型小波的小波函数妒由其f o u r i e r 变换给出【1 0 1 1 2 0 】： 乒( f ) = e 哇6 ( f ) 这里 f ( 2 ”) 一s i l l r 、。3 i 一1 ) 】，；”蚓；” 6 ( ) = ( 2 ”) 一 c o s ；q ( 砉i l 一1 ) 】i ”sl f 曼；” 【0 ，其他， 其中，函数”是c ( o s o o ) 的，满足 叶( z ) = ；：i ： 且州z ) + 哦一= ，= ) = ， ( 3 1 1 ) ( 3 12 ) ( 3 1 3 ) 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 7 对应的尺度函数妒也由其f o u r i e r 变换定义如下： f ( 2 ”) 一，蚓；”， p ( ) = ( 2 ”) 一 c o s q ( 嘉l 引一1 ) 】，；”曼i i ；”， ( 3 1 4 ) 【o ，其他， m e y e r 小波的重要性质就是小波函数妒和尺度函数妒在频域空间都有紧台事 实上，由( 3 1 ) 式知： 咖t ( ) = 2 妒( 2 f k ) ：集_ 0 0e 叫训2 n k ) d x 2 孺上。p 叭掣” ：矣。训州d s 2 了磊上。8 “妒3 = 2 - e “1 氟2 一誓) ， ( 3 1 5 ) 由( 3 1 5 ) 式，再结合妒( f ) 的定义可以看出对于任意的k z ， s u p p 珏= 伯；”2 j 1 、t 0 z 1 ， t 0 8 解关于z 的一阶导数在x = 1 处的值，h z ( t ) 是如上问题对应于测量数据卯的解关 于z 的一阶导数在z = 1 处的值易知 ( f ) = 一日( f ) 垂( ) ， d ( f ) = 一日( f ) 出( f ) 那么问题( 4 1 ) 可以被写成如下等价形式：找一个 嵋使得 f 。= 弓仇+ ，t r ，z 0 ， v ( 1 ，t ) = 弓9 6 ( t ) ， 【( 1 ，t ) = p j ( t ) 将用尺度空间巧中的基底线性表出，即 那么类似地 ( z ，t ) = c ( z ) 纷( t ) k e z ( q ) c 扛，) = q 扛) 西k ( t ) ( 咋) 。( z ，) = c ：( z ) 仍( ) ( ) 。( 。，) = c ：( z ) 协( ) 带入( 4 1 ) 式可得 ( 吾乳脚h 。删嘶啪洲t ，) 一o ，f z 利用协k ，z 的正交性可得 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( z ) 一c ：( z ) = c f 扛) ( e z ( t ) ，( c ) ) = ( l ( ) ，奶( ) ) c l ( z ) ， z f zf z 这里令 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 那么可得一个关于向量系数g 的无穷维常微分方程组 其中 fq 。= d j c + g ，z 0 g ( 1 ) ：( ) ，( 45 ) 【g ( 1 ) ：6 ( 0 c ( x ) = ( ，c l ( z ) ，c ( z ) ，) 并且舶= 渤，协女) k e z ，0 = ( ， ) ) k z 即 弓乳= k ( t ) ，弓k = 白女协 ( t ) ( 4 6 ) k e zk e z 由于投影算子p j 可视为个低通滤波器，超过 ”掣的高频部分将全部被过滤 掉，所以如上定义的方法是问题( 1 1 ) 的一种正则化方法，其中j 是正则化参数，它 确定了小波空间在4 3 , i t t t f l 将在满足光滑性假设条件( 1 4 ) 的基础上导出一个 新的误差估计 4 1在尺度空间中的稳定性估计 定义4 - 1 1 我们称矩阵d j 是斜对称的，如果田= 功称d j 具有t o e p l i t z 结构，如果当k fi 常数时( d j ) m = ( 惦i ，* ) 也恒为常数 显然具有t o e p l i t z 结构的无穷维矩阵的元索沿所有对角线均为常数，这将为 方程数值求解带来极大的方便 性质4 1 2 设嵋是m e y e r 小波的尺度空间， t ) k z 是的正交基，那么 无穷维矩阵d j 是斜对称的，并且具有t o e p l i t z 结构，其范数满足 进而若t 是一连续函数，则 i i r ( d j ) l l 一，。