（天体物理专业论文）稳态轴对称爱因斯坦麦克斯韦伸缩子黑洞的量子谱.pdf

摘要 弦理论是目前唯一有希望能够量子化引力并将引力与电磁、弱和强相互作 用统一起来的自洽理论。这一理论具有解释宇宙起源与运行以及现代物理中 很多难题的潜力。由弦理论得到的伸缩子黑洞，其时空有着与通常广义相对 论中的时空不一样的性质，其原因在于伸缩子参数的存在。因此，多年来人 们对伸缩子时空的各种研究极为关注。另外众所周知，在引力理论中一个还 没有解决的重要问题是黑洞热力学特性的微观起源。这个问题只有在完全量 子引力理论中才可能真正的解决。然而即使在缺乏成熟的量子引力理论时， 我们也可以讨论一些基本问题，比如黑洞可观测参量的量子谱。特别是针对 那些由量子引力候选理论得到的时空中的黑洞的量子谱，人们还缺乏详细的 了解。 本文的目的是把视界面积谱的研究推广到弦论中的稳态轴对称e m d a 黑 洞。利用g o u r m e d v e d 约化相空间法，我们研究了稳态轴对称e m d a 黑洞的 视界面积谱，从面积谱可以看出，由于零点能的存在，真空涨落阻止了极端 e m d a 黑洞的出现，这与热力学第三定律也是一致的。同时根据e m d a 黑洞动 力学，存在与面积谱对应的大于零且有下界的质量离散谱，从物理上来看，质 量谱的半有界性意味着不可能从系统吸取无限的能量，而正定性则与广义相 对论中的正能定理一致，也就说稳态轴对称e m d a 时空的a d m 能量总是大 于零。另外我们发现量子化后的稳态轴对称e m d a 黑洞的视界面积可用两个 量子数来描述，即a = 8 丌危( ；+ 礼+ f ) ，其中质量量子数n 和角动量量子数f 均 为非负整数。这表明，由弦理论得到的具有质量、角动量和电荷的e m d a 黑 洞的量子谱与普通广义相对论中的k e r r - n e w m a n 黑洞量子谱相比有极不相同 的性质。事实上，在极端稳态轴对称e m d a 黑洞的情况下，山= 、m 。一筹是 以黑洞质量和电荷为变量的函数，而视界面积刚好就是该函数的复合函数， 因此导致这个从弦理论得到的黑洞具有这一奇特的特性。 关键词：量子引力，稳态轴对称e m d a 黑洞，黑洞的量子谱，约化相空间 黑洞动力学。 a b s t r a c t s u p e r s t r i n gt h e o r ys p r i n g i n gu pi nr e c e n ty e a r si ss t i l lt h eo n l yk n o w n s e l f _ c o n s i s t e n 七 t h e o r yw h i c hc a nq u a n t i z et h eg r a v i t ya n du n i f yt h eg r 删t y it h ee l e c t r o m a g n e t j cj n t e r a c t i o n ，t h ew e a ki n t e r a c t i o na n dt h es t r o n gi n t e r a c t i o n t h i st h e o r yc a ne x p l a i nt h ec o s m i c g e n e s i sa n de v o l u t i o n ，a n df i g u r eo u tt h ep r o b l e m so fm o d e r np h y s i c 8 i nt e r m so ft h e d i l a t o ns p a c e t i m e si ns t r i n gt h e o r y ，b l a c kh 0 1 eh a sq u a l i t a t i v e l yd i h e r e n tp r o p e r t i e sf t o m t h 0 8 ea p p e a r i n gi ng e n e r a lr e l a t i v i t yb e c a u s eo ft h ea p e a r a n c eo fd i l a t o n s ot h e r eh a e b e e nm a n yi n v e s 七i g a t i o n sc o n c e r n i n g 七h es p a c e t i m e so fd i l a t o nb l a c kh o l e i ti sb yn o w 、e l lk n o w nt h a to n eo ft h eo u t s t a n d i n 9 1 yu n s o l v e dq u e s t i o n si ng r a v i t a t i o n a lt h e o r yi st h e m i c r o s c o p i co r 哂no fb l a c k - h 0 1 et h e r m o d y l l a m i ce n t r o p y i na 1 1l i k e l i h o o d ，t h i sq u e s t i o n c a no