（基础数学专业论文）半正多面体群及其性质.pdf

y111111111111119111ilollllll5iiql0ilu 3 i l l l l l 0 i i i iy 19 0 5 0 3 0 t h e s i sf o rt h em a s t e rd e g r e ei nm a t h e m a t i c s ，2 011 u n i v c o d e ：10 2 6 9 s t u d e n tn u m b e r ：910 7 0 6 0110 5 ea s tch i nan 0 r ma lu n i v e r s i t y t h e s e m i - r e g u l a rp o l y h e d r o n a n di t s p r o p e r t i e s 1 一 d e p a r t m e n t ：m a t h e m a t i c s s p e c i a l t y ：p u r e m a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ： a d v i s o r ： n a m e ： l e il i n a p r i l2 0 1 1 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文半正多面体群及其性质，是在华东师范 大学攻读硕士膊士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了明确说明并表示谢意。一 作者签名：维至i 日期：- 年了月落日 半 下完成的 华东师范大学学位论文著作权使用声明 系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所 有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门 和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网送交学位论文的印刷版和电子版； 允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位 论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题 和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密 学位论文 ，于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 2 不保密，适用上述授权。 导师签名 本人签名经! 驾 h 年工月谬e l “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定 过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方 为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权) 。 徐兴国硕士专业学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 范金燕教授上海交通大学主席 刘攀副教授华东师范大学 任韩教授华东师范大学 郭军伟副教授华东师范大学 杜若霞副教授华东师范大学 文摘要 本文研究的对象是半正多面体首先介绍了如何构造半正多面体，讨论了 各个半正多面体所对应的半正多面体群及其性质其次在建立空间坐标系的前 提下，通过旋转和对称的方法求得了各个半正多面体的顶点坐标最后，定义了 半正多面体的接近度，用接近度刻画了半正多面体与球的接近程度，并计算了各 个半正多面体的接近度 关键词：半正多面体，群及其性质，几何性质，接近度 a b s t r a c t t h es u b je c to fm yd i s s e r t a t i o ni ss e m i r e g u l a rp o l y h e d r o n t h e a r t i c l ei n t r o d u c e st h ec o n s t r u c t i o no fi ta n dd i s c u s s e st h ec o r r e s p o n d i n g s e m i r e g u l a rp o l y h e d r a lg r o u pa n d i t s p r o p e r t i e s i nt h ef i r s tp l a c e s e c o n d l y , t h ec o o r d i n a t e so fv e r t e xa r ef o u n