（基础数学专业论文）幂子群与群的结构.pdf

幂子群与群的结构 学科专业；基础数学研究方向：滗限群论 攒导老耀：裴泽雾教授翳究生；誉蠖f 2 0 0 0 2 0 5 摘要 在群的煺论研究中，通激对群的幂子群的研究，来探讨祥的性质是群论研究中的一条 镁黧要懿途径。本交在蓑人研究簿萋疆土，逶遘封幂子嚣懿避一爹繇究，褥弱了熬下一 些主要结论q 7 定理l + j 若g 爨薅羯幂零嚣，焱对程熹尹# f 国有黪：g p i o 。懿兖要条箨是g 懿 扣一个西洛予群岛是中心被有限的扩张麒满足l e ( g p ) ：( e ( ) ) ， 。o 窥瑾t , 2 藩嚣期鼹帮幂零群g 蹙f c 一辩，覆蔑辩任意p z f g ) 窍 g ：舻l o 。，辩对 g 的每一个暇洛子群g p 有l g p ：e ( q ) l 。o ，k ( g p ) ：( e ( 岛) ) ”l o 。 定瑾1 3 设g 愚霹释p 一群，曼e x p g 。若舀还满足簿：伊 o 。，鄂么g 燕有限 群 宠理1 , 4 蓿g 燕趣限上中心群，鼠e x p g 。，如果对任意p 群( 固，有1 g ：i o 。， 则g 是有限幂零群。 窿理1 5 若g 蔻褥部有限群，弼对任意hsg 及任意p ”( 搿) ，有1 h ：俨l 。且 h h p 的突要条绛是g 是髑部幂零群，登g 的任意西洛予群是骞限群。 癍理2 1 设g 是p 一群，蓿g 满怒 g ：g p l * o o 值对g 的任意真予稀日有1 h ：酽1 o o ， 莠么p 2 ，3 ；当p 乏5 时，黔任意茗g 一伊豆。不餍予e 姆) ，鸯g = g 萨。 定理2 2 设g 是p 一群，菥g 满足i g ：g p l = o 。假对g 的任意异予g p 的正规子祥， 骞| v n ：f v n ) 9 l 。o ，鼙么p 2 ，3 ；姿p 5 嚣砉，对任意g g 一鲈，。鳇必辕类无袋 定理3 1 设g 为有限群，若群g 只有4 个子群不是幂子祥，那么g 望z 3 z 3 ， ，4 罗 荚键调；幂予群；f o 一群；弱部有限群；局部幂零群；超限土中心群；超可解释， 2 t h e p o w e rs u b g r o u p sa n d t h es t r u c t u r e o 堂g r o u p s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：t h et h e o r y o fi n f i n i t eg r o u p s t u t o r ：p r o f d u a nz e y o n g a u t h o r ：l vh e n g ( 2 0 0 0 2 0 5 ) a b s t r a c t l e tgb eag r o u p ，as u b g r o u po fg ，i f 揣 f o r & n o n - n e g a t i v ei n t e g e r 扎， t h e nw ec a l lha p o w e rs u b g r o u p s o foa n dd e n o t eh b y8 8 ， i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，b yi n v e s t i g a t i n gt h ep o w e rs u b g r o u po fag r o u p ，w eh a v ep r o v e dt h e f o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m1 1i fgi san i l p o t e n tt o r s i o ng r o u p ，t h e ngs a t i s f i e si g ：伊i 。f o re v e r y p 霄( s 远a n do n l yi f , e v e r ys y t o wp - s u b g r o u pg po f 搿i sa ne x t e n s i o no f t h ec e n t e rb y & f i n i t ep - g r o u p ，a n da l s os a t i s f i e sl ( ( g p ) ：( ( ( 嘭) ) 9 l o o t h e o r e m1 2l e tg b ea l o c a l l yn i l p o t e n tt o r s i o nf c g r o u p 。