l ，n 。& x 。，l ，( z a ) 证明：第一步，先证矩阵d j 是斜对称的，即( b ) z t = 一( d j ) “ 为了简便，记 霭( f ) ：= 西i ) ( f ) = 2 - ( 2 。) ( 47 ) ( 4 8 ) ( 49 】 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 0 此式可由( 3 1 7 ) 式简单得到那么由p a r s e v a l 公式， ( 西r ，妒弛) = ( 豇( ) ，囝* ( ) ) ，一 一 = 一( f ) 氟( ) d j 一 ，。 一 = i f 西r ( f ) 羁k ( ) 武 j 一 ， = i 和一。( ) 2 1 q 囝( f ) 1 2 ， ( 41 0 ) 同理可得 ( 西 ，叻j ) = f e “1 ) 2 1 i 囝( f ) 1 2 j 一 r 0 0 = i s e 一o 一2 ) 2 1 3 i j ( s ) 1 2 d s j 曲 - o o = 一i o “) 扩i 西( ) | 2 必( 4 1 1 ) j 一 比较( 4 加) 与( 4 1 1 ) 式可得( 功) * = 一( d j ) ” 第二步，证明d j 具有t o e p l i t z 结构 ( 功) 剐= i f e 。卜砷2 1 i 伤( ) f 2 磷= ( 功) ( ) o 这里记 d k ：= ( d j ) k o ， 易知，当一ii 常数时，( b ) “= ( 谚f ，仍) 也恒为常数由d j 的斜对称性可知 d f t ：= 一以一2 第三步，证明( 4 7 ) 式成立 定义 - 7 r 2 ，7 r 2 ，】上的函数 a j ( ) = i 2 r 2 f ( 一2 2 。) l 荡( 一2 ：, r 2 j ) l 。+ | 西( ) 1 2 并把它在整个实轴上进行周期性延拓，得到其f o u r i e r 级数展开为 ，( ) = 以2 7 k 品 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 其中 以= 南e 酬e - i k t 2 d t = j 川。城 利用函数，( t ) 的三个部分和周期性结果可以得到上式的第一部分 类似地可得到 = i ( 一2 ”2 ) l 囝( 一2 r 2 ) 艮。“1 2 d t j 一* 2 j r n 2 j = i ( 0 i 西( t ) | 2 e “2 j d t ， 砧一i ( t ) i 囝( ) 1 2 e “归d t j 掣 ，掣 罐= i ( t ) i 伤( ) 1 2 e 1 “”d t ， 由于在i t l 4 孚时，小波函数蟊( ) = 0 联合三部分可得 以= z i 西( t ) 1 2 e 1 “2 d t ，3 f 掣 j - 3 z 2 j ，。 = i t l 西( ) 1 2 e “2 i d t = d k ， 下面来估计d j 的范数， jl d j i | = s u pl | b f l l 这里向量范数i i f l l 2 ：= 。zi r 定义 则 f ( ) = e 凇7 ”， s ( ) = ，( ) f ( ) k e z s ( o = 驰“吖2 k e z ( d j f ) k 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 并且 那么 2 丽1 上。陋 2 赤- 。列l 今( 。) 刖胁 s 鲫u pi 酬1 2 刍仁同c = s u pi a j ( 圳2 2 ， d j i i = s u pl i g i i = s u pi i s l iss u pi 岛( t ) i i i i = ii i i i i = i川茎硝 下面只需估计s u p i h ! mi a a t ) i 即可，不难发现a a t ) 是个奇函数，所以只考虑函数 在区间 0 ，7 r 2 】上l 岛( ) i 的上确界就足够了，雨在这个区间内西( + 2 s 2 j ) = 0 ， i 弱( ) 1 2 0 ，( t 一2 v 2 ) l 蟊0 2 2 j ) 1 2 0 ，因此 s u pi 岛( t ) i 曼2 7 r 2 js u pt l g ( t ) 1 2 s 印0 s t 2 = 2 7 r 2 s u p ( t 2 一) l 西( t 2 - j ) ) 1 2 o _ t t r 2 j = 2 7 r 2 s u ps l 囝( s ) ) 一 【) s 茎。 