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一些可解群的小度数c a y l e y 图 摘要 在群与图研究中，图的对称性一直是一个热门问题，而c 姆l e y 图在 其中扮演一个重要角色本文的主要目的是对一些可解群如劬阶亚循环 群，有限2 一群，2 印阶群，奇数阶群和印阶亚循环群的小度数c a y l e y 图， 研究其各种对称性质 首先，本文决定了3 p 3 为素数) 阶亚循环群的连通4 度c a y l e y r 图 的全自同构群结构，并由此得到这类图的c i 性，正规性和弧传递性文 中证明：除一个图外，对劫阶亚循环群的连通莲度e 氇y l e y 图的全自阍构群 的点稳定子群a ，都有l a 。i 冬2 ，并且这个例外同构于特殊射影群p s l ( 2 ，7 ) 关于其s y l o w2 一群的一个陪集图作为此结论的推论，我们得出所有劬 阶亚循环群都是弱莲一c l 的，而且除上述那个图钋，印阶亚循环群的连 通4 度c a y l e y 图正规但不弧传递 其次，对于有限2 一群的连通2 度c a y l e y 有向图，本文证明它们都是 正规的；另外，本文给出了2 印阶群及奇数阶群的连通2 度c 鑫y l e y 有向圈 正规的一个充分条件 最后，对于归阶亚循环群的连通边传递c a y l e y 有向图，我们证明它 们必存在有向冀溅l t 徽圈。 本文主要采震群论方法。文中有关群论及代数图论的概念可参考文 献 1 ，2 ，3 1 关键词：有限群 c a y l e y 图全囱同构群正规性c i 性弧传递性 c a y l e yg r a p h so fs m a l lv a l e n c i e so f s o m es o i a b l eg r o u p s a b s t r a c t t h es y m m e t r yo fg r 印l l sh a u sb e e nb e i n gav e 巧h o ti s 8 u ep r o b l e mi ns t u d y i n g g r o u p sa n dg r 印1 1 8a n dc a y l e yg r a p hp l a y sa nh n p o r t a n tr o l ei n 乞h er e s e a c hw o r k t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si ss t u d y i n gt h e $ y n l m e t r yp r o p e r t i e so fc a y l e yg r 印ho f s o i n es o l v a b l eg r o u p s ，s u c h 蹈m e t a c y c l i cg r o u p s 丽t ho r d e r3 p ，f i l l i t e2 一g r o u p s ，t h e 舒o u p s 谢t ho r d e r2 印，t h eg r o u p 8w i t ho d do r d e ra n dm e t a c y c l i cg r o u p sw i t ho r d e r 印 a t 缸s t ，t h i st h e s i sd e t e r m i n e st h ef u l la u t o m o r p h i s mg r o u p so fc o n n e c t e d c a 姐e yg r 印1 1 8o fv a l e n c y4o fm e t a c ”l i cg r o u p s 奶t ho r d e r 劬0 3i sp r i m e ) a n d t h e no b t a i nt h e i rc ip r o p e r t y ，n o r m a l i t ya n da r c t r a n 8 i t i 、r ep r o p e r 吼w 宅p r o v e ：f 0 r t h ev e r t e x - s t a b i l i z e r sa lo ft h ef 1 1 l la u t o n l o r p h i s m 黟o u p so fm e t a c y c l i c 留o u p s 诵t h o r d e r 劬，t h e r ei sf a l l 2e x c e p tf o rag r a p h ，w h i c hi si s o m o r p h i