（基础数学专业论文）单群psl（3p）关于子群pgl（2p）的置换表示.pdf

2 0 0 7 年首都，币范大学硕士毕业论文 摘要 设群g 是有限集合q 上的传递置换群对任意a q ，令g a = 9 ga ，= q ) 是g 关于点q 的稳定子群我们称g 口在q 上的轨道为g 的次轨道，其中称 q ) 为 平凡的次轨道个q 的非空子集称为g 的个块，若v x g 我们有z = 或者霉n = 谚显然q 本身和单点集都是g 的块，称为平凡块如果g 只有平 凡块，则称g 是本原的众所周知，g 是本原群当且仅当g 的每个点稳定子群都 是g 的极大子群 在本文中，我们研究了p s l ( 3 ，p ) 在其极大子群p g l ( 2 ，p ) 的右陪集集合上的本 原置换表示，决定了其次轨道结构，这里为了计算方便我们设p 三6 1 ( r o o d1 2 0 ) 关键字：线性群，次轨道，本原群 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 儿 a b s t r a c t s u p p o s et h a tgi sap e r m u t a t i o ng r o u po nt h ef i n i t es e tq l e tg 口= 9 gn 9 = a ) b et h ep o i n ts t a b i l i z e ro fg ，f o ra n ya q t h e nt h eo r b i t so fg o o nqa r ec a l l e dt h es u b o r b i t so fgr e l a t i v et oo w h i l e a ) i ss a i dt ob et r i v i a l a n o n e m p t ys u b s e ta i sc a l l e dab l o c ko f gi f a 。= ao ra 。n a = d ，v z g c l e a r l y e v e r ys u b s e tc o n t a i n i n go n l yo n ep o i n ta n dq i t s e l fi sab l o c k ，c a l l e dt r i v i a lb l o c k s t h eg r o u pgi ss a i dt ob ep r i m i t i v ei ft h e r ee x i s t sn on o n t r i v i a lb l o c ko nq i ti s w e l l k n o w nt h a tgi sp r i m i t i v ei fa n do n l yi fg ai sm a x i m a li ng f o ra n yo l q i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ea c t i o no fp s l ( 3 ，p ) o nt h es e to fr i g h tc o s e t s o fam a x i m a ls u b g r o u pp g l ( 2 ，p ) b rt h er i g h tm u l t i p l i c a t i o n ，a n dd e t e r m i n et h e s u b o r b i t so ft h i sp r i m i t i v eg r o u p ，w h i l ei t i sa s s u m e dt h a tp 三6 1 ( m o d1 2 0 ) ，f o ra c o n v e n i e n c e k e y w o r d s ：l i n e a rg r o u p s ，s u b o r b i t s ，p r i m i t i v eg r o u p s 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：壶与0 萆 一 日期：沙0 7 年年月纠日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规 定 学位论文作者签名：喜昆l 翠 日期：知唧年年月2 f 日 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 1 引言 本文中讨论的群以及群作用的集合都是有限的有关群论和置换群的术语，请 参阅【4 ，8 ，14 】 设群g 是有限集合q 上的传递置换群对任意口q ，令g 。