（基础数学专业论文）外代数上复杂度为1的不可分解koszul模的表示矩阵.pdf

外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 摘要 。(i了莩；i三j。i。 c ， 硕士学位论文 0 0 0 6 o ： o6 凸 (。6誊l二!：b。c卑， o60 0c0 0 n600c o 0 ： c o6 a 关键词：外代数，k o s z u l 模，极小投射分解，复杂度，表示矩阵 外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 a b s t r a c t e x t e r i o ra l g e b r a sa r ea l g e b r a sw i t hs t r o n g 印p l i c a t i o nb a c k g r o u i l d i tc a nb e u s e di ns t u d y i n gc o m m u t a t i v ea l g e b r a sa n dc o h e r e n ts h e a v ec a t e g o r i e so 、他rp r 伊 j e c t i v es p a u c e b u tw eh a v e n ts e e n as y s t e m a t i cs t u d yo fi t sr e p r e s e n t a t i o nt h e _ o r y r ，e c e n t l yg u oj i ny u na n d e i s e n b u dh a v ed e s c r i b e dt h ei n d e c o m p o s a b l em o d u l e 8 o fc o m p l e x i t yo n eo v e re 斌e r i o ra l g e b r a sr e s p e c t i v e l y ( 【1 】【2 ) ，s t a r t i n gt h es t u d y i n go f i t sr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y s u p p o s et h a 土t h eg r o u n df i e l dki sa l g e b r 缸c a u yc l o s e d i fm i sa ni n d e c o m p 0 8 - a b l es h i f tk o s z u lm o d u l eo fc o m p l e x i t yo n eo v e re x t e r i o ra l g e b r a ，t h e nmh a sa r e p r e s e n t a t i o nm a t r i xo ft h ef o r m (。c；：了莩；i：-三!ai，。c， i n 【1 】，e i s e n b u da r o s eap r o b l e m ：i ft h eh o m o g e n e o u sm a t r i c e sa si nt h e o r e m 3 3 ( 【l 】) ( ) t h a ts q u a r et oz e r o ，w h a ti st h er e l a t i o l l s h i pa m o n gt h ee n t r i e so ft h em a t r i ) ( ? i n t h i sp a p e rw es t u d yt h ep r e s e i l t a t i o nm a t r i xo ft h ei n d e c o m p o s a b l ek o s z u l m o d u l eo fc o m p l e x i t yo n eo v e re x t e r i o ra l g e b r a w 色d e s c r i b et h ep r e s e n t a t i o nm a t r i x o fmi ns p a c ew i t hl o w e r l e v e l sa n da n s w e rt h eq u e s t i o na r o s eb ye i s e n b u dp a r t l y l e tkb ea n 出g e b r a l i c a u yc l o s e df i e l d vb ea nm - d i m e l l s i o n a l l i n e a rs p a u c eo v e r k ，人= 八yb et h ee ) ( 七e r i o r 以g e b r ao 、r e rv mb eai n d e c o m p o s a b l ek o