ct oac o s e tg r 印ho f t h e8 p e c i 敬p r o j e c t i v eg r o u pp s l ( 2 ，7 ) 谢t hr e s p e c tt oo n eo fi t ss y l o w2 一s u b f o u p 8 a st h ec o r o l l a r i e so ft h i sc o n c l u s i o n ，w eo b t a i l lt h a t 以lm e t a c y c l i c 留o u p s 讯t ho r d e r 3 pa r ew e a k4 一c if o u p sa n dt h ec o n n e c t e dc a y l e yg r 印h so fv “e n c y4o fm e t a c y e l i c g r o u p s 诵t ho r d e r 印a r en o r m a lb u tn oa r c - t r a j l s i t i v ee x c e p tf o rt h ea b o v eg r a p h s e c o n d l y ，f o rt h ec o n n e c t e dc a y l e yd i f a p h so f 、诎e n c y2o f 丘n i t e2 一肛o u p s ， t h i st h e s i sp r o v e st h a tt h e ya r ea un o r m a l ；i na d d i t i o n ，t h i st h e s i sg i v e 8as u m c i e n t c o n d i t i o nt h a tt h ec o n n e c t e dc a y l e yd i g r 印h so fv a l e n c y2o fg r o u p s 丽t h2 印a n d o d do r d e ra r en o r m a 】 1 1 a tl a 8 t ，f o rt h ec o n n e c t e de d 盼t r a n s i t i v ec a y l e yd i f a p h so fn o n - a b e l i 8 黥 g 妁u p sw i 专ho r d e r 秽，t 量l i st h e s 主sp r o v 褥镰a tt h e r ee 妃s t ( 重i 凇t e dh 8 掇i l t o nc 扛c 王镫 t h em e t h o du s e di nt l l i st h e s i si sm a i n l y 寥o u p t h e o r e t i c f 1 0 rc o n c e p 七so f g r o u pt h e o r ya n da l g e b r 毹cg r a p ht h e 0 珂w er e f e rt h er e a d e rt o 【1 ，2 ，3 】 k 量_ yw o r d s ：壬i n i t eg r o u 残c a y l e yg r a p h ；删a u t o m o r p h i s mg r o u p ；n o r m a l i 锣； e lp r o p e 姆；a r p t r 8 蕊s 主t i v i 锣 广西大学学位论文原剑性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原刨性声明 本人声明t 所璺交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所 取得的成果和相关知识产权属广西大学所有。除已注明部分外，论文申 不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位丽 使用道的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集体，均西 在论文审明确说明并致谢。 