（基础数学专业论文）弱逆半群的结构.pdf

弱逆半群的结构 半群代数理论 研究生李艳指导教师喻秉钧( 教授) 论文摘要：在本文中，弱逆半群的结构定理第一次得到了完整的刻画：设伊是 逆半群，其幂等元半格双序集为e 。i 刀是弱逆双序集，昂= 扣e ：v ， e ，s ( s ，e ) u ( e ) ) 是e 的半格双序子集；口是从昂到e 。的双序同构；庐是从昂到对 称弱逆半群p t ( e us 。) 的映射若四元组( 酽，e ，p ，庐) 满足六条公理，我们可以 构作对称弱逆半群p ? - ( s o ) 的一个弱逆子半群，其主元逆子半群与伊同构，其幂 等元双序集与e ( 双序) 同构上述妒称为弱逆映射，( 酽，e ，口，毋) 称为弱逆系，e 称 为( 伊，e ，8 ，妒) 的弱逆包 反之，给定一个弱逆半群s 记伊= ，( s ) ，f = e ( s 。) 为逆半群s 。的幂等 元半格双序集，e = e ( s ) 是s 的幂等元双序集，则e 是弱逆双序集，e p e 。 对任意g e ，定义9 。是c 一类；中惟一的主幂等元进而，定义：睇一 p t ( e u s 。) 为： v e e p ，d o r a c e = u r z e h ：，l 。) ，y g r i ，9 机v e ( f ) n 冠；4 n 雾 那么，( p ，e ，l e o ，纠是弱逆系，它的弱逆包是与s 同构的弱逆半群 在此基础上，我们给出了以上结构定理的同构定理，即刻画了两个弱逆包同构 的充要条件，并给出了一个反例对这个充要条件加以说明 最后利用我们的结构定理对印度学者s m a d h a v a n 在1 9 8 0 和1 9 8 8 年提出的两 类双单弱逆半群的结构给出了一个更加简洁的刻画 第i 页 中文捅要 关键i e ：弱逆半群；双序集；v a g n e r - p r e s t o n 表示；弱逆双序集；弱逆映射；弱 逆系；弱逆包；双单弱逆半群；有部分单位元系的双单弱逆半群；有部分右单位胚系 的取单弱逆半群 l i y a n 8 1 1 1 2 5 s o h uc o r n 第i i 页毕立论文 t h es t r u c t u r eo fw e a k l yi n v e r s es e m i g r o u p s t h ea l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s w r i t e r ：l iy a h s u p e r v i s o r ：y ub i n g - j u n a b s t r a c t ：i nt h i st h e s i s ，t h es t r u c t u r eo fw e a k l yi n v e r s es e m i g r o u p si s f i r s t l yc h a r a c t e r i z e d ：l e ts ob ea ni n v e r s es e m i g r o u pw i t hs e m i l a t t i c eb i o r d e rs e t o fi d e m p o t e n t s 驴：eaw e a k l yi n v e r s eb i o r d e r e ds e tw i t has e m i l a t t i c eb i o r d e r s u b s e te p = e e ：v e ，s ( ，e ) su ( e ) ) w i t hab i o r d e r - i s o m o r p h i s m 口 f r o me po n t oe o ，m o r e o v e r ，t h e r ei sa m a p p i n g 牵f r o me pi n t ot h es y m m e t - t i cw e a k l yi n v e r s es e m i g r o u pp t ( eu s 。) s u c ht h a tt h eq u a d r u p l e ( 伊，e ，0 ，妒) s a t i s f i e ss i xa p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s t h e naw e a k l yi n v e r s es e m i g r o u pec e i lb e c o n s t m c t e di np t ( s 。) w i t h ，( e ) 岂s o ，e ( z ) 竺e t h em a p p i n g 庐i sc a l l e da w e a k l yi n v e r s em a p p i n gr e l a t i n ge t op ，( p ，e ，0 ，纠i sc a l l e da w e a k l yi n v e r s e s y s t e ma n dt h e i sc a l l e dt h ew e a k l yi n v e r s eh u l lo f ( 铲，e ，0 ，纠 c o n v e r s e l y , g i v e naw e a k l yi n v e r s es e m i g r o u ps ，d e n o t i n gs 。