= 伯gio ，= o 是g 关于点n 的稳定子群我们称g 0 在q 上的轨遭为g 的次轨道，其中称 “) 为平凡的次轨道，而次轨道的个数称为置换群的g 的秩个q 的非空子集称 为g 的个块，如果；a 4 = a 或者舒n a = 0 ，比g 显然q 本身和单点集 都是g 的块，称为平凡块如果g 只有平凡块，则称g 是本原的众所周知，g 是本原群当且仅当g 的每个点稳定子群都是g 的极大子群 从置换群理论诞生之日起，确定其次轨道结构就是其中一个最基本而且非常重 要的问题秩和次轨道长是置换群的重要不变量在过去的几十年中，围绕着这些 基本概念，数学家们已经得到一些经典而漂亮的结果，见【2 ，8 ，1 8 ，1 9 ，2 6 1 次轨道 理论的重要性还来自它在组合结构中的应用，众所周知的轨道图理论就是证明组 合数学刺激了置换群理论的发展，而有限置换群论的发展也为进一步研究组合结构 提供了强有力的工具关于这方面的工作请参阅f 1 1 ，1 2 ，1 6 ，1 7 ，2 0 ，2 1 】 1 9 0 1 年，d i c k s o n 在【5 】中分类了p s l ( 2 ，p ) 的极大子群这是群论早期完美的 结果之一近年来。它被人们成功地应用于对称图的研究中，见 3 ，6 ，7 ，1 2 ，2 l 】这 些工作的实质就是研究p s l ( 2 ，p ”) 的本原置换表示的次轨道结构对于p s l ( 3 ，矿) ， 其极大子群早已被确定，其中p 是奇数的情况由m i t c h e l l 1 5 】完成，p = 2 的情况 最早由h a r t l e y 1 3 】完成，后来s u z u k i 2 2 】又给了新的刻画1 9 6 5 年，b l o o m 1 】用群 表示论的方法，对p 是奇数的情况重新给出了结构更加简洁的刻画，他的结果已被 群与图领域的工作者引用多次，见【3 ，i o 显然系统的决定其关于全部极大子群( 特 别是是非局部子群) 的次轨道结构是很有意义的工作由于其子群结构的复杂性， 该项工作是比较庞大的而本文是这个系列工作中的一个组成部分文【2 3 】决定了 p s l ( 3 ，p ) 关于极大子群p s l ( 2 ，7 ) 的次轨道结构；文【2 4 】决定了p s l ( 3 ，p ) 关于极 星塑! 蔓查堑蕉叁至塑主兰皇垒圭 2 大子群p s l ( 2 ，9 ) 的次轨道结构；文1 2 5 】决定了p s l ( 3 ，p ) 关于次极大子群a 5 的次 轨道结构，这里前两项工作中未决定次轨道的配对情况，而第三项工作完全决定了 次轨道的配对情况本文的主要工作就是利用b l o o m 的结果以及群论和组合的方 法。确定p s l ( 3 ，p ) 关于极大子群p g l ( 2 ，p ) 的本原置换表示的次轨道结构为了 方便，我们只对p 三6 1 ( m o d1 2 0 ) 的情况来讨论，其余情况类似下面叙述本文的 主要定理 定理1 1 设g = p s l ( 3 ，p ) ，其中p i6 1 ( m o d1 2 0 ) ，p g l ( 2 ，p ) 掣l g ，nz l gl g g ) 考虑g 在q 上的( 本原) 右乘置换表示，则其次轨道结构由表一给出 在下表中，表示次轨道的点稳定子群( l 的子群) ；对于l 的子群日，日。和 胃口表示l 的同构于目的两共轭类的代表；戤表示对应次轨道的个数；l 表示 次轨道的长度 k i z 1 f - l p s l ( 2 ，p ) 02 2 乙：磊一1 0 p + 1 3 磊：瓦 2 ) 0 4 磊：磊 2 5 磊 o 矿一1 6 d 2c p + 17 e 曼卫二卫 7 d 2 ( d 1 1 出血 8 d 2 k ( k 2 ) 0 血 9 z k ( k 3 ) o 血 1 0 a s o 血 1 1 晶 o 二卫 1 2 a 4 1 血 1 3 d t = 必i 1 4 d 拿 二墅坦曲 1 5 磊 0 妇 1 6 z 芷= 盐二丝二卫 1 7 z 2 二卫 卫二二- 卫 1 8l 卫= 已! 矿一p 在下面的第二节中，我们给出一些预备知识在第三节中，我们将完成主要定理 的证明 2 预备知识 本节简要介绍与本文有关的有限群的基本概念和知识以及些重要的引理 2 1 有限群的一些基本概念和结果 定义2 1 设q = n ，p ，m ) 是个非空集合，其元素称为点s l 表示q 上的对称 群所谓群g 在q 上的个作用妒指的是g 到岛的个同态，即对g 的每个元 素z ，对应q 上的个变换v ( x ) ：o l 一酽，并且满足( 酽p = 矿，z ，y g ，n n 如果k e r i p = 1 ，则称g 忠实地作用在q 上此时，可把g 看作n 上的变换群 而如果k e r 妒= g ，则称g 平凡地作用在n 上 定义2 2 设群g 作用在集合n 上，则对每个a q ，g 。