（基础数学专业论文）时标意义下一阶线性发展方程及其一类最优控制问题.pdf

摘要 在现实生活中，我们用数学方法来处理各种自然现象中的问题时，不仅会碰 到连续的问题，而且还会碰到离散的问题，甚至一个问题当中既有连续的成分， 又有离散的成分，或者此问题到底是连续问题还是离散问题，我们并不清楚。这 给我们的研究带来了不便。 为了统一离散分析和连续分析，s t e f a nh i l g e r 于1 9 8 8 年在他的博士论文中提 出了时标的概念。由于时标在物理学、化学技术、经济学、种群动念、神经网络、 社会科学上的应用，近年来受到了广泛的关注。如生物学中，某一种昆虫的数量 在某一季节连续地增长，在冬季死亡。它们的虫卵就冬眠，在下一季节孵化成虫。 它们的繁殖时间是有间隔的，是不连续的。只有在时标上来进行研究。 对于通常意义下的最优控制问题，有许多人已经研究过，并且取得了很好的 结果。但是在时标意义下，最优控制问题至今还没有人研究过。 本论文主要是针对一阶线性发展方程及其最优控制问题进行研究。 在第二章，我们主要回顾了时间标度上的一些基本运算，包括基本概念，微 分，积分，广义的指数函数，三角函数，多项式和一些例题。 第三章考虑了在时标意义下的b a n a c h 空间和a r z e l a - a s c o l i 定理，定义了 c 0 ( 口，加，r ) 和耳( 陋，6 】，固空间，同时给出了它们的完备性；广义的a r z e l a - a s c o l i 定理也给出了证明。 在第四章，我们给出了一阶线性动力方程的古典解的存在性及其唯一性和动 力方程的应用及其一些特殊情况下的解，引入了一阶线性动力方程的弱解，导出 了一阶线性动力方程的共轭方程及其两者之间重要的关系。 最后，第五章考虑了时标意义下一阶线性发展方程的最优控制的存在性。在 第六章，展望了后续的研究工作。 关键词：时标，a 一导数，共轭方程，b a r m c h 空间，a r z d a - a s e o l i 定理，动力方 程，最优控制。 中图分类号：0 2 3 2 a b s t r a c t i nt h ea c t u a ll i f e , w h e nm a t h e m a t i c sm e t h o di su s e dt oh a n d l es o m ep r o b l e m sm v a r i o u sn a t u r a lp h e n o m e n a , w ew i l lm e e tn o to n l yt h ec o n t i n u o u sp r o b l e m sb u ta l s o t h es t r a g g l i n gp r o b l e m s s o m e t i m e sb o t ht h ec o n t i n u o u sa n ds t r a g g l i n gc o m p o n e n t s w i l lb eh e l di nas i n g l ep r o b l e m ；s o m e t i m e si ti se v e nn o tc l e a rf o ru sw h e t h e rt h i s p r o b l e mi st h ec o n t i n u o u so n e o rt h es t r a g g l i n go n e t h u s ，o u rr e s e a r c h e sw i l lb e p u tt o i n c o n v e n i e n c e t h ec a l c u l u so ft i m es c a l e sw a si n i t i a t e db ys t e f a nh i l g e ri nh i sp h dt h e s i si n 1 9 8 8 ( s u p e r v i s e db yb e r n da u l b a c h ) i no r d e rt oc r e a t eat h e o r yt h a tc a nu n i f yd i s c r e t e a n dc o n t i n u o u sa n a l y s i s t h et i m es c a l e sc a l c u l u sh a sat r e m e n d o u sp o t e n t i a lf o r a p p l i c a t i o n si ns o m em a t h e m a t i c a lm o d e l so f r e a lp r o c e s s e sa n dp h e n o m e n a s t u d i e di n p h y s i c s ，c h e m i c a lt e c h n o l o g y , p o p u l a t i o nd y n a m i c s ，b i o t e c h n o l o g ya n de c o n o m i c s ， n e u r a ln e t w o r k s ，s o c i a ls c i e n c e s ( s e et h em o n o g r a p h so fa u l b a c ha n dh i l g e r ) f o r e x a m p l e ，i tc a nm o d e li n s e c tp o p u l a t i o n st h a ta r ec o n t i n u o u sw h i l e i ns e a s o n ( a n dm a y f o l l o wad i f f e r e n c es c h e m ew i t hv a r i a b l es t e p s i z e ) ，d i eo u ti n ( s a y ) w i m e r ，w h i l et h e i r e g g sa r ei n c u b a t i n go rd o r m a n t , a n dt h e nh a t c hi nan e ws e a s o n , g i v i n gr i s et o a n o n o v e r l a p p i n gp o p u l a t i o n i nc l a s s i c a la n a l y s i s ，o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sh a v eb e e ns t u d i e sa n dh a v eg o o d r e s u l t s h o w e v e r , t oo u rk n o w l e d g e ，t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so nt i m es c a l e sh a v e n o tb e e nc o n s i d e r e d i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e ral a g r a n g ep r o b l e mo f s y s t e mg o v e r n e d b yt h ef i r s to r d e rl