（基础数学专业论文）非本原复反射群g（mpn）的表出.pdf

论文摘要 时俭益教授引进了表出同余性和本质表出的概念，得出了非本原复反 射群g ( m ，1 ，n ) 的不同余的表出( s ，p ) 和扎个顶点的有根树r 的同构 类之间存在一对应关系，非本原复反射群g ( m ，m ，礼) 的不同余的表出 ( s ，p ) 和竹个顶点n 条边的仅含一圈的连通图r s 的同构类之间存在一一 对应关系，并依据根图详细描述了非本原复反射群g ( m ，p ，礼) 的表出的同 余类，见 1 】 2 。 本文主要对非本原复反射群g ( m ，a 竹) 和g ( m ，m ，n ) 的表出作出进一 步简化，并给出非本原复反射群g ( m ，m ，竹) ( 当m 一3 ，n = 3 ，4 ，5 ，6 时) 以 及g ( 1 0 ，2 ，3 ) 和g ( 6 ，3 ，4 ) 的所有不同余的本质表出。 关键词：非本原复反射群：本质表出；同余类 a b s t r a c t p r o f j i a n _ y is h ii n t r o d u c e da ne 8 s e n t i a lp r e 8 e n t a t i o na n d ac o i l g r u e n t r e l a t i o n 眦o n gp r e 8 e n t a t i o n sf o rac o m p l e xr e 丑e c t i o ng m u p h ee 8 t a b l i 8 h e d ab 巧e c t i o nb e t w e e nt h es e to fa 1 1t h ec o n f u e n c ec l a 8 8 e 8o fp r e 8 e n t a t i o 璐f o r 此【ef o u pg ( m ，1 ，礼) a n dt h es e to fi s o m o r p h i 8 mc l a s 8 e 8o f8 l lt h er o o t e d t r e e so fnn o d e s h em 8 0e 8 t a b l i b h e dab 妁e c t i o nb e t w e e nt h e8 e to fa ut h e c o n g r u e n c ec l a s 8 e 8o fp r e 8 e n t a t i o n 8f o rt h eg r o u pg ( m ，m ，礼) a n dn i es e to f i s o m o r p h i 8 mc l a s s e so fm lt h ec o n n e c t e dg r a p h 8w i t hnn o d e sa n d ne 趣e s h e 8 t n lg a v e8 ne x p l i c i td e 8 c r i p t i o ni nt e r m 8o fr o o t e dg r 印1 1 8f o rr e p r e 8 e n t a t i 、他s o fa l lt h ec o n g r u e n c ec l a 8 8 e 8o fp r e 8 e n t a t i o n sf o rt h ei m p r i i i l i t i v ec o m p l e ) ( r e 丑e c t i o ng r o u pg ( m ，p ，n ) i nh i sp 印e r 【1 【2 i nt h i 8p 印e r ，w em m a 8 i m p l m c a t i o nf o ra ut h ep r e 8 e n t a t i o n 8o ft h e g r o u pg ( m ，m ，竹) a n dg ( m ，p ，n ) t h e nw eg i v e 出lt h en o n c o n g r u e n te 8 8 e n - t i a l p r e s e n t a t i o n s o f t h e i m p r i m i t i v ec o m p l e 】【r e f l e c t i o n 铲o u p 8 g ( m ，m ，札) ( w h e n m = 3 ，n = 3 ，4 ，5 ，6 ) ，g ( 1 0 ，2 ，3 ) a n dg ( 6 ，3 ，4 ) k e yw o r d s ：i m p r i m i t i 、怕c o m p l e xr e 丑e c t i o n 擎唧8 ；五k s e n t i 8 1p r e s e n t a t i a i l s ； c o n g r u e n c ec l a s s e s 论文摘要 时俭益教授引进了表出同余性和本质表出的概念，得出了非本原复反 射群g ( m ，1 ，n ) 的不同余的表出( s ，p ) 和扎个顶点的有根树r 的同构 类之间存在一对应关系，非本原复反射群g ( m ，m ，礼) 的不同余的表出 ( s ，p ) 和竹个顶点n 条边的仅含一圈的连通图r s 的同构类之间存在一一 对应关系，并依据根图详细描述了非本原复反射群g ( m ，p ，礼) 的表出的同 余类，见 1 】 2 。 