= ze g 矿= 口) 是g 的子群，称为点口的稳定子群并且对任意的y g ，g 。v = y - l g 。y 定义2 3 设群g 作用在集合n 上，在q 上规定一个关系孵? 对于任意的a ，卢q ， n 鸵p 号3 9 gs t ( ，= p ， 则关系瓣是q 上的个等价关系对于关系瓣的等价类叫做g 在n 上的轨道。 一个轨道包含元素的个数叫做该轨道的长对于o n ，令n g = a g g g ，则 n g 是包含n 的一条轨道如果g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在q 上的作用是传递的否则，称g 在q 上的作用是非传递的 注2 4 设hsg ，n = h g i g 四定义g 对q 的作用为右乘作用； ( h g ) 。= h g x ，h g ，h g x e q ，g ，z g 显然，这样定义出g 对q 的个作用 命题2 5 设有限群g 作用在有限集合q 上，。，y g ，口，p e q ，则： 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕生论文4 ( 1 ) 两条轨道，矿或者相同或者交为空集，故q 的所有轨道集合是q 的划分 ( 2 ) i 口g i = i g ：c i 特别的，如果g 是有限群。轨道q g 的长是l g i 的因子 定义2 6 设g 传递的作用在集合q 上q 的非空子集称为g 的一个块，如果 a 2 = ao r 。n = 口比g 如果g 只有单点或全集的块，则称g 在q 上的作用是本原的；否则，称g 在q 上的作用是非本原的 命题2 7 设g 传递的作用在集合n 上，q 中至少有两个元素则g 是本原群当 且仅当g 的每个点稳定子群都是g 的极大子群 命题2 8 设群g 是集合q 上的个本原置换群，则g 的每个非平凡的正规子群 在n 上的作用是传递的 命题2 9 设g 作用在集合q 上，g 的稳定子群g 0 ，口q 在q 上作用的轨道叫 做g ! 的次轨道当g 传递作用在n 上时，g n 的次轨道个数称为g 的秩 接下来给出关于置换群的次轨道计算的个结果； 命题2 1 01 1 8 】设群g 传递作用在集合q 上，h = g 。，o q 并且对k g ，至 少有个在g 中与k 共轭的子群包含于h 中不妨假设中与在g 中共轭 的子群的共轭类代表为j “，j 幻，托则k 稳定q 中的名1f n c ( k ) ：n h ( k 3 1 个点 命题2 1 1 设h g ，则n g ( h ) c c ( h ) 同构与a u t ( h ) 的个子群 2 2 线性群结构的基本结果 下文中，日( g 为素数方幂) 是个q 元域，n 是个正整数g l ( n ，q ) 表示日上所 有礼阶矩阵关于矩阵乘法作成的群，称为日上的n 级般线性群；s l ( n ，q ) 表示 日上所有行列式为1 的n 阶矩阵关于矩阵乘法作成的群，称为日上的n 级特殊 线性群；而p g l ( n ，q ) = g l ( n ，q ) z ( g l ( n ，q ) ) 称为一般射影线性群，p s l ( n ，q ) = s l ( n ，q ) z ( s l ( n ，q ) ) 称为特殊射影线性群 命题2 1 2 【x 4 1 设p 5 是一个奇素数，则p s l ( 2 ，p ) 的极大子群是： ( 1 ) 一类z p ：强； ( 2 ) 一类珥一1 和一类d p + 1 ( 3 ) p 7 ，1 1 时d n 一1 是极大子群；p 7 时岛+ l 是极大子群 ( 4 ) 当p ；+ l ( m o d1 0 ) 时，有两类 5 ( 5 ) p 三：k l ( m o d8 ) 时，有两类& ( 6 ) p = 3 ，1 3 ，2 7 ，3 7 时有一类a 4 命题2 1 3f 1 】设p 足奇素数，是g = g l ( 2 ，p j 的极大子群，则在共轭意义下 日同构于下列的群； ( 1 ) d ：( 6 ) ，其中d 是g l ( 2 ，p ) 中所有对角矩阵构成的群，b = 忆1 ( 2 ) ( a ) ：( 6 ) ，其中b = 1 1 ，- 1 1 ，( a ) 是g 的s i n g e r 子群，定义如下： n = ( ；? ) g ，其中墨= ( 口) ，砀= 昂( t ) ，r t 2 = p ，瞄= ( 7 + 缸) ( 3 ) ( n ) ：d ，其中= ( 。