db yw a y so fr o t a t i o na n d s y m m e t r y i nt h el a s tp l a c e ，m yp a p e rd e f m e st h ep r o x i m i t yo f i tw h i c h d e s c r i b e st h el e v e ls y m m e t r yb e t w e e nas e m i r e g u l a rp o l y h e d r o na n d s p h e r ea sw e l la st h ec a l c u l a t i o no fp r o x i m i t y k e yw o r d s ：s e m i r e g u l a rp o l y h e d r o n s ，s e m i r e g u l a rp o l y h e d r o n sg r o u p a n di t sp r o p e r t i e s ，g e o m e t r i cp r o p e r t i e s ，s y m m e t r y 目录 摘要 i i a b s t r a c t u i 第一章引言 1 页 1 1 问题背景 1 页 1 2 半正多面体的构造 2 页 第二章半正多面体群 4 页 2 1 半正多面体群的种类及其性质 4 页 第三章半正多面体的几何性质 1 0 页 3 1 旋转公式 1 0 页 3 2 半正多面体顶点坐标的计算 1 2 页 3 3 接近度 3 l 页 参考文献 3 5 页 致谢 3 7 页 第一章引言 1 1 问题背景 正多面体是各个面都是全等的正多边形且各个多面角都是全等的多面角的凸多 面体三维空间中的正多面体有且仅有5 种，分别为正四面体、正六面体、正八面体、 正十二面体和j e - - 十面体，其构造方法及性质可参考文【1 2 】【3 】正多面体被发现的 时间较早，同时其外形规则、对称，加之古希腊的数学家、哲学家们赋予了它传奇的 天文、宗教背景，因此人们对正多面体的研究乐此不彼不仅如此，正多面体也给很 多数学家发现问题和解决问题提供了很多灵感和模型：如欧拉公式的发现与例证， 群论中的对称群等等 半正多面体也是一类具有高度对称性的几何体，其图形如图l ，半正多面体的种 类比正多面体的种类要多，一共有1 5 类，其中前1 3 类的几何结构是不变的，后2 类 的几何结构是有规律地变化的，其图形如图3 个别半正多面体早在毕达哥拉斯时代 就被提出，后来又有不少学者陆续发现了其他的半正多面体并对其中的半正多面体 进行了研究，如l a c i o l i 研究过其中三种，a d u r e r 讨论过其中九种，还有j k e p l e r , h s m c o x e t e r 等等文【2 】【3 0 】中描绘了半正多面体的几何图形，但并没有给出如何 量化的去构造每一类半正多面体 本文首先研究了半正多面体所对应的旋转群，这可以帮助我们加深对半正多面 体结构的了解，另一方面通过置换群与半正多面体群的同构，方便了对半正多面体 群及其性质的讨论其次在分析了半正多面体结构的基础上，运用旋转公式计算出 了各个半正多面体顶点的坐标，有了各个顶点的坐标就为讨论半正多面体的几何性 质提供了便利，同时也为精确构造每一类半正多面体提供了依据最后定义了半正 多面体与球的接近度，为刻画半正多面体与球的接近程度提供了量化的依据 1 2 半正多面体的构造 若一个凸多面体的面是两种或两种以上的正多边形，并且各个多面角都是全等 的多面角，则称这样的多面体为半正多面体 半正多面体一共有1 5 类，证明见文【2 】其中前1 3 类的结构外形是不变的，后两 类的结构外形是有变化的前1 3 类半正多面体如图l ，后两类半正多面体如图3 由图l 知半正多面体的种类较多、图形较复杂，直接构造半正多面体比较困难， 这里通过对正多面体的切割间接构造半正多面体，这样也便于观察半正多面体的结 构，具体过程见图2 因为正八面体与正六面体互为对偶图形，正十二面体与正二十 面体互为对偶图形，所以以一种正多面体所截成的半正多面体必然可以由与该正多 面体对偶的另一种正多面体截成为了便于理解和简化作图，图2 所列各个半正多面 体只表明了各自的一种构成方式 国o 0 o 图l 2 g 5 g 9 、沁， g 2 g 6 g l o g 3 ，| g 1 4 3 图2 图3 g ， g 4 g 1 2 g i g 1 3 g 1 5 第二章半正多面体群 2 1 半正多面体群及其性质 定义：设g 是r 3 中的一个图形，盯是r 3 的一个线性变换，若o - ( g ) = g ，则称仃 是g 的变换 若保持半正多面体中心0 点不动，则半正多面体g 的旋转变换之集g 对于变换 的乘法构成一个群，称为半正多面体群 半正多面体q 对应的旋转群称为q 群 