i f g s a t i s f i e s 搿：伊 o o f o re v e r yp 霄( g ) ，t h e ne v e r ys y l o wp s u b g r o u pg 警o fgs a t i s f i e sl g 黟：( g 1 ) l 。，a n d g p ) ：岛) ) 9 l 。， t h e o r e m1 3l e tgb eas o l u b l ep - g r o u pw i t he x p g o o i fg s a t i s f i e s g ：酽f 。， t h e ngi saf i n i t eg r o u p t h e o r e m1 4l e tg h e 盎h y p e r c e n t e rg r o u pw i t he x p g o o ，l f gs a t i s f i e sl g ：酽l o o f o re v e r yp 坩( g ) ，t h e ngi saf i n i t eg r o u p t h e o r e m1 5l e tgb eal o c a l l yf i n i t eg r o u p ，t h e nf o re v e r yp r o p e rs u g r o u pho fg 嚣 s a t i s f i e sl h ：t p i o of o re v e r yp ”( 科) a n d 日h pi f , a n do n l yi f , gi sal o c a l l yn i l p o t e n t g r o u p a n d e v e r ys y l o wp - s u b g r o u pg 。o f gi sf i n i t e 。 t h e o r e m2 1l e tgb eap - g r o u pw i t hi g ：g p l o o ，b u tf o re v e r yp r o p e rs u b g r o u p 嚣疗s a t i s f y i n g | 努：舻| o o ，t h e np 2 ，3 ；珏p 5 ，t h e nf o re a c hn o n - c e n t r a le l e m e n t g g g p ，o n e h a s d # g g p t h e o r e m2 。2l e tgb ea p - g r o u pw i t h g ：g 薯= o 吒b u t f o re v e r yn o r m a ls u b g r o u p o fg s a t i s f y i n g ga n di g n ：( g n ) pj o o ，t h e np 2 ，3 ；i f p 5 ，t h e nf o re v e r ye l e m e n t 警g 一拶，霉h a si n f i n i t l ym a n yc o n j u g a t ee l e m e n t s ， 3 t h e o r e m3 1l e tgb eaf i n i t eg r o u p ，i fgh a so n l y4s u b g r o u p sw h i c ha r en o tp o w e r s u b g r o u p so f g ，t h e n g 麓磊x 磊 k e y w o r d s ；p o w e rs u b g r o u p ；f c - g r o u p ；l o c a lf i n i t eg r o u p ；l o c a ln i l p o t e n tg r o u p ；h y p e r - c e n t r a lg r o u p ；s u p e r s o | u b l e g r o u p ， 引言 设g 为群，日是它的一个子群，若存在正整数n 使得h = ，则称日为 g 的一个幂子群，记为h = g ” 在群的理论研究中，通过对群的幂子群的研究，来探讨群的性质是群论研究中一条很 重要的途径 设g 为群，如果对任意g g ，都有g oeg 使得g = 鳋，那么显然有g 的幂子群g p 满足g p = g 关于拥有这类特殊幂子群的群，b a u m s l a g 在文 1 中做了仔细的研究，他 在文中定义了一类群玩，即若群g 属于玩，则对任意p u ，g g ，x p = g 在g 中恒有 解，在文【1 】中作者得到了( 定理1 4 1 ) ：若g 