（基础数学专业论文）紧流形上的非线性波动方程的长时间存在性.pdf

摘要 捅要 在本文中，我们主要讨论非线性波动方程在一些特殊流形上解的长时间存在性 与整体解的存在性问题，涉及的流形主要是球面，环面及波管 对球面上的非线性k l e i n g o r d o n 方程，d e l o r t 等利用法形式技巧证明了当非线 性项满足一定的条件时，局部存在理论给出的解的存在区间的长度估计可以改进 我们在d e l o r t 等的工作基础上，对一些特殊的非线性项，分析了它的法形式的具体 形式，并证明在一些特殊情况下，d e l o r t 等的结果可以改进 对波管酞2 m 上的非线性k l e i n - g o r d o n 方程，其中m 为z o l l 流形，如果初值足 够小，利用z o u 流形且a p l a c e b e l t r a m i 算子的特征值的分布，并结合能量估计和 法形式技巧，我们证明了整体解的存在性 接下来我们对二维环面上的波动方程寻找一些特殊的整体解：周期解它可以 看成是带周期边值条件的解这时候遇到的困难是小除数问题为此我们选择一些 特殊的数作为周期，并利用变分法可以证明这样的周期解存在 最后我们利用g a l e r k i n 方法，对三维球面与环面上的s c h r t i d i n g e r - k l e i n g o r d o n 方程组，证明了整体弱解的存在性 关键词：k l e i n - g o r d o n 方程，法形式，周期解，柯西问题，z o l l 流形，g a l e r k i n 方法 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h el o n gt i m ea n dt h eg l o b a le x i s t e n c eo fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n so ns o m es p e c i a lm a n i f o l d s ，s u c ha ss p h e r e ，t o m sa n d w a v e g u i d e s f o rn o n l i n e a rk l e i n g o r d o ne q u a t i o no ns p h e r e ，d e l o r th a v ep r o v e d ，b yu s i n gt h e t e c h n i q u eo fn o r m a lf o r m , t h a tt h ee s t i m a t e so ft h ee x i s t e n c et i m eo ft h es o l u t i o ng i v e nb y t h el o c a le x i s t e n c et h e o r yc a nb ei m p r o v e dw h e nt h en o n l i n e a r i t ys a t i s f ys o m ep r o p e r t y b a s e do nt h ew o r ko fd e l o r t , w eg i v et h ed e t a i l e de x p r e s s i o n so ft h en o r m a lf o r mo fs o m e s p e c i a ln o n l i n e a r i t y , a n dp r o v e dt h a tt h er e s u l to fd e l o r tc a nb ei m p r o v e df o rs o m es p e c i a l c a s e s f o rt h ec a s eo fw a v e d u i d er 2xm ，w h e r emh ez o l lm a n i f o l d s ，i ft h ei n i t i a ld a t a i ss m a l le n o u g h ，w ec