s z u lam o d u l e o fc o m p l e ) 【i t yo n e ，a n dw ea s s u m e _ s a 【t 】乌_ s 人【2 乌s a 1 】乌s 人 o 】乌m _ o i sam i n i m a lp r o j e c t i v er e s 0 1 u t i o no fm w bd i s c u s st h em a t r i xo f a n d ，2 ，a n dw e h a v et h ef 0 1 l o w i n gm a i nt h e o r e m s i i i 硕士学位论文 t h e o r e m3 1 ：l e tvb ea2 一d i m e n s i o n a ll i n e a rs p a c eo v e rk ，f o ri = o ，1 ，2 ，c h o o s - i n gt h eb a s i so fs ahs u i t a b l y ，t h e nt h e r ee ) ( i s t1 i n e 甜l yi n d e p e n d e n te l e m e n t sa ，bi n vs u c ht h a tt h ee o r r e s p o n d i n gm a t r i ) ( o f ，如h a 聪乞h ef d l l o 哦n gf o r m s ： 口60 o o6 0 o6 o s s t h e o r e m3 2 ：l e tvb ea3 一d i m e n s i o n a l l i n e a rs p a c eo v e rk ，c h o o s i n g 七h e b a s i so fs a 嘲s u i t a b l y ，仁o ，l ，t h e nt h e r ee x i s “i n e a r l yi n d e p e n d e n te l e m e n t sa ，b ，ci n vs u c ht h a tt h ec o r r e s p o n d i n gm a t r i xo f h a st h ef o l l o w i n gf o r m 0 1 s q 2 s o 岛s 一1 b 0 w h e r eo 可l ( 6 ，c ) ，z 歹一1 ，后，l i s 一1 s s ( ) t h e o r e m3 3 ：l e tvb ea3 _ d i m e n s i o n a l l i n e a rs p a c eo v e rk ，c h o o s i n gt h e b a s i so fs a 嘲s u i t a b l y 仁o ，1 ，a e c o r d i n gt ot h e o r e m3 2 ，t h er e p r e s e n t a t i o nm a t r i ) ( o fmh a st h ef o r m d e n o t i n go 巧= b 6 + 磅c o ，6 ，ci si n d e p e n d e n te l e m e n t si n v i fo t ，件1 of o ri = 1 ，s 一1 ，a n dt h a tt h e 丘r s te l e m e n ta m o n g 磅i s n to b e 尼0 ，c h a n g i n gt h eb a s e so f s a 【o ，s a f l a n ds a 【2 ，t h e nt h em a t r 呔o f h a st h e f o l l o w i n gf o r m i v 、j _ m 娩 b h o 0 o ，。一 外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 o 0 c o ： c ： 口6 o sxs k e y 、o r d s ： e x t e r i o ra l g e b r a ，k o s z u lm o d u l e ，m i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o n ，c o m p l e 妇t y ，r e p r e s e n t a t i o nm a t r 波 v c 0 0 o o 6 6 o n u o 0 外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z l l l 模的表示矩阵 第一章引言 外代数，也称交错代数或g r a s s m a n n 代数，是g r a s s m a n n 在1 9 世纪4 0 年代发现的定义在一个向量空间v 上的代数设v 是域k 上的向量空 间，t ( y ) = 尼oy + ( yoy ) o 是v 的张量代数，向量空间v 上的外代数 定义为人= 人( y ) = t ( y ) ，其中，为由 zoz l z y ) 所生成的理想，若取 口，忱，为v 的一个基，则人= 八y = o 罂。