i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n s o nt i m es c a l e sw i t hq u a d r a t i cc o s t f u n c t i o n a l i nc h a p t e r2 ，w eb r i e f l yr e c a l lt h et i m es c a l e sc a l c u l u s ，i n c l u d i n gb a s i cd e f i n i t i o n s ， d i f f e r e n t i a t i o n , i n t e g r a t i o n , t h eg e n e r a l i z e de x p o n e n t i a lf u n c t i o n , t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n s ，p o l y n o m i a l sa n de x a m p l e s c h a p t e r3c o n t r i b u t e s t ob a n a c hs p a c e sa n da r z e l a - a s c o l it h e o r e m t w o i m p o r t a n ts p a c e s c 二( 【4 ，6 】，r ) a n d 鬈( 【口，胡，固a r ed e f i n e da n d t h e i rc o m p l e t e n e s si s s h o w n t h eg e n e r a l i z e da r z e l a - a s c o l it h e o r e mo nt i m es c a l e si sp r o v e d i nc h a p t e r4 ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fc l a s s i c a ls o l u t i o nf o rf i r s to r d e rl i n e a r d y n a m i ce q u a t i o na n di t ss o m ee x a m p l ea n da p p l i c a t i o n s t h ew e a ks o l u t i o no ff i r s t o r d e rl i n e a rd y n a m i ce q u a t i o no nt i m es c a l e si sd e f i n e d t h ep a i ro fa d j o i n te q u a t i o n s a n dt h ei m p o r t a n tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e ma r eg i v e n f i n a l l y , e x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so nt i m es c a l e s i sp r e s e n t e di n c h a p t e r5 i nc h a p t e r6 t h ew o r ko ff u r t h e rr e s e a r c hi sg i v e n k e y w o r d s ：t i m es c a l e s ，a - 一d e r i v a t i v e , a d j o i n te q u a t i o n ，b a n a c hs p a c e ， a r z e l a - a s c o l it h e o r e m ，d y n a m i ce q u a t i o n , o p t i m a lc o n t r o l c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 2 3 2 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文申以明确方式标 明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：鏖五苤 。日期：2 q qz 生纽 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅；本人授权贵州大学- j - 以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印 或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：霆垂庭导师签名： c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h ec a l c u l u so ft i m es c a l e sw a gi n i t i a t c db vs t c f a nh i l g e ri nh i sp h dt h e s i si n 1 9 8 8f s u p e r v i s e db vb e r n da u l b a c h ) i no r d e rt oe r e a t eat h e o r yt h a tc a nu n i f y d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sa n a l y s i s ( s e e 3 9 ( s h i l g e r 1 9 8 8 ) ) t h et i m es c a l e sc a l _ c u l u sh a sat r e m e n d o u sp o t e n t i a lf o ra p p l i c a t i o n si nr o m em a t h e m a t i c a lm o d e l s o fr e a lp r o c e s s e sa n dp h e n o m e n as t u d i e di np h y s i c s ，c h e m i c a lt e c h n o l o g y , p o p l l 1 u t i o nd y n a m i c s b i o t e c h n o l o g ya n de c o n o m i c s ，n e u r a ln e t w o r k s ，s o c i a ls c i e n c e s ( s e e 3 7 ( r p a g a r w a l ，1 9 9 9 ) ，【4 0 i ( s h i l g e r ，1 9 9 0 ) ) i nr e c e n ty e a r s ，d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m e ss c a l e 8h a v er e c e i v e dm u c ha t t e n - t i o n ( s e ef 2 4 1 ( m b o h n e re t c ，2 0 0 1 ) ，2 5 1 ( m b o h n e re t c ，2 0 0 3 ) ) s o m er