是超限上中心群，而且还是玩群，那么对 任意p g 中所有p 的方幂阶元形成一个包含在g 之中心内的子群 在文献【2 】中，玩群又被定义为u r a d i c a b l e 同时又定义了另一类群，即对任意p m ， 若有g = g p ，则称群g 为s e m i 一口一r a d i c a b l e 群当g 为周期群时，若u = ”( g ) ，那么 这两类群又分别被称为r a d i c a b l e 群和s e m i r a d i c a b l e 群文献【2 】中( 引理9 2 1 ) 证明了 s e m i r a d i c a b l e 群是r a d i c a b l e 群的一个真正的子类 其实早在1 9 4 6 年r a d i c a b l e 群就被c e r n i k o v 在文【3 】和文【4 中研究过，只是这类群被定 义为完备群( c o m p l e t eg r o u p ) 综合c e r n i k o v 文【3 】( 定理1 0 ) 和文 4 1 ( 定理4 和定理1 0 ) ，文 献【2 】得到( 定理9 2 3 的推论1 ) ：对于超限上中5 - 群而言，7 r r a d i c a b l e 和s e m i - i t r a d i c a b l e 是一致的，即所有的”元都在中心内由此易知一个很好的结果，即若g 是周期超限上 中心群，若对任意p ”( g ) 有g = g p ，那么g 是阿贝尔群 本文将g = g p 拓展为l g ：g p f o o ，或群g 有子群日满足i h ：h p i o o 以及或者有 商群g n 满足l g n ：( g n ) p i o 。，在群g 还满足一些特殊的条件下，我们进行了较为 详细的研究，得到了： 定理1 1 若g 是周期幂零群，则对任意pe ”( g ) 有i g ：g p i o 。的充要条件是g 的 每一个西洛子群g p 是中心被有限的扩张，且满足i e ( g ，) ：( e ( g ，) ) ，i 。 定理1 2 若周期局部幂零群g 是f c 一群，而且对任意p ”( g ) 有i g ：g p l 。，则对 g 的每一个西洛子群g p 有i 锦：e ( 锦) l o o ，i ( ( g p ) ：( ( ( q ) ) l o 。 定理1 3 设g 是可解p 一群，且e x p g o 。，若g 还满足i g ：g p l ，那么g 是有限 群 定理1 4 设g 是超限上中心群，且e x p g o o ，如果对任意p ”( g ) 有l g ：g p i ， 则g 是有限幂零群 5 定理1 5 设g 是局部有限群，则对任意h 竖g 及任意p 7 r ( h ) 有1 日：h p i o 。，且 h h p 静充舞条终为g 是鼹部幂零器显g 瓣任意落洛予群麓有蔽薅 定理2 1 设g 是p 一群，若g 满足| g ：g p l = 。，但对g 的任意真子群日有i h ：h p l 0 0 ， 酃么p 2 ，3 ；警p 25 辩，对任意。g g g p 嚣。不演予 ( 固，有g 一 s g p 。 定理2 2 设g 是p 一群，若g 还满足l g ：g p i = o 。，但对g 的任意并于g p 的正规子群 有| c n ：f g n 翔 0 0 那么p 2 ，3 ；当p 5 对，z , j - 任意# g g p ，。静荚藐类有无 限多 掰史上述有人孤努一个角发去磷究幂子群对群的缩梅豹影响，如f s z a s z 在文 5 对 幂子群作了如下的研究，群g 为循环群的充骚条件魁g 的所有子群都是g 的幂子群 文际弼，i s 】辩f 。s z a s z 的定理涟行了猴广，稔耵j 证明了以下绪论：g 为循环释的充要条 件是每个循环子群都是幂子群 周伟在文1 9 】证骥了：不襻在仅有一个或两个子群为菲幂予群的释，并给出了只有3 个子群不是幂子群的群的结构 在本文我 j 迸一梦证磅了； 定理3 1 设g 为有限群，瓣群g 只有4 个子群不疑幂子群，那么g 笺z 3 忍。 宠理3 2 设g 为有限群，蒋群g 必有5 个子群不怒幂予群，那么g 是超可解群 符号：本文弓l 熙鲍符号是参照d + j s r o b i n s o n 的著佟【l 噬 为方便起见，下面列出一熙在本文中常见的符号： f r a t ( g ) ：耧g 斡弗拉蒂尼予群 i a f ：群g 的阶 g ”：冀g 豹n 次器予群 g ( 吐群g 的n 次导群 g ) ：群g 静下审心裂豹蘩n 璞 e ( g ) ：群g 的中心 g 。