a n u s et h es p e c i a ld i s t r i b u t i o no fe i g e n v a l u e so fl a p l a c e - b e l t r a m i o p e r a t o ro nz o um a n i f o l d ，t h ee s t i m a t eo ft h ee n e r g ya n dt h et e c h n i q u eo fn o r m a lf o r mt o p r o v et h ee x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rk l e i n g o r d o ne q u a t i o n s f o rt h ew a v ee q u a t i o no nt h et o m s ，w el o o kf o rs o m es p e c i a lg l o b a ls o l u t i o n s - p e r i o d i cs o l u t i o n s t h i sc a nb ec o n s i d e ra st h ep r o b l e mo fp e r i o d i cb o u n d a r y t h ed i f f i c u l t yo ft h i sp r o b l e mi st h es l n a l ld e n o m i n a t o r t oc o p et h i sd i f f i c u l t , u s i n gs o m es p e c i a l n u m b e r sa sp e r i o da n dt h em e t h o do fv a r i a t i o n a l ，w ec a n p r o v et h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i c s o l u t i o n s i nt h ee n d ，w eu s et h em e t h o do fg a l e r k i nt op r o v et h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e a k s o l u t i o n sf o rt h es c h r 6 d i n g e r - k l e i n g o r d o ne q u a t i o n so nt h es p h e r eo rt o r u s k e yw o r d s ： k l e i n - g o r d o ne q u a t i o n ，n o r m a lf o r m ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，c a u c h yp r o b l e m , z o um a n i f o l d ，g a l e r k i nm e t h o d 一一 第一章引言 第一章引言 非线性波动方程的c a u c h y 问题解的整体存在性问题一直是一个热门课题，并 且已有不少的结果但对紧流形，相应的结果还比较少本文我们考虑紧流形( 例如 球面) 上的非线性k l e i n g o r d o n 方程关- 于c a u c h y 问题解的长时间存在性问题，假设 光滑初值非常小我们先回忆一下在般中相应的问题的已有结果 k l a i n e r m a n 2 8 】与s h a t a h 3 4 】分别独立地证明了，当佗3 时，对r 1 + n 上的拟线 性k l e i n g o r d o n 方程，当c a u c h y 初值为小的、光滑快速衰减时，方程有整体解证 明依赖于利用线性k l e i n g o r d o n 方程的色散性质他们的方法分别称为不变向量场 方法与法形式方法，其中k l a i n e r m a n 