（基础数学专业论文）关于分圆nazarovwenzl代数的表示的一个注记.pdf

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且= u 。目，o 0 ， ( 5 ) & s + 1 & = & + 1 s 最+ l ，1 i 1 ， ( 1 4 ) e 五+ 1 最= 最，1 s i sn 一2 ， ( 1 5 ) 蜀玛；玛蜀，j i ，i + 1 ， ( 1 6 ) 最( 五+ 五+ 1 ) = 0 ， ( 1 7 ) 墨玛= 玛置，l i ，j 墨n ， ( 1 8 ) ( 五+ 恐+ 1 ) 毋= 0 ，1 i ，j 茎他 ( 1 9 ) s 墨一咒+ l s = 蜀一1 ，1 i m 引理2 2 f 2 1 ：对于仿射肌n 。吖e 数瓷7 7 ( q ) ，存在难一的一个r 一线性反自同 构 tw 警f 一w 挈| 满足s ：= s t ，e ：= 取，x ；= x ，对所有的1 曼| n 1 j 1 ，丑乃= 弓五 正k k + 1 丑= 一1 ， m 正一五k + 1 = 一1 ， 砰= 1 ， k m = m k 若j ，i + 1 ，正巧= 互 这里，l i 札，1 兰j 2 ；或者，= z ，a 坠p 后者 是定义在m 重分翔组成豹集台上的支配序 ( 5 ) 假设( ，a ) a 矗定义d ( ，a ) 一 ( s ，ne ) ls 7 “8 n ) ，p 小联，e 口， ，这 里妒圳( ) 趄历宥重标准杨袭组成的集合。 ( 6 ) 令位，= w m ，。e 7 w m 。是由e ，生成的w m ，。的双边理想，这些双边理想给 出了，。豹一个双边理想滤过n ) 懈m = 蛳30 1 “洳，2 】+ l o ， 记丌，：d ，一or 0 ，+ 1 为相应的w 。一模的投射映射 a r i k i ，m a t h a s ，芮和兵证明了定义在交换环上的退化a r i k i _ k o i k e 代数h 。，。( u ) 是c e l l u l a r f 数它有一组c e l l u a r 基 1 日t | 8 ，t 丁“( a ) ，a a 嘉( n 强和稍上 述c e l l u k 纂，a r i k i ，m a 屯h a 8 ，蓖和兵定义了，似。，。( u ) 的c e l l 模( 均及定义在c e l l 模 上的对称、结合双线性型枞 u 利用，。( u ) 中的s ，五去替换m “中的置，就得到，。( u ) 中的元索玩3 在 2 】中，a r i l 【i ，m 8 t h a s ，芮和兵还证明了，存在一个冗一摸同态盯，：7 _ 如，2 ，( u ) + o ，n ，+ 1 ，使得 ( 3 5 ) 吖( ) = e 7 5 ，( ) + o ，+ 1 其中，危。一2 ，( u ) ，且，。一2 ，( u ) 等同于由 k ，巧il i 冬 一2 矗1 j 2 ，元素 是存在的利用定义2 1 的( 6 ) ，( 8 ) ，( 1 0 ) ( 1 1 ) ，( 1 2 ) 得： i s 性l s i e t = e t e 往l e t e t 聩：蔼e | 错一1 e | = e 3 ，强翟 m n e | 娃 - 1 e f m 。一m e | m 。一e | t m “m w 、 i e ，5 ，( 弛t m 。，) ( m o d o ，+ 1 ) 盥颤( t ，u ) 点y 磊。( m o d 计寮骆1 ) 这里，即是( 2 8 ) 中的代数闻构所以( ， ) ( e ，舰矗，露7 矩。，鲫) = 九陬u ) 换言之，如 果苏o ，则呶 柚o + 反之，若庐( ， ) o ，则存在两个熬元素：x 。m ，e ，妒帆，t ，藻中o ，卢 a 搿使褥( ，砷( 互芦x 。髓瑚，e ，x 9 强，咎) o 由弓i 理3 6 知，存在w m p 2 ，( u ) ， 使得 e j x 。m 甜u 一1 m 。x 自秽= m “e j x “埘旷1 x oe j m 。= e f m n “m 。 兰e ，( m 。t 7 1 ( 毳) h ，)( m o d a ，+ 1 ) 如果纵= o ，贝q 对任意的矗1 爿。，2 ，( u ) ，利用定义3 。l 以及c e l l 模的定义， m “ 1 m 。，兰o ( m o d 州鬟麓) 由定义，e ，爿c 壤g 1 且o ，+ 1c 溅譬m 所以， e 7 x “旭t t m 7 1 m 。，x 9 e ，兰o( m o d 裳g ，1 ) ， 矛盾因此，帆0 口 弓l 理4 。2 若o ，对某个 ，0 sm l ，剥一定存在一个菲受整数6 ，嫠 得吣= 0 ，0 墨 2 6 i 一1 ，且。拍o 证明： 由( 2 3 ) 可知，如果= o ，o is 巧，则u 2 j + l = o 故，使得岫o 的极小的 非负整数l 一定怒一个偶数 口 引理4 3 。