凡是个分次代数，其中凡为 以 。1 1 歹t 如 o ，且出m p ( m ) a 产对几乎所有的t 均成立的最小的数d ， a = 蔷九称为分次代数，若对任意的i ，歹，a t 人州m = 墨。尬 称为分次a 一模，若对任意的i ，歹，a ；坞尬协 对于任意整数n ，定义移位模m m = 墨。蟛，其中心= 尬+ n 如果 m ，是两个分次模，o 是一个确定的数，如果，是m 到使得，( a 名) c p + 。的态射，则称，为一个口次态射 用仇o da 表示有限生成的分次a 一模范畴，对象集为有限生成的分 次人一模全体，态射为。次模同态一个模m = 芒。舰称为t o 次生成 外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 的，若存在t o ，当t t o 时尬= o ，且m = 人尬。 考虑m 的投射分解_ p t ( m ) 一p 2 ( m ) 乌p 1 ( m ) 马p 0 ( m ) 乌 m _ o ，若有，m r p h ( m ) ，则称此分解为极小投射分解若m 是由i 次 生成的，有如上的投射分解，且p ( m ) ( o ) 为t + i 次生成的投射模，则说 m 有线性分解；若m 为。次生成的且m 有线性分解，则称m 为k o s z u l 模 由定义可知，k o s z u l 模的线性投射分解是它的极小投射分解如果代数人 的零次单模都是k o s z u l 的，则称人为k o s z u l 代数 在本文中，我们假定k 是一个代数闭域，v 是k 上的m 维向量空间， 人= y 是指v 上的外代数m 是外代数上的复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模 最近，我们和e i s e n b u d 分别用不同的方法刻画了外代数上复杂度为1 的不可分解模我们采用经典的表示论方法，即考虑模的极小投射分解中 的第一个映射对应矩阵的标准形，而e i s e n b u d 主要是采用的交换代数的方 法这些结果部分的推广了遗传代数表示论中管范畴的理论，证明了一个 m 维空间的外代数上的每一个复杂度为1 的k o s z u l 模有复杂度为l 的循 环k o s z u l 模作为滤链且他们位于a r 箭图的齐次管簇上，这样的管簇共有 p m 个正交簇( 2 1 】) ；郭，李和吴还证明了每一个簇可等价于一个m 一1 个 元的多项式环上的有限维局部幂零模范畴( 【2 2 】) 表示矩阵对于确定模的结构无疑是十分重要的若人是一个代数，a 上投射模的态射范畴记为m d 叩 泸( a ) ) ，其对象为投射模之间的态射，： _ p l _ 岛，两个对象，到厂的态射为使得下图交换的同态对( 9 t ，夕2 ) ， p 1 上 马 ， 上夕1、【眈 爿 三 足 其中吼：只_ 曩，t = 1 ，2 是人一模同态，于是c d 七e r ：m d r p ( p ( a ) ) _ 一3 一u 硕士学位论文 (。(；2享ii二；掌。)。口巧y c ， 外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 0 0 6 0 。 ： a6 口 的形式这与k r 帆e c 后e r 矩阵对的分类的相应结果是一致的( 1 9 】) ，它正好 对应一个齐次管上的一个正则模 当出m 七v = 3 时，我们证明，存在v 中线性无关的元素口，6 ，c 使得适当 p ：6 的形式，其中o o k 对i 歹一1 ，尼，1 i s 一1 ，l ( 6 ，c ) ， 即b 与c 张成的子空间这部分的解决了e i s e n b u d 所提出的问题，当 d i m * y = 3 时，即齐次矩阵( ) 平方为。的必要条件是对角线上的一斜行 即元素口l ，1 s 一1 全部为蛐即对1 i ，j s ，吼，州，j + 1 = o 在上述的基础上，若假设都不为o ，记o t ，j = 乜，j 6 + 联，c ，若有2 j s ， 使得危i ，o ，同样利用q = o ，进行矩阵的行列变换即改变s a h 江o ，1 ，2 的基，则 的矩阵“具有 一5 6 0 n u 口 ，。一 硕士学位论文 的形式。 一6 一 口6 0 o 0 c 0 c c 0 0 o 0 6 6 n n u o 0 外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 第二章一预备知识 我们需要下面的引理： 引理2 1 ：设忍是代数闭域且t ，1 ，u 2 ，仇是v 中t 个线性无关的元 素，已，& 是v 中的t 个元素，若在外代数八y 中有名。仇& = o ，则& 在由 。