的方法还要求初值具有紧支集当佗2 ，且初 值在无穷远处的衰减只是等同于日s 函数时，d e l o r t 与方道元在【1 7 】中证明了当非线 性项满足一定的结构条件，即零条件时，方程的解有长时间存在性 对三维的情形，方程的非线性项可以看成是线性问题的短程扰动也就是说， 如果将非线性项写成非线性位势y 与钆或乱的一次导数的乘积，y 在原点尼阶为零注 意到线性k l e i n - g o r d o n 方程的解在t _ o o 时的衰减与亡一号类似我们可知非线性 项在线性解上的衰减与t 一等类似此时，在靠近无穷远处时这些量是可积的对 不可积的情形，即罟1 时，我们称y 是长程扰动的在空间维数为2 ( 或1 ) 时，对二 次非线性项，刚好就是这种情形这时候情形就比较复杂虽然如此，对二次 非线性项，在空间二维的情形利用法形式方法并结合方程的色散性质，o z a w a ， t s u t a y a 与t s u t s u m i 3 2 证明了解的整体存在性另一方面，d e l o r t ，方道元与薛儒英 在【1 8 】中通过适当选取双曲坐标，将偏微分方程化成抽象的常微分方程，再对常微 分方程利用法形式技巧得到解的最优衰减估计，从而证明了整体解的存在性对空 间一维的情形，m o r i y a m a ，t o n e g a w a 与t s u t s u m i 3 1 证明了当初值大小为时，解的 存在时间至少可达到e 方 对k l e i n g o r d o n 方程组，在空间为一维或二维的时候，s u n a g a w a 在 3 5 】中对小 的初值，在质量为非共振的假设下得到了整体解d e l o r t ，方道元与薛儒英在 1 8 】中利 用他们的方法，对共振的情形在空间二维的时候，对非线性项加上零条件的假设后 也得到了整体解而在 3 8 】中，薛儒英与方道元还对一种不满足零条件的共振情形 证明了整体解的存在性在空间维数为一的时候，方道元与薛儒英在 2 2 】 3 9 】中对 光滑紧支的初值，分别对非线性项为二次与三次的情形得到了存在整体解的零条 件，并将s u n a g a w a 的结果推广到共振的情形 在空间为紧流形的情形，线性方程可能不再表现出色散效果，例如， 在欧氏空间，相应的s c h r i s d i n g e r 方程往无限传播时会有色散效果，b u r q 。 g 6 r a r d 与t z v e t k o v 在 1 2 1 3 】中考察了紧流形的情形不再表现出色散效果 因此，d e l o r t 等在 1 9 1 中考虑是否可以单独利用法形式方法对初值大小 为e 的c a u c h y l h - j 题是否能得到解的存在区间长度的一个下界我们可以用一个 第一章引言 简单的例子来说明这一想法考虑方程 ( 皿一、m + d 2 ) u = u 2 寻找u 的一个二次扰动项s ( u ，钆) 使得 ( d 。一、磊干恧) s ( u ，u ) = 一舻+ u 的三次剩余项 ( 1 0 1 ) ( 1 o 2 ) 用色( ) ，z d 表示u 的f o u r i e r 系数定义s ( 乱，u ) 为 s ( u ，u ) = 一e i x f ( 、m + 髫+ 、石f f 琢f = 石泸一、石砰) 一1 砬( 6 ) 也( 一6 ) e专1 ( 1 0 3 ) 则( 1 0 2 ) 成立如果令v = u + s ( u ，让) ，并且对足够大的s 能证明，在空 间三( 【一e 纠，日3 ( 酽) ) 上，映射乱_ u 在原点附近是局部微分同胚，则有 ( d t w m + d ；) u = v 的三次剩余项( 1 0 4 ) 事实上，这只需证明i ls ( u ，让) l i 舻- - - i f 锃惰。