根据( 3 1 4 ) 中关于的定义，在区间| o ，”1 上就存在估计式 s i g ( 圳2 嘉= j 1 ， 这样就得到了d j 的估计 i id j l l s u pl ，( ) i 2 ， 第四步，证明( 4 8 ) 式成立 由( 41 0 ) 式不难验证岛是自共轭的，设a = 一i d j ，那么a 就是h e m f i t i a n 算 子，它的谱一( 一l b ) 全部包含在区间f 一”掣，”掣】内，故算子，4 又可写成如下形式 ，t 2 0 = x d e j 2 ， 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 其中( b 是算子 的谱族类似地， r 2 j d 3 = | i $ d e a j 一2 j 如果r 是一连续函数， ， 2 j r ( 岛) = r ( i a ) d e ， j - - ”2 j 则由t a y l o r ( 1 9 5 8 ) 2 1 ，定理6 5 一c 的技巧性证明过程可知 i i r ( d j ) l t m a x 。忡a ) 1 3 口 由性质4 1 2 的证明已经知道h e r m i t i a n 篝i e 兰= 一i d 的谱口( 一i d j 全 部包含在区间【一”2 j ，7 r 2 j 内，那么算子函数矿d j + 7 一7 就可定义如下： 矿( 惭哼) = e 一佩瑚d 毋 接下来我们考虑问题( 1 1 ) 关于扰动数据如的g a l e r k i n 锵的稳定性 1 9 】中的定理4 1 ，我们给出如下的结论： f 4 1 3 ) 类似于 定理4 1 3 设9 6 是测量数据，且满足怕一蚓i j ，和分别是u 中关于 g 和卯的g a l e r k i n 解，那么 ( z ，- ) 一叶( z ，) 1 1s 讵e ( 1 一) 歹6 ( 4 1 4 ) 证明：由函数k 的定义可得 ( ，九t ) = ( 瓦，而t ) = ( 一日( ) 鼠秀* ) = ( 卯，如t ) ( 一口嬉) 而。：面。) 这里口( f ) 由( 2 5 ) 式定义由【1 1 】易知 。：( 一、i j _ 乒+ i 1 ，) w 那么问题( 4 5 ) 就具有如下形式的解 c ( ) = 1 h o ，+ 卜17 ) 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 类似地，可以得到问题( 4 5 ) 关于真实数据1 一“9 ，咖k ) k e z 的解如下 a ( z ) ：e ( 1 - x ) ( 扣巧一 1 4 这里，a ( z ) 是对应于真实数据g 的g a l e r k i n 解q 的向量表示，根据性质4 1 2 及 ( 2 9 ) 式，我们就有 i i u j ( x ，) 一( z ，) 雌i i c ( x ) 一a ( 圳【剑e 帅) 扣丽一 1 1 1 i i 一，y i i ， s 一。占篓。2 j 妒。俺i i p j ( g d g ) l l s 压e ( 1 - z ) 伊d 4 2 辅助i l 理 类似于【l o ，1 1 中的记号，我们用厶和口记如下的两个区间 。：_ 【争，每z ，】u 【r 2t j ，；”2 j ， 寸：= ( 一o 。，；”2 j 】u 【；”2 j ，+ o 。) 口 引理4 2 1 如果u ( x ，t ) 是问题( 1 1 ) 的真实解，且满足先验条件( 1 4 ) ，那么 j | q j u ( z ，) 1 1 如2 e ( 2 j + 1 ) 一ps u p e - x e ( 西( f ) ， ( 41 5 ) f i j 其中咖( f ) ：= 奶o ( ) 是由( 31 5 ) 式令k = 0 给出的小波函数 证明：由( 3 1 5 ) 式易知再( ) = e - i 2 1 磊( f ) ，则 岛砬( z ，) = ( 矗( 即) ，珐) 张 z = 访( ) ( 议z ：) ，无t ) e 1 婶1 上式中系数( 鑫( e ) ，访) 又可以写成 ( 矗( z ，) ，访。) = 舀( z ，f ) 访t ( ) 武 j r = c 。