（基础数学专业论文）关于无穷积分收敛的必要条件的探讨.pdf

摘要 非正常积分是积分论的重要内容。对于非正常积分收敛的充分条件，大学课本已给 出了很细致的讨论。但关于非正常积分收敛的必要条件都作为练习留给学生了。 本文全面总结了关于无穷积分收敛的所有已知的必要条件。我们给出了这些结果的 详细证明并讨论了这些结果的应用。此外，对于无穷积分与无穷级数的比较也作了讨论。 关键词：无穷积分；无穷级数；收敛 a b s t r a c t i m p r o p e ri n t e g r a li sa ni m p o r t a n tk n o w l e d g ep o i n ti nt h ei n t e g r a lt h e o r y t h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n st h a te n a b l ea ni m p r o p e ri n t e g r a lc o n v e r g e n c ea x ed i s c u s s e dc a r e f u l l yi nt h e t e x t b o o k ，b u ts o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n sh a v eb e e nl e f tt ot h er e a d e ra se x e r c i s e s i nt h i sp a p e r , w es u mu pt h ek n o w nr e s u l t so nt h ec o n d i t i o n st h a te n a b l ea l li n f i n i t e i n t e g r a lc o n v e r g e n c e w eg i v et h ep r o o f so ft h e s er e s u l t sa n dd i s c u s st h ea p p l i c a t i o n so ft h e s e r e s u l t s s o m ec o m p a r i s o n so fi n f i n i t ei n t e g r a la n di n f i n i t es e r i e sa r ea l s od i s c u s s e d k e yw o r d s ：i m p r o p e ri n t e g r a l ：i n f i n i t ei n t e g r a l ；i n f i n i t es e r i e s ；c o n v e r g e n c e 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担 论文作者签名：孙牟豪 日期：扣3 年彳月引日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以 允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的 前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规 定) 作者签名：孙辛辣 指导教师签名：二二膨良 日期：加6 方专1 日期：勿矽6 6 1 引言 1 引言 在数学分析的各个分支中，积分学占据着十分重要的地位，其中无穷积分的讨论 更拓展了积分学的研究空间目前国内各高校所采用的数学分析、高等数学等教材中， 关于无穷积分收敛的问题的讨论，只对其充分条件作了讲解和论证，而对于其必要条 件的介绍涉及甚少但是，如果能给出正确的无穷积分收敛的必要条件，则可得出被 积函数的一些重要的性质，并可以用来判别某些无穷积分的发散性和相关结论的证 明以此为出发点，笔者参阅了大量相关文献资料，发现国内截至目前已经有不少人 