n l yb ea d d r e s s e di nt h ec o n t e x to fq u a n t u mt h e o r yo f 伊a v i t y n o n e t h e l e s st h e r ea r e s t i l ls o m ef u n d a m e n ti s s u e st h a tc a nb ei n v e s t i g a t e de v e nt h ea b s e n c eo ft h ef u l l d e v e l o p e d q u a n t u mt h e o r y ，s a y ，w h a ti st h eq u a n 乞u ms p e c t r u mo ft h eb l a e kh o l e e s p e c i a l l y ，p e o p l er e a l yh a v eh a dal i t t l ek n o w l e d g eo fb l a c kh o l e ss p e c t r u mi n c a n d i d a t et h e o r i e so f q u a n t u mg r a 历t y i nt h i sp a p e ro u rm a i np u r p o s ei st oe x t e n dt h er e s e a r c ho ft h eh o r i z o na r e as p e c _ t r u mi n 七ot h ec a s eo fs t a t i o n a r ya 撕s y m m e t r i ce i n s t e i n - m 缸w e l ld i l a t o n a x i o n ( e m d a ) s p a c e t i m e t h eh o r i z o na r e as p e c t r u mo ft h es 七a t i o n a r ya 妇s y m m e t r i ce m d a b l a c kh 0 1 e i ss 七u d i e db yu s i n gg o u r m e d v e d sm e t h o d ，w h i c he s s e n t i a 儿yb e l o n g st ot h ef i a m eo f r e d u c e dp h a s es p a c e ar e m a r k a b l ef e a t u r eo ft h i se i g e n v a l u es p e c t r u mi st h a tv a c u u m f l u c t u a t i o np r e v e n t st h ee x t r e m a lb l a c kh o l e sf r o mt h eq u a n t u ms p e c t r u md u et ot h e z e r o p o i n tt e r m t h i sr e s u l tc a nb e s tb ev i e w e da saq u a n t u mb l a c kh o l ev e r s i o no ft h e t h i r d1 a wo ft h e r m o d y n a m i c s a sar e s u l to ft h i sa r e as p e c t r u m ，t h es p e c t r u mo fm i sd i s c r e t e ，b o u n d e db e l o w ，a n dc a nb em a d ep o s i t i v e f o mt h ep h y s i c a lp o i n to fv i e w ， t h es e m i b o u n d e d n e s sa n dp o s i t i v i t yo ft h es p e c t r u ma r ev e r ys a t i s f y i n gr e s u l t s ：t h es e m i b o u n d e d n e s so f 七h es p e c t r u mi m p l i e st h a to n ec a n n o te x t r a c ta ni n f i n i t ea m o u n to fe n e r g y f r o mt h es y s t 咖，w h e r e a st h ep 0 8 m v i t yo ft h es p e c t r u mi si na g r e e m e n tw i t ht h ew e l l 一 k n o w n p o s i t i v e e n e r g yt h e o r e m so fg e n e r a lr e l a t i v i t y r d u g h l ys p e a k i n g ，t h ea d m e n e r g y o ft h es t a t i o n a r ya 面s y m m e t r i ce m d as p a c e t i m ei sa l w a y sp o s i t i v eo rz e r o m o r e o v e r ，i t i sf 6 u n dt h a tt h eq u a n t i z e da r e ao p e r a t o rc a nb ee x p r e s s e di nt e r m so f 七v v - 0q u a n t u mn u m 1 1 1 分 弋、，。