e s u l t so n e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o ri n i t i a lv a l u eo rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o ff i r s t o - o r d e r ( s e c o n d - o r d e r ，h i g h e r - o r d e r ) d y n a m i ce q u a t i o n sw e r ep r e s e n t e d i n a d d i t i o n t h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n sf o rs o m ee q u a t i o n sw e r ea l s od i s c u s s e d ( s o e 2 3 ( m ，b o h n e re t c ，2 0 0 1 ) ， 3 6 ( r p a g a r w a le t c ，1 9 9 8 ) ) r e c e n t l yw eh a v eg i v e n t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rac l a s so ft h ef i r s to r d e ri m p u l s i v e d y n a m i ce q u a t i o n so nt i m e ss c a l e sa n dd i s c u s s e dt h ea d j o i n ts y s t e mo ft h ef i r s t o r d e rl i n e a rd y n a m i ce q u a t i o no nt i m e ss c a l e s ( s e e 【1 3 ( g o n gy u r o n ge t c ，2 0 0 6 ) ， 1 1 5 1 ( h o n g b ol i ue t c ，2 0 0 5 ) ) i nc l a s s i c a la n a l y s i s ，o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sh a v eb e e ns t u d i e sa n dh a v e g o o dr e s u l t s ( s e e 【1 0 ( f a t t o r i n i ，h o ，1 9 9 9 ) ，【2 9 ( n u a h m e d ，1 9 s 8 ) ，【3 0 1 ( n u a h m e de t c ，1 0 8 1 ) ，【3 1 ( n u a h m e d ，2 0 0 2 ) ，【4 2 ( x u n j i n gl ie t c ，1 9 9 5 ) ) h o w - e v e r t oo u rk n o w l e d g e ，t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s0 1 1t i m es c a l e sh a v er a r e l y b e e nc o n s i d e r e d t h ee x i s t e n c ei sv e r yi m p o r t a n tf o ro p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m i ft h ea b s e n c eo fe x i s t e n c e t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r em e a n i n g l e s s i no r d e r t oi n v e s t i g a t et h en e c e s s a r yc o n d i t i o n so fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s 谛eh a v et o s t u d yac l a s so fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so fs y s t e m sg o v e r n e db yt h ef i r s to r d e r l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e sw i t hq u a d r a t i cc o s tf u n c t i o n a l a tf i r s t ，t w oi m p o r t a n tf u n c t i o ns 1 0 l a c e so nt i m es c a l 鹤，g d “a ，6 i ，r ) a n d 睇( k6 】，r ) ，a r ed i s c u s s e da n dt h e i rc o m p l e t e n e s si ss h o w n n e x t ，i n t r o d u c i n g t h ew e a ks o l u t i o no fl i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n s ，w ep r e s e n tt h ee x i s t e n c eo fw e a k s o l u t i o n sf o rc o n t r o l l e ds y s t e m i na d d i t i o nw eg i v eag e n e r a l i z e da r z e l a - a s c o l i t h e o r e mo nt i m es c a l e sw h i c hw h i c hc a nb eu s e dt od i s c u s st h ec o m p a c t n e s so f s e to ff u n c t i o n si ng d ( 【口，6 】i 冗) h e n c e ，i ti sv e r yu s e f u ln o to n l yf o rp r o b l e m so f 1 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n2 t h i sp a p e rb u ta l s of o ro t h e rp r o b l e m s a tl a s t t h ee x i s t e n c eo fo p t i m a lc o n t r o l s f o rac l a s so fl i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so nt i m es c a l e si sp r o v e d t h er e s to ft h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o f l o w s i nc h a p t e r2 w eb r i e f l yr e c a l lt h e t