即可从s ( 铭，铭) 的定义可以看出，这 里涉及到一个小除数问题，并不是对任意的m 都可以保证使上面的不等式成立， 但可以证明对绝大多数的m 是可以做到的事实上，如果取8 远大于，并且 在1 + 已+ 岛= 0 上有 l 、m + 赞+ 、m + g 一、m + 器l v m i n ( 1 l l ，l 已i ) 一 ( 1 0 5 ) 则可以得到需要的结果对于上面不等式，例如，取m = 1 ，通过直接计算可 知对n = 1 成立则方程( 1 0 1 ) 的解的存在时间至少大于( 1 o 4 ) 的存在时间，而 对( 1 o 4 ) 利用能量不等式可得解的存在时间的下界为c a ： 上述方法被d e l o r t 1 9 用来讨论球面上的半线性k l e i n g o r d o n 方程的解的长时 间存在性问题此时用u 的球面调和分解代替f o u r i e r 级数展开，而代替( 1 o 5 ) 的是 i 、m + 髫+ + 、仇+ 舒一、m + 鼠1 一、m + 留l c ( 1 + 1 1 i - k - + i 岛i ) 一 ( 1 0 6 ) 利用次解析几何的工具，d e l o r t 证明了去掉一个零测度子集，上面的估计式成 立，从而得到当非线性项，( z ，u ，o , u ，v 曰u ) 在。处为p 阶零点，n 当q ( p 口7 ，7 印一1 ) 为奇数时，的口次齐次部分厶仅为u 与侥u 的多项式，且系数为常数，并关 于o , u 为偶函数时，解的存在区间的长度至少为既- r + 1 在本文的第一部分，我们假设对所有的g ( 口p ) ，厶仅为u 与a u 的系数为常数 的多项式，并关于侥u 为偶函数时，仔细分析了它的法形式的具体表达式，并利用 这些表达式注意到当p 为偶数时，d e l o r t 的结果可进一步改进到一2 p ，对于一般的 情形，由于法形式的表达式比较复杂，涉及到考虑下面这种积分 ：a ( n l ，n 口+ 1 ，n ) n n 。+ 1 【( n 1 v 1 ) ( n 一1 u 七一1 ) j s 扣1 。i h n ( n 。v k ) ( i i n k + i v k + i ) 】( i i 礼。) n q + lv g + l d x 甚至更复杂的积分表达式是否为实的，到目前为止我们还没有找到适当的方法对 一2 一 第一章引言 空间为s 1 的情形，由于可以利用f o u r i e r 级数展开，相对而言要简单一些经过计 算，也可以改进到一印我们猜测这种情形可能有几乎整体解存在 当我们把上面的方法用于如下的k l e i n - g o r d o n 方程组时， j ( 皖一9 + m ；) u = f ( x ，钍，u ，侥札，a u ，v 9 让，v ) i ( 璐一9 + m ；) u = g ( x ，u ，u ，a 乱，a u ，v 9 乱，v 9 u ) 当m 1 = m 2 时，利用法形式技巧，在能量积分中会出现例如下面这种形式的积分 a ( n l ，n 2 ，n l ，n 2 ) ( 住。u + ) ( 礼：仳+ ) ( n 。西- ) ( n n 2 i 耳) d z j s d - a 显然，我们不能判断其是否为实值此时，前面的方法有可能失效当m ，m 2 时，会 碰到类似于前面的小除数问题与前面不同的是，这里要处理的是两个变量的函数， 相比较而言难度要大一些我们希望能将d e l o r t 1 9 或b a m b u s i 2 的方法推广到两个 变量的情形 上面的结果都只是估计了解的存在区间长度的一个下界，很自然的我们会 想到解的整体存在性，或几乎整体存在性当然我们不可能希望对任意的非线 性项都有整体存在性或几乎整体存在性例如，d e l o r t 对s 1 的情形给出了一个例 子，证明了它的解的存在区间不可能超过由局部存在理论所给出存在区间因此 必须对，加上一定的条件目前这方面的结果还非常少，只有b a m b u s i ，d e l o r t 等【3 】 在z o l l 流形上对t 厂为h a m i l t o n i a n 的情形给出了几乎整体存在性，而d e l o r t 在对函 数空间加上一定的限制后，对s 上厂仅为u 与a 让的系数为常数的多项式，并关 于侥u 为偶函数时也证明了几乎整体存在性在第三章，我们对球面的情形，讨 论b a m b u s i ，d e l o r t 等【3 】的方法主要的目的是与前面一章作一些比较，了解在非线 性项为h a m i l t o n i a n 