= j ( s ) ，点严= e ( s 。) t h ei d e m p o t e n ts e m i l a t t i c eb i o r d e r e ds e to ft h ei n v e r s es e m i g r o u ps 。， e = e ( s ) t h eb i o r d e r e ds e to fi d e m p o t e n t so fs ，t h e ne i sa w e a k l yi n v e r s e b i o r d e r e ds e tw i t h 毋= e 。f o ra n y g e ，d e n o t i n gb yg ot h eu n i q u ep r i n c i p a l i d e m p o t e n ti nt h ec - c l a s s ；，d e f i n e 垂：e p “p t ( eu ) a sf o l l o w s ： e p ，d o m e , = u 毋e 一：，l 。 ，毋，g 机v p ( f ) n r f n 球 t h e n ，( 伊，e ，1 p ，) i saw e a k l yi n v e r s es y s t e mw h o s ew e a k l yi n v e r s eh e l lei sa w e a k l yi n v e r s es e m i g r o u pi s o m o r p h i ct os n n t h e r m o r e ，a ni s o m o r p h i s mt h e o r e mf o rt h i ss t r u c t u r et h e o r e mi sg i v e n w h i c hc h a r a c t e r i z e st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt w ow e a k l yi n v e r s e h u l l st ob ei s o m o r p h i c m e a n w h i l ea c o t m t e r e x a m p l ei sp r o v i d e dt oi l l u s t r a t et h e c o n d i t i o n 第i i i 页 f i n a l l yb yu s i n go u rs t r u c t u r et h e o r e m ，n e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fb i s i m p l e w e a k l yi n v e r s es e m i g o u p sw i t hp a r t i a li d e n t i t i e so rp a r t i a lr i g h tu n i t o i d sa r e g i v e n ，w h i c ha r em o r ec o n c i s et h a nt h o s eg i v e nb yi n d i a ns c h o l a rsm a d h a v a ni n 1 9 8 0a n d1 9 8 8r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：w e a k l yi n v e r s es e m i g r o u p ；b i o r d e r e ds e t ；v a g n e r - p r e s t o np r e - s e n t a t i o np ；w e a k l yi n v e r s eb i o r d e r e ds e t ；w e a k l yi n v e r s em a p p i n g ；w e a k l yi n v e r s e s y s t e m ；w e a k l yi n v e r s eh u l