：群g 鹃秀洛p 一子辩 h g ：群g 的子集在g 中的闭包 ”f g ) ：群g 串懿袁之酚翡豢嚣子集合 6 一幂予群对幂辫群，越限上中心群的结构的影响 文献 2 】中涯葫t 淀理9 、2 ：着掰期群g 是超戳上中心释，虽对任意p ”( g ) 有 g = g p ，那么g 是阿贝尔群。本节我 | 】将g g p 拓展为l g ：伊l 。，对暴零辫，f c 一 群等些特殊群进行了研究 l 理1 1 竣g 是孵掇尔p 一器，则l g ：g p l 的炎分必要条停是0 = d f ，其中p 是可除子群，f 是有限群 证明显然我船只黎涯嚼必辫性。逸文献【l o 】定理4 ，1 4 繁g = d f ，其d 申是霹除 子群，f 中不禽有可除子群下证f 是有限群 鸯予| g ：攀p d f ：秽xf p l 一 f ：f v l 是有限缀环予群。若f 楚无限鳃，则是熬无限的，鼹有 n = f 2 ( i 2 ，飓竺鳓 a 3 ， 可以笼限下去，因诧定存在派整数斡十1 ，使褥 f = 磊+ l x 贝4 显然有 f p = 参氧l ， + 壶j ：卷l f ：l p , i + i ，矛震困越f 淹鸯照p 一群。o 引瑚1 2 设g 是任意群，竹炬正整数，又设o l ，蛳。，籼拭1s i 羔竹，则有： f 8 l ，8 趣，鑫枉】；融i 。，a i ，8 l 。l ，羲。，a n m o d + t g 冕文漱1 0 i ) 引勰1 3 设g 是鞯零p 一群且满足i g ：伊i 。，则有i h i ，l ：炳，。 。0 ，其中 殛，l ：麓f 国，燧j 尹= 鼹冉l 0 i 墨强辩n ，j n ，箍隽g 黪器零类x 正明由于i g ：g p l ，困魏掰是有双生成豹纂零p 一释，蘸| m l 。，显褰g = 秽龉。垂就 有 仉( g 协+ l ( g ) ) 蝴f g 中州m + l ( g ) ，g p m i t i + l ( d ) 1 e ( g m + l ( g ) ) 、。_ _ - - i _ - _ _ _ - _ _ _ _ - _ - _ _ v p 。_ _ - _ _ _ _ 。_ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ 一 个 对任意z = 9 1 m l m + 1 ( g ) ，g i m i i + l ( g ) 】7 i ( a t m ( a ) ) ，其中卯g ，m j m ( 1 j i ) 由引理1 2 知 g l m l i + 1 ( g ) ，g i m i t i + l ( g ) 】 = 【m t i + a ( a ) ，g i m i i + l ( g ) 】 m l m + 1 ( g ) ，g i m i t i + l ( g ) = g l ，9 ：m i 】 m l ，g i m i i + l ( g ) 又由g i = 鳋蛾，因此 同理有 z = g i l 9 ，g i m i m + 1 ( g ) m l ，g i m i i + 1 ( g ) 【m l m + 1 ( g ) ，m 2 9 2 t i + l ( g ) ，g i m i y i + l ( g ) 】 = 【m l ，”2 ，g , m d t , + l ( g ) m 1 ，9 2 ，g i m i i + 1 ( g ) = m 1 ，m 2 ，9 i m i 】m + 1 ( g ) 【m l ，9 j i 鲫，g i m i p m + 1 ( g ) 令a 7 7 i + 1 ( g ) = g i l g i ，g i m i m + 1 ( g ) ，a g t i + l ( g ) = m l ，毋l 卯l ，g i r a i 7 m ( o ) 其中0 1 ，a 2 7 i ( g ) 那么 g l r n l 7 i + l ( a ) ，f f i m i y i + l ( g ) 】 = 【9 1 1 ，m 2 ，9 3 m 3 ，g i m i t i + l ( g ) o m + i ( g ) a l t i + 1 ( g ) = 【m l ，m 2 ，g a m 3 。