，忱，仇所张成的v 的子空间中 证明：见 2 】0 2 5 】中引入了层维数向量与l o e w y 矩阵的概念 设人= 兰。屯为分次代数，a o 垡& o o & ， & 1 1 i 几) 为人上 的互不同构的单模，则任意有限生成的a 模均有合成列：o = 珥冬尬 = m 用m t 表示 坞一，坞1 1 歹r ) 中同构于鼠的个数定义 d i m m = 沏l j 一，m 。) 设人= o 罢o a m 为幻次生成的有限生成分次人模， 若m 无投射模作为直和项，则r m m = o ，且m = 诋+ 舰0 + l + + 帆+ m _ 1 自入射代数上的模m 的层维数向量定义为( 【2 5 ) 胁m = ( 要h 銎， 三= ( 辜。暑l 萋 凇5 中证明如果m 是k 。s 砌模， 一7 一 硕士学位论文 则胁m 甜m = f 垅m m 设一=，1 m 为m 维列向量，则 ，是m 维列向量空间的基，从而人上的任意k o s z u l 模的层维数向 量可由忱，线性表示 引理2 2 ：设v 为k 上的m 维线性空间，人为v 上的外代数，m 为复杂 度为1 的不可分解k o s z u l 模，则存在常数s 使m 有极小投射分解 s a 嘲_ _ s 人 1 _ s a o 】_ m _ o ，且t o 证明：由 2 7 】，是复杂度为t 的循环k o s z u l 模的维数向量，从而对充 分大的t ，有l i m 窘= 钉：o 为非零的常向量于是若f d i m m = q m ，而 o = 1 i o 为使a ；o 的最小的下标则j i m 量譬华= 意j i m 静= a ；m 从而 l - + 一1 c _ c ( m ) = i o ，由于c ( m ) = 1 ，于是i o = 1 ，从而2 出m m = q 哟由于胁m m 的 分量皆为正整数，于是q = s 又 。= ”，对所有的t 成立，于是m 的极 小投射分解中的第t 项共有q 个直和项，由于m 为k o s z u f 模，因而它为 q a 嘲= s a 嘲n 由引理2 2 ，我们知道复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模对应的极小投 射分解为一s a 嘲乌_ s 人 2 】鸟s a 【l 】乌s a 【o 】乌m _ o 我们分别取 定s a 嘲与s 人p 一1 的基e ( t e 9 与e _ 1 ) e g - 1 因为，t ( e s a 陋一l 】， 一8 1斧l o ；o 外代数上复杂度为l 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 所以可以设五( e 由( 1 ) 有 ， = 吕；。n 珍e 5 t - 1 o i 望 谢 o 要 所以有 。镥 迸 口绺 。警 。芸 口嚣 e ( t 1 ) e - 1 ) e 擎1 )( 1 ) 的矩阵，其中a 。称为m 的表示矩 ) 是s a 吲中的t 次齐次元素，而 e r 齐次 白e ， ( 由于p 中元素属于后，且 ，( 元素故o g 人1 = kl i ，j s 由于 ) i l z ) 。e 擎“，则存在元素属于七的可逆矩阵p ，使得 = p ( i 妻i ) p ( i 至；) ，= a t ( ：i萎i，=p一1at( e _ 1 e _ 1 ! e g 一 所以对矩阵a 进行行变换相当于改变s 人 纠的基，而对矩阵a 。进行列变 换相当于改变s a 陋一1 】的基 取定s a m 的基为蹦“ 1 冬i s ) ，佗= t 一1 ，+ 1 且五， + 1 对应的矩阵分 一9 一 是廿 阵 、l， ! l p2ps e e e ，。一 、，、， 1 l 一 一 抟12 e e o 毋 l 为a t ，a 件1 ，贝0 ，t + l 应的矩阵为 1 ) a + 1 a 一个矩阵a = e + 1 ) 口1 1口1 2 n 2 l0 2 2 0 1吼2 硕士学位论文 0 n 0 2 t n “ 口廿1 ) o 豺1 )g 彗1 ) ( ! 萋i ) = 故 + ，对 称为是不可分解的，若a 经过初等 行和列变换后a 不能写成形如( 毛1 三) 的对角块的形式根据定义我 们很容易看出一个模是不可分解的当且仅当其在某组基下的表示矩阵不 可分解 引理2 3 ：设矩阵a 为，其中o 口vo 玎 n t l vt 歹，若a 不可分解，则矩阵a 的第i 行或第i 列中非对角的元素至少 有一个与口是线性无关的 证明：反设矩阵a 的第i 行和第i 列中每一个元与。线性相关，则 1 i 一1 ，对g = 1 n i ，用矩阵a 的第p 行减去第i 行的适倍数，再用第 1 0 p = i + q ”u h 时知 0 0 l 件2西 ” 0 也 0 d n 0 、llliilj， i 一 一 一 0 1 2 s e e e ，。一 、l b 鼢 0 口 0 、j、j l l + + p l 0 2 e e 叶b 孙 n o d d 叶：拢 0 0 ” d 时n 组 0 0 驰 0 件2趣 l 件。