论文作者签名：哪曩辱- 嘲年6 月许霉 学位论文使用授权说明 本人完全了解广露大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的审劂本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采舞影霉、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 酌| 】时发布翻缌密后发带 ( 保密论文需注明，并在勰密震遵守此规定) 论文作者躲呷弦辱，导师签 参月砷基 第一章绪论 1 1基本的概念与结论 本文讨论的图都指有限简单图，主要采用群论方法，有关的定义和记 号参阅文献 1 ，2 ，3 】 对于有限简单图x ，我们用y ) ，e ) ，a r c ( x ) 和a u t ) 分别表示 x 的顶点集合，边集合，弧集合和全自同构群所谓弧，即有向边一个 图x 的对称性，往往通过其全自同构群a u t ) 的某种传递性来刻画如 果a u t ) 在y 伍) 上作用传递，则称x 是点传递图这时图x 的每个 点的图论性质是一样的，即x 是点对称的进一步我们可以定义对称性 更强的图如果a u t ( x ) 在弧集a r c ) 上作用传递，则称图x 是弧传递 图，也称对称图与图x 的一个顶点u 相连的顶点全体称为u 的邻域， 记作( 秒) 1 ( u ) l 称为点 的度数如果图x 的每个顶点的度数相同，称 x 是正则图，这个度数记作v a l ( x ) 显然，点传递图都是正则图 若x 是有向图，( 乱，口) 是它的一条有向边( 方向由让到口) 我们说心 是( u ，口) 的尾，u 是( u ，口) 的头如果x 有一圈，其上任一点同时为该圈 上两相邻有向边的头或尾，则称此圈为x 的一个交错圈若x 是两度有 向图，u 是它上两相邻有向边的尾( 头) ，那么最多存在一个交错圈含有这 两条有向边若存在，用d ( 钍) ( ，( u ) ) 表示这个交错圈 容易证明，图x 的全自同构群a ：= a 矗t ( x ) 关于顶点钉的稳定子群 a 可置换地作用在( t ，) 上( 不一定忠实) ，并且x 是弧传递图当且仅当x 是点传递图并对任意u y 僻) ，点稳定子群也作用在( ) 上传递 直观地看，弧传递图具有很强的对称性，点传递图次之于是由图 得到的全自同构群在图对称性研究中扮演着重要角色反之，通过群我 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 8 ) 一些可解群的小度数c o 可f e 耖图 们也容易构造具有一定对称性的图： 设g 是一个有限群，取s g 1 ) ，满足s 。= s ( 这样的s 称为g 的 c a y l e y 子集) 则群g 关于其c a y l e y 子集s 的c a y l e y 图x ：= c a y ( g ，研定 义为： p ( x ) - g ， ie ( x ) = ( 夕，s 夕) l 夕g ，s s ) 由定义易知，( 1 ) g 的单位元1 的邻域( 1 ) = s ；( 2 ) x 连通当且仅当 g = ( s ) ；( 3 ) 由于g 的右正则表示r ( g ) a u t ( x ) ，所以c a y l e y 图都是点传 递图 关于c a y l e y 图，有c i 性，正规性和h a m i l t o n 性三个重要概念： 记群g 的自同构群为a u t ( g ) g 的一个c a y l e y 子集s 如果满足：对 满足c a y ( g ，t ) 竺c a y ( g ，s ) 的任何c a y l e 厅集t 都存在口a u t ( g ) 使伊= e 则称s 为g 的c i 一子集设m 是正整数，一个有限群g 如果它的每个势 不超过m 的c a y l e y 生成子集都是c i 一子集，则称g 为弱仇一c i 一群如果 对每个正整数m i g f g 都是弱m c i 一群，则称g 为弱c i 一群这时g 的 连通c 对1 e y 图之间的同构问题可转化为g 的c a y l e y 生成子集在a u t ( g ) 作 用下的传递问题，这完全是一个群论问题 又记a u t ( g ，s ) ：= q a u t ( g ) is a = s ) 易证r ( g ) a u t ( g ，s ) = r ( g ) a u t ( g ，s ) a u t 伍) ，并且r ( g ) a u t ( g ，s ) = a u t ( x ) 等价于r ( g ) 塑a u t ) ( 见文献【4 】) 此时称c a y l e y 图x ：= c a y ( g ，s ) 关于g 是正规的这说明正规的c a y l e y 图 x ：= c a y ( g ，s ) 的全自同构群a u t 伍) 完全被群g 及其子集s 所决定 设x = ( ve ) 是连通图称x 中的圈为h 锄i l t o n 圈，如果它经过图 的每个顶点恰好一次一个图是否具有h a m i l t o n 圈的问题是图论研究的 重要问题之一，它具有重要的理论意义和实际意义 