的情形如何处理前面所遇到的困难通过这些比较，我们猜测当 非线性项只与a u 有关时可能也有几乎整体解这些工作由于刚开始，正在考虑之 中 有意思的是，如果将紧流形换成酞钆m ，其中m 为紧流形，情况似乎又 不一样在【2 8 】中，m e t c a l f e ，s o g g e 与s t e w a r t 求解了带如下形式的小初值的波方程 与k l e i n g o r d o n 方程 f ( 口+ m 2 ) “= q ( u ，u 7 ，u ) ，( t ，x ，y ) r + 风竹q u ( o ，z ，y ) = u o ( x ，秒) ， o t u ( o ，x ，y ) = u a ( x ，y ) l 乱1 8 q = 0 ， 其中口= 劈一z 一q ，z r n ，佗3 ，z = 1 差，q 为标粗a p l a c i a n q = 名1 菇，记qcr d 为带光滑边界a q 的非空有界区域，而= ( a ，玩，岛) u ， = ( u ，) ，q 是关于它的变量的二次函数，并且关于为仿射线性的，它可以写成 q ( u ，珏7 ，乱) = 筲凫o t u o j o k u + u 七o u + 冗( 铭，) ( 1 o 7 ) o j ，知，l n + do 0 ，和s o n 使得对任意8 8 0 ， 和日升1 ( s d _ 1 ) xh 8 ( s d - i ) 的单位球中任意一对( u o ，珏1 ) ，以及任意的( 0 ，e o ) ，系 统( 2 0 1 ) 有唯一的解 钆c o ( ( 一正，) ，h 8 + 1 ( s d - 1 ) ) nc 1 ( ( 一疋，正) ，日8 ( s d - 1 ) ) ， 使得当p 是奇数时，疋一( 2 p - 2 ) ，当p 是偶数时，c c 一( 2 p j 例如，当f = ( a 乱) 2 ，d e l o r t 与s z e f t e l 在 1 9 】中的结果说n y j ( 2 0 1 ) 的解的存在时间 可以达到既一2 ，而我们的结果表明解的存在时间实际上可以达到芘 我们指出在空间一维的情形，利用函数在s 1 上的f o u r i e r 展开，可以将以上结果 改进到下面的情形： 定理2 2 假设厂满足以上的假设，则对任意的m ( 0 ，+ o o ) 一，存在印 0 ，c 0 ，与s o n 使得对所有8 8 0 ，和日外1 ( s 1 ) xh 5 ( s 1 ) 的单位球中的任意一对 一6 一 第二章球面上非线性k l e i n g o r d o n 方程的解长时间存在性 函数u 0 ，钆1 ) ，以及任意( 0 ，e 0 ) ，问题( 2 0 1 ) 有唯一的解 乱伊( ( 一霉，疋) ，h 8 + 1 ( s d 一1 ) ) nc 1 ( ( 正，卫) ，日8 ( s 扛1 ) ) ， 使得当p 3 时有正一( 3 p 一引，而= 2 时为疋一( 2 p ) 本章的以下部分组织如下在第2 节，我们将给出一些记号，并列出一些后面要 用到的 1 9 】中的结果第3 节将利用法形式的技巧给出主要定理的证明 2 _ l 基本概念与一些已知结果 在这一节，我们将给出 1 9 】中的一些概念与结果 设算子一夕在球面s d 1 上的特征值为砖，已经知道 a 竹= 、n ( 佗+ d 一2 ) ，n n 记及为与相对应的特征空间，n 为l 2 ( s d - 1 ) 到鼠上的正交投影我们知道风 是r d 上所有n 阶齐次调和多项式组成的空间在s d - 1 上的限制，因此对任袁，口n 有 岛岛co既 i p - q l ( p - r 1 ) ( d - 1 ) ，甄c 朋； 命题2 1 2 设酞+ ，s z + 鲁则任意算 xh s ( s d 一1 ) 到日8 ( s d 一1 ) 连续算子另外，对 对任意的u 1 ，坳属于日8 ( 铲- 1 ) ，有 子m m ；可以扩张成从日8 ( s d - 1 ) 任意s o ( z + 吾，s ) ，存在c 0 使得 p i im ( u ) 怯c ( 怯i ii i 让知怯。) j = i k i 命题2 1 3 设p ，口时，1 ，i 2 畔，尬m ；，m 铲如果1 l q ，则 有 ( 钆l ，+ 口一1 ) 啼m 2 ( u l ，乱z 一1 ，m ( u t ，u z + p 一1 ) ，l z l + p ，乱p + q 一1 ) 属于m 茹彳1 命题2 1 4 ( 1 ) 设n c o o ( s d 一1 ) ，则u 叶。