在此方面取得了很多成果 笔者通过仔细阅读比较这些文献资料发现，研究者探讨无穷积分收敛的必要条件 主要集中在两个方面：第一，在无穷积分收敛的前提下，分析被积函数当自变量趋于 无穷时的极限是否为零；第二，在无穷积分收敛的前提下，分析被积函数在定义域上 是否连续、有界他们分别通过不同的思路得出自己的结论典型的两种研究思路如 下：一部分研究者从无穷积分与无穷级数之间的内在联系入手，希望通过直接推广无 穷级数收敛的必要条件，类似的得出无穷积分收敛的必要条件，但是反例推翻了结论， 由此说明无穷积分和无穷级数之间是有区别的，最后通过分析二者之间的区别得出正 确的结论他们着重探讨收敛的无穷积分的被积函数在无穷处的极限为零这类必要条 件；另一部分研究者从无穷积分和正常积分之间的内在联系入手，着重分析收敛的无 穷积分的被积函数在定义域内的连续性、有界性等性质，发现被积函数在定义域内几 乎处处连续，但有界性是不能保证的，于是通过推广正常积分被积函数对应的性质得 出的正确结论 笔者借鉴前辈的研究思路和方法，并将思路进一步深入首先同样是从无穷积分 与无穷级数之间的内在联系入手，直接将无穷级数收敛的必要条件推广到无穷积分的 情形，并且举反例验证结论不成立，然后加强条件：在无穷积分收敛的前提下，被积 函数分别是有界、非负、连续、可导但是分别都找到了反例说明得到的结论不足以 成立通过给出这几类易犯的错误，揭示出不能由收敛的无穷级数的必要条件推得无 穷积分的对应结论经过一系列的分析论证，逐渐总结出了收敛的无穷积分被积函数 的性质，从而得出了关于无穷积分收敛的几个必要条件，并将部分结论推广到含参量 无穷积分的情形，最后给出部分结论的简单应用 1 湖北大学硕士学位论文 2 预备知识 定义1 给定一个数列缸。) ：“，h ：，“，由这个数列构成的表达式 称为无穷级数，记作罗“。，即 篙 u l + u 2 + + u + = i n 1 + u 2 + “一+ ， 其中u 。称为无穷级数的通项 作无穷级数荟“一的前厅项和s n - 跖- + 比：+ + “一2 著“称s 一为无穷级数的部分 和，称岱。) 为无穷级数的部分和数列 定义2 如果无穷级数+ g o h 。的部分和数列$ 。) 有极限“h i 。l i m 。s 。一s ，则称无穷 篙 “。 级数荟“n 收敛，称极限s 为无穷级数的和，即 s u 1 + u 2 + + u + 如果$ 。) 没有极限“即。l i m 。s 一不存在，则称无穷级数荟“一发散 定理1 设无穷级数罗“。收敛，则l i m u 。= o - 月 定义3 设函数f ( x ) 定义在无穷区间 口，+ ) 上，且在任何有限区间 口，“】上可 积如果极限l i mr 厂 ) 出存在，则称此极限为函数厂( x ) 在i 口，+ o o ) 上的无穷积分，记 u _ t - j 作厂g ) 出，即 4 - h f f ( x ) d x = l i mr f ( x ) d x v- + v 并称r 厂o ) 出收敛 如果极限l i mr 厂o ) 出不存在，则称f f ( x 皿发散 ，h _ + ，v 类似地，还可以定义函数厂( z ) 在无穷区间( 一，6 】、( 一，+ ) 上的无穷积分 2 3 问题的提出 3 问题的提出 + n + l 给定无穷级数比。，若设，( x ) - - - u 。，万sz 珂+ 1 0 - 1 , 2 ，) ，则；rf ( x ) d x ， 一1 那么该无穷级数可以写成 u 。= r ，( 工) 出；反之，给定无穷积分r ，( x ) d x ，则该无 i 习鼍 穷积分可以写成j ，( x ) 出= ft ( x ) d x ， 口n m i 口+ 一l 若令= f ，( z 皿，则，厂( x ) 出2 4 + - 1口 三蹦。 由此可见，无穷级数与无穷积分之间可以相互转化同样地，函数项级数与 含参变量无穷积分之间也可以相互转化 既然无穷级数与无穷积分之间有这样密切的联系，那么是否能由无穷级数收敛的 必要条件推导得出无穷积分收敛的必要条件? 即是否能由y “。