婚仃( o ，s ) 访( s ) e “1 d s ，r 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 如果在这里令 g ( s ) ：e 一铽o ，s ) i 丽， 再考虑到尺度函数西的紧台，( 4 1 6 ) 式就可被改写为 ，h 2 j ( 矗( z ，) ，奶 ) = g ( s 一2 7 r 2 j ) + g ( s ) + g ( s + 2 7 r 2 j ) e i b 2 叫d s j f 2 j 所以 岛 ( z ，f ) = 荔嬉) g ( 一2 ，r 2 j ) + a f t ) + g ( + 2 7 r 2 ，) 一s 2 ， 并且 j i 岛舀( z ，- ) i i ；5 f g 幢一2 7 r 2 j ) + g ( f ) 十g 晤+ 2 7 r 2 ) f 2 霹 j 1 由于s u p p 币j k = ( f ；”2 sl f i i 月- 2 j ，则有： g ( f 十2 7 r ) = o ， 宁2 。j ，j 4 ”2 j ， g ( 一2 羽) = o ， 【一百4 丌，一；柑】， 那么 ，一 2 j 岛 ( z ，) i l ；，s 3 l g ( f ) + g ( + 2 1 r 2 j ) 1 2 + 1 3 ”i c ( f ) + g ( 一2 ，r 2 j ) 1 2 d f + ff ) + g ( 一2 d f j | 凹 ；2 ，一一g ( f ) + g ( + 2 。2 ，) z 4 广i c f f ) i z + l g ( 砌2 ，) 1 2 d f4 i2 + l g ( 十2 丌2 ) 1 2 d f = a ( 麝+ 蚓驯磁 4 s u i ) f 9 帐访( 卯1 ( o ，钟嗽 妊l tj i 4 e 2 ( 2 川) 一2 r s u p 扩州f 1 荔( ) j 2 f e ，j 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 两边同时开方即得( 41 5 ) 式 1 6 口 这里m e y e r 小波的小波函数妒依赖于函数q ( 参见( 3 1 2 ) ) 在对函数q 的 附加假设条件下可以得到更好的估计 s l 理4 2 2 对于由( 3 1 ) 式给出的m e y e r 小波函数毒j ( e = 霸o ( ) ，成立 黔“i = ；( 扩) _ e 1 伊 牲l v “ 进一步，如果生成m e y e r 小波的函数r 是递增的，并且满足 q ( s ) ；a 心n ( e 一伊( 诉一厕) 协【0 ，尹1 则 磐一。硼i = v 劬7 1 州e q 伊 e e 厶 ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) 证明。由于函数e - 2 e ( o 中日( f ) 的实部以及而都是偶函数，所以我们只需考虑 区间【；”掣， 7 r 2 上i e 一。8 ( f 西( ) i 的上确界即可在这一区域上应用( 2 z o ) 式就可 立即得到 ”t e ) 西( ) 】2 = e - 胡( 0 2 一e 1 孚( 2 一j z ：) 1 2 = ( e q & 归) 2 i z l 去s ；n ( ；”( 嘉旷矧_ 1 ) ) j 2 e 2 磊1s i n 2 ( ；”( 丢2 1 一1 ) ) e “堰 下面引入一个新的变量s 一嘉2 一誓一1 ，由于f 【i w ， ”2 j 】那么s 【0 ，l 】，( s ) = ( s + 1 ) 等2 j ，令 f ( s ) 这里 = f 。8 ( f ) 五( f ) 1 2 ：翌。一n伊佩。i。