，g i m i t i + 1 ( c ) c o 1 a 2 ) m + l ( g ) 由此类推可得 z = 鳐m + 1 ( g ) m l ，m i t i + 1 ( g ) ， 其中g o m ( g ) 因此 7 i ( g 7 i + l ( 6 ) ) = ( nc a ) l t i + d g ) ) - 7 i ( m t i + l ( g ) t i + l ( g ) ) 由于i m l o o ，故 | 7 i ( m t i + l ( a ) - y , + 1 ( g ) ) i ( 3 0 因此有 1 7 i ( g t i + l ( g ) ) ：h ( g m + 1 ( g ) ) i 1 7 i ( m t i + 1 ( a ) y i + l ( g ) ) i o o ， 8 帮宥 | 蕊g ，槐+ 1 ( g ) ) ：( 依g ，蕊+ 1 g ) 产| 由于饿( g ) 讯+ l ( 回是阿贝尔的，刚由弓l 理1 1 ，依( g ) 氆十l ( g ) = d f ，其中d 嫩可除 子释，f 怒露限予黏，匿忿耪得对秘意歪整数m 蠢 骶 塞予+ l g ) 一1 ，露戴有 鄢 其巾| a 1 ，。 o o 赉上嚣有 蔼矾，ms 瑞一1 。掰潋有 | 饿g ) 加l + d g ) ：毯，m 乍i 8 ) 馕+ l 谷) | 。q 煞( g ) ：氆m 蕊+ l ( 搿) | o o 8 ) ：壤。| o 。 弧g = 竭l m i m | 强一1 8 ：嚣一l 擀+ 壤+ 辨- a l ，# 0 0 l 一1 g ：嚣n + 1 朋- 黛l 辨i o o 即露1 一l ( g ) ：玩一17 m ， ，其中h i + l = 璎，鼹= ，l g ：欺l 糯 其中鞣= ，蕊十1 = 璎，1 曼蹦1 ，嚣潢蹩l g ：h m | 1 爨雩，鸯翔一l 翻墨( g x 喃一2 0 ，蠲一一l ( g ) ，荔禧 霹瑗鸯 一2 ( 固，g p l z 哧一d a ) ，翻9 = ( 一l ( g ) ) 9 = 一1 ，2 ( g ) ， 一d a ) ，( ) j = 一l g ) 强，一：( q ，敝j 一一1 ，d a ) ， g 其中g ：h 1 ，研= 飓，职= + l ，一1 ，1 ( g ) = 一l ( g ) ，惭一1 卅1 ( g ) 2 ( 一l ，t ( g ) p 1 茎i 墨k 一1 令伽一。( g ) ；d 。一1 n 乩d 。一1 魁可除子群，而n 一1 中不含可除子群，由引理l 3 l h l ( g ) ：( h 一1 ( g ) ) i 0 0 ， 又出葶| 理1 1 褥靠一l 应为有隈p 一群，嚣两= | 筝在一个蠢整数使得 7 - 一1 ，b 回= d n l = f 一2 g ，h k 。】 考虑商群风山由上断讨论知，对任意正整数l k o 有 一2 ( g ) ，h k 。】= 一1 ，k 。( g ) ， 因此“女。( 8 ) h k ，又由弓i 理1 3 翔， | g ：h k o | 0 0 ，| g ：h k o l | o o 教有l ：+ 1 l 。因薅 i 矾o d n 一1 ：讯0 + 1 d n 一1 1 0 0 盘子壤。玩l 静幂零类至多秀强蠢 d n l 一一2 g ，峨。】一2 ( 域。) ，峨。卜7 n l ( 热。) ， 所以风。巩一l 幂零类小于n ，由归纳法知风。d 。一有有限正规列 王“o d n 一1 矾o + i d n 一1 d n 一1 睁h m d n 一1 d n 一1 ， 其中( 西。，玩一1 ) 9 = 端。三k _ 1 由于醒一：= d 。一i ，易得d 。一1 强壮) ，故越规确为 嚣b f d u i h t | d u 一1 鞋m d n 一1 。 而且我们还可以得到鼹= 职。， 困此g 有有限正规列g h i h 2 p 。，其中砩= 妇| m 又晦引理1 3 有 聩：琏+ l l o o ( i ) ，丽m 是有歉正整数，故 g ：魑。l o o 定耀1 1 设g 是周期幂零祥，则对任意p6 ”( g ) 有l g ：g 9 l 0 0 的充要条件是g 的 每一个酉洛子群岛是中心被露限的扩张，曼满足殴岛) ：岛) ) ，l 0 0 。 i 0 证明充分性由题设，对g 的任意西洛子群g p 有i e ( g p ) ：( ( ( g p ) ) 1 o o 由引理1 1 有( ( g p ) = d p 昂，d p 是可除子群，昂是有限子群显然d p q g p ，又由c p ( ( g ，) 是有 限p 一群，易得g p d ，是有限p 一群而d p 曼( g p 尸显然成立故i g p ：( g p ) l c o 由题 设知 g = g m g p 2x g p 。x ， 故对任意p i ”( g ) 有 g p - = ( g p l ) 9 1 ( g p 2 ) x ( g p 。) 9 。