定理1 ：g i 群与四次交错群4 同构 图4 证明：半正多面体g l 如图4 ，点彳，b ，c ，d 分别为g l 的四个三角形面的中心，点 尸，q ，尺分别是三条棱的中点，点0 是它外接球的球心，g l 群的所有旋转变换可以分 为两类： i ：分别以砀，历，历，历为旋转轴，旋转娶角的旋转变换，o - b ，o - c ，于是 得到如下9 个旋转变换，分别为：o - a = ( b c d ) ，o b = ( a d c ) ，o - c = ( a b d ) ，= ( 彳c b ) ， 一= ( b d c ) ，以= ( a c d ) ，露= ( 彳伽) ，以= ( a b c ) ，3 = 以= 露= 以= p i i ：分别以o p ，o q ，o r 为旋转轴，旋转7 【角的旋转变换唧，： 4 4 哪= ( a b ) ( c d ) ，= ( 彳c ) ( 肋) ，= ( a d ) ( b c ) 于是可得g l 群有1 2 个旋转变换，恰好是彳，b ，c ，d 四个元素构成的四次交错群 故g l 群是四次交错群以 这样一来g l 群的性质就完全与4 相同，关于4 的性质，如生成元、群结构等、 可参见文 3 1 1 4 1 1 5 1 ；可解性、幂零性、线性表示、特征标等可参见文【6 】【7 】【9 】【1 5 1 定理2 ：g 2 群与四次对称群墨同构 图5 证明：半正多面体g 2 如图5 ，点彳，b ，c 分别为g 2 的三个四边形面的中心，它们对 面的中心分别为点彳，c ，点p ，q ，r ，s 是分别是三角形面的中心，点 z ，l z ，u ，矿，分别是g 2 的六个顶点，点d 是它外接球的球心g 2 共有8 个三角形 的面，它们共分为4 组，每组为平行的两个面，将每组的中心的连线编号：l ，2 ，3 ，4 则 g 2 群的每个旋转唯一地对应于这4 条直线的一个置换g 2 群的所有旋转变换可以分 成三类： i ：分别以葫，历，丽为旋转轴，旋转詈角的旋转变换，o c ，于是得到如 下1 0 个旋转变换： 吼，一，一，以，以，露，4 一u 占4 = - e i i ：分别以历，一o q ，一o r ，丽为旋转轴，旋转等角的旋转变换唧，于是 得到如下8 个旋转变换： 哪，啡，噶，呸 ， ：分别以面，一o y ，一o z ，一o u ，一o v ，一o w 为旋转轴，旋转兀角的旋转变换： o - x ，a y ，a z ，o u ，o p ，o 矸， 以上所有旋转变换可具体地表示为：p ，( 1 2 3 4 ) ，( 1 2 4 3 ) ，( 1 3 2 4 ) ，( 1 3 4 2 ) ，( 1 4 2 3 ) ， ( 14 3 2 ) ，( 12 ) ( 2 3 ) ，( 13 ) ( 2 4 ) ，( 14 ) ( 2 3 ) ，( 12 3 ) ，( 1 3 2 ) ，( 12 4 ) ，( 1 4 2 ) ，( 13 4 ) ，( 14 3 ) ，( 2 3 4 ) ，( 2 4 3 ) ， 综上可得：g 2 兰墨 定理3 ：g 3 群、g 4 群、g 7 群、g 8 群、g l 。群都与g 2 群同构 证明：因为几何体g 3 ，g 4 ，g 7 ，g 8 ，g i 都含有三类旋转轴，且每一类旋转轴都 与几何体g 2 的旋转轴情况一致，所以g 3 群、g 4 群、g 7 群、g 8 群、g l 。群都与g 2 群同 构 这样一来g 3 群、g 4 群、g 7 群、g 8 群、g l ，群的性质就完全与g 2 群相同关于g 2 群的性质，如生成元、群结构等、可参见文【3 】【4 】【5 】；可解性、幂零性、线性表示、 特征标等可参见文【6 】【7 】【8 】【9 】【1 0 】【1 7 】 定理4 ：g 群与五次交错群4 同构 6 图6 一，呓，以，一，一，吒，一，以，西，o - z ，i = 1 ，2 f i t ：分别以相对项点的连线为旋转轴，旋转冗角的旋转变换，于是得到如下1 5 个 旋转变换： q ，c r 2 ，吧，0 - 4 ，吒，吒，乃，吼，0 - 9 ，0 1 0 ，q io 1 2 ，q 3 ，q 4 ，q 5 于是可得g 5 群由6 0 个旋转变换构成因为g 5 群中有且仅有五个四阶子群： q = p ，0 1 ，0 - 2 ，吒) b = p ，吒3 ，0 1 4 ，q 5 ) ，皿= p ，0 - 4 ，0 5 ，吒，马= p ，0 7 ，0 - 8 ，)，皿= p ，吼o ，0 1 i ，o i 2 ， 这五个子群情况相同，以q 为例，q 不是g 5 的正规子群，因为：q 凰， o - ? 1 = q g 5 ，有o - s o - s o - ? 