霹 、l7 n n ； 口 吼o 0 口 ，f-_-illiiillli、 外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 列减去第i 列的适当倍数，则矩阵a 化为 交换1 ，i 行以及交换1 ，i 列后矩阵a 为 与矩阵a 不可分解矛盾，所以假设不成立所以a 的第i 行或第j 列中至 少有一个与口是线性无关的0 引理2 4 ：人= 八y 是向量空间v 上的外代数，a 。，a 2 为不可分解矩阵， 且是以向量空间v 中的元素为元素的有相等对角元口的上三角矩阵，满 足a 。a 。= o ，则适当的对a 。作行变换和对a 。作列变换可使两个矩阵相 等 证明：对矩阵的阶数进行归纳证明 当1 = l 时，设a 1 = ( 口) ，a 2 = ( 6 ) ，a 2 a 1 = o ，所以0 6 = o 由引理2 1 ，6 为口的 倍数，从而可在a 。的列乘上适当的倍数使得a 。= 4 。 设对阶为s l 的矩阵引理成立 当z = s 时，由归纳假设可设a z 为( 吾三) ，a t 为( 吾：) 为a 2 a 1 = o ， 。 l ，所以有 ； 乱翰 o 凸 + + t 1 ) ) u 印 0 0 0 0 o 0 o 0 1 1 一 一 1 1 、j 、j 即 0 0 口 o 2 钆o o 0 0 0 0 0 咽 小o 、_、 m ? ：m l 厂 ， 7 o = 4 0 7 、li二_17l、 口 矗已孓a o ，一，、 | | = 且 即 硕士学位论文 ( 1 ) q 口= o ，q = 忌o ，七七，由于矩阵a 2 不可分解，所以q o ，七o ，将a 2 的s 行乘上适当的倍数有q = o ( 2 ) a ，y + n = o 对其采用逆向归纳法， 当f = s 一1 时，有口一。+ 已一。o = o ，将a 。的s 行的适当的倍数加到s 一1 行，a 的s 一1 列的适当的倍数加到s 列，使得“6 一，的线性表达式中 口的系数为o ，则得仉一。= 已一， 设1 2 s 一1 时，已有6 = 饥 当f _ 1 时，有0 7 1 + 0 1 2 已+ + 口1 p l 已一1 + l o = o ，由归纳假设有，矗= 饥，1 f s 一1 ，所以有n 7 1 + 0 1 2 已+ + 口1 t 5 _ l 岛一l + l o = o 将a 2 的s 行的适当 的倍数加到第i 行，使得已的线性表达式中。的系数为o ，( 1 i s 1 ) ， 对a 。作列变换，使得7 。的线性表达式中。的系数为o ，所以，y t = ，所以 7 一，所以a l = a 2 0 由引理2 4 ，有下面的推论： 推论2 1 ：m 是外代数人上的复杂度为l 的不可分解k o s z u l 模，m 有极 小投射分解_ s 人【t 】幺_ s a 2 】乌s a 1 】乌s a 【o 】乌m _ o ，若对 江o ，1 ，2 ，适当的选择s 衅】的基，可使得 和，2 对应的矩阵为4 - = a z 0 外代数上复杂度为l 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 第三章模的表示矩阵 引理3 1 ：若疵m y = 2 ，人= 八y 是向量空间v 上的外代数，a l ，a 2 为不 可分解矩阵，且是以向量空间v 中的元素为元素的有相等对角元。的上 三角矩阵，满足a ：a 。= o ，则适当的对a 。作行变换和对a 。作列变换可使 a 。，a 。具有形式 0 00 6o ： o6 n q ，6 是v 中线性无关的元素 证明：对矩阵的阶数s 作归纳法， 当s = 1 时，由引理2 4 ，a ，a 。已经具有引理要求的形式 设阶数为s l 时，a 。，a 。的矩阵已经具有引理要求的形式 当矩阵的阶数为s 时i 自归纳假设 可设m 绷u ( 言黔( 言 肌= 巨 风= 吼= 0 7 = ( ，) ，g ，= g z = c 。， 0 o 6 0 。 ： o6 o ，将a 。的i 列的适当的倍数加到 s 列，使得只与b 线性相关，将a 。的s 行的适当的倍数加到第i 列，使得 7 只与b 线性相关。t s 一所以a 。a = ( 言戛) ( 言善，) = 硕士学位论文 f ，岛皿三，? g ，、：o 特别最后一列为o ，因而 o g 2 g l 一 凰+ 7 g l = o6o 0 口6 o 0 所以有心一l + 一l 口= o ， 。一1 = k 一1 6 一般地对于岛+ ，y g l 所 口6 o ( 5 一1 ) 扣一1 ) ( 主。) + ( i 。) 。= 。 以一l = 已一1 心一2 + 蚝一l + 一2 0 = 0 ， 中的( i ，1 ) 元素，有心+ 崦+ 1 + m n = o ， 后t + 1 6 ，仉= & ，1 i s 一1所以a l = a 2 为 七1 6 七2 6 n 七3 一1 6 o s 3 所以 所以乳。 