收敛蕴涵着l i m u 。= o 推 _ 一 以田 导出，( 石) 出收敛蕴涵着。l i m 。厂( z ) = 0 ； 由善( 工) ( x ，) 在i 上一致收敛蕴涵着函数 列 ( 石) ) 在i 上_ 致收敛于0 推导出厂厂( z ，y 皿关于y ，一警收敛蕴涵着，( 工，y ) 当 i t , _ 时关于y ，一致收敛于0 但在实际问题中，结论是不成立的如： 例1 设函数，( z ) 一 刀+ 1 咒s z s 万+ 二丽1 o ， 玎+ 击 石 疗+ 。1 玎+ _ 口，厂( z ) 在 口，彳】上可积，故厂( 工) 在 乙 k ，爿】上几乎处处连续在 口，+ ) 上插入无穷个分点口t a 。 么。 以 ，将 k ，+ ) 分成无穷个互不相交的区间i x 4 0 ，4 ) ，h ，4 ) ，j a i l i 印以) ，则，( 工) 在每 个小区间h 书a ；= 1 , 2 ，) 上不连续点集的测度都为零，而，( 石) 在k ，+ ) 上的不连续 点集就是s ( x ) 在每个小区间h 书a ；x i - 1 , 2 ，) 上不连续点集的并集，从而厂( z ) 在 k ，+ ) 上的不连续点集的测度也为零，即，( z ) 在 口，+ ) 上几乎处处连续 定理3 设无穷积分r 厂o ) 出收敛，且函数厂( 石) 在 口，+ ) 上连续，则必存在数列 乙 缸。) ，当毛_ + o o ( n - + ) 时，使得。1 i r a + 。f ( x 。) 一0 证 因f ，o 渺= j 厂o ) 出a 善“。j 其中i l n - ，( x ) 出。一l 2 ，) ，。而 口n - - 1 口+ 一一1 - 1 a + n l + j ，o ) 出收敛，故薹“。收敛，由无穷级数收敛的必要条件知。1 i r a + 。h 。目0 ，即 l i r a f f ( x ) d x = l i mf o + d o ) ) ；o 0 ( 厂 0 当慨 x 时，有 7 湖北大学硕士学位论文 ，o ) ， o ，取，一詈，则有，o ) 罢，则 + z+ z + o j 出t q 1 m + 蔓fq m t i q v t + 暴出l + 磺 这显然与，厂( 工) 出收敛矛盾，所以! 魄厂( x ) = 0 ( 2 ) 假设厂o ) 在 口，+ ) 上单调递减( 否则考虑一， ) ) ，则当x 口，+ ) 时，有 ( x ) 0 ，否则若血1 ar x l 0 使f ( x 1 ) 0 ，新 口r m 0 ，当 x 主 等时，有k 厂。x 缸l m 时，有0 s 巧 ) 0 ，有 l a f ( x ) d x s h a 出mx a + l f ( x ) d x f ( x ) f xm 鲨 p 8 s4 出 厂o ) 砂吩。蝉 。为，c 2 2 香删籽奶啪 c l f x 8 厂o s z 叶1 ， ) sc ：p 口f ( x ) d x 又，矿厂( z ) 出收敛；由柯西收敛准则知 1im x a + f ( x ) = 0 定理5 设无穷积分厂厂( x ) 出收敛，函数可o ) 在 口，+ ) 上单调，则 l i r a 可q ) l n x - - 0 j - 4 - 0 0 证 假设可o ) 在 口，+ ) 上单调递减( 否则考虑一巧 ) ) ，则当x 【口，+ ) 时，有 可o ) 苫0 ，否则若玉1 芑a 且而0 使x l f ( x 1 ) 0 ，3 m 口且m 21 ，当 x b 面时，有眇渺卜而 酚沈协。，手出护詈出耐圳弦一丢删 故当z m 时，有0s 可( x ) t n x 0 ，存在o 仃s 占，使得对于任 意而，x z 口，+ ) ，只要k 一屯l 。，当舢m 时，有i a + o ， 皿i 占。一譬 由积分中值定理，存在亭- ，彳+ o i 使得f 厂皓) 仃i 了0 , 2 ，即l 厂皓) l m 时，总存在亭【x ，x + 口】使得? i f ( z ) is i ，( z ) 一厂( 宇) i + l ，( 亭) i o ， v x l ，x ：【口，+ ) ，都有i 厂o 。) 