l ；b i s i m p l ew e a k l yi n v e r s es e m i g r o u p ；p a r t i a li d e n t i t y ； p a r t i a lr i g h tu n i t o i d 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 新铂 本人卢明：所呈文学位论文，是本人在导师堕丞丝数援指导下，独 立进行研究i 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：己提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索：2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名： 年月日 引言 众所周知，逆半群是半群理论中最早受到广泛深入研究，成果最丰富的 一个半群分支早在上世纪4 0 - 5 0 年代，以ahc l i f f o r d 和gbp r e s t o n 教授 为代表的西方半群理论家和以vvv a g n e r 为代表的前苏联数学家( 以”广义 群”为名称1 就得到了关于c l i f f o r d 半群的结构理论和任意逆半群的1 1 部分变 换的表示( v p 表示) 等一系列关于逆半群的重要成果1 9 8 5 年，mp e t r i c h 的 专著”i n v e r s es e m i g r o u p s 对到8 0 年代初逆半群的研究成果作了综述，篇幅长 达6 0 0 多页，该专著是半群代数理论发展的重要里程碑，在推动8 0 年代后半期至 今很多类型( 逆，纯正，正则及各种广义正则) 半群的研究中起到了不可替代的作 用 伴随逆半群理论的展开，若干与之有密切关联的半群类的研究也在同时进 行弱逆半群就是其中一个，弱逆半群的概念是日l 度学者b r ，s r i n i v a s a n 于1 9 6 8 年引入的这类半群是逆半群的自然推广：弱逆半群s 的主元集，( s ) 是一个逆 半群，s 的主幂等元集e p ( s ) 恰是( s ) 的幂等元半格；更有意义的是：与逆半群 的v p 表示理论平行任一非空集x 的所有部分变换之集r e - ( x ) 在通常部分映射 的合成运算下是一个弱逆半群，称为集x 上的对称弱逆半群；而且任一弱逆半 群s 均可嵌入对称弱逆半群m - ( 研中( 我们称之为弱逆半群的s r i n i v a s a n 表示) ， 从那时以来，弱逆半群不断受到许多人的关注例如，1 9 7 0 年，rjb r o w n 等给 出了弱逆半群一个简化的等价定义；1 9 7 6 年，k8sn a m b o o r i p a d 等将弱逆半 群扩充为l r 半群，研究了两类半群之间的关系；1 9 8 0 和1 9 8 8 年，sm a d h a v a n 研 究了两类特殊的双单弱逆半群：有部分单位元系和有部分右单位胚的双单弱逆 半群，用集合上的部分变换刻画了这两类半群的结构：近年来，喻秉钧、徐芒等 较系统地研究了弱逆半群的某些特殊同余，特别地，他们刻画了基础弱逆半群 的幂等元双序集的特征，给出了幂等元双序集是某基础弱逆半群的幂等元双序 集的充要条件不过，直到目前，我们尚未见到对一般弱逆半群的结构刻画本 文的目的是第一次在最一般意义下解决这个问题 本学位论文共分四章 第1 页 手言 我们在第一章中系统介绍全文需要的基本概念和记号如：弱逆半群和对称 弱逆半群p 丁( x ) 的定义和基本性质；非空集上二元关系及部分畈射的并运算与 乘法运算的关系；双序集和弱逆双序关的定义与重耍性质；证明了每个弱逆半 群的幂等元双序集都是弱逆双序集本章的概念和结论是我们展开全文的基础， 也是我们诸多证明技巧的来源所在 在第二章中，我们首先对弱逆半群s 嵌a p t ( s ) 的s r i n i v a s a n 表示i 傲了改 进，得到了与逆半群的v p 表示更接近的把弱逆半群s 嵌入p 丁( ，( s ) ) 的表示n 为强调这一点，我们特别称之为s 的、p 表示这是我们核心定理的基本出发 点本章的中心，也是本学位论文的中心，是从一个给定的逆半群酽，弱逆双序 集e 以及联系这两者的双序同构8 和弱逆映射毋出发找出了用它们能够构作出 以s 。为主元逆半群，e 为幂等元双序集的弱逆半群充要条件的六条公理我们 用七个命题和一个推论证明了从满足这些公理的所谓弱逆系( 5 。，e ，p 能够 在p 丁( s 。) 