本文主要对非本原复反射群g ( m ，a 竹) 和g ( m ，m ，n ) 的表出作出进一 步简化，并给出非本原复反射群g ( m ，m ，竹) ( 当m 一3 ，n = 3 ，4 ，5 ，6 时) 以 及g ( 1 0 ，2 ，3 ) 和g ( 6 ，3 ，4 ) 的所有不同余的本质表出。 关键词：非本原复反射群：本质表出；同余类 a b s t r a c t p r o f j i a n _ y is h ii n t r o d u c e da ne 8 s e n t i a lp r e 8 e n t a t i o na n d ac o i l g r u e n t r e l a t i o n 眦o n gp r e 8 e n t a t i o n sf o rac o m p l e xr e 丑e c t i o ng m u p h ee 8 t a b l i 8 h e d ab 巧e c t i o nb e t w e e nt h es e to fa 1 1t h ec o n f u e n c ec l a 8 8 e 8o fp r e 8 e n t a t i o 璐f o r 此【ef o u pg ( m ，1 ，礼) a n dt h es e to fi s o m o r p h i 8 mc l a s 8 e 8o f8 l lt h er o o t e d t r e e so fnn o d e s h em 8 0e 8 t a b l i b h e dab 妁e c t i o nb e t w e e nt h e8 e to fa ut h e c o n g r u e n c ec l a s 8 e 8o fp r e 8 e n t a t i o n 8f o rt h eg r o u pg ( m ，m ，礼) a n dn i es e to f i s o m o r p h i 8 mc l a s s e so fm lt h ec o n n e c t e dg r a p h 8w i t hnn o d e sa n d ne 趣e s h e 8 t n lg a v e8 ne x p l i c i td e 8 c r i p t i o ni nt e r m 8o fr o o t e dg r 印1 1 8f o rr e p r e 8 e n t a t i 、他s o fa l lt h ec o n g r u e n c ec l a 8 8 e 8o fp r e 8 e n t a t i o n sf o rt h ei m p r i i i l i t i v ec o m p l e ) ( r e 丑e c t i o ng r o u pg ( m ，p ，n ) i nh i sp 印e r 【1 【2 i nt h i 8p 印e r ，w em m a 8 i m p l m c a t i o nf o ra ut h ep r e 8 e n t a t i o n 8o ft h e g r o u pg ( m ，m ，竹) a n dg ( m ，p ，n ) t h e nw eg i v e 出lt h en o n c o n g r u e n te 8 8 e n - t i a l p r e s e n t a t i o n s o f t h e i m p r i m i t i v ec o m p l e 】【r e f l e c t i o n 铲o u p 8 g ( m ，m ，札) ( w h e n m = 3 ，n = 3 ，4 ，5 ，6 ) ，g ( 1 0 ，2 ，3 ) a n dg ( 6 ，3 ，4 ) k e yw o r d s ：i m p r i m i t i 、怕c o m p l e xr e 丑e c t i o n 擎唧8 ；五k s e n t i 8 1p r e s e n t a t i a i l s ； c o n g r u e n c ec l a s s e s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文楚我在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究戏果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含其他个人已经发表戏撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表幂谢意。 