用群来构造具有较强对称性的图，s a b i d u s s i 给出了另种较c a y l e y 图 更具普遍性的方法： 设g 是一个有限群，t 是其子群，d 是若干个形如t 打( d 垡t ) 的双 陪集的并，满足d 以= d 取顶点集y = 【g ：卵为子群t 在g 中全体右陪 集的集合，边集e = t 9 ，丁由) l 夕g ，d d ) 则图x = ( ke ) 称为g 关 于t 和d 的s a b i d u s s i 陪集图记作x ：= s a b ( g ，d ) 2 广西大学硕士学位论文2 0 0 8 一些誓解群的t 、度数g 8 爹z 8 爹圈 s a b i d u s s i 陪集图已有如下基本性质： ( 1 ) g 的右乘传递置换表示p ( g ) a u t 僻) ，所以s a b i d u s 8 i 陪集图都是 点传递的； ( 2 ) x 的度v 麓) = | d ：z | ，移中含? 酶右陪集静个数； ( 3 ) x 是连通图当且仅当( d ) 一g ； ( 4 ) x 是无向图当且仅当d o = d ； ( 5 ) p ( g ) 在x 的弧集上传递当且仅当移是单个双陪集 接下来我们弓i 入点传递图x 的块图的概念。设y ( x ) 的子集b 是 图自同构群a u x ) 一个菲平凡块，即l 3 为素数) 阶亚循环群的连通4 度c a y l e y 图的 全自同构群结构，并由此得到这类图的c i 性，正规性和弧传递性我们 证明：除一个图外，对于助阶亚循环群的连通4 度c a y i e y 图的全自同构群 的点稳定子群a 。，都有l a 。l 2 ，并且这个例外同构于特殊射影群p s l ( 2 ，7 ) 关于其s y l o w2 一群的一个陪集图作为此结论的推论，我们得出所有印 阶亚循环群都是弱4 一c i 的，而且除上述那个图外，却阶亚循环群的连 通4 度c a y l e y 图正规但不弧传递 4 第三章主要研究连通2 度c a y l e y 有向图的正规性我们证明，有限 2 一群的连通2 度c a y l e y 有向图都是正规的，并且给出了2 印阶群及奇数阶 群的连通2 度c a y l e y 有向图正规的一个充分条件 第四章证明，印阶亚循环群的连通边传递c a y l e y 有向图都存在有向 h a 肛l i l t o n 圈 5 第二章印阶亚循环群的连通4 度c a y l e y 图 2 。1引言 本章研究劬阶是大于3 的素数) 亚循环群g 的连通4 度a 毡y l e y 图 x 。其中最主要地是决定其全自同构群的结构，并由此推出它的c i 性、正 规性和弧传递性。本章的工作要用到单群分类定理。 显然劫阶亚循环群8 的构造如下： g = b ，6l 扩一扩= l ，口一1 玉盘= 矿) ，其中1 r 却，r 3 兰1 ( m o d p ) ( 2 1 ) 若无特殊说明，本章所指的劫阶亚循环群g 均形如( 2 。王) 2 2引理 首先是关于勋阶亚循环群的群岛同构秘连通4 度无向c 盼l e y 图的两 个引理： 引理2 2 。羔【1 2 l 设g 是却阶亚循环群。定义g 到自身畿一个映射 ， q ： ? h 警( 蟛 刚 细) 。 引 6h 舻( o 也没有别 的3 一圈。 ( 2 ) 设过边 1 ，s 有3 一圈 1 ，s ，s s ，s s 一1 l ( s 7 ，s s ) 由8 是p 阶元，则 s ，s ，= s 以亦然，只能，s 同时是3 阶元或同时是p 阶元，但稍加验算又 都不可麓；说明过边 差，s 没有3 一圈。 o ； 下一个引理依据有限单群分类。考察娑5 ，p p 。王2 _ 羔硅】列举的“3 素数单 群”，我们有 引理2 2 3 若g 是含3 个素因子的有限非交换单群，则g 及其阶只有 如下8 种情况； ( 王) a 5 ，阶为2 2 3 ，5 ； ( 2 ) a 6 ，阶为2 3 。3 2 5 ； ( 3 ) p s l ( 2 ，7 ) ，阶为2 3 3 7 ； ( 4 ) p s l ( 2 ，8 ) ，阶为2 3 3 2 7 ； ( 5 ) p s l ( 2 ，1 7 ) ，阶为2 5 3 2 。1 7 ； ( 6 ) p s l ( 3 ，3 ) ，阶为2 4 - 3 3 1 3 ； ( 7 ) 璐u ( 3 ，3 ) ，阶为2 5 3 3 7 ； ( 8 ) 黔u ( 4 ，2 ) ，阶秀2 6 3 4 5 。 口 第四个引理给出陪集匿是e 姆l e y 图的一个条件； 戮瑾2 。