- b e r s ，i e ，4 = 8 7 r 意( + 佗+ f ) ，w h e r e 佗a n dfa r es t r i c t l yn o n n e g a t j v ej n t e g e r sa n dr e l a t e d r e s p e c t i v e l yt ot h em a s sa n da n g u l a rm o m e n t u m t h er e s u l ts h o w st h a tt h e r ei saq u a l i t a t i v e l yd i f i 臼e n tp r o p e r t yb e t w e e nt h eq u a n t u ms p e c t r u mo ft h ee m d ab l a c kh 0 1 ew h i c h o b t a i n e df r o ms t r i n gt h e o r ya n dt h eo n eo ft h ek e r r n e w m a nb l a c kh o l ew h i c ho b t a i n e d f r o mg e n e r a lr e l a t i v i t y a l t h o u g hb o t ht h e ya l r ec h a r a c t e r i z e db ym a s s ，a n g u l a rm o m e n t u m a n dc h a r g e i nf a c t ，i nt h ec a s eo ft h ee x t r e m a ls t a t i o n a r ya 越s y m m e t r i ce m d ab l a c k h o l e ，以l = 、m 2 一等i saf u n c t i o n “t h eb l a e kh o l em a s sa n dc h a r g e ，b u tt h eh o r i z o n a r e ai sj u s tt h ec o m p o u n df u n c c i o no f 七h i sf u n c t i o n ，w h i c hy i e l d st h ei n t r i g u i n gf e a t u r eo f t h i sb i a c kh o l ed e r i v e df o ms t r i n gt h e o r ： k e yw b r d s ：q u a n t u mg r a v i t 虫s t a t i o n a r ya x i 8 y m m e t r i ce m d ab l a c kh o l e ，q u a n t u ms p e c t r u mo fb l a c kh o l e ，r e d u c e dp h a s es p a c e ，b l a c kh 0 1 ed y n a m i c s i v ， ， t， - 心 _ 第一章绪论 1 1 黑洞动力学简介 1 9 1 5 年前后爱因斯坦建立了广义相对论，这是从全新的观点出发建立的相 对论性的引力理论【1 】，该理论中引力被几何化。这一理论无论从它与实验的 一致、还是从逻辑上的简单和数学上的严谨来说，所有在其之前的引力理论都 无法与之匹配。更重要的是根据广义相对论可以得出一些令人惊异的结论， 使人们对于时空和引力有了一个全新的认识：按广义相对论，在大质量的恒 星外部会有一个特殊的时空区一一黑洞，它是由类光超曲面构成的单向膜所 包围的区域，在那里由于时空坐标互换，光和其他粒子都只能单向地汇聚到 奇点或者穿过奇区，而不可能静止和反向运动。恒星本身也不可能有任何结 构。近几十年来，某种程度上是由于中子星的发现的促进，人们对黑洞进行了 广泛的研究。这种研究是多方面的：一种是对黑洞的物理和数学性质的纯理 论研究，在这方面英国物理学家霍金等人作出了巨大的贡献；，另一种是结合 天体物理过程探讨黑洞的形成机制和黑洞存在的效应，例如： g i a m m a t t e o 、 荆继良、c a r d o s o 、a n d e r s s o n 等人研究了黑洞的似正模【2 ，3 ，4 ，5 ，6 】，表明黑洞 对外部扰动具有特性响应。再一种是从观测上寻找黑洞，尽管至今人们尚未 直接找到黑洞，但许多理论上的原因和观测上的迹象使天体物理学家们相信 黑洞在自然界中应该是存在的。 