（基础数学专业论文）关于heisenberg超代数的导子代数.pdf

摘要 在这篇论文中，我们主要研究h e i s e n b w g 超代数的导子代数的某些性 旗 第一部分，说明h e i s e n b e r g 超代数可以写成一个交换李超代数的中心 扩张，郄嚣= 9 f e 第二部分，通过导子在基底上的表示阵来讨论h e i s e n b e r g 超代数的导 子代数的慕拨性质，擞要结果如下： 定理乳d d e 璎) ，可以扩聪成d ( d 日) 1 当且仅当d 满怒妒皎z 。) 即) + ( 一1 ) 1 n 1 】 ，( z 。，d ( 。口) ) = ：地妒( 。，。口) 女l 星! a ，卢，1 z 2 定理2 ：令丑= g 毒f e 是令珏出e 函e r g 超代耋欢燹融舅不是擎竞螯 的，但是可以分解成两个单完餐瑷想的直和 关键溺：粥淑晖踅谯数；导予代数；孛心扩张；单完备 i i a b s t r a e 乇 i nt h i 8t h e s i s ，w el 飘a i n 王y8 t 诅d yt h es o i n ep r o p e r t i e 8o ft h ed e r i v a t i o n 敲g e b r 8 弱e i s e n b e r 蒜s u l ) e r 砖g e k 找 ht h e 菇疆tp a r t ，w ea s 8 e “t h 靓ta 轴如e n b e r g8 u p e r a i g e b r 8c o u 融b ea e e n t r a le x t e n s i o no f 瓤la b e l i a ns u p e r a l g e b r a ，t h a ti 8 日= 9 + f e i nt h e 驰。睁n dp 馘t ，w e 击8 c u 黯8 0 m ep t ) p e r t i e s 嘏辘ed e r i 猢艇o n 越g e b f a o fah e i 8 e 腩e r gs u p e r 蕊g e b r a 靠o md 话c u 8 8 i n gt h em a t r 敦拶e ( d e r 群) 1 r e l a 七i v et ot h eb a s i 8 t h em a i nr e 8 u l t sa r ea 品f 0 u o w 8 ： t h e o r e ml 茬( d e r 雪be o u 磁b ee 赡e b tt o 移( d e r 黩) ，尝= 蠢s 狲 i s 蠡e s 妒( d ( 嚣。) 嚣声) + ( 王) q 妒( 搿。，露( 印) = 惫d 妒( 。，。筘) 珏e r e8 ，箩，7 磊 t h e o r e m2 l e t 打= 9 + f c i 8a h e i 8 e 1 1 b e r gs u p e r a l g e b r a ，t h e nd e r 活t8 s i 鞴p l e m p l e t el i e 獭沿汹e r gs 娃p e a 逗e b r a 曲u 七e 砌db et h e 蘸i r e c t8 u h 醴t w o 惑黼p 孙m p l e 女ei d e 越8 k 舒w o r d s ：辩电汝珏b e r g8 u p e r 出g e 酶d e 砖谳i 冁醴g e b 蕊c e n t r 盛e 静 t e n s i o 珥s i 璐霉e o 黼p l e t e i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 滚懿魏方羚，论文中不包含冀缝久邑经发表或撰霉过静磷究戏票， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或诫书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中佟了麓确静说疆荠表示鬻意。 学键论文传嚣签名：墼日期：! 型：璺窒 学位谂文舨投使震授权警 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的援定，即：东北师范大学有权保留并向豳家有关部门或枫 梅送交学位论文的复氍j 件和磁盘，允许论文被森黼耪诺麓。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库遴暂检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：曼登兰一指导教师镌名：叠塞亟 f l 期：型：星 日 期：么。：12 学位论文作者毕业后去向： 工作蕈位： 通讯地址： 淑话： 邮编： c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n l 。