1 ；) ； 型三童查堑垄圭兰塑圭生些笙塞 6 ( 4 ) 驯( z ) ，当pe5 ( m o d8 ) 时，同构于a 4 z 睁；当p 兰1 ，3 ，7 ( r o o d8 ) 时，同构于s 4 z z ；当pi = 1 = 1 ( m o d1 0 ) 时，同构于a 5 z 2 ，其中 z = i 一1 , - 1 1 ，z t 2 z ( g ) 如) ； ( 5 ) h i ( z ) = 凡：( s ) ，( s 2 ) z ( g ) z ) ，如果p ；1 ( m o d4 ) 筇题2 1 4 【9 l 议h = ( - 1 可l 矿= 俨= 1 ，秽= 矿1 ) 是g 的2 k 彤r 的二商俸于祥， 当k 3 且p ，f k 时则在共轭意义下，我们有； c ，t i 。一，u = ( 6 ：。1 0 。) ，t ，= ( 言；：) ，其中e 是。里阶为t 的 给定元5 c z ，叫c p + ，“= ( 5 ；) ，”= ( 言导；) ，其中e + 是的哆里t 命题2 1 5 【1 ，t h e o r e m l 1 】设p 是一个奇素数，g 是p s l ( 3 ，p ) 的阶大于1 的子 群假设g 没有阶大于1 的初等交换的正规子群，则g 同构于下列的群： ( 1 ) p s l ( 2 ，p ) 或者p g l ( 2 ，p ) 当p 3 时； ( 2 ) p s l ( 2 ，5 ) 当p 兰：l = l ( m o d1 0 ) 时； ( 3 ) p s l ( 2 ，7 ) 当p 3 i l ( m o d7 ) 时； ( 4 ) a e 当p i l ，1 9 ( r o o d3 0 ) 时 进一步的，p s l o ，p ) 的以上子群在g l ( 3 ，p ) z ( s l 0 ，p ) ) 共轭 命题2 1 6 【1 ，t h e o r e m 7 1 】令p 是个奇素数，g 是p s l ( 3 ，p ) 的阶大于1 的子 群如果g 不满足命题2 1 4 的条件，则g 同构于下列的群： ( 1 ) z p 2 + 卅1 ：z 3 ； ( 2 ) p s l ( 3 ，p ) 中所有每行每列都只有一个非零元的矩阵构成的群f ，它包含子群 p s l ( 3 ，p ) 中所有对角型矩阵构成的群西，且有可而兰s s ； ( 3 ) 给定点( ( 1 ，0 ，o ) t ) 或线( ( o ，0 ，p ) t l a ，p 昂) 的点或线稳定子，它具有以下 形式； 其中月= ( ：) ，并且或者，y = j = o ，或者n = 口= o ； ( 4 ) p 三1 ( r o o d9 ) 时，g 有个( 3 ，3 ) 型交换正规子群n ，t i n 同构于s l ( 2 ，3 ) 的子群，且s l ( 2 ，3 ) 的所有子群都会出现； ( 5 ) p 兰l ( m o d3 ) ，p l ( m o d9 ) 时，g 有一个( 3 ，3 ) 型交换正规子群n ，c n 同构于q s 的子群，且q 8 的所有子群都会出现 命题2 1 7 设p 是一个大于5 的奇素数，g 是p g l ( 2 ，p ) 的子群，则g 同构于下 列的群： ( 1 ) 一类极大的p s l ( 2 ，p ) ； ( 2 ) 一类极大的名：磊一1 ，一类名：磊，类磊，其中自l p 一1 ) ( 3 ) 一类极大的d 2 1 ) 和一类极大的d 2 加一1 ) ，一类d 2 k ，一类磊，其中k 2 ，七ip + 1 ) 或i ( p 1 ) ； ( 4 ) 一类a 5 ，当p ! + l ( m o d i 0 ) 时； ( 5 ) 一类极大的& ，当p i = h 3 ( m o d8 ) 时； ( 6 ) 一类a 4 ； ( 7 ) 两类d 4 ； 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 8 ( 8 ) 两类z 2 注2 1 8 我们首先来固定一些符号从现在开始，我们假设g ：= s l ( 3 ，p ) ，g ：= p s l ( 3 ，p ) ，z 些z 3 是0 的中心，表示g 到g 的自然同态对任意g g 和 h 0 ，用虿和耳分别表示它们在毋下的像；而对任意9 g ，用表示g 在下 原像中的个元素用d 来表示g 的对角子群，n 来表示d 的唯一的k l e i n 四元 子群，m 来表示由d 和排列矩阵生成的群i l a a ，眈，口3 0 表示三级对角矩阵对于任 ，i x l _ 100 、 意$ = ( ：d b ) g l ( 2 ，础我们将其等同于s l ( 3 ，中的元素【。ja 。d b ) ， 所有这些元素构成c 台( o ) ，其中。= 忆- 1 ，- 1 1 1 以下结果很容易从命题2 1 6 中得到 命题2 1 9 设g = p s l ( 3 ，p ) ，p ；6 1 ( m o d l 2 0 ) ，则； ( 1 ) d 掣名一1 磊“万垒( 磊一1 召一1 ) z ， m 垒d ：s 3 ，一m 鲁( d ：昆) 互n 掣一n q 丽； ( 2 ) g 中只有一个对合共轭类。