2 4 设x ：= s 曲( 甄d ) 是群嚣关于其子群f 的s 曲i d 嘲i 陪集 图若g 是z 在日中的补予群，则s ：= gnd 是g 的c a y l e y 子集，并且 c a 纠e y 图y ：一c a y ( g ，s ) 篡x 证明：由= g t 及gnf = 1 ，知阻：纠中每个右陪集的代表元可唯 一地取宙g 于是v 譬g ，映射矿：夕h 勋泌：司是矿( 聊至y ( x ) 的双 射，并有 萝，9 7 e ( y ) 警垮雪名一1 s = g q d 牟净 殆，您) e ( x ) 。 7 = ：曼塞查叁! 塞兰矍：堡塞塞三墅塞墼：；：= = ：；。：。：一一：= ：三三兰塑：堡矍竺! ：堡垒墅丝：望： 即y 麓x 口 接下来的引理对本文的主要结论是关键的： 驰唾2 。2 。5 设露：= 玛毛( 2 ，砖，雾s y l 2 ( 嚣) 。则存在嚣关于，的连通4 度 无向陪集图x ：一s 鑫b ( 甄d ) ，它癌构于2 薹阶亚循环群的一个连通莲度无 向c a y l e y 图。并且过x 的每个顶点( 即陪集) 恰有两个不共边的3 一圈特 别，在同构意义下，这样的图唯一 证明；容易证明，西= 鹅毛( 2 ，7 ) 是唯一的1 6 8 阶单群，可看作q ：一 g f ( 7 ) u 。o ) 上的8 级2 重传递群，即 zh 竺掣l 姣e ，矗g f ( 7 ) 积一耗：l 。 + 瘿lj 其每个s y l 渊2 一子群( 8 阶) 在q 上正则。此外，露含8 个s y l o w 一子群。每 个8 y l o w7 一子群在q 上有个长为7 的轨道和一个不动点设g 是日的 关于。的点稳定子群，员lg 是l 嚣l 8 2 l 阶亚循环群。取：茹$ + l ， 煲| l 尹= ( o 王2 3 簇g 。荐取g 的一个3 阶元窖，使譬一1 粥一护，则露：髫h2 茹， g 瓣( 1 2 4 ) ( 3 6 5 ) g ，记q ：= 彩8 y 1 3 ( 日) ，：= a k ( 妫出于冒含2 8 个s y l 。1 w 3 一子群，所以i l = 例2 8 6 取的一个对合r ，它无不动点( 否贝它含 予2 羔阶的点稳定子群) ，必互交q 的两个不动点和两个长为3 的轨道。再 电器不含6 阶元，知r 秒一窖，于是r 一( o o o ) ( 王5 ) ( 2 8 ) ( 3 4 ) ，嚣i 尹：茹h5 加。 由于2 。3 7ll 饥g ，r ) f ，而日无指数整除4 的真子群，只能( p ，口，r ) 一h 取 r l ：一矿= ( 0 3 ) ( 羔4 ) ( 5 6 ) ( 2 。) 。直接验算知r ：一杌r 1 ) 是嚣的一个s y l o w2 一子 群，并且豆关于? 的双陪集分勰为 露= ? u 勋r u 勖一1 f u 聊u 殛一1 z u 勖3 z 其中，陬t l l 功_ 1 l = 1 6 ，| 功t l = l 翰以f l = 3 2 ，l 功3 ，l 一6 4 令d = ，垡少ol 1 譬炎l d ) = 甄| 移：r | = 莲，移一1 = d ，从蔼x ：= s a b ( ，正d ) 是连通4 度无向陪集图根据引理2 2 4 ，x 同构于t 在尉中的 补子群g 的连通4 度c a y l e y 图y ：一c a y ( g ，g n d ) ，其中g n d = g ，g ，p 一1 霉，彗1 p 由两对互逆3 阶元组成由引理2 。2 2 ，过g a y l e y 图y 的每个顶点譬恰有两 个不共边的3 匿：治，裙，g 越寥，疵函，p 。够，窖。粥，雪j 从丽图x 的每个顶点 也恰有两个不共边的3 一圈 定 然而关于丁的其它双陪集聊和砌一1 r 分剃不自逆，而唧3 r 却 含有8 个? 的单陪集，都不能与r 构成嚣的连通4 度无向陪集图 最后由于日的s y l o w2 一子群彼此共轭，所以日关于其它s y l o w2 一子 群的连通4 度无向陪集图均与x 同构，唯一性得证 a 零 理2 2 6 设x 是点传递图，日是a ：= a u t ( x ) 的传递子群，甄是 嚣关于移y ( x ) 的点稳定予群，并记d = 是嚣| 0 ，护 e ( x ) 则 ( 1 ) d 是若干个鼠的双陪集的并； ( 2 ) x 同构于日关于耽与d 的陪集圈y ：一s a b ( e 凰，d ) 证明： ( 1 ) 只需证，若毳d ，则鼠忽鼠g d 事实上， v ，至毛，由 秽，譬如7 = 鬈，移 一 移，移 ) 酽e ( x ) ，基p 7 庇危d ( 2 ) 先定义y 僻) 一y ( y ) = 阻：风】的映射仃：由于好在y ) 上传 递，y 僻) 一，令莎：铲h 甄是，磊叛易证拶是良定义的一一映射 往证把图x 的边映成陪集图y 的边事实上，由 1 h ，勘 7 ) e ( x ) = 争 训，口h 川) 刀( x ) 车= 争 一1 d 牟= 争 凰九，层j ) 曰( y ) 得证 口 引理2 2 7 设x ：= c a y ( g ，s ) 是群g 关于s 的c a y l e y 图若a ：= a m ) 作用在y ) 土非拟本原，即存在a 非平凡且非传递正规子群照爱l j 包 含l 的一轨道8 ：= l 是g 的子群，并且块图妇是g 关于其予群 b 和双陪集的并刀：召s b 的陪集图s a b ( g ，b ，d ) ，特别，任取s s 廖，则 露，8 s ，露( 赫) 。 