捧者签名：壶睥 嚣囊：2 芝筮兰量 学位论文授权傻震声唆 本人竞套了解华东薄莲大学有关像罄、使惩学位论文螅规定，学校 有权保留学位论文并向国家盘管部门域其指定机构送交论文的电子版 孝羝震叛。有权章等学位瓷文蕉予菲赢利强静静少量复稍并允许论文进入 学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在鳃密后适用 本规定。 学位论文作者签名：参j 喵刁 日期：趔二尘多 导师始忱俭蕴 日期：盈! 墨：墨，孚 第一章引言 s h e p h 盯d 和t o d d 在l 5 4 年究成了所有有限复发蔚群的分类， 见f 5 1 。后来，c o h e n 又引入了有限复反剩群( r ，f ) 和根图的概念，从而 对这些群进行了踅为系统貔掭述，冕闺。我髑翔遴，g o 黼t e r 群霹醵由生 成元集和关系式来表出，有限复反射群也同样可以由生成元集和关系式来 交爨。对予毒浆复复羹壹群g ，它静表如一般并不唯一。 时俭益教授在有限复反射群的不同表出之间定义了一个同余关系，并 借助这个问余关系在单根系之间定义了一个等价关系，见蚓。研究个 不可约有限复反射群的的所有不等价的革根系，并研究对应这些苹穰系 的所有不同余的表出，能够从不同侧面反映这个复反射群的性质，从而 对这个复反蔚群有更全两的攒迷衣认识。在两中，嚣于硷益教授融经绘疆了 本原复反射群g 1 2 ，g 2 4 ，g 2 5 ，g 2 6 的所有升i 等价单根系及其所剥应的不同余 表出。雯癸，黠余下瓣本琢簸反羹季群，毽懿学生王磊程蓉鹃，给出了除 g 3 4 以外的所有群的不等价的单根系，并得到部分群的所有不同余表出， 见援积列。链的学生寒熙湖磷究了非本骧复反射麟g 9 氆l ，髂) 款不等价躲 单根系及其对应的不同余表出，见 7 】。时僚益教授最近几年又程该领域做 了许多工作，包括本羰和非本原的情形。对于非本原复反射群g ( m ，1 ，n ) 和g ( m ，m ，n ) 的袭击的同余类，时俭益教授给出了稆关圈论的摘述，有三 个主要的结果：一是非本原复反射群g ( m ，1 ，扎) 的不同余的表出( 只p ) 和 n 个顶点酌有撮糖舀豹霹誊奄类之闻存在一一对疲关系；二是嚣车舔簸反 射群g ，m ，札) 的不同余的袭出( s ，p ) 和竹个顶点n 条边的仅含一圈的 连遵匿黎恳橡娄之阗存在一对瘟关系；三是( 蜀p ) 是j 本源复发射 群g ( m ，1 ，札) ( g ( m ，m ， ) ) 的一个表出，其中s 是由他个反射组成的固约生成 元鬃，p 是s 上的基本关系。融俭盏教授依据根图详细攒选了菲本原复反射 群g ( m ，p ，扎) 的滚出的问余类，见f l 】 2 】。时俭益教授给出了本质表出的概 念，对于非本原复反射群g ，热n ) 灼表比，提如了这样的问题：如何找 至l 尽可熊小的关系式集p ，使褥( s ，p 1 是搿汹，珐髓) 的本质表鹣? 本文是在时俭益教授的指导下，根据 1 】 2 中甘寸俭益教授给出的非本原 复反露群g m ，弘n ) 鹣本质裘出静定义，磷究龚本蘸复爱嚣嚣g f 端热释) 的不同余的本质表出。在本文的写作过程中，时俄益教授提供了很多极其 重爰静想法，才使本文磐以瑕程完成。 本文的内容安排如下： 第二二部分为预备知识，主要撼泶了+ 些定义靼已知定理； 第三部分，对予非本琢复反射群g ( m ，l ，n ) ( g ( m ，m ，他) ) 的任一由俺个反 射组成的生成元集s ，我们总能找到s 中元素的关系式集p ，使得f s ，p ) 爱g ( 瞒，l ，) 蹿( m ，m ，n 斡一个表漱。臻在我们癸解决瓣鞫蘧怒努俺我至l 一个较小的关系式集p ，使得( s ，p ) 是g ( m ，1 ，n ) ( g ( m ，m ，n ) ) 的一个表 出。时俭益教授对非本原复反射群g ( m ，1 ，礼) 和g ( m ，m ，n ) 的表出，已经 作出了一些简化，见3 4 1 3 4 4 。在此基础上，我又作出了进步简化，主 要结果有： 命题3 4 5vx ( m ，m ，扎) ，对应连通图1 1 x 中，c 为一分歧 点，c l ，c 2 ，一，c r 与c 相邻，r 2 ，记岛= t ( q ，c ；0 ) ，白= t ( c j ，c ；o ) ，亡l = c l ，c ；o ) ，我们有下列关系式 ( o ) t = 1 ，1 i r ( b ) 赴略= 岛t 屯，1 t j r ( c ) t 如南= 屯如勺亡l ，t ，j ，2 1 ，2 ，r ) 互1 i 相同 在( o ) 成立的前提下，( 6 ) ，( c ) 等价_ 丁关系式 ( d ) 如勺知= 白亡p 如，1 p j r ( e ) 如- 赴赴= t i 勺如岛，i ，j ，口 l ，2 ，- 一，r ) 互不相同，唧，c 。