(孙)27 r、2 = a l ( s ) 口2 ( 5 ) ， 丽桴 等锨 l l l 州 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 注意到g 1 ( s ) 在区间【o ，1 】上是递减的，g 2 ( s ) 在这一区间上是递增的，且q ( ；) 那么当s b 1 l 】 f ( s ) 0 l ( 扣1 ) = 等e 伊掰( ；) 接下来考虑剩下的区间 0 ，扎因为 耶，= 端a t 端睁 l ；，0 2 t 毒j z 所以，要想 s u p 。，f ( s ) = 2 f ( ；) 8 e o 1 成立，当且仅当 n 。sz 鼍铲e - 2 x 伊岍一， 这就等价于 s i n ( 昙q ( s ) ) e z 据f ( 弧一厕 即 q ( s ) s ；”c s i n ( e z 伊( 弧一厕) 协f o ，j 1 】_ 0 ，s 0 ， s 4 ( 3 5 8 4 s + 7 0 s 2 2 0 s 3 ) ，0 j b ，一( ，胁) ， k z 所以当蚓 ”掣时 毋u ( z ，f ) = 0 ， 注意到如果弓，则当f j 时咖= o ，那么 即 ( 1 一辱) 帮一m 一霭) 毗+ 侧每 = i i a 毗+ 删b f b 。 = l | 西，u | | 2 l + i l 矗| 1 务 l l ( 1 一弓) 嚣| | l l q j 矗i l 。+ i i 在l l q ( 42 2 ) 兰州大学挪0 5 届硕士学位论文 i l 矗“i ：= ( 以 ，；。，l 。c 。，e ，1 2 武) 5 = ( z l ，；。一i e 一口( f ) 矗c 。，e ，1 2 蜓) 5 ( k ( 2 驴娟脚固阳) 2 正叫l n a 。x 护e 一2 蛹。e 、店( 2 j 十2 ) 一p e z 仔万f f 42 3 1 结合引理42 1 中( 4 1 5 ) 式及引理4 2 2 中( 4 1 7 ) 式，对于任意的小波都有 i | 岛娥) 1 1 等掣+ 1 ) 一 e - 2 伊e ， ( 4 2 4 ) 若生成m e y e r 小波的函数”是递增的，并且满足不等式( 4 1 8 ) ，那么由( 4 1 9 ) 式知 还有 l i 包弧) 1 1 s 筹+ 1 ) 一j e - z 伊e ( 4 2 5 ) 由于 b z 俘冬e - x 痧，e 一厢妒伊， 联合( 4 2 3 ) 及( 4 2 4 ) 式，可得 1 1 ( 1 - b ) 训仰坤) - p e q 伊e + 以击( 尸_ e q 伊f 讵( ( 2 m ) 一9 + 以( 2 j + 1 ) 一9 ( 2 州) 一 ) e 一辱五e s 以( 2 1 + 2 一 ) 2 一p ( j + 1 ) e z 、扣e 、 类似地，若函数q 满足附加条件、联合( 42 3 ) 及( 4 2 5 ) 式、即可得 m 一弓) 到以( 2 一p + 2 一i ) 2 一p ( ，+ 1 ) e t 以面e 如果条件( 14 ) 成立，且t 7 仅满足( 31 3 ) ，可以得到如下的误差估计 口 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 2 0 定理4 3 2 设u 是问题( 1 1 ) 的真实解，条件( 1 2 ) 及( 1 4 ) 成立，并设q 是关于测量数据9 6 的问题( 41 ) 的g a l e r k i n 解，如果j = j ( j ) 使得 “) p e 矛= 鲁 ( 42 6 ) 那么 0 u ( 。，) 一弓q + l ( x 川s 以( ( 2 _ 啕( 丽e ) 1 _ 叫而酽m + ( 丽e ) l _ 。酽) ( 4 2 7 ) 证明z 第一步，先证明 b u ( x ，) = b + l ( z ，) ( 4 2 8 ) 根据( 4 3 ) 式易知关于真实数据g 的g a l e r k i n 解u j + l 满足 f ( u j + 1 ) 。= p j + l ( u j + 1 ) t + ( u j + 1 ) 。，t r ，z 0 ( u j + 1 ) ( 1 ，t ) = 弓+ l 卯( ) ， l ( 啦+ l k ( 1 ，t ) = p j + l k ( t ) 对时间变量做f o u r i e r 变换得到： f ( 吗+ 1 ) 。