其中心化子同构于g l ( 2 ，p ) ( 3 ) g 中d 4 只有一个共轭类，其正规化子同构于丽 命题2 2 0 【1 ，l e m m a6 3 】如下定义的妒是p s l ( 2 ，p ) 到p s l ( 3 ，p ) 的一个同构嵌 入； 庐c 丽m 。( 黧2 a b k 誊) ， 其中d = a d 一6 c 由此我们可以相应地得到p g l ( 2 ，p ) 到p s l ( 3 ，p ) 的同构嵌入 2 0 0 7 年首牟师范大学硕士毕业论文 9 3 主要定理的证明 令g ：= s l ( 3 ，p ) ，g ：= p s l ( 3 ，p ) ，l 掣p g l ( 2 ，p ) g ，f t = l 9 l g g 1 在本节 中，利用b l o o m 对p s l ( 3 ，p ) 子群结构的刻画。以及群论和组合的方法，我们将决 定p s l ( 3 ，p ) 右乘作用在q 上的次轨道结构 令n = l ，则g 0 = l 传递作用在它的次轨道上对于任个次轨道，在其上任 意取一点反这条次轨道的长度为i 萨i = i g 口：瓯口i 显然k ；g o 口l 由命题 2 加，只要知道在g 中的共轭类个数以及它们在厶g 中的正规化子，就可以求 出k 在q 中的不动点个数k 设耳h l ，显然日在q 中的不动点也是k 的 不动点，所以为了得到在长度为f 的次轨道中的不动点，应该用k 减去所有包 含的l 的子群日在q 中的不动点，再除以k 在每条长度为f 的次轨道中的不 动点数，就可得长为f 的次轨道个数 由于群g 的子群结构与p 模3 ，5 ，8 的余数有关，故在本文中，我们总设pi 6 1 ( r o o d1 2 0 ) ，其他的情况可以类似地得出l 所有子群共轭类的代表为：k 1 笺 p s l ( 2 ，p ) ，鲍兰磊：磊一1 ，k s 掣名：磊( k l 仞一1 ) ，2 k p 一1 ) ，k 4 皇名：历( 即 ) ，k s 竺名，k 6 掣d 2 0 , + 1 ) ，k 7 笺d 2 0 , 一i j ，尥兰d 2 k ip 4 - 1 ) ，2 k p 4 - 1 ) ， k 9 垒磊( ki ( p4 - 1 ) ，3 k p 4 - 1 ) ，k 1 0 型a 5 ，k 1 1 型& ，k 1 2 掣a 4 ，k 1 3 型d 矛， k 1 4 掣d f ，k l s 竺历，k t 6 垒露，k i , 兰霉及k l s = 1 ，在共轭意义下，不失一 般性我们可以假设以上子群间存在自然的包含关系，例如k s k 2 等其次轨道 长可由公式：kz 斟= 舒算出，则有f ，= 2 ，如= p + 1 ，l s = 争，1 4 = 2 ， f 5 = p 2 1 ，f 6 = 争，“= 学，l s = 荣，f 9 = 争，f - o = 妇6 0 ，l t = 曾， f 1 2 = 噜，2 1 3 = f 1 4 = 弓2 ，f 1 5 = 叠争，f 1 6 = z 1 7 = 争，f 1 b = p 3 一p 证明的过 程总体上是按照由短的次轨道( 其d 稳定子群大) 到长的次轨道( 其l 稳定子群 小) 的顺序但是考虑到一些子群在证明的时候联系比较密切，所以把次轨道长为 f 2 ，z 3 ，1 4 ，f 5 的情况统一放到。长为2 的次轨道”中讨论，把次轨道长为z 1 3 ，f 1 4 的情况统一放到。长为2 字的次轨道”中讨论，把次轨道长为z ，6 ，f t 的情况统一 放到。长为争的次轨道。中讨论这样，我们以下按照次轨道长分十三小节来证 明定理1 1 相对于甄，我们用表示心的不动点数，用瓤表示长“的次轨道个 数 3 1 长为2 的次轨道 引理3 1 $ l = 0 证明设p 是l 的长为2 的次轨道中的一点，则由2 = l 俨i = i l ：如| 得出 i “i = 字因此可设l a = j f l = p s l ( 2 ，p ) 而皿在l 中只有个共轭类，且 n l ( k 1 ) = n g ( k 1 ) = l ，由命题2 ，1 0 可知，l 的不动点个数k l = i l ：l l = 1 ，此 为平凡不动点o 故g 的长为2 的次轨道个数x l = 0 口 3 2 长为弓 的次轨道( 其中k i ( p 1 ) ) 设尬兰乙：磊一1 ，飓垒名：磊( k10 1 ) ，2 2 ) 引理3 1 0 设 2 ，且有i ( p + 1 ) 或者k l ( p 一1 ) ，则： ( 1 ) r g ( d 2 ) = ( 磊一1 磊) ：历历； ( 2 ) 半为偶数时，n l ( d 2 k ) = d “串为奇数时， k ( d 2 k ) = d z 女 证明( 1 ) ( i ) 当女1 0 1 ) 时令磊一i = ( 。) ，其中茁= b ( d 2 女) g ( 磊) = d ：汤历，其中 口一1 6 一00 、 d = f l o 。