主要经过卡特尔、罗宾逊等人从1 9 7 1 年到1 9 7 5 年的工作，发现一个渐近 平直的稳态黑洞的外场仅由黑洞的质量m ，电荷q 和自转角动量j 等三个参 量唯一确定，这就是著名的黑洞无毛定理 7 ，此定理表明塌缩为黑洞后的星 体除了只剩下三个可测量m 、q 、，外，它已丧失了所有其它信息( 例如： 内部结构、轻子数、重子数等等) ，卡特尔与罗宾逊证明渐近平直稳态轴对称 中性黑洞的唯一解是克尔解( 卡特尔一罗宾逊定理) 8 。1 9 8 2 年玛祖尔曾推 广卡特尔一罗宾逊定理，发现克尔一纽曼解是渐近平直稳态黑洞唯一的三参量 解 9 】。 在一般情况下克尔一纽曼黑洞的视界面积为 a = 8 丌m m 筹+ 硕士学位论文 早在三十多年前b e k e n s t e i n 和h a w k i n g 就发现黑洞具有热力学特性f 4 6 ，4 7 】，即 描述黑洞动力学的四条定律与热力学的四条定律一一对应，且黑洞熵s 与视 界面积a 成正比，视界上的表面引力常数k 相当于温度t 令基本常数c 、g 和蛔等于1 ，鼍三危g c 一3 = 危是普朗克常数。从经典理论 来看，当危。o 时，黑洞的熵是发散的、无意义的，仅当从量子理论看才发现 黑洞的熵正比于以普朗克面积为单位所度量的事件视界的面积。这强烈地提 示我们黑洞热力学中蕴含着有待揭露的丰富的引力量子化内容。取黑洞的熵 s ，角动量j 和电荷q 作为热力学态变量，那么黑洞能量变化与态变量变化 的热力学关系为 d m = r d s + q d j + y d q( 1 3 ) 其中t 是黑洞的温度，q 和y 是相应的广义力。 1 9 7 4 年，霍金在考虑量子效应的情况下证明黑洞可以辐射，霍金辐射不同 于已知的自发辐射和受激辐射，它类似于黑体辐射。研究表明在施瓦西尔时 空未来视界外面，存在一个温度为丁= 等的有限温度量子场的热平衡态。最 一般的可以证明：任一具有未来视界的静态或稳态时空均具有霍金热辐射。 这些工作解决了广义相对论和热力学之间的矛盾，并且揭示了量子论、热力 学和引力理论( 广义相对论) 之间的内在联系 1 0 】。此后，有关黑洞的研究愈 加兴盛起来。 1 2 量子引力简介 广义相对论和量子理论在各自的领域内都经受了无数的实验检验，迄今 为止，还没有任何确切的实验观测与这两者之一矛盾。然而广义相对论和量 子理论彼此间并不相容，例如它们在时空可分离性、时空与物质的关系、定 域性、因果律、方程的非线性性、参考系问题等许多方面均存在严重分歧。 今天的理论物理学依然充满了挑战，但是与n e 毗o n 和e i n s t e i n 时代理论与实验 的紧密相连比较，今天理论物理的挑战和发展更多地是来自于理论自身的要 求，来自于物理学追求统一，追求完美的不懈努力。虽然量子引力理论的主 要进展大都是在最近这十几年取得的，但是引力量子化的想法早在1 9 3 0 年就 2 21 以一娣肌一撕 j j = s t 稳态轴对称爱因斯坦一麦克斯韦伸缩子黑洞的量子谱 已经由l r o s e n f e l d 提出了。广义相对论作为一种描述引力相互作用的场论， 在量子理论发展早期是除电磁场理论外唯一的基本相互作用场论。把它纳入 量子理论的框架因此就成为继量子电动力学后一种很自然的想法。 h a w k i n g 对黑洞幅射的研究使用的正是以广义相对论时空为背景的量子理 论，即所谓的半经典理论，但黑洞熵的存在却预示着对这一理论框架的突破。 我们知道，从统计物理学的角度讲，熵是体系微观状态数目的体现，因而黑 洞熵的存在表明黑洞并不象此前人们认为的那样简单，它含有数量十分惊人 的微观状态。这在广义相对论的框架内是完全无法理解的，因为根据广义相 对论的“黑洞无毛定理”黑洞内部性质仅由三个参量完全确定，根本就不存 在所谓微观状态。这表明黑洞熵的微观起源必须从别的理论中去寻找，这个 “别的理论”必须兼有广义相对论和量子理论的特点( 因为黑洞熵的推导用到 了量子理论) 。量子引力理论显然正是这样的理论。 在远离实验检验的情况下，黑洞熵目前已经成为量子引力理论研究中的一 个很重要的理论判据。一个量子引力理论要想被物理学界所接受，必须跨越 的重要“位垒”就是推导出与b e k e n s t e i n h a w l 【i n g 熵公式相一致的微观状态数。 ( 1 ) 量子引力中的w h e e l e r d e w i t t 方程 最主要的方案有两大类：协变量子化和正则量子化。它们共同发源于一九 六七年b d e w i t t 题为“q u a n t u mt h e o r yo fg r a v i t y ”的系列论文。协变量子化方 法试图保持广义相对论的协变性，基本的做法是把度规张量跏分解为背景部 分9 “，和涨落部份 p v 夕肛v = 雪肛v + p l ， ( 1 4 ) 与协变量子化方法不同，正则量子化方法一开始就引进了时间轴，把四维 时空流形分割为三维空间和一维时间( 所谓的a d m 分解) ，从而破坏了明显的 广义协变性。