为圈外固定点 命题3 4 6 设c l ，c 2 为两点圈的顶点，勺与c l 相邻，印与。2 相邻， 不妨记t l = t ( c l ，c 2 ；1 ) ，幻= ( q ，如；o ) ，= t ( c l ，勺；o ) ，0 = ( c 2 ，。矿；0 ) 由关系式 岛t 1 岛妇t 2 妇= 妇t 2 0 知t 1 t p 妇= 妇如 可以推出关系式 如t 1 如如t 2 知= 亡p t 2 知妇t 1 妇 。垒征坠。望。 t 2 命题3 4 7 设。1 ，c 2 为两点圈的顶点，q 与c l 相邻，c 与c 2 相邻， 不妨记t 1 = t ( c l ，c 2 ；1 ) ，t 2 = t ( c 1 ，c 2 ；0 ) ，= t ( c 1 ，q ；0 ) ，如= t ( c 2 ，c j ；o ) 在 命题3 4 2 中( ) ，( 6 ) 成立的前提卜，由关系式 如t 1 知妇t 2 匆= 扫t 2 如亡p t l 如，2 p p ，r ，c p ，簟固定 可以推出关系式 岛t 1 如巧t 2 屯= 巧t 2 略扭t 1 赴，2 t j r 2 命题3 4 8 如命题3 4 7 中所述，在关系式 ( 凸) t i = 1 ( 6 ) t t 1 屯= t l 屯t l ，t i t 2 如= t 2 屯2 ，白t 1 岛= t 1 如t 1 ，如t 2 如= t 2 如t 2 成立的前提下，由关系式 可以推出关系式 屯= 如屯 如t 1 与t 2 如= 亡j t 2 如t t 1 屯 t 。t l t 2 亡l t l 亡2 = l 如缸t l t 2 屯 亡j t l t 2 白t l t 2 = t l t 2 t l t 2 巧 。 塾 。 垒 。 堑 。 t 2 命题3 4 9 设。1 ，。2 为两点圈的顶点，。1 ，c 2 中仅有。顶点是分歧 点，不妨设c 2 为一一分歧点，c f 与c 2 相邻，记t 1 = t ( c 1 ，c 2 ；1 ) ，t 2 = t ( c 1 ，c 2 ；o ) ，以= t ( c 2 ，c f ；o ) 在命题3 4 5 中( a ) 一( c ) 成立的前提下，关系 式 亡t t l t 2 如t l t 2 = t l t 2 亡l 1 t 2 赴，2 t r ( 1 ) 等价于关系式 知1 t 2 1 2 = t l t 2 岛t l t 2 知，2 p r ，印固定 ( 2 ) o = 坠。兰。 2 3 命题3 4 。l o vx 泓，l ，嚣) ，对旋连遗圈r x 中，根顶点s 是 分歧点，c l ，c 2 ，岛与5 稿邻，记8 一s ( c 活) ，矗= ( 龟，c ；o ) ，= o 渤，c ；o ) ，南z 在关系式 ( n ) 赴勺如= 岛岛亡j ，t = 1 ，1 i j 墨r ( 扫) 8 t 屯岛= 南岛蠡8 ，1 i j 曼r 成立的前提下，关系式 簿份子关系式 瓯碱= 电s 赴8 ，1 r 晦s 每= 匆s 南s ，l s 尹磬定 ( 2 ) 。 兰 掌壹。 第四部分，通过代数软件g a p 的辅助计算，得出了非本原复反射群 g ( 3 ，3 ，佗) m = 3 ，4 ，5 ，6 ) 的所有不同余的本质表出。我们可以通过数学软件 g a p 验证一一些关系式是否构成相应群的袭出。如果所给的关系式不够多， 得到的有限表出群的阶就比相应的复反射群的阶要大，还可能出现无穷阶 的情况。如果通过多次尝试找到对应群的一个表出，接下来要验证这个表 出是否本质f 即关系式是否多余) 。如何验诞眠? 我们训以通过g a p 辅助 究成。我们从所褥表出中去掉一个关系式，如果群的除不变，说明这一关 系式是多余静。鲤否，群的跨会变大，邋甥关系式是必需豹，不链去掉。 这撵进行有疆次尝斌，壹嚣去簿经意令关系式，螯鹭跨妻| ；会交丈。这靖 关系式集量不霉含有多余戆关系式，我们赣褥鬟藤应表窭豹奉矮表窭了。 因为固定了m ，n 的取焦，巍醵这部分黪讨论不其有一般意义，但是我谈菇 我计算的这几组固定值的衙有不同余的本璇袈出盼结果，可能蕴涵着一定 的规律，也许对非本原复反射群g ( m ，m ，竹) 的散情形的讨论有一定的启 发； 第五部分，对非本原复反射群g ( m ，弘竹) 的袭出，作出了进一涉简化，主要 结果有： 5 1 考虑非本原复反射群g ( m ，2 ，”) 的表出所对应的连通图含两点 阐，根在蒯上的情况。 ( i ) 为简单起见，不妨记t 1 = ( 1 ，2 ；妨，七一a ( m ，p ) ，如= t ( 1 ，2 ；o ) ，8 = 8 ( 1 ；1 ) ，趣与古2 有一公共端点，由关系式 4 ( o ) t = 1 ( 6 ) 屯t l 缸= t 1 亡t t l ，t t 2 屯= t 2 赴f 2 ( d ) s t l t 2 = 亡1 t 2 s ( e ) s 1 t 2 = t 2 驴l 可以推出关系式 t i t l t 2 赴t l t 2 = t l t 2 如t l t 2 如 见命题5 1 1 仁坠。皇。 t 2 ( i i ) t 1 ，t 2 ，赴如上所述，记s = s ( 2 ；1 ) 由关系式 ( 口) 砰= 1 ( 6 ) 南t 1 如= t l t t t l ，t 。t 2 岛= t 2 t i t 2 ( c ) s 乱t l = t l 屯f l s ，s t 2 屯t 2 = 屯彘t 2 s ( d ) s 1 t 2 = t l t 2 s ( e ) s t 2 t 1 = 1 s o t 2 可以推出关系式 赴t l 屯赴t l t 2 = t l t 2 埘1 如岛见命题5 1 2 旺垒堑。 t 2 由( i ) ，( i i ) 可知，非本原复反射群g ( m ，2 ，n ) 的表出所对应的连通图含两点 圈，根在圈上时，基本关系式m ( 6 ) ( c ) ( 见 2 】) 是多余的。 5 2 考虑非本原复反射群g ( m ，p ，n ) 的表出所对应的连通图含多点 圈，根在圈上的情况。不妨记s = s ( 1 ；1 ) ，t 1 = t ( 1 ，2 ；1 ) ，如= t ( t ，i + 1 ；o ) ，2 r 一1 ，0 = t ( 1 ，r ；o ) ，西= 屯亡3 0 1 t ，0 1 t 3 t 2 在关系式 ( o ) t i = 1 ( 6 ) 屯t t + 1 屯= t i + 1 t i 屯+ 1 ，t l t r t l = b t l 0 ，2 i r 一1 ( c ) 8 t l t i = t 1 曲s ( d ) s ( t l t i ) ”1 = t i 嘶 ( e ) s 亡 = t 筘，2 t r 一1 成立的前提下，可以推出关系式 s t l s t l = t l s t l s ，s o s 亡r = t r s 0 8 见命题5 2 1 5 5 3 考虑非本原复反射群g ( m ，p ，扎) 的表出所对应的连通图含多点 圈，根在圈上的情况。不妨记8 = s ( 1 ；1 ) ，t l = t ( 1 ，2 ；1 ) ，赴= t ( ，i + l ；，2 i r 一1 ，亡r = “l ，q o ) ，= t ，一l 如2 亡3 0 1 存关系式 ( 8 ) 碍= 圭 ( 6 ) 岛岛+ l 盎然t 讳l 彘+ l ，2 i r l 1 t 2 t 1 = t 2 t l t 2 1 0 1 = “t 1 0 ( e ) 蠢l = 趣s ，2 r l ( 妨3 l 鼻每一t l 鼻甚考r 8 ( e ) s t l t ，瞄0 燃t ，巧0 s t l 成立的前提下可以推出欺系式 s l 舀0 l = t 南t l s觅命题5 ，3 1 5 4 考虑非本原复反射群g ( m ，p i 扎) 的表出所对应的连通图含两点 圈，根在圈上的情况。不妨记s = s ( 2 ；1 ) ，t 1 = t ( 1 ，2 ；) ，= a ( m ，p ) ，t 2 = ( 1 ，2 ；o ) ，根顶点是赴与t 1 ，赴的公共端点在阶关系，辫子关系，分歧关 慈及关系式艇l 2 = l t 2 s ，嘞 l = 2 t 1 8 藏旁戆蔫爨下，芙系式 s 赴亡j 如= t * q 如s ，2 isr ，l js r ( 1 ) 等价于关系式 s 岛t 1 知2 知t l 知8 ，8 龟知= 知氛知s ，2 p 鬟r ，岛匿定( 2 )觅窃越5 。4 1 第六韶分，透过我数软释g a p 壤嚣诗冀，霉出了婺零裂复反嚣嚣g f l 0 ，2 ，3 和g ( 6 ，3 ，4 ) 的所有不同余的本质表出。因为固定了m ，弘n 的德，所以 这部分的讨论不具有般意义。当m 为素数时，研究非本原复反射群 g ( m ，p ，n ) 就归结为研究g ( m ，1 ，扎) 和g ( m ，m ，n ) 的情况；当m 为合数、 妒1 ，m 对，我计算的这儿组固定值的所有不同余的本质表出豹缀粜，可 缝蕴涵羞一霆蠡毫藏律，氇l 警对菲本蒙复反麓器g f 艟，热释) 懿一鼗褥澎静讨 论有一定的扁发。 6 第二章预备知识 在本文里，我们约定：y 是维笈向量空问，8 l ，8 2 ，是v 上 静一组栋准正交基， 表示由爱莉s ，t 生成沟反j l 于群，a ( m ，囝= f d ld i m 且g c d ( 哦= 1 。 在预备知识部分，我们列出了不可约有限复反射群的一然有关概念和 邑起结论。2 1 寒鑫箱，2 2 寒囊【l 】 2 3 ，2 。