lb 轾e | ( g r o h 矗d 8 t h ec o n c e p to fl i eh e i 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u tt h i si s b yn om e a n st r u ef o rl i es u p e r a l g e b r a s s oh e i s e n b e r gs u p e r a l g e b r ah a sc 1 0 8 e c o b 珏e c 墩魁w i 瞧王王e i s e 曲e r g 采g e b 擐8 st h er 藏毪毫i 强s h 蛩b e 细糟nl 追8 u p e r 盛g e b r 8 a n dl i ea j 幢e b r a a 8an a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fh e i 8 e n e b r ga l g e b r a jm 甜l yi 阶 p o r t a l l t 托拽t u r e so fh e i s e n b e r ga l g e b r a sa r en o tn e c e 8 8 艄i l yt r u ef o rh e i 8 e n b e r g p e r 8 l g e b r 。 t h et h e o r y 。fc o m p l e t el i e 趣冲r a sh a sb e e nd e v e l o p e dr a p i d l yi nr e c e n t ”a r 8 f o r 倒a m p l e 声h ep r o b l e i 璐o fi s o m o r p h i s m ，d a s s i 丘c a t i o na n dr e a l i z a t o 珏s o m e 蠡6 t e 稳强豳a l p k 建el i e8 l j 醇k 鸫h 船b e e nr e s o l v e d 幽融o s t p e r 打c t l y - u pt on 例呐讲阳v 髓，七h e r e 瓤eag r e a td e 8 1o fc o m p l e 七el 沁8 u p e r a l g e b r a s u n k n ，n ，i n 【9 】，s o m ep r o p 船t i e 8o ft h ed e r i t i o na l g e b r ao fah e i s e n b e r gh a 8b e 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z a t i o no ft h ep a p e r w 吾d e 萎珏e 氇珏蕊e 珏b 牲g8 u p e r 盛商b 羝鞠硅8 s 虹魄a t8 瓣e 海疆b e r gs u p e r 8 窀e b 氇 i st h ed i r e c ts u mo f 枞a b e l i a n8 u p e r a l g e b r aa n df ci n8 e c t i o n2 1 ，恤a tm e a n 8 = 灯 f c 舡l d 日i sac e n t r a le x t e n to fa na b e l i a n l i e8 t l p e r m g e b r a 尊i ns e c t i o n 2 + 2 ，、张h 8 张强em 蘸r 玟o fd e 五蛾i 柱 鹾珏成s 帆b e r gs 毽p 娌a 王g e b 强嚣糟l & 蛀砖专o t h eb a s i 8o f 日a n d 出8 c l i s st h ed e r i v a t i o na l 如r ao fah e i s e n b e 唱8 u p e r 出g e b m t h e n 帕h a v eac o n c l u 8 i o nt h a tt h ed e r i v a t i o no fah e i s e n b e r gs u p e r a l g e b r ai sn o t s i m 西e 黼霹e t eb u te o u l db ew r l t t e na s 镪ed i f e e ts u m 醴t w os i m p l e m p l e 钝 i d e a l sa tl a s tw ea 8 辩r tt h a t 廿埒h o l o m o r p ho fah e i s e n b e r gs u p e r 融器e b r ai sn o t c o m d l e t e 2 c h a p t e r2 o nh e i s e n b e r gs u p e r a l g e b r a 2 1h e i s e n b e r gs u p e r a l g e b r aa n da b e l i a ns u p e r a i g e b r a d e f i n i t i o n2 1 1三酣工拒n 工z es 叩e m 幻曲他o e rf lz s f f e dnt 叫。一s t 印 礼2 f p o t e n t 上z es 叩e 7 u 匆e 6 m 矿l 2 = 【l ，【工，工 = 0 d e 矗n i t i o n2 1 2工酣l6 en 工。es “卵m 西e 6 mo u e rf li s f f e d 执妇e n 6 e 叼 s 婶e m 扫e 6 m 矿陋，引= g ( l ) 8 倪dd i m c ( l ) = 1 p r o p o s i t i o n2 1 1肌i s e n 6 e 啊s 叩e m 幻e 6 m s ，日e z s e n b e 憎。培e b m so 阳t 叫。