x = g p lxg p 2 ( g n ) m g p 。， 因此有1 g ：g pz l = 1 g n ：( g “) “i o 。成立 必要性由上面充分性最后的证明，对g 的任意西洛p 一子群g ，易得i g ，：( g ，) 9 i o o ， 由于g 。是幂零的，因此由引理1 4 可得g p 有正规子群h ，满足h = h 9 且l g p ：日i o o ， 由文献【2 ( 定理9 2 3 ) 知，h 是可除阿贝尔子群，又由文【1 2 知，h 曼( ( g 一) ，因此有 l g p ：( ( g p ) isi g p ：h l 。o 显然h ( ( ( g p ) ) 9 ，故 i e ( g ，) ：( ( ( g p ) ) 9 i 1 ( ( 郇) ：h i o o 引理1 5 设g 是有限p 一群，若l g ：g 9 i = p ，那么g 是循环群 证明假设g 不是循环群，那么g 至少有两个生成元，因此令g = - 由 于f r a t ( g ) g ，因此有 a a = x ， 由此有 l g g ：( g g 甲i = l ： i = p “， 即l a a ：g p g7 g 1 = p “因而易得 i g ：g 9 i l g ：g g 1 l = p “， 矛盾故g 为循环群口 推论1 1 设g 是幂零p 一群，l g ：g 9 1 = p ，则g 是阿贝尔的，且g = d f ，其中d 是 可除子群，f 是循环子群 证明由定理1 1 有i a l ec a ) i o 。，且i e ( g ) ：( ( ( g ) ) i 。由引理1 1 可知e ( g ) = d l 最，其审d l 是霹狳予嚣，最愚蠢限嚣。裂g d 1 是寿隈p 一群又 l g d 1 ：( g d 1 ) 9 l l g d 1 ：g 9 d 1 d 1 l = l g d 1 ：g p d 1 l = 鼽 显然由引理1 , 5 ，g d 1 只有1 个生成元，否则i g d 1 ：g p d 1 i p 2 因此g d 1 是循环 p 一群，又d i 在孛心，敬s 怒阿烫骞 群。又凌雩 理1 易褥g = dx f ，其中拶是可狳予 群，f 是循环子群口 善l 疆1 6 浚g 是纛限局部器零p 一释，若| g ：g p | l a m d 这样下去，我们可以找到难 规予群 珏，使得峨满足上筒条件，但是i g m k i h i 由于( a m k ) = g p m k m t ，因此( g 肘；p 在g m , 中的陪集代液元集可以表示为 z 1 靠，x n m k ，因此由a m , 是有限群，我们可以知道 、 a m k = = m k h m k ， 即考 g m , 篡h h n m k 遥魏霹褥 l g m k i l h hn m k l 曼i j z i ， 矛盾予| a m , | 9 1 故g 不能为剩余有限群口 定理1 2 设周筋局部幂零释g 是f c 一群，而且对任意pg7 r ( g ) 有f g ：l o o ，则 g 的每一个西洛子群咚幂零，且有l q ：e ( a p ) | o 。，鹭( 岛) ：( e ( g p ) ) 9 | o o 证明由于g 是周期局部幂零的，由文献【l o 】( 定理1 2 1 1 ) 知， g = g r l g 却。8 p 。， 1 2 因此对任意p i r ( e ) 有 g p = g ；6 甏，g 妻+ ， 即有 | 岛；：g 鬟| 一| g ：g p | 教我砖必爨考虑g 的西法子群岛出于q 是f c 一群，因此由文献【l o l ( 定理1 4 5 6 ) 知g ，( g p ) 怒剩余有限群叉显然有 | g p 必 g p ) ：( g p 必 岛) ) i = | 岛必( 8 p ) ：铲 g p ) 必( u p ) | 。， 医此凌零l 理1 6 可知岛必( 岛) 是有限p 一群，靼岛是中心被蠢限p 一器的扩张，故g ，是 幂零p 一群由定理1 1 得l g p ：( ( g p ) i o o ，i e ( g p ) ：( e ( 岛) ) l o o 口 霉| 理1 7 设g 是蹋掇可瓣器，嚣冀e x p ( g ) 。o ，又设怒g 懿夔援舞受尔予群，疑 l g n l 0 0 ，那么g 怒剩余有限群 逡鞠对任意g g n ，鬟然g 懿燕规t 予器瀵怒雪不嚣予n ，瑟g i n 楚有限群 下面诫明对任意g o n ，有正规子群，使g o 不属予。且g 撼有限群 交予e x p n o o ，爨踅鑫文藏【l 瑗f 定理4 3 1 4 ) ，n 霹戳表承戏为循环- 7 = 群鲮麓黎，帮套 n = x ， 故对任意g o n 0 n x x 。