4 来基溺，2 5 亲爨溺+ 2 1 设y 是札维复向燮空问，y 上的个葳射是v 上。个恰好有 讹一1 个特征值为1 的有限阶线性变换。 y 上鲍反射群d 是一个囊y 上鲍反射生成的有限群。群g 是霹约 的，如栗它可瞄写成两个宾反射子群的赵积，复之是不可约豹。群g 是 卜维的，如果y 的子空间y g = vl 掣= ，坳g ) 的维数是竹一r 维。g 在v 上的作用称为不可约的，如果y 没有非零的g 不变的真予 空溺。本文羧设g 楚不可绞瓣，著置g 俸曩在y 土不可终。 y 上的反射群g 称为实艇射群或c o x e t e r 群，如果存在矿的g 一不 变的r - 予空间，使典范映射c r k y 是双剩。如果1 i 存在这样一 个子空闻，则稔s 是复反瓣饕。投撰定义，实反射群不是复反射群。 由定义，反射群g 是有限群，所以在y 上存在一个g 不变的掰内 积( ，) 。从现在开始，我们假设这个鹤内积是给定的。 2 。2v 上的酉变换群g 称为非本僚的，如果y 可以筲成非平凡的真 予空润鞭( 1si 嚣) 酶壹帮：矿= o 强e o k ，萎 鞭| l l 嚣 在g 作用f 不变。此时，( m ) 1 c t c 。称作g 的非本原系。如果y 没有遮样 一个分解，则称g 为本原的。 设是关于l ，2 ，t ，嚣螅对穆葵。怼玎& ，镬秽( t ) = 羁，定义摇 下n n 阶单项矩阵a ： a 一匦l ，n 。ln ，一，】”l l ，- n 。ia 】 这里茁t 怒矩阵直在( i ，轧) 筏篷的菲零元，对p | m ，我们设 g ( m ，p ，礼) = a g 三( g ，n ) i a ? = 1 ，( h j ) 归一1 这里g ( g ) 是爱浆域g 上豹霸除可逆矩黪器j 残瓣群，g 阚，弘肄) 是 c “上的非本原复反射群。 当m 冬2 或( m ，弘n ) 一( m ，m ，2 ) 时，g ( m ，芦，礼) 是a o 茹e t e r 群。我 们有半直积分解g ( 冁，p ，n ) 一g ( 1 ，l ，耗) 。( a ( m ，弘) ，这里，a ( m ，鼽牲) 是 g ( m ，热肄) 的所有对角阵的豢台，且g ( 1 ，l ，椎) 兰& 。 特别地，当p = 1 ，m 时，我们得到两个特殊的非本原复反射群 g ( m ，1 ，佗) ，g ( m ，m ，讹) ，且g ( m ，m ，礼) g ( m ，p ，竹) g ( m ，l ，托) ，g ( m ，m ，佗) 霆g ( m ，l ，缸) 约正麓予器。 7 2 3 我们记白一e 2 州”表示m 次单位原报，肛。= 铙i 刃表 示m 次单位原根的全体，g p - 1 m 1 ) ，非本原复反射群g ( m ，p ，帆) 熬攫系为： 置l = 弘2 舭。 靠魂一e j1 z ，l ，钆 r 2 = 肛g e i1 n ) 矗( 嗽，弘竹) 一丑l u 姹2 + 由上面酶结论容蜀得壅菲零舔复反身重瓣g ( m ，l ，铭) 帮g ( m ，m ，珏) 翡缀系 为： r ( m ，m ，讹) = 去( 婊岛一蘸勺) l l i j m 蚝奄z r ( m ，竹) 燮 蘸e ll 作，毙z 冠( m ，1 ，n ) = 冗( m ，m ，礼) u r ( m ，扎) 由菲本躲复反射群g ( m ，p ，椎) 豹摄系酌形式可翔，它的反鸯于仅有以下两种 形式：非对角型s 和对角型t 8 ( ：，；凳) 一【( 1 ，l ，。：l ，l ，点，l ，1 ) | g ，) 】，l l js 髓，蠹z 这里( i ，j ) 表示一个对换，非对角型反射皆为2 阶反射，且s ( j ，j ；) = 8 0 ，t ；一妨。 t ( t ，) = ( 1 ，1 ，蘸，1 ，1 ) f l j ，南z 对角型反射的阶为m g c d ( m ，的g ( m ，m ，n ) 包含所有的非对角型反射。 2 。4 反瓣饕g 豹一个表鑫是摆令由生成元集蠢关系式缰残斡序对 ( s ，p ) ，宦满足： f 1 ) s 是由生成g 的一些反射构成的有限集，并且s 具有满足此性质娥少 蛇元素个数。 f 2 ) p 是s 中元素的关系式集，并且s 中元素的其它关系式均可由这黧关 系式推出。 反射集s 称为表出( sp 1 对麻的生成元集，本义中所说的生成元集都楚表 出对应鹃生戒元集。 两个液出( s ，p ) 和( s 7 ，p 7 ) 是同余的，如果存在一个双射 嚣：s _ s 8 满足： 垒! v s ，t s 魏采不存在这撵一个双奏季雄，簧g 称这两个衰蛊蹩嚣瓣余兹。 2 5 设t = t 1 ，屯，“是一个对换组成的集合，x 一1 ，2 ，竹， 我们考虑t 在x 的作用，把它和一个无向图对应起来，于巴x 中的元素 l ，2 ，嚣对应到这令无囱图戆蔟点，蒡震x 中豹元素i ，2 ，珏稼 瑟这 个无向翻的顶点，如果随j ) t ，就存i 和j 之间连一条边。