o 。i l a , 6 昂 竺露一1 z p _ 1 2 0 0 6 口 由 ! 塑! 生萱查堑蕉盘芏塑主生些堕塞 1 8 有d 2 k = 扛牟) ：( ，6 - 1 0 0 、 【。0 。10 。j ( 虿；) ) 显然召一。正规。e ，下面考虑z ；一。中的元 它显然正规磊又因为 c - - ，当t l 。+ - ，时令磊+ t = t 彳毛；可，其中i e + i = p + - 由 n a ( d ：k ) b ( 磊) = 磊z l ：z 2 z , = 扛) ：i 一1 ，- 1 ，：( z s ， 肌= ( 市；号) 一 c 蚪c ( 寺0p ，0 0 一f j 6 2 0 ) ) 1 、铲一 显然这个磊一l n g ( d 2 k ) 设d 2 k = 磊：z 2 = 忙宁) ：( i 一1 ，一1 ，1 1 ) 下面考虑 昂：一1 的子群名+ 1 中能正规d 2 的元显然有磊+ 1 正规d 2 k ，所以只需检验，z p + l 中的元能否正规i 一1 ，一1 ，i i 取 ，( ：南巧) 2 o o 、 92i 。o ：絮j 其中l c + d t 1 ( p + 1 ) 令c 2 一d 2 日= m 则若 ( 蓄量量) ( - 1 寻；) ( 考；毒) = ( 言詈；) ( | 孝辜) 嘞， l 7 、l o 0 6 0 l o i 旷0 o ， i = o 露 ， 、li o o 旷 o o 0 l 0 o ，l ， = o 露 中其 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 则( ：簟攀j ez k , , - i t s , i 铲+ 钏。 号( 幽铲) 一1 辛( 痢c + d t2 ) = 1 = ( 舞) = 1 = ( c + d t ) = ( c d t ) 辛( c + d t ) = ( c d t ) p k = ( c d t ) o 一1 弘= 1 = i c d t l l ( p 一1 ) 由前面定义的j c 一如p + 1 ) 及( 学，孚) = 1 ，即可得到扣一d t l l k ，所以g 磊 磊+ l 故 r g ( d 2 ) = ( 乙一1 玩) ：z 2 磊 由( i ) 和( i i ) 可知，结论成立 ( 2 ) 令m = p 士i ，k l m 设d 2 m = ( n ) ：( 6 ) ，其中h = m ，1 6 i b = 2 且6 _ 1 曲= n 一 取d 2 。的子群 岛t = f 躐 这里为奇数时两类d 2 k 共轭，k 为偶数时两类d 2 i 不共轭则由d 2 m 的极大陛 可知n l ( d 2 k ) d 2 。显然b n l ( d 2 ) 下面考虑a 的情况： 对( i ) ，设( 扩) 正规b 则有a - n b a n = b a 2 ”d 2 k ，即舻“( 警) ，有等1 2 n 所以 当警是奇数时，有詈h 满足条件的最小的正整数n = 罟所以n l ( d 2 t ) = 缸 ) ： b ) = d 溉当詈是偶数时，d 2 k 在l 中有两个共轭类，因还要分析( i i ) 中的情况t 设( a ”) 正规b a 则有a - n b a a ”= b a a 2 “d 2 k 即0 2 ”缸 ) ，有孚1 2 n 所 以当i i n 是偶数的时候，有mt , ，则满足条件的最小的正整数n = 嚣所以我们有 n l ( d 2 ) = 缸最) ：( 6 ) = d 4 口 引理3 1 1 瓢= 0 证明设卢是l 的长度为留( 女 2 ) 的次轨道里的一点，则； 譬钏c i = i l ：吼 得出i 幻l = 2 k l 的2 k 阶的子群只有d 2 ，而d 2 在l 中只有一个共轭类因为 当1 0 + i ) 时，有n g ( d 站) n e ( d 锄+ 1 ) ) ，n l ( d 2 a ) sn l ( d 2 ( p + i ) ) ，当k l f p 一1 ) 1 9 时，有n e ( d 2 k ) n v ( d 2 ( p 1 ) ) ，l ( d 2 k ) n l ( d 2 ( p 一1 ) ) ，所以d 2 k 的不动点都是 d 2 如+ 1 ) 或者d 2 ( p 1 ) 的不动点，故z 8 = 0 口 3 6 长为号产的次轨道，( 其中k 3 ) 引理3 1 2 设k 3 ，则有： ( 1 ) 1 0 + 1 ) 时，n o ( z k ) = z 一1 ：磊历， k ( 磊) = d 2 1 ) ； ( 2 ) 1 0 1 ) 时，n g ( z k ) = 一d ：历， l ( 磊) = d 2 0 , 一1 ) 了r 丁百弋 证明( 1 ) k l o , + 1 ) 时，设名+ l = ( 10 p o1 ) ，其中i e + p t i = p + 1 k 是偶数时， 0p5 有n g ( z k ) c 0 ( ( i l ，- 1 ，一1 i ) ) = g l ( 2 ，p ) z 3 k 是奇数时，因为磊c h t t ? 