0 ，f ) = 局+ ( 1 j + ，( 置f ) ) + ( q + l 扛，f ) ) z ，r ，z 0 ( 弓+ 1 ) ( 1 ，) = 8 + 。俞， ( 42 9 ) l ( 萄+ 1 ) 。( 1 ，) = 弓+ t ( ) 另一方面，关于真实数据g 的真实解u 的f o u r i e r 变换i ( 毛) 也满足如下关系： fb + l 矗盯( z ，f ) = 弓+ l ( t f 矗( z ，f ) ) + 弓+ l ( 瓯( z ，) ) ， f r ，茗0 弓十i 霞( 1 ，f ) = 马+ l 彘( f ) ， ( 4 3 0 ) 【b + 1 疋( 1 ，f ) = p j + 1 ( f ) 记p ( z ，) = 矗( z ，( ) 一q + l ( z ，f ) ，并且对于v h l 2 ( r ) ，当s u p p hc f ；蚓曼 ；7 r 2 时，p j + i h ( f ) = ( ) ( 4 2 9 ) 与( 43 0 ) 两方程组相减即得 fb + l p 。，( z ，) = p j + 1 ( t p ( z ，) ) 十马+ l ( p 。( z ，) ) ， f 豫，_ o 弓+ x p ( 1 ，) = 0 ， lp f + l m ( 1 ，f ) = 0 兰州大学卯0 5 届硕士学位论文2 1 即 fp 一( z ，) = i c p ( z ，f ) + p 。( 。，f ) ，垮l ；”2 j ，z 0 p ( 1 ，f ) = 0 ， 【几( 1 ，) = 0 而此方程组只有唯一零解，所以g ( z ：) = 每+ 1 ( x ，) ，蚓；”2 ，那么 弓鑫( z ，) = b 萄+ 1 ( 。，) ， 即( 4 ，2 8 ) 式成立 第二步，证明( 4 、2 7 ) 式成立 利用( 4 2 0 ) 、( 4 2 8 ) 及定理4 1 3 的结果中( 4 1 4 ) 式，即得 | | “( 置) 一片v j + 1 ( x ，) s i i “( ) 一马u ( e ) 0 + i l 弓啦+ 1 ( x ，) 一弓t 。+ l ( 置) 8 s v e 1 ( 2 - p + 2 - ) 2 ( j 生+ i ) p e 一# 弘+ e ( 1 - z ) 伊硝 ( 4 3 1 ) 由( 4 2 6 ) 式可以容易获得 蒜矿2 伊= ( 面e 而) i _ 。吩m ， e ( 1 叫驴6 = ( 蔫矿2 酽， 将其带入( 4 3 1 ) 式，即得( 4 2 7 ) 式成立 口 注4 3 1 由( 4 2 7 ) 式可知f | “( z ，) 一弓t 。+ - ( z ，) l i 的误差估计由两部分构成， 其中一项d 的指数为。，另一项的指数为南，与【1 9 】中的( 5 3 ) 式对照可发现第二 项的6 指数由素增加到费，提高了误差估计的收敛速度，这正是本文对1 1 9 1 所做 的改进工作 若函数目是递增的，并且满足( 41 8 ) 式，我们可以将以上估计进一步改善而现 在我们所关心的是在区间z 【o ，1 】上问题( 41 ) 关于测量数据卯的g a l e r k i n 解u 和问题( 1 1 ) 的真实解u 之间的误差范围 设是问题( 4 1 ) 关于真实数据g 的g a l e r k i n 解则有 | “一q | | s i i ( 1 一p ) u l i + | i 弓“一嘶i i + 0 u ，一q 1 i( 43 2 ) ( 43 2 ) 式右端的最后部分体现了g “e r k i n 方法的稳定性，第一部分描述的则是真 实解在小波空i 葡的近似值与其本身之间的误差，剩下的就是要估计误差的第二部分 兰州大学2 0 0 5 届硕士学位论文 即如下“误差”函数的l 2 范数 u = 弓一“j ( 43 3 ) 定理4 3 3 设y = 妇k ( z ) ) ，；= ( ( z ) 1 2 分别是函数u ( z ，t ) 及( ( 1 一 b ) “( z ，) ) c 关于小波基( 办t ) 的表示，即 鲰( z ) = 扛，) ，幽女) ，扫) = ( 丢( 1 一日) u ( z ，) ，咖* ) 女z ( 4 3 4 ) 那么 出卜；( 习j ( 。蝣，一厕k 卜州渺一协a s ( 4 3 5 ) 证明，方程组关于真实数据g 的g a l e r k i n 解札j 满足