i m es c a l e sc a l c u l u s ，i n c l u d i n gb a s i cd e f i n i t i o n s ，d i f i e r e n t i a t i o n ，i n t e g r a t i o n ，t h e g e n e r a l i z e de x p o n e n t i a lf u n c t i o n ，t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n s ，p o l y n o m i a l s c h a p t e r 3c o n t r i b u t c st ob a n a c hs p a c e sa n da r z c l a - a s c o l it h e o r e m ，ei n t r o d u c et w o i m p o r t a n ts p a c e sc ；d ( 【0 ，6 】，r ) a n dl 孚( 【o ，6 】，r ) a n dt h e i rc o m p l e t e n e s si ss h o w n a r z e l a - a s c o l it h e o r e mo nt i m es c a l e si sp r o v e d i nc h a p t e r4 t h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fc l a s s i c a ls o l u t i o n sf o rac l a s so ft h ef i r s to r d e rl i n c a rd y n a m i c e q u a t i o n so nt i m e ss c a l e sa r ep r e s e n t e d w eg i v es o m ee x a m p l ea n da p p l i c a t i o n s o fl i n e a rd y n a m i ce q u a t i o ni ns o m et i m es c a l e s ，t h ew e a ks o l u t i o n so fl i n e a r d y n a m i ce q u a t i o no nt i m es c a l e sa r ei n t r o d u c e d t h ep a i ro fa d j o i n te q u a t i o n s a n dt h ei m p o r t a n tr c l a t i o u s h i pb e t w e e nt h e ma r cg i y e n i nc h a p t e r5 ，i n t r o d u c i n g t h ea d m i s s i b l ec o n t r o ls e ta n dd i s c u s s i n gt h ew e a ks o l u t i o n so fc o n t r o l l e ds y s t e m ， w ef o r m u l a t eac l a s so fl i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s b vt h ea r z e l a r a s c o l it h e o r e mt h ee x i s t e n c ef o rs u c hac l a s so fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m so nt i m e s c a l e si sp r e s e n t e d f i n a l l v t h ew o r ko ff u r t h e rr e s e a r c hi sg i y e l li nc h a p t e r6 ， c h a p t e r2 t h et i m es c a l e sc a l c u l u s w ew i l lb r i e f l yr e c a l ls o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n df a c t sf r o mt h et i m es c a l e s c a l c u l u s 2 1b a s i cd e f i n i t i o n s d e f i n i t i o n2 1 1at i m es c a l eti sac l o s e da n dn o n e m p t ys u b s e to i r ，t h et w o m o s t p o p u l a re x a m p l e sa r e t = ra n d t = z d e f i n i t i o n2 1 2t h er i g h t s h i f t 口( t ) a n d 现ef o r w a r dg r a i n i n e s sp ( t ) a r eg i v e n 蚵 盯( f ) = i n f s t ：s ) ，u ( t ) = 盯( ) 一t s i m i l a r l y ，t h el e f t - s h i f tp ( t ) a n dt h eb a c k w a r dg r a i n i n e s s ( t ) a r ed e f i n e db y p ( t ) = s u p s t ：s 0 ，w ed e f i n e 盯”：t - rb y 矿( t ) = 盯( 矿- 1 ( ) ) d e f i n i t i o n2 1 4 t h en o t a t i o n s c d j e c ，d ) ，a n ds o 帆，w i l ld e n o t et i m es c a l e s i n t e r v a l ss u c h 【c ，d 】= t t ：cstsd ，w h e r ec ，d t ，w i t hc 0 ，t h e n i iu 是1 陋( o + 6 ) ，k ( a + b ) + a l l i = 6 ，a n di i 舻：n n l l = + o 。 