这样溉得 到一个顶点对应于x 中的元素1 ，2 ，n ，边对应于反射集t 叶i 对换的无 晦图f x ，翱。关于这样褥到姻无向图，霄结论：镪含托一1 个对换的粲合 ，生成靖狂群翕当虽投当( x ，z ) 是撩裙。 有一个特殊顶点和凡一1 个未标定的顶点的树称为有根树，这个特殊 顶点称为有根树的根。我们把有根树记为( v e ，n ) ，v 是顶点集，e 照边 褰，。表示薅裰。 两裸有根树( k e ，d ) 和( ，称为同构的，如果存在双射 满足 母：y p ，e 嚣错 垂( 酗，蛋( c ) ，v6 c k 圣( 驻) 篇 非本原复反射群g ( m ，1 ，扎) 的任袭出对应的生成元集s 都是由一个 m 阶反射8 和佗一1 个2 阶反射屯( 2 i n ) 构成的n 元组。我们把s 墨那令m 除鲍反瓣s 对应到一揉令瑗点匏有壤褥终樾投，其余敬赡一1 个2 除反射和这裸有根树的札一l 条边分别对廊。 定理2 5 1 ( 【1 ) 非本原复反射群g ( m ，l ，n ) 的不同余的滚出( s ，p ) 和 托个顶点的有根树鼹的同构类之闻存在一一对应关系。 定璞2 5 。2 ( l ) j # 奉原簸反莉群g ( m ，m ，弦) 的不弱余瓣表出s ，p ) 帮 扎个顶点n 条边的仅含一圈的连通图n 的同构类之间存在对应关系。 9 第三章g ( m ，l ，竹) 和g ( m ，m ，n ) 的简化表出 关于非本原复反射群g ( m ，1 ，n ) 和g ( m ，m ，n ) 的表出，时俭益教授已 经得出一些结论。在此基础上，根据时俭益教授提供的思路，我作了进一 步的补充。3 1 3 3 来自1 1 3 1 我们记s 是非本原复反射群g ( 仇，1 ，n ) 的任一表出的生成元 集，吲= n ，p 是s 巾元素的关系式集。s = s 7 u s ，其巾s 7 包含礼一1 非对角型反射，它对应的图形r p 是一棵树，s 是一个m 阶的对角型反 射。我们定义有根树为r 。s 中元素满足下列关系 ( 1 ) t 2 = 1 ，v t ； ( 2 ) s m = 1 ； ( 3 ) = r t ，v t ，矿s 7 ，如果码中边e ( t ) ，e ( t 7 ) 无公共端点； ( 4 ) t 如= 亡，vt ，s 7 ，耍果b 中边e ( t ) ，e ( 亡，) 恰有一个公共端点； ( 5 ) t s = s 亡，vt ，虫| 】果根顶点竹( s ) 卅i 是边e ( t ) 的端点； ( 6 ) t s 拈= s t 时，v t s 7 ，如果根顶点n ( s ) 是边e ( t ) 的端点； 我们称( 1 ) 一( 6 ) 为阶对关系。 3 2 对于非本原复反射群g ( m ，1 ，n ) ( g ( m ，m ，) ) 的任一表出的生成 元集s ，l s l = n 我们总能找到s 中元素的关系式集p ，使得( s ，p ) 是 g ( m ，l ，n ) ( g ( m ，m ，n ) ) 的一个表出，然而关系式集p 并不是由s 所唯 一确定的。那么，现在要解决的问题是如何找到一个关系式集p ，使得 ( s ，尸) 成为g ( m ，1 ，n ) ( g ( m ，m ，礼) ) 的一个表出。 设( s ，p ) 是g ( m ，1 ，佗) 的一个表出，s = s ( ， + 1 ；o ) ，s ( 1 ；1 ) l1 n ) 记“= s ( ， + 1 ；o ) ，1 s 礼t o = s ( 1 ；1 ) p 包含下列关系 ( 1 ) 留= 1 ； ( 2 ) t 2 = 1 ，l 几； ( 3 ) 屯亡j = 屯岛，j i 士1 ； ( 4 ) 屯t + 1 亡i = 屯十1 赴也十l ，1 i 1 ； ( 6 ) 亡0 t l t o t l = t l t o 1 亡0 记( m ，1 ，n ) 是g ( m ，1 ，礼) 的所有表出的生成元集s 的集合。x = s ( 如，j ；h ) ，s ( z ；七) l1 礼) ( m ，1 ，礼) ，七，白。z ，1 f 亿，1st h j h 礼，g c d ( 孟，仇) = 1 s h = s ( i h ，如；七h ) ，1 礼s = s ( f ；七) x 中元素满足下列关系 ( 1 ) s m = 1 ； ( 2 ) s 2 = 1 ，1 竹； ( 3 ) 卸s q = 如8 p ，如果边e ( 昂) 和e ( 如) 无公共端点； ( 4 ) s 妒s q s p = 5 q s p 如，如果边e ( s p ) 和e ( s 口) 恰有一公共端点； l o ( 5 ) s s p s p s ，如袋顶点f 不是边e ( s p ) 的端点； ( 6 ) s s 矿郎= s p s 勘8 ，如果顶点f 是边e ( 如) 的端点； ( ? ) s - 部$ g 冬= 知s g $ s ，热豢逮岛) 霸e 岛) 。