将a ，中i 列的一倍加到s 列，消去所有蛐，将s 行的倍加到i 行，消 去进行列变换所带来的o ，1 i t 一2 ，则a l 为 o60 0 口6 0 0 。 ： 口 一1 b 口 s s 由引理2 3 ，一。o ，否则矩阵a 。可分解，与m 不可分解矛盾将s 列乘上 古，s 行乘上乩a t 为 1 4 一 o 6 6 o 口 o ，。t。一 外代数上复杂度为l 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 o 0 0 6 0 ： 口6 口 对a ：施行类似的变换，即有a 2 为a 。相同的形 式d 由引理3 1 ，我们立即有下面的定理： 定理3 1 ：若d i m k y = 2 ，且m 是 y 上复杂度为l 的不可分解k o s z u l 人模，m 有极小投射分解_ s a m 乌_ s a 2 】乌s 人f 1 】乌s 人 o 】立m _ o ，若对i = o ，1 ，2 选取s a 】适当的基，则存在v 中线性无关的n ，6 使得 ，止 的矩阵具有形式 o 0 0 60 ob 0 a ，= a ：= ( n 孑2jj；荨。 记变换后的a ，为a ：，所 其 a 2 中o o = 6 1 2 以2 硕士学位论文 | 肛卜 l o ， 口h ， 3 ： n 0 0 v0 0 的线性表达式中。的系数为o ，i 歹因为a 2 a ，= o ，所 ( 6 1 2 6 2 2 6 s l6 s 2 、，n 6 2 s li 6 ：。八钆 考虑a 2 a i 的第一列，有6 1 1 d ，= 6 2 1 n = = k l o = o ，所以6 1 1 = 尼1 l 口 6 2 1 = 乜。o ，6 。，= 。n ，由于映射的极小性，所以。不全为o 1 i s ，不妨设 尼。o ，对a ：施行行变换，将第1 行的一磕，倍加到i 行，2 i 8 ，得到冯， 所以码的第一列为 。西一1 ，j 十一1 ，j n = o 虼o = o ， 所 至) = a ：的第一列，所以考虑第一列时显然有q 以6 ：s = 。口且七。不为o ， j 列= a i 的第歹列，其 将s 行乘上亡有6 羔= o ，对钙施行行 1 6 一 没八 圳 巩k k 可 一 一 一 一 以 西o 0 1 1阢抛 s 外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 变换，将j 行的适当倍数加到第i 行，使得6 ：；：的线性表达式中。的系数为 o ，1 i 歹一1 设a ：经过行变换后为笛所以有口0 = 6 ，l 歹s 一1 ，所 以a ：的第j 列与a ：的第j 列相等，所以a ：= q 0 由引理3 2 ，我们有下面推论： 推论3 1 ：v 是惫上的m 维线性空间，人= y 是v 上的外代数，m 是 复杂度为l 的不可分解k o s z u la 一模，m 的极小投射分解为_ s a 嘲 _ s a 2 】乌s a 1 】乌s a o 】乌m o ，设m 在某组基下的表示矩阵为a ， 则存在s 人吲，z = o ，l ，2 的基，使得 和丘的矩阵为 f 血0 1 2 0 l s a 12 a 2 。l o 。 。i。y j s s 其中o o k ，且任意的i j ，n 巧的线性表达式中口的系数为o 0 引理3 3 ：y 是尼上的一个m 维线性空间，a = y 是v 上的外代数，m 是复杂度为1 的不可分解k o s z u l 人一模，m 的极小投射分解为_ s 人【胡乌 一s a 【2 】乌s a 【1 乌s a o 乌m _ o ，设m 在某组基下的表示矩阵为a ， 且a 。具有形式 | f o 0 1 2 i l a l l o l 兰 1 其中。v 。巧ki j 则吼，m o m ，= o ，1 i s 一2 即。谢+ 1 与。州，线性相关 证明：因为 如= o ，所以a 2 a 1 = o ，且由推论2 1 有a z = a l ，所以a ；= o 考虑钟中的第( i ，i + 2 ) 位置的元素有a o 印+ 2 + o 印+ l 口一2 + o l 一2 0 = o ，所 以口铂+ l o ，川= o ，1 i s 一2 即。讲+ 1 与。州，m 线性相关0 定理3 2 ：v 是k 上的一个3 维线性空间，人= 八y 是v 上的外代数，m 是 硕士学位论文 复杂度为1 的不可分解k o s z u l 人一模，m 的极小投射分解为一s a 嘲乌 _ s a 【2 】乌s 人乌s a o 】鱼m o ，适当的选择s a 【o 】与s a 1 的基，则存 在v 中线性无关的元素o ，6 ，使得m 所对应的表示矩阵a 。具有以下形式 卜a h 、 证明：由文献 1 j 的引理5 有a 为l。i n ? 5l 1 0 一j o 3 x s 其中o o ko 玎l ( b ，c ) ，b ，c 是v 中线性无关的元素，i j ，我们对主对角 线上面的一斜行，既元素为啦抖，l i s 一1 的一行，我们分两种情况讨 论 ( 一) 若o “+ ，中每次连续出现的不为。