u 属于m 2 因此如果 垃丑2 坠坐+ 1 ，( 让1 ，) 一a u l u v 属于m ； ( 2 ) 设a m = ( 一9 + m 2 ) ，则u _ a 0 t 属于m 2 ( 3 ) 设q ( 仡1 。，礼卅1 ) 是一族复系数，使得存在c 0 ，耽r + ，1 n ，对任 意( n 1 ，唧+ 1 ) ，有 l a ( n 1 ，唧+ 1 ) l c p ( n l ，n p ) 屹s ( n l ，n v ) n ， 则对任意m m ；1 ，算子 丽( 巩，) = 口( n ，唧+ ) 唧+ ，m ( i i m u ，佗p 坳) n l礼p + 1 属于m ：t + 屹 如果m r l ，q ，l o ，口) ，我们定义以下关于( 1 ，岛+ 1 ) 础+ 1 的 、m 2 十g 一、m 2 + 蟹 ( 2 1 3 ) j = t + 1 当口是偶数时，定义以下r q 的子集： z ( q ) ： ( 。，岛) er q ：刍仃6 墨使得= 1 ，兰，；切= 器。母 注意到硝，墨在z ( q ) 上为零定义集合 7 - 1 = h ；佗n ) 这是 0 ，+ 。o ) 的一个离散子集由文献 1 9 】，我们有以下性质 一8 一 。芦 = 峨仇 f 数函 第二章球面上非线性k l e i n g o r d o n 方程的解长时间存在性 命题2 1 5 存在( o ，+ ) 的零测度子集 厂满足以下性质：对任意的m ( o ，+ ) 一mq ，以及f o ，g ) ，存在c o 0 ，n o 0 使得不等式 lf r n q 。( 1 ，岛) i c o ( 1 + i 岛i ) 一n o ( 2 1 4 ) 1 在以下情况成立： ( 1 ) 整数g 为奇数，或者g 是偶数但z ，而( 1 ，岛) 属于7 - q ； ( 2 ) 整数g 为偶数，z = 墨，且( 1 ，岛) 属习：7 - t q z ( 口) 当q 是偶数时，定义 ( g ) = 1 ( ，嘞) 邸；j 仃& ，v j = 1 ，兰，扎墨q = 讫嘲 ( 2 1 5 ) 命题2 1 6 协是偶数而f 0 ，1 n 使得对任意( 礼1 ，咻1 ) 即+ 1 有 lj 嚣，1 。( a 1 ，+ 1 ) i c l 2 ( t 1 1 ，) 一m s ( n 1 ，n p 十1 ) 一1 ( 2 1 6 ) 2 2 主要结果的证明 本节我们开始证明主要的结果今后，总是假设厂仅依赖于u 与侥乱，并关 于侥u 是偶的定义： 让士= ( d t 土a m ) 牡。( 2 2 7 ) 由于钆是实值函数，则由定义有u 一= 一矾，并且 乱= 言a ：( 锰+ 一u 一) ， ( 2 2 8 ) d t u = 妄( “+ + 一) ( 2 2 9 ) 显然，方程( 2 0 1 ) 等价于下面的系统： ( 玖千) u 士一鹏暗( u + 一u 一) ，批+ 仳一) ) ( 2 2 1 0 ) i 仳士= 让里 一7 其中( 钆晕，乱竺) 属于日8 ( s d 1 ) xh 8 ( s d _ 1 ) 中的某个有界子集对任意2 n ，定义以下 记号 e j ( t ) = + 如果j z ， 勺( ：) = 一如果j 2 下面的两个引理可以在 1 9 】中找到，但后面要用到它们的证明，为完整起见我们给 出完整的证明 引理2 2 1 设矗为厂的g 阶齐次部分则存在算子喇厩，f = 0 ，q ，使得 口 矗= 叫( u e l ( 1 ) ，u 吲1 ) ) 1 = o 一9 一 第二章球面上非线性k l e i n g o r d o n 方程的解长时间存在性 证明：将，口( u ，o t u ) 写成如下的实系数的线性组合 c u 宰( a 2 u + ) 卢u ! ( a ：他一) ， 其中q ，q 7 ，p ，n ，a + q 7 + p + = q ，及c 是常数这些可以写成 口+ 雳q o ( ，礼口+ 1 ) n q + lc l i ( 唧u + ) ( 唧“一) ， n l n q + xj = lj = q + p + 1 其中 o + 口 q 口( 佗，嘞+ ，) = ( m 2 + a 乞) 一言i i j = a + lj = q + 母+ a + 1 显然上式定义了m g 中的元素 ( m 2 + 入乞) 引理2 2 。