其实爱因斯坦引力理论等价于一种有约束的哈密顿理论，可以 证明在把四维时空做上述3 + 1 分解后时空度规可表示为 d s 2 = 一( 2 一i i ) d t 2 + 2 i d z i d t + u d z d ( 1 5 ) 其中是时移( 1 a p s e ) 函数，魁是位移( s h i f t ) 函数，k f 是3 维类空超曲 面上的内禀度规。，旭，玩，均为时空坐标的函数；玩，作为自由度构成一个无 限维的超空间，而和m 可以通过适当的广义变换消去，因此它们不构成物 理的自由度。 对于时间，在广义相对论中是用的世界时，它是时空的内禀属性。显 3 硕士学位论文 然当研究量子引力时，任何测量系统本身作为整个时空的一部分也必须量子 化，因此独立的时间便完全失去了意义。这样位型空间的坐标应该只有， 若还有物质场，则仅由( 玩j ，) 描述。根据经典几何动力学可以得到时空 系统的哈密顿约束，并将它做算符化处理一一黯，最终得到量子引力中 的w h e e l e 卜d e w i t t 方程【1 1 1 、 rx 21 石、 一g 巧斛最+ l 2 卜3 r + 2 a + 1 6 丌礼( 点) 】 皿【，纠= o ， ( 1 6 ) lu j u 甩 。u r j 式中 = d e t ( ，) ，q ，刖= ； 一1 2 ( 吃 ，f + 弛一儿，珧f ) 是在k ，构成的超空间中的 引入度规，。r 是由j 给出的类空超曲面的内部曲率标量。a 为宇宙常数， n 是物质场能一动张量在3 维类空超曲面法线方向上的分量，皿为时空波函 数。 方程( 1 6 ) 是无限维空间中的变分方程，没有普遍的严格求解的方法， 只有通过限制超空间自由度个数，也就是用小超空间模型( 只有有限个自由 度的超空间模型) ，将量子涨落限制在保持时空某些拓扑及几何特征的自由度 上，从而将变分方程简化为简单得多的偏微分方程组。另外这种正则化的处 理方法并不能得到哈密顿量，而只是得到了一个哈密顿约束。这一点与通常 的量子力学不同。这一特点将导致波函数不能构成一个希尔伯特空间，因而 波泛函的几率解释可能会遇到困难。 ( 2 ) 环量子引力 一九八六年以来，a a s h t e 妇等物理学家借鉴了几年前a s e n 的研究工作， 在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式，以自对偶自旋联络( s e l 鼻d u a l s p i nc o n n e c t i o n ) 作为基本场量( 这组场量通常被称为a s h t e l ( a r 变量) ，由此为正则 量子引力的研究开创了一番新的天地【2 4 ，2 5 ，2 6 1 。同年t j a c o b s o n 和l s m o l i n 发 现a s h t e h 变量的w i l s o nl o o p 满足w h e e l e r d e w i t t 方程【1 2 】。在此基础上c r d v e l l i 和s m o l i n 提出把这种w i l s o nl o o p 作为量子引力的基本态【1 3 ，从而形成了现代 量子引力理论的一个重要方案：环量子引力。 由于传统方法的困难以及该方法的一些优势，我们重点介绍环量子化引 力的基本思想【1 5 卜 2 1 。人们试图构造微扰量子引力但没有完全成功，现在一 般认为问题出在微扰引力理论的基本假上，微扰引力理论假定真实的时空结 构能用经典背景几何来近似描述，即使小于普朗克尺度也是如此，如果基于 这种假设几乎不可能保留一般的扰动框架或者是相应的变形比如：通过增加 高阶微分项或超对称物质而构造的爱因斯坦一一拉格朗日量形式。更好的方 法就是通过非微扰的途径来处理引力问题，更何况微扰的方法是不可重正化 4 稳态轴对称爱因斯坦一麦克斯韦伸缩子黑洞的量子谱 的。正则量子化模式提供了种自然的满足这一要求的方法，因为它不需要 给定背景几何，而且在精确的理论中广义相对论的哈密顿结构要求不能是微 扰形式，而是由约束方程给出。 要实现引力正则量子化最主要的障碍是约束方程包含一项依赖于经典正 则共轭变量的复杂的非多项式。事实上可以选用一套新变量通过非微扰的方 式来处理经典和量子引力问题。在这里首先给出一个数学准备。给定三维流 形和流形上的张量场曹，以及具有内部s u ( 2 ) 对称性的场量a a ，m ， s u ( 2 ) 群结构用e 们和e a b 给出并满足e 舶e a d = 甥，我们将用它们来升降场量 指标：= 一b a b 和m = 肛b e b a 。考虑切矢量y 。和二阶无迹场量y a 日之间的 同构盯矿，定义y d 三一盯垆y 乞把内部指标同流形的切空间粘结起来并看作 是s v ( 2 ) 自旋指标，除此之外规定每个粘结盯都是流形上的正定度规g 。的 “平方根 6 = 盯拿b 仃护二m - e b = 一t r 盯q 盯6( 1 7 ) 对于上的张量场和自旋场存在唯一无绕联络满足 d 。e a b = o ，d n 仃6 冬= o ( 1 8 ) 广义相对论的位形空间三是高度匀称的，或者如果是非紧致的那么也具 有理想的渐近形式，由于像空间r 是e 上的余切丛，因此r 的一点由一对 ( 盯矿，m 拎) 构成，其中m 是仃的正则共轭动量，现在广义相对论传统哈密 顿形式( 2 3 的正则变量( ，p 口6 ) 可以看作是导出量：q 口。