中构造满足所需条件的弱逆半群( 所谓弱逆包) ；我们又用两个命题 证明了任意一个弱逆半群都可以这样构成， 运用第二章得到的中心定理，我们在第三章中讨论了弱逆半群的同构定理， 刻画了两个弱逆包同构的充要条件 最后一章，我们先介绍了有部分单位元系和部分古单位胚系的双单弱逆半 群的3 l a d h a v a n 构作方法，接着运用所得的弱逆半群结构定理，得到了这两类半 群的更为简洁的结构刻画 1 i y a n 8 1 1 1 2 5 s o h uc o m第2 页兰业论文 第一章预备知识 弱逆半群的概念是印度学者b r ，s r i n i v a s a n - t 1 9 6 8 年引入的( 参见【1 】) ，他 发现这类半群是逆半群的自然推广：弱逆半群s 的主元集j ( s ) 是一个逆半群( 称 为s 的主元逆子半群) ，s 的主幂等元集e p ( s ) 恰是，( s ) 的幂等元半格并且一直 以来弱逆半群都备受关注( 参见文献【2 一s 1 ) 1 1 弱逆半群 首先我们引进与本文相关的一些主要概念、记号和结果，未加以定义的概 念和记号同于 9 1 ，如丁( x ) 表示非空集合x 上的所有全变换组成的半群，j ( x ) 表 示非空集合x 上的所有一一部分变换组成的对称逆半群，8 ( x ) 表示非空集 合x 上的所有二元关系组成的半群等，不再重述 设s 是一个幂等元集为e ( s ) 的半群e e ( s ) 称为s 的主幂等元，若v ， e ( s ) ，有f e j = ，e s 的子集a 中的所有主幂等元之集记为上扫( a ) 特别地， e e ( 两表示s 中的所有主幂等元之集o s 称为s 的主元，若存在一y ( z ) ， 使得z ，五( s ) s 上的所有主元之集记为j ( s ) 一y ( $ ) 称为z 的主逆元， 若x l x e e ( s ) o 的所有主逆元之集记为( z ) 性质1 1 1f 1 j 1设s 是一个半群则 ( 1 ) 设口s ，则口i ( s ) = 争a a 毋( s ) ，v a v ( a ) = 争i e p ( 磋) l = 1 ； ( 2 ) 设e e ( s ) ，则e z ( s ) = = e e 1 p ( s ) ； ( 3 ) v e e p ( s ) ，一y ( d ) ，有o , e 吐p e ) 进而，若o 五( s ) ，则c l e a s f p ( s ) ( 4 ) 设a y ( n ) ，则a i v p ( 口) 车= 争a a e p ( s ) 定义1 1 - l 【11 , 2 l 半群s 称为弱逆半群，若s 满足下面三个条件 ( w i ) v z s 诈( ) 0 ； ( w 2 ) v z ，y sv e ( z ) = v e ( ) = = z = 鲈； ( w 3 ) vz ，暑，s ，v e ( x y ) s1 ，p ( 暑，) i 乍( z ) ( s 1 乍( z 3 ，) ) 第3 页 第一章预备知识 命题1 1 1 【1 】设s 是一个弱逆半群，则我们有： ( 1 ) v s c ，i e p ( 工) i = 1 ( 2 ) v e e ( s ) ，e e p ( s ) 幸= 争e ( 磷) = e ( 3 ) va sy p ( a ) a m 唯- 的主幂等元e 。组成，且va 嵋( n ) ， o e a = 口，e a a 7 = a ，。= e a ( 4 ) j p ) 是s 的一个逆子半群，且e p ( s ) = e ( j ( s ) ) ( 5 ) a i ( s ) = 亭i 硌( 口) i = 1 ，此时我们用口- 1 表示a ，( s ) 的惟一主逆元， 于是a _ 1 也是d 在逆半群j ( s ) 中的惟一的逆 ( 6 ) v a b s ，睁( a b ) = 研诈( o ) ，其中 曰= 嵋( 6 ) ：e a b b 7 e 。= e a b b f ) ( 7 ) vn s ，n ，c ，乍( d ) ，有n 一1 a a 一1 = a * - l a + a 一1 证明( 7 ) v a s ，0 ，a 硌( n ) ，有 。a a “1 = a 7 - i a a 。1 ( ”a1 ) = a t - l a 7 n “1 ( 矿a ) = ( 一1 a ，) ( n + 一1 a + ) o = ( a * - l a + ) ( “1 ) 8 = a * - l a + - 1a l a ) = a * - l a a “1 ( n “a 一1 ) = a * - l a o “1 1 2 对称弱逆半群 口 & r ，s r i n i v a n 还发现任一非空集x 的所有部分变换之集p 丁( x ) 在通常部 分映射的合成运算下是一个弱逆半群，称为x 上的对称弱逆半群；任一弱逆半 群s 均可嵌入对称弱逆半群p 丁( s ) 中 命题1 2 1 对于任意非空集x ，o ，p t ( x ) = 尸，我们有： ( 1 ) nc p p 骨i m a = i m b ； ( 2 ) n7 已p p 号d o m o t = d d m p k e r a = k e r p ； ( 3 ) q7 1 尸p 铮i m a = 打n p ，d a m a = d 踟p ，k e r = k e r f l ( 4 ) o 矿p 骨l i m a i = i 打n p i 命题1 2 2 【1 1 对于任意非空集x ，在对称弱逆半群p 丁( x ) 中，我们有 ( 1 ) e ( p t ( x ) ) = p l i m e d a m ，k ，= 1 m e ； b 。