2 假设m ( 0 ，+ ) 一，集合是命题2 。1 。5 中所定义的设p 2 为厂分解成齐次多项式厂= g p 厶的分解中使厶o f l 0 点i d 、的整数设q 为给定的 整数，q p ，而f o ，g ) 设蟛为m ：中的元素而( “+ ，u 一) 为( 2 2 1 0 ) f l o 解 ( 1 ) 如果q 是偶数，或者q 是奇数但f 学，定义 或( u e 。( z ) ，乱。( z ) ) = 、( 2 2 1 1 ) 聪1 , l ( ，久咐，) 。咐。磁( 竹，u e 舯，礼。u 。( 1 ) ) ， n l n q + l 则存在1 n 使得或m 矿n 1 ，并且存在有限个算子砒1 v i i k ) ，k p + q - - 1 ，f o ，忌) ，使得 ( 取一a m ) 或( 钍e 。( f ) ，u e 。( z ) ) = 磨 蟛( u e l ( 1 ) ，u e q ( 1 ) ) + 磁( u 。觯) ) u 引1 ) ) ( 2 2 1 22 ) k e p + q - 11 = 0 ( 2 ) 假设g 是奇数并且f = 警将哗l 川肝，呐- g l = 蟛+ 磁，使得 蟛( u e l ( d ，钆e 口( f ) ) = 1 1 ( 伸，脚( 口+ 1 ) 吣。磁( n ，缸m ，他。缸e 。( d ) n 1 n q + l 定义或为 或( 乱e 1 ( z ) ，u 。口( z ) ) = ， 1 1 ( 懈，泓( g + 1 ) ) ( 礤1 2 ) - 1 咐，喇( 一吲f ) ，n 。心州d ) 缸1死窖+ 1 则有或m n x ，且用磁，叫分别代替或，叫时( 2 2 1 2 ) 也成立 证明：( 1 ) 利用不等式( 2 1 6 ) 与命题2 1 3 ，马上可以得到第一个叙述根据以下 计算： ( 皿一a m ) 或( 乱e 。( z ) ，u 。( z ) ) 一1 0 第二章球面上非线性k l e i n g o r d o n 方程的解长时间存在性 = 一k 或( 让e ，( f ) ，u 。( z ) ) + 或( 札e 。( f ) ，勺( f ) a m “勺( f ) ，u e 口( z ) ) 】 j = l q + 或( 钆e 。( z ) ，( 取一勺( f ) a m ) 钆勺( 1 ) ，钆e 。( f ) ) ( 2 2 1 3 ) 利用( 2 2 1 1 ) - - 与( 2 1 3 ) ，可以看出括号内的项就是嵋( u 。，( z ) ，乱。( z ) ) 由( 2 2 1 3 ) 式 的最后一项，可以用方程( 2 2 1 0 ) 给出的( d t 一勺( z ) 人m ) 让。，( z ) 的值来替代它由命 题2 1 3 ，我们知道这一表达式可以写成 ， 喇：( 孔e 1 ( 叼叫叼( 1 ，) ) 9 7 pz 7 = 0 将其代入( 2 2 1 3 ) 并利用命题2 1 3 ，即得结果 ( 2 ) 这一部分的证明类似，并利用当g + 1 是偶数且z = 警时，f i ( n l ，扎口+ 1 ) 隹 ( g + 1 ) 时估计式( 2 1 6 ) 也成立。 注记2 2 1 与上面类似如果n a m 用玩+ 人m 代替，同样可以定义或，一，鼋，一 满足以匕方程 将厂分解成 ( 2 2 1 4 ) 并且定义以下概念 定义2 3 设f 可以写成f = ；：p r + g ，其中日= 墨1 嘲( 钆。( z ) ，u e 。( z ) ) 并且原点至少为g 的r + 1 阶零点如果r 0 ，则g 是奇数，并且 岛= l ，咐，闽( g + 1 ) ) n 口+ ，舻( 一吲1 ) ，札。