由于i g i n i o 。，故g o 的共轭类个数是 有限多个令m = x ，显然m e n ，嚣魏m 8 怒有限童蔽豹阿菇尔 子群，因此m g 是一个有限群由于可以寝示为循环群的巍积，因而存在子群m l 使 褥n m g 施、荔褥m lq g ，显然鼬不属予碣，稻且有 l g ：竣 = | g ：n ，l n ：强l = l g ：n | l m g l 因此g 是剩余有限群口 定理1 3 设g 是可解p 一群，且e x p g o 。，若g 还满足| 0 ：g p o o 那么g 是脊限 群 证明设g 的导长为d ，我们对g 的导长d 进行归纳 当d = 1 时，g 是阿贝尔的，由题设及弓l 瑗1 1 ，虽然g 魑有限群 考虑商群g g ( 8 ) ，驻然m c ( 8 ) 的导长为d 一1 ，又 | g g 汹：f g 舀( 癌) ) 尹| 茹| g ，g 礴：( 产g 硅g 粒l 曼l e ：( 芦g f 苟| 。， 1 3 因魏有g g ( 8 ) 是番隈群郡么壶号l 灌l ，7 ，g 是释余有限群，又壶孳l 淫1 6 ，g 是有袋群 口 宠理l 。4 设g 是超限上审心群，篮e x p g o o 粥栗对强意p w ( 回有 g ： 。 则0 是有限幂零群 诚明不妨设e x p g = e = 疗毋由题设可得g 楚局部黎零群，袄而易褥 g = g p l x g m g p 。 其中g p i 是g 的西洛子群对任意p i ”( g ) 有 g 伟= ( 岛1 ) m ( g p 2 ) mx x ( e p 。) p 因此有f 岛t ：( 锦) ” | = i g ：g p i o o 下面我们仅需证明g p ；楚有限群 游g k 是可解群，出定理1 3 ，显然 ；题有限群 若g p 。不可解，那么由文献 1 0 ( e x e r c i s e1 2 2 3 ) ，g p 。的导群是非平凡的，因此g p 的导 长熬无限的。建于 i 罐：( c p 。g ，( k ) 挑i = i g p 。罐：( ) m g ( k ) g ( k ) l i g n ：( 啄) 张罐j 。， 由定理1 3 ，g p 。i g ( p ：是有限群假设i g p ；：( g 肌) 7 i = 硝，则( g p 。) 在q 。中的陪集代表元集 至多胃淡悫j 个元棱残。不妨设f ) 在g p ；孛豹藩集我表元为。l ，。l ，冀孛| j + 又 ( 岛。( 锦；) ) 一( 岛。) ( 嘭；( 回；一( g 。) ( 岛；) ( 舢 因此( g “( a p t ) ) 在g p , ( 锦；妒) 中的陪集代表元可以表示成为。1 ( o ；) ( m ，跏( g ，) ( ， 鑫t g p , ( g p s ) 。i 。，有岛；7 ( g 蠢) ( 蠹 = ，壶魏，有g m 。 ( 郇t ) ( m ，即有g p ( 岛) ( ) 皇 n ( q i ) ( 柚但是豳于 女可以无限增大，因霹| f 瓯) 2 ，| 氇可浚觅限增大，这与l l 。矛辫。 口 攘论1 2 设g 是麓限下审，i t ：p - 群，且e x p g = p l ，如果有i g ：秽f 。o ，那么g 是有限 群 诫瞬由磁设显然g ，因此由定理1 4 的证瞬方法，类似可得g 是有限群。 窟理l 5 设g 是局部有跟群，则肘任意h ! g 及任意p ”( 口) 有1 日：舻l o 。且 h h 9 成藏的充要条件为g 是局部幂零群融g 的任意西洛子群是有限群 1 4 证明充分性由题设对任意h g ，h 是局部幂零群，因此 h = h p l h p 露。 其中p i w ( 拦) ，缉；楚h 懿嚣洛予群，显然考 h m = ( 髫1 ) 般x ( 髫2 ) “x ( 醚p n ) 翔 = 妫l h p 3 ( 玛。) “x 岛。x ， 因此i h ：日“i = j ：磁1 由于岛。怒有限p i 一群，故有i h ：h 9 u 。，而且h h “ 必要性首先我靛诞嘤g 怒局部幂零的 令是g 的任意有限生成子群，由题设最然日怒有限的，对任意p ( 日) ，由予 h h p ，因此我 f 】可以莓晕到嚣的一个凑限正戴列 h = h 1 睁h 2 h k ， 其中h f = 盟+ l 1 l 墨k 一1 ，h f = g k 由题设，有p 不属于 ( 风) ，而且对的任意p 元h ，都毒h 芒磁。毽藏绥是嚣豹h a l l 一一予群显然至& h 。