1 = o - 3 q ，但是qg h l g 一，v g g 5 ，故妈g 1 也是g 5 的 一个四阶子群，它是耳，皿，马，凰，皿中的一个 对于v g g 5 ，我们有： 7 g z g 一1 g h 2 9 一1 g h 3 9 一1 g h , j g 一1 g h s g 若不然，有；3 9 0 g ，g o q 爵1 = g o 爵1 ，则有： 爵1 ( 岛耳爵1 ) g o = 9 0 1 ( g o 哎9 0 1 ) g o ，即q = 哎 这与q 马矛盾因此，对于v g g 5 ，子群g q g ，g h 2 9 ，g h 3 9 ，g h 4 9 一， 如g - 1 是子群q ，鸩，也，风，皿的一个排列这样可以作五次置换： ( g 急一。gh 马2 9 一。g 急一。g 乏一g 急一，) ，g ggq g - 1 1 乜g - 1峨g - 1g - 1 j 6 5 为书写方便简记为( g h 日g 一) ，g g 5 作群g 5 到以q ，皿，马，风，皿为元素的五次置换群的映射缈，使得： 伊： h ，一。) ，比g ，一1 j 川舻 这是同态映射，因为：若岛一( 蜀芝i 。 ，= ，2 贝i jg i 9 2 叱艄h 慵蚴- 1 ) = 蜀嘉。k 甜 这是单一同态，因为：设 娜= 卜凇) 设q 在g 5 中的正规化子为( q ) ，再设 ( q ) n ( 鸩) n ( 马) n ( 凰) n ( 乜) = d 于是可得k e r e p = d ，下面证d = 和) ( 1 ) ( q ) ( 马) ( 也) ( 皿) ( 也) 反证法，若( q ) = ( 马) ，则有s g o g 5 ，使得q = g o n , g i l = 9 0 4 9 0 1 = 吼， 8 l 一构 这样一来g 6 群、g 9 群、g l 。群、g l ：群、g l ，群的性质就完全与g 5 群相同关于g 群的性质，如生成元、群结构等，可参见文 3 】 4 】【5 】；可解性、幂零性、线性表示、特 征标等可参见文 9 】【1 0 1 1 6 1 3 】【l8 】【2 6 几何体g 1 。、g l ，的结构外形是有变化的如图3 ，设上底面为正刀边形当刀= 4 时， g l 。即为正方体；当”= 3 时，g l ，即为正八面体 因为g l 。( 刀4 ) 、g l ，( 力3 ) 都包含1 个刀次轴和玎个2 次轴故可得： 定理6 ：g l 。群、g l ，群与二面体群见同构 g 1 。群、g l ，群的性质与见相同，可参见文【3 1 9 】【1 8 2 7 2 8 9 第三章半正多面体的几何性质 3 1 旋转公式 设点p ： 垂 ，点尸绕z 轴旋转口角，绕y 轴旋转角，再绕x 轴旋转7 角后，得 到点弘 | ； ( 1 ) 先绕z 转动口角：e 以) ( x ，y ，z ) (蚕=cicso；三s口fz-cs。言in口a；主 ( 3 ) 最后绕戈轴转角：e ( y ) ( 恐，乞) 阱法0 ：oix,1 绕定点0 的旋转c ，屈7 ) 的矩阵m ( c ) 是由上述三个矩阵相乘得到的： 刚幢娥 1 0 五m 刁 口 廖 洒o 疗 峪 兮，o 咖 c 一 = 吃兄乞 0 c o s 7 s i n y 0 c o s 7 s i n 7 川c ) | 其中 邶，= l 兰茹c o s 6 9c o s 竺 于是得到： 公式 设点 i 点为p ：i l 公式 蜕三驯 c o s 别l 毛 s i nb 0 c o sb s l n c r c 0 s 口 0 - s i n 口c o s p 湘 i n rc o s 口c o s y 一s i n a s i n f l s i n y s i n ) , s i n a s i n f l c o s y + c o s a s i n ) , 为空间中任一向量，点尸绕砀旋转p 角后的 方法，由文i 11 1 2 1 可得： = 匀+ c 。s 0 ( ，一五) + s i n 口彳， 彳+ = 三yj 。毒， ，五= 差圣主呈 l l o l 0 口 o 豳 ，l l、， 少， 。唧 s c。一； 口 口 宝洫o c s ，。l 、， 0 1 o 8 协 兮0 幽 ，。一 、j 7 ， o 吣 s c。一|； l 0 o l 0 0 ，。l， = = 邶肿 咖噼印 。 啪 啷 一、， ： - z 口 口 口 工 y ： 口 口 口 3 2 半正多面体顶点坐标的计算 ( 1 ) 半正多面体g l 各顶点的坐标 图7 如图7 以正六面体中心为原点、以正六面体中心与上底面中一f i , 的连线为z 轴、以正六面体中心与前侧面中心的连线为x 轴、以正六面体中心与右侧面中 心的连线为y 轴建立空间直角坐标系假设半正多面体g l 的边长为l ，易得点 郇的坐标分别为( 一竽，一下3 j ，筝，洋，t 3 , g ，下3 4 7 ) ，由点g 是线段彳b 的三等分点，由定比分点公式可得点g 的坐标为洋，鱼4 ，_ 3 , r g ) ，同理可得点e 的坐标为，3 鱼- i ，雩，等) ，点f 的坐标为洋，t 3 4 5 ，孚) j 氧e , f , g 绕z 旋转冗 黼i j 了另夕卜三个砥由公式l 计算可得其坐翮姗等，一4 ，争 ( 一生4 ，一等，等) ( 一鱼4 ，一等，t 3 x 2 ) ；同理点e , f , g 绕y 轴旋转兀就得到了另 三个顶点的坐标( _ 竽，鱼4 ，一等) ，( - 等，竽，一生- i ) ，( _ 等，鱼4 ，一萼) ，将 1 2 这三个点绕x 旋转兀就得到了最后三个顶点的坐标卜3 , r g ，一等，一鱼4 ) ， 萼，一竽，一年，每，一等，一等) 这样就求得了半正多面体g l 的所有顶点 的坐标 ( 2 ) 半正多面体g 2 各顶点的坐标 a c 之v 图8 如图8 以正八面体中心为原点、以正八面体中心与顶点a 的连线为z 轴、 以正八面体中心与项点b 的连线为x 轴、以正八面体中一t ；, - 与n ac 的连线为y 轴建立空间直角坐标系假设半正多面体g 2 的边长为1 ，易得点彳，d 的坐标分 别为( o ，0 ，芝) ，( o ，1 压，o ) ，由点g 是线段4 d 的中点，可得点g 的坐标为 ( 0 ，- 譬，孚) ，同理可得其他各个顶点的坐标为( 。，生2 ，争，( 。，譬，一孚) ， c 。，一孚，一譬，萼，o ，每，卜雩，o ，孚，卜譬，o ，一孚，萼，o ，一孚， 萼，一孚沏，c 一鱼2 ，孚埘，c 一每，一孚朋，萼，孚期这样就求得了半 正多面体g 的所有顶点的坐标 1 3 ( 3 ) 半正多面体g 3 各顶点的坐标 曰 图9 以正八面体中心与顶点c 的连线为x 轴、以正八面体中心与顶点d 的连线为y 轴建立空间直角坐标系假设半正多面体g 3 的边长为1 ，易得点4 ，b 的坐标分 另i j 为( 0 ，。萼) ，( 0 ，_ 萼 o ) ，由点g 是线段彳瑚三等分点，由定比分点公式 可得点g 的坐标为( 。，一孚，压) ，同理可得点丘e 日的坐标为萼，。，压) ， ( o - 压- y ，乏) ，( 一- 压y ，。，芝) 点e f ，g ，日绕x 轴分别旋转苎，兀，孚就得到另外三 个面上1 2 个顶点的坐标萼，压，0 ) ，( 。，压，一誓) ，( - - 压- y ，压0 ) ，( 。，压，孚) ， 粤，o 撕) ，( 。，一鱼2 ，一压) ，( 。，- 压- y ，一压) ，( 一- 压- y ，o 一压) ，萼，一压o ) ， ( 。，撕，一孚) ，( 一- 压- y ，一压 o ) ，( 。，一压，- 压5 - ) ；点e e g ，日绕y 轴分别旋转 1 4 兰2 塾2 就得到剩下的两个面上8 个顶点的坐标( 互，o ，一雩) ，( 三，。，孚) ， 瓶，- 压7 - ，0 ) ，砸，一- 压5 - ，o ) ，( 砸o 一争，m o ，孚) ，( - 压，孚，o ) ， ( 一芝，一孚，。) 这样就求得了半正多面体g 3 的所有项点坐标 ( 4 ) 半正多面体g 4 各顶点的坐标 g 图l o 如图1 0 以正六面体中心为原点、以正六面体中心与上底面中心的连线为z 轴、以正六面体中心与前侧面中心的连线为x 轴、以正六面体中心与右侧面中 心的连线为y 轴建立空间直角坐标系假设半正多面体g 4 的边长为l ，可得点 e 的坐标为掣，掣，扣同理可得点即的坐标分别为 专譬粤，掣，三，1 q 2 + 1 蛐删旋转争誓就得 耵三个面上9 个顶点的坐黝蝴一譬粤扣一刍孚，争， 卜孚，圭掣* 譬，一孚批丢，一掣掣从一孚，一三， 争，粤，粤，挑，掣掣，掣，一妄争，点 e ，f ，g 绕y 轴旋转詈就得到了点f ，p ，g 的坐标哇，巫2，x 2 2 + 1 ) ， 掣，孚，一争粤，丢，一譬，和g ，绕嘲分别旋转争誓 糨删下的三个面上的9 个顶点的蜊一 譬，一孚) ，( - 字， 掣，扣一字，丢，一譬川一圭，一孚，一孚一孚，一譬， 一扣卜孚，一吉，一孚，哇，一孚，一孚，掣，一孚，一争 粤，一丢，一孚腿样就求得了半正多面体g 4 的所有顶点蛳 ( 5 ) 半正多面体g 各项点的坐标 1 6 ，可得到点彳，b 晶坐标分别为( 。，0 ， 啪燃标文尽丽，o ，膝 m 洲分 别旋转等，警，誓，等就得点巨，易，乓，e ，其坐标分别为b 渺，焉m 愿，刍恳m 序，一争膝 ， b 忑, f i ，1 椭， 作点e 巨，最，互，毛关于原点的对称就得到 瞧一叫一眄，o ，一礴恳， 扣帆一膝心2 矗1 一际心席，吉，一藤 ， b ，丢( 1 + 括) ，一 点e 绕向量历旋转等就得到了点k ，由 公式2 得其坐标( 藤謇1 雨，眄) m 绕脯转 等，等，誓，等就得到了另外4 个半正多面体的顶点，由公式l 可得它们的坐 标分别为一孵扣厩痧) ，( _ 污，o ，眄) ， b 痧_ 13 椭，痧腧_ 1 邮，眄) ， 作这些点关于原点的对称，就得到另外5 个顶点坐标：( 一 ，一丢( 1 + 雨， 眄膀铲1 嘲，一眄膀，一眄 ， ( 焉2 分13 椭，一脬砚( - 厮扣厩一脬丽 点 磁向量历旋转誓就得到了点日的坐标( 丢厮，抖点日绕z 轴分另i j 旋转告，告，告，罱，百l o g ，等，百1 4 n ，百1 6 9 ，百1 8 n 就得到了中间这一层上其他顶点脏豫而百而而百百百百百删甜州刊后上兴雌耿腻 的b 厮，刊，( b 眄 f _ 孵，丢c 3 ，一丢c 3 + ；，。 ，( 。，一j 1c + 压，。) ， ，一扣叫，( 厮，州，( 一丢厮驯， 咖 ，( o 如州，b 就求得了半正多面体g 5 的所有顶点坐标 ( 6 ) 半正多面体g 6 各项点的坐标 ，扣瓜。) 这样 图1 2 如图1 2 以i e - - 十面体的中心为原点、w i g - - 十面体中心o 与上顶点以的 连线为z 轴、以面以0 1 4 为x o z 平面建立空间直角坐标系，设半正多面体g 6 的边 长为- ，由文c 3 ，c 4 ，计算可得到点4 ，4 的坐标分别为( 。，。 1 8 ，由点是线段的三等分点，由定比分点公式可 得点心的坐标为( 佶( 5 + 压) ，。，警+ 杀】点心绕z 轴分别旋转 等，誓，等，警就得到了上底面其他的顶点，由公式l 得其坐标分别为： b 眄磅眄，膝m 际， 臃) ， 隰，一刍膝m 2 、隔1 0， 痧，膝) 这五个点绕舛旋转等就得到g 6 另一个面上的五个顶点，由公式2 可得这五点 的坐跣( 序，学，际他际，学，际 ， ( 去厉丽， 3 + 3 , f 5 4 陆揶，学， ) ，这些点绕z 轴分别旋转誓，誓，等，詈就 得到了这层面其他顶点，再作这些点关于原点的对称就得到g 6 的其他顶点这 样就求得了半正多面体g 6 的所有顶点坐标 一 ， 1 9 图1 3 ， li，i匕 如图1 3 以正六面体中心为原点、以正上x 面体中心与上底面中心的连线为z 轴、以正六面体中心与前侧面中心的连线为x 轴、以正六面体中心与右侧面中 心的连线为j ，轴建立空间直角坐标系假设半正多面体g 7 的边长为1 ，则正六 面体的边长为压扎易得点e 的坐标，丁x 2 + 1 ) ，点e 绕z 轴制旋转 歹，了3 n 就矧了上底面上的三个赋由公式- 得其坐标为一导孚 ， 卜1 刍孚一- ，1 掣) m 一得 耵下底面上的赋其坐标分别为陪三，一譬一三，一譬) ， 盼一孚n ，丢，一孚卜燃转渺耵蒯 面上的贼由公式得其坐唯一孚州一言，一孚，妙 b 14 互2 + 1 ，一卅吉，一掣，一才左侧面上的顶轴删旋转 矿n ，了3 n 就删了剩下顺点，由公式得其坐标删为( 譬，一* ， 降，到，( 孚，剖，降矧1 ，b 字州一一，1 丁x 2 + l ，妙 b 孚，一班掣，一三1 ，( - 孚，一划，( _ t , 4 2 + 1 ，一，1 一书 ( 一半，一一，1 卅字矧一面体q 图1 4 如图1 4 以正六面体中心为原点、以正六面体中心与上底面中心的连线为z 轴、以正六面体中心与前侧面中心的连线为x 轴、以正六面体中心与右侧面中 心的连线为y 轴建立空间直角坐标系假设半正多面体g 8 的边长为1 ，设点f 的坐标为( x ，y ，z ) ，则点e ，日，k 的坐标分别为( - y ，x ，z ) ，( z ，- y ，而) ，( z ，一x ，一y ，) 由g 8 的边长为1 可得：l e f l - l ，i e k i = 1 ，i 灯i = 1 ，解得x = o 3 3 7 7 5 ，y = _ o 6 2 1 2 2 ， z = 1 1 4 2 6 1 故f 的坐标为( 0 3 3 7 7 5 ，- - - 0 6 2 1 2 2 ，1 1 4 2 6 1 ) ，点e 绕z 轴分别旋转 互，兀，i 3 n 就得到了上底面其它顶点，由公式l 得其坐标，( 0 6 2 1 2 2 ，o 3 3 7 7 5 ， 1 1 4 2 6 1 ) ，( 一0 3 3 7 7 5 ，0 6 2 1 2 2 ，1 1 4 2 6 1 ) ，( - o 6 2 1 2 2 ，- - 0 3 3 7 7 5 ，1 1 4 2 6 1 ) ，作上底面 顶点关于原点的对称点就得到了下底面上的顶点，其坐标为( 一0 3 3 7 7 5 ，0 6 2 1 2 2 ， - 1 1 4 2 6 1 ) ，( 一o 6 2 1 2 2 ，- - 0 3 3 7 7 5 ，- 1 1 4 2 6 1 ) ，( 0 3 3 7 7 5 ，一o 6 2 1 2 2 ，一1 1 4 2 6 1 ) ， ( 0 6 2 1 2 2 ，0 3 3 7 7 5 ，一1 1 4 2 6 1 ) 由点h ，k 的坐标可得前侧面上的顶点坐标为 ( 1 1 4 2 6 1 ，0 6 2 1 2 2 ，0 3 3 7 7 5 ) ，( 1 1 4 2 6 1 ，0 3 3 7 7 5 ，- 0 6 2 1 2 2 ) ，( 1 1 4 2 6 1 ，- - 4 ) 6 2 1 2 2 ， 一0 3 3 7 7 5 ) ，( 1 