a n 8 1 1 1 2 5 f i - ：o h u c o n l第4 页毕业论文 第一章预备知识 ( 2 ) e e ( p 丁( x ) ) = e ( j ( x ) ) = 1 i a x ； ( 3 ) x ( p - r ( x ) ) = 7 ( x ) 定理1 2 1f 9 】逆半群s 嵌入对称逆半群j ( s ) 的v a g n e r p r e s t o n 表示( 简称 为逆半群s 的v p - 表示) p 如下： p ：s 一了( s ) a ”p g ：s a a 一1d s a 一1 d 卜z o 定理1 2 2 【1 】弱逆半群s 嵌入对称弱逆半群p 丁( s ) 的s r i n i v a s a n 表示咖如 下： 妒：s p t ( s ) dh 奴：s v p ( 口) _ 鼠 z 卜+ z 口 满足n z ( s ) = 亭也j ( p 丁p ) ) 命题1 2 3 4 1 设s 是弱逆半群，n ，b s 则下面条件等价： ( 1 ) b ( o 弘= 他 ； ( 2 ) v a 7 诈( 口) ，了6 ，硌( 6 ) ，在逆半群，( 印的自然偏序下有a i 6 ，； ( 3 ) 饥如 若d ，b s 满足上面等价条件之一，则我们记a 6 于是s 定义了弱逆半 群s 上一个关于它的乘法相容的偏序，通常称它为弱逆半群s 上的自然偏序这 个偏序在s 的主元逆子半群j ( s ) 上的限制就是逆半群( s 上的自然偏序，但它一 般不是作为正则半群的s 上的自然偏序，也不是幂等元集上的偏序 以下命题讨论了非空集上的二元关系，部分映射的并运算与乘积运算之间 的关系其结论是本文运用的主要技巧 命题1 2 4 对于任意非空集x ，口，p ，啦召( x ) ，l i ，我们有： ( 1 ) d a muo t i = u d o r n v t i ，i muo t i = u i m a i ( 2 )若o t ，p p t ( x ) ，i , j a u f l ；u r ( x ) 哥( vz d o r n a a d o m f l ) z q = 卢特别地，若n 。卢j ( x ) ，则o u 卢p t ( x ) = 争o n - 1 p = f l ：3 _ 1 口 1 i y a n 8 1 1 1 2 5 s o h u c o r n 第5 页毕业论文 第一重预备知识 ( 3 )uo z i p 丁( x ) 错i ，j i ) o t i u q j p 丁( x ) e ， ( 4 ) ( uo t ) p = u ( a ；卢) ，p ( un 。) = u ( p a 。) 讵，i e li e lz e i 证明( 1 ) 显然 ( 2 ) 第一个结论是显然的为证第：二个结论，设a ，卢了( 州，我们有 q u 卢p 丁( x ) = 争v z d o m nr 、d a m 口，z o = z 口 搴= = = vz d a m dnd o m 卢， z 1 如m q p = z 1 如m 口o = 号vz d o ma a 一1 p = d o r a 3 6 - 1 0 ，z q 口一1 卢= 上j 9 p 一1 n 号o a - l f l = p p 一1 0 ( 3 ) 因为 u a i 隹p 丁( x ) 搴= = | ( z ，暑，) ，( z ，z ) uq 。，z z e l i e l = = ( 了i ，j ，) j ( ，暑，) o q ，( z ，。) c o ，y z ( 弓i ，j i ) j ( 。，可) ，f z ，2 ) o i u o o ，。 