名+ l ，所以 n g ( z k ) 2w e ( 1 ) = z e 一1 ：z , z 3 而p s l ( 3 ，p ) 的极大子群中包含磊。一l ：易历 的贿命题z 中腓令，= ( 1 冬1 ；i ) , g e ea = ( ：) 设 孺可栌蕊可磊 ，i a i 一1z n + p 缸+ 印、l a i 一1 口 8 、 l 0 z 口+ y by o a + x bi = l 0 z l + y l o cz 1 6 + 玑础i 0 z c + y dy o c + z d 0 z l c + 掣1 0 掣l b 十。l d 则有 lz 8 + w 8 = o l 1y o a + z p = p 解方程组可得；o = p = 0 所以9 g l ( 2 ，v ) z 3 中0 昂k 是偶数时，有 n c ( z k ) c 台( ( 1 1 ，一1 ，一1 i ) ) = g l ( 2 ，p ) 历k 是奇数时，因为磊c h a r 磊一1 ，所以 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 2 1 b ( 磊) g ( 名一1 ) = 西：z 2 而s l ( 3 ，p ) 的极大子群中包含万：z 2 的只有命题 2 1 6 中的( 2 ) 和( 3 ) 我们先来看命题2 1 6 ( 2 ) 中的群f 事实上，f 是由面：历添加个三阶元 了丁了1 百 善= 1 0o1 i 生成的所以只要看霉是否正规磊即可设 1 0 0 f 。1 扩0 。0 、i 00 口。 其中学l i 因为 。嵇= 孺刁w 可= 聋磊 所以命题2 1 6 ( 2 ) 中能正规z k 的群为西：易 下面看命题2 1 6 ( 3 ) 中的群： 舍g =( 1 曩i ) z 其中a = ( ： ( 弹) ，如( 潍) 磊 其中学i t ，j 由g z = 9 得 (陋r1蒙象)=(ia：-001 曼曼1 f彬阳。l = l o棚 渺l 、o 伊硼o ，、 o甜一j 枷一 则有 辱罱 ( 3 ) 1 p 口。= 口 p 7 因为1 ，所以解方程组可得：o = 卢= 0 所以g g l ( 2 ，p ) z 3 ，即n v ( z ) g l ( 2 ，p ) 历 下面的讨论类似于 k ( 磊一1 ) ，在此就不重复写了 口 引理3 1 30 9 = 0 i ! 型! 堇塑塑蕉盘堂塑主生墨笪圭 2 2 证明设卢是l 的长度为芝 ( k 3 ) 的次轨道里的一点，则z 字= = i l ：如l ， 得出i l z i = k l 的k 阶的子群只有磊，而反在l 中只有个共轭类因为当 k l ( p + 1 ) 时，有 b ( 磊) sn c ( d 2 ( p + 1 ) ，n d z k ) sn l ( d 2 c m + i ) ) ，当纠( p 一1 ) 时，有 n o ( z k ) n c ( d a ( p i j ) ，n l ( z k ) l ( d 2 一1 ) ) ，所以玩的不动点都是d 2 ( p + 1 ) 或者 c k 扫一1 ) 的不动点，故z 9 = 0 r n 3 7 长为2 静的次轨道 引理3 1 4x 1 0 = 0 证明设卢是l 的长度为2 ：6 理0 的次轨道里的一点，则由z 争= i 胪i = i l ：如i 可得出i “i = 6 0 l 的6 0 阶子群只可能是d 6 0 ，z 南或者a 5 事实上，如果存在 d e 和z ，则它们分别在d 2 k ( k = 3 0 ) 和反( = 6 0 ) 中已经讨论过了，以它们为 点稳定子的次轨道个数都是0 故下面只需讨论a 5 的情况 由命题2 1 7 可知，当p 三4 - 1 ( m o d1 0 ) 时，p g l ( 2 ，p ) 中只有类a 5 因为a s n l ( a s ) p g l ( 2 ，p ) ，则由p g l ( 2 ，p ) 的子群结构可知：n l ( a s ) p s l ( 2 ，p ) 由 p s l ( 2 ，p ) 的单性可知n l ( a s ) = a s 