1 4 2 6 1 ，- - 0 3 3 7 7 5 ，0 6 2 1 2 2 ) ，前侧面上的4 个顶点绕z 轴分别旋转 2 l 三，冗，誓就得到侧面上的其他顶点这样就求得了半正多面体g 8 的所有顶点坐 标 ( 9 ) 半正多面体g 9 各顶点的坐标 b ek 图1 5 i图1 5 - 2 如图1 5 2 以正十二面体中心为原点、以正十二面体中心0 与上底面中心的 连线为z 轴、以面a o b 为x o z 平面建立空间直角坐标系设半正多面体g 9 的边 长为l ，由图1 5 一l 可得彳c = 五丽1，a c = 彳k ，么b = 磊a i 五k 万，可得点e ，召的坐 删u 文擘，刍 量历分别旋转望3 ，誓得到点e g ， 他厩，一j i ， ，点e 绕向 由公式2 得其坐标为( 藤5 1 1 ，o ， 点e ，f ，g 绕z 轴旋转等就得 叫，叫。，学， t + 譬，蕊 ，( 孵扣帆孵卜脚删分别 旋转了4 1 9 ，了6 7 ，誓就得到了上层其它顶点，由公式l 得坐标分别为 ，孵 ( _ 圭厮专i 巫_ 莩l l x 5 一同2 6 + ，13 雨，藤n 恳 扣夙藤心污，+ 孚，藤m 厮，一三， 孵 ，( - v 厢i t i3 旃，孵 ，( 孵8 ，_ i3 椭， 由公式2 b 点尸，q ，尺绕向量历旋转等就得到中层上的三个顶点m ，丁， ，一三，去瓜丽) ， 毫，j l4 5 0 - 1 0 压) 点肘，r 绕z 轴分别旋转警，警，誓，誓就 矧赋标文恳，学，一1 、5 0 - 1 0 x 5 。 ， 心愿2 ，丁- 2 - u i ，j 14 5 0 - 1 0 f f 5 ，( 一6 1 ；，学，击厕 ， ( 品一5 + 3 4 r 5 乏1 u 、5 0 - 1 0 垢) ，( 藤，一- 5 - 3 , f 5 ，- 4 5 0 - l o , 8 ， ( _6 1 ；，学，去揶 ，( _ 吾恳，学，去厕) ， ( 污干3 + 、f 5j 1 5 0 - 1 0 f f 5 ) ，( 浮，学，藤”聘， 一l 一垢 2 网，( _ 藤，学，藤 ，f 浮 3 + 压 2 。再作以上顶点关于原点的对称点就譬到了剩下的各个顶点，这样 就求得了半正多面体g 9 的所有顶点坐标 ( 1 0 ) 半正多面体g i 。各顶点的坐标 图1 6 1图1 6 2 如图1 6 1 以正十二面体中心为原点、以正十二面体中心d 与上底面中心a 的连线为z 轴、以面a o b 为x o z 平面建立空间直角坐标系假设半正多面体g l 。 龇6 锕舭2 碌1 御2 而3 碡艄觚1 0 、 1 0 标分别为 = 冱1 ，。，而32 c o s 塑v l + 压 l o 忑藤3 ，。，而3 ( 1 + 雨湖罱1 + 5 即( 浮，o ，匝4 2 ，f 51 ) ，( 3 压，o ，藤卜删旋转 警，誓，等，塑5 就得到了上底面上的顶点f ，g ， 由公式l 得其坐标分别为 b 际，业4 ，品m2 矗1 ” 9 + 删9 ，一厮， 一吉，藤m 际，t - 1 - , g ，藤卜一叫幄 硒旋转等就得到点m ，q 由公式2 得其坐标分别为b 厮， j 1 ，吉厮) ，( ，丁3 + 4 9 ，三, 7 7 5 - 万2 ) ，( 4 广i 5 + 压 4 三际i 1 3 + 磊2 9 ，业4 ，1 2v 匝4 91 jv ( 3 , l t z ，三专厍) 点 m ，丁，尸，q 绕z 轴分别旋转警，了4 7 t ，了6 7 i ，詈就得到中层面上剩下的各个顶点， 由公式- 得其坐标分别为g 厮，一丢专厮) ，( 3 + 压 4 圭厮) ，( 藤，一学，j 1 污2 ，( 躁，一学， 丢序心愿，一吉，三2 、压 d 9 1 j ，h 浮，一学丢厮 ， ( o ，- l 乏, g ，三2 厮地 丢序) ，( - 恳 一l 一压1 22 ，斗譬专 ( 一吉厮，- _ ，1 三厩) ，( - b h ) ，( _ 三厩，吾专厮) ， 藤，o ，7 17 几 - 万 ，( 儡 ，丢( + 压) ， ，扣雨， ，一学，三is ；- 甭 ， o ，学，互1 ；- ；- 丽) ， 三2 1 压 d 9 1 j ， 三瓜) ( 吉序， 斗孚专序m 序，+ 孚专序 ( - 愿，学， 吉愿 的对称点耥删下眠 求得了半正多面体g l 。的所有顶点坐标 ( 1 1 ) 半正多面体g l 。各顶点的坐标 图1 7 如图1 7 以正六面体中心为原点、以正六面体中心与上底面中心的连线为z 轴、以正六面体中心与前侧面中心的连线为x 轴、以正六面体中心与右侧面中 心的连线为y 轴建立空间直角坐标系假设半正多面体g l 。