由( 1 7 ) 给出，而 p 曲由下式给出 p ”= 一t r a 盯( d 9 6 ) m 三m ( 。6 ( 1 9 ) 通常由于存在约束条件，并非r 上的所有点都是物理引力场能实现的，先来 看看非常熟悉的约束条件 伊( 盯，m ) = d 口p = o( 1 1 0 ) c ( 盯，m ) ：( p 。6 p 0 6 一丢p 2 ) 一掣r ：o 。 ( 1 t 1 1 ) 这里r 是的曲率标量，然而为了把位形空间从6 分量场扩大到9 分量 场盯。冬，要求三个新的约束条件 m 川= 0 ( 1 1 2 ) 由这些约束条件产生的正则变换导致盯和m 内部指标的s u ( 2 ) 旋转 5 硕士学位论文 上面的框架与传统形式等价但是关键的不同之处是引入了像空间r 上 的新变量。考虑像空间r 上的一点( 盯，m ) ，引入矿上的两个联络士d 士d d a 6 m = d 。吼m 士0 、压) 。岔q b 其中 。嚣= g ( 如幻) 一1 2 ( 坂一丢盯n 岔盯b a b 埘b ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 使用这些联络可以简化约束条件( 1 1 0 ，1 1 1 ) 容易看出，引入与士d 相关的联络 1 形式士九和曲率2 一形式土r 6 士d 口q m = 既a m + g 士a 。岔n ( 1 1 5 ) 2 士d 口专d 6 】a 彳= g 士只6 a ( 1 1 6 ) 其中a 是一个固定的常数联络，也满足如 b = o ，这时( 1 1 2 ) 式可以写成 士d 口占_ b = o ， ( 1 1 7 ) 以( 1 1 2 ) 式为模，则( 1 1 0 ，1 1 1 ) 可改写为 t r 扩土r 6 = o( 1 1 8 ) t r 盯口盯6 士r 6 = o ( 1 1 9 ) 以上公式中的符号士要么取正，要么取负，所以我们既可以用+ a n 也可以用 一a d ，动力学保持约束条件( 1 1 0 ) 一( 1 1 2 ) 在泊松括号下封闭。 显然至少在两个方面约束条件( 1 1 7 ) 一( 1 1 9 ) 要比( 1 1 0 ) 一( 1 1 2 ) 简单首先对于 每个新变量( 盯。，土a 。) ，( 1 1 7 ) ( 1 1 9 ) 几乎都是二次型的，而( 1 1 0 ) ( 1 1 2 ) 却包含q a 6 的非多项式函数。另外如果把士也视为新的位形变量，把盯。当作“动量”， 则( 1 1 9 ) 仅包含动能项，结构上和( 1 1 1 ) 式中忽略势能项r 的强耦合极限 相似，这个特性可以方便进行引力量子化。 那么物理上应该如何来解释士a 口呢? 考虑到是从初始值( 盯。，心) 得到 的爱因斯坦场方程的解 满足( 1 1 0 ) 一( 1 1 2 ) 】，士d 是对作用于s l ( 2 ，c ) 旋量的四维 自旋联络v 所构成的流形的限制( 如士d 。入m = q 口6v b 入m ) 同时t r 土r b 口c 曲d = ( 以g ) ( e c d 千徊c d ) ，式中e 甜和b c d 表示度规9 口6 的外尔张量的电场部分和磁场 部分。因此对于外尔张量的( 反) 自对偶部分士a 。相当于势能项，这将导致 一个非常有用的结果，只需令土a 。= o 便可得到一个爱因斯坦场方程的自对 偶解。采用新变量后传统的处理自对偶解的方法仍然适用，另外还可讨论引 力扰动，约束方程的严格解，以及某些类型的爱因斯坦场方程解与杨一米尔斯 6 稳态轴对称爱因斯坦一麦克斯韦伸缩子黑洞的量子谱 方程解的关系。 对于像空间r 上的自然泊松括号， + a 口) 、 一a 。) 、 矛。三( d e t g ) 2 盯口】- 组成 一套完全可交换变量，而且就如下所示的意义来说，士a n 是子口的共轭变量 士a 搿( z ) ，吆且( y ) ) p b = 土( i 以) 蜡6 ( z ，y ) ( 1 2 0 ) ( 1 1 5 ) 式中g 的因子保证( a ) ( 子) 有作用量的量纲，因此下面我们将把 士a 。和矛口当作基本变量，他们的特性同杨米尔斯理论中的变量是一致的。 士a 。是联络的1 形式；士b 口= e a 钯士r 。相当于磁场；铲类似于电场。用杨米 尔斯理论的表示方法，约束方程变为 士d e ：o t r e b = 0 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) t r e ( e b ) = o ( 1 2 3 ) 每一个爱因斯坦场方程的初值( 盯，m ) 均对应一杨一米尔斯方程初始值4 ，e ， 当然该方程要满足四个关于场强的纯代数约束，于是我们在把爱因斯坦约束 表面浸入杨一米尔斯空间的同时又保持了两个理论的泊松括号的结构。由于前 者的时间演化不可逆转，故爱因斯坦的广义相对论同杨一米尔斯型理论还是 有很大的差别。然而因为爱因斯坦哈密顿量是约束项和表面项的线性组合， 所以把约束条件简化对于研究广义相对论动力学也具有重要的意义。 要把引力量子化，在杨一米尔斯框架下就是把基本变量士a 。和子b 三e 口用 满足正则对易关系的算符士a 口和子。