一s t 印 n 扫o e n l i es t 巾e f 哂e 6 r u s d e 丑n i t i o n2 1 3t 仡en 田托i n zs 札6 n 幻e b mf ( l ) o ，nl 钯s t 伊e m 西e 6 m 工拈拍i e i 竹e 邢e c “o 札0 ，t ed “m n 。i m o fs u 6 0 西e 6 r u so ，工 d e f i n i t i o n2 1 4z 巩ej n c 。6 s d 礼m 战c o ft ，( 工) o ，n 工妇8 婶e m 幻e 6 ml st e n t e 珊e c t i 。规0 ，o 肌m 眦t m o fi d f s0 ，l t h e o r e m2 1 1 l e t 日k 凰o s e 他6 哪s 印e m 枷6 mo w e rf ，孤e 几t 船倒f o 叫g 邺 s z o t e m e n t s 危0 0 出 ( 1 ) e o c m 凹 m 0 25 u 6 幻e b m ，o ，日i so 竹i d fo ，且 ( 2 ) j ( 日) = 阻，日】= 日( ” ( 3 )f 倒 s o 钆e d i 仇e n s z d n 工妇s 叩e m 妣b m p r o o f ( 1 ) s i c e 日i sh e i s e n b e r gs u p p e r a l g e b r a ，t h e nw eh a v e 日= 日o 日1 ) 日2 = f o t h e n w eh a e 日1 + 工工a n dl + 日2 = 工s i n c e 口l h e i l c e w eh a v e 【日。l + 工，工 日2 + l = l ，i e ，n o r 日( l ) 日。l + 工l i np a t t i c u l a r ， i f 工i sa m a x i m ms u b a l g e b r ao f 日，t h e n n o r h ( l ) = 日，i e ，三i sa n i d e a lo f 日 ( 2 ) l e tjb eam a x i m a li d e a lo f 日t h eq u o t i e n ta l g e b r a 日ji ss o l 、，a b l e s i n c e 日i s8 0 1 v a b l e ，a n d 日jc o n t a i n sn op r o p e ri d e a l s s o 日ji so n 争d i m e n s i o n a l a n da b e l i a n h e n c ew eh a ej ) h ( t h i 8a p p l i e sf o rm lm a x i m a li d e a j sjo f 日，s o t h a tj ( 日) 三日( w bc l a i mt h a tt ，( 日) 日( s u p p 0 8 ez j ( 日) b u tz 崔日( ，a n dt h a t d i m 日= n 、v ec a nc o n s t r u c ta nm 一1 ) 一d i m e n s i o n a ls u b s p 扯emo f 日c o n t a i n i n g 日( 1 ) b u tn o to a n dt h i ss u b s p a c e 且矿i sc k a r l yam a d m a li d e a lo f 日s i n c e 【 ，日】【日，日 m b u tzb e l o “g st oe v e r ys u c ht h a ts u b “g e b r as i n c ez t ，( 日) s o 唣h a eac o n t r a d i c t i o na n dj ( 日) 日( 1 1 h e n c ej ( 日) = h ( ( 3 ) l e tib eam 缸i m a ls u b a l 孽e b r ao fh 乒h e nii sa ni d e a lb y ( 1 ) u s i n g s i m i l a rm e t h o d sw i t hf 2 1 口 d e f i n i t i o n2 1 5工e tlb eol i es 印e m 嘧e 6 md u e rf l c o h e d m p f e m e n t e d 盯，0 r c p m p e rs 札6 0 幻e 6 ma0 ，l ，t h e 代e z 拈缸ns 6 0 幻e 6 mb0 ，ls “c 危。t 己= ( a ，且。托d a n b 攀f o ，虎e ( a ，曰) d e n o t e s 讹es “6 6 培e 6 纯巧雪e n e m e d 姆 8 n d 暑， 。 l e m m a2 1 2 日拈。点锚e n 6 e 哪“国e 6 弛 嚣+ f ( 嚣) = 嚣，挽e 霸b 然置 p r o o f s e e 嘲 i ，四妇s 讹6 穗培e 6 m0 ，日s “眈执o t 日 t h e o r e m2 1 3l 酣托口王如妇g 他6 e 叼s 螂e m 固e 6 m 她e 扎日如凡o c o m p k m # 蘸 p r o o f s i n c eg ( 岸) i sa s u b 她筘b r ao f 酉，i fh i sc o m p l e m e n t e d ，t h e nt h e r e i sap r o p e r8 u b a l g e b r aa 8 u c h 七h a t 胃= g ( ) 牛a ，a n d 秽( 日) n a 篇( o ) i ti 8 o 轴 o u s 谤歉糍m a2 1 1 癜a t 矗= 好，i t 运毪主r 主d c t o r y 乇。