证明：为证暑是g 的子群，必需证雪关于乘法封闭任取6 = l 摊，= l b ，其中，m 则存在m ，使扫。= l 竹= l 佣( 6 ，) 一l r ( 胁= ( 1 r ) ) m = 6 胁= ( 1 竹) m 一1 竹m b ，即得晨g ， 至于其它块，出于都是一轨道，形如矿，其中岔- g 从而= ( 1 r ( 曲) = l r ( 妒) 一l 的) = ( 羔) 昱o ) = 虽鼬) = 露譬是b 的某个右陪集 再由 b 9 ，b 9 7 ) 曰( ) 令j6 ，6 ，b ， 的，6 7 9 7 ) e ( x ) 冷l6 ，6 ， 嚣，( 的，) ( 6 夕) 一1 s 车= 争幽王b s 8 = d = 睁 露夕，b 夕7 露( s a b ( g ，君，d ) ) ， 鼐商一s 8 b ( g ，b ，d ) 。 9 广西火学硕出学位论文( 2 0 0 8 )一些呵解群的小度敷c n z e 箩辫 最后，由1 b ，s b 8 b 及 1 ，s ) 曰( x ) ，即得 b ，b s ) e ( 轴) 口 引理2 2 8 【2 6 1 设x ：= c a y ( g ，s ) 是群g 关于s 的c a y l e y 图，记a l 是1 _ 在a ：= a 戚) 中的点稳定子如果s ) = q 并且麓l 在s 上作餍的每个 轨道长都小于l g l 的最小素因子，则s 是c j 一子集。 口 最后一个萼f 理在c a y l e y 图研究中是众所周知的。 引理2 。2 。9 设x ：一c 8 y ( g ，s ) 是有限群g 的度数不超过4 的连通c 铲 l e y 图，则x 的全自同构群a ：= a u t ( x ) 关于g 的单位元1 的点稳定子群a l 的阶不含大于3 的索因子，即 a z l 一2 证明：反证设有大于3 的素数plf a l l ，并设口是a ，的一个p 阶元由于 矧 = s n 嚣口， n ，s 一1 ) = s n b a 一，构成髯的完全块系，因此 髯含予对合8 ，8 一t ) s ，s 。) 与( 岛s ) ( 8 ，s 。) 生成的4 阶初等交换2 一群。 往证对合( 口，a _ 1 ) ( s ，s _ 1 ) 垡髯，就有l a f l l a l l = l a ：冗( g ) l 2 。 反证，即假设有a a 。包含对换( a ，q _ 1 ) 和( s ，s 以) ，则四= g 不妨设8 = 施，则$ b l 一( 阮) 8 1 = 6 。并且当奄 王，2 ，一王 时，露凸 中与l 距离为2 七的点为( s n _ 1 ) 七一铲；同理，由8 以。一) “o = 6 一，圈q 中与1 距离为2 后的点为( s q 口) 免一6 一h 从而口含对换( 铲，6 一鼢) 分别取惫= 王和p 一为知众含对换( 6 ，刍叶) 和( 6 一，扩) ，导致6 = 扩，不可 说明对合( 珏_ 1 ) ( s ，s - 1 ) 碧a 拿，即得 a l = l a l = l a ：冗( g ) 2 。 口 定理2 。3 3 设x ：= e 锣( g ，聊是勋阶亚循环群g 的连通4 度无向c 醪l e y 图， a ：= a u t ( x ) 如果p 7 ，则i 以1 i l a ：r ( g ) i 鬟2 证明：由引理2 3 1 ，川= 2 印，这时若a 不可解，则a 的主因子中只能有 一个是阶为印的3 素数单群，由引理2 2 3 立得p = 5 或7 ，与p 7 以及没 有1 5 阶亚循环群褶矛盾所以a 可鹪，再豳定理2 。3 。2 嚣i 得| a ：嚣( g 粥2 。 口 推论2 。3 4 条件同定理2 。3 。3 ，则x 正规但不弧传递 a 毒引理2 2 。王易知，印阶亚循环群g 的所有逆封闭4 元生成子集构成 的集合在群同构a u t ( g ) 作用下只有两个轨道，代表元分别为h 旷1 ，6 ，6 1 ， 和 m 帆 眠+ l l ，使得 - k g ，j v ；+ 1 g 薹。