一f ( x ：) l l l x 。一x 2 l ，则 l i m ， ) ；0 推论5 设无穷积分，厂( x ) 出收敛，且厂( x ) 的导函数厂 ) 在 口，+ ) 上有界，则 蚬，o ) = o 湖北大学硕士学位论文 证 眠，x 2 k ，+ ) 且而 z ：，则函数，( z ) 在k ，z ： 上满足拉格朗日中值定理， 有f ( x 。) 一( x ：) ；，7 ( 亭) ，一x ：) o 。 o 且连续，而l i mx s i n l 。1 - 0 ，故 由定理4 知该无穷积分发散 ( 2 ) 令，o ) - 工3 e 。，则在( 一，o ) 上，g ) 0 ，而 一l i m 。以。一帆一l i m 。 。t 坚万x 3 - 舰等一l i m 6 x 一炮6 _ 0 ，i 故l i m 也。 工+ + x 一 j - 一已一工 工一一p 一工 工一p 懂 工一一口一工 工 不存在，由推论1 知该无穷积分发散 ( 3 ， ) 一3 x + 三4 ；一+ 2 ，则， ) 在阻+ ) 上单调，而 。 一1 。l i m 。x f ( x ) 。熟志2 亏1 一o i 。+ 。 x _ + 。3 x + z + 2 3 故由定理5 知该无穷积分发散 。 ( 4 ) 令厂 ) = l n x ，则， ) 在扎+ ) 上单调递增，但l i ml n 坏存在，故由定理5 知该 无穷积分发散 ( 5 ) 解法一：qf ( x ) ；c o s 一1 ，l i m ， ) 存在且l i mc o s ! 1 o ，故由定理7 知该 无穷积分发散 解法二：蛾厂0 ) 存在，则，o ) 在凡+ ) 上一致连续，但规厂一1 0 ，故由 定理8 也可以得出该无穷积分发散 湖北大学硕士学位论文 6 结束语 本文以无穷级数收敛的必要条件为出发点，通过收集整理相关资料，讨论并归纳 了无穷积分收敛的必要条件在运用反例指出由无穷积分收敛不能得出被积函数极限 为零的基础上，更进一步探讨总结了在无穷积分收敛的条件上附加单调、极限存在、 一致连续、导函数存在且有界等不同条件后可以得出被积函数极限为零的结论，并给 出了部分结论的简单应用对于以上问题的提出与解决，深刻揭示了收敛的无穷积分 被积函数的重要性质，拓宽了无穷积分发散性的判定方法，更加有助于理解无穷级数 与无穷积分的内在联系与区别 1 4 参考文献 参考文献 【1 1 杜索勤浅析无穷积分收敛的必要条件【j 】 安庆师范学院报，2 0 0 4 ( 4 ) 【2 】木壮志，赵星君无穷积分收敛的一个充要条件【j 】 哈尔滨理工大学学报，1 9 9 9 ( 4 ) 【3 l 关冬月关于无穷级数与无穷积分收敛的必要条件【j 】 内蒙古师范学报，2 0 0 4 ( 5 ) 【4 】王燕燕有限区间上无穷积分收敛的一个充要条件【j 】黄河水利职业技术学院学报，2 0 0 0 ( 1 ) 【5 】刘宁谈无穷级数与无穷积分的关系【j 】 重庆职业技术学院学报，2 0 0 4 ( 3 ) 【6 】赵艳辉关于无界函数无穷积分的两个性质【j 】 湖南科技学院学报，2 0 0 4 ( 1 1 ) 【7 l 罗李平关于无穷积分收敛的必要条件的讨论【j 1 高等数学研究，2 0 0 5 ( 4 ) 【8 】丁殿坤，邹玉梅无穷积分收敛的必要条件【j 】 河南教育学院学报，2 0 0 5 ( 1 ) 【9 】王绍锋对无穷积分收敛必要性的探讨【j 】 济宁师专学报，2 0 0 0 ( 6 ) 【l o t 李君士含参量无界函数非正常积分一致收敛性的几个判别定理【j 1 九江师专报，2 0 0 0 ( 5 ) 【1 1 1 赵正波，牛怀岗 数列构造方法在否定命题中的应用阴 渭南师范学院学报，2 0 0 5 ( 5 ) f 1 2 】刘玉琏，杨奎元，吕风数学分析讲义学习指导书( 下册) 【m 1 北京：高等教育出版社，1 9 8 7 ( 2 ) 【1 3 l 同济大学数学教研室高等数学( 下册) ( 第四版) 【m 】北京：高等教育出版社，1