毫h 如a 据8 o p e r s u b a l g e b r a s ohi sn o t m p i e m e n t e d 日 c o r o i l 甜y2 1 4 三e 辩6 en 口e 拈e 讳6 e 噌s 婶e m f 9 曲m 2 诜觏日c o 埘n 耐如 毒b 臻芦o s 摊据赢，铭 毹m l 够i d 8 g 括 曲枷。叫抽。盯t 0 亡o $ e m i _ s t ”叩如工t eo 蝤曲m9c o f d6 ed e c o 盯毕o s 尉轨幻执e d 撑酣5 锃m s i 缃芦2 e d 8 穆拈蟛窖哦酣s ? 9 = m l m 2 。国m s g = n l o 竹2 。o n t t l 虎e ，霉，h 1 ，m 2 - 竹b 靠，她i h l ，n 2 - 一乱t 饼鼍 n d e o d 唧o s 0 6 如 豫强$ 雀t 辑痞豫拦取，江l ，2 ，s 啦e rc 毳8 姆均辘eo 疵辩。 铂t 甜妇竹o tt 九e 讯8s e m i s t m p 把s 叩e m 妇e 6 似，n e 甜 e r 妇诂州e 轨皿诂e n 一 6 e 坶s i 舻m 垮e 蛔， 五e a = 粕o a i6 8 他血嚣钟i n t 西e 三i es 印e 似培e 6 m 。”e rf ，d 啦他enm 钍黯咖托一 c n 断。几。礼ab 掣陋，6 ：= 盘b 一( 一1 ) o 日6 0 ，训危e 僧。a 。，6 a 卢，n ，卢扔= 6 ，i ) 搬e p 孵痞h 西赫，璃话强岛”钳如酗琥e 豫m 缸 耐。r 西寤穗社矗垂赫d 掘8 五妲黝p 8 p 8 匆e 打让( a ，b j ) 西d e 惋。t 蹦6 f a 一w 龟口矗u 8 辫；e n ， 扬= 文f t h e o r e m2 1 5l e 尉6 e 口扎s 州缸缸”e 肌锵e 佗k 唧s t 巾e m 蜘6 mo e rf ，抽e 竹 蠊e 翅；8 m 档g 如桶嚣& 捌识叠 ( 1 )z 一1 【z ，可】= f z ，”l 茁2 1 ，m + n 膳茁a 舢鲈a p ( 2 )掣茹2 。= 茁2 科，o ro 雎a o ，可4 一 p r o o f 1 ) 酗m 3 3 ，t h r e m5 ；2 ，t 妇f o l l 。w i n gi d e n t i 瓣h o l d 遮 a 8 s o c i a t i v el i es u p e r a l g e b r a ： b 掣z 。= ( 一1 ) 2 一a i ( a d z ) 一4 ( ”) ，o ro f f 若a o ，秽a p ； t 黼u 。o 爹= ；g 喜( a d 髫y ( 努) 。舟一4 ，饼+ o 耱茹蠢蚤，挈 芦。 i f 日i sa na s s o c i a t i v eh e i 8 e n b e 端s u p e r a l g e b r a ，t h e i sat w o _ 8 t e pn i l p o t e n t 4 l i es u p e r a l g e b r aa n dt h ei d e n t i t i e sc o u l db ew r i t t e n 9 2 2 = ( 一1 ) 1 罐。扩- 1 扛，们+ 扩9 = 一七z 。1 b ，引+ 七2 可 s o 【z “，可 = 岛茁。一1 陆，材】v 茁j 4 6 ，a 口 a n dw ea l s oh a e ： z = 妒十磁k ，引。一1 = 妒+ 扛，引扩一1 s o 【z o ，可】= 南 茁，可】。2 1 v z 一o ，a 口 h e n c ez 2 1 陋，引= p ，引茁，t h a tm e a n s 矿一1a n dp ，可 a r ec o m u n i 七i v e ( 2 )n o m 【3 】，t h e o r e m5 2 ，t h ef o i l o w i n gi d e n t i t i e sh 0 1 di na na s s o c i a t i v e l i e8 u p e r a l g e b m ： k 可。2 2 = ( 一1 ) c 噎z 2 一班( a d ) 2 ( 可) ，v 茁a i ，v 掣a 口； i fhi sa n 船s o d a t j v e k j s e n b e r gs u p e 捌g e b r a ，t h e nj ti s0 b v i o u st h a tt h e j d f m t i t i f 螭c 0 1 1 】db ew r i t t e n ： 掣啦= z 2 可 口 d e f i n i t i o n2 1 6 a = a 6 0 a i 砧f f e dns 即e 他妇曲m 矿o n do n 冶矿且n a 口 a 。+ 口，0 r 口n 掣a ，卢z 毫= 6 ，i ) d e 丑n i t i o n2 1 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