嚣戴瘗p 瓣矮意牲麓， 日是瓣零的 又考虑g 魏嚣洛予群岛，巍然岛怒是酃鸯隈熬下蘑我瓣证臻s 满是檄，l 、条终， 不妨设岛不满足极小条件，那么幽文献【1 0 】( 定理1 4 3 i ) 知必有岛的一个阿贝尔子 群不滚是极小条箨，浚囊蠢毪慧不满足檄，j 、条 孛豹露燹尔予群鑫题设知| 建：a p | 商鬻 此由引理1 知a = d f ，其中d 是可除子群，f 是有限阿贝尔子群但是由于d = d p ， 困魏d = 1 帮有 楚宥限蜀爱尔子群，莰蔼 满是投小条 串，矛盾闲魏g ，满足穰，j 、 条件 由文献【l o 】定理5 4 2 3 ) 翔g ，是可除阿英尔子群被有限p 一群的秽张但是由题设 g p 中不能有j e 平凡的可除子群+ 因此g p 只能是有限p 一群得证 e 1 推论1 3 设g 是局部有限p 一群，掰对任意h g ，宥 h ：甜9 i o 。且h 灯p 的充簧 条件照g 是有限p 一群 我们翘遭任倪一个有限可勰群都有一个有跟的幂子群列，即g 一鼹g p = 2 h i 瓤+ l c 1 ，而艇g f 理1 4 也给了一类具有正规列的群，下面我们研究类特殊的 具有幂予群正艇列的群。 1 5 定理1 6 设g 是一个周期可解群，著对任意p ”( g ) ，有f g ：g p i o o 而且i g i o o ， 释么g 有一个正褒枣嬲g = 强h 2 玩。，这辍强+ l 一酵霸# g ) ，其孛虢。 是可除阿贝尔子群；当i ”( g ) i o o 时，则有i g ：日。l 0 0 ，而且n 。烂有限正糕数 滋鹾壶予g i g ) 揪= g m a ，箕中搬6f g ) ，释么由| g ：g m | o 。，容| g i g ： ( g g ) “i = j a l c ：g p g g i 0 0 甏对任意9 g 6g i ，若梦l t l g a l ，鄂么9 g + ( g i g ) 搬，叉瓣为g i g 是阿烫容静，新 以g i g = a b 1 ，其中以是p l 一群，曰是五一群故肖 ( g g ) 9 ，= a m b p a p l b 1 密戴耪得 i a b i ：a “四 1 i = i a ：a 1 i 0 0 ， ， 即a d p ，a i ，其中d p ，是可除的阿贝尔p l - 群，衙i a l 】 o o 不妨令l a t l = 衍，那么 就存农1 s ls m 使褥 a 痔；( d p ，) 9 ：1 砰p ：d p ， 霆悲 ( a l a 7 ) ：1 = d p l b 1 弱祥 ( ( g i g ) 一印= 岛。场， 这样持续下去，a l e 有一个派规序列 g i g d p l b i d p l d p 2 b 2 。d p lx d p 2 d 奢3 搿0 1 d ， 这里z k 。g 一d p ；b 。，爨此g 也有一个藏规序列 g = 日l 睁娥睁胁巩。， 其中对任意ps ( g ) ，有( 日。，g ) = h o ，g a 7 = 眉。a 下灏再讨谂玩，因蠹圾： g ，所以毒磁；g ，肄l 磁，| 0 0 ，又冁为蠢 i h ，瓯。：( 巩，或。) 叫一l 巩。瓦。：蛾，瓯。磁， ， 而且由l a 7 l 0 0 ，巩，瓦。g n 瓦。瓦。皇巩，g n 瓦，因此有 | 瓿，或，| 一i h o 。n 。眵n 或，瓦。i ， 1 6 由此赫得 | 玩，或，：壤，c a l = | 敝；磁；l l 玩，玩，ng 7 | 。 且类似可得 | 磁；磁，瓦。：瑶，c l 。 因此我们容翳得到 i 巩，瓦，：( 玩，瓯。一 。 剩建上嚣方法感榉可褥娥，麴一个歪趣露烈 风l 1 + lp 风l + 2 睁睁凰2 且对任意p 7 r ( 日n ：) ，有( 曰文瓦，) 一玩：或，由于l g o 。，瓦。日二，g 因此 必有赢整数m ，使得经过m 次同样的步骤使缮磁。一磁。又对经意p * ( 点k 。) 凑 ( 风。成。) 9 一玩。瓦。，我们容易得到娥。= 凰。，p ”( 玩。) - v 嚣证明磁。是霹除阿煲尔予群。麦子l 瓯。l 。o ，圭文鼓【l 键( 定理1 4 。5 ，3 ) 霹溜 l h e , 。g ( 。) | o 。，于是有点k 。= c 2 ( 正k 。) ，否则容易得到必肖p 7 r ( 五k 。) ，使得z k 。 嚣蓦。，数豉。是暴零嚣，困戴鑫文献翅( 定理9 2 3 ) 褥玩。是跨烫尔释。 当f 7 r ( g ) l o o ，则由前面所得易知序数n 1 ，n 2 ，n 。是有限正整数，而且i 蛹：甄+ 1 l o 。，t i 墨8 m ，数毫 娥：嚣。| ，帮 g ：点k 。| 。西 引理1 8 对群m 和，若