让e q ( z ) ) ， n l n q + l 那么我们称只是q 阶法形式对上面的情形称f 有直n r 阶的法形式 定理2 3 对任意整数r = 2 k + l ，k = 呈】，吲十1 存在变换u 士= u 土+ & ( u ) ， 将方程( 2 2 1 0 ) 变成以下形式 ( d r 一) 弭= 日+ g ， q = p 其中 日= 1 ，咐，) ( 州) ) n 1 竹口+ 1 1 7 咐l 叫( n 。q ，m 弭，叭。_ + ，n 。- + ) 为q 阶法形式，并且在上面的表达式中，z = 学o 至少为g 的r + 1 阶零点 证明：记 ，= 矗 q p 一1 1 一 矿r+ ，= 彬 d州蟛 口瑚 “仰 = ， 第二章球面上非线性k l e i n g o r d o n 方程的解长时间存在性 为，的q 一阶齐次多项式的和，q p 2 ，利用对七的归纳证明定理2 3 如果p 是奇数，设珥= 弭+ f 学群+ z ：学鼋= 婶+ 肆( u ) ，由引理2 2 2 ， ( d t a m ) + + 1 附，) 1 ) l - i 唧+ ，坞v + 2 l ( 。，。( 学) ，却u e p ( 学) ) n l n p + l p 磷( u 。，( m ，( d t 一勺( f ) k ) u e j ( 1 ) 叫e 。( d ) z 学j 2 1 p + 屏( “。，( z ) ，( 皿一勺( z ) a m ) u 勺( m ，u e q ( t ) ) f = 学j = l + 厶 ( 2 2 1 5 ) q p 对u 一，n f 4 n n 定y v 一= u 一+ 卫( u ) 得到类似的结果将札士= v 士一瓯( u ) 代入以 上方程 ( b a 饥) 钉+ = 1 t ( n 。，唧+ 。) ( p + 1 ) ) 唧+ 。叫( 竹。( 1 ) ，唧仉p ( z ) ) 住1 n p + l + + 1 ( u ) ， 其中局+ l ( u ) 在。处为p + 1 阶零点然后利用关系o = _ + + 乱一= ( 2 2 1 6 ) _ + + 秽一一耳( 矿) 一 ( ) ，用一- + + 耳( ) + ( ) 代替u 一并将高阶项归入1 ，就可以得到r = p 时 的结论 如果p 是偶数，由引理2 2 2 ，存在群m r , ，z = 0 ，p 使得对脚= 铭+ + p - o 群，有 pg ( 现一k ) 啡= 群( 铭e ，( d ，( 现一勺( z ) a m ) 铭勺( d 叫e 。( c ) ) 1 = 0j = l + q p p + l = 嘭+ 1u e l ( 1 ) ，u e v + 1 ( t ) ) + 2 ( ) 1 = 0 ( 2 2 1 7 ) 上面的方程可以通过用( d t 一勺( f ) a m ) 乱。j ( z ) 的值厂= q p 厶代入，并将p + 1 阶项 归入到后面而得到再次利用引理2 2 2 ，存在硌1 m p ”+ 1 ，使得对秽+ = w + + 寄磁+ 1 = 牡+ + 耳( 汐) ，有 ( d t a m ) u + = 1 ，m ：冲p + 2 ) ) 獬2 碑+ 1 ( 一e 1 ( m ，唧珏e p + l ( f ) ) n 1 n p + 2 + 马+ 2 ( u ) ，( 2 2 1 8 ) 其中z = 警对乱一，类似定义u 一= 钆一+ ( u ) 也有相同的结果将乱士：v 4 - 一& ( u ) 1 2 第二章球面上非线性k l e i n g o r d o n 方程的解长时问存在性 代入以上方程，有 ( d t a m ) q = 1 ，f l 卅。闽2 ) ，唧+ 。群+ 1 ( n 。l ( 1 ) ，k 州z ) ) n 1 r i p + 2 + 蜀+ 2 ( u ) ， 其中岛+ 2 ( u ) 在。处为p + 2 ( u ) ，可用一- + + 耳( u ) k = 吲的情形得证 ( 2 2 1 9 ) 阶零点则利用关系0 = - + + u 一= - 十+ 秒一一耳( u ) 一 + n ( 纱) 代替移一立即得到r = p + 1 时的断言也就是说， 假设r = 2 k + 1 时定