当坂+ ，一l 时，由a 可鳃可知，主医子瓤l g 为初等交换群， 从而g 也交换，由引理3 2 。6 ，知x 正规。 2 当肌+ ，1 时，眠+ 。作用在y 僻) = g 必不传递否则，若眠+ - 作 用在y ) = g 传递，员| j 有| g a k t | 寺存在正整数s ，使得| 甄+ l | = s 蚓。 由饿“盖兮l 吼一= 粼= 器器| 冷焉旧 丽了譬 1 一l 兮g g 门妖+ l 净越+ i g ，矛盾。出+ l 是蠢的非平凡 的正规子群得，帆+ ，的轨道集艿= 岛，岛，岛 构成a 的一个完全块 系，其中他= 篇考虑块图别召此时有v a l ( 别召) 一1 或2 + 情形( 1 ) ：( x 廖) = 1 此时可8 是个有向圈，其全自同构群a u t ( 列艿) = 。先设块中含有边，这时任一块最的导盘子图度数为l ，且对任意两稆 邻块最和岛，它们之间是完全匹配，则x 中点u 在眠+ t 中的点稳定子群 ( 肌+ ，) 也稳定点u 的邻域溉( 御) 中的每个点，由x 的连通性知( 帆+ t ) = 1 ， 墨域+ l 半正猁，从而| 地+ l | = | 最| 一粤这时，由盖甄+ l a 鬣( 耐鳓一 号l 帆，1 露= l g l 冷a 一赋g ) 。以下假定块中无边，于是任意两楣 邻块取和马之间的导出子图慨u 马】都为2 度图且必为若干个交错圈 的并v 鬟，不妨设l 岛，( b l ，如) 层( 科移) ，则口点型稳定单位元l 出发的交错圈0 ( 1 ) 任取点锃go ( 王) 门岛，由，_ 1 e ) 墅g ，经简单验算易知 薹8 广西大学硕士学位论文( 2 0 0 8 )一些可解群的小度数c o y f e y 图 i d ( 1 ) n o ( u ) i = d ( ，- 1 e ) 3 ，从而盯点型稳定交错圈d ( 让) 由x 的传递性和 连通性，知盯点型稳定x 中的每个交错圈，即仃稳定x 中所有的点，从 而口= 1 辛a ；= 1 ，由引理3 2 2 ，知x 正规 情形( 2 ) ：v a l ( 州8 ) = 2 此时任意两相邻块鼠和马之间的导出子图 限u 马】是完全匹配，应用与情形( 1 ) 中同样的推理，得眠+ 。半正则，从 而叫啪l = 导这样由l g i = 渊辛揣南i 2 f 号 i 肌+ 1 i = i g n 七+ l l 净帆+ 1 = g n 帆+ 1 辛肌+ 1cg 由g 帆+ 1 肌帆+ l 可 知，g 胍+ ，交换且传递地作用在召上，从而g 帆+ 。作用在b 上正则因 为g 肌+ 1 a 肌+ l a u t ( 别召) ，由引理3 2 4 知驯日垒c a y ( g 帆+ 1 ，君) ，其 中同= 2 且g 肌+ l = ( 劢由g 帆+ - 交换及引理3 2 6 ，知c a y ( g 帆+ l ，琴) 正规，从而f a 肌+ l l l a u t ( x 8 ) i 2 i g 帆+ l i = 2 佗号川i 肌+ l i 2 佗= 2 l g i = 争r ( g ) 曼a 1 9 口 第四章印阶亚循环群的连通c a y l e y 有向图 4 1引言 的h a m i l t o n 性 本章主要研究卵阶非交换群的连通c a y l e y 有向图的h a m i l t o n 性 对于印，p g ，锄，3 _ 粥，基嬲，p g r 阶群，它们的无向c 毳y l e y 图都存在h 8 髓l t o n 圈；( 见文献1 3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 0 】) 。然面，对于有向c 8 y l e y 图的珏黼i l 乞。珏 性问题，这方面的结果还很少见 事实上，要证明连通有向g a y l e y 图有有向的嚣删1 t o 致鬻是十分困难 的，我们知道：若连通有良c a y 蛔图存在有向疆蝴i l 毛。珏圈，则它的基础无 向图必存在h 黝i t o n 圈，反之却不成立容易举出例子说明：一个有向 c a y l e y 圈不存在有向壬 a n 矗l 屯o n 圈，但它的基础无向图却可能存在h a m i l t o n 圈例如：设g 巍8 ，鑫) 是1 5 阶群，其中口为3 阶元，各为5 阶元，s k6 贝l jc 口掣( g ，s ) 不存在有向m 衄i l t o n 圈，但它的基础无向图却存在h a m i l t o n 圈 本章证明印阶非交换群的连通边传递g a y l e y 有向图都存在有向嚣蝴诳 t o n 圈( 本节中g ，p 均为奇素数) 4 2引理 下面的几个引理给出印阶亚循环群的一些结论： 引理莲2 。