爿( j t ，j i ) 吼u q 聋p t ( x ) 考( j i ，j ，) j ( t ，s ) ，( t ，“) o u 血f ，s t 爿j ( t ，s ) ，( t u ) u q ，s i e i = u q t 芒v t c x ) t j 所以 u q - 隹p 丁( x ) = 争( ii ，j ，) qu q 隹p 丁( x ) i e l ( 4 ) 我们有 d a m ( uo t ) 卢= 【( i r auo ，) n d a r n 明iuq ) q = ：( ui mo t i ) n d a r n 纠( uq i l ) 1 e liel|i i e l j l = 【u ( i m o i n d a m p ) 】 u 町1 ) = u ( i mo q n d a m f l ) ( uo i l ) 】 l j t ； ，j = u f u ( i mq t n d a mj ) q i l 】= u ( i m 口tn d o r a 卢) o i l t ，i e l；j ， = ud a m ( q 口) = d a mu ( q ；p ) 1 i y a n 8 1 1 1 2 5 s o h u c o i l l第6 页 毕业论文 第一章预备知识 其中，倒数第二个等号之所以成立，是因为我们有，vz x ， ( j ，歹j ) z ( i m a l n d 0 ，竹卢) q 7 1 = 争( | i ，j i ) z q i m 啦n d o r a l 9 等z d o r a a j ，z i r e a i n d o r a 葛z d d m 反 因此得到u ( i m 口i n d a r a p ) 町1 u d a m ( 趣芦) u ( 1 m 啦n d o r a 国丐1 由 毙不难得n ( un t ) p = u ( a 猡) 类似可证p ( u 啦) = u ( p a t ) 口 i e li e li e li 1 3 双序集和弱逆双序集 设e 为非空集合，d e e e 若存在从d e 至：i e 的映射a 则称e 为一个 部分2 代数； 勋是曰拘基本积v ( e ，f ) d e ，常简i g p ( e ，) 为e ，若ve ， g e ，( e f ) g 与e ( 豇) 存在蕴含( e f ) g = e ( g ) ，则称e 为部分半群 设e 为一个部分2 代数，以下几个二元关系将扮演中心的角色 = ( e ，) d eie f = e ，= ( e ，f ) d 三1lf e = e ) ， k = u u u 7 ，u = f l o j r ，c = u 。f l ( u ) 一1 ，冗= ，n ( “，) 一1 一 对任意e e ，记 u ( e ) = ，e i f u e ) ，( e ) = ，ej ，“，e ) ，u ( e ) = ，e i ，ue 分别称为e 生成的左、右理想和叫理想若a 是用上述二元关系表述的关于e 的 一个命题，将a 中的，互换并改变相应基本积的左右顺序，所得命题a 称 为a 的对偶 定义1 3 1f 1 0 l 设e 为一个部分2 代数称e 为双序集，若下述六个公理及 其对偶成立，其中，e ，g 等表示e o e 的任意元素 ( b 1 ) “，与均为拟序( 满足反身性和传递性) ，且d e = ku 片 ( b 2 1 ) f e 辛f 冗，e u e ( b 2 2 ) g 六，g ，( e ) 兮g e u ，e ( b 3 1 ) g ，“，e = g f = ( g e ) f ( b 3 2 ) g f ，g “，( e ) = ( f g ) e = ( f e ) ( g e ) ( b 4 ) g ，f ( e ) ，g e f e 号存在g l ( e ) ，满足g l ，且9 1 e = g e t i y a n 8 1 1 1 2 5 ( 鱼s o h u t o m 第7 页毕业论文 第一章预备知识 集i ( e ，f ) = “，( e ) nu 7 ( ，) 称为( e ，) 的m 一集定义m ( e ，) 上的二元关 系 为： v g ，h i ( e ，) ，g 一n ( 一- 1 另外，ve e ，记l 。= ，e ：e ( = l e 定义1 3 6 s l 对双序集e ，记f p = e e ：v ，e ，s ( 工e ) w c e ) 称正则双序集e 为弱逆双序集，若e 满足以下三条件： ( t 1 ) v l e 孓一 - - _ 一e ，因此，- e ，从而e f = f 用与( 1 ) 中e ，= e = 寺力风= p 肛相同的证明可得e f = f = 号p p c = p e 最后，由于e 是弱逆双序集，由以上证明及定义1 3 6 ( t s ) ，对任意终，p e ( e ) ，有 p i p ! = 刀= 辛( j 岛竣) p ，u ( 丹) 因此由引理1 3 2 ，是弱逆半群 口 命题2 2 ，7 五( ) 2 e p ，( ) 皇酽 证明第一式( 半格) 双序集同构是命题2 2 6 与j ( e ) = a ：e 的推 论；第二式半群同构是，( e ) = p p 及该p 恰为逆半群酽的v p 表示的推论 口 至此，定理2 2 1 i e 面部分的证明完成定理2 2 1 反面部分的证明，由以下命 题2 2 ，8 和2 2 ，9 完成 命题2 2 8设s 是幂等元双序集为同构弱逆半群记伊一j ( s ) ，p = e ( s 。) 