的边长为l ，则正六 面体的边踟+ 2 压，易得聪脞叫半， 半 脚牝粉 别旋转苎4 ，兰，萼 兀等，孚，卫4 就得到了上底面上的其他项点，由公式l 得其坐标 删为( 刍半，半m ，半，半) ，( - 丁1 + x 2 ，一，1 学) ， ( _ 学，一吉，学m ，一半，半一半，学 ， ( ，半，一争学 ，作上底面顶点关于助面的对称就得到了下底面赋 机半，圭，一半半，一t 1 + 2 、f 2 n ，半，一半 ， ( 一半，一，i 一丁1 + 2 4 互) ( _ 学，一一，1 一下1 + 2 , , 2 m ，一半，一半 ， b 半，一学 ，降，一三，一半 胁 考耥舭顺上的赋由公式- 得其坐标文学，一半，8 ( 2 1 ，1 + 2 2 4 t 2 ，半 ，( 一三，一丁1 + 2 , f 2 ，半 ，( _ 丁l + , d 2 ，一t 1 + 2 , 2 ，玑 p 半，一半m ，一半，一半) ，( _ 半，一半，一8 降，一半，一牡饰上猁删旋转誓耥删 下的眠由公式l 得其坐标删为i l e l + 2 2 f 2 ，丁1 + 、2 ，吼丁1 + 2 4 2 - ，1 半 ， ( t 1 + 2 , 4 r 2 ，一一，1 半) ，降，一半，吉) ，( 学，一半，一三1 ) ， 降1 + 2 f 2 ，一一，1 一半) ，( 学，丢，一半) ，降甲l + q r 2 一三1 ) 降学，扎n ，丁1 + 2 - 4 互，半 ，b 1 丁1 + 2 x 2 l 2 2 ，半) ， l t 丁列丁t j 一丁丁j (-丁l+,f2，t1+2,f2，一州1，丁1+2,f2，半，(_i1，丁1+2-、_2l2，一半 i 一丁t 一j j 丁丁j 丁一丁j ( 学，半，一扎降下1 + 2 、j 2 ，一三1 ) ，( 一下1 + 2 2 毕扎 ( _ 半，争半 ，( - t 1 + 2 、2 ，一- ，1 半 ，( _ 半，一2 ，圭) ， ( 一半，一半，驯一半，一吉，一半) ，( - 半，吉，一半) ， ( _ 学，学，一扣得了吣斯蛳 0 2 ) 半正多面体g l ：各项点的坐标 图1 8 如图1 8 以正二十面体中心为原点、以正二十面体中心0 与上顶点的连线为 z 轴、以面a o b 为x o z 平面建立空间直角坐标系，设半正多面体g l ：的边长为1 、 点e 的坐标为 ，y ，z ) ，点e 绕向量历旋转譬得点f ，其坐标为( 五，乃，z 1 ) 点f 绕向量砑旋转要得点g ，其坐标为( 吃，乞) 因为半正多面体4 ：的边 长为i ，故可得i 盯i = l ，i e g i = l ，l 粥i = 1 ，解得x = 1 5 2 2 7 4 ，y = 0 6 4 3 0 3 ， z = 1 3 8 3 9 8 ；故点e 的坐标为( 1 5 2 2 7 4 ，0 6 4 3 0 3 ，1 3 8 3 9 8 ) ，点e 绕o h 分别旋转 娶，冬就得到了面彳b c 上的另两个顶点，由公式2 得其坐标为( 0 7 8 3 6 4 4 ， 0 3 3 0 9 21 ，1 9 8 0 9 2 ) ，( 0 7 5 3 9 3 9 ，1 2 4 9 5 ，1 5 8 6 81 ) ；点f ( 1 9 6 8 3 2 ，0 7 2 8 3 3 5 ， o 4 9 2 8 1 8 ) 绕d m 分别旋转了2 1 i ，譬就得到了前侧面上的另两个顶点，由公式2 得其坐标为( 1 3 6 3 6 1 ，i 4 5 4 0 2 ，0 8 2 0 9 8 8 ) ，( 1 6 1 9 7 8 ，1 4 1 5 2 7 ，- 0 1 4 4 8 6 7 ) ，以这 两个面上的顶点绕向量伽夯别旋转莩，警，了6 g ，誓就得到了中上层面上的项 点，再作这些关于原点的对称点就得到了剩下的顶点，这样就求得了半正多面 体g l ：的所有顶点坐标 ( 1 3 ) 半正多面体g l 。各项点的坐标 图1 9 1 图1 9 2 如图1 9 1 以正十二面体中心为原点、以正十二面体中心0 与上底面中心的 连线为z 轴、以面a o b 为x o z 平面建立空间直角坐标系假设半正多面体g l ，的 边长为l ，由图1 9 2 得么c = 虿品1 丽，1 蚊 1 3 1 【1 4 】计算得点e 的坐标为 b 厩， ，点e 绕z 轴分别旋转等c ，s 9 ，z ，就得到上 觚上的其他赋由公式得其坐删u 为( 圭厮，一 孵 ，( 0 ，业2 ，孵 ，( - 孵 反丽，一三， ， _ 兰厮，一，1 ，孵 ( 0 ，学，, 42 ，( 孵，学 2 9 上底面上的籼个项点绕向量历分别旋转警就得到前侧面上 的- 。个顶点，由公式2 得这。个顶点的坐标分别为(，丢丢厮 ， b 藤，学专际 ，( 2 际，学弓序地藤，一，1 吾藤 ，( 藤 三23 i 压 aj 1 ，( 藤，巫4 专厩) ， ( 序，学，三2 厢) ，( 藤，迹4 专序三2 u 6 + 5 8 5 ， 心厮，学专厮) ，籼个顶胤蝴燃 孚( 1 f 4 ，f z ) 就得到中上层面上的其他顶点再作这些点关于原点的对称 点就得到了剩下的各个顶点，这样就求得了半正多面体g l ，的所有顶点坐标 3 3 与