的元素个数不少于两个 ( 二) 若a “+ 。中每次连续出现的不为。的元素个数小于两个 首先看第一种情形，考虑。印+ t 中出现的第一个不为。的元素，设为j 扎此 时一定是与。线性无关的，记为b 因为a 2 = o ，由引理3 3 ，有吩j + l 叼+ 1 1 j + 。= o ，所以“j + 2 = 如+ 1 j + 2 6 且由我们假设有七m i i + 2 o ，继续考虑+ l 升2 + 2 1 升3 = o ，所以叼+ 2 j + 3 = 岛+ 2 j + 3 6 一直下去，若出现如“州+ 1 = o ，则有a = 一1 8 。 。 曲 l 吼譬：k。 卜 一 口 一 o ； 一 3 - v 蛐础 ，h u 匕_ j 蛐口) 妊 七。o 0 l ， 一 0p 己 吼中其 外代数上复杂度为l 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 。 七1 2 60 1 3 0o 惫2 3 b 000 0o0 00o 0 0 o a 1 ，j + t + 1口1 j + t + 20 1 ，j + t + 3 0 2 ，j + + l0 2 j + + 2 0 2 j + i + 3 0 + l ，j + t + 2 口j + i ，j + i + 3 o q j + + l j + i + 2吩+ + 1 j + i + 3 o口 吩+ + 2 ，j + + 3 口1 3 d 知 “，5 + 计1 ，s 口j + 件2 ，8 000 o 吩+ + 1 ，j + + 2 = 如+ i + 1 ，j + i + 2 6 + 巧+ t + 1 ，j + i + 2 c 若弓“+ 1 州+ 。= o 则达到定理要求的形式 ( 2 ) 若 对右边 + t + l ，j + 计2 0 且州+ 2 ，j + 抖3o ，贝0 考虑a 2 = o 的a 进行列变换，得到a 7 ，使得0 j + i _ 2 j + t 以及哟州一2 j + 州，吩+ “抖州 的线性表达式中均不含有b ，考虑a 中的0 + i 一2 ，j + i + 1 ) 位置的元素 有 。巧“一2 ，j + 件1 c + 如+ 卜2 j “一1 6 ( 巧“一1 ，j “+ 1 c 一向+ 一2 j + t + l o ) + + t 一2 j + t j 略+ i l j + t + 1 0 + 哟+ 伽，j 州+ l a = o ，所以砖“一1 ，j + 州= o 将歹+ i + l 行加到j + t 行，将歹+ i 列的1 倍加到歹+ i + l 列，消去行变换所引起的n ，将歹+ t 行的适当的倍 数加到j + t + 1 行，使得+ t + 1 ，j + + 2 中c的系数为o 设变换后的矩阵为a 然后考虑a a 中的( 歹+ i + 1 ，歹+ i + 3 ) 位置的元素有 口+ f ，j + 件3 + 6 卅+ 2 ，j “+ 3 + + t ，j 州+ 3 口= o ，所以叼“+ 2 ，j 槲3 = 略+ ，j + m 6 最 后将歹+ + 1 列的适当倍数加到歹+ 列，即得到所要求的形式一直讨论 下去，便可得a 具有定理中形式 其次考虑第二种情形，设每次o “+ 。中连续出现的不为。的元素只有1 个 的情形一般地，若出现只有a “+ 。位置不为o ，而毗_ 1 l t 和啦“t + 2 为。的情 形，即有形式( 只看矩阵的局部) 设o t ，i + 1 = ，t + 1 b + 凫：t + 1 c 口0 口 一1 1 + lo e l ，t + 2 0q 口i ，件1o i ，件2 0 0o0 ( 1 ) 若抖。= o ，则已得到定理中的形式 1 9 一 没 硕士学位论文 ( 2 ) 若抖l o ，直接将i + 1 列加到i + 2 列，i + 2 行的适当倍数加到i + 1 行， 消去i + 2 列中由于列变换可能增添的a ， 用i + 2 列的一万冬麦l 广倍加到减去i + l 列，使得口t t + 1 中c 的系数为o ，将 o i - 1 。t t + 2 i + 1 行加到i + 2 行，即可得a 具有定理中的形式 若n 坩+ 。中连续出现的不为。的元素的个数为。个，即毗h 。全不为o 此时 有口1 2 不为o 设为6 由引理3 3 和引理2 1 有口“+ 。= 觑6 ，且全不为o 所以综合以上的两种情形，定理得证口 推论3 2 ：定理3 2 中的矩阵形式可以进一步简化为 ：兰；： lo 川 。 。 其中l ( 6 ，c ) ，i 歹一l ，= o 或1 ，lsi s 1 证明：对1 t s 一1 ，( 1 ) 若= o ，则已经满足要求的形式； ( 2 ) 若o ，则将i 列乘上适当的倍数使得线性表达式中6 的系数变为 1 ， 行乘上与列变换互为倒数的倍数即可达到要求形式0 定理3 3 ：v 是k 上的一个3 维线性空间，a = y 是v 上的外代数，m 是 复杂度为1 的不可分解k o s z u la 一模，m 的极小投射分解为_ s a 嘲乌 _ s a 【2 乌s a 1 马s a 【o 乌m _ o ，适当的选择s a 【o 】与s 人【1 的基，则 m 所对应的表示矩阵a 。