那么，e 。= 昂，恒等映射l 伊是从e p 到e 。的双序同构进而，定义妒： e e 一 p t ( e u 伊) ，e 一九如下： ee e e = e 。) ( v ，厶) ( v g 兄，) 9 以v p ( f ) n 兄；n 二；= v p ( f ) n j 筝n 工乒， 则( s 。，e ，1 p ，纠是一个弱逆系 证明由命题1 1 1 ( 4 ) ，扩= j ( s ) 是逆半群，其幂等元半格双序集为严；由 命题1 3 3 ，e 是弱逆双序集；再由引理1 3 1 ，我们有e 。= e ( 驴) = 刀( ，( s ) ) = e p ( 习= z ( 作为集合) 显然，1 p 是从作为( 半格) 双序集的毋到e 。的双序同 构，且满足定义2 2 1 的( w 1 1 ) 1 i y a n 8 1 1 1 2 5 s o h u c o m 第2 5 页毕业论文 第二章弱逆半群的结构 对任意e 局，易知，戎是以u r e ：f l 。 为定义域的映射，其值 在酽中，故庐。p ：r ( eus 。) 显然咖。满足( w 1 2 ) ，且有r f 妒。= 嵋( ，) ，vf l 。 ( w i 3 ) vf e ，i 因l z n e p = 广) ，f e z 。有定义注意到( ，) n 醇n 工，= t r 、奄l 垂| = l 。 ( w 1 4 ) v9 ，h 冗，如下图所示，m 0 0 9 定义及命题1 1 1 ( 7 ) 我们有 广+g 妒。h 咖。 巾旷g 九a ：h 曲o ) 一酽 rg 9 0 庐，。) 一1 = ( g 妒，a ) 一1 ( g ，。) ( 庐，。) 一1 = ( h e ! 。) 一1 ( h s j 。) ( 9 妒，。) 一1 = 。( g 妒，口) 一1 等式两边取逆有 ( h c j 。) 扩= ( g 妒) 。， i 刍f ( h 4 ) 。) = h ，f = g ( f 岛。) ，h = g ( h o g 。) ，有g ( f c e 。) ( ，。) = g ( h 以。) 于是等 式两边同时左乘，毋 得 ( f 驴9 。) ( d ，。) = g o ( f c r ) ( h 咖。) = 扩( 。) = h c g 。 ( w 1 5 ) 设r f 是日约两个不同的一一类，使得兄uf 是b 阵如果存在e r ，满足任意f f l ，f 爿， - _ 砌一夕目于是我们也 有p 扫) 如( 。叶) v 哥( p ，1 ) n 晚nl 岛，因此得p 弦。) x 喾p ( 卵) 赴，由$ 的v p 表 第3 0 页 第三章同构定理 示p 单，得( g 毋1 。) x = 0 目) 如( 鳓特别地，v ，e 1 ，( f 。p 1 ) x = ( f l f 。) x = ( ，町) 妒2 ( 广) = ( ，叶) 锄( 朋。= ( f z l ) 。0 2 设。，e 1 ，即。确。，则。x 冗墨x = 磁) 。如，于是。，n = ( 刀m ) 口= ( p ，a ) ( 几口) = p ，q p a x 一( n x ) 加2 ，即n ：a f ”( a x ) i , ，v 町e 1 就是可以 由x ，7 确定的扶z 1 到e 2 的同构 充分性设存在半群同构x ：研一岛和双序同构目：e 1 一易满足 条件( s ) 显然，叫e | ，是从半格双序集e l p 到半格双序集易p 的双序同构于 是，对于任意f 蜀，毋q = 毋，f 。，7 = ( ，q ) 。，且由条件( s ) ，有( ，。口1 ) x = ( f c l f o ) x = ( ，口) 如( p _ ) = ( ，7 ) 也( 如) 。= ( f w ) 。如若f 蜀p ，则向易p ， 于是( f 0 1 ) x = ( ，。0 l 奴= ( ，叩) 0 0 2 = ( f v ) 0 2 特别地，若f = q 。) 町1 ，z 霹，则( ，7 ) 如= ( f 0 1 ) x = ( x - 1 正) x = ( z x ) 一1 ( z x ) ；若9 = ( y y 一1 ) 8 f 1 ，研， 则( 卯) 如= ( 9 0 1 ) x = ( f 一1 ) x = ( 封x ) ( 掣x ) 一1 对任意町l ，d 目y - a 冗鬈，。p l ，x 是半群同构，有口x 礤以h = 磁) 。如， 即( 戳) 加2 对任意町= b l ，即盯几= p o p # q = 是p f 冗2 t 丹，风c e ，廊由命 题2 2 4 ，得，一9 因q 是双序同构，有，q 一鲫并且在p 丁( 罚) 中我们有如 下”蛋盒图” 乃。