d e f i n i t i o n2 1 6t h ep o i n tt ti sl e f t - d e n s e ，l e f t - s c a t t e r e d , r i g h t - d e n s e ，r i g h t - s c a t t e r e di fp ( t ) = t ，p ( t ) t ，r e s p e c t i v e l y 3 c h a p t e r2 jt h et i m es c a l e sc a l e u l u s4 d e f i n i t i o n2 1 7 可丁h a sar i g h t s c a t t e r e dm i n i m u mm ，d e f i n et k ：= t 一 m ) i o t h e r w i s e ，s e t 疋= t th a sal e f t - s c a t t e r e dm a x i m u mm ，d e f i n et k ：= t 一 ， io t h e r w i s e ，s e tt = t t h e o r e m2 1 1a c c o r d i n gt ot h i sd e f i n i t i o n w ec a nm e e tt h eu p c o m i n gy o r e s s e n t i a l l yd i f f e r e n ts c e n a r i o s ； 1 zi sd e n s e = 争p ( x ) = 石= 盯( z ) 2 ，zi sl e f t - d e n s ea n dr i g h t s c a t t e r e d 车= 争( f ) = j 仃( ：f ) 只xi sl e f t - s c a t t e r e da n dr i g h t d e n s e ，骨p ( x ) z = o ( x ) 4 ，a ：i s i s o l a t e d ，骨p ( x ) x t 4 如re a c h f d e n s e t t ，o n eh a s 1 ( s ) o ra l ls w i t hs 0 ，a n dl e tlb eal p e r i o d i ct i m es c a l e ； i no t h e rw o r d s ti san o n e m p t yc l o s e ds u b s e to f rs u c ht h a tf + l ta n d 肛( t ) = u ( t + l ) w h e n e v e r t t d e f i n i t i o n2 1 1 2l e tfb ear e a l v a l u e df u n c t i o nd e f i n e do na ni n t e r v a l ，ct w es a yt h a t ! i si n c r e a s i n g ? d e c r e a s i n g n o n d e c r e a s i n g 。a n dn o n i n c r c a s i n go n ，cti y t l ，t 2 ，a n dt l 0 ，t h e nf ( o ( t o ) ) f ( t 0 ) 仃( 盯( o ) ) f ( t o ) ， ( f ( t ) t o d e f i n i t i o n2 1 1 4w ec a l la 丘n c t i o n ，：t _ r 伽l o c a lr i g h t - m a x i m u m ( t o l r i g h t - m i n i m u m ) a tt o t kp r o v i d e dt h a t ： j i f a ( t o ) 0 ，t h e nf ( a ( t o ) ) f ( t o ) ，f ( a ( t o ) ) f ( t o ) ， 2 ，矿盯( t o ) = 0 ，t h e nt h e r e 妇nn e i g h b o r h o o duo ft o s u c ht h a tf ( t ) f ( t o ) ， ( f ( t ) ，( t o ) ) ，o ra l l t u ，t t o 2 2d i 肋r e n t i a t i o n d e f i n i t i o n2 2 1l e txb eab a n a c hs p a c e t h ef u n c t i o n ，：t _ xi sd e l t a ( a ) d i f f e r e n t i a b l ea tt p ，p r o v i d e dt h e r ee x i s t sa no ts u c ht h a tf o re a c he 0 t h e r ee x i s t san e i g h b o r h o o duo yts u c ht h a t l i f ( a ( t ) ) 一，( s ) 一o p ( t ) 一s 】i l 0 盯( t ) 一s l l o ra l ls u w ed e n o t et h eob y ，( ) c h a p t e r2 t h et i m es c a l e sc a l c u l u s 6 归 嚣篇羞 r e m a r k2 2 1 f i t = r ，t h e n f a ( t ) = ，7 ( t ) 可t = z ，t h e n ，( t ) = f ( t + 1 ) 一 ，( ) = ( ，) ( f ) f z l ( t ) = 【，( 盯( ) ) 一，( ) l 似( ) ； l i m 型二丝2 e x i s t s0 , 8 口f i n i t en u m b e r i nt h i s 5 ef a ( t 1i se q u a lt o t h i sl i m i t ； ，( 盯( ) ) = f ( t ) + g ( t ) y ( ) ； 5 ，l | | 矗= 0o n p t h e n | 话c o n s t a n to n t 1 uf 6e x i s t s 。t h e ni o ra n yc o n s t a n tk i s 一d i f y e r e n t i a b l ea tta n d ， ( 七，) ( t ) = 七，( t ) ； 2 1 ll ? 9 6e x i s t , t h e ni 七gi sa d i f f e r e n t i a b l ea tta n d ( ，+ 9 ) ( t ) = f a ( t ) + g a ( t ) ； 3 l j 67g e x i s ta n d u 心i sd e f i n e d , t h e n | 9i s a 蝴e r e n t i a b l ea t ta n d ( 1 9 ) 0 ) = ，( 仃( t ) ) 9 ( t ) + ，( ) g ( t ) = f ( t ) g o ) 十，0 ) g ( 口( f ) ) ； c h a p t e r2 t h et i m es c a l e sc a l c u l u s 7 7 i ff 4 , g a 眺。蒯g 括d e f i n e d ( w h e r e9 9 4 o ，t h e n ，幻i sa d i f f e r e n t i a b l ea t ta n d + 。 ，1 6 ：垒二壁 g 9 9 4 5 ，? p j e x i s t s o nt ka n d | i si n v e r t i b l eo nt t h e np i sa - 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l i m 掣掣 8 n dt h o f o 聘，f o r = i a ( t 。) t h e r ei sa n e i g h b o r h 。o duo ft 。s u c ht h a t 觇l掣一a(to)t i ，( 如) h o lo tl “” o t o ，a n d t h e t h e o r e m 塔t h e r e b yp r o v e d 一 c o r ，o l l a r y2 2 ! l e tfb e 口c o n t i n u o u