lf 2 6 1 设g 是移阶非交换群，印熊臻，务l 酽= 驴一l ，矿1 6 秽扩，其 中l r 筘，r 缝王( 瑚d 爹) 则 望查兰堡查兰堡笙墨f ! 塑曼i二兰! 整堑塑：! ：垒整g ! 壑兰鬻墨 ( 1 ) 矿= r ； ( 2 ) ( t 驴t ) ( ) 一毋“矗r l ， ； ( 3 ) 一( 6 ) ； ( 4 ) ( ) 奄= 惫扩= ； ( 5 ) d ( ) = g 反之，g 中所有口阶元素均形如 其中l = l ，2 ，3 ，g l ；t l = o ，l ，2 ，g l ；杰五= o ，l ，2 ，3 ，p l ；奄一l ，2 ，3 ，。口 引理4 2 21 2 6 】条件同上，则不存在。映到口扩 = 2 ，g l ；钳= o ，1 ，p 一1 ) 的群自同构映射 o 引理4 2 3 条件同上，若s = n ，舶) ，其中2 i g 一1 则连通c a y l e y 图 c a y ( g ，s ) 于g 是正规的 证明：由g = ( s ) ，知x = c a y ( g ，s ) 是一个连通c a y l e y 图 ( 1 ) 先证明这样一个事实：过l 有且只有两个有向g 一圈：( 1 一娃一 口2 一。秘譬一1 一1 ) ，( i 一6 一( 6 ) 2 一( 6 ) 譬一1 一1 ) 往证：若s l s 2 s 口= 1 ，8 s ，i l ，2 ，口则s l s 2 = = s 4 设s ，z = l ，2 ，垡中有z 个取 癌，譬一茹个取。由嚣l s 2 魏一圭及引理4 。2 。圭易得。q 。) 注o ( m o d 办有 蓟一“一1 ) z 黧o ( m o dg ) ，即( i 1 ) z 兰o ( m o d 口) ，推出口i z 或口k 一1 ，又2 q 一1 ， 从丽g | 。，即。= o 或热从而s l = s 2 = = ( 2 ) 再证明a l 忠实地作用在s 上往证：对任意的口a 珏t ( x ) 及任 意的。y ) ，若如且点型稳定鼢，则盯点型稳定s 2 。由( 1 ) 知过 王有且只有两个有向g 一匿：( 王一窈一萨。一萨一熏) ，( 王一参一( 彩6 ) 2 一 一( 6 ) 一1 ) 又x 是点传递图，所以过z 也有且只有两个有向g 一圈： 谚一( 嚣一黜一8 2 z 一一酽一1 9 一嚣) ，q 一( 一酝一( 6 ) 2 髫一一( 磅g 一1 0 一茹) 。 因为矿如且点型稳定，即茹仃= z ，( o 笫) 玎= a 茹，( k ) = 如，所 以盯集型稳定s 口。，s 妇，即 口2 z ，阮 盯= 舻。，6 g 髫 ，f 口盘如，( 粕) 2 z l = 蔚k ，( 分砖2 茹 ，虽点型稳定有向圈q ，国，有( 8 2 。) 矿= 8 2 茹，( ( 粕) 2 9 广一 ( 盘6 ) 2 ，从而( 6 0 z ) 盯二a 6 a z ，( n o k ) 一口0 t k ，因此盯点型稳定s 2 $ 这样由 。的任意性及x 的连通性，可以归纳地证明对任意的拶羹，且莎点型稳 定墨则仃稳定y ( x ) 中的每一点从而说明= 1 ，即a 1 忠实地作用在s 上，因此a l 同构于岛的一个子群，从而l a ：冗( g ) l 2 ，有r ( g ) 璺a ，即 g a y ( g ，固于g 是正规的 2 l 口 广西大学硕垂学位论文( 2 0 0 8 )一些可解群的小度数( e 秽溺 4 3主要结论 定理4 3 1 印阶非交换群上的每个连通边传递c a y l e y 有向图都有有向 的壬薹a m i l t o n 圈 证明：设g 是鲫阶非交换群，即g 一孙xz 口= ( a ，6l 印= 驴一1n 一1 6 口= 6 r ) ， 其中l 邻，r 唆王( m 。dp ) 由g 非交换得，鼋| p 1 设s 是g 的极小生成 子集，则g = s 且| s | = 2 ，因此x ：一c a y ( g ，s ) 是一个连通c 鑫y l e y 图以 下分两种情况完成证明： ( 1 ) 若s 中含1 个p 阶元和1 个g 阶元，不妨设s 一 口，6 ，侧此时存 在有向h 臧毪o n 圈为： 1 一( a 一6 0 一6 2 。一一6 矽一1 0 ) 一一( 位驴。o 一6 盘矽_ l a 一护- l 如铲一1 8 = ( 驴越8 ) 2 ) 一一囊( 矽1 8 ) 2 一魄( 驴q 8 ) 2 一矽。8 ( 垆_ l 臻) 2 = ( 酽_ 1 8 ) 3 ) 一一( a ( 泸_ 1 口) 口一6 8 ( 妒q 口) g 一泸- l a ( 妒- 1 n ) 尊_ l = ( 泸- l a ) 9 = 1 ) 事实上，在此有向圈中，同一括号内的元素显然彼此不同，并照宣予群舂 的某个右陪