替换 士础( z ) ，子b ( 可) 】_ ( 危以) 瞄占d 6 ( z ，y ) ( 1 2 4 ) 作为约束条件( 1 1 7 ) ( 1 ，1 9 ) 的结果，从( 香，声) 到( 子，士a ) 的变量替换简化了引力量 子理论中的一些问题。首先约束条件( 1 1 7 ) ( 1 1 9 ) 量子化后在对易括号下是封 闭的，而且与顺序有关，考查对易子发现约束算子总是出现在左边。令 “= ( 婀危) g 一1 ，( 士d 口子。) 爹+ 口t r a r 6 士克6 + t 7 子。扩士丘6( 1 2 5 ) j 式中表示场的任一分量，利用( 1 2 4 ) 式得 瓯，】h 岛， ( 1 2 6 ) 此处 p 身= ，m j 尸+ g - 1 。m 6 e 6 芽 7 硕士学位论文 + g 一1 ( m 口一m 。) ( 子6 士瓦6 嚣一子6 君士免6 茅) ， p 口= l m 8 + 2 ( d b m m p b ) 香， p = l i l f 一l m ( 1 2 7 ) 在这个结果中，内部指标和相应的约束条件( 1 1 7 ) 式起关键作用。由于内部 指标的对称性，一些不希望看到的项消失了，( 1 1 8 ) 和( 1 1 9 ) 的对易子不 仅包含自身的约束条件，而且已经暗含了约束条件( 1 1 7 ) ，另外( 1 1 7 ) 一 ( 1 1 9 ) 式中的内部指标导致不可能改变用经典变量( 乱。，p a a ) 表示的因式顺 序。 现在看看正则对易关系的表象，因为约束方程全是变量子，士a 。的二次型， 所以在矛表象和士也表象中研究是比较方便的。在子表象中量子态是矛的复 值函数，在a n 表象中量子态是士九的全纯函数。这类似与简谐振子的位置 表象( 妒三妒( z ) ) 和巴格曼表象( 妒三妒( z ) ，z = z + 切) 。如果要采用经典共轭 变量( g 。，矿a ) ，由于约束条件非常复杂地依赖g ，所以在动量表象中是没法 讨论的。若采用士也表象，便可借用杨一米尔斯理论的方法详细研究弱场极 限。记( 6 趣) s t t 是线性联络( 萨a 口) 的对称、无迹的横向部分，取引力体系的 态函数为( j a ：) s t 丁的全纯函数，则量子约束方程可严格解出，并且哈密顿量简 化为 日= ( g 伽) 上( 挈? ( 跻如 ( 1 2 8 ) 这和简谐振子的哈密顿量日= z z + 比较类似。j a c o b s o n 和s m o l i n 研究了在更精 确的理论中的情况。 。 容易看出用杨一米尔斯变量( 士a 。，e 口) 表示的约束方程( 1 2 1 ) 一( 1 2 3 ) 对背景时空结构( 比如度规和微分算子) 并无要求，这和杨一米尔斯演化方程 要求必须存在背景度规不同 2 7 】。除背景无关性之外，环量子引力与其它量子 引力理论相比还具有一个很重要的优势，那就是它的理论框架是非微扰的。 迄今为止在环量子引力领域中取得的重要物理结果有两个：一个是在普朗克 尺度上的空间量子化，另一个是对黑洞熵的计算。 一九九四年胁e l l i 和s m o l i n 研究了环量子引力中的面积与体积算符的本 征值，结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态和p e n r o s e 的s p i n n e t w o r k 存在密切的对应关系。以面积算符为例，其本征值为：a = l i f 【以( 巩+ 1 ) 1 2 ，式中l 口为p l a n c k 长度，巩取半整数，是s p i nn e t w o r k 上编号为l 的边所携带 的量子数，求和。对所有穿过该面积的边进行。关于黑洞熵的计算早由k 8 稳态轴对称爱因斯坦一麦克斯韦伸缩子黑洞的量子谱 k r a s n o v 和r o v e l l i 分别完成 1 4 ，结果除去一个被称为i m m i r z i 参数的常数因子 外与b e k e n s t e i n h a w k i n g 公式完全一致。 ( 3 ) 超弦理论 量子引力的另一种极为流行的方案是超弦理论( s u p e r s t r i n gt h e o r y ) 。超弦理 论的目标是统一自然界所有的相互作用，量子引力只不过是超弦理论的一个 部份 2 2 】。近些年超弦理论取得的理论进展中，与量子引力最直接相关的一个 就是利用d _ b r a n e 对黑洞熵的计算，这是由a s t r o m i n g e r 和g v 池等人在一九九 六年完成的，与环量子引力对黑洞熵的计算恰好在同年。超弦理论对黑洞 熵的计算利用了所谓的“强弱对偶性”( s t r o n g w e a kd u a l i t y ) ，即在具有一定超对 称的情形下，超弦理论中的某些d - b r a n e 状态数在耦合常数的强弱对偶变换下 保持不变。利用这种对称性，处于强耦合下原本难于计算的黑洞熵可以在弱 耦合极限下进行计算。在弱耦合极限下与原先黑洞的宏观性质相一致的对应 状态被证明是由许多d - b r a n e 构成，对这些d b r a n e 状态进行统计所得到的熵和 b e k e n s t e i n h a w l ( i n g 公式完全一致一甚至连环量子引力无法得到的常数因子也完 全一致。