0 i p a 如l p 办1 9 0 岛 p ；。0 。 力a f = b店 由此可缛m = p 。0 l 风= p 如l p p p = = 跏l ，o 乃m = 岛九，。m = p 。，o ) 6 因为上述_ d 涉及的元素全在逆半群冀中，由v p 表示p 单得口= ( g 妒l ，。) 6 再由x 是同构及条件( s ) ，w a x = f ( g 毋l ，。】x j ( 畋) = f ( 卵) 也( ，o 口) j ( 皈) = l i y a n s l l l 2 5 s o h u c o i n 第3 1 页 毕业论文 笙三空垦塑塞墨 f ( g q ) 妒2 ( ，q ) 。lc b x ) 于是由r 朋= r t l 及( 、1 4 ) ，有 力口m x = u p ( r 屯( 。) 一i ：h 7 r 叶 m = u p l ( h q ) o h ( 。l - i ( 。x ) ：h 毋 = u p i ( h q ) 如 川。j 一1 【b q ) 也t ，1 】。1 ( 畋) ：h r i 嚣u p 【( q ) 屯( ，q r j - 1 l ( ，口】如) 。j - 1 ：h r f = r 9 p 6 x = u p i ( ， ) 西2 栅) 。( ( q ) 如( 。) 卜1 ：h 岛) f k = u p i ( h 口) 如( 。j l ：h 兄9 ) p 畋 = u p ( h ，南( 川。) 一l ：r 脑= p p b x 于是，q ：n ，ha l o t = p n p 。x ，vn ，e 1 是从l 到2 的映射特别 地，p ，q = ( ，。口1 ) ，o t = p f 叮p ( ，。口。h = p 1 p ( i 口) 。如= p l 口：若，= ( a a 一1 ) 目- l e i p ， 则，町上乏p ，于是加a = b ，n = p l q p a x = p ( ，卑) 如几x = 觑加一1 ) x ， 口x = “x 以下证明n 是半群同构首先，由x 和1 都是满射，易知q 是从l 到e 2 的满射 为证。单，设o ，b e 1 使得8 ，q 一a ，即p 向p a x = p g n p a x d a t - x ，叮都是双射， 对q 是映射的前述证明每一步骤都可逆，因而可得，= b 为证。是同态，我们只需证明：v ，g 最，z ，y s ，8 蹿以，b 蹿即 ( 1 )( p l p 9 ) o z = ( p f o ) ( p g a ) = p 口， ( 2 )( 以盹) a = ( p i o ) ( p p a ) = p i l 内x ， ( 3 )( m 乃) q = ( m q ) ( 岛o ) = 胁p ， ( 4 )( 口，b ) q = ( o ，q ) ( 6 9 0 ) ( 1 ) 任取，9 马，首先，我们有e ( ，9 ) q = e ( ，目，蛳。这是因为： 对任意h e 1 ，由r 叩= r h ，我们有 p i o p a p i 。= u p u 吼l ( 1 0 1 h 。) 一1 ( ，o ) ：h l r ， 以。p = u f p ( ，。一1 ) ( 。6 i 。) 一l ：h l 风 ， p f 。, ，p a n p l 。口= u p k i 。, ) 蹦【( h 叶) 句( 。日，1 - i ( ，。目、如1 ： l r h p ，。叶p 忉 = u _ i d 【( ，。q 渤j 【( 1 口) 0 2 ( h 。 ) 卜1 ：h i r h l i y a n s l l l 2 5 鱼s o h u c o m 第3 2 页 毕业论文 第三章同构定理 于是，由p 是逆半群的v p 表示，x 是从s 到$ 的逆半群同构及条件( s ) ，有 d a m p l n p h 叶p 广田= u ( d o mp l f f 。哪如】i 【 l 神如( 。订一q ( 1 呀) 如】：h i 厩， ：= u 昱f ( ，。q ) 如】f ( h l 口) 也( 。”) 】【( ，。，7 ) 如】：h i f k ) = u l s ? ( ，。口1 ) ( l 1 胪) ( ，。目1 ) l x ：h i r h = 【u s ( ，。e 1 ) ( h l 庐l h 。) ( ，。p 1 ) ：h i 取 恢 = 【u d d mp ( ，。0 1 ) ( 。，。) 一t ( ，。e 1 ) ：h i 取) 】x = ( d onp l 。p p r ) x 同理d 伽p i * , l p h , 1 = ( d o r a 办。m ) x 再由x 是同构，我们有 d o m p j 。p 姻| 。= d a mp t p h 错d a r np f * q p h n p l 。n = d o