根据陈尚弟博士论文可知；当p 三1 ( m o d3 0 ) 或p 兰1 9 ( r o o d3 0 ) 时，有n o ( a s ) = a s 由命题2 1 0 可知，以5 稳定点数l o = l n d a , ) l i k ( a 5 ) l = i a 5 i i a 5 l = 1 ，此 为平凡的不动点幽因此0 1 0 = 0 ， 口 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 3 8 长为z 茅的次轨道 引理3 1 5z l l = 0 证明设p 是l 的长度为2 竽的次轨道里的一点，则由2 鲁= i 胪i = i l ：“i ， 可得出l l o i = 2 4 l 的2 4 阶子群只可能是d 2 4 ，z 五或者瓯事实上，如果存在 d u 和z 五，则它们分别在d 2 k = 1 2 ) 和磊 = 2 4 ) 中已经讨论过了，以它们为 点稳定子的次轨道个数都是0 故下面只需讨论s 4 的情况 显然有 乙( 蜀) = s 4 ，下面讨论 ，g ( & ) 考虑g 的极大子群中包含& 的只可 能是命题2 1 6 ( 2 ) ( 3 ) 中的群命题2 1 6 ( 3 ) 中的群为m 岂磊名：g l ( 2 ，p ) z 3 显然名z p 中不可能包含岛可以证明g l ( 2 ，p ) 中也没有& 事实上，因为 s 4 g l ( 2 ，p ) = s l ( 2 ，p ) ：名“而s l ( 2 ，p ) 中2 阶元只有一个：( i l 三) 但 是鼠中的2 阶元不止一个，所以s 4 隹s l ( 2 ，p ) 若 。g l ( 2 ，p )s 4 s l ( 2 ，p ) s 48 4 石，一1 2 亏丽2 亏e 阿2 季百i i 而2 耳 而磊一l 中只有个2 阶元，又因为k = 1 ，w 4 ，a 4 ，所以、k = a 4 ，即s l ( 2 ，p ) n & = a 4 但是也不止一个2 阶元，矛盾这样，s 4 硭m 所以，n o ( s 4 ) 只能是命题 2 1 6 ( 2 ) 中的群又因为n g ( s 4 ) ( c g ( & ) ，& ) ，而西：s 3 中能与& 交换的只有单 位元，所以有n d s 4 ) = 8 4 由命题2 1 0 可知，& 稳定点数为k n = l b ( & ) 1 i n l ( & ) i = l 瓯i i s 4 i = 1 ，此 为平凡的不动点o ，故z 1 1 = o 口 3 9 长为号手的次轨道 引理3 1 6x 1 2 = 1 证明设，是l 的长度为智的次轨道里的一点，则由鲁= l 俨i = i n ：如l ，可 2 0 0 7 年首都师范大学硕士毕业论文 得出i 岛l - 1 2 l 的1 2 阶子群只可能是d 1 2 ，z 1 2 或者a 4 ，事实上，如果存在d 1 2 和z 1 2 ，则它们分别在d 2 k ( k = 6 ) 和磊( t = 1 2 ) 中已经讨论过了，以它们为点稳定 子的次轨道个数都是0 放下面只需讨论也的情况 显然有 k ( ) = s 4 ，下面讨论n o ( 也) 由陈尚弟论文可知：当p 三l ( m o d3 ) 时c c ( a 4 ) = 磊则由州g 定理有：n g ( a 4 ) = 历：& ， 由命题2 1 0 可知，a 稳定点数为1 2 = i n a ( a t ) 1 i k ( 山) i = i z 3 ：蜀i i & i = 3 又山在每个次轨道中不动点个数为f n l ( a 4 ) ：a 4 l = 2 ，所以z 1 2 = 2 手= 1 口 3 1 0 长度为孚产的次轨道 引理3 1 7 z 1 3 = 垒吾e 一2 ，z 1 4 = 韭寻一孚+ l 证明设p 是l 的长度为牟的次轨道里的一点，则由2 生4 = i n i = i l ：“l ， 可得出i i - 4 l 的4 阶子群有“f ，w 2 ，五，分别考虑m p ，n 宁，z 4 的情形 h ，4 在l 中有两个共轭类，由引理2 1 7 ，这两个共轭类在g 中是共轭的，设其 在l 中的两个代表是i 吁，w f ( 1 ) w 稳定点个数为： i g ( 时) i i 帆( 呀) i + i g ( 岈) i i n l ( 嘴) l 印：s 。l i s , l 坩：s , i i d s i = 譬+ 毕= 掣 ( i ) ”2 d 2 0 1 ) 且在d 2 0 , 一i ) 中是正规的，故d 2 如一1 ) 的不动点也是7 的不 动点在d 2 0 , - i ) 的每条次轨道中- 野稳定； i g n ( i v ) l i n v , 。 ( 学) i = i s 4 1 i d s l = 3 ， 这样，