假蠹蚴o ，且咄= o ，0 i 兰2 6 一1 对任意的是8 ，剃 艘l 赐+ l 墨= 妣b 琶l 最 证明：利用定义2 1 ( 1 6 ) 知， ( 悖+ 五) 2 一1 ) 协一墨) 2 ( ( f + 五+ 1 ) 2 1 ) ( f 一五十1 ) 2 弱 4 4 ) = ( 白一置+ ，) 2 1 ) 0 + 鼍+ - ) 2 ( 白一墨) 2 1 ) 白+ 托) 2 蜀， 从而 酶t 值黼群，) 一o ， 在等式( 2 5 ) 两边作用扔】饬k 一，墨，并利用上述等式有 e 善学妒争，啄一昏e 豢+ ”一；陬t 甄r 峨 e 较上述等式两边芎一2 6 的系数可得：叫婴1 函女+ l 髓= 她6 岛女+ i 蜀 口 弓l 理4 5 。织爱地b o ，监纰= o ，o i 2 6 一1 如果n 为谓莪影( 。，2 o ) o 话明：取( 2 ，o ) 豹基元素：蜀一l e 3 e l ，马一l 岛露1 霹! l 霹6 霹“恕弓 理4 3 知，n 罄玛磁8 一，岛= ( u 2 b ) ；晶1 职妨从而， 咖( 。2 ，o ) ( e “2 ，露“2 霹1 1 义；6 霹6 ) = ( u 姊) o 口 引理4 6 猫，。( u ) 中，如果参数蛐，u 。一l = o ，贝p 有咄= 0 ，对任慧的i 0 证明：展开分匿多项式( j ，l 一珏1 ) ( 噩一牡。) = o ，可得到等式 ( 4 7 ) 耳= ( 一1 ) 州瓯x 其中巩跫关于珏l ，嚣m 静l 一次初等对豁多项式在等式( 4 ? ) 弧边司射乘 以霸，得， x i = ( 一1 ) 讳1 以x 。 1 絮l 在上述等式两边同时作用毋，得蜀弼局= ( 一1 ) 1 以毋霸“毋。利用定义2 1 中 t = l 的等式( 4 ) 亿简上述等式可褥：畸蜀= ( 一1 ) ”1 吼q l 霸当参数集台n 是u 一容 许的，a r 试，m a t h a s ，茂和兵嘲证明了生成元e l 不是搬元素( t o r s i o m 盘e e ) 对下 标t 归纳，容易证明，对任意的 0 都有岫一0 口 弓f 理4 8 葭参数岫，一l = o ，若n 为贼，= 昙，a = o ，倒( ，o ) = o 证明：簸设甜8 。利嚣l ；| 理3 。6 ( 3 ) ，我们知逆，存在个危，2 ( u ) ，使得 扩。谁_ 1 + 冒，埘砖1 x 产e “2 = 磊岛马 蜀 我们断言，对任意的a ，2 ( u ) ，e l 危刀l = o 如果这个叛言成立，则对任 意w 6 。， ( 4 9 )b _ l - 墨雌i 1 矸，训爿黯1 x 产日蜀= o 任取反_ 1 - e l 碌i 1 霹1 l ，最墨雌i 1 x p 也( 住2 ，o ) ，其中，o 啦，照s m l ，1 i 曼托一l ， 1 ，现6 。利岗( 4 9 ) ， 风一1 目谁i 1 冒1 ”，町1 谁 x 争霸一。肠= o + 从而，毋( 。脂o ) = 0 我们现在证明我们盼断言。出假设，参数集合n 照u 一容许的所以，w m ，2 ( u ) 是自 由冀- 模，且 x ! 跫，x ? 鹚s l ，x e ，x 2l osa ，b m l 是w m ，2 ( u ) 的一组基1 2 l ，因 此，我们只要对这些基元素，证明我们的断言既可 假设矗= 霹砑由于最( 五+ 弼) = o ，所以墨忍面= ( 一1 ) 6 最嚣舶墨= ( 一1 ) 6 + 6 局= o 如果危= x 趣冀，则毋九日= ( 1 ) 6 毋霹舶毁= ( 一1 ) 气如+ a 毋； o 如果 = 田髓x ，则最 为= 毋x 毋砑蜀= 毋= o 至此，我们证明了我 们的断言口 定理4 1 0 假设，。( u ) 是定义东域f 上的分厨 乜o m 卅h 厂e n # f 代数，设f 是个 域，2 十傩8 ，般参数巢台q 怒u 容谇的 ( 1 ) 券行为奇勇t 则所有不周构的不可约w m 模的囊合与集合 a a 轰一 2 ，) id 1 o 一对膨i ( 2 ) 瑕设礼为猖童缸 如粟存在个i ，osism l ，使得蛐o ，则所有不同构的不可 约n k 。一横的集合与集合 a a ：扣一2 ，) id 1 o 一一对应j 如栗对任意的l ，0 i m 一1 ，= o ，贝撕香 不同狗的不可约模 厅争集合与集合n a 熹一2 月| d 1 o ，n 2 一对应 证明：利用引理4 1 ，引理4 5 和引理4 8 ，以及定理3 3 ，可得 口 注4 1 1 k 1 e s h c h e v 在【5 】中，诋明了退化a r 汰i - k o i k e 代数的不可约表示可以利用 熏k l e s l c h e v 分划定义的x a 8 h i w a r 8 熙体图刻画毽是，这个结果不意味羞d 1 0 当且仪当a 是m _ 重k l e s h c h e v 多重分划因此，利用定理4 1 0 ，我们可以知道代 数，。( 1 1 ) 的不胃约棱的参数集台，但是，我们不能说明，d ( ，a ) 0 对，a 所要 满足的条件 1 1 【2 】 3 】 4 1 5 j 【6 】 参考文献 1 5 s a r n 【ia n dk k o i k e “以日e c 七e 妇e 6 md ，f 孑r z 2 忆o n dc o n s r c l o no ，i 拈抒8 d u c i 6 把 r 印他s e n t o t i o 娜”，a d v m a 七h 1 0 6 ( 1 9 9 4 ) ，2 1 6 - 2 4 3 s a r i k i ，a m a t h a sa n dhr u i ，“回c z d t 。”l i c v h z 口阳俨肌n 爿n 幻e