埝有一公共蠛点l ； ( 8 ) s p - 8 9 斟如= 8 9 s ，s q s p ，如果勘，如，s r 是互不相同的反射，。f _ 边 b ( 卸) ，e ( 如) ，e ( s ，) 有一公共端点。 我们称( 1 ) 一( 2 ) 为阶关系，( 3 ) 一( 6 ) 为对关系，( 7 ) 为根对关系，( 8 ) 为 分鼗关系。( 1 ) 一( 8 ) 我们称为发上的墓零关系。 定理3 2 1 ( 1 】) vs ( m ，1 ，札) ，p 是s 上的基本关系式集，那么 ( s ，p ) 成为g ( m ，1 ，他) 的一个没出。 3 3 记( m ，辩，善) 是g ( 辑，m ，嚣) 熬爨毒表爨豹生残元集s 瓣寰 合。vs ( m ，m ，托) ，对应的连通圈如中，c 1 ，c 2 ，珥是连接隅的 各个顶点， 龟，q + 1 ( 1 i r ) 是连接圈的边，岛+ 1 ：= c 1 。若连通图n 中的圈噬嚣个顶点豳残，这撵雏圈我侧称为两点圈；若出三个或三个以 上的顶点图成，这榉的圈我们称为多点潮。记= s 妇，舀+ 1 ；热) ，l r ，鼽z 如= s ( 卿，；向) ，r j 竹那么，s 一 岛 l i 佗 记 s = 岛一如一2 如一i 巧一2 岛，8 搿= 彘一l # 1 0 如+ l 幻亡j + l 。缸t l 颤一l 蒋裁缝，当j i + l 露，= 盎；当j = r ，一l 薅，耘= 南， s 中元索满足下列荚系 ( 1 ) t = 1 ，1 s i 蔓似； ( 2 ) 一岛羲，如聚逮e 强) 帮8 ( 如) 无公共搂点； ( 3 ) t l 白一句彘勺，如果边e 讯) 和e ( ) 恰有一公共端点； ( 4 ) ( s 甜i ) m = 1 ，1 2 ，记趣= 皎，o ) ，奄一( 留，e ；o ) ，蠡= 卸c ，e ；o ) ，我们有下列关系式 ( 。) t 一1 ，1 t 曼r ( 砷敦冬瓠嚣屯彘，l j sr ( c ) 丧南岛彘= 每t 勺t 岛，l ，量i l ，2 ，r 互不籀同 在( n ) 成立的前提下，( 6 ) ，( c ) 等价于关系式 ( d ) b 白如= 屯知屯，l 曼p j r 气鑫盎一鑫如氧岛，l ，量g 芒 l ，2 ，r 互不勰露，勺，龟为銎锌霆定点 证明： 貔们只需证明由( d ) ，( e ) 推出( 6 ) ，( c ) 即可。 ( i ) 当c 口一勺时 t l 句蠡一t i 每矗4 知 净如如赴一知t 岛缸- 知 一岛赴岛如幻妨亡p 蠡略 篇长岛丧知彩t 知蠡 = 缸知彘弓南彘勺如亡 岛赴 嫦赴t 白t t 岛如如如知趣岛屯如 一t 癞奄 1 2 ( i i ) 当白勺时 岛屯如赴= t t 岛岛岛车= t t 如知南= 知岛岛错赴t g 屯= 如电如岛如车= t t g 赴如= 如赴岛亡l 又因为 t g 屯拓如= 缸亡p 抚岛 岛彘亡p 如= 知抚知岛 t 口如岛t g 如= 知t i 知如 t q 如岛= 如电亡p t g t t t g 如岛= 如赴亡p t g 知知缸如t q t q 如岛= 如t t 亡p t g 如如如屯如 t g 如岛= 如t t 知如t 口如彘如 t q 缸t q = 如赴t q 赴亡p t g 埘g = t 也屯 所以根据( i ) 的证明，由关系式 t 口t t t 口 岛岛岛南 t 幽屯 t 幻屯岛 】得 t 南屯= 乇j t 南 从而由命题3 4 2 ，可得( e ) 等价于关系式( c ) ，命题得证 命题3 4 6 设c 1 ，c 2 为_ 两点圈的顶点，勺与c 1 相邻，节与。2 相邻 不妨记t l = t ( c 1 ，c 2 ；1 ) ，t 2 = t ( c l ，c 2 ；o ) ，知= t ( c 1 ，勺；o ) ，分= t ( c 2 ，印；o ) 由关系式 如t 1 知妇t 2 匆= 妇t 2 扫够1 知 知扫= 妇知 可以推出关系式 妇赴0 如2 知= 亡p t 2 如0 t 1 如 。垫占。堑川 屯 1 3 t 1 如- 0 t 2 妇一如t 2 如。如t 1 如 够l 勿岛如匆一分如每肇l 知 夸岛t l 妇岛 2 分岛= 屯知如1 岛0 n 如知t 2 如如= t 2 如t 1 分t l 如亡p t 2 知一够2 岛如t l 够 命趱3 4 7 设。l ，包为两点甏的硪点，岛与。l 稿邻，q 与如稠邻， 不妨记e 1 = t ( c l ，啦；1 ) ，t 2 = t ( q ，c 2 ；o ) ，彘= t ( c 1 ，如；o ) ，如= t ( 也，q ；o ) 在 命题3 4 2 中( 口) ，( 6 ) 成立的前提下，由关系式 彬l 如匆t 2 如= 分t 2 和彬1 ，2 p p ，墨r ，勺，印固定 爵班稚密关系式 t