具有形式木，且= o 或1 ，1 t s 一1 记 。钮= 6 + c ，若n 讲+ 全不为o 且设第一行中最先出现的c 的系数不 为。的元素是o ，j ，则a ，具有形式 一2 0 a b ，c 外代数上复杂度为l 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 是v 中线性无关的元素 证明：由假设a “+ 。全不为o ，所 的，记为b 由推论 以0 1 2 0 0 c 0 ： c ： o6 口 s s o ，所以与。一定是线性无关 3 2 ，有口“+ 1 = 6 ，1 i s 一1 ，即a l o6 n 1 3 o l ，s l0 1 ，s 0 o6一 叻，s 一1n 2 s 若尼乇中第一个不为。的是尼：。，则由 的元素分别为( 1 佗s 一3 ) 钟= o ， 0 0 1 4 + 6 ( 如4 6 + 砭4 c ) + ( 后1 3 6 + 后：3 c ) 6 + 口1 4 0 = o o 口2 5 十6 ( 七3 5 6 + e 5 c ) + ( 尼2 4 6 + 七：4 c ) 6 + 0 2 5 0 = o ： ： 6 口 s s 具有形式 考察名中的第 ( 1 ) ( 2 ) o 口。一3 ，。+ b ( 一2 ，扣+ 一2 ，。c ) + ( 尼。一3 ，。一1 6 + 庇：一3 ，。一1 c ) 6 + o 。一3 ，。o = o n 行佗+ 3 列 ( s 一3 ) 由上面的s 一3 个式子有七i 。= 忌：4 = = 后：- 3 ，刚= - 2 。，对a ，依次进行列 变换和行变换，即将第j 列的适当倍数加到第i 列，第i 行的适当倍数加到 第j 列，2 歹s 一1 ，3 i 礼此时a l 变为 一2 1 c o 0 0 o 6 6 0 n u 口 o 令庇：3 c = 七幺c = 则 o ，6 ，c 硕士学位论文 o 6 七：3 c0 1 4 0 1 ，s 一2o l ，8 1 0 6 t 尼2 4 c 0 2 ，s 一2a 2 ，5 一l = 尼：一3 。c = c ， a 1 = 6 0 n l s 0 2 s 聪- 3 i 。c 6 n o6c 0 1 4 口l ，s 一20 1 ，s 一1 0 1 s 0 odc 0 2 ，s 一20 2 ，s 一1 0 2 s 是v 中线性无关的元素考虑 尼1 1 七1 2 后1 s 后2 1 七2 2 如s 1 乜2 。 6 0 s s 3 s o6c 0 1 4 n 1 ，s 一2n l ，s 一1 口l s 0 2 2 一 c n 2 s 一20 2 ，s 一1 0 2 s 6 0 3 s ； c 6 0 ； c 6 口 o 有 外代数上复杂度为1 的不可分解k o s z u l 模的表示矩阵 口6c o6 0 0 0 c 0 6c o6 口 8 s l l 1 2 h t 2 lt 2 2 t 2 3 t 8 1t s 2 s 8 k = ( 兰；兰；兰! ) = ( 七1 1 。瓮；i j ；苎至) = t = ，组也 i 场场 1 以。气2 所以d e tt = d e tk = 后i 1 取七l l = 1 ，则d e tt = d e tk = 1 所以正k 可逆 k a ，= b t ，b = k a ，t 所以适当的改变s a o 与s 人【1 】的基a 。具有定 理要求的形式 一般地，若尼毛中第一个不为。的是庇：j ( s p3 ) 即a l 为 o 6 七1 3 6 后1 4 6 一1 6 6 + c 0 口6 尼2 4 b 尼2 ，j 一1 6尼2 ，j 6 2 3 6 口 七l 。6 + 忌：。c 尼2 扣+ 后：。c 一j + l ，n 6 + e j + l ，。c 忌3 一j + 2 ，s 6 后s 一3 3 6 6 0 3 s o 0； o 0 、l s 3 s 乱幻 如 硕士学位论文 考虑钾中的i 行j + i 列的位置的元素有1 i s 一歹 o ( 忌1 ，j + 1 6 + 后i ，j + l c ) + 6 ( 乜，j + 1 6 + 砭j + 1 c ) + 七1 3 6 b j + 1 6 + + 后1 。j 1 6 如一l ，j + 1 6 + ( 尼1 ，6 + 岛c ) 6 + ( ，j + 1 6 + 后：，j + l c ) 口= o o ( 尼2 ，j + 2 6 + ，什2 c ) + 6 ( 乜，j + 2 6 + 磁j + 2 c ) + 如4 6 缸，j + 2 6 + + 七2 ，j 6 岛j + 2 6 + ( j + 1 6 + 砭j + l c ) 6 + ( 如j + 2 6 + 磁j + 2 c