这是超弦理论最具体的理论验证之一。美中不足的是，由于上述计算 要求一定的超对称性，因此只适用于所谓的极端黑洞( e x t r e m a lb l a c kh o l e ) 或接近 极端条件的黑洞。对于非极端黑洞，超弦理论虽然可以得到b e k e n s t e i n h a w k i n g 公式中的正比关系，但与环量子引力一样无法给出其中的比例系数。 1 3 黑洞的量子谱研究的意义及简况 一九七二年b e k e n s t e i n 受黑洞动力学与经典热力学之间的相似性启发，提 出了黑洞熵的概念。稍后h a w b n g 研究了黑洞视界附近的量子过程，结果发现 了著名的h a w k i n g 辐射，推导出了b e k e n s t e i n h a w l 【i n g 黑洞熵的公式。这表明关 于黑洞的研究是广义相对论、量子理论和统计物理理论的交汇点，因此考察 黑洞的量子谱对于研究黑洞的量子力学、黑洞熵的统计解释、黑洞的信息丢 失问题以及量子引力的研究均有重要意义。 国内外学者围绕黑洞量子谱的工作取得了一些重要进展。首先提出黑洞 视界面可量子化的是b e k e n s t e i n ，其主要理由是根据e h r e n f e s t 原理，一个经典 的绝热不变量总对应一个具有离散谱的量子可观测量，而对于缓慢变化的黑 洞，视界面积正是一个绝热不变量。对于十分广泛的情况，b e k e n s t e i n 指出黑 洞面积应具有如下形式 a = e 铷 9 硕士学位论文 式中e 是与单位有关的数值因子，该式一个显著的特点是相邻量子态的视界 面积相差同一数值，也就是说黑洞视界面积只能一份一份地变化。后来人们 想用更严格的方式去推导黑洞面积谱，比如b e k e n s t e i n 等引入算子代数方法， 结果发现中性的非旋转黑洞具有离散的面积谱，并且第佗级面积本征值是指 数简并的，预示b e k e n s t e i n h a w k i n g 熵要加上等于一；l na 的对数修正项。 另外b a r v i s k y 和k u n s t a t t e r 建立了一套方法，他们用约化相空间来表述黑洞 动力学，然后再量子化。对于静态荷电黑洞给出e = 8 丌，对r 一黑洞面积谱 有如下形式 a = 8 丌危( 礼+ 专+ 三) n ，p = o ，1 ，2 ， ( 1 3 0 ) 其中p = 譬与黑洞所带的电荷有关，g o u r 和m e d e v e d 研究了k e r r n e w m a n 黑洞 的量子谱得到 a ：跚危( 礼+ 鲁十p 2 + 丢) 礼，p 1 ，p 2 = o ，1 ，2 ， ( 1 ：3 1 ) 最近m a k e l a 等人也研究了k e r r n e w m a n 黑洞的面积谱，他们首先针对黑洞 的可观测量构造出一个类似于薛定谔方程的方程，然后利用w k b 近似方法进 行量子化，得到的结果与g o u r ，m e d v e d 的结果稍有不同，前者给出e = 3 2 丌。 1 4 本文研究内容 研究表明，从弦的低能有效场理论得到的四维伸缩子时空解有着与一般爱 因斯坦引力场理论很不一样的性质。当时空曲率足够小，广义相对论中的真空 解可以看作是弦理论中的近似解。在奇点附近，时空曲率变得很大，爱因斯坦 场方程的解不再能看作弦理论的近似解。比如对弦理论中的爱因斯坦一麦克 斯韦方程来说，有一项伸缩子与f z 相耦合，其每一个兄。非零的解必定含有一 个不是常数的伸缩子。因此，广义相对论中描述带荷黑洞的r e i s s n e 卜n o r d s 嘶m ( r n ) 解和描述带荷旋转黑洞的k e r r - n e w m a n 解均不再是弦理论中的近似解，这 就使得人们极为关注有关伸缩子时空的研究。 另外众所周知，在引力理论中一个还没有解决的重要问题是黑洞热力学特 性的微观起源。这个问题只有在完全量子引力理论中才可能真正的解决( 其侯 选者有弦理论以及环量子引力等) 然而即使在缺乏成熟的量子引力理论时， 我们也可以讨论一些基本问题，比如黑洞可观测参量的量子谱。特别是针对 那些由量子引力候选理论得到的时空中的黑洞的量子谱，人们还缺乏详细的 1 0 稳态轴对称爱因斯坦一麦克斯韦伸缩子黑洞的量子谱 了解。 我们的工作目的是把视界面积谱的研究推广到弦论中的稳态轴对称e m d a 黑洞【5 2 】，并考察其结果与k e r r n e w m a n 黑洞的结果之间差别。本文余下的部 分如下安排：第二章中我们结合具体的时空模型讨论了几种常用的视界面量 子化的方法，包括算子代数法、约化相空间法和量子力学w k b 近似法。同时 给出了几种类型的经典黑洞的量子谱，并对所给出的结果作了适当的物理解 释。在第三章我们从经典理论介绍稳态轴对称e m d a 黑洞的动力学，而后给 出约化相空间并变换成便于量子分析的形式，并采用g o u r m e d v e d 方法 5 0 】， 把约化相空间量子化，得到与方程( 1 3 1 ) 对应的面积谱表达式 2 8 ，并对